Intervalos de confiança baseados em Deviance para os hiperparâmetros em modelos estruturais. Thiago Barbosa Ceccotti

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1 Inervalos de confiança baseados em Deviance para os hiperparâmeros em modelos esruurais Thiago Barbosa Ceccoi

2 Universidade Federeal de Minas Gerais Insiuo de Ciências Exaas Deparameno de Esaísica Inervalos de confiança baseados em Deviance para os hiperparâmeros em modelos esruurais Thiago Barbosa Ceccoi Disseração apresenada ao Programa de Pós-Graduação em Esaísica da Universidade Federal de Minas Gerais para a obenção do íulo de Mesre em Esaísica.

3 Resumo Ese rabalho se propõe a comparar diferenes procedimenos para a obenção de inervalos de confiança para os hiperparâmeros em modelos esruurais. As meodologias geralmene empregadas incluem méodos baseados na disribuição assinóica dos esimadores de máxima verossimilhança, assim como inervalos uilizando a écnica boosrap. Conudo, o primeiro méodo apresena problemas de froneira para parâmeros de variância, além de não ser eficaz com dados não gaussianos e o segundo em um alo cuso compuacional. Ese rabalho apresena rês méodos para a consrução de inervalos de confiança baseados em verossimilhança. O primeiro é uma aproximação de uma região de confiança a parir do ese da razão de verossimilhança, o segundo é um inervalo de confiança marginal e o erceiro é baseado na função signed roo deviance profile. Eses méodos visam conornar problemas do méodo assinóico no caso de pequenas amosras e problemas de froneira do inervalo, além de serem alernaivas compuacionalmene menos cusosa que o méodo boosrap. É feia uma comparação, via simulação Mone Carlo, buscando esabelecer as vanagens e desvanagens de cada méodo. De maneira geral, pode-se concluir que o méodo assinóico não é recomendado para casos não-gaussianos e que o inervalo signed roo deviance profile é o méodo com melhores coberuras e apresena um empo compuacional expressivamene menor que o inervalo boosrap, ambém uilizado na lieraura para a consrução de inervalos de confiança. Esa disseração inroduz na lieraura um novo ipo de inervalo de confiança para os hiperparâmeros dos modelos esruurais, onde além de se eviar os problemas de froneira do méodo assinóico ganha-se em empo compuacional frene ao méodo alernaivo boosrap, sem perder a assimeria presene nese. Eses novos inervalos apresenam ambém melhores coberuras para os hiperparâmenros e funcionam muio bem para séries emporais pequenas. i

4 Absrac The objecive of his work is o compare differen confidence inerval procedures for hyperparameers of srucural models. The usual procedures include he asympoic mehod, based on he asympoic disribuiion of he maximum likelihood esimaor, as well as a boosrap based confidence inerval. This work presens hree mehods based on he likelihood es. The firs is a marginal aproximaion of confidence regions, he second is based on he profile deviance funcion and he hird mehod is he Signed roo Deviance Profile. Those mehods avoid he problems associaed wih he asympoic mehod for small samples, as inervals generaed ouside he parameric space. They are also an alernaive for boosrap mehods, being compuaionaly more efficien. A comparison is performed, via Mone Carlo simulaion, in order o esablish advanages and disadvanages for each mehod. The resuls show ha hese mehods possess a beer coverage rae han he asympoic and boosrap procedures. ii

5 Agradecimenos Expresso aqui minha graidão a odos os professores que me ajudaram e moivaram nese caminho, principalmene à Prof a. Glaura Franco e ao Prof. Thiago Rezende meus orienadores de mesrado. Agradeço aos colegas de mesrado e aos funcionários da secrearia, sempre disposos a ajudar e comparilhar experiências. Às iniuições de fomeno à pesquisa que fazem possível uma melhora cienífica no Brasil. Agradeço ambém a paciência, compreensão e ajuda de amigos e familiares. iii

6 Wha! you have solved i already? Well, ha would be oo much o say. I have discovered a suggesive fac, ha is all. I is, however, very suggesive. The deails are sill o be added. Sherlock Holmes, Sign of Four iv

7 Lisa de Figuras 2.1 Exemplo MNL. Série do consumo de elericidade na região nordese do Brasil Exemplo MTL. Série do logarimo naural do índice do cuso de vida na cidade de São Paulo Exemplo MEB. Série do logarimo naural da precipiação de SO 4 em Nova Iorque Exemplo de consrução da RC para (σ 2 η, σ 2 ɛ ) usando a RV Exemplo de consrução da RC aproximada para (σ 2 η, σ 2 ɛ ) usando o ICM, represenado pelo reângulo Exemplo de consrução do ICD para o parâmero σ 2 η Exemplo de consrução do ICS para o parâmero σ 2 η Exemplo de consrução do ICS para o parâmero σ 2 η Gráfico do ajuse (linha racejada) do MEB à série da log-receia arrecadada pelas EAPC (linha conínua) Hisograma para as esimaivas de σ 2 η obidas nas séries boosrap Análise de resíduos do modelo ajusado à série EAPC Série da log-incidência de casos de dengue em Belo Horizone Hisograma dos dados da Dengue Gráfico do ajuse (linha racejada) do MEB à série da Dengue (linha conínua) Análise de resíduos da série ajusada v

8 Lisa de Tabelas 5.1 Coberuras dos inervalos proposos para uma amosra de amanho n = Resulados da simulação MC para o MNL com erros Normais para as observações Resulados da simulação MC para o MTL com erros Normais para as observações Resulados da simulação MC para o MEB com erros Normais para as observações Tempo, em minuos, necessário para 1000 simulações dos IC nos modelos MNL, MTL e MEB Resulados da simulação MC para o MNL com erros Gama para as observações Resulados da simulação MC para o MTL com erros Gama para as observações Resulados da simulação MC para o MEB com erros Gama para as observações Tempo, em minuos, necessário para 1000 simulações dos IC nos modelos MNL, MTL e MEB com erro Gama nas observações Esimaiva de máxima verossimilhança dos hiperparâmeros, mediana, média e erro padrão das esimaivas dos hiperparâmeros das séries boosrap Inervalos de confiança para a série da log-receia arrecadada pelas EAPC Esimaiva de máxima verossimilhança dos hiperparâmeros, mediana, média e erro padrão das esimaivas dos hiperparâmeros das séries boosrap Inervalos de confiança para a série da log-incidência dos casos de dengue em Belo Horizone vi

9 Abreviauras EMV Esimador de Máxima Verossimilhança ME Modelos Esruurais MNL Modelo de Nível Local MTL Modelo de Tendência Linear Local MEB Modelo Esruural Básico FEE Forma de Espaço de Esados FK Filro de Kalman BFGS Algorimo Broyden-Flecher-Goldfarb-Shanno ICA Inervalo de Confiança Assinóico ICB Inervalo de Confiança Boosrap Percenílico IC Inervalo de Confiança RC Região de Confiança ICM Inervalo de Confiança Marginal ICD Inervalo de Confiança baseado na esaísica Deviance ICS Inervalo de Confiança Signed Roo Deviance Profile MC Mone Carlo vii

