Aula 2 - UNIDADES; ORDEM DE GRANDEZA; ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS; VETORES; TEORIA DOS ERROS.

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1 1 Aula 2 - UNIDADES; ORDEM DE GRANDEZA; ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS; VETORES; TEORIA DOS ERROS. O objetivo da física é fornecer uma compreensão quantitativa de certos fenômenos básicos que ocorrem em nosso Universo. A física é uma ciência baseada em observações experimentais e análises matemáticas. O principal objetivo por trás de tais experiências e análises é desenvolver teorias que expliquem o fenômeno estudado e relacioná-las essas teorias a outras já estabelecidas. Felizmente, é possível explicar o comportamento de diversos sistemas físicos usando relativamente poucas leis fundamentais. 1. Padrões de Comprimento, Massa e Tempo Para descrever os fenômenos naturais, devemos fazer medições associadas às quantidades físicas, como comprimento de um objeto. As leis da física podem ser expressas como relações matemáticas entre grandezas físicas que serão apresentadas e discutidas. Em Mecânica, as três grandezas fundamentais são comprimento, massa e tempo. Todas as outras grandezas podem ser expressas em termos dessas três. Se medirmos certa grandeza e desejarmos descrevê-la a alguém, tem de ser especificada e definida uma unidade para a grandeza. Por exemplo, seria sem sentido para um visitante de outro planeta falar-nos sobre um comprimento de 8 glitches se não sabemos o significado da unidade glitch. Por outro lado, se alguém familiarizado com nosso sistema de medida informar que uma parede tem 2,0 metros de altura e nossa unidade de comprimento está definida como 1,0 metro, então sabemos que a altura da parede é duas vezes nossa unidade fundamental de comprimento. Um comitê internacional estabeleceu um sistema de definições e padrões para descrever grandezas físicas fundamentais. Ele é chamado Sistema SI (Sistema Internacional) de unidades. Suas unidades de comprimento, massa e tempo são o metro, o quilograma e o segundo, respectivamente. 1.1 Comprimento Em 1120 d.c., o rei Henrique I da Inglaterra decretou que o padrão de comprimento em seu país seria a jarda, e que a jarda seria precisamente igual à distância entre a ponta de seu nariz ao final de seu braço estendido. Similarmente, o padrão original para o pé adotado pelos

2 2 franceses era o comprimento do pé real do rei Luís XIV. O padrão permaneceu até 1799, quando o padrão legal de comprimento na França tornou-se o metro (m), definido como um décimo de milionésimo da distância do Equador ao Polo Norte. A definição do metro foi modificada para ser igual a ,73 vezes o comprimento de onda da luz laranja-avermelhada emitida por uma lâmpada de criptônio-86. Em outubro de 1983, o metro foi redefinido como a distância atravessada pela luz no vácuo durante o tempo de 1/ de segundos. Esse valor surgiu do estabelecimento da velocidade da luz no vácuo como exatamente metros por segundo. 1.2 Massa A massa representa uma medida de resistência de um objeto a alterações em seu movimento. No SI, a unidade de massa, o quilograma (kg), é definida como a massa de um cilindro específico de liga de platina-irídio mantido na Agência Internacional de Pesos e Medidas, em Sèvres, na França. Neste ponto, devemos ter um pouco de cautela. Muitos alunos iniciantes de física tendem a confundir as quantidades físicas chamadas peso e massa, devemos somente observar que elas são grandezas bastante distintas. 1.3 Tempo Antes de 1967, o padrão de tempo foi definido em termos da duração média de um dia solar médio. A unidade básica de tempo, o segundo (s), foi definida como (1/60) (1/60) (1/24) = 1/ de um dia solar médio. Em 1967, foi redefinido para aproveitar a grande precisão obtida por um dispositivo conhecido como relógio atômico, que usa a frequência característica do átomo de césio-133 como relógio de referência. Um segundo é agora definido como vezes o período de vibração da radiação do átomo de césio. 2. Ordem de Grandeza Suponha que alguém lhe pergunte o número de bits de dados em um CD de música comum. Como resposta, em geral não se espera que você forneça o número exato, mas uma estimativa, que pode ser expressa em notação científica, e que pode ser ainda mais aproximada se expressa como ordem de grandeza, que é uma potência de dez determinada da seguinte maneira:

3 3 Expresse o número em notação científica, com o multiplicador da potência de dez entre 1 e 10 e uma unidade; Se o multiplicador for menor que 3,162 (a raiz quadrada de dez), a ordem de grandeza do número será a potência de dez na notação científica. Se o multiplicador for maior que 3,162, a ordem de grandeza será uma vez maior que a potência de dez na notação científica. Usamos o símbolo ~ para está na ordem de. Geralmente, quando uma estimativa de ordem de grandeza é feita, os resultados são confiáveis dentro de aproximadamente um fator de dez. Se uma quantidade aumenta o valor em três ordens de grandeza, seu valor aumenta em um fator de cerca de 10 3 = Algarismos Significativos Apesar do grande número de regras, macetes e tratados sobre o assunto de erros e algarismos significativos, este está longe de ser padronizado ou empregado com uniformidade, pelos vários autores. O melhor tratamento dos dados é através da teoria dos erros e suas leis de propagação, mas as regras de algarismos significativos são aproximações mais fáceis de utilizar e aceitáveis em boa parte de trabalhos, como os que iremos realizar. Por exemplo: Com uma escala milimetrada faz-se a medida do comprimento de uma mesa, obtendo-se 930 mm. O erro que afeta a medida é de 1 mm. O resultado deve ser dado com o erro afetando a última casa, obtendo-se: (930 ± 1) mm. Regras práticas para cálculos com algarismos significativos: Regra 1: Quando aparecem constantes físicas ou numéricas como fatores nas fórmulas basta tomá-las com um algarismo significativo a mais que o fator mais pobre (menos algarismos significativos) dos fatores. Por exemplo: Determinar a circunferência C de uma polia com diâmetro D = 4,25 m. Temos que C = π D. Donde C = 3,142 4,25. Regra 2: Na multiplicação o produto tem o mesmo número de significativos que o fator mais pobre, ou, às vezes, um a mais que este. Por exemplo: 3 x 4 = 12; 5 x 5 = 25, etc. O valor da circunferência do exemplo acima é C = 13,35 m ou 13,4 m. Devemos, portanto, fazer as contas normalmente e arredondar o resultado. Regra 3: Na divisão o quociente tem o mesmo número de significativos que o fator mais pobre, ou, às vezes, um a menos que este. Por exemplo: 803,407 : 13,1 = 61,3 é o resultado já arredondado. Regra 4: O resultado de uma soma ou subtração não deve conter mais algarismos significativos à direita do que o número de maior erro absoluto (de menor precisão). Por

4 4 Exemplo: ,91 + 1, , ,2 = 12620,1001. Como das parcelas o número de maior erro absoluto é o (cujo erro incide na casa das unidades), arredondando teremos o resultado final. Regra geral: Usando calculadoras eletrônicas devemos fazer as contas com todos os algarismos significativos ou não e representar o resultado conforme as regras práticas acima. Em operações sequenciais (seguidas) devemos aplicar as regras práticas acima após cada operação. Portanto, o conceito de algarismo significativo em um resultado experimental, é um algarismo efetivamente relacionado com a medição feita, e tem um significado físico. Vejamos um exemplo muito simples. Suponhamos que um móvel tenha percorrido a distância de 10 cm em 3 segundos. Para sabermos a distância percorrida em 1 segundo, dividimos 10 por 3. Do ponto de vista matemático, nada nos impede de prosseguirmos a divisão indefinidamente. Portanto, poderíamos obter os quocientes: 3,3 cm; 3,33 cm; 3,333 cm; 3,3333 cm; 3,33333 cm; etc., já do ponto de vista físico, só o resultado 3,33 cm tem sentido, pois com os métodos usuais de medição de distâncias, obtemos no máximo uma precisão de décimos de milímetros, de modo que só até o segundo algarismo após a vírgula são realmente algarismos significativos. 4. Sistemas de Coordenadas Muitos aspectos da física de algum modo lidam com localizações no espaço. Por exemplo, a descrição matemática do movimento de um objeto exige um método para especificar a posição desse objeto. Portanto, primeiro discutiremos como descrever a posição de um ponto no espaço por meio de coordenadas em uma representação gráfica. Um sistema de coordenadas usado para especificar localizações no espaço consiste em: Um ponto de referência fixo O, chamado origem; Um conjunto de eixos ou direções especificados com uma escala apropriada e rótulos nos eixos; Instruções que nos digam como rotular um ponto no espaço relativo à origem e aos eixos. Um sistema de coordenadas conveniente que utilizaremos com frequência é o sistema cartesiano de coordenadas, às vezes chamado de sistema retangular de coordenadas. Esse sistema em duas dimensões é ilustrado na Figura 1. Um ponto arbitrário nele é rotulado com as coordenadas (x, y). O x positivo é levado para a direita da origem, e o y positivo fica acima dela. O x negativo fica à esquerda da origem, e o y negativo, abaixo dela.

