Desenvolvimento de Técnicas Heurísticas e de Otimização Clássica Para o Problema de Planejamento da Expansão a Longo Prazo de Sistemas de Transmissão

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1 unesp Desenvolvimeno de Técnicas Heurísicas e de Oimização Clássica Para o Problema de Planejameno da Expansão a Longo Prazo de Sisemas de Transmissão! " #! $ % & ' ( ( ) * + ), " -.) " / 2004

2 RESUMO Nese rabalho, é eia uma análise dos principais algorimos heurísicos consruivos usados em planejameno da expansão de sisemas de ransmissão, e as principais proposas são esendidas para o planejameno mulieságio e são desenvolvidos novos algorimos heurísicos consruivos. Assim, o ema de pesquisa principal dese rabalho é a análise de algorimos heurísicos consruivos. Enreano, ambém oi iniciada uma pesquisa relacionada com o desenvolvimeno de algorimos de oimização clássica como os algorimos Branch and Bound, iniciando esses rabalhos com o modelo linear disjunivo. Desa orma, são analisados os seguines ópicos: (1) O modelo de Transpores e sua aplicação no planejameno mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (2) Os modelos Híbridos para o planejameno esáico e mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (3) O algorimo de Villasana-Garver-Salon e sua exensão para o planejameno mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (4) Um novo AHC para o modelo DC; (5) Um novo AHC em uma esruura Branch and Bound; e (6) Um algorimo Branch and Bound uilizando o modelo Linear Disjunivo, em Anexo. ABSTRACT In his work is made an analysis o he principal consrucive heurisic algorihms used in planning o he expansion o ransmission sysems, and he principal proposed are exended or he mulisage planning and new consrucive heurisic algorihms are developed. In his manner, he heme o main research o his work is he analysis o consrucive heurisic algorihms. However, i was also iniiae a research relaed wih he developmen o algorihms o classic opimizaion as he algorihms Branch and Bound, beginning hose works wih he model lineal disjunivo. This way, he ollowing opics are analyzed: (1) he model o Transpors and your applicaion in he planning mulisage o he expansion o ransmission sysems; (2) he Hybrid models or he saic planning and mulisage o he expansion o ransmission sysems; (3) he algorihm o Villasana-Garver-Salon and your exension or he planning mulisage o he expansion o ransmission sysems; (4) a new AHC or he model DC; (5) a new AHC in a srucure Branch and Bound; and (6) An algorihm Branch and Bound using he Lineal model Disjunivo, Annex.

3 À meus Pais.

4 AGRADECIMENTOS Desejo expressar meus sinceros agradecimenos: Ao proessor Rubén Auguso Romero Lázaro pela dedicação e pelo esímulo durane a orienação dese rabalho; Aos proessores do Deparameno de Engenharia Elérica da Feis pelo apoio e pela colaboração; À FAPESP, por ornar possível meus esudos no DEE-FEIS-UNESP; Aos meus colegas de deparameno pela amizade e pelo excelene convívio, em especial Tadao, Marilene, Toshiaki e Wagner; Aos meus colegas de rabalho da Universidade Esadual do Oese do Paraná, em especial Loero, pelas discussões realizadas, e Lobão, pelo apoio e incenivo; Ao pessoal da secrearia de Pós-Graduação, pela ajuda e esclarecimenos presados; A oda minha amília e a minha companheira Fabiana pelo apoio, carinho e compreensão durane esa eapa de minha vida.

5 SUMÁRIO Preácio, 1 Abreviauras, 3 Lisa de Figuras, 3 Lisa de Tabelas, 3 CAPÍTULO 1 Inrodução 1 Inrodução, 4 CAPÍTULO 2 O Problema de Planejameno de Sisemas de Transmissão 2.1 Inrodução, Modelagem Maemáica: Planejameno Esáico e Dinâmico, Técnicas de Solução, Revisão Bibliográica Recene e o Esado da Are em Planejameno de Sisemas de Transmissão, 39 CAPÍTULO 3 Algorimo Heurísico Consruivo Para o Modelo de Transpores 3.1 Inrodução, Algorimo de Garver para o Modelo de Transpores, Teses e Resulados, 56

6 CAPÍTULO 4 Algorimo Heurísico Consruivo Para Modelo Híbrido 4.1 Inrodução, Algorimos para o Modelo Híbrido Linear, Algorimo Convencional para o Modelo Híbrido Linear, Algorimo Modiicado para o Modelo Híbrido Linear, Algorimo Heurísico para o planejameno mulieságio, Teses e Resulados, 72 CAPÍTULO 5 Algorimo Heurísico Consruivo de Villasana-Garver-Salon 5.1 Inrodução, Algorimo Heurísico Consruivo de Villasana-Garver-Salon, Algorimo de VGS para Planejameno Mulieságio, Teses e Resulados, 84 CAPÍTULO 6 Algorimo Heurísico Consruivo Para o Modelo DC 6.1 Inrodução, Algorimo Heurísico Consruivo para o Modelo DC, Teses com o Algorimo, 93

7 CAPÍTULO 7 Algorimo Heurísico Consruivo em uma esruura do ipo Branch and Bound 7.1 Inrodução, O AHC de Garver em esruura Branch and Bound, Teses com o algorimo, 101 CAPÍTULO 8 Conclusões Conclusões, 105 Reerências Bibliográicas, 108 Apêndice, 111 Anexos, 124

8 PREFÁCIO Ese rabalho az uma revisão e análise críica dos algorimos heurísicos consruivos usados em planejameno da expansão de sisemas de ransmissão, um ema de pesquisa relevane no conexo aual do mercado de energia elérica. Na análise são priorizados os algorimos que usam dados da resolução do próprio modelo maemáico após relaxar as resrições complicanes como a exigência da inegralidade das variáveis de invesimeno. Em conseqüência desse rabalho inicial, as principais proposas de algorimos heurísicos consruivos oram esendidas para o planejameno mulieságio de sisemas de ransmissão, um ema ainda pouco pesquisado. Também oram desenvolvidos novos algorimos heurísicos consruivos que conornam os principais problemas exisenes nos algorimos heurísicos radicionais. O mais imporane desses algorimos, denomina-se de algorimo heurísico consruivo em esruura branch and bound. Adicionalmene, oram realizadas pesquisas preliminares desenvolvendo um algorimo branch and bound para o problema de planejameno quando or usado o modelo linear disjunivo. No planejameno esáico e mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão, exise a possibilidade de se usar dierenes modelos maemáicos para a represenação do problema. Os principais modelos uilizados são versões relaxadas do modelo ideal de operação: o Modelo AC. Os principais modelos usados para resolver ese problema são: o modelo de Transpores, os modelos Híbridos, o modelo DC e o modelo Linear Disjunivo. O modelo AC ainda não oi usado em planejameno da expansão de sisemas de ransmissão como um modelo a ser resolvido, usando uma écnica de oimização eiciene. Enreano, represena um modelo a ser uilizado no uuro para a represenação do problema. Um dos objeivos das pesquisas com méodos de ponos ineriores, para a solução de problemas de programação linear, é o desenvolvimeno no uuro, de écnicas de oimização que rabalhem direamene com o modelo AC. Nese rabalho, são analisados os seguines ópicos: (1) O modelo de Transpores e sua aplicação no planejameno mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (2) Os modelos Híbridos para o planejameno esáico e mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (3) O algorimo de Villasana-Garver-Salon e sua exensão para o planejameno mulieságio da expansão de sisemas de ransmissão; (4) Um novo AHC para o modelo DC;