10 Sumário 1 Inrodução 2 2 Modelos Esruurais Inervalos de Confiança Assinóicos Inervalos de Confiança Boosrap Inervalos de confiança baseados na função deviance Inervalo de Confiança baseado na esaísica Deviance Inervalo Signed Roo Deviance Profile Méodos compuacionais Méodo numérico para cálculo da mariz de informação de Fisher Méodo Pégaso para obenção de raízes Busca Binária Esudo Mone Carlo Resulados para os erros com disribuição gaussiana Resulados para erros com disribuição não-gaussiana Aplicações Receia arrecadada pelas EAPC Log-incidência de casos de dengue em Belo Horizone Conclusões 35 Referências 35 1

11 Capíulo 1 Inrodução Uma série emporal é um conjuno de dados coleados e ordenados no empo. Séries emporais aparecem consanemene no coidiano, por exemplo em dados meeorológicos, axas de desemprego e preços de ações, assim como nas áreas de processamenos de sinais, finanças e para moniorameno epidemiológico, enre ouras. Exisem várias meodologias para a modelagem dese ipo de dados. Enre as mais conhecidas, desacam-se o alisameno exponencial, desenvolvido por Hol(1957) e Winers(1960), os modelos de Box & Jenkins (1976) e os modelos esruurais (Harvey,1989). Por ser um modelo que decompõe a série em componenes não-observáveis como sazonalidade, nível e endência, os modelos esruurais êm uma inerpreação mais inuiiva. Uma comparação da previsão de valores fuuros usando os modelos esruurais e os de Box & Jenkins mosra bons argumenos a favor do primeiro, segundo rabalho de Harvey & Todd (1983), um fao imporane, viso que a modelagem de séries emporais preende, em geral, prever valores fuuros. O mesmo rabalho mosra que a meodologia de Box & Jenkins pode apresenar problemas em séries pequenas gerando um modelo inapropriado. Assim, nese rabalho serão uilizados os modelos esruurais (Harvey, 1989). Eses modelos uilizam a forma de espaço de esados e o filro de Kalman (Kalman, 1960) para a consrução da função de verossimilhança. Sob a abordagem Bayesiana eses modelos são conhecidos como modelos dinâmicos (Wes & Harrison, 1997). As variâncias das disribuições desas componenes não-observáveis, de nível, endência, sazonalidade e erro, são dias hiperparâmeros. Ese esudo foca na consrução de inervalos de confiança para eses hiperparâmeros. A forma usual para calcular inervalos de confiança para os hiperparâmeros é baseada na disribuição assinóica do esimador de máxima verossimilhança (EMV). Conudo, para amosras pequenas, o EMV pode não saisfazer as propriedades assinóicas (Pfanzagl, 1994). Ese problema já foi discuido para o caso dos modelos esruurais em Quenneville & Singh (2000) e em Pfeffermann & Tiller (2005). Sendo assim, é necessário buscar ouras maneiras para calcular inervalos além do méodo assinóico. Uma oura opção para consrução de inervalos de confiança é uilizar o méodo de reamosragem boosrap (Efron, 1979). Uma adapação dese aos modelos esruurais, e ouros 2

12 modelos que possam ser escrios na forma de espaço de esados, foi feia por Soffer & Wall (1991). O rabalho deses auores possibiliou a consrução de inervalos de confiança boosrap para os parâmeros de esado (Pfeffermann & Tiller, 2005; Rodriguez & Ruiz, 2012), para as observações fuuras (Rodriguez & Ruiz, 2009) e para os hiperparâmeros (Franco e. al, 2008). Uma oura possibilidade para obenção de inervalos de confiança é baseada na disribuição assinóica do ese da razão de verossimilhança (Wilks, 1938), que é mais robuso para amosras pequenas. Ese méodo é conhecido como inervalo de confiança baseado na função deviance. Espera-se que eses inervalos sejam compuacionalmene mais eficienes que os consruídos pelo méodo boosrap, que necessia um processo de maximização da verossimilhança para cada reamosra. Esa eficiência é de imporância para análises de séries econômicas, por exemplo, onde decisões devem ser omadas em empo hábil. Além disso, ese méodo é araivo, pois permie que os inervalos de confiança sejam assiméricos e não enham problemas de froneira como os inervalos de confiança assinóicos. Ese méodo baseado na verossimilhança já foi uilizado na lieraura em análise de dados genéicos (Neale & Miller, 1997), para resolver o problema de separação em regressões logísicas (Heinze & Schemper, 2002), para a consrução de inervalos na presença de parâmeros de perurbação (Rolke e al., 2005) e comparado com o méodo boosrap para esimadores de população do ipo capura-recapura (Evans e al, 1996; Gimenez e al., 2005), enre ouros. Conudo, eses inervalos ainda não foram uilizados em modelos esruurais. Além do inervalo baseado na função deviance, serão avaliados ambém os inervalos consruídos via signed roo deviance profile (Chen & Jennrich, 1996). Uma vanagem dese méodo sobre o de verossimilhança usual é que os inervalos reornados por ele são de fácil inerpreação e não necessiam de um processo de maximização em dois passos. Ese ambém é um méodo ainda não aplicado aos modelos esruurais. Desa forma, ese rabalho preende aplicar e comparar os diversos méodos ciados acima quano à coberura e ampliude dos inervalos de confiança para os hiperparâmeros em modelos esruurais, via simulações Mone Carlo. Preende-se ambém esimar o empo compuacional gaso por cada um deles, faciliando a escolha deses méodos em casos reais onde empo de processameno é uma variável imporane. Esa disseração raará no Capíulo 2 sobre os Modelos Esruurais: a forma de espaço de esados e o filro de Kalman, consrução de inervalos de confiança assinóicos e os inervalos boosrap. No Capíulo 3 é feia uma descrição sobre os inervalos baseados em verossimilhança e o signed roo deviance profile. Seguindo com uma explicação dos méodos compuacionais no Capíulo 4 e simulações no Capíulo 5, aplicações a séries de dados reais no Capíulo 6 e concluindo no capíulo final com uma comparação enre os méodos. 3

13 Capíulo 2 Modelos Esruurais A decomposição de uma série emporal y via Modelos Esruurais (ME), em ermos de suas componenes não observáveis é dada por: y = µ + β + γ + ɛ ; ɛ N(0, σ 2 ɛ ), para = 1, 2,..., n, onde µ represena o nível, β sua endência e γ a componene sazonal de y. Os modelos mais simples são o Modelo de Nível Local (MNL), o Modelo de Tendência Linear local (MTL) e o Modelo Esruural Básico (MEB), já revisados em dealhe por Harvey (1990). Uma série y, = 1, 2,..., n que, aparenemene, oscile em orno de um nível consane pode ser simplesmene modelada por um MNL (ver Figura 2.1) y = µ + ɛ ; ɛ N(0, σ 2 ɛ ) µ = µ 1 + η ; η N(0, σ 2 η) onde ɛ e η são não-correlacionados para = 1, 2,..., n. Figura 2.1: Exemplo MNL. Série do consumo de elericidade na região nordese do Brasil. 4

