MATEMÁTICA BÁSICA E FINANCEIRA PARA CONCURSOS PROFESSOR CARLOS CLEY

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1 NÚMEROS INTEIROS, OPERAÇÕES E PRINCIPAIS PROPRIEDADES. O conjunto dos números inteiros ( Ζ ) está contido no conjunto dos números reais, assim como os conjuntos dos números naturais, racionais ou fracionários e irracionais, e é representado por Ζ = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}. No conjunto dos números inteiros destacam-se os subconjuntos: Ζ * = conjunto dos inteiros não nulos Ζ + = conjunto dos inteiros não negativos Ζ = conjunto dos inteiros não positivos Ζ + * = conjunto dos inteiros positivos Ζ * = conjunto dos inteiros negativos As principais operações com números inteiros são: Adição, subtração, multiplicação e divisão. Estudaremos agora as principais propriedades que envolvem os números inteiros. ADIÇÃO Os termos da adição são denominados parcelas e o resultado da adição é a soma ou total. Ex: = 10 1ª parcela 2ª parcela soma ou total A ordem das parcelas não altera a soma. Ex: = = 10 O zero é chamado elemento neutro da adição. SUBTRAÇÃO Os termos da subtração são denominados minuendo, subtraendo e resultado da operação de subtração é o resto ou diferença. Ex: 7 3 = 4 minuendo subtraendo resto ou diferença A ordem dos termos altera a subtração. Se a b a b b a A soma do minuendo com o subtraendo e resto é igual ao dobro do minuendo. M + S + R = 2.M A subtração é a operação inversa da adição, ou seja, M S = R M = R + S Qualquer adição ou subtração de dois números inteiros resulta sempre um número inteiro, dizemos então que essas operações estão bem definidas em Ζ ou, que o conjunto Ζ é fechado para as operações de adição e subtração. Representação de um número inteiro A cada número, associamos um ponto de uma reta. Sobre esta reta, existe um ponto 0 (zero) denominado origem, a partir do qual medimos, à sua esquerda os números inteiros negativos e, à sua direita, os positivos, assim: Ex: = = 4 Exercício 01 (COVEST) A tabela ao lado ilustra uma operação correta de adição, onde as parcelas e a soma estão expressas no sistema de numeração decimal e x, y e z são dígitos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 Na reta, os números inteiros aumentam da esquerda para a direita, ou seja, qualquer número inteiro é maior que um outro que esteja à sua esquerda. Ex: 2 > -3, veja! O zero é menor que qualquer inteiro positivo e maior que qualquer inteiro negativo. Ex: 0 < 3, mas 0 > -100 Todo número negativo é menor que qualquer número positivo. Ex: < 1 1

2 Módulo ou Valor Absoluto Podemos associar o valor absoluto de um número, à distância desse número ao 0 (zero), quando consideramos a representação dele na reta, logo o valor absoluto de um número nunca é negativo e o representamos por n. (Lê-se: módulo de n) Exemplos: - 5 = 5 ; - 8 = 8 ; 0 = 0 ; 4 = 4. Números Simétricos ou Opostos Dois números são simétricos se têm mesmo módulo e sinais contrários. Veja! 5 e 5 são simétricos ou opostos. O oposto de 7 é 7. O oposto de zero é o próprio zero. Dois números simétricos têm sempre o mesmo módulo. Ex: - 4 = 4 = 4. Adições e Subtrações com Números Inteiros A maneira mais prática de calcularmos adições e subtrações com números inteiros é fazendo as somas de forma separada. Veja nos exemplos seguintes: Ex 1 : Calcular o valor da expressão: Solução. Basta fazermos duas somas separadas: - uma só com os números positivos: (1º passo) = uma só com os números negativos: (2º passo) ( 3 ) + ( 10 ) + ( 6 ) = 19 Atenção! Ao somarmos números de mesmos sinais, somamos os módulos e repetimos, à esquerda do resultado, o sinal desses números. - Então escrevemos os dois totais encontrados, lado a lado, atribuindo o sinal do número com maior módulo. (3º passo) = + 9 ou = + 9. Atenção! Ao somarmos números inteiros de sinais contrários, subtraímos os seus módulos e escrevemos, à esquerda do resultado, o sinal do número inteiro de maior módulo. Ex 2 : Calcular o valor da expressão: Solução. 1º passo: = 39 2º passo: 12 + ( 23 ) + ( 15 ) + ( 1 ) = 51 3º passo: = 12 ou = 12 MULTIPLICAÇÃO Os termos de uma multiplicação são denominados fatores ou multiplicando (1º fator) e multiplicador (2º fator) e o resultado da multiplicação é o produto. Ex: 25 x 4 = 100 1º fator 2º fator produto O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro, ou seja, a operação de multiplicação está bem definida em Ζ. A ordem dos fatores não altera o produto. a x b = b x a O número 1 é o elemento neutro da multiplicação. 1 x a = a x 1 Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição qualquer. a x ( b + c ) = a x b + a x c Podemos distribuir um fator pelos termos de uma subtração qualquer. a x ( b c ) = a x b a x c 2

3 Exercício 02 Quantos algarismos usamos para enumerar as páginas de um livro de 235 páginas? Ex: 32 4 = 8 32 é divisível por 4 4 divide 32 4 é divisor de é múltiplo de 4 Multiplicações e Divisões com Números Inteiros Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é necessário observar os sinais dos termos envolvidos na operação. Veja! DIVISÃO Os quatro números inteiros envolvidos na divisão são o dividendo ( D ), o divisor ( d ), o quociente ( q ) e o resto ( r ). Na divisão inteira de D por d 0, existirá um único par de inteiros, q e r, tais que: SINAIS IGUAIS + SINAIS OPOSTOS ( + 3 ). ( + 5 ) = + 15 ( + 3 ). ( 5 ) = 15 ( 3 ). ( 2 ) = + 6 ( 3 ). ( + 2 ) = 6 ( 15 ) ( 5 ) = + 3 ( 15 ) ( + 5 ) = 3 ( + 20 ) ( + 4 ) = + 5 (+ 20 ) ( 4 ) = 5 D = q. d + r em que 0 r A divisão acima é denominada Divisão euclidiana. O resto nunca pode ser negativo. O divisor nunca pode ser 0 (zero). O maior resto possível é uma unidade menor que o divisor, ou seja, r = d 1. d Exercício 03 (UNIVASF/08) Se hoje é domingo, qual será o dia da semana, passados 100 dias a partir de hoje? A) segunda-feira B) terça-feira C) quarta-feira D) quinta-feira E) sexta-feira Ex 1 : Na divisão inteira de 50 por 7, temos: Ex 2 : Na divisão inteira de 50 por 7, temos: 7 x = 50 e x = - 50 e Exercício 04 (FCC TRT-PI/2010) Seja XYZ um número inteiro e positivo em que X, Y e Z representam os algarismos das centenas, das dezenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que (XYZ) = 83, é correto afirmar que A) X = Z B) X. Y = 16 C) Z Y = 2X D) Y = 2X E) Z = X + 2 Na divisão de D por d, se r = 0, temos D = q x d e a divisão é denominada exata. Se a divisão de D por d 0 for exata, dizemos que D é divisível por d ou que D é múltiplo de d ou ainda que d é divisor de D ou d é fator de D ou d divide D. 3

