DECOMPOSIÇÕES LAGRANGEANAS PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA BINÁRIA IRRESTRITA

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1 versão mpressa ISSN / versão ole ISSN DECOMPOSIÇÕES LAGRANGEANAS PARA O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA BINÁRIA IRRESTRITA Geraldo Regs Maur* Lab. Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Isttuto Nacoal de Pesqusas Espacas (INPE) São José dos Campos SP Dep. de Egehara Rural / Cetro de Cêcas Agráras Uversdade Federal do Espírto Sato (UFES) Alegre ES maur@cca.ufes.br Luz Atoo Noguera Lorea Lab. Assocado de Computação e Matemátca Aplcada Isttuto Nacoal de Pesqusas Espacas (INPE) São José dos Campos SP lorea@lac.pe.br * Correspodg author / autor para quem as correspodêcas devem ser ecamhadas Recebdo em 04/2008; aceto em 12/2008 após 1 revsão Receved Aprl 2008; accepted December 2008 after oe revso Resumo O Problema de Programação Quadrátca Bára Irrestrta PQ é um dos problemas clásscos a área de otmzação ão-lear cuo obetvo é otmzar uma fução quadrátca através da escolha de valores báros aproprados para as varáves de decsão. Este trabalho propõe ovas alteratvas de decomposção Lagrageaa para obteção de lmtates para o PQ. Os métodos propostos tratam uma versão lear tera msta (PQL) do PQ que tem restrções represetadas através de um grafo. Esse grafo é partcoado em clusters de vértces formado um problema dual cua solução é dada por um algortmo de subgradete. A cada teração desse método, os subproblemas formados pelos subgrafos gerados são resolvdos pelo CPLEX. Expermetos computacoas tratam um couto de dados formado por dversas stâcas de dfícl solução e dferetes característcas. Os resultados mostram a efcêca dos métodos propostos em relação a métodos tradcoas de relaxação Lagrageaa e outros métodos ecotrados a lteratura. Palavras-chave: programação quadrátca; decomposção Lagrageaa; lmtates. Abstract The Ucostraed Bary Quadratc Programmg Problem PQ s a classcal o-lear problem of optmzg a quadratc obectve by sutable choce of bary decsos varables. Ths paper proposes e alteratves of Lagragea decomposto to fd bouds for PQ. The preseted methods treat a mxed bary lear verso (PQL) of PQ th costrats represeted by a graph. Ths graph s parttoed clusters of vertces formg a dual problem that s solved by a subgradet algorthm. The subproblems formed by the geerated subgraphs are solved by the CPLEX. Computatoal expermets cosder th a data set formed by several dffcult staces th dfferet characterstcs. The results sho the effcecy of the proposed methods over tradtoal Lagragea relaxatos ad other methods foud lterature. Keyords: quadratc programmg; Lagragea decomposto; bouds. Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

