CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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1 54.. INTRODUÇÃO CAPÍTUO SISTEAS DE EQUAÇÕES INEARES A álse de um sstem físco qulque se c pel obsevção do espço físco que o mesmo ocup, podedo v dmcmete de codo com s les físcs que otem seu fucometo. N eldde, o espço físco é cotíuo, sedo costtuído de ftos potos. A modelgem mtemátc desse sstem cosste em esceve s equções mtemátcs que epesetm s les físcs que egem o sstem. Cofome fo dscutdo os cpítulos teoes, gde mo dos sstems físcos é modeld po equções mtemátcs comples ão lees e que ão pesetm soluções lítcs,.e., p os ftos potos que costtuem o domío em álse. A questão fudmetl de egeh é cocepção e o pojeto de ts sstems. P tto, é ecessáo esolve s equções mtemátcs que modelm o compotmeto físco do sstem, p obte su espost o tempo e/ou espço. Como solução lítc em fom fechd desss equções ão é possível de se obtd mo pte dos csos, busc-se um solução pomd. Dte d mpossbldde mtemátc de se obte soluções umécs p os ftos potos do domío, pom-se o sstem cotíuo (ftos potos). Po eemplo, um equção mtemátc esct p os ftos potos de um domío pode epeset espost de tempetu o tempo e/ou espço de um sstem (quecmeto ou esfmeto) em fução ds codções do mbete em que o mesmo é sedo. Est equção é utlzd p c um cojuto de equções mtemátcs p cd poto do sstem dsceto que po su vez pom o sstem cotíuo. P lust esse pocedmeto, cosdee o poblem de álse estutul de um plc f com ofíco cetl que deve se motd em um supote mecâco, cofome most Fg... A peç deve se motd po um pocesso mecâco de juste com tefeêc, o que povoc tulmete um defomção o mtel. A questão de egeh é sbe se cd poto d peç esstá o esfoço povocdo pel motgem,. e., se su estutu seá pesevd ou ão. Fgu. Chp com ofíco motd em supote v juste com tefeêc.

2 55 As tesões, que esultm o mtel devdo o cegmeto mposto pel motgem, são clculds pt d teo d Elstcdde e, que tem ogem o pcípo de cosevção d qutdde de movmeto [] (Hughes, 987). Tt-se de um equção dfeecl pcl le que elco s tesões com posção espcl (, y). Recohecedo que o poblem peset dos eos de smet, cofome most Fg.., o domío de álse se eduz pes um qudte. Vefc-se que o qudte cotíuo (com ftos potos) pode se pomdo po um cojuto dsceto de potos, tmbém epesetdo Fg... Esse pocesso é chmdo de dscetzço e o cojuto de potos esultte é deomdo de mlh. A equção dfeecl pcl le esct p s tesões é pomd po um cojuto de equções lgébcs lees, um p cd poto d mlh esultte. Os detlhes desse pocesso de tsfomção d equção dfeecl pcl em equções lgébcs ão são objeto do pesete ttmeto, poém o leto pode ecot esss fomções ltetu técc básc [,] (Fletche, 99, Adeso et l., 984). O fto mpotte destc este mometo é que o sstem de equção lgébcs lees cuj solução são os deslocmetos esulttes o mtel d peç, que lev o cálculo ds defomções e tesões o mtel, pemtá vefc se estutu com cofgução especfcd (tpo de mtel, geomet) seá pesevd ou ão,. e., se tesão mám esultte é meo do que mám tesão que o mtel esste, de codo com sus popeddes mecâcs pé-cohecds. A solução do poblem de egeh ssm fomuldo é obtd, potto, pt d solução de um sstem de equções lees. Dest me, é ecessá estêc de pocessos efczes p esolve umecmete esse sstem de equções. Note que o úmeo de equções esultte pode se bstte gde, depededo do úmeo de potos d mlh d Fg... Como o leto pode pecebe, obteção d solução de sstems de equções lees é vtl p um vst clsse de poblems físcos e de egeh. Os tes segutes deste cpítulo destm-se peset e dscut os métodos umécos de solução de sstems de equções lees. Bscmete, esses métodos dvdem-se em métodos detos e detos (ou tetvos)... ÉTODOS DIRETOS Os métodos detos são queles que pemtem obte o veto solução do sstem A b (.) tvés de pocedmetos lgébcos detos. Assm, solução é obtd detmete pelo computdo, sem ecessdde de elz ehum pocedmeto tetvo. Um sstem de equção lees e cógts é fomuldo mtemtcmete d segute me: K + + K+ + K+ b b b (.)

3 56 com j, b R, p, j, K,. Em fom mtcl, o sstem pode se escto como K K K b b b (.) ou d fom gel A e b { b},, j, K,. ode [ ] j A b (.)... Noções de álgeb mtcl Um mtz qudd T A é dt tspost de A, se T A [ j ] e A [ ],, j, K, (.4) j Se A T A, etão A é um mtz smétc que, po defção, é mtz qudd que peset os elemetos cm d dgol pcpl gus os elemetos bo d mesm,. e.,. j j Um opeção de multplcção ete dus mtzes A e B é defd po P ( ) j que só é possível de se elzd se ( m p) AB b (.5) A e B (p ), ode m,, p são úmeos teos postvos que defem s dmesões ds mtzes. Em outs plvs, mtz A (m p), m defe o úmeo de lhs e p o úmeo de colus. Assm, p elz um multplcção de dus mtzes, o úmeo de colus d pme mtz deve se gul o úmeo de lhs d segud mtz. N Eq. (.5), mtz esultte (AB) é, potto, um mtz de dmesão ( m ). Um opeção de multplcção ete um mtz A ( m p) e um veto ( p ) é tmbém defd pel Eq. (.5). Note que o veto é um mtz de p lhs e colu. O esultdo seá, potto, um veto b ( m ). No cso especl do sstem de equções lees epesetdo pel Eq. (.), mtz A é qudd e de dmesão ( ). Potto, o esultdo d multplcção de A po, é um veto b ( ). Dos sstems de equções lees são dtos equvletes qudo têm mesm solução. temtcmete esceve-se: j A b e B d (.6)