4 Exercício 05 (CESPE/MP-08) O casal Pedro e Marisa, juntamente com o filho Júnior, de 6 anos de idade, foi a um restaurante que serve comida a quilo. A balança do restaurante estava com defeito e só funcionava para pesos superiores a 700g. Assim, depois de se servirem, eles pesaram os pratos dois a dois e os resultados foram os seguintes: Pedro e Marisa = 1,50 kg; Pedro e Júnior = 1,20 kg; Marisa e Júnior = 0,90 kg. Nessa situação, considerando que o restaurante cobra R$ 16,90 por 1 kg de comida, é correto afirmar que 71 nenhum dos pratos pesou mais que 800 g. 72 dois dos pratos pesaram, cada um, mais que 850 g. 73 Pedro comeu tanto quanto Marisa e Júnior juntos. 74 a despesa com a refeição dos três foi superior a R$ 30,00. Conjunto dos Múltiplos de um Número Inteiro O conjunto dos múltiplos de um número inteiro n é formado pelo produto desse número n por todos os números inteiros. M ( n ) = { 0; ± 1n; ± 2n; ± 3n; ± 4n; ± 5n;...} Ex: M ( 3 ) = { 0; ± 3; ± 6; ± 9; ± 12;...} Qualquer número é múltiplo de 1. O zero é múltiplo de todo número. O zero tem somente um múltiplo: M ( 0 ) = { 0 } Critérios de Divisibilidade Um critério de divisibilidade é uma regra que permite saber se um número é ou não divisível por outro. Divisibilidade por 2 Exercício 06 (CORREIOS/08) o valor da expressão 2-3{2 - [(-3 + 2).(3-5)]} 1 é: A) - 2 B) - 1 C) 1 D) 2 Um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando o seu algarismo das unidades é 0, 2 4, 6 ou 8. Ex: é divisível por 2. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta num número divisível por 3. Conjunto dos Divisores de um Número Inteiro Já vimos que um número inteiro m 0 é divisor de outro inteiro n quando existe um inteiro p tal que n = m. p. Sendo assim, podemos indicar o conjunto dos divisores de um número inteiro n por D ( n ) = { m Ζ ; p Ζ tal que m. p = n }. Ex 1 : D ( 15) = { ± 1, ± 3; ± 5; ± 15 } Ex 2 : D ( 24) = {± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24} O conjunto dos divisores de um número inteiro é um conjunto finito. O maior divisor de um número inteiro n é n. O 1 é o menor divisor positivo de todo e qualquer número. D 1 = D O zero não pode ser divisor de nenhum número. O zero é divisível por qualquer número não nulo. Ex: 2496 é divisível por 3, pois = 21 que é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quanto termina por dois zeros ( 00) ou os dois algarismos da direita formam um número divisível por 4. Ex: 124 e são divisíveis por 4. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 0 ou 5. Ex: é divisível por 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é múltiplo de 2 e de 3 simultaneamente, ou seja, quando é par e divisível por 3. Ex: 120 é divisível por 6, pois é par e = 3. 4

5 Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 quando a diferença entre a sua quantidade de dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7. Ex: 266 é divisível por 7, pois 26 2 x 6 = = =14, que é divisível por 7. Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quanto termina por três zeros ( 000) ou os três algarismos da direita formam um número divisível por 8. Ex: e são divisíveis por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos resulta um número divisível por 9. Ex: é divisível por 9, pois = 18, que é divisível por 9. Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc. Um número é divisível por 10, 100, 1000, etc. quando termina por 1, 2, 3, etc. zeros à direita. Ex: , e são, respectivamente, divisíveis por 1000, 100 e 10. Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar (a partir das unidades) e a soma dos algarismos de ordem par (a partir das dezenas ) resulta um número divisível por 11. Ex: é divisível por 11, pois = 15 (s.i.) e = 4 (s.p.), fazendo (s.i.) (s.p.) = = 15 4 = 11, que é divisível por 11. Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4 simultaneamente. Ex: 120 é divisível por 12, pois termina por 20 e = 3. Divisibilidade por 13 Um número é divisível por 13 quando a soma das suas dezenas com o quádruplo do algarismo das unidades resulta num número divisível por 13. Ex: 598 é divisível por 13, pois x 8 = = 91, se você ainda não percebeu que 91 é divisível por 13, faça: x 1 = 13 que é divisível por 13. Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 simultaneamente. Ex: 1005 é divisível por 15, pois termina por 5 e = 6. Divisibilidade por 25 Um número é divisível por 25 quando os seus dois algarismos da direita formam 00, 25, 50 ou 75. Ex: 1.525, 6.000, e 175 são divisíveis por 25. Exercício 07 (UNIVASF/07) Qual o dígito das unidades do produto 1x3x5x...x101x103, cujos fatores são os naturais ímpares, de 1 até 103? A) 1 B) 5 C) 3 D) 7 E) 9 Conjunto dos Números Primos Um número inteiro n é primo (n 0), quando tem, exatamente, quatro divisores, que são: 1, 1, n e n, ou seja, n é primo D( n ) = { 1, 1, n, n} Caso n admita outros divisores, n é denominado composto. Exemplos: 3, 5, 11 e 13 são inteiros primos. Hoje, apesar de se conhecer diversas funções que descrevem os números primos, o método mais prático para a obtenção de primos é o Crivo de Eratóstenes. Eratóstenes ( a.c.), bibliotecário de Alexandria, famoso por sua descoberta acurada da circunferência da Terra, por seu mapa do mundo, então conhecido e pelo método de isolar os números primos num dado conjunto de números naturais, que eram dispostos em ordem crescente em uma tábua, sendo furados os números compostos. A tábua com diversos furos, tinha a semelhança de uma peneira, daí o nome Crivo. Todos os primos são ímpares, exceto o número 2, que é único número natural par e primo, pois todos os outros números pares são múltiplos de 2. 5

6 Reconhecimento de um Número Natural Primo Para reconhecermos se um número é primo, devemos dividi-lo pelos sucessivos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,..., até obter um quociente exato ou um quociente não exato e menor ou igual ao divisor. Exemplo: Verificar se o número 71 é primo. solução Exercício 08 Quantos divisores naturais tem o número 180? Exercício 09 (CORREIOS) Determine a sentença falsa: A) 770 é divisível por 7 B) 13 é divisor de 260 C) O maior múltiplo de 9, menor que 100 é 99 D) 204 é divisível por 24 Obtivemos na última divisão, o quociente 6, menor que o divisor 11, o que nos garante que 71 é primo. Fatoração de um Número Natural Todo número composto não nulo admite uma única decomposição em fatores primos (sem levar em consideração a ordem dos fatores). Esse é um dos teoremas demonstrados por Gauss. Fatorar um número significa decompor este número num produto de fatores primos. Quantidade de Divisores de um Número Inteiro Se a decomposição de um número natural composto n é n = (p 1 ) a. (p 2 ) b. (p 3 ) c... (p em que p 1, p 2, p 3,..., p n são os fatores primos de n e a, b, c,..., q são os seus respectivos expoentes, então o número de divisores naturais do número n é dado por: (Nº de divisores naturais) = (a + 1).( b + 1).( c + 1)... (q + 1) Logo o total de divisores inteiros do número n é o dobro do número de divisores naturais, ou seja, (Nº de divisores inteiros) = 2.(a + 1 ).( b + 1 ).( c + 1 )... ( q + 1 ) n ) q Exercício 10 (PM-PE/09) Carlos e Pedro são alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a seguinte questão: Determine o algarismo das unidades do número ( ) 642. Pedro resolveu o problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o resultado a que Pedro chegou? A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) 1 Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números inteiros e não nulos, é o menor número inteiro positivo, que é múltiplo de todos os números dados. Exemplo: Dados os números 3, 4 e 6, temos: M(3) = {0,± 3, ± 6, ± 9,± 12, ± 15, ± 18, ± 21,± 24,...} M(4) = {0, ± 4; ± 8, ± 12, ± 16, ± 20, ± 24, ±28,...} M(6) = {0, ± 6, ±12, ± 18, ± 24, ± 30, ± 36, ± 42,...} M(3) M(4) M(6) = {0, ± 12, ± 24,...} MMC(3,4,6) = 12 Existem outras maneiras de encontrar o MMC: Por decomposição em fatores primos e por fatoração simultânea. 6

