RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 2 ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

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1 VERSÃO PARA IMPRESSÃO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO

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3 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 3 SUMÁRIO Aula 5 Transformação das Deformações Específicas Estado Plano de Deformações Equações Gerais Deformações Principais e Deformação de Cisalhamento Máxima Rosetas de Deformação Aula 6 Círculo de Mohr Estado Plano de Tensão Construção do Círculo de Mohr Tensões em um Elemento Inclinado Estado Plano de Deformação Relação entre Propriedades de um Material Lei de Hooke Generalizada Dilatação e Módulo de Bulk... Aula 7 Critérios de Resistência Definição Materiais Dúcteis Teoria da Máxima Tensão de Cisalhamento Teoria da Máxima Energia de Deformação Materiais Frágeis Teoria da Máxima Tensão Normal Critério de Falha de Mohr Aula 8 Introdução a Teoria da Elasticidade Conceitos Básicos Equações de Equilíbrio Equações de Compatibilidade Aplicação Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

4 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 4 Aula 5 TRANSFORMAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS Olá, estudante, bem-vindo(a) à segunda Unidade de Interação e Aprendizagem (UIA). Nesta unidade, você vai se aprofundar na análise de tensão e deformação, que incluir tópicos de transformação das deformações específicas, o círculo de Mohr aplicado ao estado plano de tensão e deformação, bem como os critérios de resistência que devem ser aplicados em estado de tensões complexas. Ao final, faremos uma introdução à Teoria de Elasticidade, que a Resistência dos Materiais tem como base. Espero que você aproveite bastante essas informações! Bons estudos! n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula e tenha uma breve introdução dos principais tópicos que serão abordados na UIA. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 5.1. ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES Um estado plano de deformações ocorre quando uma dimensão é muito grande comparada com as outras, como mostra a Figura 1. Veja que a tensão principal na direção da dimensão mais longa é desprezada e pode ser considerada zero, cedendo à condição de estado plano de deformação. Nesse caso, apesar de todas as tensões principais não serem zero, a tensão principal na direção da dimensão mais longa pode ser ignorada para os cálculos. Logo, isso permite uma análise bidimensional das tensões, como é o caso da análise de barragens na seção de corte carregada. Figura 1. Estado plano de deformações Um estado tridimensional de deformações em um ponto de um corpo carregado é representado pelas três componentes de deformação normal específica ε ", ε $ e ε ' e pelas outras três componentes de deformação de cisalhamento: γ "$, γ "' e γ $'.. Como você viu na aula sobre deformação, as componentes normais tendem a esticar/encurtar o corpo carregado, enquanto as deformações por cisalhamento tendem a distorcer angularmente. Um estado plano de deformações ocorre quando ε ", ε $ e γ "$ são determinadas na análise e as outras componentes ε ', γ "' e γ $' n não são consideradas. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

5 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 5 Uma forma de visualizar esse estado de deformação é como mostra a figura anterior. Nesse caso, a espessura é muito maior que a seção transversal do corpo. Logo, a deformação na direção da espessura é proveniente do coeficiente de Poisson. Esse termo de deformação pode ser temporariamente removido a partir da análise de tensões para deixar apenas os termos do plano, reduzindo de forma efetiva a análise para duas dimensões. Figura. Deformações de elemento infinitesimal dx dy A Figura mostra como ocorre a deformação num estado plano em um elemento infinitesimal dx dy. No primeiro caso, temos a deformação específica normal na direção de x. Observe o efeito de Poisson na direção de y. Da mesma forma, a deformação específica na direção de x provoca deformação na direção de x devido ao efeito de Poisson. Na Figura (c), temos uma simetria da deformação por cisalhamento γ "$ /, dando a deformação total γ "$ EQUAÇÕES GERAIS Agora iremos deduzir as equações gerais de transformação para o estado plano de deformação. Para isso, vamos usar a Figura 3, que apresenta os três estados de deformação de forma separada. Queremos determinar as deformações em um plano genérico definido por um eixo x e y que é situado por um ângulo q em relação ao eixo x. Esse eixo, por conveniência, está alinhado com a diagonal do elemento representado na Figura 3. Vamos considerar inicialmente uma deformação específica normal na direção x, como mostra a Figura 3(a), sem o efeito de Poisson. A diagonal do elemento tem comprimento da na configuração indeformada. Devido ao alongamento na direção x, a diagonal vai aumentar: ε " dx cosθ. Da mesma forma, uma deformação normal específica na direção y, como mostra a Figura 3(b), vai aumentar a diagonal em ε $ dy senθ. Finalmente, uma deformação por cisalhamento γ "$ vai provocar a distorção no elemento, Figura 3(c), aumentando a diagonal em γ "$ dy cosθ. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

6 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 6 Figura 3. Deformações de elemento infinitesimal dx dy Se o elemento recebe simultaneamente as deformações ε ", ε $ e γ "$, podemos considerar que o aumento de comprimento da diagonal será a soma das contribuições devido às deformações separadas. Podemos escrever esse aumento como: d = ε " dx cosθ + ε $ dy senθ + γ "$ dy cosθ (5.1) Logo, a deformação normal ε = na direção de x é igual ao aumento do comprimento dividido pelo comprimento inicial: ε = = d ds = ε " dx ds cosθ + ε $ dy ds senθ + γ "$ dy cosθ (5.) ds Observando que >" >$ = cosθ e = senθ, obtemos a equação da deformação normal específica: >? >? ε = = ε " cos θ + ε $ sen θ + γ "$ senθ cosθ (5.3) Podemos aqui usar a regra obtida no estado plano de tensões para obter a tensão normal específica na direção y, pois sabemos que, no plano, θ Logo, ε $ = ε =FGH (5.4) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

7 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 7 Figura 4. Deformação de cisalhamento em elemento infinitesimal rotacionado Agora vamos olhar para a deformação por cisalhamento no eixo x y definido pelo ângulo θ. Conforme a Figura 4, essa deformação é dada por γ = = γ " $ = α + β. A Figura 3 representa as três deformações angulares dadas por: α L = ε " dx ds senθ dy α = ε $ cosθ (5.5) ds dy α M = γ "$ ds senθ A rotação resultante, considerando o sentido positivo como anti-horário, é dada por: α = α L + α α M >" α = ε " senθ + ε >$ >? $ cosθ γ >? "$ Observando que >" >$ = cosθ e = senθ, temos que: >? >? >$ >? senθ (5.6) α = (ε " ε $ )senθcosθ γ "$ sen θ (5.7) O ângulo β é obtido num plano θ + 90 em relação ao ângulo α. Entretanto, com sinal contrário, como mostra a Figura 4. Logo, β = (ε " ε $ )sen(θ + 90 )cos (θ + 90 ) + γ "$ sen (θ + 90 ) β = (ε " ε $ )senθcosθ + γ "$ cos θ (5.8) Fazendo a soma dos dois ângulos, temos a expressão final para a deformação de cisalhamento: γ = = (ε " ε $ )senθcosθ + γ "$ (cos θ sen θ) (5.9) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