4 57 ode A e B são dus mtzes dfeetes de mesm dmesão, e b e d dos vetoes dfeetes tmbém de mesm dmesão. P se obte um sstem equvlete B d, pt de um sstem A b, elzm-se pocedmetos chmdos de opeções elemetes com lhs. São els: ) Toc de dus equções Est opeção elz mudç odem ds lhs de A, e b, o que sgfc mud odem ds equções do sstem ogl (.). Obvmete, este pocedmeto ão lteá solução. Obtém-se ssm um sstem equvlete. temtcmete, sso é epesetdo pel multplcção de um pemutção d mtz detdde I po A, e b. Po eemplo, p um sstem, ode se desej toc lh pel lh, fz-se E ( A,,b) (.7) ode E é um mtz detdde pemutd. Assm, o cso deste eemplo, o multplc mtz E pelo sstem de equções (A,,b), o esultdo é toc d segud equção pel tece. ) ultplcção po um úmeo dfeete de zeo Est opeção elemet é mtemtcmete epesetd po E (A,,b) (.8) Po eemplo, p um sstem, em que se desej multplc segud equção po λ, E λ. Alogmete, um ou ms equções do sstem podem se multplcds po costtes pé-defds λ,, K,. É clo que este pocedmeto ão lteá solução do sstem (A,, b). ) Adção um equção de um múltplo de lgum out equção: É possível demost que um sstem equvlete é obtdo o se som um múltplo de um equção out equção qulque do sstem (poblem.). temtcmete, o pocedmeto é epesetdo po E (A,,b) (.9)

5 58 Po eemplo, p um sstem, em que se deseje dco pme equção multplcd po um costte λ R à tece equção, E. Alogmete,o λ mesmo pocedmeto pode se plcdo qulque equção do sstem.... tzes vess Sej o poduto de dus mtzes A ( p) e B (p ) ddo po AB Ι (.) ode Ι é mtz detdde ( ). Qudo esse esultdo ocoe, dz-se que B é mtz ves det de A, e A é mtz ves esqued de B. Note que segute stução pode se vefc: α β, α, β (.) Potto, segud mtz ão é úc. Se s mtzes foem qudds, stução é ms smples. As vess det e esqued são cocdetes e úcs. Assm: AA A A Ι (.) Um mtz elemet é quel que é obtd tvés de um opeção elemet sobe mtz detdde. Um mtz ves pode se obtd tvés de um seqüêc de opeções elemetes cofome se segue: E E4EE 4 EA Ι 4 K 44 e EK E4EEEΙ A (.) A Eemplo.) Usdo opeções elemetes com lhs, deteme mtz ves A -, sbedo que: A Solução Utlz-se Eq. (.), ptdo de:

6 Dvde-se pme lh po, e segu multplc-se mesm lh po, e 4, subtdo- d ª, ª e 4ª lhs espectvmete: / / 8 5 / / Toc-se ª lh pel ª lh: / / 8 / 5 / ultplc-se po ª lh; som-se 4ª lh à ª lh multplcd po, e subt-se d ª lh, ª lh multplcd po : 5 5/ / Subt-se ª lh multplcd po 7/ d ª lh; som-se ª lh à ª lh, e subt-se d 4ª lh ª lh multplcd po 5: Dvde-se 4ª lh po 5: /5 /

7 6 ultplc-se 4ª lh po -, -7, e 8, e subt-se d ª, ª e ª lhs, espectvmete. O esultdo fl é: 9 64/5 6/5 6/5 /5 8/5 7 /5 /5 /5 Potto, mtz ves é: A 9 64/5 6/5 6/5 /5 8/5 7 /5 /5 /5... Sstems de fácl solução No poblem eucdo po: A b (.) qudo A é um mtz do tpo dogol, D, tgul feo,, ou tgul supeo, U, dz-se que o sstem de equções lees é de fácl solução. A zão é que p obte solução esses sstems, ão é ecessáo vete mtz A. Obseve que solução é obtd po pocedmetos smples: ) tz dgol, D: D b (.4) Eemplo.) Ddo que: Deteme. Solução A solução é obtd detmete como e. ) tz tgul feo, : b (.5)

8 6 Eemplo.) Ddo que: Deteme. Solução A solução é obtd clculdo pt d ª equção o vlo d ª cógt. A segu, cohecedo, clcul-se com ª equção, e ssm sucessvmete té últm equção do sstem. Este pocedmeto é deomdo de substtução vçd. No cso deste eemplo, clcul-se: ) tz tgul supeo, U: b U (.6) Eemplo.4) Ddo que: Deteme. Solução O pocedmeto é etmete o veso do utlzdo p mtz tgul feo, o tem teo. O pocesso é deomdo substtução à etgud. No cso deste eemplo, clcul-se: +