7 Exercício 11 (UFPE) Um ônibus chega a um terminal rodoviário a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7 dias. Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal juntos. A próxima vez em que chegarão juntos novamente, ao terminal, ocorrerá depois de: A) 60 dias B) 35 dias C) 124 dias D) 84 dias E) 168 dias Exercício 12 (PM-BA/01) Três policiais fazem plantões regularmente, o primeiro a cada 6 dias, o segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 10 dias, inclusive aos sábados, domingos feriados. Se no dia 12/06/01 os três fizeram plantão, a próxima coincidência de data em seus plantões é A) 10/08/01 B) 12/08/01 C) 10/09/01 D) 10/10/01 E) 12/10/01 Exercício 13 (PM-PE/09) Três ciclistas A, B e C treinam em uma pista. Eles partem de um ponto P da pista e completam uma volta na pista ao passarem novamente pelo mesmo ponto P. O ciclista A gasta 30 seg, o ciclista B, 45 seg, e o ciclista C, 40 seg, para dar uma volta completa na pista. Após quanto tempo, os três ciclistas passam juntos, no ponto P, pela terceira vez consecutiva? A) 18 min. B) 25 min. C) 30 min. D) 15 min. E) 20 min. Máximo Divisor Comum (M.D.C.) O Máximo Divisor Comum de dois ou mais números inteiros e não nulos, é o maior número inteiro, que é divisor de todos os números dados. Exemplo: Dados os números 12, 18 e 30, temos: D(12) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12} D(18) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ±18} D(30) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ± 10, ± 15, ± 30} D(12) D(18) D(30) = {± 1, ± 2, ± 3, ± 6} MDC(12,18,30) = 6 Existem outras maneiras de encontrar o MDC: Por decomposição em fatores primos e pelo método das divisões sucessivas. Exercício 14 (CORREIOS/08) O M.D.C. de 28 e 84 é A) 4. B) 14. C) 7. D) 28. E) 21. Exercício 15 (UFPE) Uma escola deverá distribuir um total de 1260 bolas de gude amarelas e 9072 bolas de gude verdes entre alguns de seus alunos. Cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes. Se a escola possui 300 alunos e o maior número possível de alunos da escola deverá ser contemplado, qual o total de bolas que cada aluno contemplado receberá? A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42 Se o MDC(a,b) = 1, então a e b são denominados primos entre si. Ex: 10 e 21 são primos entre si. Quaisquer dois números consecutivos são primos entre si. Ex: MDC(28,29) = 1. Se a é múltiplo de b, então o MMC(a,b) = a. Ex: MMC(6,12) = 12 Se a e b são primos entre si, então o MMC(a,b) = a.b MDC(a,b). MMC(a,b) = a. b 7

8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UNIVASF) João folga em seu trabalho de 20 em 20 dias e Maria de 12 em 12 dias. Numa certa semana, João folgou na segunda-feira e Maria na sexta-feira. A partir dessa sexta feira em que Maria folgou, o número de dias decorridos até que eles folguem no mesmo dia, pela segunda vez, será: A) 60 D) 124 B) 78 E) 142 C) (CORREIOS/08) Um termômetro marcava - 4 graus pela manhã, mas, à tarde, a temperatura aumentou para 6 graus. Houve, portanto, uma variação de: A) 2 graus D) 1,5 grau B) 10 graus C) 24 graus 03. (FCC Agente Penitenciário-BA/2010) O menor número possível de lajotas quadradas inteiras necessárias para revestir um painel retangular, com 1,62 m de comprimento por 0,90 m de largura, como mostra a figura abaixo, é A) 14 B) 18 C) 36 D) 45 E) (CESGRANRIO) Três maçãs e uma pêra equilibram-se, em uma balança, com treze ameixas. Cinco ameixas e uma maçã, juntas, equilibram-se com uma pêra. Considerando que todas as frutas de mesma natureza têm a mesma massa, o número de ameixas necessário para equilibrar a pêra é: A) 2 D) 7 B) 8 E) 4 C) (CORREIOS/08) A raiz da equação 10x + [4x - (x + 3)] = 10 é: A) 1 D) 0 B) 2 C) (FCC TCE-SP/2010) De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava escrevendo a sucessão dos números naturais começando do zero quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que, até parar, Alfonso havia escrito algarismos, o último número que ele escreveu foi A) D) B) E) C) (CESGRANRIO BB/2010) De acordo com o Plano Nacional de Viação (PNV) de 2009, a malha de estradas não pavimentadas de Goiás tem km a mais do que a malha de estradas pavimentadas. Sabe-se, também, que a extensão total, em quilômetros, das estradas não pavimentadas supera em 393km o sêxtuplo da extensão das estradas pavimentadas. Quantos quilômetros de estradas pavimentadas há em Goiás? A) D) B) E) C) (FCLC) As idades de Caio e Cayane somam 27 anos, as de Cayane e Carla Eduarda 19 anos e as de Caio e Carla Eduarda 20 anos. A idade de Cayane é: A) 6 anos D) 14 anos B) 8 anos E) 15 anos C) 13 anos 09. (UFPB) Tenho 20 cédulas de R$ 5,00 e de R$ 10,00, no total de R$ 115,00. O número de cédulas de R$ 5,00 que tenho é: A) 2 D) 18 B) 15 E) 19 C) (CORREIOS) Qual é o menor número que é maior que 100 e é múltiplo comum de 3 e de 4? A) 96 D) 108 B) 102 C) (FACAPE/08.2) Com base no produto dos números , podemos afirmar que o resto da divisão do mesmo por 6 corresponde a: A) 0 D) 3 B) 1 E) 4 C) 2 8

