Teoremas-em-ação na compreensão do conceito de funções

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1 Antônio Luiz de Oliveir Brreto Instituto UFC Virtul - PROATIVA 1 Brsil lobrreto@yhoo.br Juscileide Brg de Cstro Instituto UFC Virtul - PROATIVA Brsil juscileide@virtul.ufc.br José Aires de Cstro Filho Instituto UFC Virtul - PROATIVA Brsil ires@virtul.ufc.br Resumo O presente estudo identificou, à luz d teori de Vergnud, os teorems-em-ção que emergirm n resolução de problems envolvendo o conceito de funções com ou sem medição do mbiente computcionl Winplot. A pesquis foi relizd em um escol públic d rede estdul de Fortlez com um turm de 13 lunos do 1 0 no do Ensino Médio. Os ddos constrm de entrevists e observções conduzids durnte resolução de problems medidos por um módulo de tividdes. Form identificdos teorems-em-ção reltivos à função liner f(x) = x ( 0) e os gráficos d função f(x) = x+b. Os resultdos obtidos indicrm que os lunos utilizm teorems-em-ção que judm n compreensão do conceito de funções. Plvrs chve: Álgebr, conceito de funções, teorem-ção, Winplot. O estudo de função e s tecnologis digitis A Álgebr é um tem que cus dificulddes os lunos. N pssgem d Aritmétic pr Álgebr, eles se deprm com um grnde obstáculo epistemológico, ou sej, reconhecer que letrs podem representr vlores e que símbolos mtemáticos podem ter diversos significdos. 1 Grupo de Pesquis e Produção de Ambientes Intertivos e Objetos de Aprendizgem

2 2 Outrs dificulddes são compreensão dos conceitos de vriável e função, mnipulção de letrs e noção de sistem (Vergnud, 1988). O conceito de função pode ser considerdo um tem de grnde relevânci dentro d mtemátic, devido su grnde brngênci em diverss áres de conhecimento. Desde muito cedo crinç, ind no ensino infntil, começ estbelecer correspondênci entre conjuntos de certos objetos, porém somente no ensino fundmentl e médio, o ssunto é borddo de form mis sistemtizd. Os lunos costumm presentr dificulddes n compreensão do conceito de função. De fto, eles têm dificuldde em entender vriável, ficndo muito preso o conceito de incógnit, visto com mior profundidde prtir do sétimo no do fundmentl. No próprio conceito de função, por su vez, trblh-se com outros conceitos subjcentes, sber, conjunto domínio, conjunto imgem, conjunto contrdomínio, relção, pr ordendo, dentre outros. Dess mneir, o prendiz se sente inseguro de fzer interligção entre esses conceitos e de conectr s principis representções de funções (Sierpinsk, 1992; Vinner, 1992; Rêgo, 2000). O reconhecimento do vlor d Informátic no ensino de mtemátic vem sendo comprovdo di pós di. Um ds áres em que o uso ds tecnologis mis tem sido estuddo é álgebr. Pesquiss recentes pontm à relevânci do computdor como um ferrment pr prendizgem de conceitos de funções, como observ Rêgo (2000, p.76): As principis vntgens dos recursos tecnológicos, em prticulr o uso de computdores, pr o desenvolvimento do conceito de funções serim, lém do impcto positivo n motivção dos lunos, su eficiênci como ferrment de mnipulção simbólic, no trçdo de gráficos e como instrumento fcilitdor ns trefs de resolução de problems. A utilizção de computdores no ensino provocri, médio e longo przo, mudnçs curriculres e de titude profunds um vez que, com o uso d tecnologi, os professores tenderim se concentrr mis ns idéis e conceitos e menos nos lgoritmos. Diversos estudos com mbientes computcionis discutem mnipulção simultâne de múltipls representções de spectos ligdos à função, tis como tbels, gráficos e equções (Confrey, 1992; Borb, 1999). Tis trblhos bordm, por exemplo, mnipulção dinâmic de gráficos e como isso modific equção de um função. Utilizndo dus dptções do DynGrph: DynGrph Prlelo e DynGrph Crtesino e Function Probe, Ferreir (1998) relizou um pesquis com qutro pres de estudntes brsileiros d 2ª série do Ensino Médio. Pr investigção de lguns subconceitos de função, form seleciondos: conjunto imgem, periodicidde, vrição, vértice e simetri xil. A pesquisdor pont que os softwre utilizdos juntmente com s tividdes elbords em torno deles encorjrm os lunos desenvolverem percepções, generlizções e conexões com os subconceitos estuddos. Há trblhos tmbém que envolvem relção entre representções lgébrics de função e situções reis tis como velocidde, sldo bncário, usndo softwre de simulção, sensores de movimento e outros prtos tecnológicos (Cstro-Filho & Confrey, 2001). A utilizção de recursos ligdos o computdor fvorece ligção entre muits representções de conceitos, mplindo o repertório de compreensão dos lunos. Bsedo ness perspectiv e n Teori dos Cmpos Conceituis, elbord pelo psicólogo frncês Gérrd Vergnud, um conceito pr ser compreendido deve estr inserido num vriedde de situções e