9 A ftoção U Qudo mtz qudd ssocd o sstem de equções lees, A, ão é dgol, tgul supeo ou feo, o sstem ão é deomdo de fácl solução. Assm, obteção do veto solução detmete é clculd vetedo-se mtz A: A b (.7) ou, de fom ms efcete po outos métodos que ão equem vesão d mtz A que epeset lto custo computcol em sstems com gde úmeo de equções, como pode se obsevdo o eemplo.. O método d ftoção U cosste em fto mtz qudd ssocd o sstem fom: A U (.8) Qudo fo possível fto mtz A d fom mostd Eq. (.8), dz-se que mtz A dmte um decomposção U. Admtdo que mtz qudd A possu um decomposção U, pode-se deduz o pocesso de ftoção U. O pocesso é desevolvdo como se segue. Em otção dcl, esceve-se: (, j,,) A [ j] K m(, j) l u l u (.9) j s sj s s s Ode fo utlzdo o fto de que l s p s > e u sj p s > j. Fzedo j e sepdo últm pcel do somtóo, obtém-se: sj s s l u + l u (.) Se u ou l (elemetos d dgol pcpl) fo especfcdo, pode-se detem o outo. Po eemplo, especfcdo u, tem-se: s l ls s u s / u (.) No íco do pocesso, qudo, o segudo temo ete pêtess é um somtóo de s -, potto, este cso o somtóo é ulo, po defção. Assm, qudo, defe-se o que se chm de pmeo meo pcpl líde d mtz A, que cocde com o compoete, um escl, um vez que mtz tem pes um elemeto qudo.

10 Coseqüetemete, defe-se o -ésmo meo pcpl líde d mtz ( ), como sedo mtz segu: 6 A, p A O (.) N seqüêc, pt de, e do cohecmeto de u e l, é possível detem os outos elemetos d colu e d mtz. Isso é feto de fom pogessv pt de té, cofome most Fg..: Elemetos fo d dgol lh Elemetos fo d dgol colu O O O Fgu. Detemção de elemetos fo d dgol ftoção A U. P detem os elemetos fo d dgol lh, detfcdos Fg.., utlz-se fómul de multplcção de mtzes ejd p obte u, cofome se segue: j u j j ls s u sj / l ( j ) + (.) P detem os elemetos fo d dgol colu, detfcdos Fg.., utlz-se fómul de multplcção de mtzes ejd p obte l, cofome se segue: l ls s u s / u ( ) + (.4) A pegut d se espodd é: que codção ou codções mtz qudd A deve stsfze p possu um ftoção do tpo A U? A codção ecessá e sufcete é que A possu um ves,.e., seu detemte sej dfeete de zeo, o que estbelece que A sej ão sgul e que Eq. (.7) sej vedde. No etto, po vezes um sstem é costuído de fom que odem ds equções lev o pecmeto de zeos dgol pcpl, o que ão sgfc ecessmete que mtz ão possu um ves. O Teoem segu foece um codção sufcete p vefc se mtz qudd A dmte um ftoção do tpo A U.

11 64 Teoem. Se todos os meoes pcps lídees d mtz ( ) tem fts decomposções do tpo A U. Pov : A foem ão sgules, etão A Sejm A, e U os -ésmos meoes pcps lídees ds mtzes A, e U, espectvmete. A hpótese é que A, A, K, A sejm ão sgules. P elz um pov po dução, supoh que e U tehm sdo obtdos. N Equção (.9), se e j estveem f,, K,, etão s tmbém está. Assm, Eq. (.9) estbelece que A U Como A é ão sgul po hpótese, e U são tmbém ão sgules. Como é ão sgul, pode-se esolve o sstem s s l u ( ) s p u s com s. Esses estão -ésm colu de U. Como U é ão sgul, pode-se esolve o sstem s s l u ( j ) sj j p l s com s. Esses estão -ésm lh de. A pt de l s s u s l s s u s + l u pode-se obte u ou l, um vez que um deles, u ou l, fo especfcdo como um vlo dfeete de zeo. Coseqüetemete, todos os ovos elemetos ecessáos p fomção de e U estão detemdos. A dução é flzd obsevdo que l u e, potto, pt de u ou l especfcdo como um vlo dfeete de zeo, pode-se detem l / u ou u / l, espectvmete. Fc clo, potto que A dmte fts decomposções do tpo A U. Com bse teo pesetd, é possível esceve um lgotmo p mplemetção A. computcol do método de ftoção U de um mtz qudd ( ) Algotmo computcol p ftoção A U

12 65 e,[ ], { } p j b,, K, fç Especfque um vlo dfeete de zeo p l u p u ls s u s j +, +, K, fç j j ls s fm p l fm fm do lço l, u sj / l +, +, K, fç ls s mpm [ ] [ ] j u j p,, K, fç u s z b ljz j / l j fm p,, K, fç z u j j j + fm mpm { } / u / u u ou l e compute o outo usdo N álse pesetd, p o cálculo de F j, ode F j epeset o cálculo de cd pcel do somtóo, é ecessáo dot um coveção. Qudo e b <, bem como b qudo b, >, F, po defção. j j Estdo um ftoção do tpo A U, lgus csos ptcules mpottes são: ) Ftoção Doolttle s: é clculd tl que l, p. b j Eemplo.5) Obteh ftoção Doolttle s A U p A. Solução