9 12. (UFC) Um número positivo N, de dois algarismos, é tal que, ao inverterem-se os dois algarismos, o novo número assim formado excede N em 27 unidades. Se a soma dos algarismos de N é igual a 11 qual o valor de N? A) 47 D) 83 B) 74 E) 65 C) (UEFS) Numa empresa que promove eventos, existem 108 faxineiras, 60 garçons e 84 ajudantes de cozinha. Se cada equipe de trabalho deve conter o mesmo número X de faxineiras, o mesmo número Y de garçons e o mesmo número Z de ajudante de cozinha, o número máximo de equipes que se podem formar é igual a: A) 6 D) 15 B) 9 E) 30 C) (UEFS) João e Maria se conheceram numa sala de bate papo, na internet, no dia 30 de dezembro de Como João só acessa essa sala de 3 em 3 dias, e Maria, de 5 em 5 dias, o próximo encontro dos dois poderá ocorrer em janeiro de 2000, no dia. A) 14 D) 25 B) 15 E) 30 C) (TTN) Certa quantidade de sacos precisa ser transportada e para isto dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? A) 18 D) 36 B) 19 E) 57 C) (BNB/07) Dentre os serviços que um BANCO presta à comunidade, há três pelos quais cobra as taxas X, Y e Z em reais. Ao final do expediente de um dia de trabalho, os caixas A, B e C anotaram os valores recebidos referentes às taxas supracitadas: A 5X + 4Y + 7z = 127,90 B X + 2Y + Z = 77,50 C 3X + 3Y + Z = 113,20 Logo, a soma das taxas X + Y + Z é, em real, igual a: A) 35,40 D) 33,80 B) 46,20 E) 36,70 C) 44, (CORREIOS/08) O maior múltiplo de 8 e menor que 1000 é: A) 800 D) 998 B) 88 C) (BNB/04) Uma agência bancária vende dois tipos de ações. O primeiro tipo é vendido a R$ 1,20 por cada ação e o segundo a R$ 1,00. Se um investidor pagou R$ 1.050,00 por mil ações, então necessariamente ele comprou: A) 300 ações do primeiro tipo B) 300 ações do segundo tipo C) 250 ações do primeiro tipo D) 250 ações do segundo tipo E) 200 ações do primeiro tipo 19. (PM-PE/09) Resolvendo o sistema abaixo, é CORRETO afirmar que 2xy é igual a A) 12 B) 24 C) 16 D) 20 E) = 4 x y = 3 x y 20. (CORREIOS/08) O M.M.C. de 32 e 18 é A) 288. D) 576. B) 144. E) 720. C) (UNIVASF/09) Em um teste contendo 30 questões, cada questão certa vale 3 pontos, e cada erro vale -1 ponto. Se um estudante respondeu todas as questões, e teve nota 46, quantas questões ele errou? A) 8 D) 11 B) 9 E) 12 C) (BB/09) A Fundação Banco do Brasil apóia, financeiramente, projetos educacionais e culturais em muitas cidades do Brasil. Considere que, em determinada região, o total dos recursos destinados a um projeto de dança clássica e a um projeto de agroecologia tenham sido iguais ao quíntuplo dos recursos destinados a um projeto de alfabetização; que a soma dos recursos destinados aos projetos de alfabetização e de dança clássica tenham sido de R$ ,00; e que a diferença entre os recursos destinados aos projetos de agroecologia e alfabetização tenham sido de R$ ,00. Nessa situação, é correto afirmar que os recursos destinados 9

10 47 ao projeto de dança clássica foram superiores a R$ , aos projetos de dança clássica e agroecologia foram inferiores a R$ , aos três projetos foram superiores a R$ , (CORREIOS) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? A) 3 D) 7 B) 4 C) (PM-Ba/07) Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia, ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorrega exatamente um metro pela parede do poço. Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço? A) 6 D) 9 B) 7 E) 10 C) (TTN) Para enumerar as páginas de um livro de 468 páginas, quantos algarismos são escritos? A) 468 D) 1324 B) 936 E) 1428 C) (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes piscam com freqüências diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto. Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos eles voltarão a piscar simultaneamente? A) 12 D) 15 B) 10 E) 30 C) 20 GABARITO - PROPOSTOS 01 C 10 D 19 D 02 B 11 A 20 A 03 D 12 A 21 D 04 D 13 C 22 E,E,C 05 A 14 A 23 D 06 A 15 E 24 B 07 A 16 A 25 C 08 C 17 C 26 A 09 C 18 C NÚMEROS FRACIONÁRIOS OPERAÇÕES E PRINCIPAIS PROPRIEDADES O conjunto dos números racionais ou fracionários ( Q ) é o conjunto dos números que podemos representar na forma p q, com p Ζ e q Ζ *, para os quais adotam-se as seguintes definições: a c I) igualdade: = ad = bc b d a c ad + bc II) adição: + = b d bd a c a.c III) multiplicação: x = b d b.d No conjunto dos racionais, destacam-se os subconjuntos: Q* = conjunto dos racionais não nulos Q + = conjunto dos racionais não negativos Q = conjunto dos racionais não positivos Q * + = conjunto dos racionais positivos Q * = conjunto dos racionais negativos a Na fração, a é o numerador e b é o b denominador e se a e b forem primos entre si, isto é, se mdc(a,b) = 1, dizemos que b a é uma fração irredutível. Ex: as frações irredutíveis, mas 8 6 não. 3 7 e são 5 9 O inverso multiplicativo de b a, com b a 0 é a b, a b tal que x = 1. b a a c a d a c : = x, para e racionais não nulos. b d b c b d Ζ Q, pois todo inteiro pode ser representado na a forma, que é denominada fração aparente. b 3 Ex 1 : 3 = ; 1 Ex 2 : 3 =

11 Representação Decimal Quando dividimos o numerador pelo denominador de uma fração, podemos encontrar um decimal exato, quando há sempre uma quantidade finita de casas decimais ou um decimal não exato e periódico (dízima periódica), quando ocorre uma seqüência finita, de algarismos que se repetem indefinidamente. Exemplos: 3 = 3 : 4 = 0,75 decimal exato 4 1 = 0, = 0,3 decimal periódico 3 11 = 1, = 1,83 decimal periódico 6 31 = 0,031 decimal exato 1000 Número Misto É todo número da forma Ζ ; c Ζ*, tal que b a = c b a + = c b a em que a,b c ac + b. c Exercício 16 Encontre as frações geratrizes: a) 0,25 b) 0, c) 0, d) 1, e) 0, f) 1, Exercício 17 (CORREIOS/06) O resultado de 0,045 1,32, com quatro algarismos após a vírgula é A) 0,0257 B) 0,0340 C) 0,0358 D) 0,0352 E) 0,0371 Exercício 18 (BNB/07) O número racional y x tem as seguintes características: a soma dos quadrados dos termos x e y é igual a 241 e o quadrado da soma dos termos x e y é 361. Logo, o produto de x por y é igual a A) 45 B) 30 C) 60 D) 90 E) 75 Exercício 19 (PM-PE/04) dados os números racionais A =, B = e C =, podemos afirmar que A) A < B < C B) C < A < B C) C < B < A D) A < C < B E) B < A < C SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Para medir uma grandeza devemos compará-la com outra de mesma espécie chamada de unidade padrão. Para efetuarmos operações com unidades de medidas diferentes, devemos, antes, convertê-las para uma mesma unidade de medida. Antes de tudo devemos conhecer alguns prefixos usados na Matemática, Física, Química, Engenharia e em outras ciências exatas. exa ( E ) ; peta ( P ) ; tera ( T ) 10¹² ; giga ( G ) 10 9 ; mega ( M ) 10 6 ; quilo ( K ) 10 3 ; hecto ( h ) 10² ; deca ( da ) 10¹ ; deci ( d ) 10-1 ; centi ( c ) ; mili ( m ) 10-3 ; micro ( µ ) 10-6 ; nano ( n ) 10-9 ; ângstron ( A ) ; pico ( p ) ; femto ( f ) ; atto ( a ) o 11