5 5 Figura 1: Designação de pontos em um sistema de coordenadas cartesianas. Cada quadrado no plano xy tem 1 m de lado. Cada ponto é identificado com coordenadas (x, y). Às vezes, é mais conveniente representar um ponto em um plano por suas coordenadas polares planas (r, θ), como na Figura 2.a. Nesse sistema de coordenadas, r é o comprimento da linha da origem para o ponto, e θ, o ângulo entre a linha e um eixo fixo, normalmente o eixo x positivo, com θ medido no sentido anti-horário. A partir do triângulo retângulo na Figura 2.b, vemos que: x rcos (1) y rsen (2) Figura 2: (a) As coordenadas polares planas de um ponto são representadas pela distância r e o ângulo θ, em que θ é medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. (b) O triângulo retângulo utilizado para relacionar (x, y) a (r, θ).

6 6 Além disso, se soubermos as coordenadas cartesianas, as definições da trigonometria nos dirão que: y tg (3) x e r 2 2 (4) x y Você deve observar que essas expressões que relacionam as coordenadas (x, y) às coordenadas (r, θ) se aplicam apenas quando θ é definido como mostrado na Figura 2.a, em que θ positivo é um ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo x. 5. Vetores e Escalares Cada uma das grandezas físicas que encontraremos neste livro pode ser colocada em uma das duas categorias: escalar ou vetor. Escalar é uma grandeza completamente especificada por um número positivo ou negativo com unidades apropriadas. Por sua vez, vetor é uma grandeza física que deve ser especificada por módulo (ou magnitude) e direção e sentido. Exemplos de grandezas escalares são temperatura, volume, massa e intervalos de tempo. Força é um exemplo de grandeza vetorial. Para que possamos descrever completamente a força em um objeto, devemos especificar a direção a direção da força aplicada e o módulo desta. Outro exemplo simples de uma grandeza vetorial é o deslocamento de uma partícula, definido conforme a mudança de posição desta. Suponha que a partícula se mova de algum ponto A para um ponto B em um caminho reto, como na Figura 3. Esse deslocamento pode ser representado pelo desenho de uma reta de A para B, em que a posição da seta representa a direção do deslocamento, cujo comprimento representa o módulo do deslocamento. Portanto, o deslocamento de uma partícula será completamente conhecido se suas coordenadas iniciais e finais forem conhecidas. O caminho não precisa ser especificado. Em outras palavras, o deslocamento será independente do caminho se os pontos finais do caminho forem fixos. Observe que a distância percorrida por uma partícula é bastante diferente de seu deslocamento. A distância percorrida (uma quantidade escalar) é o comprimento do caminho, que, em geral, pode ser bem maior que o módulo do deslocamento.

