XLVI Pesquisa Operacional na Gestão da Segurança Pública

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1 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca DISPOSIÇÃO DE FACILIDADES EM FILA DUPLA VIA PROGRAMAÇÃO INTEIRA MISTA Leoardo D. Secch Departameto de Matemátca Aplcada, UFES, , São Mateus, ES lsecch@ceues.ufes.br Adré R. S. Amaral Departameto de Matemátca Aplcada, UFES, , São Mateus, ES amaral@f.ufes.br RESUMO Cosderamos o problema de dsposção de facldades em fla dupla que é como alocar um dado úmero de máquas em localzações em um ou outro lado de um corredor de forma que o custo total para trasportar materas etre essas máquas sea mmzado. Propomos modfcações em um modelo de programação tera msta a lteratura, obtedo um modelo mas apertado. Resultados computacoas comprovam a efcêca do ovo modelo. PALAVARAS CHAVE. Dsposção de facldades em fla dupla, Programação tera, Otmzação combatóra. Área prcpal Otmzação combatóra ABSTRACT We cosder the double row layout problem, whch s how to allocate a gve umber of maches at locatos o ether sde of a corrdor so that the total cost to trasport materals betwee these maches s mmzed. We propose modfcatos to a mxed teger programmg model the lterature, obtag a tghter model. Computatoal results show the effcecy of the ew model. KEYWORDS. Double row layout problem. Iteger programmg. Combatoral optmzato. Ma area Combatoral optmzato 2327

2 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca 1. Itrodução O problema de dsposção de facldades evolve o poscoameto de facldades em uma certa área de forma a otmzar uma fução obetvo. Um obetvo usual é mmzar o custo total para trasportar materas etre facldades ou departametos, máquas, etc. Problemas de dsposção de facldades ocorrem frequetemete a prátca, por exemplo, o proeto de sstemas automatzados de maufatura. Um sstema automatzado de maufatura cosste de um couto de máquas e um dspostvo de tratameto de materal que trasporta materal etre máquas. Um proetsta deve plaear uma cofguração físca das máquas, que mmza o custo do tratameto de materal. Para maor efcêca, o dspostvo de tratameto de materal é posto para se mover ao logo de uma lha reta. Nesse cotexto, o proetsta pode mplemetar uma dsposção de facldades em fla úca,.e. todas as máquas são dspostas o mesmo lado de um corredor; Alteratvamete, uma dsposção em fla dupla pode ser mplemetada,.e. as máquas podem ocupar ambos os lados de um corredor (vea, Heragu ad Kusak, 1988). Esses tpos de dsposção de facldades dão orgem, respectvamete, ao problema da dsposção de facldades em fla úca sgle row faclty layout problem (SRFLP) (e.g. Smmos, 1969; Amaral, 2006); e ao problema de dsposção de facldades em fla dupla - double-row layout problem (DRLP) (e.g. Chug e Tachoco, 2010; Amaral, 2013). O DRLP é como alocar um dado úmero de máquas em localzações em um ou outro lado do corredor de forma que o custo total para trasportar materas etre essas máquas sea mmzado (Vea Fg 1). Chug ad Tachoco (2010) descreveram um exemplo prátco de DRLP em uma lha de fabrcação de LCD. Para resolver o DRLP, um modelo de programação tera msta fo apresetado por Chug e Tachoco (2010), que fo posterormete corrgdo por Zhag e Murray (2012). Amaral (2013) propôs um dferete modelo de programação tera msta para o DRLP, o qual demostrou ser mas efcete que o modelo de Chug e Tachoco (2010). O DRLP é um problema de otmzação combatoral NP-Dfícl, e, portato, à medda que o úmero de máquas a serem dspostas aumeta, o custo computacoal para resolver o problema aumeta cosderavelmete. Fgura 1. Dsposção de facldades em fla dupla. A dstâca tomada etre os cetros das máquas e. d é 2. O modelo de Amaral(2013) O modelo de Amaral (2013) cosdera as segutes defções: 2.1 Parâmetros : úmero de máquas; N ={1,2,,}: Couto de máquas; R ={lha feror, lha superor}: Couto de lhas retas que defem um corredor; c : Quatdade de fluxo etre as máquas e ( 1 < ); 2328