12 No estudo das medidas de comprimento, capacidade, massa, superfície e volume, costumase usar a escala abaixo: Medidas agrárias Unidade Padrão: are a 1ha = 1 hm² = 10000m² 1a = 1dam² = 100m² 1ca = 1m² Observe que, no centro da escala aparece o símbolo da unidade padrão (U.P.) de cada sistema de medida, à direita, os seus submúltiplos: Medidas de volume deci d, centi c, mili m, e à esquerda, os seus múltiplos: deca da, hecto h, quilo k. Relação entre volume, capacidade e massa A água destilada (pura), a uma temperatura de 4º C, que ocupa um volume de 1dm³ ou 1 litro de capacidade, tem massa 1kg. Observe as escalas abaixo: Medidas de comprimento 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 litro 1000 m³ = 1000 litros 1 cm³ = 1 ml Medidas de capacidade 1 dm³ 1 litro 1kg, quando a água tem 4º de temperatura. Conversão das unidades de comprimento, capacidade e massa Medidas de massa É feita se deslocando a vírgula o mesmo número de casas, e no mesmo sentido que corresponde à mudança. Exercício 20 Transforme: a) 12 dal em l tonelada 1 ton = 1000kg b) 12 cm em m c) 12 mg em dag d) 0,75 l em ml Medidas de superfície e) 0,75 m em km f) 0,75 g em mg 12

13 Conversão das unidades de superfície e volume Converta: g) 453,235 m² em dm² h) 453,235 m² em hm² i) 453,235 m³ em dam³ j) 453,235 m³ em cm³ 30. (MPU) Que horas são agora, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo já decorrido? A) 8 horas D) 6h 48 min B) 4 horas E) 5h 48 min C) 4h 48 min 31. (CORREIOS/08) Uma prova de Matemática contém 50 questões. Um aluno acertou 10 7 das questões. Esse aluno errou: A) 35 D) 15 B) 32 C) 18 Exercício 21 (CORREIOS/08) Daniel tem 1,55 metros de altura, e seu amigo Pedro, 12 centímetros a mais. A altura de Pedro, em centímetros é: (CORREIOS/08) A fração equivalente a que 24 tem numerador 10 é: A) 167 centímetros B) 162 centímetros C) 160 centímetros D) 161 centímetros 10 A) B) 8 10 C) D) 16 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 27. (CORREIOS/08) O cubo de 0,2 é: A) 0,8 D) 0,0008 B) 0,08 C) 0, Os 3/7 dos 4/11 de um número são 480. Calcule esse número. A) 3080 D) 3060 B) 3800 E) 4800 C) (BB) Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram R$ 750,00. Qual era o saldo inicial, em reais? A) 1275 D) B) 1250 E) 960 C) (SEFAZ/09) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? A) 12 horas D) 24 horas B) 20 horas E) 30 horas C) 16 horas 34. (TTN) Uma caixa d`água com capacidade para 960 m³ possui uma tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um ladrão que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa, e o ladrão funcionando simultaneamente, em que tempo a caixa d`água ficará cheia? A) 16h 8min D) 14h 48min B) 16h 48min E) 16h 28min C) 14h 8min 35. (CORREIOS/08) O valor de y na y 21 equação y + = é: 2 2 A) 3 D) 7 B) 4 C) 6 13

14 36. (CEF) Se A é o número misto 2 1 2, calcule 12A². A) 75 D) 90 B) 80 E) 95 C) (PM-Ba/01) Um soldado iniciou seu plantão quando eram decorridos 2/5 de um dia e o encerrou quando eram decorridos 7/9 do mesmo dia. Se parou 1 hora e 50 minutos para almoçar, ele trabalhou, nesse dia, durante um período de A) 7h 36 min D) 7h 4 min B) 7h 28 min E) 7 horas C) 7h 14 min 38. (CORREIOS/08) O valor de x da equação x 7x + 4(x + 1) = 16 é: 3 A) 2 D) 8 B) 4 C) (TJ/RS 2005) Um advogado ingressou com uma ação de cobrança no valor de R$ ,00. A ação foi julgada procedente em parte, sendo o ganho do cliente de 8/10 do valor pleiteado. Como os honorários do advogado foram contratados em 1/4 do valor que o cliente viesse a receber, quanto sobrou para o cliente? A) R$ 6.000,00 D) R$ ,00 B) R$ 8.000,00 E) R$ ,00 C) R$ , (CORREIOS/06) A divisão de 11,025 por 0,7 resulta no valor A) 15,75 D) 15,55 B) 15,25 E) 15,15 C) 14, (INSS/05) Um terreno de 1km² será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m², será de: A) 1000 D) B) 2000 E) C) (CORREIOS/06) Uma torta de morangos, dividida em pedaços iguais, foi colocada à venda em uma confeitaria. Em meia hora, 3/4 da torta já haviam sido vendidos, restando apenas 6 pedaços. Em quantos pedaços a torta foi dividida? A) 6 D) 24 B) 7 C) (BNB/04) Sejam x e y números reais dados por suas representações decimais x = 0, y = 0, Pode-se afirmar que: A) x + y = 1 D) 1/(x+y) = 0,9 B) x y = 8/9 E) xy = 1 C) xy=0,9 46. (CORREIOS/06) Escolha uma alternativa para indicar, entre as igualdades apresentadas, a verdadeira A) 0,16 = 0, 4 B) 0,2 0,1 = 0, 2 4 C) > 3 / 5 7 D) nenhuma delas é verdadeira 41. (CORREIOS/08) A distância percorrida pelos atletas na maratona de São Paulo é 42 km, essa distância, em centímetros, é: A) 420 cm D) cm B) 4200 cm C) cm 42. (BB) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = A) 0,010m³ D) 1m³ B) 10m³ E) 0,100m³ C) 100m³ PROPOSTOS 27 C 37 C 28 A 38 C 29 B 39 E 30 C 40 A 31 A 41 D 32 D 42 D 33 C 43 E 34 B 44 D 35 D 45 D 36 A 46 A 14

15 RAZÃO Dados dois números a e b, com b 0, chamamos de razão de a para b, ou simplesmente razão entre a e b, nessa ordem, ao quociente a que também pode ser indicado a : b. b a antecedente b conseqüente Propriedade Fundamental Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Outras propriedades a c = b. c = a. d b d Exercício 22 (CORREIOS/08) Um automóvel a 36km/h percorre a cada segundo: A) 24 m B) 12 m C) 15 m D) 10 m I) II) III) IV) V) a c a ± b c ± d = = b d a c a c a ± b c ± d = = b d b d a c a ± b a = = b d b ± d b a c a ± b c = = b d b ± d d a b = c d a. c b. d a = b 2 2 Razões especiais escala = comprimento no desenho comprimento real área no desenho (escala) 2 = área real velocidade média= densidade = distância percorrida tempo gasto para percorrê - la massa do corpo volume do corpo densidade demográfica = PROPORÇÃO número de habitantes área Dadas as razões b a e d c, à sentença chamamos de proporção. a e d extremos b e c meios a c = b d 2 a c a. c c VI) = = b d b. d 2 d a c e a ± c ± e a c e VII) = = = = = proporção b d f b ± d ± f b d f múltipla. A quarta proporcional de três números dados, a, b e c, é o número x que forma, nesta ordem, com os outros três a proporção a c = b x Exemplo: A quarta proporcional entre 2, 6 e 9 é o número x, tal que 2 9 = 6 x 2x = 6.9 2x = 54 x = 27. Proporção contínua é aquela em que os meios são iguais. O valor comum dos meios é chamado média proporcional (média geométrica) dos extremos e o último termo dessa proporção é a terceira proporcional. Exemplo: A terceira proporcional entre 3 e 27 é o número x, tal que 3 x = x 27 x 2 = 3.27 x 2 = 81 x = 81 x = 9. 15