14 Caso ese nível varie linearmene com o empo, uma modelagem via o MTL é indicada (ver Figura 2.2) y = µ + ɛ ; ɛ N(0, σɛ 2 ) µ = µ 1 + β 1 + η ; η N(0, ση) 2 β = β 1 + ξ ; ξ N(0, σξ) 2 onde ξ,ɛ e η são muuamene não-correlacionados para = 1, 2,..., n. Figura 2.2: Exemplo MTL. Série do logarimo naural do índice do cuso de vida na cidade de São Paulo. O MEB é o MTL acrescido de uma componene sazonal (ver Figura 2.3) y = µ + γ + ɛ ; ɛ N(0, σ 2 ɛ ) µ = µ 1 + β 1 + η ; η N(0, σ 2 η) β = β 1 + ξ ; ξ N(0, σ 2 ξ) γ = γ 1... γ (s 1) + ω ; ω N(0, σ 2 ω) onde s indica o número de períodos sazonais, e ω, ξ,ɛ e η são muuamene não-correlacionados para = 1, 2,..., n. Generalizando, pode-se escrever eses modelos básicos na forma de espaço de esados (FEE), o que reduz o número de equações e abrange uma classe maior de modelos, como a regressão linear, modelos ARMA e aé mesmo modelagem de séries mulivariadas. As equações da FEE são: y = z T α + ɛ ; ɛ N(0, h ) α = T α 1 + R η ; η N(0, Q ), onde = 1, 2,..., n, η é um veor de ruídos não correlacionados, com mariz de covariância Q diagonal e independene de ɛ ; T e R são marizes que indenificam o modelo e z um veor que idenifica o modelo. (1) 5

15 Figura 2.3: Exemplo MEB. Série do logarimo naural da precipiação de SO 4 em Nova Iorque. Noe que α é o veor que indica os componenes não observáveis do modelo, que podem ser esocásicos ou deerminísicos. A equação para y é conhecida como equação das observações e, para α, equação de esado. Além disso o veor de esados inicial α 0 é al que E(α 0 ) = a 0, var(α 0 ) = P 0 e E(η α ) = 0,. Nese rabalho é suposa homocedasicidade, h = h e Q = Q. Esudos sobre a modelagem e idenificação de modelos heeroscedasicos podem ser enconrados em Broo & Ruiz (2009). Para ilusrar a FEE, serão apresenados os MNL, MTL e MEB nesa forma. A FEE aplicada ao MNL é escria com as seguines variáveis: z T = 1, ɛ = ɛ, h = σ 2 ɛ, R = 1, T = 1, η = η, Q = σ 2 η, α = µ. Já para o MTL, fica claro que T e Q são marizes e α e z veores: z T = [1 0], ɛ = ɛ, h = σɛ 2, R = 1, [ ] [ ] [ ] 1 1 η σ 2 T =, η 0 1 =, Q ξ = η 0 0 σξ 2, α = [ µ β ]. 6

16 Finalmene, o MEB com s períodos sazonais apresena as seguines marizes: ση 2 µ σ 2 ξ 0 β σω 2 γ Q = 0, α = γ 1, h = σɛ 2, γ s+2 (s+1)x(s+1) (s+1)x η ξ 0 T = ω, η =, z T 1 = (s+1)x1 (s+1)x(s+1) R = 1, ɛ = ɛ, onde s é o número de períodos sazonais e 0 uma mariz de zeros. O Filro de Kalman (FK) (Kalman,1960) decompõe a série aravés de equações recursivas que aualizam sequencialmene o veor de esado α, não observado, baseado na informação Y 1 = {y 1, y 2,..., y 0 } disponível aé o empo 1. A esperança e a variância condicionais de α e y são dadas, respecivamene, por: a 1 = E(α Y 1 ) = T E(α Y ) = T a 1 P 1 = var(α Y 1 ) = T var(α 1 Y 1 )T T + R Q R T = T P 1 T T + R Q R T E(y Y 1 ) = z T a 1 F = var(y Y 1 ) = z T P 1 z + h. Para se ober as equações de aualização usa-se propriedades da disribuição normal mulivariada. [ Sejam] X e Z variáveis aleaórias ais que (X, Z) N(µ, Σ), onde µ = (µ 1, µ 2 ) T Σ11 Σ e Σ = 12. Enão, (X Z = c) N(µ Σ 21 Σ 1 2, Σ 1 2 ), onde µ 1 2 = µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 (c µ 2 ) 22 e Σ 1 2 = Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21. Assim, omando X = α e Z = y obém-se as equações de aualização dos esimadores para α condicionados na informação disponível, Y : T (s+1)x1, a = E(α Y ) = a 1 + T 1 +1K υ P = var(α Y ) = P 1 P 1 z F 1 z T P 1, onde υ = y z T a 1 é o erro de previsão a um passo à frene e K = T +1 P 1 z F 1 mariz de ganho de Kalman. é a 7

17 Assim, segundo Harvey (1989) as equações simplificadas para o FK são: F = z T P 1 z + h K = T +1 P 1 z F 1 υ = y z T a 1 a +1 = T +1 a 1 + K υ P +1 = T +1 P 1 T T +1 K F K T + R +1 Q +1 R T +1. Com o FK é possível consruir a função de verossimilhança, de onde pode-se esimar os hiperparâmeros ψ = (h, Q 11,..., Q (p 1)(p 1) ) T ɛ R p +, onde p é o número de parâmeros do modelo. No caso do MEB, por exemplo: ψ = (h, Q 11, Q 22, Q 33 ) = (σ 2 η, σ 2 ɛ, σ 2 ξ, σ2 ω). A função de log-verossimilhança obida pelo FK é: logl(ψ; Y ) = n 2 log(2π) 1 2 Σn =1log F 1 υ 2 Σn 2 =1, F que por ser não-linear em ψ deve ser maximizada via méodos numéricos. Nese rabalho é usado o algorimo Broyden-Flecher-Goldfarb-Shanno (BFGS) (Shanno,1970). 2.1 Inervalos de Confiança Assinóicos Obidas as esimaivas de máxima verossimilhança para ψ, denoadas por ˆψ, pode-se consruir o inervalo de confiança assinóico (ICA). Usando o fao de que para grandes amosras ˆψ N(ψ, I 1 (ψ)), onde I(ψ) é a mariz de informação de Fisher e I kk seus elemenos da diagonal principal, o ICA para ψ k ; k = 1, 2,..., p, com nível 100(1 ρ)% é dado por: [ ˆψk z ρ/2 I 1 kk ( ˆψ); onde z ρ/2 é o quanil ρ/2 da Normal padrão. ˆψk + z ρ/2 I 1 kk ( ˆψ)) ], Conudo, o cálculo da mariz de informação de Fisher não é uma arefa rivial e para modelos complexos, como os discuidos nese rabalho, uiliza-se uma aproximação desa mariz para o cálculo do ICA. Harvey (1989) mosrou que a mariz de informação de Fisher esperada para os modelos esruurais é dada por: I ij (ψ) = 1 2 [ ( r F 1 F F 1 F )] ψ i ψ j [ + E T υ ψ i F 1 υ ] ; ψ j onde i, j = 1, 2,..., p, = 1, 2,..., n e r(a) é o raço da mariz A. Para o cálculo desa mariz, Harvey(1989) propôs uma forma numérica para o cálculo das derivadas de υ e F, faciliando assim o cálculo da mariz de informação. Ese méodo é 8