2 1. Itrodução O Problema de Programação Quadrátca Bára Irrestrta é um dos problemas clásscos em otmzação ão-lear. Esse problema também é cohecdo como problema de programação bvalete quadrátca rrestrta (Gulat et al., 1984) e problema de programação quadrátca zero-um rrestrta (Chardare & Sutter, 1995). Por uma questão de otação, esse problema será tratado adate como PQ. O PQ cosste em maxmzar (ou mmzar) uma fução obetvo quadrátca através da escolha de valores aproprados para as varáves de decsão báras (Beasley, 1998). O PQ é um problema NP-Hard (Blloet & Elloum, 2007) e apreseta uma grade quatdade de aplcações em dversas áreas, como por exemplo: bologa molecular (Phllps & Rose, 1994); bologa computacoal (Forrester & Greeberg, 2008); eurocêca (Pardalos et al., 2004); plaeameto de vestmetos e aálse facera (Laughu, 1970; McBrde & Yormar, 1980); e algus problemas do tpo CAD (Krarup & Pruza, 1978). Além dsso, o PQ ada aborda úmeros problemas modelados através de grafos, como clque máxmo, máxmo couto depedete, e outros (Pardalos & Phllps, 1990; Pardalos & Rodgers, 1992; Pardalos & Xue, 1994). Város métodos exatos e heurístcos têm sdo propostos para resolver o PQ, etretato, os métodos exatos exstetes (Blloet & Sutter, 1994; Pardalos & Rodgers, 1990a; Pardalos & Rodgers, 1990b) são restrtos a problemas com até 200 varáves. Já os métodos heurístcos (Beasley, 1998; Glover et al., 1998; Pardalos & Jha, 1992) têm apresetado bos resultados para stâcas maores (com até 2500 varáves). Uma outra abordagem teressate para resolver o PQ é a relaxação do problema para obteção de lmtates (Adams & Dearg, 1994; Chardare & Sutter, 1995). Essa abordagem possu a vatagem de defr lmtates para a solução ótma, e pode apresetar uma formação dual de boa qualdade, o que permte avalar a proxmdade da melhor solução ecotrada em relação à solução ótma do problema. Outra prátca comum para resolver o PQ é a learzação do seu modelo orgal (Adams et al., 2004; Glover & Woolsey, 1974; Hase & Meyer, 2008), ou sea, a obteção de um modelo lear equvalete cuas soluções são correspodetes ao modelo quadrátco orgal. Dessa forma, o PQ é trasformado em um problema lear tero msto, o que permte a relaxação lear de suas varáves de decsão, e cosequetemete a obteção de um lmtate para a solução do problema orgal. Esse lmtate é cohecdo como roof dual (Adams & Dearg, 1994; Boros et al., 1990; Boros et al., 1992; Hammer et al., 1984). Este trabalho propõe ovos métodos para obteção de lmtates para o PQ. São apresetadas três abordages baseadas a decomposção Lagrageaa para tratar uma versão lear tera msta (PQL) do PQ. O PQL é represetado através de um grafo que é partcoado através da heurístca METIS (Karyps & Kumar, 1998). A partr de etão, é formado um problema dual cua solução é dada por um algortmo de subgradete. A cada teração desse método, os subproblemas formados pelos subgrafos gerados são resolvdos pelo CPLEX. O restate do artgo está orgazado como segue. A Seção 2 apreseta uma breve revsão bblográfca sobre o PQ e os métodos utlzados este artgo. Na Seção 3 são apresetados os modelos matemátcos utlzados, e a Seção 4 descreve os lmtates propostos. Os resultados computacoas são apresetados a Seção 5, e as coclusões são resumdas a Seção Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

3 2. Revsão bblográfca Chardare & Sutter (1995) propõem um algortmo para obteção de lmtates para o PQ. Esse algortmo é baseado a decomposção Lagrageaa da fução obetvo quadrátca do problema orgal em um somatóro de fuções pseudoleares. O método proposto é uma relaxação dual do problema quadrátco orgal. A dvsão do problema em clusters é realzada de forma aleatóra. Os resultados obtdos mostram que quato maor o tamaho dos clusters melhor é o lmtate, etretato, os gaps aumetam sgfcatvamete com o tamaho dos problemas. Eles mostram que etre as téccas de decomposção, a Lagrageaa é a que apreseta os melhores resultados. Além dsso, eles mostram que o algortmo proposto obtém, o por caso, um lmtate gual ao roof dual. Os resultados são apresetados para problemas com até 100 varáves. Uma abordagem trval para obteção de lmtates para o Problema Quadrátco da Mochla PQM é apresetada por Blloet & Calmels (1996). Essa abordagem é baseada a learzação do problema e a resolução desse modelo lear através da relaxação lear das varáves de decsão. Eles mostram que esses lmtates são de qualdade moderada. Além dsso, eles utlzam a serção de restrções de corte de Chvatal Gomory, que apresetam melhores lmtates. Blloet et al. (1999) propõem um lmtate para o PQM baseado a dvsão do couto de varáves do problema orgal em dversos subcoutos dsutos. Essa dvsão é feta aleatoramete, gerado subcoutos com o máxmo 5 varáves. A dea é utlzar a decomposção Lagrageaa para dvdr o problema em subproblemas depedetes. A escolha dos multplcadores Lagrageaos é feta através do método de subgradete. Assm como apresetado por Chardare & Sutter (1995), os autores mostram que quato maor o tamaho dos subproblemas melhor é o lmtate, etretato, o tempo aumeta expoecalmete. Adams & Dearg (1994) apresetam uma dscussão sobre a obteção de lmtates para o PQ. Eles apresetam um modelo lear para o problema, que é obtdo através da técca de learzação de Glover & Woolsey (1974). Váras estratégas de learzação do PQ são apresetadas e dscutdas em Adams et al. (2004) e Hase & Meyer (2008). Város métodos baseados em busca em árvores para resolver o PQ são ecotrados a lteratura. Gulat et al. (1984) apresetam um método de busca em árvore, baseado a eumeração de ótmos locas, que resolve problemas com até 40 varáves. Pardalos & Rodgers (1990a) apresetam um método de busca em árvore que utlza lmtates baseados a fxação de varáves em cada ó da árvore. Os resultados tratam problemas com até 200 varáves. Pardalos & Rodgers (1990b) apresetam uma versão paralelzada de um brachad-boud capaz de resolver problemas com até 100 varáves. Blloet & Sutter (1994) apresetam um método de busca em árvore capaz de resolver problemas com até 100 varáves. Palubecs (1995) propõe uma busca em árvore heurístca que apreseta resultados para problemas com até 247 varáves. Uma heurístca baseada a Busca Tabu é proposta por Glover et al. (1998). Essa heurístca resolve problemas com até 500 varáves. Beasley (1998) apreseta uma comparação etre duas metaheurístcas para resolver o PQ. Ele utlza a Busca Tabu e o Smulated Aealg para resolver problemas com até 2500 varáves (com baxa desdade). A Busca Tabu apreseta os melhores resultados para a maora dos problemas utlzados. Já o Smulated Aealg supera a Busca Tabu para os problemas com maor úmero de varáves. Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