16 Exercício 23 (CORREIOS/08) O valor de x na x + 25 proporção 4 + = x é: 9 12 A) 59 B) 60 C) 61 D) 62 Divisão em partes inversamente proporcionais Dividir um número N em partes inversamente proporcionais aos números x,y,z,..., significa encontrar os números X, Y, Z,..., tais que X 1 x = Y 1 y = Z 1 z =... X.x = Y.y = Z.z =... e X + Y + Z +... = N DIVISÃO PROPORCIONAL Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números x,y,z,..., significa encontrar os números X, Y, Z,..., tais que X x Y = y Z = z =... e X + Y + Z +... = N Exercício 24 Dividir o número 24 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a outros números dados, significa dividir esse número N, em partes diretamente proporcionais aos inversos desses números. Exercício 26 (TTN) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento, dividindo Cr$ , 00 em partes inversamente proporcionais a 2 4 1, e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será de: A) Cr$ ,00 B) Cr$ ,54 C) Cr$ ,00 D) Cr$ ,00 E) Cr$ ,00 Exercício 25 (CORREIOS/08) Dividindo-se R$ 3.375,00 em partes A, B e C, proporcionais respectivamente, a 3, 5 e 7, a parte correspondente a C é igual a A) R$ 675,00. B) R$ 1.125,00. C) R$ 2.025,00. D) R$ 1.575,00. E) R$ 1.350,00 16

17 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 53. (UNEB) Um ciclista fez um percurso entre duas cidades que distam 250 km, em três dias. No primeiro dia, pedalou 6 horas a uma velocidade média de 15km/h. No segundo dia, pedalou 5 horas a uma velocidade média de 20km/h. O tempo que precisou pedalar, no terceiro dia, a 25km/h para completar o percurso foi igual a 01) 2h 04) 2h 40min 02) 2h 4min 05) 2h 44min 03) 2h 24min 47. (UNIFOR) A planta de uma cidade foi desenhada na escala 1 : , o que significa que as medidas reais são iguais a vezes às medidas correspondentes na planta. Assim, 4 cm da planta correspondem a uma medida real de A) 0,16 km D) 160 km B) 1,6 km E) 1600 km C) 16 km 48. (UFC) O valor de x que é solução, nos números x reais, da equação + + = é igual a: A) 36 D) 60 B) 44 E) 68 C) A escola tem 350 alunos e a cantina vendeu 4025 hambúrgueres em setembro. Qual foi o consumo médio por aluno, nesse mês? A) 9 D) 11,5 B) 10,5 C) 9,5 50. (UFC) A distância entre duas cidades em linha reta é 175km.Num mapa cuja escala é de 1 : qual a distância, em cm, entre estas cidades? 51. (UFPE) A maquete de uma vila é feita na escala de 1dm para 20 m. Se a vila tem área de 8000m², qual a área correspondente na maquete, em dm²? 52. (UFMG) Um mapa está desenhado em uma escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3cm de lado. A área real dessa região é A) 37,50 km² D) 22,50 km² B) 56,25 km² C) 67,50 km² 54. (UNEB) Devido à ocorrência de casos de raiva, a secretaria de saúde de um município promoveu uma campanha de vacinação de cães e gatos. Em um bairro desse município, foram vacinados, durante a campanha, 0,9 dos cães e 0,7 dos gatos. Sabendo-se que, no total, foram vacinados 0,82 dos cães e gatos existentes no bairro, pode-se concluir que o número de cães corresponde 01) a um terço do número de gatos. 02) à metade do número de gatos. 03) a dois terços do número de gatos. 04) a três meios do número de gatos. 05) ao dobro do número de gatos. 55. (PM-Ba/01) Num grupo de policiais, a razão entre o número de homens e o número de mulheres, nessa ordem, é de 3 para 5. Se 24 mulheres deixarem o grupo e 24 homens entrarem para o grupo, a razão será de 5 para 3. O grupo inicial é formado por A) 12 mulheres e 20 homens B) 20 mulheres e 12 homens C) 30 mulheres e 18 homens D) 36 mulheres e 60 homens E) 60 mulheres e 36 homens 56. (UFPE) A população de insetos numa plantação é inversamente proporcional à quantidade de agrotóxicos utilizada para combatê-la. Quando se utilizou 10 de agrotóxico a população restante foi estimada em 2000 insetos. Quantos litros de agrotóxicos deveriam ter sido utilizados para que a população de insetos fosse reduzida a 400? 57. (CORREIOS/06) O valor 7,2 foi dividido em partes proporcionais a 6, 11 e 19. O valor correspondente a 19 é A) 3,8 D) 2,4 B) 3,4 E) 2,7 C) 3,39 17

18 58. (CORREIOS/08) A proporção entre 16 e 36 é a mesma que entre 96 e A) 216. D) 206. B) 186. E) 196. C) (UERJ) Os termos da seqüência (10; x; 5) são inversamente proporcionais aos da seqüência (20; 50; y). Então (x + y) é igual a: a) 30 d) 35 b) 44 e) 100 c) (FAAP/SP) Dois sócios lucraram R$ 5000,00. O primeiro entrou para a sociedade com o capital de R$ ,00 e o segundo com R$ ,00. Se os lucros de cada sócio são proporcionais aos capitais, a diferença entre os lucros foi de aproximadamente: A) R$ 509,00 D) R$ 809,00 B) R$ 609,00 E) R$ 1 009,00 C) R$ 709, (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências com as seguintes áreas construídas, em m²: 110, 112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma área comum para lazer de 51m², que deve ser dividida em partes proporcionais à área de cada residência. Assim a área que corresponde à residência de 110m² é, em m², igual a: A) 9,00 D) 8,25 B) 8,70 E) 7,65 C) 8, (PM-Ba/01) Três policiais, cujas idades somam 60 anos, dividiram a despesa de um almoço em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se a despesa foi de R$ 42,00 e os dois mais velhos pagaram, respectivamente, R$ 14,00 e R$ 15,40, quantos anos tinha o mais novo? A) 18 D) 21 B) 19 E) 22 C) (PM-PE/09) Sr. Jairo tem três filhos: Pedro, Carlos e José. A razão entre as idades de Pedro e Carlos é 1/3 nessa ordem, e a razão entre as idades de José e Carlos é 1/2. Sabendo-se que a soma das respectivas idades é 99 anos, é correto afirmar que a soma dos algarismos da idade de Carlos é A) 9 D) 16 B) 12 E) 10 C) (UPE) Os amigos: Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prêmio de R$ ,00, que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais às respectivas idades. Sabendo que as idades estão em progressão aritmética, que Daniela é a mais velha e tem 28 anos, Neto é o mais novo e tem 4 anos, podemos afirmar que A) Neto recebeu R$ ,00 B) Marcela recebeu R$ ,00 C) Daniela recebeu R$ ,00 D) Neto recebeu o dobro de Maria Eduarda E) Maria Eduarda recebeu R$ , (Puccamp/SP) A tabela a seguir mostra a participação de uma empresa, de seus três sócios, em tempo (a partir do início das atividades da empresa) e em capital investido. Sócio Tempo de participação Capital inicial investido Antônio 6 meses R$ 5 000,00 Carlos 12 meses R$ 2 500,00 Emerson 9 meses R$ 3 000,00 Ao completar um ano funcionamento, o lucro de L reais foi dividido entre eles. A parte que coube a: A) Antônio correspondeu a 13/29 de L. B) Carlos correspondeu a 11/29 de L. C) Ernesto correspondeu a 9/29 de L. D) Carlos correspondeu a 7/29 de L. E) Antônio correspondeu a 5/29 de L. 63. (PM-SP) Quando um automóvel é freado, a distância que ele percorre até parar é diretamente proporcional ao quadrado da sua velocidade. Se um automóvel a 40 km/h é freado e pára depois de percorrer mais 8m, se estivesse a 60km/h, pararia após percorrer mais: A) 12 metros D) 18 metros B) 14 metros E) 20 metros D) 16 metros 18