3 3 s situções, por su vez, estão envolvids por um diversidde de conceitos. Dess form, o estudo de conceito envolve um tei de conceitos e situções interligdos. Além disso, Vergnud postul que té chegr à solução de um problem, o professor precis vlorizr os cminhos percorridos pelo luno. Dinte de um situção-problem, os prendizes plicm estrtégis, mobilizm conceitos que se encontrm no interior de um esquem cognitivo, chmdos pelo pesquisdor frncês de teorem-em-ção (Mgin et l, 2002). Bsedo nos estudos de Vergnud e nos problems de prendizgem dos lunos, o objetivo dess pesquis é investigr os teorem-ção lnçdos por lunos do primeiro no do ensino médio durnte resolução de um módulo de tividdes envolvendo o conceito de função. O módulo de tividdes contém questões com ou sem o uxílio do mbiente computcionl Winplot. Apresentremos n seção seguinte fundmentção teóric, seguid d metodologi utilizd n pesquis, resultdos e discussões e por fim s considerções finis serão disposts. A Teori dos cmpos Conceituis e os Teorems-em-ção Um ds teoris mis importntes d Educção Mtemátic contemporâne é Teori dos Cmpos Conceituis, desenvolvid pelo professor e pesquisdor Gerrd Vergnud. Há muito, sus idéis têm juddo os pesquisdores entender formção dos conceitos mtemáticos por prte dos lunos, prtir d observção de sus estrtégis de ção. Em nosso pís, muits pesquiss são fundmentds por ess teori, sobretudo quels voltds pr o estudo dos Cmpos Conceituis d Álgebr. Além disso, os Prâmetros Curriculres Ncionis PCNs- de Mtemátic (1997)form influencidos por est elborção teóric. A teori dos cmpos conceituis é um teori prgmátic, ou sej, que fz pelo à noção de situção e ds ções dos sujeitos nests situções. Pr Vergnud (1993), o conhecimento mtemático emerge n resolução de problems. Em contextos de ensino-prendizgem, e, especificmente dinte de um tref mtemátic, o luno deverá enqudrá-l num conjunto de circunstâncis e condições conhecids, podendo evocr implicitmente um pensmento relevnte e perceber predicdos que crcterizem. Nesse sentido, terá su disposição um sistem de informções que possibilitrá su execução. Por outro ldo, poderá fzer nlogis com os conhecimentos dquiridos em contextos extr-escolres. Todos esses conhecimentos disponíveis o sujeito dinte de um situção são chmdos Teorem-em-ção. Esses conceitos e conhecimentos são implícitos e prticmente insuscetíveis de explicitção por um crinç ns fses iniciis d prendizgem de competêncis e conceitos mtemáticos. Entretnto, orientm o desenvolvimento d ção. Além disso, em outros momentos, crinç, o deprr-se com situções-problem, fz seu julgmento e escolhe um operção ou um seqüênci de operções pr resolver o problem. El percebe relções que, em gerl, são usds em domínio de contextos fáceis e vlores numéricos simples. Els precem de modo intuitivo ns ções dos lunos, sendo presentdos n miori ds vezes trvés d lingugem nturl. N teori de Vergnud, esss relções mtemátics são chmds de Teorem-em-ção (Mgin et l, 2002). A seguir presentremos metodologi utilizd n pesquis. Procedimentos Metodológicos A pesquis teve um cráter qulittivo, buscndo entender não somente o desempenho dos lunos, ms tmbém s forms com s quis resolvim os desfios propostos.