7 7 Figura 3: Conforme uma partícula se move de A para B ao longo de uma trajetória arbitrária representada pela linha tracejada, seu deslocamento é uma grandeza vetorial mostrada pela seta desenhada de A a B. Se a partícula se move ao longo do eixo x da posição x i para a posição x f, como na Figura 4, seu deslocamento é dado por x f x i. Utilizamos a letra grega delta (Δ) para indicar a mudança em uma quantidade. Portanto, definimos a mudança na posição da partícula (o deslocamento) como: x x f x i (5) Figura 4: Uma partícula que se move ao longo do eixo x de x i a x f sofre um deslocamento x x f x i. Muitas grandezas físicas, além do deslocamento, são vetores, os quais incluem velocidade, aceleração, força e momento. 6. Algumas Propriedades dos Vetores Igualdade de dois vetores: Dois vetores A e B poderão ser definidos como iguais se tiverem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido. Isto é, A B somente se A = B e A e B apontarem para a mesma direção e sentido. Por exemplo, todos os vetores na Figura 5 são

8 8 iguais, ainda que tenham pontos de partida diferentes. Essa propriedade nos permite mover um vetor paralelo para ele mesmo em um diagrama sem afetar o vetor. Figura 5: Essas quatro representações de vetores são iguais porque todos os vetores têm o mesmo módulo e apontam na mesma direção e sentido. Adição: As regras para adição de vetores são convenientemente descritas por um método gráfico. Para adicionar um vetor B a um vetor A, primeiro desenhe um diagrama do vetor A em um papel milimetrado, com seu módulo representado por uma escala conveniente, e depois desenhe o vetor B na mesma escala, com sua origem na extremidade do vetor A, conforme mostrado na Figura 6. O vetor resultante R A B é aquele desenhado da cauda de A à ponta de B. A técnica para adicionar dois vetores geralmente é chamada método cabeça-para-cauda. Figura 6: Quando o vetor B é adicionado ao vetor A, o resultante R é o vetor que passa da cauda de A para a ponta de B. Em resumo, uma grandeza vetorial tem módulo, direção e sentido, e também obedece às leis da adição de vetores, conforme descrito na Figura 7. Quando dois ou mais vetores são adicionados, todos devem ter a mesma unidade e ser do mesmo tipo de quantidade. Não teria

9 9 sentido adicionar um vetor velocidade a um vetor deslocamento, pois esses vetores representam quantidades físicas diferentes. Figura 7: Construções geométricas para verificação da lei associativa da adição. Negativo de um Vetor: O negativo do vetor A é definido como o vetor que, quando adicionado a A, fornece zero para a soma dos vetores. Isto é, A A 0. Os vetores A e A têm o mesmo módulo na mesma direção, mas apontam em sentidos apostos. Subtração de Vetores: A operação de subtração de vetores faz uso da definição do negativo de um vetor. Definimos a operação A B como o vetor B adicionado ao vetor A : A B A ( B) (6) A construção geométrica para subtrair dois vetores dessa maneira é ilustrada na Figura 8. Figura 8: Subtraindo o vetor B do vetor A. P vetor aponta na direção oposta. B é igual em módulo ao vetor B e Multiplicação de um Vetor por um Escalar: Se um vetor A for multiplicado por uma quantidade escalar positiva s, o produto sa será um vetor que tem a mesma direção e sentido

10 10 que A e módulo sa. Se s for uma quantidade escalar negativa, o vetor sa terá mesma direção e sentido oposto a A. Multiplicação de dois Vetores: Dois vetores A e B podem ser multiplicados de duas formas diferentes para produzir uma quantidade escalar ou vetorial. O produto escalar (ou produto ponto) A B é uma quantidade escalar igual à ABcosθ, em que θ é o ângulo entre A e B. O produto vetorial (ou produto cruzado) A B é uma grandeza vetorial cujo módulo é igual à ABsenθ. 7. Componentes de um Vetor e Vetores Unitários Componentes de Vetores: Uma técnica elegante e simples para somar vetores envolve o uso da álgebra, mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares. Os eixos x e y são desenhados no plano do papel, como na Figura 9.a. O eixo z é perpendicular ao papel e vamos ignorá-lo por enquanto. Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na Figura 9.b, A x é a componente do vetor A em relação ao eixo x e A y é a componente do vetor em relação ao eixo y. Para encontrar a projeção de um vetor em relação ao eixo traçamos retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor. Componente x do vetor (A x ): é a projeção de um vetor em relação ao eixo x. Componente y do vetor (A y ): é a projeção de um vetor em relação ao eixo y. Decomposição de um vetor é o nome dado ao processo de obtenção das componentes do vetor. No caso mais geral, um vetor tem três componentes. Aqui, trataremos vetores em duas dimensões. Neste caso, eles terão apenas duas componentes, sendo a componente z nula. Figura 9: (a) Um vetor A no plano xy pode ser representado por seus vetores componentes A x e A y. (b) A componente y, ou vetor A y pode ser movido para a direita de maneira que ele