19 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão entre a medida y de uma e a correspondente x da outra (x 0) for y constante e diferente de zero, isto é, = k, em que x k, k 0 é denominada constante de proporcionalidade. Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, à medida que uma aumenta, a outra também aumenta e à medida que uma diminui, a outra também diminui na mesma proporção. Ex: quilogramas de arroz e preço. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o produto da medida y de uma e a correspondente x da outra for constante e diferente de zero, isto é, y.x = k, em que k é uma constante diferente de zero. Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, à medida que uma aumenta, a outra diminui e à medida que uma diminui, a outra aumenta na proporção inversa. Ex: velocidade e tempo. REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é o processo de cálculo utilizado para se resolver um tipo de problema matemático que envolve duas grandezas direta ou inversamente proporcionais, em que são dadas três informações para se chegar ao resultado desejado. Exercício 27 (FCC BB/2010) Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas páginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante A) 8 dias. B) 7 dias e meio. C) 5 dias. D) 3 dias. E) 2 dias e meio. Exercício 28 Se um carro viaja com velocidade de 80 km/h e percorre certa distância em 4h, quanto tempo teria gasto, se ele tivesse viajado a 100km/h? Exercício 29 (CORREIOS/06) A cada 15 passos uma criança percorre 4m, em 6s. Qual o tempo necessário para esta criança, mantendo seu ritmo, percorrer 0,71 km? A) 15 min 5s. B) 17 min 45s. C) 15 min 5s. D) 18 min 15s. E) 15 min 30s. Exercício 30 (CESGRANRIO BB/2010) No Brasil, os clientes de telefonia móvel podem optar pelos sistemas pré-pago ou pós-pago. Em certa empresa de telefonia móvel, 17 em cada 20 clientes utilizam o sistema pré-pago. Sendo assim, o número de clientes que utilizam o sistema pré-pago supera o número de clientes do pós-pago em 24,36 milhões. Quantos milhões de clientes são atendidos por essa empresa? A) 29,58 B) 30,25 C) 31,20 D) 32,18 E) 34,80 REGRA DE TRÊS COMPOSTA Quando um problema de regra de três envolve mais de duas grandezas é denominado regra de três composta. Exercício 31 (PM-Ba/01) Uma pessoa fez um percurso em 5 dias, viajando 6 horas por dia com velocidade média de 70 km por hora. Viajando 7 horas por dia, faria o mesmo percurso em 4 dias, se sua velocidade média fosse de A) 48 km/h B) 65 km/h C) 75 km/h D) 80 km/h E) 102 km/h 19

20 Exercício 32 (PETROBRÁS) 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos dias, 12 homens, trabalhando 12 horas por dia, construirão 12 muros? A) 3 B) 6 C) 12 D) 36 E) 48 Exercício 33 (UFPE/06) Para escaparem de uma penitenciária, 10 prisioneiros decidem cavar um túnel de 450m de comprimento. Em uma fuga anterior, 12 prisioneiros cavaram um túnel de 270m, trabalhando 6 horas por noite, durante 9 noites. Se os atuais prisioneiros pretendem trabalhar 4 horas por noite, em quantas noites o túnel ficará pronto? A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 Exercício 34 (ASS. ADM-PC/08) Uma obra foi executada por 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias. Quantos operários serão precisos para realizar uma outra obra com o dobro de dificuldade da primeira, em 18 dias, trabalhando 10 horas diárias? A) 10 B) 50 C) 30 D) 40 E) 20 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 68. (UFPB) A capacidade máxima que uma determinada caminhonete suporta é 2400 kg de cimento, o que equivale a 2000 tijolos. Se a caminhonete está carregada com 1434 kg de cimento, quantos tijolos, no máximo, ela ainda pode carregar? A) 1172 D) 805 B) 700 E) 1196 C) (PM-PE/09) Para construir sua casa de praia, Fernando contratou a Construtora More Bem. No contrato, ficou estabelecido que a casa seria entregue em 8 meses, e, se a construtora não cumprisse o prazo, estaria sujeita à multa proporcional ao tempo de atraso. O setor de execução de obras da empresa verificou que, para cumprir o contrato, seriam necessários 20 operários com jornada diária de 6 horas. Seis meses após o início da obra, 5 operários foram demitidos, e a Construtora resolveu não contratar mais operários e concluir a obra com os restantes, aumentando a carga horária destes. Para cumprir o contrato, é CORRETO afirmar que a carga horária passou a ser de A) 7h/d. D) 8h 30 h/d. B) 8h/d. E) 9h/d. C) 7h 20 h/d. 70. (UFRN/07) Se o vazamento de uma torneira enche um copo de 200ml de água a cada hora, é correto afirmar que, para se desperdiçar 3m³ de água, são necessários A) 625 dias. D) 623 dias. B) 626 dias. C) 624 dias. 71. (UNIVASF/09.2) O consumo de 12 lâmpadas de mesma potência, acesas durante 3 horas por dia, em 10 dias é de 7 quilowatts. Qual será o consumo, em 30 dias, deixando acesas somente 10 destas lâmpadas, durante 6 horas por dia? A) 42 quilowatts D) 35 quilowatts B) 40 quilowatts E) 32 quilowatts C) 37 quilowatts 67. (UNICAP) Em uma exposição de equipamentos, foi apresentada uma máquina que, segundo o fabricante, varre, lava e enxuga uma área de 5.100m 2, em 6 horas. Nas mesmas condições, em quantas horas a máquina executará a mesma operação em área de m 2? 72. (CORREIOS/08) Com 50 Kg de trigo, um moinho consegue produzir 35 kg de farinha. A quantidade de trigo que é necessária para produzir 210 kg de farinha é: A) 200 kg D) 500 kg B) 300 kg C) 400 kg 20