8 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 8 As equações de ε = e γ = podem ser ainda melhoradas para serem expressas em relação ao ângulo θ. Isso por ser feito com uso das seguintes identidades: cos θ = cosθ, sen θ = 1 1 cosθ e senθcosθ = 1 senθ (5.10) Dessa forma, as equações de transformação para deformação plana resultam em: ε = = ε " + ε $ + ε " ε $ γ = = ε " ε $ senθ + γ "$ cosθ + γ "$ senθ cosθ (5.11) Por analogia do estado plano de tensões, podemos afirmar que a soma das deformações específicas normais perpendiculares entre si é uma constate. Isto é, ε = + ε =FGH = ε " + ε $ (5.1) Exemplo 1: Um estado de deformação em um ponto apresenta as seguintes componentes de deformação: ε " = TU, ε $ = TU e γ "$ = TU. Determine as deformações planas equivalentes para um elemento orientado a um ângulo de 30º no sentido horário em relação à posição original. Solução: Deve-se usar as equações das deformações em relação ao ângulo. Nesse caso, o sentido horário fornece θ = 30. ε = = ε " + ε $ + ε " ε $ cosθ + γ "$ senθ ε = = + cos sen 60 ε = = 5,78 10 TU No plano perpendicular θ + 90 = 60 : (resposta) ε =FGH = + cos sen 10 ε =FGH = 174, 10 TU (resposta) Deformação por cisalhamento: γ = γ = = ε " ε $ = senθ + γ "$ cosθ sen cos 60 = 303,56 γ = = 607,1 10 TU (resposta) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

9 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS E DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA Podemos ainda calcular as deformações principais (deformação máxima e mínima normal específica). Para isso, derivamos a equação da deformação normal em relação ao ângulo e igualamos a zero, o que resulta no valor de θ [. tg θ [ = γ "$ ε " ε $ (5.13) Substituindo o ângulo encontrado na equação da deformação normal em função do ângulo e considerando as relações trigonométricas, obtemos os valores máximo e mínimo das deformações normais: ε L, = ε " + ε $ ± ε " ε $ + γ "$ (5.14) Observe que a equação acima é muito similar à equação do estado plano de tensões. Então, também de forma similar, temos o invariante de deformação dada pela deformação média específica normal: ε^é>`a = ε " + ε $ (5.15) Podemos também obter a deformação de cisalhamento máxima. Essa deformação é máxima num ângulo de 45º das deformações principais. Utilizando a segunda equação 5.11, derivando e igualando a zero, temos que: cot θ? = γ "$ ε " ε $ (5.16) A deformação por cisalhamento máxima é obtida considerando o ângulo de máximo na equação de cisalhamento em função do ângulo. A deformação por cisalhamento máxima é dada por: γ "$(^a") = ε " ε $ + γ "$ 5.17 Exemplo : Um estado de deformação em um ponto apresenta as seguintes componentes de deformação: ε " = TU, ε $ = TU e γ "$ = 5 10 TU. Determine as deformações máxima e mínima e os planos onde elas atuam. Determine também a deformação máxima de cisalhamento e o plano onde ela atua. Solução: Deformações máxima e mínima: ε L, = ε " + ε $ ± ε " ε $ + γ "$ ε L, = ± ε L = 79,47 10 TU e ε = 179,47 10 TU (resposta) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

10 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 10 Plano de atuação da deformação normal máxima: tg θ [ = γ "$ ε " ε $ = θ [ = 14,68 (resposta) Plano de atuação da deformação normal mínima: θ [ + 90 = 75,3 (resposta) Deformação máxima de cisalhamento: γ "$(^a") = ε " ε $ + γ "$ = = 9,47 γ "$(^a") = 458,94 10 TU (resposta) Plano de atuação da deformação máxima de cisalhamento: cot θ? = γ "$ = 5 ε " ε $ θ? = 30,3 (resposta) ROSETAS DE DEFORMAÇÃO Você deve estar se perguntando sobre como é realizada a medição de tensão e deformação num determinado corpo ou estrutura que está sendo solicitada! Na realidade, não medimos diretamente a tensão. Em vez disso, fazemos medidas (com equipamentos adequados) de deformação. Para medição da deformação normal específica podemos utilizar várias técnicas. Uma delas é através de extensômetro de resistência elétrica. Um extensômetro é basicamente um resistor que é colado no corpo, onde se quer medir a deformação. Quando o corpo se deforma, o resistor também se deforma, mudando a sua resistividade. Essa resistividade é medida por meio da variação de uma corrente elétrica que passa pelo resistor. Então, a variação de corrente tem uma relação com a deformação normal específica, que é o objeto da medição. Veja, no site da National Instruments (NI), sobre extensômetro. A NI é uma fabricante internacional de equipamentos de medição. Nesse link, é possível entender um pouco mais sobre o funcionamento dos extensômetros elétricos. O extensômetro só mede a deformação específica normal e, portanto, devemos nos perguntar: como medimos a deformação por cisalhamento? A resposta é indiretamente através de uma roseta de extensômetros. Uma roseta é um conjunto de extensômetros, geralmente três, dispostos de forma padronizada como mostra a Figura 5. Da forma que estão dispostos, são medidas três deformações normais específicas nas suas direções. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

11 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 11 Figura 5. Rosetas de deformação No caso mais geral, temos as três medidas de deformação em três ângulos diferentes θ a, θ g e θ h, como mostra a Figura 5. Utilizando a equação da deformação normal específica, temos: ε a = ε " cos θ a + ε $ sen θ a + γ "$ senθ a cosθ a ε g = ε " cos θ g + ε $ sen θ g + γ "$ senθ g cosθ g (5.18) ε h = ε " cos θ h + ε $ sen θ h + γ "$ senθ h cosθ h Criando, assim, um sistema de equações de forma a determinar ε ", ε $ e γ "$. No mercado, já existem rosetas padronizadas e dispostas com ângulo de 45º, Figura 5(a), e 60º, Figura 5(b). No caso de uma roseta de 45º, os valores de deformação são obtidos por: ε " = ε a, ε $ = ε h e γ "$ = ε g ε a + ε h (5.19) Para malha da roseta defasada de 60º, as deformações são dadas por: ε " = ε a, ε $ = 1 3 ε g + ε h ε a e γ "$ = 3 ε a ε h (5.0) Uma vez determinadas as tensões orientadas no eixo xy, é possível obter as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento no plano. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