4 4 O grupo pesquisdo constituiu-se de 13 lunos do 1 0 no do Ensino Médio de um escol públic de Fortlez. Durnte o período d pesquis, os lunos ind não hvim sido introduzidos o conceito forml de função, specto importnte pr não interferir com os resultdos d pesquis. O mteril usdo n pesquis envolveu um módulo de tividdes e um mbiente computcionl chmdo Winplot ( Prri). O módulo de tividdes continh questões que erm resolvids pelos lunos com ou sem medição do computdor. O Winplot 2 é um progrm pr gerr gráficos de segund e terceir dimensões prtir de funções ou equções mtemátics. Apresent um quntidde grnde de ferrments pr que o luno trblhe com funções em espços bidimensionis (2D), com possibilidde de encontrr rízes, relizr combinções entre funções. Nest pesquis, um ds utilizções do Winplot foi trblhr com os lunos noção de rotção ds rets. Pr tnto, o prendiz deveri vrir o coeficiente d ret y = x e perceber os possíveis teorems-em-ção ( relção entre o ângulo de inclinção com o coeficiente ngulr, interseções com os eixos, rízes ou zeros d função). Form relizds tividdes e contém questões com ssuntos ligdos modelgem lgébric 3, s proprieddes d função fim f(x) = x+b e liner f(x) = x. Os sujeitos trblhrm em dupls, cd pr em um computdor, e tiverm medição do pesquisdor. Com o intuito de fcilitr o trblho didático, usou-se um diário de cmpo. Além disso, em cd sessão, um dupl foi escolhid pr ser grvd. Em seguid, relizou-se entrevists com todos os sujeitos d pesquis, pr identificr quis os teorems-em-ção que emergirm n resolução de problems. Tods s entrevists form grvds e em seguid trnscrits pr posterior nálise. Resultdos e discussões Ness seção, estão descrits os teorems-em-ção reltivos à função do primeiro gru f(x) = x+b. N resolução ds tividdes reltivs funções do primeiro gru f(x) = x+b, muitos teorems-em-ção form concebidos pelos lunos com ou sem o uxílio do mbiente computcionl Winplot. Est ctegori de teorems-em-ção está dividid em qutro itens: teorems-em-ção chmdos de diferenç constnte, teorems-em-ção denomindos de o rciocínio lgébrico pr determinr o sinl do coeficiente de um função f(x) =x+b, teoremsem-ção reltivos à trnsformção liner de um função liner f(x) = x ( 0) 4, teorems-em-ção reltivos os gráficos d função f(x) = x+b com o coeficiente b fixo, os quis estão descritos bixo A diferenç constnte N fse de modelgem lgébric, trblhndo com s funções do primeiro gru, os lunos, o preencherem tbel, podem perceber que os números que ficm à direit d tbel colun que const os vlores d vriável dependente presentm um diferenç constnte num seqüênci gerd prtir de um função liner. O protocolo bixo ilustr esse Teorem-emção lnçdo pelos lunos Meir (1997) define modelgem lgébric como o processo de crir equções pr representr e estudr fenômenos (físicos, sociis, econômicos etc.). 4 A função liner f(x) = x ( 0 e b = 0) é um cso prticulr ds funções do primeiro gru f(x) = x+b

5 5 Figur 1 Resolução d dupl Aprendiz 1 e Aprendiz 2 sobre questões reltivs à noção intuitiv de funções. Fonte: Sl de ul Entrevist: 1. Aprendiz 2: qunto pgrei por 5 litros? 2. Aprendiz 1: qutro, seis, sete e meio. Sete e meio! Qutro e meio com mis um e meio seis. Com mis um e meio sete e meio. 3. Pesquisdor: [Observe que lun não usou fórmul y = 1,5x; respost foi clculd com o seguinte cálculo: 6+1,5 = 7,5.] Pel entrevist cim, constt-se que utilizrm um teorem-em-ção reltivo à definição de um P.A. (Progressão ritmétic). De fto, observndo tbel, dupl percebeu um diferenç constnte de um seqüênci gerd prtir de um função liner. Como se pode perceber, ess seqüênci é um progressão ritmétic (P.A) de rzão 1,5. Pr clculr qunti correspondente 5 litros, dupl fez o seguinte cálculo: 6+1,5 = 7,5(vide linh 1 3 d entrevist). Tem-se, então, um teorem-em-ção do ssunto Progressão Aritmétic: = 1, O rciocínio lgébrico pr determinr o sinl do coeficiente de um função f(x)=x+b Neste teorem-em-ção, dinte de um gráfico de um ret, o luno substitui pontos n lei lgébric f(x) = x+b pr determinr o sinl do coeficiente.