4 Recetemete, Palubecs (2004) apreseta cco dferetes estratégas baseadas a Busca Tabu para resolver o PQ. O autor apreseta dferetes mecasmos que utamete com a Busca Tabu proposta por Beasley (1998) apresetam as melhores soluções cohecdas para o couto de stâcas utlzado. São apresetados resultados para stâcas com até 6000 varáves em tempos computacoas ferores aos demas métodos ecotrados a lteratura. Pardalos & Jha (1992) dscutem a complexdade computacoal de város problemas relacoados com o PQ e apresetam uma heurístca de busca local para resolvê-lo. Os resultados são apresetados para problemas com até 100 varáves. 3. Modelos matemátcos Cosderado uma matrz de úmeros reas Q = [q ] mxm, o PQ pode ser formulado pela expressão (1). PQ: v(pq) = m m max qxx x báro = 1 = 1 (1) A matrz Q pode ser cosderada smétrca sem perder a geeraldade do problema, pos caso essa matrz ão sea smétrca, pode-se utlzar a relação Q = (Q + Q t ) / 2 (Blloet & Elloum, 2007). Assm, de forma aáloga a apresetada por Adams & Dearg (1994), o PQ pode ser reescrto da segute forma: m PQ: v(pq) = max 2 x báro qx+ qxx (2) = 1 (,) P N ode N = {(,): <, q < 0} e P = {(,): <, q > 0}. Como apresetado em Adams & Dearg (1994), pode-se aplcar a técca de learzação de Glover & Woolsey (1974) em (2), substtudo os termos quadrátcos x x pela varável cotíua e por restrções que garatam que = x x. Logo, tem-se uma versão lear tera msta de PQ (3-8). Por coveção, esse modelo será chamado PQL. PQL: v(pql) = Max m qx+ 2q (3) = 1 (, ) P N Sueto a x 0 (, ) P (4) x 0 (, ) P (5) x + x 1 (, ) N (6) 0 (, ) N (7) x {0,1} = 1,..., m (8) 114 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

5 4. Decomposções Lagrageaas A decomposção Lagrageaa é um caso especal de relaxação Lagrageaa que cosste em dvdr o problema orgal em város subproblemas e crar uma cópa das varáves de decsão em cada um dos subproblemas gerados. Essas cópas são utlzadas as restrções dos subproblemas, e restrções que garatem a gualdade etre as varáves orgas e suas cópas são relaxadas o setdo Lagrageao (Chardare & Sutter, 1995). A partr da matrz Q descrta a seção ateror, pode-se crar um grafo G=(V,A) com V = {1,,m} e uma matrz de adacêcas A = [a ] m m, a = 1 se q 0 e a = 0 se q = 0. Partcoado o grafo G em ( m) clusters depedetes, tem-se V = V 1 V 2... V, ode V V = (, = 1,,; ), G = (V,A ), = 1,...,, e X = V V, = 1,...,. A Fgura 1(a) apreseta um exemplo de grafo gerado a partr do modelo PQL. O partcoameto desse grafo em 3 clusters ( = 3) é lustrado a Fgura 1(b). q 11 2q 12 q 33 q 11 2q 12 q 33 2q 14 2q 36 2q 14 2q 36 q 44 2q45 2q56 q 44 2q45 2q56 Fgura 1 Exemplo de grafo para represetação do PQ. A segur, são apresetadas as abordages propostas este trabalho, que tratam o PQ através de modelos leares represetados através de grafos, e copam apeas as varáves de decsão ecessáras em cada subproblema. Essas são as prcpas característcas que dferecam as decomposções propostas em relação às á exstetes a lteratura para problemas quadrátcos (Blloet et al., 1999 e Chardare & Sutter, 1995) ª abordagem A partr do grafo G, o PQL é decomposto em subproblemas através da cópa das arestas formadas por vértces pertecetes a clusters dsttos (arestas ter-clusters) e de seus respectvos vértces. Além dsso, o valor assocado a cada aresta é dvddo etre os orgas e suas cópas. Logo, o PQL pode ser reescrto da segute forma: PQL1 : v(pql1 ) = Max q q x x q q q = 1 V c (, ), V; c (, ) ( P N) A (, ) P N; (, ) P N; X V; X V; X (9) Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