13 66 A U b) Ftoção Cout s: U é clculd tl que u, p. Eemplo.6) Obteh ftoção Cout s A U p 5 A. 8 Solução U 5 5 A 8 c) Ftoção Cholesy s: Obseve que p A U, dvddo U em dus ptes pel dvsão de cd lh pelo elemeto pvot (po defção, o elemeto d dgol pcpl em cd lh), p mtzes smétcs obtém-se um esultdo muto mpotte, mostdo segu: T A D (.5) Defção: um mtz smétc com pvots postvos é um mtz postvmete defd. Teoem. Um mtz A postvmete defd dmte um ftoção do tpo A T, que é deomd ftoção Cholesy s,.e., U T, tl que l u, p. Pov : Usdo Eq. (.5) p um mtz A postvmete defd: elemetos de D são postvos. Assm: T A D e todos os / / A D D, ode T T / D e T / T D. Eemplo.7) Obteh ftoção Cholesy s A T p 4 A. 6 Solução T U D / 4 A 6 / 4 55/ 4 / 4 55/ 4

14 Elmção Guss T D / D / 4748 / 4 / 4 55 / 55 / T / / 55 / 55 / Um pocedmeto estutudo de se obte ftoção Doolttle s é deomdo elmção guss. O pocedmeto cosste em esclo mtz A po opeções elemetes sucessvs, obtedo sstems equvletes té que todos os elemetos bo d dgol pcpl tehm sdo uldos,.e., sejm gus zeo. Eemplo.8) Ache o veto solução p o sstem de 4 equções e 4 cógts ( 4) ddo segu: A 4448 } } b Solução º psso: ª lh é lh pvot. Clculm-se os ovos elemetos d mtz po opeções elemetes com lhs, fzedo (.6) p ode, K,, lh d mtz, o multplcdo coespodete à lh, e p o úmeo d lh pvot. O esultdo é ultplc } does } 6 4 / º psso: lh é lh pvot. Clculm-se os ovos elemetos d mtz po opeções elemetes com lhs, usdo Eq. (.6), ode, K,. O esultdo é 4-6

15 68 ultplcdoes 678 / } º psso: lh é lh pvot. Clculm-se os ovos elemetos d mtz po opeções elemetes com lhs, usdo Eq. (.6), ode 4, K,. O esultdo é ultplc } does 6447 U448 } Potto, com o ovo sstem equvlete, esolve-se po substtução à etgud. O esultdo é T [, -, -,] Obseve que ftoção do tpo Doolttle é obtd com os multplcdoes p mtz, e com mtz U cm. O esultdo é A U / / O lgotmo computcol p elz o pocedmeto de elmção guss é ddo po e,[ ], { } j b p,, K, fç p +, +, K, fç z / b b z b p j +, +, K, fç z fm fm j fm j j - 4 5

16 69 mpm [ ], { } e clcule { } j b po substtução à etgud. Um cuddo dcol deve se tomdo o elz o pocedmeto de elmção guss. Deve-se busc elm os zeos d dgol pcpl, cso estm, cdo um sstem equvlete, com um ov mtz A e um ovo veto b, utlzdo opeções elemetes de toc de lhs...6. Pvotemeto O método de elmção guss flh qudo: ) 678 A } } b ou ) 678 A } } b ε, ode ε. Assm, usdo o lgotmo de elmção guss, obtém-se: ε - ε - ε ε ( ) ε A solução coet obtd po substtução lgébc se: ε ε ε Vefc-se que, com o método de elmção guss, solução é coet p, ms é etemmete mpecs p. Obseve que dvddo pme equção po ε, obtém-se:

17 7 Etão, j 678 A } } b - ε ε <, j, que é eldde ogem do poblem. Se odem ds equções fo tocd, o poblem é esolvdo e obtém-se solução coet po elmção guss pelo sstem segu: 678 A } } b ε A solução p poblems desse tpo, potto, é mud odem ds lhs (ou equções). Escolhem-se lhs pvot ( p, p, K, p ) o vés de (,, K,). Assm, o plc o método de elmção guss, os múltplos ds lh p são subtídos ds lhs p, p, K, p, e ssm po dte, com p,p, K, p tudo como lhs pvot...7. Pvotemeto com escl O pocedmeto p mud odem ds lhs é deomdo pvotemeto com escl. A lógc obedece segute sequêc: ) Pmemete comput-se um escl : S m j j m {,, K, } p. ) A segu seleco-se lh pvot, ode S é o mo vlo dete todos clculdos o psso. O ídce ecotdo é chmdo de p. Potto, c-se elmção guss com ( p,p, K,p ) (,, K, ), odem decescete dos vloes clculdos. Algotmo computcol p elmção guss com pvotemeto com escl: e,[ ], { } j b p,, K, fç p s m j fm p,, K, fç selecoe j tl que j

18 7 fm /s / s p, +, K, p j p j p p p j p +, +, K, fç z / fm p p z b b p p fm p p p z b p j +, +, K, fç z p j mpm [ ], { b } e { p } j Clcule { } p j po substtução à etgud, cofome se segue: p,, K, fç fm p b mpm { p } p j + p j / j p p j Cotgem de opeções Um mpotte coceto em pogmção p o lst uméco é sbe qul o esfoço e tempo gsto obteção d solução de um poblem umecmete, tvés do uso do computdo. O custo computcol está ssocdo opeções de multplcção e dvsão, chmds de opeções logs. Como eemplo de como vl o custo computcol pt do úmeo totl de opeções logs de um lgotmo computcol, tom-se solução de sstems de equções lees po um método deto. É clo que, com bse esse eemplo, um pocedmeto álogo podeá se utlzdo em qulque lgotmo pelo lst uméco posteomete. Cosdedo um mtz A ( ) e o lgotmo de elmção guss com pvotemeto com escl, pode-se vl o úmeo de opeções logs elzds solução computcol do poblem, cofome o cocío segu: ) A computção ecessá p def p eque opeções de dvsão; ) P cd lhs p, p, K, p, multplcdo é clculdo, etão um múltplo d lh p é subtído d lh p, p. O multplcdo e o pocesso de elmção cosomem opeções po lh. Como lhs são pocessds dess opeções logs. Assm, o totl esult em me, etão são elzds ( ) ( ) + opeções logs; ) O pocesso de ftoção cosste d epetção dos pssos teoes em mtzes seqüeclmete meoes. Assm, o segudo psso, lh p e colu ão são utlzds,.e., o cálculo do úmeo de opeções go evolve um mtz