3 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca : Comprmeto da máqua ( 1 ); L : = = Varáves α =1, se a máqua está a esquerda da máqua e ambas e estão a mesma lha; α = 0, caso cotráro ( 1, ; ); x : abscssa do cetro da máqua ( 1 ) o exo-x; d : dstâca etre os cetros das máquas e ( 1 < ). Assume-se que o corredor está stuado com seu comprmeto ao logo do exo-x o tervalo [0, L]; a largura do corredor é desprezível; e a dstâca etre duas máquas é tomada etre seus cetros. O modelo de programação tera msta de Amaral (2013) é: M1: Mmzar d d 1 d = 1 = + 1 c (1) x x, ( 1 < ) (2) x x, ( 1 < ) (3) α α 0, 2 2 ( 1 < ) (4) x + x + L(1 α ), 2 ( 1, ; ) (5) x* x *, ( *, *) = arg m c (6) d 1 < α + α + α α + α + α 1, (,, < ; k, k ) (7) k k k k α + α α + α α + α 1, (,, < ; k < ; k) (8) k k k k + αk + α k + α + αk + αk α 1, ( 1 < < k ) (9) α {0,1}, ( 1, ; ) (10) x L, ( 1 ) (11) 2 2 A fução obetvo (1) mmza o fluxo total etre as máquas; as restrções (2) e (3) forecem a dstâca etre cada par de máquas; (4) garate que se as máquas e são alocadas em uma mesma fla, etão a dstâca etre seus cetros é o mímo ( ) / 2 ; (5) proíbe sobreposção etre máquas; (6) evta smetra; (7)-(10) caracterzam os vetores cdêca ( α ) de uma solução do DRLP. 3. O ovo modelo Baseados o modelo de Amaral (2013), propomos modfcar a restrção (4) o setdo de cosderar as máquas alocadas etre e. Para <, k, k, defmos a varável bára e k tal que e k = 1, se a máqua k está etre as máquas e, todas em uma mesma fla; e e k = 0, caso cotráro. Observe que se exstr um couto S, N de máquas alocadas 2329

4 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca etre as máquas e, todas elas em uma mesma fla, etão podemos estretar o lado dreto da restrção (4) para. Além dsso, d > ) / 2 quado S, de forma que a k S, l k ( restrção (5) pode ser também reformulada substtudo-se ) / 2, o lmtate feror para ( x x, pelo lmtate mas estreto d. Dessa forma, obtemos o segute modelo: M2: Mmzar 1 d = 1 = + 1 (2),(3),(6)-(11) d α 2 2 c (1) α l e k k k = 1, k, k 2 2( L / 2 / 2)(1 α, ( 1 < ) (12) x + d x + ( L / 2 / 2)(1 α ), (, N; < ) (13) x + d x ), (, N; > ) (14) ek ek α + α 1, (,, < ; k, k ) (15) k k α + α 1, (,, < ; k, k ) (16) k k e {0,1}, (,, < ; k, k ) (17) k Note que a restrção (12) é a reformulação da restrção (4). É possível mostrar que sempre vale d 2( L / 2 / 2) x x, dode seguem as restrções (13) e (14), que represetam a reformulação da restrção (5). As restrções (15)-(17) utamete com o obetvo fazem com que as varáves e k assumam somete valores de acordo com sua defção. No 2 modelo M1 há (2 1) + 1 restrções, ( 1) + varáves cotíuas e ( 1) 2 2 varáves báras. No modelo M2 proposto, há ( ) restrções a mas, e 2 ( 3 + 2) varáves báras a mas. No etato, a reformulação (12), (13) e (14) das 2 restrções (4) e (5) cotrbuem para o gaho de performace em relação ao modelo M desgualdades váldas Como as dstâcas formam uma métrca temos que as segutes desgualdades são váldas: d dk + d k, d k d + d k, d k d + dk, (1 < < k ) (18) A varável e k é zero se as máquas k, e ão estverem todas de um mesmo lado do corredor. Valem, portato, as desgualdades: ek α k + αk, ek α + α, ek α k + αk, (,, < ; k, k ) (19) 4. Expermetos computacoas Todos os testes foram realzados usado CPLEX 12.5 em um computador AMD Pheom II X4, 3.0 Ghz, 8 GB de RAM com sstema operacoal GNU Lux 64 bts. As stâcas do problema usadas os expermetos computacoas podem ser obtdas 2330