6 Sueto a (, ) P A, = 1,..., (10) (, ) P A, = 1,..., (11) x + x 1 (, ) N A, = 1,..., (12) 0 (, ) N A, = 1,..., (13) (, ) P, V, X, = 1,..., (14) (, ) P, V, X, = 1,..., (15) x + x 1 (, ) N, V, X, = 1,..., (16) 0 (, ) N, V, X, = 1,..., (17) x = x X, = 1,..., (18) = (, ) P N, V, X, = 1,..., (19) x {0,1} V, = 1,..., (20) Nesse modelo, as varáves x represetam as cópas do vértce o cluster, e as varáves represetam as arestas etre os vértces e a cópa de o cluster. c dca a quatdade de cópas do vértce exstete os clusters. As restrções (10)-(13) tratam apeas as arestas (,) cuos vértces são teros ao cluster (subgrafo) (arestas tra-cluster). Já as restrções (14)-(17) tratam as arestas (,) cuos vértces estão em clusters dsttos (arestas ter-clusters arestas de lgação). As restrções (18) e (19) são as restrções de cópa, que garatem a gualdade etre as varáves orgas e suas cópas. A Fgura 2 apreseta os clusters gerados por esse modelo aplcado ao grafo descrto a Fgura 1. Nessa fgura, os vértces em cza represetam as cópas ecessáras para a decomposção do problema orgal. As arestas traceadas são cópas das arestas orgas. 2q 12 q 33 q 11 q 14 q 14 q q 36 q 56 q q q Fgura 2 Grafo gerado a 1ª abordagem. 116 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

7 Relaxado as restrções (18)-(19) o setdo Lagrageao através de vetores de multplcadores α e β, respectvamete, o problema PQL1 (dretamete o PQ) pode ser dvddo em subproblemas depedetes. Logo, para = 1,...,, tem-se: DecL αβ PQL1 : v(decl αβ PQL1 ) = Max q d α x + + α x V c d (, ), V; X c 2 ( β ) ( β ) q q q (, ) ( P N) A (, ) P N; V; X (, ) P N; V; X q (21) Sueto a (, ) P A (22) (, ) P A (23) x + x 1 (, ) N A (24) 0 (, ) N A (25) (, ) P, V, X (26) (, ) P, V, X (27) x + x 1 (, ) N, V, X (28) {0,1} (, ) P N, V, X (29) {0,1} (, ) P N, V, X (30) x {0,1} X (31) x {0,1} V (32) As restrções (29), (30) e (31) são serdas o modelo para mater a vabldade das soluções dos subproblemas. Por fm, a solução da relaxação do problema PQL1 (que é equvalete a PQ) em subproblemas (clusters), é dada pela expressão (33), e o seu dual Lagrageao é apresetado pela expressão (34). DecL αβ PQL1 : v(decl αβ PQL1 ) = DecLαβ PQL1 (33) = 1 DDecL αβ PQL1 : v(ddecl αβ PQL1 ) = M { DecLαβ PQL1 }, αβ, rrestrtos (34) Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

8 4.2 2ª abordagem Segudo a 1ª abordagem, surge a dea de substtur as varáves ( V e X ) pelas varáves, e ão dvdr o valor assocado às arestas. Logo, o PQL pode ser escrto da segute forma: PQL2 : v(pql2 ) = Max qx + 2q + 2q = 1 V (, ) ( P N) A (, ) P N; V; X (35) Sueto a (10), (11),, (18) e (20) Nesse modelo, ão exste a restrção de cópa (19) das varáves ( V e X ), pos essas são substtuídas dretamete pelas varáves. Relaxado a restrção de cópa (18) o setdo Lagrageao através do vetor de multplcadores α, o problema pode ser dvddo em subproblemas depedetes, sedo: DecL α PQL2 : v(decl α PQL2 ) = Max (36) d q α x + α x + 2q + 2q V d (, ), V; X (, ) ( P N) A (, ) P N; V; X Sueto a (22), (23),, (28), (31) e (32) 0 (, ) N, V, X (37) A restrção (37) é serda o modelo, e esse caso ela ão precsa ser bára para mater a vabldade das soluções dos subproblemas. A solução da relaxação do problema em subproblemas (clusters), é dada pela expressão (38), e o seu dual Lagrageao pela expressão (39). DecL α PQL2 : v(decl α PQL2 ) = DecLα PQL2 (38) = 1 DDecL α PQL2 : v(ddecl α PQL2 ) = M { DecLα PQL2 }, α rrestrto (39) Os clusters gerados essa abordagem são apresetados a Fgura 3. Nesse caso, as arestas ter-clusters são substtuídas dretamete pelas arestas traceadas. q 11 2q 12 q 33 2q 14 2q 36 2q 56 q 44 2q 45 Fgura 3 Grafo gerado a 2ª abordagem. 118 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