9 (5) Um novo AHC em uma esruura Branch and Bound; e (6) Um algorimo Branch and Bound uilizando o modelo Linear Disjunivo, em apêndice. Os sisemas eses, uilizados nos iens ciados, são muio uilizados por pesquisadores em planejameno da expansão de sisemas de ransmissão. Eses sisemas são de dimensão e de complexidade variadas. O sisema de Garver é muio uilizado por pesquisadores em planejameno. Ele represena um sisema para ins acadêmicos, mas a alernaiva com reprogramação da geração é diícil de ser resolvida. Muios algorimos não êm a capacidade de enconrar a solução óima desa opção. Ese sisema permie o rabalho com e sem a reprogramação da geração. Os ouros sisemas, com exceção do sisema Nore- Nordese Brasileiro, apresenam uma complexidade mediana, ou seja, poucos circuios devem ser adicionados para a deerminação das soluções óimas ou sub-óimas. Os dados disponíveis do sisema Sul-Brasileiro permiem rabalhar com e sem o redespacho da geração. Por ouro lado, os dados do sisema Colombiano permiem rabalhar ambém, com o planejameno mulieságio com rês eságios. O sisema Nore-Nordese Brasileiro represena um verdadeiro sisema benchmark em planejameno de sisemas de ransmissão. Para solucionar o Plano P2, devem ser adicionados mais de 100 circuios para enconrar soluções com qualidade. Desa orma, ese sisema é alamene complexo e apresena um número elevado de soluções de qualidade. Ainda não se conhecem as soluções óimas dese sisema. Ese sisema permie o rabalho com planejameno mulieságio com dois eságios. A análise e os resulados obidos no iem (1) oram divulgados [36]. Os resulados obidos no iem (4) oram aceios, ambém em [36], e serão publicados em breve.

10 ABREVIATURAS # $% &'$%!"! "! ()'() ' LISTA DE FIGURAS * # + $%,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, - * &./%,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ### * 0 '1 23 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ##0 LISTA DE TABELAS 4#,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -# 4& 5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, -# 40 ') 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 6& 42 ') 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ') 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, '23 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ') 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, #90 4- '23 1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, #92 46 $ :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, #&7 4#9 ';" ') 1,,,,,,,,,,,, #&3 4## ';" ') 1,,,,,,,,,,,,, #&8

11 Capíulo 1 Inrodução O planejameno é um ao de sabedoria que consise na capacidade de prever conseqüências a longo prazo de ações auais, na disposição de sacriicar ganhos a curo prazo em avor de beneícios a longo prazo. O planejameno, mais do que um exercício de previsão, é uma orma de quaniicar expecaivas para perseguir meas. Desa orma, o planejameno deve ser um processo conínuo de omada de decisões, onde os planos são permanenemene revisos, e conorme as circunsâncias, vão evoluindo, não necessariamene de acordo com o cronograma préesabelecido. Um sisema inerligado de poência, responsável pela geração, ransmissão e disribuição de energia elérica, em grande inluência na economia de um país, por exigir um alo volume de recursos e por sua imporância esraégica, busca-se cenralizar decisões e esorços. O sisema compleo é uma esruura exremamene complexa, diversiicada e disribuída. Para simpliicar sua operação e planejameno, procura-se dividi-lo em pares relaivamene independenes, a parir de caracerísicas écnicas e uncionais, de regiões, de companhias operadoras, ec. Conudo, como o processo de decisão é relaivamene

12 cenralizado, é vanajoso azer um planejameno que leve em cona o iner-relacionameno enre esas pares. O problema de planejameno da expansão de sisema de energia elérica em sua origem na necessidade de suprir a crescene demanda de energia elérica que ocorre com o passar dos anos. Conorme esa demanda aumena, passa a exisir a necessidade de consrução de novas unidades geradoras, com o objeivo de saisazer as novas necessidades de carga do sisema. No âmbio do ideal, poder-se-ia consruir as novas unidades geradoras sob medida para o suprimeno das novas necessidades dos mercados consumidores, porém exise um problema, pois quase sempre não é possível, e aé econômico, consruir as novas unidades geradoras próximas aos cenros consumidores, sendo esas consruídas, quase sempre, em lugares disanes. Assim sendo, orna-se necessário à consrução de novos circuios de ransmissão com a inalidade de ransmiir a poência elérica produzida nesas unidades. As decisões, denro do processo de planejameno, esão relacionadas com a deerminação das melhores unidades geradoras, das melhores roas para a ransmissão de energia e da melhor malha para a disribuição desa energia, produzidas nas unidades geradoras. Todo ese processo de decisões, origina um problema de oimização de grande pore que deve ser solucionado pelos engenheiros de planejameno. Exise a necessidade do desenvolvimeno de écnicas e de esraégias que garanam que as decisões omadas durane odo o processo de planejameno, sejam as decisões óimas ou esejam, economicamene, próximas a elas. O objeivo do planejameno é esabelecer, ou deerminar, um sisema elérico uuro, minimizando os cusos de invesimeno e de operação, aendendo aos novos requisios de carga e a criérios de coniabilidade preesabelecidos. O processo, resumidamene descrio acima, recebe o nome de Planejameno da Expansão de Sisemas Eléricos de Poência. Ele é considerado um processo exremamene complexo e que não pode ser solucionado sem que sejam eias simpliicações. Mais paricularmene, em ermos de caracerísicas uncionais, o sisema elérico de poência pode ser decomposo em: (1) sisema de geração, (2) sisema de ransmissão, (3) sisema de disribuição. Ese processo de divisão é uma simpliicação e az pare da