18 apresenado em dealhes no Capíulo 4. Uma oura aproximação baseada em um algorimo recursivo, para o cálculo da mariz de informação de Fisher, pode ser visa em Cavanaugh & Shumway (1996). Além da dificuldade com o cálculo da mariz hessiana, é esperado que, para amosras pequenas, as propriedades assinóicas do EMV não sejam saisfeias. Assim o ICA pode apresenar problemas diversos, como inervalos com limies fora do espaço paramérico o que é conhecido como problema de froneira. Além diso, por ser um inervalo simérico, pode não capar possiveis assimerias da disribuição do EMV. Para sanar o problema de froneira cosuma-se uilizar ransformações nos parâmeros, consruindo-se inervalos para ese novo parâmero ransformado, por exemplo via méodo dela, e depois reescalando ese inervalo para volar à escala original. Uma ransformação comum para parâmeros de variância, σ 2, é a uilização do logarimo naural. Uma vanagem desa ransformação é reduzir a assimeria da função de verossimilhança na direção de σ 2. Além disso, aplicando a função exponencial para reornar o inervalo para a escala de σ 2 obém-se um inervalo de confiança (IC) denro do espaço paramérico. Assim o ICA para log( ψ k ); k = 1, 2,..., p, com nível 100(1 ρ)% é dado por: [ log( ˆψ k ) z ρ/2 I 1 kk ( ˆψ)/(2 ˆψ k ); log( ˆψ k ) + z ρ/2 I 1 kk ( ˆψ)/(2 ˆψ ] k ), onde z ρ/2 é o quanil ρ/2 da Normal padrão. O ICA ransformado, para ψ, em como exremos (e LI ) 2 e (e LS ) 2, onde LI é o limie inferior do ICA para log( ψ k ) e LS é o limie superior dese mesmo inervalo. Esa abordagem apresena, conudo, um problema quando o valor da esimaiva ˆψ k é muio pequeno. Nese caso, ela pode gerar inervalos para ψ k com valores exremos, por exemplo endendo a infinio. Frene a esas dificuldades do ICA, ais como problemas de cálculo numérico, de froneira e amosras pequenas, ouros méodos para consrução dos IC são esudados. 2.2 Inervalos de Confiança Boosrap É esperado que, para amosras pequenas, o EMV não aenda às propriedades assinóicas, logo o ICA pode apresenar vários problemas. Uma alernaiva neses casos é uilizar o méodo boosrap para consruir a disribuição empírica do EMV. O boosrap é um méodo de reamosragem proposo por Efron (1979). Para al reamosragem exisem duas opções: reamosrar da disribuição geradora dos dados, caso conhecida, ou reamosrar denro da amosra. Esa úlima forma é conhecida como boosrap não-paramérico, que será o uilizado nese rabalho por ser uma écnica mais geral. Ese méodo baseia-se no fao de que a disribuição boosrap F converge, em probabilidade quando o número de replicações boosrap ende ao infinio, para a disribuição empírica esimada dos dados ˆF. Esa por sua vez converge, em probabilidade quando o amanho 9

19 amosral ende ao infinio, para a disribuição dos dados F (Efron & Tibshirani, 1993). As reamosras são obidas supondo que cada observação enha igual massa de probabilidade, dia disribuição empírica ˆF. Seja X = (X 1, X 2,..., X n ) uma amosra aleaória de uma disribuição qualquer. A amosra boosrap é calculada com reposição sobre a amosra original e é represenada como X = (X 1, X 2,..., X n). A proposa original do boosrap supõe independência enre as observações. Como dados de uma série emporal carregam inerdependência é necessário fazer uma adapação do méodo original. No caso de modelos esruurais, Soffer & Wall (1991) propuseram consruir as séries boosrap aravés de reamosragem dos resíduos do modelo ajusado. O méodo é apresenado a seguir. Do FK, enconram-se as inovações υ N(0, F ). Noe que o FK reorna eses valores para valores fixos dos hiperparâmeros, υ = υ (ψ). Padronizando as inovações de forma a garanir média 0 e variância 1, em-se: e ( ˆψ) = υ ( ˆψ) ῡ ( ˆψ) F ( ˆψ), onde = 1,..., n e ˆψ é o EMV de ψ. Reamosrando de e ( ˆψ) em-se os erros boosrap e ( ˆψ), que serão uilizados nas equações do FK para gerar y. Seja S = [a, y 1 ] T, onde a é uma esimaiva para o veor de esados α. Tome S +1 = [ T 0 z 0 ] S + [ ] T υ z T F 1 F F e. (2) Subsiuindo e por e em (2) calcula-se y. Usa-se, enão, o FK em y para ober a função de verossimilhança e, a seguir, as esimaivas de máxima verossimilhança dos hiperparâmeros na série boosrap. Inervalos de confiança boosrap podem ser consruídos pelo méodo percenílico (ICB) (Efron & Tibshirani, 1993). Nesse méodo geram-se B séries y, com suas B esimaivas boosrap de ˆψ, ˆψ. Um ICB para ψ k ; k = 1,..., p, com 100(1 ρ)% de confiança, é simplesmene [ ˆψ k( ρ 2 ); ˆψ k(1 ρ 2 )], ou seja, os percenis ρ e (1 ρ ) da disribuição boosrap de ˆψ 2 2 k. O ICB não apresena problemas de froneira e pode ser assimérico. 10

20 Capíulo 3 Inervalos de confiança baseados na função deviance O méodo assinóico para consruir inervalos de confiança é baseado na disribuição assinóica do EMV. Conudo, a disribuição do EMV em amosras pequenas pode diferir da disribuição assinóica. Além disso, por ser um inervalo simérico, o ICA pode coner valores fora do espaço paramérico, o que é conhecido como problema de froneira. Sabe-se ambém que o boosrap pode ser compuacionalmene muio cusoso caso sejam necessárias muias reamosragens. Uma alernaiva mais robusa para amosras pequenas pode ser derivada da razão de verossimilhança. Seja θ um veor de parâmeros de dimensão p e ˆθ o seu EMV. Considere o seguine ese de hipóese: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0. Tome ˆθ 0 como sendo o EMV para θ sob H 0. A razão Λ = L(ˆθ 0 ) L(ˆθ) é chamada de razão de verossimilhança (RV). Desa forma, uma região de confiança (RC) para θ com 100(1 ρ)% de confiança pode ser obida pelos valores de θ que saisfazem 2log(Λ) χ 2 ρ(p) onde χ 2 ρ(p) é o quanil ρ da disribuição Qui-quadrado com p graus de liberdade (Wilks, 1938). A Figura 3.1 mosra um exemplo para o limie da região de confiança de 95% obida para um MNL (θ = (ση, 2 σɛ 2 ) = (0, 5; 1)), iso é, as raízes da função 2log(Λ) χ 2 0,05(2). Conudo, regiões de confiança não êm uma fácil inerpreação e seu cuso compuacional pode ser alo. Logo uma possível alernaiva é consruir IC marginais para cada parâmero fixando os parâmeros desconhecidos nas suas respecivas EMV. Desa forma, a 11

21 Figura 3.1: Exemplo de consrução da RC para (σ 2 η, σ 2 ɛ ) usando a RV. função 2log(Λ) fica em função de um único parâmero e, consequenemene, é uilizada a disribuição Qui-quadrado com 1 grau de liberdade (p = 1). Eses serão os inervalos uilizados na simulação, realizada no Capíulo 5 denoados como inervalos de confiança marginais (ICM). Por exemplo no caso do MNL, um ICM para ση 2 com 100(1 ρ)% de confiança é composo pelos valores de ση 2 que saisfazem ( L(σ 2 η, ˆσ 2 ) ɛ ) 2log χ 2 L(ˆσ η, 2 ˆσ ɛ 2 ) ρ(1). A coberura do ICM pode ambém ser aferida na região gerada pela inerseção de odos os inervalos marginais para cada parâmero, de forma que odos erão a mesma coberura. Esa inerseção dos ICM é uma aproximação da região de confiança que seria gerada com a disribuição χ 2 (p). A Figura 3.2 mosra um exemplo para os inervalos de confiança de 95% aproximados obidos para os parâmeros ση 2 e σɛ 2 de um MNL (θ = (ση, 2 σɛ 2 ) = (0, 5; 1)) junamene com a RC já apresenada na Figura 3.1. A alura do reângulo represena o ICM para σɛ 2 e sua largura represena o ICM para ση. 2 O ICM, considerando χ 2 0,05(1), para ση 2 foi [0,07; 0,74] e para σɛ 2 foi [0,72; 1,77]. Pode-se observar que o ICM gera uma subesimação da RC uma vez que foi usado 1 grau de liberdade. 12