11 11 se some a triângulo retângulo. A x. A soma vetorial dos vetores componentes é A. Esses três vetores formam um Na Figura 9, as componentes de A são: A x Acos e A y Asen (7) onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o semi-eixo x positivo e A é o módulo de A. Se conhecermos um vetor na notação de componentes (A x e A y ) e queremos especificálo na notação módulo-ângulo (A e θ), podemos usar as equações: A 2 2 e A x A y Ay tg. (8) A No caso mais geral de três dimensões, precisamos do módulo e de dois ângulos (A, θ, φ) ou de três componentes (A x, A y e A z ) para especificar um vetor. x Vetores Unitários: Vetor unitário é um vetor que tem módulo igual a 1 e aponta em uma certa direção. Um vetor unitário não tem dimensão, nem unidade. Sua única função é especificar uma orientação. Usaremos para os vetores unitários que indicam os sentidos positivos dos eixos x, y e z a nomenclatura i, j e k, respectivamente. As setas foram substituídas por ^, para indicar que o vetor é unitário. Os vetores unitários i, j e k formam um conjunto de vetores mutuamente perpendiculares, conforme mostrado na Figura 10.a, na qual o módulo de cada vetor unitário é igual a 1, isto é, i j k 1. Figura 10: (a) Os vetores unitários i, j e k são direcionados ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. (b) Um vetor A no plano xy tem vetores componentes A x i e Ay j em que A x e A y são as componentes de A.

12 12 Considere um vetor A no plano xy, como na Figura 10.b. O produto da componente A x e o vetor unitário i são o vetor componente A A i, que fica no eixo x e tem módulo Ax. x x Da mesma maneira, A y j é o vetor componente de módulo Ay no eixo y. Portanto, a notação de vetor unitário para o vetor A é: A A i A j. (9) x y 8. Introdução a Teoria dos Erros No nosso dia a dia temos que realizar medições, tais como tempo, comprimento, peso, volume, área, etc., ou seja, estamos frequentemente mensurando um fenômeno que está acontecendo e que estamos observando, expressando-o um determinado número. Todas as grandezas físicas, que resultaram de medições, estão afetadas de uma incerteza que se convencionou chamar erro, desvio, imprecisão ou incerteza da medida. O erro (que contém certo grau de subjetividade) é afetado pela perícia do operador, pela qualidade dos instrumentos utilizados, pelo controle exercido sobre as condições ambientais (tais como: temperatura, pressão, interferências elétricas ou mecânicas, etc., que afetam os instrumentos de medidas), pelo número de reiterações (repetições) das medidas, e é normalmente dado com apenas um algarismo significativo. Portanto, o erro de uma medida é a diferença entre o valor verdadeiro (geralmente tabelado) e o valor médio obtido por meio de uma medida direta ou indireta. 8.1 Tipos de Erros Os diversos tipos de erros que podem ser cometidos numa medição costumam ser divididos em três categorias: Erros acidentais ou aleatórios; Erros grosseiros; Erros sistemáticos. Erros acidentais ou aleatórios: é o erro devido a fatores casuais que variam de uma medida para a seguinte, realizadas em condições idênticas, que se verificam ora no sentido positivo ora no sentido negativo. Suas amplitudes estão compreendidas dentro da aproximação dos instrumentos. São devidos a causas diversas e imprevisíveis. Erros acidentais não podem ser