12 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 1 Exemplo 3: Uma medição de uma roseta de 60º apresentou os seguintes resultados: ε a = TU, ε g = TU e ε h = TU. Calcule as deformações máxima normal e de cisalhamento. Solução: Deve-se inicialmente calcular as deformações em relação aos eixos cartesianos. ε " = ε a = TU ε $ = 1 3 ε g + ε h ε a = 1 3 ( 50) + (140) TU = 3,33 10 TU γ "$ = 3 ε a ε h = TU = 357,96 10 TU Deformação normal máxima: ε^a" = ε " + ε $ + ε " ε $ + γ "$ = 494,6 10 TU (resposta) Deformação máxima de cisalhamento: γ "$(^a") = ε " ε $ + γ "$ γ "$(^a") = 76,57 10 TU (resposta) Quer ver um extensômetro usado na prática? Veja o link que separamos para você a seguir. Nesse vídeo, é possível ver o extensômetro colado numa barra flexível e, ao mesmo tempo, ligado a um equipamento eletrônico de medição. Assim que a barra é deformada, o equipamento mede a deformação do extensômetro e, por conseguinte, da barra. Estamos aqui no final da aula sobre transformação das deformações específicas. Você aprendeu que o extensômetro é o dispositivo que auxilia na medição de deformação normal específica. Com uso de uma roseta de extensômetros, é possível calcular as deformações nas direções orientadas e depois calcular as deformações máximas e mínimas. Com essas deformações, é possível, então, obter as tensões, como veremos mais à frente. Continue estudando e esteja atento aos detalhes sobre análise de tensão e deformação. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

13 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 13 Aula 6 CÍRCULO DE MOHR Bem-vindo a mais uma aula de análise de tensão e deformação. Nesta aula, você vai aprender a obter tensões e deformações máximas, assim como os planos que atuam, usando um método gráfico chamado de círculo de Mohr. Esse círculo é construído com as equações que você já aprendeu sobre estado plano de tensões e estado plano de deformações. Bons estudos! n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Acesse o material de estudo, disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), e assista à videoaula sobre círculo de Mohr. n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 6.1. ESTADO PLANO DE TENSÃO O círculo de Mohr é uma forma de representação gráfica de um estado de tensão ou deformação, pois ambas as equações de estado plano de tensão e deformação são função de um ângulo que pode ser utilizado para desenha um círculo. Vamos reescrever as equações do estado plano de tensões num plano genérico q : σ = = σ " + σ $ τ = = σ " σ $ + σ " σ $ A primeira equação pode ser reescrita para a seguinte forma: σ = σ " + σ $ = σ " σ $ cos θ + τ "$ sen θ sen θ + τ "$ cos θ (6.1) cos θ + τ "$ sen θ (6.) Elevando ao quadrado as duas últimas equações, é possível eliminar o parâmetro q das equações, resultando em: σ = σ " + σ $ + τ = = σ " σ $ + τ "$ (6.3) A segunda parte da equação acima é a tensão de cisalhamento máxima ao quadrado τ^á", e m n Fm o σ^é> é a tensão média. Usando essas informações, podemos escrevê-la, finalmente, na seguinte forma: = σ = σ^é> + τ = = τ^á" (6.4) A equação acima representa um círculo, onde σ = é representado no eixo das abcissas e τ = no eixo das ordenadas. A tensão máxima de cisalhamento τ^á" é o raio do círculo. A tensão média σ^é> representa o deslocamento do centro do círculo no eixo horizontal. Esse círculo foi desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto Mohr e, por esse motivo, é chamado de círculo de Mohr. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

14 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 14 O círculo de Mohr pode ser traçado de duas formas, como mostra a Figura 6. Na primeira forma, a tensão normal é traçada com a direção positiva para a direita e a tensão de cisalhamento para baixo. Nessa situação, o ângulo θ positivo segue a regra da mão direita no sentido anti-horário, como mostra a Figura 6(a). Na segunda forma, a tensão normal é traçada com a direção positiva para a direita e a tensão de cisalhamento para cima. Entretanto, o ângulo positivo é dado no sentido contrário, no sentido horário. Figura 6. Representações do círculo de Mohr Ambas as representações do círculo de Mohr apresentadas na Figura 6 estão corretas e qualquer uma pode ser usada. Entretanto, para manter o mesmo sentido do ângulo, na equação e no círculo, escolhemos que a primeira forma é mais adequada. Sendo assim, a representação do círculo de Mohr tem a tensão de cisalhamento apontada para baixo e o ângulo positivo θ, seguindo a regra da mão direita CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR Vamos considerar o estado plano de tensões com intuito de representar as tensões normais e de cisalhamento como um círculo para qualquer ângulo θ, como mostra a Figura 7. Nosso objetivo também é de determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima. Figura 7. Estados de tensão em diversos planos Temos, então, o estado de tensão plana dada pelas componentes de tensão σ ", σ $ e τ "$. Podemos, então, obter três pontos no círculo de Mohr: 1. O centro, dado pelas coordenadas (σ^é>, 0).. Ponto de tensão no plano perpendicular ao eixo x, plano A na Figura 7(a), dado pelas coordenadas (σ ", τ "$ ). Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

15 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA Ponto de tensão no plano perpendicular ao eixo y, plano B na Figura 7(a), dado pelas coordenadas (σ $, τ "$ ). Figura 8. Construção do círculo de Mohr para tensão plana Com os três pontos definidos anteriormente, é possível construir o círculo de Mohr com o seguinte procedimento: 1. Desenhe um sistema de coordenadas onde σ = representada o eixo das abcissas (positivo para direita) e τ = representa o eixo das ordenadas (positivo para baixo).. Localize o centro do círculo com o ponto (σ^é>, 0), ponto C. 3. Localize o ponto de tensão do plano A, dado por (σ ", τ "$ ), ponto A. 4. Localize o ponto de tensão do plano B, dado por (σ $, τ "$ ), ponto B. A Figura 8(a) mostra o desenho dos três pontos. 5. Desenhe uma linha passando pelos pontos A, B e C, como mostra a Figura 8(b). Essa linha representa o plano onde inicia o ângulo θ a partir da linha AC. 6. Desenhe o círculo com centro em C e passando pelos pontos A e B, conforme a Figura 8(c). Figura 9. Representação de informações no círculo de Mohr para estado plano de tensões Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