22 Figura 3.2: Exemplo de consrução da RC aproximada para (σ 2 η, σ 2 ɛ ) usando o ICM, represenado pelo reângulo. 3.1 Inervalo de Confiança baseado na esaísica Deviance Quando um modelo esaísico é consruído para explicar as relações enre as variáveis do esudo pode haver o ineresse em inferir sobre apenas pare do veor paramérico para a compreensão do fenômeno em esudo. Nese caso, pode-se definir um veor de parâmeros de ineresse (λ) e um veor de parâmeros de perurbação (δ), al que θ = (λ, δ) é o veor de parâmeros do modelo. Por exemplo, seja o veor paramérico dado por θ = (θ 1, θ 2,..., θ p ). Nese caso, pode-se omar λ = θ k como parâmero de ineresse e δ = θ ( k), ou seja o veor θ sem a k-ésima componene, como parâmero de perurbação. A função Deviance, dada por D(θ k ) = 2[logL(θ k, θ ( k) ) logl(ˆθ)] em disribuição χ 2 (1). O valor θ( k) é o EMV da função de verossimilhança resria a θ k fixado no valor que deseja-se calcular a Deviance. Desa maneira, como cada avaliação de D(θ k ) necessia de uma maximização para enconrar θ ( k) é compuacionalmene mais ineressane considerar θ ( k) fixo no EMV irresrio ˆθ ( k). Esa aproximação desconsidera possíveis não-orogonalidades enre os parâmeros. Para os modelos esruurais θ = ψ = (h, Q 11,..., Q (p 1)(p 1) ) T, logo um inervalo de confiança para ψ k, com 100(1 ρ)% de confiança, é composo pelos valores de ψ k que saisfazem 13

23 D(ψ k ) = 2[logL(ψ k, ˆψ ( k) ) logl( ˆψ)] χ 2 ρ(1), em que ˆψ ( k) é o EMV irresrio de ψ ( k). Os exremos do inervalo são os valores de ψ k que saisfazem a igualdade D(ψ k ) = χ 2 ρ(1), logo é necessário um algorimo para enconrar o zero da função. Eses serão os inervalos uilizados na simulação realizada na Seção 5, denoados como inervalos de confiança baseados na esaísica Deviance (ICD). A Figura 3.3 mosra um exemplo para o quanil χ 2 0,05(1) = 3, 84, enconrando as raízes da função D(σ 2 η) para o MNL (ψ = (0, 5; 1)). Os limies inferior e superior do IC são os valores de σ 2 η que saisfazem a igualdade D(σ 2 η) = χ 2 0,05(1). Figura 3.3: Exemplo de consrução do ICD para o parâmero σ 2 η. Um algorimo robuso, simples e compeiivo em relação a méodos mais complexos é o Méodo Pégaso para obenção de raízes (Dowell & Jarra, 1972), que será descrio em dealhes no Capíulo 4. Espera-se ambém que ese méodo seja mais rápido que o méodo boosrap, uma vez que a função de verossimilhança já foi consruida usando o FK e não será necessário fazer várias reamosragens boosrap seguidas de maximização das novas funções de verossimilhança. Para simplificar os cálculos, acabou-se usando aproximações no ICM e no ICD. A diferença enre eles, basicamene, é a coberura e a região. No ICM é consruída uma RC e a coberura aferida nela, enquano no ICD são consruídos IC para cada hiperparâmero e a coberura é aferida em cada um deles separadamene. 14

24 3.2 Inervalo Signed Roo Deviance Profile Uma alernaiva ao ICD é o IC Signed Roo Deviance Profile (Chen & Jennrich, 1996), baseado na esaísica sinal da razão de verossimilhança, sinal(θ ˆθ) L(ˆθ 0 ) (Barndorff-Nielsen, L(ˆθ) 1986). Seja ˆθ o EMV de θ. A função Signed Roo Deviance Profile, para θ k é definida como: z (θ k ) = sinal(θ k ˆθ k ) 2(logL(θ k, θ ( k) ) logl(ˆθ)), onde k = 1, 2,..., p e θ ( k) é o EMV da função de verossimilhança resria a θ k fixado no valor que deseja-se calcular a função. Novamene, subsiui-se θ ( k) por ˆθ ( k) visando um menor empo compuacional. No exo de Chen & Jennrich (1996) é proposa uma maneira de enconrar o IC sem uilizar processos de maximização. Esa abordagem conudo necessia da mariz hessiana, que como dio no Capíulo 2 não é uma arefa rivial. Os valores de θ k que saisfazem z 0 z (θ k ) z 0, onde z 0 é o quanil ρ/2 da Normal Padrão, perencem ao IC Signed Roo Deviance Profile(ICS) para θ k. Pode-se enão escrever o ICS de coberura 100(1 ρ)% para os modelos esruurais fazendo θ k = ψ k ; k = 1, 2,..., p em função de z : onde z 0 é o quanil ρ/2 da Normal Padrão. z 1 ( z 0 ) ψ k z 1 (z 0 ), (3) A Figura 3.4 ilusra o procedimeno acima no caso do MNL (ψ = (0, 5; 1)) para σ 2 η e assumindo um nível ρ = Os limies do IC são os valores de σ 2 η que saisfazem z (σ 2 η) = 1, 96 e z (σ 2 η) = 1, 96. Ese ipo de IC em uma consrução e inerpreação direa, ao conrário do ICM, que no caso muliparamérico pode gerar dificuldades de inerpreação, e é uma melhoria sobre o ICD. O ICS ambém em a vanagem de poder ser assimérico e não apresena problemas de froneira. 15

25 Figura 3.4: Exemplo de consrução do ICS para o parâmero σ 2 η. 16

26 Capíulo 4 Méodos compuacionais A Seção 3 cia os vários méodos compuacionais auxiliares para o cálculo dos inervalos proposos. Esa seção explicará brevemene a ideia por rás deses algorimos. 4.1 Méodo numérico para cálculo da mariz de informação de Fisher Para a consrução do ICA é necessário calcular a mariz de informação de Fisher: I ij (ψ) = 1 2 [ ( r F 1 F F 1 F )] ψ i ψ j [ + E T υ ψ i F 1 υ ] ; ψ j onde i, j = 1, 2,..., p, = 1, 2,..., n e r(a) é o raço da mariz A. O méodo descrio por Harvey (1989) para consrução das derivadas de F e υ consise em adicionar a um parâmero ψ i um valor de perurbação δ i, fixados os ouros parâmeros. A escolha de δ i, nese caso, foi documenada em Franco e.al. (2008). A seguir, obém-se novos valores para υ e F : υ (i) e F ψ i = F (i) F δ i e F (i), respecivamene e uiliza-se a aproximação υ ψ i = υ(i) υ δ i no cálculo da mariz de informação de Fischer. O Algorimo 1 ilusra o procedimeno descrio acima. 4.2 Méodo Pégaso para obenção de raízes Os limies do ICM são calculados com o algorimo Pégaso (Dowell & Jarra, 1972) para enconrar raízes de uma função qualquer. Ese algorimo é uma melhora ao méodo de aproximação linear da Falsa Posição (Campos, 2007). São consideradas raízes para D(ψ k ) = χ 2 ρ(1) valores de ψ k perencenes ao inervalo [χ 2 ρ(1) τ; χ 2 ρ(1) + τ], onde k = 1, 2,..., p e ρ é o nível de confiança do inervalo. O erro que olera-se comeer em relação à verdadeira raiz é represenado por τ. 17