6 6 Figur 2 Questão que vis do luno hbilidde de lidr com o gráfico d função fim f(x) = x +b. Fonte: Sl de Informátic Neste momento, o luno respondeu corretmente que o sinl de er negtivo. Pr tnto, ele substituiu os vlores de f(x), x e b n função f(x) = x+b, respectivmente, por 0; 1,5 e 3 obtendo equção 0 = 1,5x+3, encontrndo x = -2. O prendiz sbe que o gráfico d função é do primeiro gru [f(x) = x+b] e que o coeficiente liner b é igul 3. Vej que tem noção geométric do zero ou riz d função porque substituiu vriável x por 1,5 e vriável y por zero. Assim, o prendiz utilizou o instrumentl d Álgebr pr sber o sinl do coeficiente. Entrevist: 1. Pesquisdor: Aprendiz, você certou! Como foi que você fez qui! 2. Aprendiz: Eu observei o gráfico onde o gráfico interceptv o eixo x seri x e onde interceptou o eixo y seri o b! E í eu substituo. Aí chei o. 3. Pesquisdor: Por que você igulou vriável dependente y igul zero? 4. Aprendiz: Porque tod vid que toc no x, o y é zero. Teorems-em-ção reltivos à trnsformção liner O prendiz lnç mão de Teorems-em-ção bsedos n definição e proprieddes d função liner f(x) = x, 0. A tbel mostr distânci d percorrid por um crro que vij um constnte de 75 km/h durnte t hors. Se t = 6 h, qunto vle d? Tbel 1. Tbel que express distânci em função do tempo T(h) D(km) Fonte: Sl de ul. Entrevist:

7 7 Aprendiz: 450 km. Pesquisdor: Como foi que chegou esse resultdo? Aprendiz: 4 é 300 e 2 é 150 [pensndo] 2 hors mis i ser mis 150. Totl: 450 Km A únic função do primeiro gru que é um T.L. é função liner. De fto, f(k 1 )=(k 1 )=k( 1 )=kf( 1 ) e f( 1 +b 1 )=( 1 +b 1 )= 1 +b 1 =f( 1 )+f(b 1 ). Observ-se que o prendiz evocou um teorem-em-ção. Com efeito, como f(4) = 300 e f(2) = 150 então: f(6) = =450 e f(6)=f(4+2)=f(4)+f(2). Teorems-em-ção reltivos o gráfico d função do primeiro gru f(x) = x+b. Teorems-em-ção reltivos os gráficos d função f(x) = x+b com o coeficiente b fixo Concebendo este teorem-em-ção, o luno descobre invrintes reltivos à fmíli de rets y=x+b, onde o coeficiente ngulr vri e o coeficiente b é fixo. A situção-problem é mesm do item 4.2 (presentndo um gráfico de um função do primeiro gru com coeficiente ngulr negtivo, pede-se o sinl do coeficiente ). O prendiz responde errdmente que o coeficiente ngulr é positivo. O pesquisdor sugere que o luno trblhe com um fmíli de funções do tipo f(x) = x+2 no mbiente computcionl Winplot. Figur 3 - Fmíli de rets y=x+2 com vrição do de 1 5. Fonte: Sl de Informátic

8 8 Figur 4 - Fmíli de rets y=x+2 com vrição do de Fonte: Sl de informátic Neste momento, o Aprendiz, utilizndo o comndo fmíli do mbiente computcionl Winplot, fz váris simulções com fmíli de rets y=x+2. Esse procedimento é dividido em dois momentos. No primeiro momento, ele vri o prâmetro de 1 5 (vide figur 3). No segundo momento, por su vez, vri o prâmetro de -5-1 (vide figur 4). Entrevist: 1. Entrevistdor: Qul é diferenç dess fmíli pr outr? 2. Aprendiz: Qundo é negtivo vi interceptr pel direit! Qundo é positivo vi interceptr pel esquerd! 3. Entrevistdor: E í su respost está corret ou errd? 4. Aprendiz: Errd, o é negtivo. x Sbe-se que o zero ou riz rel d função y=x+b é b = Primeiro cso: Qundo >0 e b>0. b x =. De fto, se y=0 temos 0=x+b. Pr o teorem-em-ção lnçdo pelo luno nlis-se dois csos. b Se > 0 e b > 0 b > 0 x = < 0. Assim, qundo o zero ou riz d função fim é negtivo e o vlor do coeficiente liner b é positivo, ret intercept, respectivmente, no eixo horizontl x em um bsciss negtiv e eixo verticl y em um ordend positiv, interceptndo pel esquerd. Segundo cso: Qundo <0 e b>0. b Se < 0 e b > 0 b < 0 x = > 0. Assim, qundo o zero ou riz d função é positivo e o vlor do coeficiente liner b é positivo, ret intercept, respectivmente, o eixo horizontl x num bsciss positiv e eixo