13 meodologia de planejameno de sisemas complexos e de grande pore, onde o planejameno é dividido em relação aos seus principais agenes, ou seja: (1) o planejameno do parque gerador, (2) o planejameno de sisemas de ransmissão e (3) o planejameno da rede de disribuição. Cada uma dessas eapas de planejameno modela a rede para seus próprios propósios. A proposa desa pesquisa é o Planejameno da Expansão de Sisemas de Transmissão no horizone do longo prazo. Aualmene, o sisema elérico vem sendo modiicado mundialmene em sua esruura, passando de uma organização, anes cenralizada, para um esquema descenralizado. O principal moivo que leva a esa reorganização é um aumeno da eiciência dos agenes paricipanes do seor (enre ouros: agenes de geração, agenes de ransmissão, agenes de disribuição). Na organização cenralizada, as areas de planejameno da expansão do sisema elérico são desenvolvidas de uma maneira inegrada, garanindo a minimização dos cusos, oimizando a solução do processo de planejameno. Na esruura descenralizada (novo cenário para o seor elérico) esas aividades são execuadas de orma individualizada, ou seja, cada agene do seor elérico é responsável por deerminar onde e quando seus próprios invesimenos serão realizados. Conudo, ainda visando garanir a oimização dos recursos disponíveis e garanir a minimização dos cusos para os consumidores, as areas radicionais de planejameno da expansão do sisema elérico deverão ser execuadas por uma organização independene, na igura de um plano de reerência. Iso garane um vaso campo para a aplicação das écnicas descrias nesa pesquisa, que raam da solução de problemas de planejameno esáico e dinâmico da expansão de sisemas de ransmissão de energia elérica no horizone de longo prazo. Um sisema de ransmissão de energia elérica é uma esruura exremamene complexa e diversiicada. Ese ipo de planejameno pode ser oimizado com o auxílio de écnicas de programação maemáica. O planejameno pode admiir algumas simpliicações, sendo possível, desa orma, conornar algumas diiculdades de modelagem e resolução. As decisões do planejador podem ser aciliadas pelo uso de méodos cieníicos de planejameno e sua eiciência pode ser aumenada aravés de erramenas (programas) compuacionais para auxiliá-lo a deerminar as opções mais saisaórias. É de

14 responsabilidade do planejador a area de coordenar o uso dessas erramenas, inerprear os resulados e ornecer um elenco de alernaivas viáveis baseadas em uma visão global do processo de planejameno. O sucesso desa meodologia de planejameno depende da capacidade de ineração enre o planejador e os programas de auxílio à decisão. É preciso que eses programas sejam suicienemene poderosos para solucionar problemas realmene complexos, ornecendo ao planejador inormações precisas, e acilmene inerpreáveis. Além disso, devem ser capazes de se ajusar acilmene às decisões do planejador, baseados nas inormações gerais sobre o processo compleo de planejameno. Os esudos para o planejameno do sisema de ransmissão baseiam-se em previsões das condições uuras de operação dese sisema, ais como: crescimeno e disribuição geográica da demanda, capacidade de geração insalada, ec. A deinição do horizone de planejameno é unção direa do grau de coniança das avaliações necessárias para a execução de um esudo de planejameno. Desa orma, em unção dos objeivos de esudo, são deinidos os seguines horizones de planejameno: (1) Esabelecimeno de cenários 30 anos, (2) Planejameno a Longo Prazo 20 anos, (3) Planejameno a Médio Prazo 10 anos, (4) Planejameno a Curo Prazo 5 anos. O objeo de esudo dese rabalho é o planejameno a longo prazo. Exisem duas jusiicaivas básicas para a sua imporância denro do sisema de ransmissão. A primeira é de naureza práica: pode ser necessário um longo empo para implanar uma ampliação nese sisema, por isso as decisões devem ser omadas com uma anecedência adequada. A segunda razão é de naureza meodológica: para eviar decisões míopes (que ignoram os eeios a longo prazo das decisões auais) é necessário azer o planejameno para um horizone de empo que, na práica, se aproxime de horizones de empo ininios. Nese rabalho, é eio uma análise dos principais algorimos heurísicos consruivos usados em planejameno da expansão de sisemas de ransmissão, as principais proposas são esendidas para o planejameno mulieságio e são desenvolvidos novos algorimos heurísicos consruivos. Assim, o ema de pesquisa principal dese rabalho é a análise de algorimos heurísicos consruivos. Enreano, ambém oi iniciada uma pesquisa relacionada com o

15 desenvolvimeno de algorimos de oimização clássica como os algorimos Branch and Bound, iniciando esses rabalhos com o modelo linear disjunivo. Os capíulos resanes dese rabalho oram separados na orma que será mosrada a seguir. O capíulo 2 aborda o problema geral de planejameno de sisemas de ransmissão mosrando de orma resumida os principais modelos maemáicos, as écnicas de oimização usadas e uma revisão sobre o esado da are em planejameno de sisemas de ransmissão. No capíulo 3 analisa-se o algorimo heurísico consruivo (AHC) de Garver para o modelo de ranspores e é eio uma exensão desse algorimo para o planejameno mulieságio. No capíulo 4 é apresenada a proposa de dois AHC para o modelo híbrido linear e ambém é eia uma exensão desa para o planejameno mulieságio. Essas proposas são inédias mas esão inspiradas na proposa de Garver para o modelo de ranspores. No capíulo 5 analisa-se o AHC de Villasana-Garver-Salon que usa o modelo híbrido, mas enconra soluções de boa qualidade para o modelo DC. Foi veriicado que ese algorimo é um dos melhores AHC exisenes na lieraura especializada. Também é eia uma exensão desse algorimo para o planejameno mulieságio. No capíulo 6 é apresenada a proposa de um AHC para o modelo DC e para o planejameno esáico. Ese algorimo represena uma mudança signiicaiva em relação aos ouros AHC, mencionados aneriormene, devido à necessidade de resolver um problema de programação não linear (PNL) em cada passo do algorimo enquano que nos ouros AHC são resolvidos problemas de programação linear (PL). Esa proposa, embora conceiualmene simples, ambém represena uma proposa inédia. Nesse caso não oi esendida a proposa para o planejameno mulieságio devido à ala de disponibilidade de um algorimo de PNL que osse eiciene e robuso. No capíulo 7 apresenada a proposa de um novo AHC em esruura Branch and Bound com a inalidade de conornar os principais problemas que aparecem nos AHC mencionados aneriormene, de uma maneira simples e sem elevar muio o empo de processameno (número de problemas de PL ou PNL que devem ser resolvidos). Uma das vanagens desse ipo de algorimo é que pode ser usado qualquer modelo maemáico, inclusive o próprio modelo AC no uuro. Nessa proposa, odos os ouros algorimos analisados aneriormene podem ser considerados como casos pariculares da proposa apresenada no capíulo 7. A proposa ambém pode ser acilmene esendida para o planejameno mulieságio. Enreano, nese rabalho, pela exensão do ema é apresenada apenas a proposa do algorimo heurísico consruivo em esruura Branch and Bound para o planejameno esáico e para o modelo de ranspores. Assim, pode-se veriicar que exisem vários emas de pesquisa correlaa para o uuro. No capíulo 8 são mencionadas as principais

16 conclusões. No Apêndice são apresenados os dados dos sisemas eléricos e em Anexo, são apresenadas: uma proposa de um algorimo branch and bound para o modelo linear disjunivo, os resulados resumidos obidos com os sisemas eléricos eses e os rabalhos publicados relacionados com a ese.