19 ( ) ( ), e ssm sucessvmete, de fom que o úmeo totl de opeções logs é obtdo po um elção de ecoêc epesetd pel sée: + ( ) (.6) 6 v) P tulzção do veto do ldo deto b, há pssos. No pmeo há opeções logs, o segudo opeções logs, e ssm sucessvmete. Potto, o totl de opeções logs é epesetdo pel sée: ( ) + ( ) (.7) v) P substtução etgud p obteção do veto solução o totl de opeções logs é epesetdo pel sée: (.8) v) Potto, somdo s Eqs. (.6) (.8), obtém-se o úmeo de opeções totl pomdo p solução do sstem A b, como Sstems com mtzes dgolmete domtes O pocesso de elmção guss p solução do sstem sem pvotemeto qudo: A b pode se usdo > j j j ( ) (.9) Note que este cso, pme pte do lgotmo de elmção guss com pvotemeto com escl ão é ecessá, cofome se costt lsdo Eq. (.9) e pte do lgotmo epoduzd segu:... p,, K, fç p s m j fm p,, K, fç selecoe j tl que... p j p j j /s / s p, +, K, p p j p p

20 7 Neste cso, dz-se que mtz A, ssocd do sstem A b, é dgolmete domte. s do que sso, é possível demost que tod mtz dgolmete domte é ão sgul e tem um ftoção U (Poblem.)...9. Sstems do tpo bd É comum ecot poblems plcdos em que fomulção do equcometo do modelo mtemátco do sstem físco em álse lev mtzes do tpo bd. Esss mtzes são defds dess fom, po pesetem elemetos ão ulos pes dgol pcpl e em lgums outs dgos. Nesses csos, pode se coveete utlz lgotmos smplfcdos, em elção o lgotmo de elmção guss com pvotemeto com escl, fm de eduz o úmeo totl de opeções logs e gh tempo computcol solução do poblem. Esses sstems podem se do tpo t, pet, heptdgol e ssm po dte, cofome o úmeo de dgos que são ão uls, com deomção geéc de -dgol, sedo o úmeo de dgos ão uls, cludo dgol pcpl. Como eemplo de sstem -dgol, est seção tom os sstems dtos tdgos, que são queles em que mtz ssocd A, do sstem A b é dd po: [ ], p - j A (.) j j > Assm, lh d mtz A, somete,,, e,+ são dfeetes de zeo. Como tês dgos pes são dfeetes de zeo, utlz-se um veto p cd dgol, o vés de utlz um mtz p mze os coefcetes ds equções do sstem A b. Po smplcdde e p evt pvotemeto com escl, ssume-se este eemplo que mtz é dgolmete domte. Potto, o sstem A b é epesetdo po: d f e d O O O f e d b b b (.) ode d é o veto que cotém os elemetos d dgol pcpl, e d dgol supeo e f d dgol feo. Ao us elmção guss smples, pocess-se o veto b smultemete. Assm, um múltplo d lh é subtído d lh fm de ul o elemeto bo d dgol pcpl. Neste cso, d e b são ltedos, ms e ão é ltedo. O multplcdo dequdo é f / d. Os cálculos p substtução são ddos po: d b f (.) d e d f (.) b b d

21 74 Os pssos subseqüetes são álogos té últm lh d mtz. P obteção do veto solução é elzd substtução à etgud smplfcd po: b (.4) d ( b e )/ d (.5) e,{ b }, { d }, { e }, { f } p,, K, fç f d d e d f b b b d fm b d p,, K, fç ( b e+ ) / d fm mpm { } Algotmo computcol p solução de sstems tdgos:.. ÉTODOS INDIRETOS OU ITERATIVOS Um método é dto deto p esolve o sstem de equções lees A b qudo poduz um solução que se completmete pecs se ão fossem os eos de edodmeto dos cálculos o computdo, em um úmeo fto de pssos. Um método deto poduz um seqüêc de vetoes que delmete covege p solução, deto de um toleâc pé-especfcd. Neste poto, o leto pode questo: poque busc métodos tetvos p esolve sstems lees, se já estem os métodos detos que esolvem o poblem? Um espost p est pegut tem seu fudmeto questão d efcêc computcol. Em poblems de gdes smulções umécs em Egeh, em que os sstems de equções esolve têm um dmesão gde,.e., é gde e há um gde úmeo de equções esolve, é ecessáo que o úmeo de opeções logs sej o meo possível, fm de que o tempo totl de pocessmeto computcol sej mmzdo. N seção teo deste cpítulo, fo vsto que o úmeo de opeções totl pomdo p solução do sstem A b po um método deto é estmdo pomdmete como +,.e., O ( ). Assm, quto mo o vlo de, ms o poblem se gv. Além dsso, em um método deto, p gde ege-se gde locção de memó, o que ão ocoe com os métodos detos, um vez que s equções são pocessds seqüeclmete em cd psso do pocesso tetvo p obteção d solução. Os métodos detos, potto, pssm se vtjosos qudo: ) Há um gde úmeo de equções esolve, e