5 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca com os autores. 4.1 Comparação etre varates do modelo M2 A fm de aalsar os efetos das desgualdades (18) e (19), testamos o modelo M2 com as segutes varações: M C : Modelo M2 com as desgualdades (18) usadas como cortes, serdas por demada; M T : Modelo M2 com as desgualdades (18) serdas como restrções; M TC : Modelo M T com as desgualdades (19) usadas como cortes. A Tabela 1 mostra uma comparação de M2 e suas varações (M C, M T, e M TC ). Para cada stâca do problema, reportamos a referêca para os dados da stâca, o ome da stâca, sua dmesão, seu valor ótmo, o modelo utlzado, o úmero de ós da árvore de eumeração cosumdos a resolução, e o tempo de processameto. Todos os testes termaram com gap de otmaldade gual a zero. Cabe otar que a serção de cortes é feta utlzado os padrões do CPLEX. Os testes para os modelos M C e M T dcam que é melhor serr as desgualdades tragulares (18) como restrções, partcularmete para stâcas maores (Am12b, Am13a, Am14a, Am14b, P15). Nota-se ada que o úmero de ós utlzados em M T fo meor que em M C a totaldade das stâcas. Quato ao uso dos cortes (19) em M T (varate M TC ), os testes são coclusvos: em algumas stâcas, reduzu o tempo de processameto, equato em outras o tempo ão fo reduzdo, especalmete em P15. A Fgura 1 lustra a comparação do tempo de resolução dos modelos M C, M T e M TC, em relação a M Comparação da melhor varate do modelo M2 com o modelo M1 Nesta seção, comparamos o modelo M1 com a melhor varate do modelo M2. Os resultados da Tabela 1 dcam que as varates M T e M TC são melhores que M2 e M C pos, quase a totaldade, tempos de resolução e úmero de ós foram reduzdos. Detre M T e M TC, os tempos de resolução osclam. No etato o úmero de ós é meor para M TC em ove das oze stâcas. Por sso elegemos M TC para comparação com o modelo M1. A Tabela 2 mostra os resultados. Fo mposto um lmte de 11h de processameto para a stâca P15 e 10h para as outras stâcas. Reportamos assm o gap percetual ao fm do processameto. Os testes mostram que, em geral, M TC leva a uma redução cosderável o tempo de processameto. O úmero de ós fo drastcamete reduzdo em todas as stâcas, o que dca que M TC é mas apertado que M1. Com sso, podemos esperar que para stâcas maores a dfereça o desempeho fque ada mas evdete. As stâcas Am14a e P15 ão foram resolvdas detro dos lmtes de tempo estabelecdos usado o modelo M1, mas foram resolvdas detro dos lmtes de tempo usado o modelo M TC. Esta é a prmera vez em que uma stâca com tamaho = 15 departametos fo resolvda. Portato, com M TC podemos obter soluções ótmas para stâcas maores (com 14 e 15 departametos) e de forma mas efcete do que com métodos aterores. 2331

6 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca Referêca Problema Valor ótmo Modelo Nós Tempo (s) Smmos S M (1969) M C M T M TC S9H M M C M T M TC S M M C M T M TC S M M C M T M TC Amaral (2013) Am12a M M C M T M TC Am12b M M C M T M TC Este artgo Am13a M M C M T M TC Am13b M M C M T M TC Am14a M M C M T M TC Am14b M M C M T M TC Amaral (2006) P M M C M T M TC Tabela 1. Comparação etre o modelo M2 e suas varações. 2332

7 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca Fgura 2: Comparação do tempo de resolução dos modelos M C, M T e M TC, em relação a M2. Referêca Problema Valor ótmo Modelo Nós Gap (%) Tempo (s) Smmos S M (1969) M TC S9H M M TC S M M TC S M M TC Amaral (2013) Am12a M M TC Am12b M M TC Este artgo Am13a M M TC Am13b M M TC Am14a M * M TC Am14b M M TC Amaral (2006) P M ,10** M TC *lmte de 10h de processameto exceddo **lmte de 11h de processameto exceddo Tabela 2. Comparação etre os modelos M TC e M

8 XLVI Pesqusa Operacoal a Gestão da Seguraça Públca 5. Coclusões Neste artgo, cosderamos o problema de dsposção de facldades em fla dupla. Propusemos modfcações o modelo de programação tera msta cocebdo por Amaral (2013). Testes computacoas mostraram que a formulação modfcada tem desempeho cosderavelmete melhor. Acredtamos que melhoras a formulação proposta são possíves. Em trabalhos futuros, o estudo de desgualdades váldas para o modelo pode levar ao gaho de performace, quado serdas em um método brach-ad-cut. Referêcas Amaral, A.R.S. (2006), O the exact soluto of a faclty layout problem, Europea Joural of Operatoal Research, 173, Amaral, A.R.S. (2013), Optmal solutos for the double row layout problem, Optmzato Letters, 7, Chug, J. e Tachoco, J.M.A. (2010), The double row problem, Iteratoal Joural of Producto Research, 48(3), Heragu, S.S. e Kusak, A. (1988), Mache layout problem flexble maufacturg systems, Operatos Research, 36(2), Smmos, D.M. (1969), Oe-dmesoal space allocato: a orderg algorthm, Operatos Research, 17, Zhag, Z. e Murray C. C. (2012), A corrected formulato for the double row layout problem, Iteratoal Joural of Producto Research, 50,