17 Capíulo 2 O Problema de Planejameno de Sisemas de Transmissão 2.1 Inrodução O objeivo do planejameno de sisemas de ransmissão é deerminar como ampliar a capacidade do sisema, saisazendo a crescene demanda. Para isso é necessária à aquisição de novos equipamenos e insalações, compra de serviços, ec., e elaborar um plano de expansão para veriicar qual ipo de equipameno, qual a capacidade das insalações, o local e a daa para a implemenação desas obras, pois a seqüência e conorme a necessidade com que os equipamenos vão sendo insalados é imporane para minimizar os cusos. O problema de deerminar quais as adições na rede de ransmissão e daa de insalação dos equipamenos é chamado planejameno dinâmico. Se or considerado que odos os equipamenos devem ser insalados em um mesmo período, o problema é chamado planejameno esáico. Em planejameno de sisemas de ransmissão de energia elérica, são dados do problema: a opologia do ano base, os circuios candidaos, os dados de geração e demanda do horizone de planejameno, as resrições de invesimeno, enre ouros. Desa maneira, a solução do problema deve especiicar onde, quanos e quando devem ser insalados os novos equipamenos de expansão. Em planejameno esáico, exise apenas um horizone de planejameno. Uma generalização do planejameno esáico é o planejameno dinâmico ou mulieságio, onde o horizone de planejameno é separado em vários eságios. A resolução do problema de planejameno dinâmico normalmene é muio mais complexa do que a resolução do problema de planejameno esáico. Por isso, cosuma-se empregar méodos de planejameno esáico para auxiliar no problema de planejameno dinâmico. As ormas de como as soluções do problema de planejameno esáico são

18 aproveiadas depende das dimensões do problema e da precisão desejada. Na ormulação do problema de oimização correspondene ao planejameno dinâmico, o conínuo crescimeno da demanda e da geração ao longo do empo que é delimiado pelo horizone considerado é aproximado por crescimenos discreos que ocorrem em anos especíicos que deinirão os diversos eságios represenados. Após cada um dos eságios, considera-se que o sisema permanece inalerado aé o eságio subseqüene, conorme ilusra a igura 1. Figura 1: Duração dos Eságios. Considerando a axa de descono anual I, os valores presenes dos cusos de invesimeno e operação, no ano base T 0, são dados por: c(x) T1 T0 T2 T0 T T0 ( 1 I) c (x) + ( 1 I) c (x) + + ( 1 I) c (x) = (1) 1 2 Para simpliicar a noação, o aor de descono uilizado para converer em valor presene o cuso de invesimeno do eságio da expressão (1) será represenado por δ inv. Deine-se, assim: c(x) 1 2 = δ c (x) + δ c (x) + + δ c (x) (2) inv 1 inv 2 inv Como odo problema de oimização maemáica, o problema de planejameno de sisemas de ransmissão pode ser separado em duas pares claramene deinidas: (1) a

19 modelagem maemáica e (2) a écnica de solução escolhida para resolver esse modelo maemáico. Assim, nas pesquisas apresenadas em 2.4, aparece evidene a modelagem maemáica e a écnica de solução adoada pelos algorimos desenvolvidos nos úlimos anos. Na lieraura especializada, exisem quaro modelos ou ormulações maemáicas para realizar a modelagem do problema de planejameno de sisema de ransmissão: o modelo de ranspores, o modelo híbrido, o modelo DC e o modelo disjunivo. Tradicionalmene, o modelo DC é considerado como sendo o modelo ideal para a represenação do problema de planejameno, sendo os ouros modelos, versões relaxadas ou simpliicadas do modelo DC. Para solucionar eses modelos oram usadas várias écnicas que podem ser agrupadas em rês grupos: méodos heurísicos ou aproximados, méodos de oimização exaa e meaheurísicas. A modelagem maemáica consise na represenação de um problema da vida real, por um modelo maemáico que relacione um conjuno de variáveis de decisão aravés de um conjuno de relações maemáicas que podem assumir ormas e ipos variados. A modelagem maemáica pode ser uma represenação exaa ou simpliicada do problema da vida real. De uma orma geral, quano mais exaa or a modelagem maemáica que represene um problema da vida real, mais complexa será a resolução desse modelo maemáico. Assim, deve exisir o compromisso enre a modelagem maemáica adoada e a écnica de solução escolhida: a modelagem maemáica deve represenar de maneira adequada o problema da vida real e, além disso, deve permiir sua resolução por écnicas de soluções disponíveis com esorços compuacionais aceiáveis. Nesse conexo, o conceio de modelagem adequada varia com o empo, pois modelos muio complexos podem vir a se ornarem adequados no uuro com o aparecimeno de novas écnicas de solução e/ou com a abricação de compuadores muio mais velozes que os disponíveis aualmene. É ambém evidene que a écnica de solução escolhida enconra uma solução para o modelo maemáico e não necessariamene para o problema da vida real. Em planejameno de sisemas de ransmissão, o problema na vida real é um sisema elérico com uma opologia correne e deseja-se deerminar um plano de expansão óimo para ese sisema (consrução de novos circuios) para um horizone de planejameno deinido, ou seja, procura-se deerminar onde e que ipo de circuios deverão ser consruído para que o sisema opere adequadamene num horizone de planejameno para um crescimeno especiicado da demanda. Nese conexo, a modelagem maemáica ideal para indicar a operação adequada do sisema seria a represenação do problema, aravés das relações maemáicas de luxo de carga AC. Enreano, em planejameno de sisemas de ransmissão