16 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 16 A partir do círculo de Mohr, é possível obter um estado de tensão para um ângulo qualquer θ, conforme Figura 7(b), assim como as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima e os respectivos ângulos. A Figura 9 mostra as várias informações no círculo de Mohr. Observe que o ângulo é representado como sendo duas vezes o ângulo no estado plano de tensões da Figura 7(b). O plano A representa o estado de tensões (σ ", τ "$ ) quando o ângulo θ = 0. O plano B representa o estado de tensões (σ $, τ "$ ) quando o ângulo θ = 90. Observe que, no círculo, o ângulo entre σ " e σ $ está defasado de θ = 90 = 180, exatamente o ângulo que o ponto A faz com o ponto B no círculo.tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima As tensões principais no círculo de Mohr são as tensões que cortam o eixo da abcissa para τ "$ = 0. Essas tensões estão representadas pelos pontos P 1 e P. As tensões são dadas por: Onde R é o raio do círculo e dado por: σ L = σ^é> + R e σ = σ^é> R (6.5) R = σ " σ $ + τ "$ (6.6) Além de determinar as tensões principais, é possível também obter o ângulo principal θ [. No gráfico, podemos construir o triângulo ABE na Figura 9. Esse triângulo tem a hipotenusa igual a R e lado τ "$. Logo, podemos obter o ângulo principal, para esse exemplo, usando: sen θ [ = τ "$ R (6.7) O ângulo onde temos a tensão principal σ é dado por θ [ + 90 e, conforme o círculo, defasado por um ângulo de 180º. A tensão de cisalhamento máxima pode ser facilmente visualizada no círculo de Mohr quando a tensão normal é igual à tensão média, como mostra a Figura 9. Nesse caso, temos o mesmo valor absoluto da tensão de cisalhamento, uma positiva e uma negativa, sendo o seu valor igual ao raio do círculo. O ângulo onde ocorre a tensão de cisalhamento máxima é defasado de 90º no círculo de Mohr, conforme mostra a Figura 9. Mas como o ângulo é dado por θ = 90, temos uma defasagem real de 45º, coerente com que já estudado no estado plano de tensões, isto é, θ? = θ [ TENSÕES EM UM ELEMENTO INCLINADO Podemos obter as tensões σ = e τ = de forma geométrica em um plano inclinado também pelo círculo de Mohr com uso do ângulo θ. Vamos voltar à Figura 7(b), um estado de tensão σ = e τ = para um ângulo θ. Esse estado de tensão está representado na Figura 9 pelo ângulo θ e também pelo ângulo β com o eixo horizontal. Por exemplo, é possível calcular o estado de tensão graficamente usando o ângulo β. Esse ângulo é dado por: β = θ θ [ (6.8) Sabendo o raio do círculo, então, as tensões σ = e τ = podem ser determinadas por: senβ = τ = τ R = = R senβ (6.9) cosβ = σ = σ^q> τ R = = R cosβ + σ^q> Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

17 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 17 Para outras situações, faz-se relações geométricas semelhantes, não necessitando saber das equações de σ = e τ =, pois somente o círculo de Mohr é necessário. Veja no link a seguir um vídeo com um passo a passo para construir círculo de Mohr. Além disso, veja a resolução de um problema prático e como ele é resolvido pelo círculo de Mohr. Exemplo 1: A figura a seguir mostra um círculo de Mohr construído a partir de um estado plano de tensões. Obtenha as tensões máxima de cisalhamento e normal, assim como os planos que atuam. Unidade de tensão em MPa. Solução: Deve-se inicialmente calcular a tensão média. σ^é> = = 100 MPa Da figura acima, podemos calcular o raio R: R = = 100 Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

18 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 18 O raio é a tensão de cisalhamento máxima: τ^á" = 100 MPa (resposta) Tensão normal máxima: σ L = σ^é> + R = = 00 MPa (resposta) De acordo com a figura acima: tan θ? = θ? = 6,56 (resposta) O ângulo principal: θ [ = θ? + 45 = 71,56 (resposta) ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO O círculo de Mohr também pode ser construído para o estado plano de deformações. Nesse caso, a deformação normal específica ε = é representada no eixo da abscissa e a metade da deformação de cisalhamento γ = / é representada no eixo da ordenada. Da mesma forma como antes, o eixo da deformação por cisalhamento é apontado para baixo e o ângulo positivo é anti-horário. Figura 10. Construção do círculo de Mohr para deformação plana Os três pontos iniciais do círculo de Mohr para deformação são dados como na Figura 10. Temos, então, o estado plano de deformação dado pelas componentes de deformação ε ", ε $ e τ "$, podendo construir o círculo na sequência apresentada na Figura 10, como mostrado anteriormente. Os três pontos são: 1. O centro C, dado pelas coordenadas (ε^é>, 0).. Ponto A de tensão no plano perpendicular ao eixo x, dado pelas coordenadas (ε ", γ "$ /). 3. Ponto B de tensão no plano perpendicular ao eixo y, dado pelas coordenadas (ε $, γ "$ /). Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

19 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 19 Figura 11. Representação de informações no círculo de Mohr para estado plano de deformações É possível perceber pela Figura 11 que o círculo de Mohr para o estado de deformação plana funciona da mesma forma que para tensão plana, com o cuidado de representar a deformação de cisalhamento dividido por dois. Então, também é possível obter as deformações principais, a deformação máxima de cisalhamento, os ângulos principais e estado de deformação a partir de um ângulo dado. O exercício a seguir mostra uma aplicação. Exemplo : O círculo de Mohr para um estado plano de deformações é mostrado na figura a seguir. Calcule a deformação de cisalhamento máximo, plano onde atua essa deformação a deformação normal específica máxima e mínima. A unidade de deformação deve ser multiplica por Solução: A deformação normal específica média é dada por: Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

20 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 0 ε^é> = = U O desenho abaixo ajuda a obter as respostas pedidas: Da figura acima, podemos calcular o raio R: R = = 8,84 O raio é a metade deformação de cisalhamento máxima: γ^á" = 565,68 10 U (resposta) Podemos calcular o ângulo beta: tan β = β = 45 Nesse caso: θ? = β 90 θ? = 67,5 (resposta) Deformação normal máxima: ε L = ε^é> + R = ,84 = 43,84 MPa (resposta) ε = ε^é> R = 150 8,84 = 13,54 MPa (resposta) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