13 13 evitados e nem corrigidos, pois ocorrem sempre ao acaso independente do observador e do instrumento. Os erros acidentais também são chamados de erros casuais, erros estatísticos, erros estocásticos ou erros aleatórios. Como principais fontes de erros acidentais podemos citar as pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade) e de operação dos equipamentos (fontes de ruídos, picos de energia e outros). Erros grosseiros: decorrem da falta de cuidado ou falta de experiência do observador, como por exemplo, erros de leitura na escala de um instrumento, escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Os erros grosseiros podem e devem ser evitados. Geralmente as medidas decorrentes desses erros são detectadas por meio da repetição das medições. Estas medidas, incorretas, aparecem na série de medidas, se destacam por serem muito diferentes dos dados da série, devem ser descartadas, mas cuidado verifique se não ocorrem repetições destes valores discrepantes, podem indicar algum fenômeno não observado ou não esperado. Erros sistemáticos: caracterizam-se por ocorrerem em sucessivas medidas, afetando os resultados sempre no mesmo valor e sentido. Os erros sistemáticos induzidos pelo observador podem decorrer por deficiência da visão, atraso ou adiantamento em acionar um cronômetro (cada pessoa tem um tempo de resposta cerebral até a execução da ação). Os erros sistemáticos também podem ser introduzidos pelo instrumento de medida ou do método de medição, através de uma ação permanente de uma causa externa. Por exemplo, utilização de uma escala em temperatura diferente daquela em que foi aferida; deslocamento do zero do instrumento; determinação do peso de um corpo no ar em vez de fazê-lo no vácuo. Os erros sistemáticos não podem ser reduzidos pela reiteração das medidas. Embora seja possível, nem sempre é fácil corrigir o erro sistemático, e cada caso deve ser avaliado em particular. Devemos salientar que não existem medidas exatas, todas elas têm uma incerteza, mas há medidas muito precisas cujo valor, chamado de valor verdadeiro é obtido utilizandose técnicas e instrumentos de alta resolução. Precisamos entender a diferença entre exatidão e precisão. Exatidão é o grau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando. Precisão é um conceito qualitativo para indicar o grau de concordância entre os diversos resultados experimentais, obtidos em condições de repetitividade. Uma boa precisão significa um erro estatístico pequeno. Entretanto mesmo com uma boa precisão, se o erro sistemático for grande a exatidão poderá ser ruim.

14 14 Para entender a diferença entre exatidão e precisão vamos imaginar um alvo e uma pessoa atirando projéteis para atingir o centro deste alvo. Vamos pensar em três situações que podem acontecer: um atirador mira no alvo e atira diversas vezes e acerta o alvo conforme figura 1a; outro atirador mira no alvo e o acerta conforme figura 1b e um terceiro atirador mira no alvo e o acerta conforme figura 1c. Figura 1: Projeteis incrustados em três alvos. Analisando a Figura 1, vemos que o primeiro atirador (Figura 1a) tem uma mira bem precisa. Todos os projéteis atingem uma região pequena, mas distante do centro do alvo, portanto tem uma boa precisão (erro estatístico pequeno), mas o ponto médio de seus tiros não engloba o alvo (valor verdadeiro da medida), portanto é inexata. O segundo (Figura 1b) não tem boa precisão os tiros estão espalhados por uma região maior que o primeiro, mas engloba o centro do alvo, portanto tem pouca precisão, mas uma boa exatidão. O terceiro (Figura 1c) apresenta uma boa precisão e uma boa exatidão, pois a região onde os tiros atingem é pequena e engloba o alvo. 8.2 Medições e Tratamento dos Erros Acidentais Vimos que a medição de uma grandeza física pode ser feita através dos métodos direto ou indireto Medições Diretas Para uma única medida realizada de uma grandeza física, o erro pode ser obtido de duas formas diferentes, sendo: Com erro fornecido pelo fabricante do instrumento de medição, por exemplo: Paquímetros com erro de 0,05 mm, paquímetros com erro de 0,02 mm, micrômetros com erro de 0,01 mm, etc.