9 9 verticl y num ordend positiv, interceptndo pel direit. Portnto, o teorem-em-ção lnçdo pelo luno está correto pr b>0. Pr o cso do coeficiente b negtivo, nálise é nálog e foi feit e discutid com os lunos. Figur 5. Teorem-em-ção concebidos pelos lunos. Fonte: Sl de Informátic Por intermédio desse gráfico, observ-se que um dos Teorems-em-ção menos utilizdos foi quele denomindo o rciocínio lgébrico pr determinr o sinl do coeficiente de um função do primeiro gru f(x) = x+b (TeA_2) um vez que se bsei num esquem de rciocínio bstnte sofisticdo. De fto, o invés de o prendiz determinr o sinl do coeficiente trvés do crescimento e decrescimento d função ou nlisr trvés do ângulo de inclinção e, por conseguinte pelo coeficiente ngulr, ele substitui um ponto conhecido (x 1, x 2 ) n função f(x) = x+b e determin o sinl do coeficiente. Este teorem em ção deve ser incentivdo pelo professor em prátics pedgógics destindos o estudo do conceito de funções e Geometri Anlític. Os teorems-em-ção mis utilizdos form àqueles relciondos o gráfico d função do primeiro gru f(x) = x+b (TeA-4). Ms muits dentre ests estrtégis estão prcilmente correts, um vez que o luno se fix muito nos pontos de interseção do gráfico d função com os eixos horizontl e verticl e prtir dí começ fzer inferêncis. Isto já tinh sido percebido nos estudos de Ferreir (1998). Já o precimento do teorems-em-ção bsedo ns trnsformções lineres (TeA_3) é interessnte, pois poderá ser trblhdos com os lunos já no primeiro no do Ensino Médio. Deve-se slientr que est bordgem deve ser trblhd inicilmente nível intuitivo e depois nível forml com um bordgem condizente o nível de estrutur cognitiv do luno. Já o teorem-em-ção bsedo ns diferençs constnte (TeA_1) é um indicção de que o se trblhr com s múltipls representções, o ensino poderá ter bons resultdos propicindo os lunos um mbiente rico de investigções. Além disso, o conteúdo de progressão ritmétic pode ser trblhdo concomitntemente com o estudo de funções. De fto, um progressão ritmétic é um sequênci que pode ser enqudrd como um função cujo domínio é o conjunto dos números nturis. Outrs considerções sobre pesquis relizd serão feits seguir.