21 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA RELAÇÃO ENTRE PROPRIEDADES DE UM MATERIAL Nesta parte da aula, iremos apresentar algumas relações envolvendo as propriedades dos materiais, tensões e deformações. Essas relações são baseadas na consideração de material homogêneo, isotrópico e com comportamento elástico linear LEI DE HOOKE GENERALIZADA Podemos considerar um estado de tensão composto apenas pelas tensões normais σ ", σ $ e σ ', como mostra a Figura 1. A combinação das tensões vai deformar o elemento mostrado na figura nas direções normais representadas pelas deformações normais específicas ε ", ε $ e ε '. Figura 1. Deformação de um elemento sob tensões normais Vamos, por exemplo, calcular a deformação normal específica ε ". Devido à tensão normal σ ", temos a deformação ε " = σ " E, onde E é o módulo de elasticidade. Para tensão normal σ $, devemos considerar o efeito de Poisson e, por esse motivo, temos a contribuição na deformação dada por ε " = νσ $ E. Da mesma forma, para a tensão normal σ $, temos a deformação ε " = νσ ' E. Por fim, podemos fazer esse mesmo exercício para as deformações ε $ e ε '. Finalmente, podemos escrever a relação entre tensão normal, deformação normal e as propriedades do material pela lei de Hooke generalizada: ε " = 1 E σ " ν σ $ + σ ' ε $ = 1 E σ $ ν σ " + σ ' (6.10) ε ' = 1 E σ ' ν σ " + σ $ A lei de Hooke generalizada para a tensão e deformação por cisalhamento é expressa por: γ "$ = 1 G γ "$; γ "' = 1 G γ "'; γ $' = 1 G γ $' (6.11) As equações anteriores envolvem as propriedades do material E, ν e G. Elas estão relacionadas como: E G = (6.1) 1 + ν Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

22 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA DILATAÇÃO E MÓDULO DE BULK Um elemento infinitesimal se deforma quando submetido a um estado de tensões normais σ ", σ $ e σ ', como mostra a Figura 13(a). Cada lado do elemento vai se deformar por ε ", ε $ e ε '. Os lados do elemento infinitesimal deformado serão, como mostra a Figura 13(b): 1 + ε " dx, 1 + ε $ dy e 1 + ε ' dz. Portanto, a variação do volume desse elemento é dada por: δv = 1 + ε " 1 + ε $ 1 + ε ' dxdydz dxdydz (6.13) Ou ainda por (quando se desprezam os produtos entre as deformações): δv = ε " + ε $ + ε ' dxdydz (6.14) Figura 13. Aumento de volume de um elemento infinitesimal sob tensões normais A variação do volume por unidade de volume é chamada de deformação volumétrica ou dilatação e é dada por: e = δv dv = ε " + ε $ + ε ' (6.15) Considerando a lei de Hooke generalizada, temos também: e = 1 + ν E σ " + σ $ + σ ' (6.16) Se uma pressão positiva p é aplicada nas faces do elemento infinitesimal, as tensões normais serão dadas por σ " = σ $ = σ ' = p. Substituindo na equação anterior da dilatação, temos que: p e = E ν (6.17) Observe que o termo à direita da última equação é composto somente por propriedades do material. Essa relação é chamada de módulo de elasticidade volumétrico ou módulo de Bulk, dado pela letra κ: E κ = ν (6.18) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

23 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 3 Exemplo 3: Um elemento de aço está sujeito às tensões como mostra a figura a seguir. Calcule as deformações normais específicas e a deformação volumétrica. Considere E=00 GPa e n =0,3. Solução: As tensões normais atuantes do elemento são: σ " = 500 MPa, σ $ = 700 Mpa e σ ' = 0 MPa Podemos usar a equação de generalizada de Hooke: ε " = 1 E σ " ν σ $ + σ ' 1 = 00 10M 500 0,3 700 = 0,355 % ε $ = 1 E σ $ ν σ " + σ ' 1 = 00 10M ,3 500 = 0,45 % ε ' = 1 E σ ' ν σ " + σ $ 0,3 = 00 10M = 0,03 % Deformação volumétrica: e = ε " + ε $ + ε ' = 0, ,45 0,03 = 0,04 % Veja no link a seguir um aplicativo on-line do círculo de Mohr para o estado plano de tensões. Você pode interagir graficamente com o aplicativo e testar as respostas dos exercícios. Você chegou ao final de mais uma aula. Parabéns! Nesta aula, você aprendeu sobre círculo de Mohr para estado plano de tensão e de deformações. Além disso, a generalização da lei de Hooke permite que você expanda sua capacidade de análise de tensões e deformações. Esperamos que você se aprofunde cada vez mais no estudo da Resistência dos Materiais. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

24 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 4 Aula 7 CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA Bem-vindo(a) a mais uma aula de análise de tensão e deformação. Nesta aula, iremos estudar os critérios de resistência de falha. Eles são importantes, pois os materiais falham (por escoamento ou ruptura) dependendo se são dúcteis ou frágeis. Além disso, quando há uma combinação de tensões em um elemento, é necessário que este se comporte de forma similar a um estado de tensão simples. Isso que trata o critério de resistência. Boa aula! 7.1. DEFINIÇÃO Você deve ter percebido que um elemento estrutural ou um componente de engenharia pode estar sujeito a um estado de carregamento complexo, como tração, compressão, flexão, torção, pressão, com possíveis combinações. Esses carregamentos podem também gerar um estado complexo de tensões em um ponto e, devido à sua severidade, provocar a falha do material, ou pelo seu escoamento plástico, ou pela sua fratura. Predizer o uso seguro de um material num estado de tensões combinadas requer a aplicação de um critério de resistência. Figura 14. Diferentes comportamentos de tensão-deformação para diferentes casos de tensão aplicada em elemento. O critério de resistência é uma forma de calcular uma tensão equivalente em um estado de tensões complexo que possa ser comparada com a tensão de falha do material (escoamento ou ruptura). Por exemplo, considere um material dúctil sujeito a um ensaio de tração simples, em que temos somente uma tensão normal, como mostra a Figura 14(a), e com uma curva tensão-deformação com um comportamento elastoplástico perfeito. No diagrama tensão-deformação, é possível obter o módulo de elasticidade E e a tensão de escoamento σ q = σ H. Considerando uma compressão transversal aplicada no elemento da mesma magnitude da tração do caso anterior, temos um comportamento do diagrama tensão-deformação distinto do anterior, Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