22 75 b) A mtz A é esps,.e., cotém mutos elemetos ulos. Além desses spectos, os métodos detos são usulmete estáves, poque eduzem os eos de edodmeto devdo o pocesso tetvo.... Fómul gel de teção Um método deto (ou tetvo) pode se deduzdo mtemtcmete de um fom geéc, pt d equção vetol fomuldo do poblem: A b (.) P obte um fómul gel de teção, defe-se um mtz ul do pocesso Q ( ), que deve se pesct, sedo eete cd método. Assm, pte-se d Eq. (.) como se segue: Q Q A + b (.6) Q (.7) ( Q A) + b A Equção (.7) sugee, potto, o segute pocesso tetvo: Q Q A + b ( ) (.8) A póm questão se esolvd é escolh d mtz Q. Como se deve escolhê-l? A espost é bsed os segutes equstos: ) A seqüêc [ ] deve se fclmete computd, e b) A seqüêc [ ] deve se covegete. P que A b teh solução, deve-se ssum que mtz A é ão sgul. Assm, escolhedo mtz Q, como ão sgul, pode-se esceve: ( I Q A) + Q b F( ) (.9) A solução stsfz equção segu: ( I Q A) + Q b F( ) (.4) Potto, vefc-se que Eq. (.9) epeset um teção de poto fo. Codções de covegêc I) Vej-se pmeo um codção de covegêc bsed om mtcl subodd: ) Subtdo Eq. (.4) d Eq. (.9)

23 76 ( I Q A)( ) (.4) Com qulque om vetol e mtcl, obtém-se: I Q A I Q A ) Etão, se I Q A <, coclu-se que: lm (.4) Assm, pel Eq. (.4), seqüêc [ ] covege v, e um ctéo de covegêc cetável se vefcção de < ε, ode ε epeset um toleâc péespecfcd,.e., um úmeo pequeo pómo de zeo. II) Vej-se go um codção de covegêc ltetv: ) Pte-se de: ( I Q A) + Q b (.9) ) A codção de covegêc p est teção de poto fo, pelo teoem do mpemeto cottvo, é que: F' ( ) I Q A < 4 4 T (.4) Note que α v, ode α R e v é um utoveto de T. Assm T T α v α λ v (.44) ode λ R são os utovloes de T. Potto, se: λ < lm T (.45) Dest me, codção p covegêc é que: m λ ρ ( I Q A) < (.46)

24 ode temolog ( ) ρ dc o o espectl d mtz I Q A, qu defdo como o mo utovlo em módulo d mtz I Q A. O o espectl de um mtz B qulque pode se clculdo po: o ( B) { } ( ) m λ : det( B λi) 77 ρ B (.47) A pt d Eq. (.47), etede-se que ρ ( B) é o meo úmeo tl que um cículo com ρ cetdo ogem do plo compleo, cotém todos os utovloes de B. No cso de um mtz tgul, os utovloes são os elemetos de su dgol, fto este que pode se demostdo pt d defção estbelecd pel Eq. (.47) e que é dedo como eecíco p o leto (Poblem.). Defção A é sml B, se S ão sgul, tl que: S A S B (.48) Teoem. Se A fo sml B, etão os utovloes de A são os mesmos de B. A demostção deste teoem é ded como eecíco p o leto (Poblem.). Teoem.4 Pov : Potto: O o espectl de um mtz A é meo ou gul que A. ρ ( A) ρ( A) λ A A ρ ( A) A, e dvddo ldo ldo po, obtém-se flmete ρ ( A) A.... étodos clásscos ) étodo de Rchdso Tlvez o método tetvo ms smples que poss se cocebdo sej o método de Rchdso, que utlz mtz detdde como mtz ul do pocesso, Q I. Potto, fómul de gel de teção dd pel Eq. (.9) tom fom segute: ( I A) + b + (.49)

25 78 ode b A,.e., o veto esdul obtdo teção. Codção de covegêc A codção de covegêc p o método de Rchdso é que I A <. Dus clsses de mtzes que pemtem que teção de Rchdso sej bem sucedd são s mtzes com dgos utás, dgolmete domtes em elção lh ou colu, defds po: > j j j ( ) ou ( j ) > j j (.5) A pov d Equção (.5) é ded como eecíco p o leto (Poblem.). Em coclusão, o método de Rchdso é lgebcmete smples, ms é ms esttvo quto às codções equeds p covegêc p solução de A b do que os métodos que utlzm mtzes ules do pocesso Q ( ) dfeetes d mtz detdde. e, { b },[ ],{ }, p, K, fç p, K, fç fm j b Algotmo computcol do método de Rchdso: < ε j j p, K, fç + fm fm b) étodo de Jcob j mpm { } O método de Jcob utlz um mtz dgol como mtz ul do pocesso Q. Os elemetos dess mtz dgol são os mesmos d mtz A [ ]. Potto, ( ) dvde-se mtz A em ptções, tl que A D U, com D sedo um mtz dgol, -U esttmete tgul supeo e - esttmete tgul feo. Ess dvsão é gfcmete epesetd po: j