20 ainda não se usa a modelagem de luxo de carga AC por vários moivos e os mais imporanes são os seguines: (1) a opologia inicial do sisema elérico, usada para o planejameno é um sisema não conexo, iso é, o sisema apresena um conjuno de barras isoladas ou ilhadas da pare principal do sisema e, no conexo aual, ainda é diícil resolver sisemas dese ipo usando a modelagem maemáica de luxo de carga AC, e (2) o problema de planejameno de sisemas de ransmissão resolve somene o ornecimeno de poência aiva no sisema elérico, o problema de ornecimeno de reaivos (planejameno de reaivos) é resolvido numa ase de planejameno seguine. Ainda não exisem écnicas de solução que resolvam simulaneamene o problema da expansão dos sisemas de ransmissão (consrução de linhas e/ou ransormadores ou planejameno de sisemas de ransmissão) e de alocação de reaivos no sisema elérico. Levando em cona as observações aneriores, aualmene ainda considera-se a modelagem maemáica conhecida como luxo de carga DC como sendo a modelagem ideal para ser usada no problema de planejameno de sisema de ransmissão. Os principais moivos para esse consenso são os seguines: (1) eses experimenais exausivos mosraram que os resulados obidos usando o modelo DC apresenaram resulados muio próximos aos resulados obidos usando o luxo de carga AC em relação a disribuição dos luxos de poência aiva; e (2) exisem várias écnicas de solução (algorimos) que resolvem de maneira adequada os problemas de planejameno que usam o modelo DC. Enreano, nas rês décadas de pesquisas realizadas em planejameno de sisemas de ransmissão oram proposos vários modelos maemáicos para represenar o problema de planejameno. Quaro deses modelos êm obido desaque no campo de pesquisas: o modelo de ranspores, o modelo híbrido, o modelo linear disjunivo e o modelo DC. Usando os quaro modelos maemáicos mencionados aneriormene, o problema resulane é um problema de oimização maemáica envolvendo relações algébricas lineares e/ou não lineares e com variáveis de decisão ineiras e conínuas. Assim, os problemas resulanes correspondem a um campo da pesquisa operacional conhecida como programação não linear ineira misa e, a princípio, para resolver esses problemas, poderiam ser uilizadas as écnicas de solução de problemas de programação não linear ineira misa. O modelo DC usa as duas leis de Kirchho para realizar a modelagem maemáica do problema de planejameno. O modelo disjunivo (que considera as duas leis de Kirchho eliminando as não linearidades do problema) é uma simpliicação do modelo DC, no senido

21 de conornar o problema das não linearidades desa modelagem. Os modelos de ranspores e híbrido são versões relaxadas (aproximadas) do modelo DC. 2.2 Modelagem Maemáica: Planejameno Esáico e Dinâmico Modelo de Transpores No modelo de ranspores deseja-se enconrar uma coniguração que produza o menor invesimeno no plano da expansão do sisema elérico e as suas adequadas condições de operação. As condições de operação adequadas signiicam que o sisema deverá saisazer a primeira lei de Kirchho e os circuios e as usinas de geração deverão operar denro de seus limies especiicados. No conexo desa pesquisa, a primeira lei de Kirchho simplesmene especiica que o somaório dos luxos de poência que enra numa barra do sisema deve ser igual ao somaório do luxo de poência que sai dessa barra do sisema. Usando o modelo de ranspores, a modelagem maemáica do problema de planejameno de sisemas de ransmissão assume a seguine orma: Min v = s.a. ( i, j ) S c n 0 n + g = d 0 ( n + n ) 0 g g n n ineiro irresrio (3) sendo v o invesimeno reerene às adições de circuios no sisema, c é o cuso de um circuio no caminho i-j, n é o número de circuios adicionados no caminho i-j, S é a mariz de incidência nó-ramo ransposa do sisema elérico, é o veor de luxos cujos elemenos represenam o luxo oal no caminho i-j, g é o veor de geração cujos elemenos g i represenam o nível de geração na barra de geração i, d é o veor de demanda cujos elemenos d i represenam a demanda na barra de carga i, n 0 represena o número de circuios na coniguração base no caminho i-j, é o luxo máximo permiido para um circuio no caminho i-j, g é o veor da máxima capacidade de geração nas barras de geração e n é o veor do número máximo de adições permiidas no caminho i-j. As variáveis de decisão e a

22 esruura maemáica do modelo de ranspores apresenado originalmene por Garver é dierene de (3) mas as duas ormulações são conceiualmene equivalenes. No modelo de ranspores, o conjuno de resrições S + g = d represena as equações correspondenes à primeira lei de Kirchho, uma equação para cada barra do sisema; as 0 resrições ( n + n ) represenam as resrições de capacidade de ransmissão dos circuios (linhas e/ou ransormadores) e o valor absoluo é necessário pois os luxos de poência podem luir em ambos os senidos. As ouras resrições são riviais e represenam apenas resrições de limie de geração e de circuios adicionados em cada caminho candidao i-j. Finalmene, as variáveis são irresrias em valor e as variáveis n devem ser ineiras represenando a maior one de complexidade no problema. Do pono de visa de oimização, o modelo de ranspore (3) é um problema de programação linear ineiro miso (PLIM). A resolução para ese sisema (3), ou seja, a deerminação da solução óima, não é simples, especialmene para sisemas eléricos de grande pore. Enreano, se ossem permiidas adições racionárias de circuios (linhas de ransmissão e/ou ransormadores), ou seja, se osse permiido que os n assumissem valores conínuos, enão o sisema (3) se ransormaria num simples problema de programação linear (PL) mesmo para o caso dos sisemas de grande pore. Assim, ica evidene que a resrição n ineiro produz a maior complexidade na solução do sisema (3). Esa caracerísica de relaxação da inegralidade da variável n é aproveiada para o desenvolvimeno de vários ipos de algorimos para resolver o problema de planejameno de sisemas de ransmissão quando a modelagem maemáica de ranspores or uilizada. A grande vanagem do modelo de ranspores é a naureza linear do modelo maemáico, permiindo o uso de écnicas de programação linear como elemeno básico de oimização. A desvanagem principal é que a solução enconrada pelo modelo de ranspores pode esar disane da solução correspondene ao modelo DC, considerado como sendo a modelagem ideal. Em ouras palavras, a solução óima do modelo de ranspores às vezes pode icar muio aasada da solução óima do modelo DC pois a solução do modelo de ranspores não necessariamene saisaz a segunda lei de Kirchho. Quando o sisema de ransmissão exisene e as linhas e ransormadores candidaos são represenados pelo modelo de ranspores, o problema dinâmico do planejameno da expansão assume a orma esabelecida em (4).