15 15 Com erro avaliado: De acordo com a maioria dos autores, chamamos de erro avaliado ou desvio avaliado de um instrumento de medição, à metade da menor divisão da escala do aparelho utilizado. Chamando de Δx o desvio de uma medida da grandeza (x) a mesma deverá ser expressa da seguinte forma: (x ± Δx) [unidade de medida] (1) Por exemplo: Se medirmos um comprimento com um paquímetro de precisão igual a 0,05mm e, encontrarmos 51,50 mm, a forma correta de apresentar o resultado será: (51,50 ± 0, 05) mm. Desta forma, teremos mais confiança na medida, pois seu valor verdadeiro estará dentro da faixa (51,45 mm e 51,55 mm). O desvio avaliado poderá ser aumentado ou diminuído, conforme a maior ou menor confiabilidade que temos, em relação á resolução (precisão) do instrumento utilizado. O conceito de resolução de um aparelho se liga ao menor valor que pode ser estimado de sua escala. Assim uma escala milimétrica tem resolução de 1 mm, um voltímetro com escala de 0 a 100 V e com 100 divisões tem resolução de 1 volt, e assim por diante. A resolução de um instrumento é importante, pois em geral seu erro é tomado como a da menor divisão. Nos instrumentos digitais, o desvio é tomado como a menor divisão. Normalmente nestes instrumentos, o número de dígitos apresentados é maior. Para várias medidas: Quando em uma experiência obtemos vários dados para o valor de uma grandeza, é frequente usarmos o valor médio como o número que melhor representa esta grandeza. m M m... m N N 1 2 N 1 onde: M i = vários dados obtidos; N = número de dados; M = valor médio. Como já vimos, ao representar uma grandeza, não estamos interessados apenas no valor médio, que é o valor mais provável, mas também no erro que podemos estar cometendo. Para uma série de medidas, a melhor estimativa deste erro é obtida através do cálculo do desvio médio, do desvio padrão ou do desvio padrão do valor médio. N i1 M i (2)

16 16 Desvio médio (ou erro médio): É a medida aritmética dos valores absolutos dos desvios: x N i 1 M N i M (3) Onde: M i M é chamado de desvio absoluto de uma medida. São as flutuações individuais em torno da média, que ocorrem igualmente numa e noutra direção. É claro que se calcularmos o valor médio dos desvios normalmente obteremos zero. Exemplo: Em três determinações consecutivas da massa de uma amostra foram obtidas os seguintes valores: m 1 = 7,4 g; m 2 = 7,7 g; m 3 = 7,7 g. O valor mais provável da massa é m = 7,6 g. O desvio dos três resultados individuais da massa são: δ 1 = - 0,2 g; δ 2 = + 0,1 g; δ 3 = + 0,1 g. O desvio médio será Δm = 0,1. Portanto, o resultado da série de medições será apresentado na forma: Desvio Padrão: Este valor mede, o espalhamento das medidas. m 7,6 0, 1g. (4) N 2 x x i 1 i m (5) N 1 O quadrado de σ m dá-se o nome de variância ( ). Quanto menor for o valor de σ m, mais precisa é a série de medidas. Toda medição afetada de erro maior que 3(σ m ), que seria o erro tolerável, deve ser rejeitada. Desvio Padrão do Valor Médio: É a flutuação do valor médio em relação ao valor real da grandeza. N 2 2 m x x i 1 i. (6) m N( N 1) Obs.: O valor médio das medições diretas é que indicará o número de casas decimais a serem consideradas no erro.