27 Algorimo 1 Algorimo para consrução da diagonal principal da mariz de informação de Fisher Enrada: y, ψ, δ i, z, T, R Com o Filro de Kalman obém-se F, K, a, P, υ Para i de 1 a p Some a ψ i uma quanidade δ i (F (i), K (i) Tome υ ψ i, a (i), P (i), υ (i) como a aproximação υ(i) ) é o resulado do Filro de Kalman com o novo valor de ψ υ δ i F δ i Tome F ψ i como a aproximação F (i) Modifique a enrada ii da mariz de informação de Fisher para 1 2 [ ( r F 1 F F 1 F )] ψ i ψ i Fim para Reorna: Mariz de informação de Fisher [ + E T υ ψ i F 1 υ ] ψ i Figura 4.1: Exemplo de consrução do ICS para o parâmero σ 2 η. Ese algorimo é baseado em aproximações lineares da função de ineresse, obendo uma sequência de valores que convergem para a verdadeira raiz, isolada em um inervalo conhecido [a, b]. Esa sequência é obida pela fórmula: x j+1 = x j f(x j ) f(x j ) f(x j 1 ) (x j x j 1 ) onde x 0 = a, x 1 = b, j = 0, 1, 2,... e f(x) uma função genérica. Para garanir o isolameno da raiz é necessário que f(x j 1 )f(x j ) 0. Caso o valor de f(x j+1 ) enha mesmo sinal que o valor de f(x), i.e: f(x j+1 )f(x) 0, para eviar problemas de reenção de pono, e consequene não convergência, o valor de f(x j 1 ) é muliplicado por 18

28 Algorimo 2 Algorimo Pégaso enrada: f, a, b, τ, MaxIer Tome F a como f(a) Tome F b como f(b) Tome x como b Tome F x como f(b) Inicialize o número de ierações Ier em 0 Enquano flag = 0 X recebe F x /(F b F a ) (b a) x recebe x + X F x recebe f(x) Se ( X τ) e ( F x τ) ou Ier MaxIer flag recebe 1 Fim se Se F x F b 0 a recebe b F a recebe F b Senão F a recebe F a F b /(F b + F x ) Fim se b recebe x F b recebe F x Ier Ier + 1 Fim Enquano Reorne: x, F x, Ier f(x j )/(f(x j )f(x j+1 )), ornando possível raçar a aproximação linear por um pono não perencene à curva de f(x). Esa aualização ambém acaba por agilizar o méodo (ver Figura 4.1). A Figura 4.1 mosra quaro ierações do algorimo: no primeiro passo, em-se o inervalo em que a raíz esá isolada [x 0, x 1 ], raça-se a aproximação linear da função e enconra-se x 2. A seguir aualizam-se os exremos do inervalo, que passa a ser [x 2, x 1 ], raça-se a aproximação linear e enconra-se x 3. Como f(x 3 ) e f(x 2 ) êm o mesmo sinal, aualiza-se o valor de f(x 1 ) da maneira descria acima, gerando um pono fora do gráfico da função. O valor x 4 é enconrado uilizando ese pono. A imagem final une os passos aneriores em um único gráfico. O Algorimo 2 mosra como programar ese méodo. O méodo Pégaso em uma implemenação fácil e, por ser uma aproximação linear, não necessia de cálculo de derivadas, como o méodo de Newon ou ouros méodos que uilizam 19

29 angene. Além disso é um méodo robuso e compeiivo quando comparado com méodos mais sofisicados (Campos, 2007). Conudo, algorimos para enconrar raizes necessiam de um inervalo onde a raiz esá isolada e que a função assuma sinais conrários nos exremos dese inervalo. Uma maneira de enconrar mais de uma raiz, e isolá-las, dado um inervalo maior, é paricionar ese em inervalos menores e execuar o Pégaso em cada um deles. Esa meodologia é uilizada na função uniroo.all do pacoe roosolve do R (Soeaer, 2009). 4.3 Busca Binária Para o ICS o algorimo Pégaso não apresenou bons resulados, principalmene devido à naureza assinóica da função Signed Roo Deviance Profile z, que pode apresenar grandes variações pero de 0. Conudo, para o cálculo dese inervalo, basa aferir quais valores de ψ i saisfazem à Equação (3), com i = 1, 2,..., p. A parir de um inervalo (0; b] onde acredia-se esar o parâmero, faz-se uma discreização em N ponos e uiliza-se uma busca para enconrar os exremos aproximados do inervalo. Ou seja, valores de ψ i que sejam os mais próximos a z (ψ i ) = z 0 e z (ψ i ) = z 0. Noe que a escolha de N influencia no erro comeido ao escolher os exremos do inervalo. Por exemplo, se b = 3 e N = 600, o erro máximo, em ψ seria de b/n = 0, 005. Uma maneira de enconrar eses exremos do IC seria buscar de forma crescene e linear ao longo da discreização feia. Conudo, como a função z é crescene, pode-se uilizar um procedimeno de busca binária (Cormen e al., 1990), que consise em percorrer a discreização de ponos procurando recursivamene na meade do espaço que conem o valor desejado. Discreizado o inervalo, a busca por um valor z começa pelo pono médio m = b/2 e segue para o subinervalo apropriado: (0; m) se z (m) z ou (m; b] se z (m) z, aualiza-se o pono médio e os valores exremos do inervalo de busca e prosegue-se de maneira recursiva a busca. A busca é finalizada quando o valor procurado esá enre z (m 1 ) e N z (m + 1 ) N e reorna o índice M {m 1 ; m; m+; 1 } de imagem mais próxima a z. O Algorimo 3 N N implemena esa busca. Esa abordagem reduz muio o empo compuacional, se comparado com a busca linear. Enquano o empo da busca linear cresce linearmene com o valor de N escolhido, o empo da busca binária cresce em função do log 2 (N). 20

30 Algorimo 3 Busca Binária Enrada: f, b, z, N m recebe 0 M recebe N Enquano M > m i recebe o menor ineiro mais próximo de M+m 2 j recebe (i 1) b/n F recebe f(j) Se f(j 1 N ) < z < f(j + 1 N ) M recebe m Senão Se F < z m recebe i + 1 Senão M recebe i 1 Fim Se/Senão Fim Se/Senão Fim enquano Reorna: x {j 1 ; j; j + 1 } de imagem mais próxima a z N N 21

