XXI OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA DE SANTA CATARINA Resolução da prova 1 a fase Nível de junho de 2018

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1 UNVERSDADE EDERAL DE SANTA ATARNA ENTRO DE ÊNAS ÍSAS E MATEMÁTAS DEARTAMENTO DE MATEMÁTA ET MATEMÁTA XX OLMÍADA REGONAL DE MATEMÁTA DE SANTA ATARNA Resolução da prova a fase Nível 9 de junho de 08 roblema. Em um campeonato de futebol, cada time jogou duas partidas contra os demais (portanto, o time A jogou duas partidas contra o time B, duas partidas contra o time, e assim sucessivamente). Em seguida, os dois melhores colocados disputaram a nal, em jogo único. Ao nal do campeonato foram jogadas partidas. Qual foi o número de times que participaram deste campeonato? a) 0 b) c) d) e) 0 Resolução: Denotando por n o número de times, veja que uma partida da primeira fase ca determinada se escolhermos um dos times (n possibilidades), e em seguida o seu adversário (n possibilidades). Assim, pelo princípio multiplicativo, o número de partidas disputadas na primeira fase é dado por n (n ). Note que neste problema, estamos considerando A B e B A como partidas diferentes, pois cada time jogou duas partidas contra os demais. omo a nal foi disputada em jogo único, o número de partidas da primeira fase é dado por =. Assim, segue que n (n ) =, e portanto n =. (Alternativa ) roblema. Um lojista remarcou o preço de uma televisão, baixando-o em 0%. No dia seguinte, arrependido, ele aumentou em 0% o preço remarcado. omparado com o preço inicial, ao nal, o preço da televisão cou: a) % menor. b) % maior. c) o mesmo. d) % maior. e) % menor. Resolução: Seja 0 o preço inicial da televisão. Ao reduzi-lo em 0%, o preço da televisão passou a ser = Quando o lojista aumentou em 0% o preço remarcado, o preço nal,, cou = = = = ortanto, o preço nal da televisão é 9% do preço inicial, ou seja, % menor do que o preço inicial. (Alternativa A) roblema. Em um triângulo retângulo AB com ângulo reto em A, temos que AB = cm e A = cm. Seja D um ponto no lado A tal que BD é a bissetriz do ângulo AB. A área do triângulo BD é igual a: a) 9 cm. b) cm. c) cm. d) cm. e) cm. Resolução: onsiderando o ponto E no lado B tal que BE =, temos que ABD e EBD são triângulos congruentes (caso de congruência LAL), e portanto os ângulos em E são ângulos retos. Desse modo, ED e AB são semelhantes (caso de semelhança AA) e, denotando D = x, temos Segue que x = x = cm e, portanto, a área do triângulo BD é E x D A = = cm B A (Alternativa D) ET Matemática entro de iências ísicas e Matemáticas Universidade ederal de Santa atarina Telefone: (8) 7-9 orm.pet.mtm@contato.ufsc.br

2 XX ORM/S Resolução da prova a fase Nível roblema. A soma dos dois últimos algarismos (dezena e unidade) do número é: a) b) c) 9 d) e) Resolução: ara encontrarmos os algarismos da dezena e da unidade de 08 08, trabalharemos módulo 00. Abaixo, listamos 08 n para n =,..., 8, para vermos se há algum padrão nos resultados mod mod mod mod mod mod mod mod 00 Há um padrão cíclico: de 08 em diante, os dois últimos algarismos se repetem a cada aumento de no expoente. ortanto, para quaisquer q, r N com r temos que Assim, 08 r+q 08 r mod = mod 00, e disso segue que termina em. A soma dos algarismos desejada é portanto + =. roblema. Uma reta é dita tangente a uma parábola se a parábola está toda de um lado da reta e se esta reta intercepta a parábola em apenas um ponto. A equação da reta tangente à parábola y = x no ponto (, ) é: a) y = x. b) y = x. c) y = x. d) y = x. e) x =. Resolução: A equação da reta não vertical que passa por um ponto (x 0, y 0 ) e tem coeciente angular m é dada por y y 0 x x 0 = m. A reta tangente à parábola y = x em (, ) não pode ser a reta vertical x =, pois nesse caso teríamos que a parábola não está toda de um lado da reta. Logo, obtemos no nosso problema que y x = m, em que m denota o coeciente angular da reta, ou seja, a equação da reta procurada é da forma y = mx (m ). Devemos encontrar o valor do coeciente angular m tal que essa reta seja tangente a parábola y = x. ara determinarmos os pontos de intersecção dessa reta com a parábola igualamos suas expressões, obtendo Reorganizando a equação acima obtemos cujo discriminante é x = y = mx (m ). x mx + (m ) = 0, () = ( m) (m ) = m m + = (m ). omo a Equação () tem uma única solução se, e somente se, seu discriminante é zero, obtemos que o valor do coeciente angular deve ser m = e, portanto, a equação da reta é y = x. roblema. O número natural 00 + é: (Alternativa ) ET Matemática entro de iências ísicas e Matemáticas Universidade ederal de Santa atarina Telefone: (8) 7-9 orm.pet.mtm@contato.ufsc.br