26 79 A - D -U,,, (.5) Potto, fómul gel de teção dd pel Eq. (.9) tom fom segute: Codção de covegêc ( I D A) + D b D ( + U) + D b (.5) N teção de Jcob, os compoetes geécos d mtz Q A são ddos po j /, cujos elemetos d dgol pcpl são todos gus, potto: I Q A m / (.5) j j Assm, vefc-se que se A fo dgolmete domte, teção de Jcob covege p solução de A b p qulque veto estmtvo cl. O fto de um mtz se dgolmete domte sgfc que: j > j j j ( ) (.54) Po speção det d Eq. (.5), coclu-se que I Q A <. A covegêc do método de Jcob tmbém pode se vefcd pt do o espectl, utlzdo Eq. (.46). Assm, deve-se vefc se: m λ ρ ( I Q A) ρ( D ( + U) ) < (.55) e, { b },[ ],{ }, p, K, fç p, K, fç fm j b < ε j j p, K, fç Algotmo computcol do método de Jcob: j mpm { }

27 8 fm p fm fm u b j j j j, K, fç u Eemplo.9) Obteh fómul de teção de Jcob p o sstem de equções ddo segu: + y y 5 Solução P obte fómul de teção de Jcob p o sstem ddo, bst que sej eplctd um cógt po cd equção dd, cofome se segue: y+ + y ( 5 + ) / p c) étodo de Guss-Sedl O método de Guss-Sedl utlz um mtz tdgol feo como mtz ul do pocesso Q ( ). Os elemetos dess mtz tdgol feo são os mesmos d mtz A [ ], usdo dvsão d mtz A em ptções pesetd Eq. (.5), tl que j Q D, com D sedo um mtz dgol, e - esttmete tgul feo. Potto, fómul gel de teção dd pel Eq. (.9) tom fom segute: ( I ( D ) A) + ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) A ( D ) U + ( D ) b ( ) + ( D ) b b (.56) Codção de covegêc Fzedo ( ) D e N U, um codção de covegêc bsed o o espectl é vefcd po: m λ ρ ( I Q A) ρ( N) < (.57)

28 8 Teoem.5 Se mtz A é dgolmete domte, etão o método de Guss-Sedl covege. Pov : Sej um utoveto omlzdo, tl que, m. ( - N) λ U λ( D ) Rejdo: λ D λ + U Assm: λ d λ j j j + j + j j Aplcdo em mbos os ldos d equção e desguldde do tâgulo, obtém-se: λ d λ j j j + j + j j Como m : λ d λ j j + j + j λ d j j j + j Como A é dgolmete domte: d > j j j d j j > j + j λ d j j + j j, λ R Assm, ρ( N) <.

29 8 e, { b },[ ],{ }, p, K, fç p, K, fç fm j b Algotmo computcol do método de Guss-Sedl: < ε j j p, K, fç fm fm j mpm { } b j j j j + j j Eemplo.) Obteh fómul de teção de Guss-Sedl p o sstem de equções ddo segu: + y y 5 Solução P obte fómul de teção de Guss-Sedl p o sstem ddo, bst que sej eplctd um cógt po cd equção dd, utlzdo-se s cógts clculds pels equções teoes teção tul, cofome se segue: y + + y ( 5 + ) + / p d) étodo de sobe elção sucessv (SOR) Como o método de Guss-Sedl, o método SOR utlz um mtz tdgol feo como mtz ul do pocesso Q ( ). A dfeeç é que o método SOR cescet um ovo pâmeto o pocesso, que tu como um peso, umetdo ou dmudo cotbução dos elemetos bo d dgol de Q. A costução dess mtz tdgol feo utlz mtz A [ ], usdo dvsão d mtz A em ptções pesetd Eq. (.5), tl que Q ω ( D ω ) j, com D sedo um mtz dgol, e - esttmete tgul feo e ω, um pâmeto se escolhdo p o pocesso. Potto, usdo Eq. (.5), fómul gel de teção dd pel Eq. (.9) tom fom segute:

30 8 I ( ( D ) ) A ω ω + ( ω ( D ω) ) b ( D ω) ( D ω) ω( D ω) A) + ω( D ω) ( D ω ω( D U) ) + ω b ( - ) v ( D ω) ( ω( U + b) + ( ω) D ) - b (.58) Codção de covegêc Fzedo ( ) D ω e N ( ω)d + ωu, um codção de covegêc bsed o o espectl é vefcd po: m λ ρ ( I Q A) ρ( N) < (.59) É mpotte esslt que escolh do pâmeto ω d é tgte. Em gel, qudo teção é covegete, obsev-se que < ω < [4] (Kcd e Cheey, 99). No etto, questão de escolhe um vlo ótmo de ω p covegêc ms ápd d teção SOR é dscutd po mutos utoes [5-7] (e.g., Youg, 97; Wchpess, 966; Golub e v o, 989). e, { b },[ ],{ }, p, K, fç p, K, fç fm j b < ε j j p, K, fç fm fm ω b Algotmo computcol do método SOR: j mpm { } j j j j + j j + ( ω) Eemplo.) Obteh fómul de teção SOR p o sstem de equções ddo segu: + y y 5 Solução

31 84 P obte fómul de teção SOR p o sstem ddo, bst que sej eplctd um cógt po cd equção dd, utlzdo-se s cógts clculds pels equções teoes teção tul, cofome se segue: y + + ω( y ) + ( ω) ( ω( 5 + ) + ( ω) y ) + / p.4. EXERCÍCIOS.. Solucoe os sstems segu empegdo-se Elmção de Guss. ) b) c) d).. Ecote ves ds segutes mtzes, tvés d decomposção U: ) b) c).. Demoste que os utovloes de um mtz tgul são os elemetos d dgol pcpl..4. Demoste que os utovloes de B são os mesmos de A, se ão sgul, tl que..5. Resolv o segute sstem de equções ) Gfcmete;