25 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 5 como mostra a Figura 14(b). Aplicando agora uma tração transversal no elemento na mesma magnitude e conjuntamente com tração do primeiro caso, temos outro diagrama tensão-deformação, como mostra a Figura 14(c). Esses três comportamentos distintos dos diagramas mostram a necessidade de tratar diferentes carregamentos em um elemento de tensão de uma forma unificada, isto é, um critério de falha. Como você já viu em Resistência dos Materiais I, a partir do diagrama tensão-deformação é possível classificar o material em duas categorias: material dúctil e material frágil. As diferenças entre os dois estão indicadas na Figura 15. O material dúctil em geral deforma bastante antes de sua ruptura, enquanto no material frágil ocorre o oposto; o material pouco se deforma antes de sua ruptura. Exemplo de materiais dúcteis são: aço estrutural, alumínio, cobre, algumas borrachas, etc. Exemplo de materiais frágeis incluem as cerâmicas, concreto, aço com alto teor de carbono, plástico metacrilato em temperatura ambiente, ferro fundido cinza, entre outros. Figura 15. Material dúctil e frágil A Figura 16 mostra as superfícies de fratura em material dúctil (esquerda) e material frágil (direita). Observe que o material dúctil se deforma bastante na área em torno da fratura com estricção da seção transversal. Por outro lado, um material frágil apresenta uma superfície de fratura praticamente reta e com nenhuma estrição na área de fratura. Devido ao comportamento diferente de falha em materiais dúcteis e frágeis, devemos utilizar critérios de resistência diferentes. Esses critérios são descritos a seguir de forma separada MATERIAIS DÚCTEIS Figura 16. Superfície de fratura para material dúctil e frágil Em geral, o critério de falha adotado em materiais dúcteis é a tensão de escoamento σe. Se você observar o diagrama tensão-deformação para o material dúctil, não é possível estabelecer a tensão de ruptura, por Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

26 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 6 exemplo, como um critério de resistência, pois a ruptura do material ocorre somente quando o material se deforma bastante. Por outro lado, a tensão de escoamento ocorre quando não há grandes deformações do material. Dois critérios de resistência são os mais conhecidos para materiais dúcteis: a teoria da máxima tensão de cisalhamento, também conhecida como critério de escoamento de Tresca; e a teoria da máxima energia de deformação, também conhecida como critério de escoamento de von Mises. A seguir, iremos ver cada uma das teorias. Assista ao vídeo, disponível no link a seguir, de um teste de tração realizado em um material dúctil. Observe a estrição do material e também a superfície de ruptura. Esse material deforma bastante antes da ruptura TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO Esse critério, como o próprio nome diz, tem como base a observação que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamentos que ocorrem ao longo de superfícies obliquas, deslizando devido principalmente às tensões de cisalhamento. Por esse critério, um elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento τ^á" no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova do mesmo material, que escoa em ensaio de tração. Figura 17. Círculo de Mohr para um estado de tensão uniaxial que atinge a tensão de escoamento do material Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

27 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 7 Considere inicialmente um ensaio de tração simples em que é aplicada uma tensão uniaxial. No escoamento, temos que σ " = σ q e σ $ = 0. Construindo o círculo de Mohr para esse estado de tensão, como mostra a Figura 17, temos que a tensão de cisalhamento máxima é dada por: τ^á" = σ q (7.1) Observe que essa tensão de cisalhamento tem uma orientação de 45º com as tensões principais. A ideia de que materiais falham com respeito ao cisalhamento foi usada por Henri Tresca para propor a teoria da máxima tensão de cisalhamento ou critério de Tresca. Logo, o critério de máxima tensão de cisalhamento estabelece que o escoamento do material ocorre quando tensão de cisalhamento máxima absoluta no material atinge a tensão de cisalhamento que causa escoamento, no mesmo material, ao ser submetido a um ensaio de tração axial simples. Isto é, para evitar a falha do material, a tensão de cisalhamento máxima τ^á" deve ser menor ou igual a σ q /, onde σ q é determinado por um ensaio de tração simples. Figura 18. Situações para critério de resistência de Tresca Num estado de tensão tridimensional, temos as tensões principais dadas por σ L, σ e σ M, onde σ L > σ > σ M. Logo, a máxima tensão de cisalhamento absoluta (construindo um círculo de Mohr) é dada por: τ^á" ag? = σ^a" σ^`~ = σ L σ M (7.) Utilizando a equação 7.1, temos que o critério de falha de Tresca ocorre quando: σ " + σ $ + σ " σ $ + 4τ"$ = σ q para σ 0 σ " σ $ + 4τ"$ = σ q para σ < 0 (7.5) Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

28 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA TEORIA DA MÁXIMA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Quando um material se deforma por um carregamento externo, armazena energia interna, como já foi mostrado em propriedades mecânicas do material. Essa energia pode ser medida pela densidade de energia de deformação. Para um ensaio de tração simples, em que temos somente uma tensão uniaxial de tração, a energia de deformação específica é dada por u = 1 σε (7.6) Como é possível calcular a energia de deformação, também é possível criar um critério com base na energia. Entretanto, devemos acrescentar as contribuições das tensões principais σ L, σ e σ M de um elemento de volume material. Nesse caso, cada tensão principal contribui com parte da energia de deformação, resultando em: u = 1 σ Lε L + 1 σ ε + 1 σ Mε M (7.7) Vamos agora considerar o material como linear elástico e aplicar a lei de Hooke generalizada. Aplicando na última equação e simplificando, temos que: u = 1 E σ L + σ + σ M ν σ L σ + σ L σ M + σ σ M (7.8) Da equação acima, podemos separar a energia de deformação em duas partes: uma que causa variação do volume sem distorcer a forma do elemento e outra que também causa a variação do volume, mas que distorce a elemento (energia de distorção). A Figura 19 mostra esse comportamento. Temos um elemento com as tensões principais aplicadas na Figura 19(a), que é a soma de uma tensão média aplicada em todas as faces do elemento, Figura 19(b), adicionado com tensões remanescentes que distorcem o elemento, Figura 19(c). A tensão que não distorce o elemento é devida a uma tensão média dada por σ^é> = σ L + σ + σ M / 3. As tensões remanescentes são dadas por σ L σ^é>, σ σ^é> e σ M σ^é>, estas que distorcem o elemento. Figura 19. Variação do volume devido à energia de deformação Dados experimentais demostram que os materiais não escoam quando sujeitos a um estado de tensões uniforme, como mostra a Figura 19(b), mas escoa com a energia de deformação. Logo, o critério de máxima energia de distorção estabelece que o escoamento do material ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume do material é igual ou superior à energia de distorção por unidade de volume do mesmo material quando ele atinge o escoamento num teste de tração simples. Essa teoria é chamada de teoria da máxima energia de distorção ou teoria de von Mises, atribuída a R. Von Mises. Podemos escrever uma equação para energia de distorção substituindo as tensões σ L σ^é>, σ σ^é> e σ M σ^é> na equação de energia de deformação. Fazendo simplificações e considerando que σ^é> = σ L + σ + σ M /3, temos que: Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