3 XX ORM/S Resolução da prova a fase Nível a) múltiplo de 7. b) primo. c) múltiplo de. d) múltiplo de ( + ). e) múltiplo de ( ). Resolução: Uma vez que ( ) mod 7, temos que 00 + ( ) + = + ( ) mod 7, e disso segue que 00 + é múltiplo de 7. Uma outra resolução: dados a e b números reais e m e n números naturais quaisquer com m ímpar, temos que ( a mn + b mn = (a n + b n ) a n(m ) a n(m ) b n + + ( ) m a n b n(m ) + ( ) m b n(m )). azendo a =, b =, m = e n =, obtemos logo, 00 + é múltiplo de = ( + )( ) = 7( ), (Alternativa A) roblema 7. Ao apertar o botão de uma máquina, um hexágono regular é girado 0 o no sentido horário ao redor de seu centro no plano. Ao apertar o botão, o hexágono é girado, no espaço, 80 o com relação à diagonal que sobe da esquerda para a direita. Botão 80 Botão 0 Qual das congurações abaixo não é possível obter, independentemente da ordem e de quantas vezes os botões e são apertados? a) b) c) d) e) Resolução: No hexágono original, denotemos os vértices ímpares com a letra, e os vértices pares com a letra. Os movimentos realizados ao apertarmos os botões e sempre levam em, e em. Botão 80 Botão 0 ortanto, qualquer sequência de apertos destes botões sempre leva em, e em. Assim, vemos que a conguração abaixo não pode ser obtida a partir da original, pressionando os botões. ET Matemática entro de iências ísicas e Matemáticas Universidade ederal de Santa atarina Telefone: (8) 7-9 orm.pet.mtm@contato.ufsc.br

4 XX ORM/S Resolução da prova a fase Nível Uma vez que o hexágono apresentado na alternativa E tem essa conguração, não podemos obtê-lo. (Alternativa E) roblema 8. Sentadas ao redor de uma mesa redonda há 7 pessoas, que podem ser de três tipos: os fulanos, que sempre falam a verdade; os ciclanos, que sempre mentem; e os beltranos, que podem falar a verdade ou mentir. Sabendo que cada pessoa da mesa disse que a pessoa à direita dela é um ciclano, qual é o número mínimo de beltranos que deve haver na mesa? a) 0 b) c) d) e) Resolução: Mostraremos primeiro que é impossível que haja apenas ciclanos na mesa: isto é verdade pois, se há um ciclano na mesa, ele mente ao dizer que a pessoa a sua direita é um ciclano e, portanto, a pessoa à direita desse ciclano é um fulano ou um beltrano. Em seguida, mostraremos que é impossível não haver algum beltrano sentado à mesa: de fato, suponha por absurdo que não há beltranos na mesa. sto quer dizer que cada pessoa na mesa é um fulano ou um ciclano. omo já sabemos que é impossível que haja apenas ciclanos na mesa, e estamos supondo que não há beltranos na mesa, isto garante que há pelo menos um fulano na mesa. Denotando este fulano por, denotemos as demais pessoas da mesa por,..., 7, em que está à direita de, está à direita de, e assim sucessivamente, como na gura. 7 omo é fulano, fala a verdade ao dizer que é um ciclano; portanto, é ciclano. omo é ciclano, mente ao dizer que é um ciclano; portanto, é fulano ou beltrano e, como supusemos que não há beltranos na mesa, segue que é necessariamente um fulano. Seguindo o mesmo raciocínio, podemos concluir que é ciclano, é fulano, é ciclano e 7 é fulano. omo 7 é fulano, 7 fala a verdade ao dizer que (a pessoa a sua direita) é um ciclano; portanto, é ciclano, o que é absurdo pois, como sabemos lá do início, é fulano! O absurdo surgiu de termos suposto erroneamente que não há beltranos na mesa. elo exposto, há pelo menos um beltrano na mesa, portanto. Existem congurações com apenas um beltrano na mesa. Abaixo mostramos um exemplo, denotando os fulanos por, ciclanos por e beltranos por B. B Assim, o número mínimo de beltranos que deve haver na mesa é. roblema 9. ara celebrar os anos da ORM, Nicolas calcula o produto e encontra a soma S de todos os algarismos deste número. Em seguida, calcula a soma S de todos os algarismos de S. rosseguindo desta forma, Nicolas chegará em um S k que tem apenas um algarismo. Que algarismo é este? ET Matemática entro de iências ísicas e Matemáticas Universidade ederal de Santa atarina Telefone: (8) 7-9 orm.pet.mtm@contato.ufsc.br

5 XX ORM/S Resolução da prova a fase Nível a) b) c) 7 d) 8 e) 9 Resolução: O número é divisível por 9, logo a soma S de seus algarismos também é divisível por 9; portanto, a soma S dos algarismos de S também é divisível por 9, e assim por diante. Assim, vemos que o número S k é divisível por 9 e, como S k tem apenas um algarismo, ele necessariamente é igual a 9. (Alternativa E) roblema 0. Seja AB um triângulo equilátero, e sejam D e E pontos sobre o lado A tais que D = DE = EA = A. Denotando por α a medida do ângulo BD, por β a medida do ângulo DBE e por γ a medida do ângulo EBA, temos que: a) α < β < γ. b) α = γ < β. c) α = γ > β. d) α > β > γ. e) α = β = γ. Resolução: Os triângulos ABE e BD são congruentes pelo caso LAL, assim α = γ. onsidere o ponto K BE tal que E esteja entre B e K e BK = B. Na intersecção da circunferência de centro D e raio D com a circunferência de centro B e raio BK está um ponto L que é o terceiro vértice de um triângulo BDL, congruente ao triângulo BD pelo caso LLL (o outro ponto de intersecção das duas circunferências é exatamente o ponto ). Note que a circunferência de centro B e raio B é exterior ao triângulo AB. Então, o ponto L estará no mesmo semiplano que D, em relação à reta BK. Assim, a medida do ângulo DBL é menor que a medida do ângulo DBK. inalmente, como BDL BD, temos que D BL = α < D BK = β. ortanto α = γ < β. ET Matemática entro de iências ísicas e Matemáticas Universidade ederal de Santa atarina Telefone: (8) 7-9 orm.pet.mtm@contato.ufsc.br