31 Capíulo 5 Esudo Mone Carlo Esudos Mone Carlo (MC) foram feios para comparar os inervalos de confiança descrios nas Seções 2 e 3: Assinóico (ICA), Boosrap (ICB), Marginal (ICM), Deviance (ICD) e Signed Roo Deviance Profile (ICS). Em um primeiro esudo, os erros das observações seguem uma disribuição gaussiana ou Normal. Em seguida, é feio um esudo considerando os erros com uma disribuição não-gaussiana para as observações, visando verificar a robusez dos inervalos para ese caso. A coberura nominal foi fixada em 95% e os inervalos são comparados quano à axa de coberura e ampliude. As simulações feias avaliam os IC para o Modelo de Nível Local (MNL), Modelo de Tendência Local (MTL) e Modelo Esruural Básico (MEB), com sazonalidade s = 12. Um esudo preliminar, com 200 simulações Mone Carlo, foi realizado com a inenção de verificar a coberura dos IC descrios para amosras grandes. Para isso foram uilizadas séries de amanho n = As ouras simulações para amanhos de amosra menores: 60, 200 e 500, foram realizadas considerando 1000 replicações Mone Carlo. É apresenada ambém uma abela de comparação de empo compuacional enre os méodos a fim de melhor classificá-los. A verossimilhança é maximizada com o algorimo quasi-newon BFGS (Shanno,1970). Ese faz um máximo de 50 ierações para achar o valor de máximo. Para faciliar a reprodução e verificação dos resulados são expliciadas as consanes uilizadas nos méodos compuacionais. O pacoe SsfPack (Koopman e al., 1999) do sofware Ox (Doornik, 2006) coném algorimos para o cálculo do Filro de Kalman e da função de verossimilhança, sendo o uilizado na implemenação. Para gerar os dados é considerado um burn-in igual a 100 de forma a eviar influência de valores iniciais. O número de ierações boosrap é B = 500, ese valor é baseado em esudos apresenados em Franco & Sanos (2010). O valor de δ i para o méodo numérico de cálculo da mariz de informação de Fisher é fixado em 0, 0001, ambém segundo esudos em Franco e al.(2008). Valores menores não influenciam muio na ampliude dos inervalos e valores 22

32 maiores aumenam a mesma. O inervalo [0, ; 5] é uilizado para consruir os ICD e ese é paricionado em P = 200 subinervalos menores de mesmo amanho. São consideradas raízes para D(ψ) = χ 2 0,05(1) valores de função perencenes ao inervalo [χ 2 0,05(1) 0, 0001; χ 2 0,05(1) + 0, 0001], iso é, omando τ = 0, O algorimo do méodo Pégaso para enconrar raízes faz um máximo de 50 ierações em cada subinervalo. Para o ICS o inervalo [0, ; 3] é discreizado em N = 600 ponos. A escolha de N influencia no erro comeido ao escolher os exremos do inervalo, nese caso de 0, 005. Os exremos deses inervalos iniciais podem ser escolhidos considerando uma esimaiva de ψ, seja por EMV ou boosrap. Visando mensurar a eficiência compuacional dos méodos foi calculado o empo uilizando a função oday() do Ox. As simulações foram feias em um Inel Core 2Quad com 4GB de memória ram em ambiene Windows 7 Pro. 5.1 Resulados para os erros com disribuição gaussiana A Tabela 5.1 apresena as coberuras médias de cada méodo para amosras de amanho grande (n = 1000) para o Modelo de Nível Local (MNL), Modelo de Tendência Local (MTL) e Modelo Esruural Básico (MEB), considerando 200 repeições MC. Tabela 5.1: Coberuras dos inervalos proposos para uma amosra de amanho n = M odelo ψ ICA ICB ICM ICD ICS MNL ση 2 = 0, 5 93,0 93,5 85,5 92,0 93,5 σɛ 2 = 1 95,0 95,0 85,5 91,5 96,0 MTL ση 2 = 0, 5 96,0 95,0 87,5 95,5 96,5 σξ 2 = 0, 1 94,5 94,0 87,5 91,5 95,0 σɛ 2 = 1 91,0 93,5 87, ,5 MEB ση 2 = 0, 5 95,0 95,0 85,0 92,0 97,0 σξ 2 = 0, 1 96,0 94,0 85,0 92,0 93,5 σω 2 = 0, 03 93,0 91,5 85, ,0 σɛ 2 = 1 96,0 94,0 85, ,0 Obs.: Em negrio: coberuras a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Com os dados da Tabela 5.1 fica evidene a pouca efeividade do ICM e do ICD. No ICD é feia uma aproximação que fixa os parâmeros de ruído em seus EMV irresrios. Esa mesma abordagem é uilizada na consrução do ICM, conudo ese processo não considera a aleaoriedade deses parâmeros de ruído, de al forma que as coberuras deses IC ficam disanes do nível fixado de 95%. Noa-se ambém a subesimação da RC feia pelo ICM, como comenado na Figura

33 Desa forma, serão excluidos eses méodos para as comparações a seguir. méodos iveram suas coberuras bem próximas do nível fixado de 95%. Os ouros A Tabela 5.2 mosra os resulados para o MNL, a Tabela 5.3 para o MTL e a 5.4 para o MEB, para amosras de amanho 60, 200 e 500, considerando 1000 repeições MC. Tabela 5.2: Resulados da simulação MC para o MNL com erros Normais para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 σ 2 η = 0, 5 87,1 0,94 90,0 1,05 94,9 1,05 σ 2 ɛ = 1 91,1 1,12 89,6 1,07 92,7 1, σ 2 η = 0, 5 92,6 0,51 93,4 0,53 95,2 0,57 σ 2 ɛ = 1 94,2 0,61 93,3 0,62 95,6 0, σ 2 η = 0, 5 92,7 0,33 92,3 0,33 92,2 0,33 σ 2 ɛ = 1 93,7 0,40 93,0 0,40 94,5 0,40 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Tabela 5.3: Resulados da simulação MC para o MTL com erros Normais para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 ση 2 = 0, 5 98,1 2,40 99,7 1,99 94,7 1,64 σξ 2 = 0, 1 80,3 0,27 88,6 0,25 95,2 0,34 σɛ 2 = 1 93,5 1,48 96,6 1,45 95,6 1, ση 2 = 0, 5 96,1 1,35 96,6 1,24 94,2 1,24 σξ 2 = 0, 1 93,8 0,15 92,4 0,15 88,1 0,16 σɛ 2 = 1 94,9 0,83 96,1 0,84 95,5 0, ση 2 = 0, 5 93,7 0,86 94,0 0,84 94,5 0,84 σξ 2 = 0, 1 92,1 0,09 93,6 0,11 94,8 0,10 σɛ 2 = 1 94,8 0,53 94,8 0,54 95,0 0,54 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Noa-se nas Tabelas 5.2 a 5.4 que o ICS é, na maioria das vezes, o inervalo com coberura mais próxima do nível fixado de 95%. Em geral, as coberuras ficam mais próximas do nível de 95% e as ampliudes diminuem com o crescimeno do amanho amosral. Ese fao é esperado, uma vez que os EMV dos parâmeros ficam com uma variânca menor com o aumeno do amanho amosral. Um esudo de empo de simulação (em minuos) para os méodos ICA, ICB e ICS aplicados para o MNL, MTL e MEB, é apresenado na Tabela 5.5. O méodo mais rápido, como esperado, foi o ICA. Apesar das desvanagens ciadas no Capíulo 2, ese méodo pode ser uilizado para aplicações que necessiam de um empo compuacional mínimo, se o amanho da amosra for grande. Para amosras de amanho 24