29 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 9 u > = 1 + ν 6E σ L σ + σ σ M + σ M σ L (7.9) No caso específico, vamos trabalhar com o estado plano de tensões, de forma que σ M = 0, resultando em: u > = 1 + ν 6E σ L σ L σ + σ (7.10) Lembrando que devemos comparar a energia de distorção para o estado uniaxial de tensão que nesse caso σ = σ M = 0, e também σ L = σ q que foi o critério adotado por von Mises. Dessa forma, temos a energia de distorção no escoamento como: u > q = 1 + ν 6E σ q (7.11) Comparando as energias de distorção das duas últimas equações, temos a equação do critério de von Mises para o estado plano de tensões: σ L σ L σ + σ = σ q (7.1) Utilizando as equações das tensões principais, podemos reescrever a equação anterior em função das tensões σ ", σ $ e τ "$ : σ " + σ $ σ " σ $ + 3τ "$ = σ q (7.13) Exemplo 1: Um vaso de pressão, de 3 mm de espessura e 350 mm de raio, é submetido a uma pressão interna de 800kPa. Ao mesmo tempo, o vaso é submetido a um torque de 150 kn.m, como mostra a figura a seguir. Se a tensão de escoamento do material σ q = 10 MPa, verifique se o material falha ao escoamento usando a teoria da máxima energia de deformação. Solução: Calculamos somente das tensões devido à pressão interna no tambor: σ " = pr t = M 0,35 0,003 σ $ = pr t = M 0,35 0,003 = 93 MPa = 47 MPa Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

30 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 30 O momento torçor provoca tensão de cisalhamento dada por: Raio médio r med = 0,3515 m τ "$ = T A^t = τ "$ = T A^t M π 0,3515 = 64 MPa Tensão de Tresca: σ q?ha = σ " + σ $ σ " σ $ + 3τ "$ σ q?ha = = 137 Mpa > σ q Ocorre falha do material MATERIAIS FRÁGEIS Como dito anteriormente, os materiais frágeis apresentam comportamento de falha diferente dos materiais dúcteis e, por esse motivo, devem ser tratados com teorias de falha diferentes. Para isso, são apresentadas nesta aula duas teorias de falha para materiais frágeis: teoria da máxima tensão normal e critério de falha de Mohr. Veja no link a seguir um teste de tração realizado em uma fibra de carbono. A curva tensão-deformação do material é praticamente uma reta e não há indicação que este vai falhar. Não há estricção do material também TEORIA DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL Os materiais frágeis, como ferro fundido cinzento, tendem a falhar subitamente por fratura sem apresentar escoamento. Em geral, a superfície de falha fica praticamente plana, não havendo nenhuma estrição. Isso sugere que quem controla a falha do material é a tensão normal aplicada. Isso é um contraponto ao critério de Tresca, que considera a tensão cisalhante com determinante a falha do material. Sendo a tensão normal determinante na falha de materiais frágeis, podemos então definir a teoria da máxima tensão normal. A teoria estabelece que o material frágil falhará quando a tensão principal máxima atuante no material atingir um valor limite igual à tensão normal última que o material possa suportar quando sujeito a uma tração simples. Se o material está sujeito a um estado de tensões, o material falha, para um estado plano de tensões, quando: σ L = σ ou σ = σ (7.14) Onde σ é a tensão última. Escrevendo em termos das componentes de tensão em um elemento: Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

31 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 31 σ " + σ $ ± σ " σ $ + τ "$ = σ (7.15) Essa teoria é também conhecida como critério de Rankine, em homenagem a W. J. Rankine ( ), professor da Universidade de Glasgow, Escócia. Ele conseguiu boa concordância dessa teoria com comportamento de materiais frágeis, para os quais os diagramas tensão-deformação eram similares para tração e compressão CRITÉRIO DE FALHA DE MOHR Nós vimos na seção anterior que o critério da tensão de ruptura pela tensão máxima normal considera um mesmo valor para tração e compressão, que pode não ser verdade para alguns materiais frágeis. Alguns materiais apresentam propriedades deferentes na tração e na compressão e, por esse motivo, podemos utilizar um critério baseado no uso do círculo de Mohr para predizer a falha. Esse método foi desenvolvido por Otto Mohr e é também conhecido como critério de falha de Mohr. Esse critério tem como base três ensaios: ensaio de tração uniaxial; ensaio de compressão uniaxial; e ensaio de torção. O ensaio de tração uniaxial fornece a tensão última de tração σ ( ). O ensaio de compressão uniaxial fornece a tensão última de compressão σ (h). O ensaio de torção fornece a tensão de última de cisalhamento τ do material. Com as tensões σ ( ), σ (h) e τ, podemos construir o diagrama de Mohr, como mostra a Figura 7.6, gerando três círculos. Com esses círculos é possível construir um envelope de falha que considera as três condições de falha do material. O envelope é desenhado com linhas tangentes aos círculos. Figura 0. Envelope de falha de Mohr Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

32 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 3 O critério de falha de Mohr ocorre quando o material atinge o envelope de falha. Se a condição do estado plano de tensões de um ponto for representada por um círculo contido dentro do envelope, o material não falhará. Os dois critérios de falha apresentados aqui podem ser utilizados na prática de um material frágil. Entretanto, devemos observar as suas limitações, pois a fratura depende também de concentradores de tensão desenvolvidos por imperfeições do material, como vazios, rugosidades, etc. Adicionalmente, os critérios não podem ser usados na presença de trincas, necessitando do uso das teorias da Mecânica da Fratura. Exemplo : Uma força concentrada de 90 kn é aplicada em uma viga na extremidade inferior, como mostra a figura a seguir. A seção transversal da viga tem base b = 0 cm e altura h = 40 cm. Se o material é considerado como frágil com tensão última de tração σ ( ) = 40 Mpa e compressão σ (h) = 30 Mpa, verifique ocorre falha pelo critério de falha de Mohr. Solução: Numa seção longe da aplicação de carga e do engastamento, podemos reduzir os esforços internos a uma força normal e um momento produzido pela força de 90 kn. Esse momento é dado pela força multiplicado pela metade da altura 0,0 m, como mostra a figura seguinte. A força normal produz uma tensão normal média distribuída em toda a seção: Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