17 Medições Indiretas São os resultados obtidos para uma grandeza física, através de operações matemáticas de duas ou mais medidas diretas. Propagação de Erros: A propagação de erros surge naturalmente quando vamos calcular a medida indireta de uma grandeza, através de uma equação, utilizando as medidas diretas realizadas. Por exemplo: Suponhamos que queremos calcular a intensidade (I) da corrente elétrica que atravessa um resistor de resistência (R), submetido a uma diferença de potencial (V). Temos que: V I. (7) R Sendo a medida da tensão (V ± ΔV) e da resistência (R ± ΔR), as incertezas ΔV e ΔR irão acarretar uma incerteza ΔI, no cálculo da corrente. Para o cálculo desta incerteza existem vários métodos, nas ciências experimentais. Descreveremos aqui o método das diferenciais logarítmicas, o qual é mais comumente usado e o faremos, através de um exemplo prático. Temos: Consideremos a medida da superfície de um retângulo de lados (A) e (B). S A B. (8) Sendo A = (a ± Δa) e B = (b ± Δb) as medidas experimentais dos lados. Então tomando o logarítmo neperiano da Eq.(8), temos que: Diferenciando, temos: ln S ln A ln B. (9) ds S da db (10) a b Onde (da / a) e (db / b) são os erros relativos cometidos em (a) e (b) enquanto (da) e (db) são os erros absolutos. Em uma primeira aproximação faremos tender os erros infinitesimais (da) e (db) para os erros finitos (Δa) e (Δb). Pode ocorrer que as parcelas do segundo membro da Eq.(10) sejam positivas ou negativas (faz-se um erro para mais ou para menos), mas como não se pode calcular senão o erro máximo possível que se pode cometer, colocar-nos-emos na posição mais desfavorável em que estes dois erros sejam de mesmo sinal, caso em que se adicionarão. Tomaremos, então a soma dos valores relativos, em módulo:

18 18 ds S da db (11) a b S S a b. (12) a b Por exemplo, se Δa = Δb = 0,5 mm, com a = 20,0 mm e b = 40,0 mm, teremos para o erro relativo máximo de S: onde S S 0,5 20 1,5 40 0,5 1, ,5 40 (13) 2 S S mm (14) Logo, a superfície (S) estará compreendida entre (800 30) mm 2 e ( ) mm 2. Teremos, portanto: mm S. (15) Repetindo novos exemplos e, aplicando as diferenciais logarítmicas, chegaríamos aos seguintes resultados: Sejam A e B duas grandezas a serem medidas, onde: a melhor avaliação de A; b melhor avaliação de B; Δa desvio de A; Δb desvio de B, teríamos, então, para: a) Soma: A B a b a b ; b) Subtração: A B a b a b ; c) Produto: A B a b a b ba ; A a ba a b d) Quociente: 2 ; B b b n n n1 e) Potência: A a na a. Obs.: Nas medições indiretas, o erro calculado é que indicará o número de casas decimais que devemos considerar.

19 19 Desvio Relativo Percentual: Quando comparamos medidas da mesma grandeza (x), obtidas em escalas diferentes, a medida mais precisa será aquela que apresentar menor desvio relativo percentual (δ r ). O desvio relativo percentual é obtido por: x 100. (16) x r Desvio Percentual: O desvio percentual é calculado quando se conhece o valor verdadeiro (valor teórico) da grandeza a ser medida, é definido como sendo o módulo da diferença entre o valor teórico e o valor experimental em relação ao teórico, vezes 100%, ou seja, Exercício V teor. V V teor. exper (17) 1) Em um experimento de cinemática é utilizada uma rampa inclinada e o tempo que o objeto leva para percorrer a rampa é medido 20 vezes conforme a tabela 1. Tabela 1: Dados experimentais do exercício 1. 43,27 43,29 43,28 43,28 43,30 43,30 43,30 43,29 43,29 43,28 T(s) 43,28 43,31 43,29 43,29 43,28 43,29 43,29 43,29 43,29 43,29 Obtenha explicitamente: a) o valor médio; b) a somatória do desvio de cada medida; c) expresse os resultados com os algarismos significativos corretos fazendo os arredondamentos necessários. 2) Em um experimento para determinar a força que agia sobre um móvel foram feitas medidas de massa e aceleração obtendo m = (10,0 ± 0,2) g e a = (9,86 ± 0,05) m/s 2, de posse destes dados calcule o valor médio e o desvio padrão da força sabendo que F = m a, expresse seu resultado final da seguinte forma: F F N. Faça os arredondamentos necessários para que somente os algarismos significativos apareçam no resultado. F Referências [1] Serway R. A; Jewett Jr. J. W.; Princípios de Física Vol. 1: Mecânica Clássica e Relatividade; São Paulo, Cengage Learning, [2] Halliday, D.; Fundamentos de Física, Vol. 1: Mecânica; 8º Edição; Rio de Janeiro; LTC; 2008.