10 10 Considerções Finis Muitos conhecimentos preendidos pels crinçs não são usdos oportunmente n resolução de problems (teorems que não são teorems-em-ção), e o contrário, existem conhecimentos intuitivos d crinç que nunc tomm form de verddeiros enuncidos (teorems-em-ção que não se tornm teorems). Assim, o professor tem um tref importnte de perceber esss nunces de pensmentos e fvorecer trnsformção dos teorems-em-ção e vice-vers (Less, 1996). Nest pesquis, medidos por um módulo de tividdes que continh questões referentes o conceito de funções, lguns teorems-em-ção form identificdos. Identificr os teoremsem-ção utilizdos pelos lunos n resolução de problems jud entender como eles constroem o conhecimento. Além disso, esss diferentes forms de rciocínios devem ser compreendids e levds em cont pelo professor ns hors em que estão plnejndo s sus uls, pois pode tornr su intervenção mis eficiente. Atrvés dos teorems-em-ção, o professor ssumirá o ppel de pesquisdor, dignosticndo os conhecimentos dquiridos por seus lunos, e outros que poderão ser desenvolvidos trvés de outrs situções-problem ou té mesmo mplindo os já utilizdos (Mgin et ll, 2001). Muits pesquiss pontm que prendizgem do conceito de funções pode ser uxilid pelo computdor. (Ferreir, 1998; Rêgo, 2000; Cstro-Filho, 2001). Primeirmente, trvés de seu impcto visul, o luno se sente mis motivdo o resolver um determind situçãoproblem com utilizção do computdor. Por outro ldo, utilizndo os seus comndos, rpidmente podem ser trçdos vários gráficos com sus tbels correspondentes, evitndo cálculos lgébricos cnstivos e desnecessários. Em segundo lugr, o trblhr com s múltipls representções oferecids pelo softwre educcionl, o prendiz tem mis possibiliddes de produzir significdos os conteúdos ligdos o conceito de função, um vez que ele pode interligr esss representções, mplindo o seu repertório de compreensão (Borb, 1999; Brreto; Cstro-Filho, 2008). Apesr de termos desenvolvidos um módulo de tividdes pr compreensão do conceito de funções e, em prticulr, s funções do primeiro gru, nosso estudo se limitou poucos lunos. Outrs pesquiss devem ser desenvolvids, objetivndo mplir s tividdes pr outros tipos de funções, quntidde de lunos e que investiguem questão d interção socil entre os lunos n prendizgem do conceito de função. Bibliogrfi e Referêncis Brreto, A. L. O.; Cstro-Filho, J.A. (2008). O estudo de funções medido por um objeto de prendizgem. In: Anis II Simpósio Interncionl de Pesquis em Educção Mtemátic (SIPEMAT), Recife : Progrm de Pós-Grdução em Ensino de Ciêncis, v. 1. p Borb, M. C.(1999) Tecnologis informátics n educção mtemátic e reorgnizção do pensmento. IN: Bicudo, M. A. V. Pesquis em educção mtemátic: concepções e perspectivs. São Pulo: Editor UNESP. Cstro-Filho, J. A.; Confrey, Jere.(2001) Interctive digrms: investigting jv-pplets for lerning mthemtics. In: XXI Congresso d Sociedde Brsileir d Computção, Fortlez. Cstro-Filho, J. A.(2001b) Novs tecnologis e o ensino de função, tx de vrição e cumulção, In: Anis do VII ENEM. Rio de Jneiro: ENEM.

11 11 Confrey, J. (1992). Using computers to promote students' inventions on the function concept. In S. Mlcom, L. Roberts, nd K. Sheingold (eds.). The yer in school science (pp ). Wshington, DC : Americn. Ferreir, Verônic G. Gomes (1998). Aproveitndo o potencil dinâmico do computdor no ensino de função mtemátic.in: Anis do XXIII EPEN, Ntl: UFRN, v. 19, p Less, M.M.L. (1996). Blnç de dois prtos e problems verbis como mbientes didáticos pr inicição à álgebr: um estudo comprtivo. Dissertção de Mestrdo. UFPE. Recife, Mgin, S.; Cmpo, T.M.M.; Nunes, T. e Gitirn, V. (2001). Repensndo A Adição, Subtrção: Contribuições d Teori Dos Cmpos Conceituis.3º Ed. São Pulo: Proem. Meir, Lucino L. (1997). Educção lgébric e resolução de problems: significdos e modelgem lgébric Acessdo em 17 /fev 2008, disponível: Rêgo, Rogéri Gudêncio.(2000). Um estudo sobre construção do conceito de função Tese (Doutordo em Educção) Fculdde de Educção, Universidde Federl do Rio Grnde do Norte UFRN. Sierpinsk, A. (1992). On understnding the notion of function. In: Dubinsky, E; Hrel, G. (Ed.). The concept of function - spects of function nd pedgogy. Nov York: MAA Notes, v.25. p Vergnud G. (1988). Theoricl frmewooks nd empiricl fcts in the psychology of mthemtics eduction. In: INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION, 6.,Budpest. Proceedings of the Interntionl Congress on Mthemticl Eduction. Budpest: ICME, p Vergnud, G. (1993). Teori dos cmpos conceituis. In: Nsser, L. (Ed.). Seminário Interncionl de Educção Mtemátic, 1, Rio de Jneiro. Anis... Rio de Jneiro: SIEM, p Vinner, S. (1992). The function concept s prototype for problems in mthemtics lerning. In: Dubinsky, E; Hrel, G. (Ed.). The concept of function - spects of function nd pedgogy. Nov York: MAA Notes. v.25. p