9 4.3 3ª abordagem Segudo a 2ª abordagem, e as deas apresetadas por Blloet et al. (1999) e Chardare & Sutter (1995), surge a dea de utlzar toda a matrz Q o modelo lear do PQ (PQL). Logo, o PQL pode ser escrto da segute forma: PQL3 : v(pql3 ) = Max Sueto a qx + q + q = 1 V V; V; V; X; (40) V, V,, q > 0, = 1,..., (41) V, V,, q > 0, = 1,..., (42) x + x 1 V, V,, q < 0, = 1,..., (43) 0 V, V,, q < 0, = 1,..., (44) V, X,, q > 0, = 1,..., (45) V, X,, q > 0, = 1,..., (46) x + x 1 V, X,, q < 0, = 1,..., (47) 0 V, X,, q < 0, = 1,..., (48) x = x X, = 1,..., (49) = V, X, >, = 1,..., (50) x {0,1} V, = 1,..., (51) A partr das deas expostas essa abordagem, pode-se defr o grafo dos subproblemas (clusters) assm como apresetado a Fgura 4. q 12 q 33 q 11 q 14 q 21 q 63 q 36 q 41 q 54 q 56 q 65 q 44 q 45 Fgura 4 Grafo gerado a 3ª abordagem. Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

10 Relaxado as restrções (49) e (50) o setdo Lagrageao, através dos vetores de multplcadores α e β, o problema pode ser dvddo em subproblemas depedetes, sedo: DecL αβ PQL3 : v(decl αβ PQL3 ) = Max d q α x + α x + q + ( q β ) + ( q + β) (52) V d X V V ; V X; > V X; < Sueto a V, V,, q > 0 (53) V, V,, q > 0 (54) x + x 1 V, V,, q < 0 (55) 0 V, V,, q < 0 (56) V, X,, q > 0 (57) V, X,, q > 0 (58) x + x 1 V, X,, q < 0 (59) {0,1} V, X,, q < 0 (60) x {0,1} X (61) x {0,1} V, = 1,..., (62) As restrções (60) e (61) são serdas o modelo para mater a vabldade das soluções dos subproblemas. Por fm, a solução da relaxação do problema PQL3 em subproblemas, é dada pela expressão (63), e o seu dual Lagrageao é apresetado a expressão (64). DecL αβ PQL3 : v(decl αβ PQL3 ) = DecLαβ PQL3 (63) = 1 DDecL αβ PQL3 : v(ddecl αβ PQL3 ) = M { DecLαβ PQL3 }, αβ, rrestrtos (64) 4.4 Comparação etre as abordages apresetadas As três abordages apresetadas essa seção possuem deas semelhates, porém cada uma apreseta característcas própras. A 1ª abordagem (Fgura 2) copa as arestas formadas por vértces pertecetes a clusters dsttos e seus respectvos vértces o vértce 4 e as arestas (1,4) e (4,4) são copados para o cluster 1, e o vértce 6 e a aresta (5,6) são copados para o cluster 2. Além dsso, o valor assocado a cada aresta é dvddo etre as orgas e suas cópas: q 14, q 44 e q 56. Nessa 120 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