32 85 b) Po Elmção de Guss, de modo eto; c) Po Elmção de Guss, ms com lgsmos sgfctvos. Utlze tmétc de edodmeto. d) Substtu os vloes obtdos o tem (c) s equções ogs e fç vefcção dos esultdos. e) Compe os esultdos obtdos os tes (), (b) e (c). O que pode se dto sobe o sstem foecdo?.6. O pocesso de dscetzção d equção dfeecl pcl que ege tsfeêc de clo, em egme pemete, p um geomet bdmesol com um t costte de geção de clo esultou o segute sstem de equções lees: Vefque se, p mtz pesetd, os ctéos de covegêc p os métodos de Jcob, Guss-Sedl e SOR, com ω,5, são vefcdos. Cso sej plc ts métodos, utlze como estmtv cl e elze quto teções com cd um dos métodos possíves, sedo utlzdos cco lgsmos sgfctvos. Clcule, tmbém, om eucled (om l ) do esíduo, o logo ds teções..7. Fç s quto pmes teções dos métodos de Jcob e de Guss-Sedel p os segutes sstems lees. Compe os esultdos obtdos àqueles poveetes do método de elmção de Guss. Empegue em seus cálculos 4 lgsmos sgfctvos. Como estmtv cl, empegue o veto. A cd teção, clcule tmbém om eucled do esíduo p o sstem..8. Desej-se obte o polômo tepoldo de ms elevdo gu que psse tvés de um ddo cojuto de potos. Um possbldde é bsed equção gel do polômo (outs téccs ms efcetes de tepolção seão vsts posteomete). Neste cso, cso se teh tês pes de potos, o polômo de ms elevdo gu obtdo é um pábol, cuj equção gel é. Cosdee, etão, os segutes cojutos de pes odedos : ) (-;5); (;5); (;) b) (-;5); (;); (;) c) (-;); (;-5); (5;-5) d) (-;-); (;-5); (4;) Obteh o sstem le se esolvdo p se detem os coefcetes, e efeetes o polômo tepoldo qudátco p cd cso. N sequêc, vefque se o método de Guss-Sedl podem se empegdo, de modo soluco cd um dos sstems ogdos.

33 86 Cso sej possível, empegue-o e, em su mpossbldde, utlze um método deto, p obteção dos coefcetes do polômo tepoldo. Pojetos:. Implemete um códgo computcol p soluco o poblem de codução de clo em um let de seção et ufome, cujo feômeo é govedo pel segute equção dfeecl: ode T é tempetu locl, é posção l, h é o coefcete de tsfeêc de clo po covecção, P é o peímeto d let, é codutvdde témc do mtel d let, A t é áe d seção tsvesl d let e é tempetu do fludo em cotto com let. Com fldde de soluco equção dfeecl, empeg-se um metodolog chmd de dscetzção, qul equção ogl é pomd po meo de um cojuto de equções lgébcs lees. Um possbldde de dscetzção é fet empegdo-se o método de dfeeçs fts, ssocdo um blço de eeg o edo de cd poto d mlh. Nesse cso, o sstem de equções lgébcs peset o segute specto: sedo N o úmeo totl de potos em que tempetu seá clculd e o espçmeto ete dos potos cosecutvos (cosdedo-se um espçmeto costte), podedo se epesso como ode é o compmeto d let. Cosdee o cso em que o compmeto d let () é de, m, tempetu d bse (T b ) é de C, tempetu do fludo ) é de C, o coefcete de covecção é de 5 W/m K, codutvdde témc do mtel d let () é de 4 W/mK, o peímeto d let (P) é, m, áe d seção tsvesl d let é de m e o úmeo de potos (N) se cosdedo é gul. Compe s soluções umécs d tempetu com solução lítc: sedo e posção do poto, que pode se vld como Sugestão: solução do sstem le de equções, empegue o lgotmo p sstems tdgos.. Em um telç esttcmete detemd pes foçs s (tção ou compessão) estão pesetes em seus membos. P detemção de ts foçs, pode-se empeg um dgm de copo lve p cd um dos ós (potos de ecoto) ete os membos.

34 87 Cosdedo-se os eos coodedos e y, p cd ó estem dus deções compoetes ds foçs e o somtóo ds foçs tutes em cd deção deve se ulo. Pode-se, ssm, ge um sstem de equções lees, que o se esolvdo, peset tods s foçs tutes sobe os elemetos d telç. Obteh o sstem de equções lees e mplemete um códgo computcol p solucoá-lo, empegdo um método deto e um método tetvo. Compe os esultdos obtdos bem como o tempo ecessáo à obteção d solução. P o método tetvo, empegue como ctéo de pd um toleâc de -9 p om, bsed o esíduo d estmtv cl (pode-se empeg p tl estmtv que todos os vloes sejm ulos).. Cosdee um sstem de etoes copldos, cuj cofgução é epesetd fgu segu. Deve-se obte s cocetções de um ddo poduto químco A, efeetes cd um dos esevtóos, sbedo-se o sstem ope em egme pemete. Q 4 Q Q Q 4 Q Q 5 Q 54 Q 45 Q Q 5 Q 5out São foecdos os segutes ddos: Q 5 g/s; Q,5 g/s; Q 4 g/s; Q 6,5 g/s; Q 4 g/s; Q 5,5 g/s; Q 4 4 g/s; Q 54 g/s; Q 45 5 g/s; Q 5,5 g/s; Q 5out 5 g/s. Sbe-se, tmbém, que cocetção do poduto químco A o fluo de etd o esevtóo é de, e que síd, cocetção do esevtóo 5, cocetção obsevd é de,5.