23 As variáveis de invesimeno são represenadas pelo número de equipamenos de ransmissão, n, a serem adicionados durane os diversos eságios = 1, 2, 3,..., T. As variáveis de operação são represenadas pelas injeções dos geradores exisenes, g k, e pelos luxos de poência aiva nos ramos,. O limie máximo n represena as resrições relacionadas com a viabilidade da consrução no empo e o limie naurais sobre a capacidade ísica. n represena os limies Min v = s.a. T δ inv = 1, S 0 g 0 n T = 1 n n n k ( i j ) + g 0 g n n c in eiro = d irresrio = 1, 2,, T + k n m= 1 n m (4) sendo que: v - Valor presene do cuso oal de expansão do sisema ao longo de odos os anos que consiuem o horizone de planejameno; δ inv - Faor de descono (amorecimeno) para a deerminação do valor presene do invesimeno realizado no eságio vide equação (2); n - É o número de linhas adicionadas ao caminho i j no eságio ; S - É a mariz incidência nó-ramo ransposa da rede inicial e dos ramos candidaos; - Veor dos luxos de poência aiva, nos ramos, no eságio ; g - Veor das injeções de poência aiva dos geradores no eságio ; d - Veor das demandas de poência aiva no eságio ; - Fluxo de poência aiva oal no caminho i j no eságio ;

24 0 n - Numero de linhas / ransormadores exisenes no caminho i j na rede inicial; - Fluxo máximo de poência aiva, por circuio, no caminho i j; g - k n - Geração máxima do gerador k no eságio ; Número máximo de linhas que podem ser adicionadas no caminho i j no eságio ; n - Número oal máximo de linhas que podem ser adicionadas no caminho i j; T - Número de eságios considerados; Modelo Híbrido A idéia de uilizar uma modelagem híbrida para solucionar o problema de planejameno de sisemas de ransmissão surgiu como uma orma de conornar alguns problemas que apresenavam a modelagem de ranspores e DC. O modelo de ranspore apresena uma excelene lexibilidade para rabalhar com modelos lineares de oimização mas as soluções enconradas podem icar muio disane da solução óima do modelo DC. Por ouro lado, o modelo DC geralmene exige rabalhar com modelos não lineares de oimização. Assim, o modelo híbrido permie enconrar soluções mais próximas da solução óima do modelo DC com a vanagem de rabalhar com modelos lineares de oimização. Enreano, enconrar a solução óima do problema de planejameno de sisemas de ransmissão usando o modelo híbrido, pode ser de uma complexidade quase equivalene que a necessária para o modelo DC. Iso explica o ao em pare da ala de pesquisas publicadas usando o modelo híbrido de maneira independene. Usando o modelo híbrido, a modelagem maemáica do problema de planejameno de sisemas de ransmissão assume a seguine orma: Min v = s.a. ( i, j ) c n S + g = d 0 ( )( ) γ n n θ θ + ( ) 0 i j (5) (5a) i, j Ω (5b) 0 ( n + n ) ( ) 1 i, j Ω (5c) 0 g g (5d) 0 n n (5e) n ineiro, irresrio (5) θ j irresrio j Ω2 (5g)

25 sendo que Ω 0 represena o conjuno de linhas que apresenam adição na coniguração base, Ω 1 represenando o conjuno de linhas correspondenes aos novos caminhos, Ω = Ω 0 Ω1, Ω 2 represena o conjuno de barras que azem pare da coniguração base, ou seja, represena o conjuno das barras que não esão ilhadas, e θ j represena a magniude do ângulo de ensão das barras exisenes na coniguração base, iso é, para as barras perencenes a Ω 2. No sisema (5), o conjuno de resrições (5a) represena as equações da primeira lei de Kirchho, uma equação por barra, para odas as barras do sisema e, o conjuno de equações (5b) represena as equações correspondenes à segunda lei de Kirchho com uma equação para cada caminho que apresenar pelo menos um circuio adicionado na coniguração base. Sendo assim, no modelo de ranspores, o conjuno de equações (5b) simplesmene não aparece, já no modelo híbrido aparece somene uma parcela dessas equações, consiuídas pelos caminhos em que exisam circuios adicionados na coniguração base e, no modelo DC aparecem odas as equações desse ipo, uma para cada caminho exisene e/ou novos caminhos candidaos à adição de circuios. A presença de odas as equações correspondenes à segunda lei de Kirchho no modelo DC, ransormam, ese modelo, num problema mais resrio que o modelo de ranspores e híbrido. Assim, do pono de visa de oimização maemáica, pode-se dizer que o modelo híbrido é um problema relaxado em relação ao modelo DC, ou seja, um conjuno de resrições presenes no modelo DC são eliminadas no modelo híbrido. Da mesma orma, o modelo de ranspores é um problema relaxado em relação aos modelos híbrido e DC porque no modelo de ranspores oram eliminadas odas as resrições correspondenes à segunda lei de Kirchho. Uma conseqüência naural desse processo de relaxação é que uma solução óima para o modelo de ranspores não necessariamene será uma solução óima para os modelos híbridos e DC e, reqüenemene, uma solução óima para o modelo de ranspores poderá ser inacível para os ouros modelos. A mesma observação é verdadeira com a solução óima do modelo híbrido em relação ao modelo DC. Ese é um ema abero a análise eórica e experimenal sobre a qualidade das soluções enconradas pelos modelos relaxados. A vanagem evidene dos modelos relaxados é que podem ser mais acilmene resolvidos. Uma observação imporane é veriicar que cada uma das equações da segunda lei de Kirchho (5b), são equações ou resrições não lineares ransormando o problema em não linear e produzindo um nível de complexidade maior em relação ao modelo de ranspores. Após algumas manipulações algébricas pode-se chegar a uma ormulação equivalene, para o modelo híbrido, que assume a seguine orma:

26 Min v = s.a. ( i, j ) c n S + B 0 θ + g = d θ 1 i θ φ ( ) 0 j i, j Ω n ( i, j) Ω1 0 g g 0 n n n ineiro irresrio θ j irresrio j Ω 2 (6) sendo que: B 0 - Mariz suscepância da rede inicial: 0 γ - Suscepância inicial no ramo i j: γ = n. γ Ω ; Ω0 - θ - S θ i - Conjuno dos ramos que azem pare da rede inicial; Veor dos ângulos de ase do asor ensão nodal das barras da rede inicial; Mariz de incidência nó ramo ransposa dos ramos candidaos; Veor dos luxos de poência aiva nos ramos candidaos; Ângulo de ase do asor ensão nodal da barra i da rede inicial; - Fluxo de poência aiva oal no caminho i j ; Ω1- Ω2 - Conjuno dos ramos candidaos; Conjuno das barras que azem pare da rede inicial; Para o planejameno dinâmico usando a modelagem híbrida, o problema assume a orma descria por (7).