11 abordagem, as arestas (1,4) e (5,6) são apresetadas a Fgura 2 apeas para lustrar que as varáves 14 e 56 serão utlzadas a formulação, assm como suas cópas 1 14 e A 2ª abordagem (Fgura 3) substtu as varáves ( V e X ) dretamete pelas varáves, ou sea, as arestas (,) pelas arestas (,) o cluster 14 por 1 14 e 56 por Além dsso, o valor assocado às arestas ão é dvddo essa abordagem. Já a 3ª abordagem (Fgura 4), toda a matrz Q é utlzada o vértce 4 é copado o cluster 1, os vértces 1 e 6 são copados o cluster 2, e o vértce 5 é copado o cluster 3. Nesse caso, os valores assocados às arestas são matdos o cluster do vértce de orgem. 4.5 Outros lmtates para o PQ O valor da solução da relaxação lear do PQL (substtur a restrção (8) por 0 1) é um lmtate trval para o PQ (Blloet & Calmels, 1996). Como apresetado em Adams e Dearg (1994), esse lmtate é cohecdo como roof dual. Por otação, esse modelo relaxado será tratado como PQL. Um outro lmtate para o PQ, pode ser obtdo através da serção de uma restrção de corte de Chvatal-Gomory em PQL. Essa restrção é descrta a expressão (65). x + x + x 1 (, ),(, ),(, ) P N (65) Essa restrção de corte é baseada em uma das restrções de corte apresetadas em Blloet e Calmels (1996) para o Problema Quadrátco da Mochla PQM. Como mostrado por esses autores, o lmtate obtdo com a serção de restrções de corte é melhor do que o apresetado pela relaxação lear do PQM. Por coveção, o modelo PQL com a restrção de corte será tratado como PQLC. A relaxação Lagrageaa das restrções (4), (5) e/ou (6) também pode ser utlzada para obteção de outros lmtates para o PQ. Sedo assm, essas restrções podem ser combadas de forma a gerar sete modelos dferetes para o problema: Lag α PQL: restrção (4) relaxada o setdo Lagrageao. Lag β PQL: restrção (5) relaxada o setdo Lagrageao. Lag λ PQL: restrção (6) relaxada o setdo Lagrageao. Lag αβ PQL: restrções (4) e (5) relaxadas o setdo Lagrageao. Lag αλ PQL: restrções (4) e (6) relaxadas o setdo Lagrageao. Lag βλ PQL: restrções (5) e (6) relaxadas o setdo Lagrageao. Lag αβλ PQL: restrções (4), (5) e (6) relaxadas o setdo Lagrageao. Para cada um desses modelos, pode-se obter um lmtate para o PQ através da mmzação do seu dual Lagrageao correspodete (DLag α PQL, DLag β PQL, etc). Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

12 5. Expermetos computacoas Foram realzados úmeros expermetos computacoas evolvedo um couto de 45 stâcas dspoíves a OR-Lbrary (Beasley, 1990). Essas stâcas foram cradas através do gerador proposto por Pardalos & Rodgers (1990a), e separadas em 6 classes (A, B, C, D, E e F) com dferetes característcas (m, desdade, e tervalo dos elemetos da matrz Q). Os problemas das classes A, B e C foram apresetados em Pardalos & Rodgers (1990a), e os demas em Glover et al. (1998). Devdo a suas característcas, essas stâcas estão etre as mas dfíces ecotradas a lteratura (Glover et al., 1998). Todos os expermetos foram realzados em um PC com processador AMD Athlo de 2.2 GHz com 1GB de memóra RAM, e o códgo-fote fo mplemetado em C++. Para resolver a relaxação lear do problema ( PQL ) e a relaxação lear com a restrção de corte (PQLC), fo utlzado o CPLEX (Ilog, 2006) com o tempo lmte de 1 hora de processameto para cada stâca. O dual Lagrageao dos modelos apresetados a seção ateror fo otmzado através do algortmo de subgradete apresetado em Narcso & Lorea (1999), que aproxma as soluções do problema o setdo eucldeao de dstâca (Parer & Rard, 1988). O CPLEX (Ilog, 2006) também fo utlzado para resolver de forma exata os modelos dos problemas e subproblemas (o caso das decomposções) a cada teração do algortmo de subgradete. O tempo lmte para execução desse algortmo também fo de 1 hora. A dvsão do grafo G fo realzada através da heurístca METIS (Karyps & Kumar, 1998), que segudo Hcs et al. (2005), apreseta bos resultados para o partcoameto de grafos. Dado um grafo G={V,A} e um úmero pré-defdo de clusters, a METIS dvde o grafo G em agrupametos com o obetvo de mmzar o úmero de arestas com termações em clusters dsttos, ou sea, reduzdo o úmero de arestas ter-clusters. Na Tabela 1, os gaps apresetados são calculados de acordo com a expressão (66), a qual v(opt) é o valor da melhor solução cohecda (Glover et al., 1998) para as stâcas utlzadas, e v(solução) é o valor do lmtate obtdo pelas abordages propostas. v( Solução) v( OPT ) gap = 100 (66) vopt ( ) A colua Dsde apreseta a desdade da matrz Q de cada stâca, e a colua Lag apreseta os melhores gaps obtdos pelas relaxações Lagrageaas tradcoas. A colua (DDL αβ PQL3 )* apreseta os resultados obtdos pela 3ª abordagem proposta, porém com a dvsão do grafo do problema de forma aleatóra, assm como apresetado em Blloet et al. (1999) e Chardare & Sutter (1995). Os melhores resultados estão destacados em egrto. 122 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