33 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 33 σ = P A 90 10M = = 11,5 MPa 0,0 0,40 O momento fletor origina tensões normais de tração e compressão. Nesse caso, tração na borda inferior da viga e compressão na borda superior: σ = ± 6M M = ± = ±34,5 MPa bh 0,0 0,40 Aplicando o princípio da superposição dos efeitos. Para borda superior: σ? [q ` = 11,5 34,5 = 3 MPa > σ (h) Para borda inferior: σ`~œq ` = 11,5 + 34,5 = 46 MPa > σ ( ) O material falha na tração. Chegamos ao final de mais uma aula. Aqui você aprendeu que podemos dividir os critérios de falha para materiais dúcteis e frágeis. Para materiais dúcteis, utilizamos a tensão de escoamento como critério de falha. Para alguns materiais frágeis, podemos usar a tensão última, quando a falha de tração é similar à compressão. Caso contrário, temos outras teorias como a do critério de falha de Mohr. De qualquer forma, esses critérios são importantes para dimensionamento estrutural quando se tem um estado de tensão complexo. Aula 8 INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE Bem-vindos a mais uma aula da disciplina Resistência dos Materiais II. Nesta aula, iremos ter uma introdução a Teoria da Elasticidade, na qual parte da Resistência dos Materiais está apoiada. Você vai ver as equações de equilíbrio e as equações de compatibilidade na forma de equações diferenciais, isto é, de modo mais genérico. Bons estudos! 8.1. CONCEITOS BÁSICOS Nesta aula, você vai aprender um pouco sobre a Teoria da Elasticidade, que faz parte do ramo de estudo da Mecânica dos Sólidos, focando apenas na elasticidade dos corpos. Lembrando que Elasticidade é o ramo da Física que estuda o comportamento de corpos materiais que se deformam ao serem submetidos a ações externas (forças devidas ao contato com outros corpos, ação gravitacional agindo sobre sua massa, etc.), retornando à sua forma original quando a ação externa é removida. Muitos dos conceitos da Resistência dos Materiais estão baseados na Teoria da Elasticidade Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

34 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 34 Nesta aula, vamos desenvolver a equação de equilíbrio e a equação de compatibilidade em termos de equações diferenciais. São equações mais genéricas e que devem satisfazer um determinado ponto sob tensão, deformação e deslocamento num estado elástico do material. Achamos um vídeo sobre Teoria da Elasticidade. Nele, podemos observar um pouco sobre alguns pesquisadores que a desenvolveram, as condições gerais (hipóteses simplificadoras) e algumas definições. Assista! EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO A equação de equilíbrio na Teoria da Elasticidade é baseada num elemento infinitesimal de tamanho dx, dy e dz. Diferente da Resistência dos Materiais, aqui é levado em conta a variação de tensão entre as faces do elemento infinitesimal, como mostra a Figura 1. Nesse elemento, são mostradas as tensões nas suas respectivas faces. Por exemplo, vamos observar a tensão normal σ ". Na face oposta, devemos considera a variação da tensão m n " na direção de x. Logo, a tensão na outra face é dada por σ " + m n " dx. Figura 1. Tensões em elemento infinitesimal Vamos observar melhor a Figura 1 antes de entrarmos em detalhes sobre a equação de equilíbrio. As tensões normais são dadas por σ ", σ $ e σ '. O subscrito significa a direção da tensão e o plano é perpendicular ao eixo de indicado pelo subscrito. A tensão normal é positiva se for de tração, ou negativa no caso de compressão. Temos também as seguintes tensões de cisalhamento: τ "$, τ $", τ "', τ '", τ $' e τ '$. Nesse caso, o primeiro subscrito significa o plano onde a tensão é aplicada, isto é, o plano perpendicular a eixo do primeiro subscrito. O segundo subscrito significa a direção da tensão. Por exemplo, τ "$ está aplicada no plano perpendicular ao eixo x na direção de y. Podemos ainda adicionar forças volumétricas no elemento infinitesimal. Essas são forças distribuídas continuamente no interior do volume de um corpo. Exemplos de forças volumétricas são as forças gravitacionais, magnéticas e de inércia. Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.

35 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II UIA 35 Voltando ao problema de equilíbrio, vamos fazer o equilíbrio de forças no elemento infinitesimal na direção de x. Temos a tensão normal σ " numa face e σ " + m n dx na face oposta. Temos também as " tensões de cisalhamento τ "$, τ "$ + Ž no dy, τ $ "', τ "' + Ž n dz. A força volumétrica na direção x é dada ' por X. O equilíbrio das forças é dado por: σ " dydx + σ " + σ " x dx dydx τ "$dxdz + τ "' + τ "$ y dy dxdz τ "'dxdy + τ "' + τ "' z dz dxdy + Xdxdydz = 0 ( 8.1) Dividindo a equação acima por dxdydz e considerando o equilíbrio em outras direções, temos então as equações de equilíbrio para elemento infinitesimal: σ " x + τ "$ y + τ "' z + X = 0 τ "$ x + σ $ y + τ $' z + Y = 0 τ "' x + τ $' y + σ ' + Z = 0 (8.) z Essas condições são satisfeitas em qualquer ponto do corpo de prova para que haja equilíbrio. O equilíbrio de momentos em relação aos eixos também deve ser satisfeito. Esse equilíbrio permite obter as igualdades das tensões de cisalhamento τ "$ = τ $", τ "' = τ '" e τ $' = τ '$ (8.3) EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE As equações de compatibilidade relacionam as deformações num corpo sólido. As seis componentes de deformação são dadas por ε ", ε $, ε ', γ "$, γ "', γ $'. Os componentes de deslocamento na direção x, y e z, respectivamente, são denominados por u, v e w. Figura. Elemento linear PQ num corpo indeformado e deformado Inicialmente, vamos considerar um elemento linear PQ, ligando os pontos P e Q de um corpo elástico, como mostra a Figura. As posições dos pontos num estado não deformado no sistema de coordenadas cartesiano são dadas por (x, y, z ) e (x, y, z ). Quando o elemento se deforma, os Copyright 017 Centro Universitário IESB. Todos os direitos reservados.