34 Tabela 5.4: Resulados da simulação MC para o MEB com erros Normais para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 ση 2 = 0, 5 88,0 2,35 94,0 2,06 92,1 1,57 σξ 2 = 0, 1 78,5 0,26 90,0 0,37 92,2 0,33 σω 2 = 0, 03 99,7 0,50 99,2 0,19 97,5 0,50 σɛ 2 = 1 91,5 1,82 94,5 2,26 95,6 1, ση 2 = 0, 5 91,7 1,36 93,7 1,57 95,2 1,28 σξ 2 = 0, 1 88,7 0,15 93,5 0,15 94,9 0,16 σω 2 = 0, 03 86,1 0,08 88,1 0,07 94,1 0,09 σɛ 2 = 1 93,1 0,91 93,9 1,26 95,5 0, ση 2 = 0, 5 92,2 0,88 93,0 1,03 95,6 0,88 σξ 2 = 0, 1 92,8 0,10 94,2 0,10 94,4 0,10 σω 2 = 0, 03 91,5 0,04 87,8 0,04 94,0 0,04 σɛ 2 = 1 93,8 0,59 91,8 0,74 95,0 0,81 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Tabela 5.5: Tempo, em minuos, necessário para 1000 simulações dos IC nos modelos MNL, MTL e MEB. MNL MTL MEB n ICA ICB ICS ICA ICB ICS ICA ICB ICS 60 0,03 27,25 2,33 0,18 178,55 27,50 5, , , ,10 64,95 4,45 0,42 379,75 43,25 19, , , ,22 150,38 10,88 0,98 887,78 96,96 17, , ,26 pequeno, as simulações mosram que ese é o méodo com o pior desempenho quano à coberura dos inervalos. Já o ICB, apesar de ser um méodo sem as desvanagens do ICA e com coberuras próximas das dese méodo, apresena um empo compuacional elevado quando comparado com o ICS, cerca de 10 vezes mais leno, além de apresenar coberuras um pouco mais disanes do nível fixado. O ICS, que foi o méodo com coberuras mais próximas do nível fixado de 95%, apresena um empo compuacional mais eficiene que o do ICB, méodo alernaivo ao ICA disponível na lieraura. 5.2 Resulados para erros com disribuição não-gaussiana Um grande araivo ano do ICB quano do ICS é a possibilidade de consruir os IC para os hiperparâmeros do modelo sem as limiações do ICA. Nese conexo, a qualidade desses IC é averiguada para dados não-gaussianos. Para ano, serão gerados dados com disribuição Gama na equação das observações da FEE. O ajuse, conudo é feio com o FK Gaussiano, apresenado no Capíulo 2. 25

35 Os parâmeros de forma a e escala b, são escolhidos de maneira que a variância desa disribuição Gama seja igual a 1. A disribuição é cenrada em 0 via subração da média eórica da mesma, a. Desa maneira, em-se os erros das observações com média 0 e variância h b, seguindo a FEE em (1). Assim, o parâmero de forma foi escolhido como a = 16 e parâmero 9 de escala b = 4 de forma que h 3 = σɛ 2 = a = 1, como no caso das simulações aneriores. O b 2 veor de esados coninua endo disribuição normal. O desenho do esudo MC é o mesmo da seção anerior. A Tabela 5.6 mosra os resulados para o MNL, a Tabela 5.7 para o MTL e a 5.8 para o MEB com dados gerados da maneira descria acima. Tabela 5.6: Resulados da simulação MC para o MNL com erros Gama para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 σ 2 η = 0, 5 85,7 0,94 90,2 1,07 94,1 1,07 σ 2 ɛ = 1 85,0 1,13 87,2 1,24 87,0 1, σ 2 η = 0, 5 90,5 0,51 93,1 0,53 93,2 0,53 σ 2 ɛ = 1 85,9 0,62 87,6 0,67 86,9 0, σ 2 η = 0, 5 94,0 0,33 94,6 0,34 94,4 0,34 σ 2 ɛ = 1 87,3 0,40 89,8 0,43 88,6 0,40 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Tabela 5.7: Resulados da simulação MC para o MTL com erros Gama para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 ση 2 = 0, 5 96,8 2,46 99,7 2,03 92,6 1,07 σξ 2 = 0, 1 78,7 0,27 88,6 0,25 94,2 0,33 σɛ 2 = 1 89,3 1,51 89,9 1,52 90,4 1, ση 2 = 0, 5 97,1 1,35 97,1 1,24 95,0 0,85 σξ 2 = 0, 1 89,3 0,15 93,2 0,87 94,1 0,16 σɛ 2 = 1 89,9 0,84 92,1 0,87 91,2 0, ση 2 = 0, 5 94,1 0,86 93,6 0,85 94,6 0,84 σξ 2 = 0, 1 93,3 0,09 94,1 0,09 95,3 0,10 σɛ 2 = 1 90,9 0,52 92,4 0,55 91,6 0,54 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal Em geral, o ICS em a coberura mais próxima do nível fixado de 95%. Os méodos apresenados nas abelas diminuem as ampliudes com o crescimeno do amanho amosral, além de ficarem com coberuras mais próximas do nível de 95%. Como esperado, o ICA em coberuras muio disanes do nível de 95% principalmene para as amosras de amanho 60 e 200, já que ese méodo é consruído baseado na suposição de normalidade dos dados. É ambém ineressane noar que o ICB não apresena um bom desempenho, apesar de não 26

36 Tabela 5.8: Resulados da simulação MC para o MEB com erros Gama para as observações. ICA ICB ICS n ψ Coberura Ampliude Coberura Ampliude Coberura Ampliude 60 ση 2 = 0, 5 88,4 2,34 94,9 2,06 93,7 1,61 σξ 2 = 0, 1 77,9 0,27 91,2 0,37 93,2 0,35 σω 2 = 0, ,49 99,8 0,19 98,2 0,48 σɛ 2 = 1 89,0 1,80 91,7 2,23 93,0 1, ση 2 = 0, 5 92,4 1,30 92,6 1,53 97,6 1,27 σξ 2 = 0, 1 89,8 0,15 93,8 0,16 95,4 0,17 σω 2 = 0, 03 86,8 0,08 87,8 0,07 94,8 0,09 σɛ 2 = 1 92,6 0,92 91,8 1,27 93,4 1, ση 2 = 0, 5 94,0 0,89 92,4 1,04 94,6 0,89 σξ 2 = 0, 1 91,6 0,10 93,8 0,10 94,6 0,10 σω 2 = 0, 03 86,4 0,04 87,6 0,04 92,0 0,05 σɛ 2 = 1 92,0 0,59 91,2 0,75 93,0 0,62 Obs.: Em negrio esão as coberuras que esão a uma disância de 2 ponos percenuais do nível nominal fazer nenhuma suposição sobre a disribuição dos dados. Um esudo de empo de simulação (em minuos) para os méodos ICA, ICB e ICS aplicados para o MNL, MTL e MEB, é apresenado na Tabela 5.9, uilizando 1000 simulações Mone Carlo. Tabela 5.9: Tempo, em minuos, necessário para 1000 simulações dos IC nos modelos MNL, MTL e MEB com erro Gama nas observações. MNL MTL MEB n ICA ICB ICS ICA ICB ICS ICA ICB ICS 60 0,03 32,70 3,33 0,18 182,46 40,02 3, , , ,10 74,58 5,26 0,43 388,40 67,20 7, , , ,33 165,98 11,95 1,05 911,70 130,50 17, , ,85 As abelas de empo seguem o mesmo padrão das simulações com dados gaussianos. Ainda que, em alguns poucos casos, o ICB enha ido melhores coberuras, o empo compuacional do ICS aliado ao seu melhor desempenho quano à axa de coberura são as grandes vanagens dese méodo. 27