13 Tabela 1 Gaps (%) obtdos pelos métodos propostos. Ist. m Dsde (%) PQL PQLC Lag DDL αβ PQL1 DDL α PQL2 DDL αβ PQL3 (DDL αβ PQL3 )* 1a , a a ,77 6,36 3,37 0,31 0,32 0 0,31 4a ,10 0,10 0, a ,12 11,59 4, a ,38 20,67 8, a ,51 10,58 7, a 100 6, b ,98 95,99 194,66 15,66 15, b ,51 185,67 329,68 21,61 21,60 6,21 7,66 3b ,24 252,82 429,66 29,48 29,49 8,24 22,06 4b ,60 325,06 538,65 36,97 36,96 4,82 16,15 5b ,67 321,78 534,36 21,19 21,19 3,31 7,88 6b ,77 419,18 680,98 29,43 29,42 9,61 12,00 7b ,50 425,00 690,11 19,84 19,87 0 5,03 8b ,00 560,00 892,05 35,18 35,20 20,79 22,05 9b ,12 706, ,76 49,41 49,44 27,21 27,97 10b ,97 750, ,72 39,76 39,75 23,14 33,46 1c ,57 21,31 17, c ,79 25,51 20, c ,04 22,27 14, c ,62 20,03 9, c ,64 16,35 6, c ,48 0, c d ,53 8,27 1, d ,91 64,31 44,96 15,48 5,74 5,94 8,57 3d ,94 58,08 57,69 41,69 9,07 6,47 13,23 4d ,52 73,17 92,15 92,47 21,34 9,67 15,16 5d ,34 86,05 112,79 111,53 41,67 10,2 16,62 6d ,79 80,52 113,68 118,33 27,81 1,57 11,23 7d ,14 110,48 162,54 143,54 35,02 3,92 4,94 8d ,24 105,85 151,40 135,74 20,24 4,32 6,13 9d ,13 134,76 194,06 167,14 28,93 1,26 2,05 10d ,16 132,04 183,00 161,87 25,61 4,29 5,30 1e ,27 35,26 28,26 13,05 5,65 7,17 8,92 2e ,48 83,86 94,4 149,98 60,42 51,75 58,41 3e ,73 110,69 144,66 88,61 72,61 85,83 88,39 4e ,88 98,50 187,58 94,40 73,55 93,33 94,29 5e ,42 148,84 228,72 118,53 134,41 154,52 159,06 1f ,28 126,12 124,66 95,68 93,44 92,52 98,46 2f ,20 164,58 297, f ,68-19, f ,96-11, f ,32-9, Tempo médo (seg.) 173,96 371, , , , , ,44 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

14 A últma lha dessa tabela apreseta os tempos médos ecessáros para resolver cada stâca através do método correspodete. As stâcas da classe B são formadas por matrzes Q as quas todos os elemetos exteros à dagoal prcpal são egatvos ou ulos (q 0, < ). Logo, as relaxações Lagrageaas baseadas as arestas postvas (Lag α PQL, Lag β PQL e Lag αβ PQL) ão foram utlzadas. Nesse caso, os resultados apresetados (colua Lag) foram obtdos através da Lag λ PQL, pos Lag λ PQL = Lag αλ PQL = Lag βλ PQL = Lag αβλ PQL. Já para as stâcas das demas classes, os melhores resultados das relaxações Lagrageaas tradcoas (colua Lag) foram obtdos através das relaxações de apeas uma aresta postva (Lag α PQL ou Lag β PQL). Para as stâcas das classes A e C, os gaps obtdos pelas decomposções propostas foram guas à zero em quase todos os casos, e de melhor qualdade em relação aos demas métodos. Já para as stâcas da classe B, que apresetam grades gaps de dualdade, os gaps obtdos pelas decomposções foram sgfcatvamete dstates do roof dual e meores que os demas métodos. Etre as decomposções propostas, a 3ª abordagem apresetou melhores resultados. Os gaps obtdos pelas decomposções, para as stâcas da classe D, também foram meores que os demas. Etre as abordages propostas, a 3ª apresetou os melhores resultados, segudo pela 2ª e posterormete pela 1ª, e mas uma vez, todas apresetaram gaps dstates do roof dual. Para as stâcas da classe E, a 2ª e a 3ª abordagem apresetaram ovamete gaps meores do que os demas e dstates do roof dual. A 1ª abordagem também apresetou gaps pequeos, porém para a stâca 2e, o gap apresetado fo por do que o roof dual. Para essas stâcas, foram testados város úmeros de clusters (), e os melhores resultados foram obtdos com úmeros maores de clusters para as stâcas com maores desdades (Dsde). Já para as stâcas da classe F, as decomposções apresetaram resultados apeas para a stâca 1f (com 10% de desdade), e esses resultados também foram melhores que os demas. Para as demas stâcas, foram testados város úmeros de clusters (10, 20 e 50) e em ehum caso foram obtdas soluções em um tempo aproxmado de 1 hora de processameto. Comparado as duas últmas coluas da Tabela 1, percebe-se uma pora os lmtates obtdos utlzado o partcoameto aleatóro do grafo dos problemas (DDL αβ PQL3 )*, o que é ustfcado pelo fato de que a METIS partcoa o grafo vsado reduzr o úmero de arestas ter-clusters, e cosequetemete, como pode ser observado as Fguras 2, 3 e 4, e os respectvos modelos, gera uma relaxação mas forte para o problema orgal. 6. Coclusões Novas formas de decomposção Lagrageaa para obteção de lmtates para o problema de programação quadrátca bára rrestrta foram apresetadas este trabalho. Istâcas de dfícl solução e com dferetes característcas foram utlzadas para avalar os métodos propostos. As decomposções propostas apresetaram exceletes resultados para as stâcas com até 200 varáves, com váras desdades, e para a stâca com 500 varáves com baxa 124 Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de 2009