27 min v = s.a. T δ inv = 1, 0 g 0 n n n ( i j ) 0 B θ + S T i = 1 θ θ k j g n n n c in eiro irresrio = 1, 2,, T m= 1 1 m k Φ n + g = d Ω Ω 0 1 (7) sendo que: θ - Veor dos ângulos de ase do asor ensão nodal das barras da rede inicial no eságio ; - Veor dos luxos de poência aiva nos ramos candidaos no eságio ; θi - Ângulo de ase do asor ensão nodal da barra i da rede inicial no eságio ; - Fluxo da poência aiva no ramo candidao i j no eságio. As variáveis de invesimeno coninuam sendo o número de equipamenos de ransmissão, n, a serem adicionados nos vários eságios = 1, 2,..., T. As variáveis de operação, relaivas ao eságio = 1, 2,..., T, são represenadas pelas injeções dos geradores exisenes, g j, pelos ângulos de ase dos asores ensão nodal das barras que azem pare da rede inicial, θ i, e pelos luxos de poência aiva nos ramos da rede candidaa,. Deve ser observado que os ângulos de ase das ensões nodais só são deinidos para as barras que azem pare da rede inicial, Ω 0. E por ouro lado, as variáveis relacionadas com o luxo de poência aiva nos ramos só são deinidas para os ramos candidaos, Ω Modelo Linear Disjunivo A modelagem maemáica considerada como sendo ideal é a chamada modelo DC que é um problema de PNLIM. Enreano, exise a possibilidade de ransormar o modelo DC, não linear, num problema equivalene, cuja modelagem maemáica corresponderia a um

28 modelo linear. Em geral, sempre é possível ransormar um problema não linear quadráico com variáveis binárias e reais em um problema linear com variáveis binárias e reais usando uma ransormação que permia separar os ermos quadráicos em relações lineares. Ese processo é obido incorporando ao problema um parâmero M de valor muio grande. Esa modelagem, chamada de linear disjuniva, oi proposa por vários auores. A modelagem linear disjuniva, cuja solução óima é a mesma que o modelo DC [30], assume a orma de (8). min v = c y + α r (8) s.a. 0 1 S 0 + S1 + g + r = d (8a) 0 0 n γ θ θ 0 i, j Ω (8b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) = ( ) 1 i j γ M 1 n (8c) 1 i j γ θ θ M n (8d) 1 i j n (8e) n (8) 0 r d (8g) 0 g g (8h) 0,1 i, j Ω (8i) n { } ( ) T k ( i, j) k Γ 0, 1, θ j irresrios (8j) Sendo que c é o cuso de invesimeno associado a decisão de consrução do circuio candidao n enre as barras i-j. O α represena um parâmero de penalidade para o core de carga nas barras, r é o veor do monane da carga corado. O n é uma variável binária igual a 1 se é adicionado um circuio no caminho i-j, caso conrário é igual a zero, S 0 é a mariz de incidência nó-ramo ransposa dos circuios exisenes na coniguração base com luxos 0 e S 1 é a mariz de incidência nó-ramo ransposa dos circuios candidaos considerados como variáveis binárias e com luxos 1. As grandezas g e d represenam, respecivamene, a geração de poência aiva injeada e a demanda (carga aiva) a ser aendida pela barra. θ i é o ângulo de ensão na barra i. Finalmene, capacidade de geração do gerador. é luxo de poência no circuio i-j e g é a observações: Em relação ao modelo linear disjunivo apresenado, deve-se azer as seguines

29 1) O conjuno de resrições (8a) represena a primeira lei de Kirchho e corresponde a n b resrições lineares (sendo n b o número de barras do sisema). 2) O conjuno de resrições (8b) represena as resrições da segunda lei de Kirchho para os circuios exisenes na coniguração base e exise uma equação para cada caminho em que exisa circuio na coniguração base. Nese conexo, S 0 é a mariz de incidência nó-ramo ransposa dos circuios exisenes na coniguração base. Porano se exisirem nl 0 caminhos em que exisam circuios na coniguração base, a mariz S 0 será de dimensão nl 0 x nb. Deve-se observar que se num caminho exisirem vários circuios na coniguração base, essa inormação será armazenada numa única coluna da mariz S 0. 3) O conjuno de resrições (8c) e (8d), realmene, pode ser represenado da seguine orma compacada: ( ) ( 1 ) γ θ θ M n (8k) 1 i j e represena a segunda lei de Kirchho para cada circuio candidao a adição. Na modelagem exisirá uma resrição do ipo (8k) para cada circuio candidao a adição. Assim, por exemplo, se num caminho i-j or possível a adição de aé quaro circuios enão deverá exisir quaro resrições do ipo (8k) pois cada circuio candidao à adição é considerado separadamene como uma variável binária. Considerando a adição de cada circuio isoladamene como uma variável binária enão a mariz de incidência nó-ramo S 1 deverá er uma dimensão muio maior que a mariz S 0, sendo que a mesma observação é válida para as dimensões dos veores 0 e 1. 4) É ácil veriicar que a relação (8k) represena a segunda lei de Kirchho para cada circuio binário candidao a adição. Assim, se um circuio no caminho i-j or adicionado ao sisema (n = 1), enão de (8k) será veriicado acilmene que: ( ) ( ) γ θ θ 0 γ θ θ = i j i j Esa relação represena a segunda lei de Kirchho para o caminho i-j. Em caso conrário, se não or adicionado um circuio ao caminho i-j (n = 0), enão (8k) se ransormará em:

30 ( ) γ θ θ M 1 i j que é uma resrição rivial, sempre verdadeira, se o parâmero M or muio grande. O modelo linear disjunivo apresena algumas vanagens e desvanagens em relação ao modelo DC não linear convencional. A principal desvanagem esá relacionado com o aumeno da dimensão do problema com a inrodução de variáveis binárias (no modelo DC podem ser usadas as variáveis ineiras n ) e, principalmene, com a escolha ou deerminação do parâmero M grande para cada resrição que passa a represenar o aor complicane na solução do modelo linear disjunivo. A principal vanagem esá relacionada com a modelagem linear e, evenualmene, pode-se desenvolver algorimos adequados com propriedades de convergência ineressanes do pono de visa eórico. Uma análise dealhada das vanagens e desvanagens da uilização do modelo linear disjunivo pode ser enconrada em [29]. Para o planejameno dinâmico usando a modelagem linear disjuniva, o problema assume a orma de (9) em que: θ - Veor dos ângulos de ase do asor ensão nodal das barras da rede inicial no eságio ; - Veor dos luxos de poência aiva nos ramos candidaos no eságio ; θi - Ângulo de ase do asor ensão nodal da barra i da rede inicial no eságio ; - Fluxo da poência aiva no ramo candidao i j no eságio. As variáveis de invesimeno coninuam sendo o número de equipamenos de ransmissão, n, a serem adicionados nos vários eságios = 1, 2,..., T. As variáveis de operação, relaivas ao eságio = 1, 2,..., T, são represenadas pelas injeções dos geradores exisenes, g j, pelos ângulos de ase dos asores ensão nodal das barras que azem pare da rede inicial, θ i, e pelos luxos de poência aiva nos ramos da rede candidaa,. Deve ser observado que os ângulos de ase das ensões nodais só são deinidos para as barras que azem pare da rede inicial, Ω 0. Por ouro lado, as variáveis relacionadas com o luxo de poência aiva nos ramos só são deinidas para os ramos candidaos, Ω 1.

31 min v = s.a. T δ invc n + α = 1, k Γ ( i j ) r k (9) S 0 g 0 r n T 0 T T T 0 + S γ n γ n γ n T 0 T 0 k k T m= 1 g r { 0,1} irresrio = 1,2,, T ( θ θ ) ( θ θ ) ( θ θ ) n k 1 k T 0 i i m + g i j j + r j = 0 = d M1 M1 T m= 1 T m= 1 n n m m Ω Modelo DC No modelo DC, o sisema elérico compleo deve saisazer as duas leis de Kirchho, iso é, odas as barras do sisema devem saisazer a primeira lei de Kirchho e odos os laços exisenes devem saisazer a segunda lei de Kirchho. Teses experimenais exausivos mosraram que as opologias enconradas usando o modelo DC apresenam bom desempenho quando avaliadas com os modelos radicionais de operação de sisemas de energia elérica como o luxo de carga AC. A ormulação maemáica do modelo DC assume a orma esabelecida em (10): Min v = s.a. ( i, j ) c n S + g = d γ 0 ( n + n )( θi θ j ) = 0 ( n n ) g g n n 0 n ineiro (10)

32 irresrio θ irresrio sendo que γ represena a suscepância de um circuio no caminho i-j, n 0 represena os circuios perencenes a coniguração base, e n represena os circuios adicionados no caminho i-j e a seguine relação é válida: φ = γ Após algumas manipulações algébricas, pode-se chegar a uma ormulação equivalene que assume a seguine orma: Min v = s.a. ( i, j ) c n B θ + g = d 0 0 ( n + n ) θ i θ j ( n + n ) φ 0 g g 0 n n n ineiro θ irresrio (11) sendo que: B - Mariz suscepância da rede inicial e dos ramos candidaos: Ω - Conjuno dos ramos deinidos pela rede inicial e pelos ramos candidaos; θ - Veor dos ângulos de ase do asor ensão nodal; θ i - Ângulo de ase do asor ensão nodal da barra i; Na ormulação (11), deve ser observado que as resrições do ipo: 0 0 ( n + n ) θ i θ j ( n + n ) φ

33 só azem senido para i j al que n 0 + n > 0. No caso de n 0 + n = 0, esas resrições não exisem. O problema, represenado pelas ormulações (10) e (11) é o mais próximo do problema real do sisema elérico, porém, apresena os mesmos inconvenienes já observados no planejameno da expansão do sisema de ransmissão [Romero, 1993]: i. Pare das resrições são não-lineares. Em (10) e em (11), n aparece muliplicado por θ i θ j e, além disso, em (11), a mariz B é unção da variável de invesimeno n e ii. aparece muliplicado pela variável de operação θ. A região acível pode ser não convexa. Assim sendo, mesmo que a unção objeivo seja linear, exisem resrições não lineares ano em (10) quano em (11) e, desa orma, o planejameno de expansão da capacidade de ransmissão orna-se um problema de PNLIM. Quando a rede de ransmissão da coniguração base (exisene) e as linhas e ransormadores candidaos são represenados pelo modelo DC, o problema do planejameno dinâmico da expansão assume a seguine orma: Min v = δ inv s.a. T = 1 i, j θ B + g = T m= 1 n c n d T m 0 + n θi θ j m= 1 n m + n 0 φ (12) 0 g g 0 n n n ineiro θ irresrio T i sendo que: θ - Veor dos ângulos de ase do asor ensão nodal no eságio ; B - Mariz suscepância da rede inicial e dos ramos candidaos no eságio ; θi - Ângulo de ase do asor ensão nodal da barra i no eságio ;

34 As variáveis de invesimeno são represenadas pelo número de equipamenos de ransmissão a serem adicionados nos diversos eságios = 1, 2,..., T. As variáveis de operação, relaivas ao eságio = 1, 2,..., T, são represenadas pelas injeções dos geradores exisenes e pelos ângulos de ase dos asores ensão nodal, θ i. Assim como em (11), o problema ormulado é um problema de programação não linear ineira misa (PNLIM). 2.3 Técnicas de Solução Técnicas Heurísicas Os méodos de solução que uilizam esas écnicas azem o plano de expansão aravés de um processo passo a passo, em que, para uma dada coniguração denominada coniguração base ou inicial, os equipamenos que aumenam a capacidade do sisema, conorme o aumeno da demanda, são adicionados um a um, ou em pequenos grupos. Assim, a coniguração do sisema é modiicada pela adição de um ou vários circuios e, a coniguração, enão obida, é denominada coniguração correne. Eses méodos, geralmene azem uma análise da sensibilidade de uma unção que avalia o desempenho do sisema e cuso da ampliação, em relação a adição de um equipameno especíico, para escolher as melhores adições. Assim, em cada passo, um circuio é selecionado por um indicador de sensibilidade próprio de cada algorimo heurísico. Desa orma, o circuio escolhido, em cada passo, para ser adicionado à chamada coniguração correne será um circuio que corresponderá ao caminho mais araivo ideniicado pela análise de sensibilidade ou indicador de sensibilidade ou ainda, índice de desempenho. A análise de sensibilidade, conorme já dio, é basicamene um parâmero que de alguma maneira esá relacionada com a variação da unção objeivo devido a alguma variação dos parâmeros do sisema, considerando, como sisema, a coniguração correne. Assim, um indicador de sensibilidade possui as seguines caracerísicas: - Ideniica os caminhos mais araivos para realizar adição de circuios;