15 desdade. Já para as stâcas com 500 varáves e alta desdade, tas métodos ão apresetaram soluções, pos o CPLEX ão fo capaz de resolver os subproblemas detro de um tempo acetável. As decomposções apresetadas tratam o PQ através de modelos leares represetados através de grafos, e copam apeas as varáves de decsão ecessáras em cada subproblema. Além dsso, a dvsão do problema é realzada através da heurístca de partcoameto de grafos METIS (Karyps & Kumar, 1998), e os subproblemas são resolvdos através do CPLEX (Ilog, 2006). Essas característcas permtem a resolução de problemas com até 500 varáves e com váras desdades, e dferecam as decomposções propostas das á exstetes a lteratura para problemas quadrátcos (Blloet et al., 1999 e Chardare & Sutter, 1995), que utlzam modelos pseudoleares, ão utlzam a represetação em grafos, a METIS e o CPLEX, e são lmtadas a problemas com até 100 varáves. Os métodos propostos ão foram comparados dretamete com a decomposção proposta por Chardare & Sutter (1995) devdo à dspobldade das stâcas utlzadas por esses autores. Etretato, os resultados apresetam dícos de que as decomposções propostas são superores à decomposção proposta por Chardare & Sutter (1995), pos os modelos propostos através da represetação em grafos, com o auxílo de uma heurístca para partcoar esses grafos gerado um pequeo úmero de arestas ter-clusters, resulta uma relaxação mas forte para o problema orgal, e cosequetemete uma maor depedêca etre os subproblemas, o que permte a resolução de problemas maores (com desdades varadas) com gaps de boa qualdade. Além dsso, como pode ser observado os resultados apresetados, os lmtates obtdos pelas decomposções propostas domam os obtdos pelas relaxações lagrageaas tradcoas e pelos demas métodos descrtos a Seção 4.5. Os resultados obtdos dcam que os lmtates apresetados cotrbuem com a exploração do PQ, e apresetam ovas alteratvas de decomposção para problemas represetados por grafos. Além dsso, acredta-se que uma técca mas efcete para resolução dos subproblemas pode resultar em melhores soluções para as stâcas tratadas este trabalho e possvelmete para stâcas maores. Uma alteratva para otmzar a resolução dos subproblemas é a utlzação de processameto paralelo. Agradecmetos Os autores agradecem aos revsores deste trabalho pelos cometáros e sugestões, e à Fudação de Amparo à Pesqusa do Estado de São Paulo FAPESP (processo 04/ ) e ao Coselho Nacoal de Pesqusas CNPq (processo /2003-8) pelo apoo facero. Referêcas Bblográfcas (1) Adams, W.P.; Forrester, R.J. & Glover, F.W. (2004). Comparsos ad ehacemet strateges for learzg mxed 0-1 quadratc programs. Dscrete Optmzato, 1, (2) Adams, W.P. & Dearg, P.M. (1994). O the equvalece betee roof dualty ad lagragea dualty for ucostraed 0-1 quadratc programmg problems. Dscrete Appled mathematcs, 48(1), Pesqusa Operacoal, v.29,.1, p , Jaero a Abrl de

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