21 73. (UNEB) Fazendo x biquínis por dia, uma costureira consegue entregar uma encomenda em 5 dias. Se fizesse x + 4 biquínis por dia, nas mesmas condições, a encomenda seria entregue em 3 dias. O valor de x está compreendido entre 01) 5 e 8 04) 18 e 21 02) 9 e 12 05) 22 e 24 03) 14 e (CORREIOS) Se quatro impressoras iguais imprimem 600 cartazes em 2,5 h, em quanto tempo duas dessas máquinas imprimirão o triplo de cartazes? GABARITO PROPOSTOS 47 B 57 A C 58 D 68 D 49 D 59 B 69 B B D 71 D 52 B 62 A 72 B D 73 A A 74 E 55 E 65 A 75 D C 76 E A) 2 h D) 15 h B) 5 h C) 7 h 30min 75. (BNB/07) Para construir 3 2 de uma obra, 16 operários, trabalhando 6 horas por dia, completaram a tarefa em 20 dias. Em quantos dias 20 operários, trabalhando 8 horas por dia, completarão a obra, supondo que estes operários tenham a mesma capacidade que os primeiros e as mesmas condições de trabalho? A) 5 dias D) 6 dias B) 3 dias E) 4 dias C) 8 dias 76. (UPE) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operários, trabalhando 6 horas por dia levarão: A) 90 dias D) 36 dias B) 80 dias E) 64 dias C) 12 dias 21

22 PORCENTAGEM Introdução Consideremos os valores do Produto Interno Bruto (PIB) de dois países, A e B, em bilhões de dólares, em dois anos consecutivos que chamaremos de 0 e 1. País PIB (ano 0) PIB (ano 1) Crescimento do PIB (entre 0 e 1) A B Verificamos que a razão entre o crescimento do PIB e o PIB do ano 0 vale: 32 para o país A; para o país B: 600 Uma maneira de compararmos essas razões consiste em expressarmos ambas com o mesmo denominador, por exemplo, 100. Assim: País A: 32 x = x = 8; portanto, a razão vale x País B: = x = 7; portanto, a razão vale. 100 Dessa forma, concluímos que o país A teve uma razão (taxa) maior de crescimento do PIB, pois 8 7 > Definição Porcentagem, razão centesimal ou ainda taxa percentual é uma razão de denominador 100. Formas de representação Ex: Oito por cento Exercício 35 Calcule: a) 12% de 300 b) (20%)² Exercício 36 (BB) Calcular 40% de 40%. A) 1,6 B) 16 C) 16% D) 1,6% E) 160% Exercício 37 (BNB) 49% é igual a: A) 0,7% B) 7% C) 70% D) 700% E) 7 Exercício 38 (CORREIOS/08) Num concurso foram inscritos 8600 candidatos. Dos inscritos, 15% faltaram. Logo, o número de candidatos que compareceram foi: A) 1290 B) 6450 C) 7310 D) 9890 Exercício 39 (SECTMA-PE/09) Paulo recebeu um aumento de 20% no mês de maio e 22%, em junho. Qual o total de aumento de Paulo? A) 42,3% B) 45,21% C) 43,5% D) 42% E) 46,4% 8 (razão de denominador 100) 100 8% (taxa percentual) 0,08 (número decimal) 22

23 Exercício 40 (CORREIOS/06) Um produto é oferecido pelo preço de R$ 3.245,00 à vista e por R$ 3.829,10 para pagamento parcelado. O percentual de acréscimo no valor à vista é de A) 15,5 %. B) 20,5 %. C) 16 %. D) 18 %. E) 19,8 %. Exercício 41 (UNEB/08) O proprietário de um imóvel contratou uma imobiliária para vendê-lo, pagandolhe 5% do valor obtido na transação. Se a imobiliária recebeu R$ 5600,00, o valor que coube ao proprietário foi, em reais, 01) ) ) ) ) Exercício 42 (PETROBRÁS) Um supermercado está fazendo a promoção leve 4 e pague 3. Isso equivale a conceder, a quem leva 4, um desconto de: A) 40% B) 35% C) 33% D) 30% E) 25% Exercício 44 (UNEB/07) Um cantor lançou no mercado, simultaneamente, um CD e um DVD de um show, gravados ao vivo. Sendo preço do DVD 30% maior do que o preço do CD, pode-se afirmar que o preço do CD é menor que o preço do DVD, aproximadamente, 01) 30% 02) 28% 03) 25% 04) 23% 05) 20% Exercício 45 (PM-PE/09) Uma loja de vendas de computadores fez uma parceria com determinada fábrica, para conceder um desconto de 20% na venda dessa marca. Um certo dia, foi vendido o último computador do estoque, porém a atendente vendeu o computador por R$ 1500,00, o que causou à loja um prejuízo de R$ 100,00. Sem a parceria, a loja venderia o computador por um preço cuja soma dos algarismos é igual a A) 9 B) 13 C) 2 D) 19 E) 3 Exercício 43 (ASS. ADM PC-PE/08) Uma agência de automóveis vendeu dois veículos por preços iguais, sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o preço de custo, e o segundo, com um prejuízo de 30% sobre o preço de custo. Então, relativamente ao custo total dos veículos, a agência EXERCÍCIOS PROPOSTOS A) obteve um lucro de 7%. B) obteve um prejuízo de 7%. C) obteve um lucro de 9%. D) obteve um prejuízo de 9%. E) não obteve lucro nem prejuízo (UFPE) Em uma eleição, um candidato recebeu 7/20 dos votos dos eleitores. Portanto o percentual de votos obtidos por esse candidato foi de: A) 35% D) 14% B) 20% E) 27% C) 7%

24 78. (BB) A quantidade de selos que tenho, mais sua metade, mais sua terça parte, mais sua quinta parte, menos 200, somam um total de 410 selos. Quantos representam 30% dos selos que possuo? A) 60 D) 100 B) 75 E) 105 C) (UNIVASF/09.2) Um produto podia ser comprado, há algum tempo atrás, por 80% do seu valor atual. Qual o aumento percentual sofrido pelo preço do produto neste período de tempo? A) 20% D) 25% B) 23% E) 28% C) 24% 80. (BB) Numa prova com 72 questões, Sílvia acertou 75%. A razão entre o número de acertos e o de erros nessa ordem é de: A) 1/3 D) 3/2 B) 3/5 E) 3/1 C) 2/3 81. (URCA/02) Se o salário de Teresa aumenta 20%, e os preços aumentam 10%, seu poder aquisitivo aumenta de um percentual próximo de: A) 8% D) 11% B) 9% E) 12% C) 10% F) 13% 82. (CEF) Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo, 10% dos homens são casados e 20% das mulheres são casadas, o número de pessoas casadas é: A) 28 D) 83 B) 52 E) 120 C) (CESPE/UnB) A soma de dois números x e y é 28 e a razão entre eles é de 75%. Qual é o maior desses números? 84. (UNIVASF/05) O dono de uma loja fez uma semana de promoção, dando um desconto de 20% na sua tabela de preços. Na semana seguinte, o gerente da loja decidiu encerrar a promoção e fixou um aumento de 20% nessa tabela. Para que os preços dessa última tabela retorne aos valores anteriores aos da promoção, o dono da loja deverá A) mantê-los inalterados. B) aumentá-los 4%. C) aumentá-los 25/6 %. D) diminuí-los 4%. E) diminuí-los 25/6 % 85. (FGV AUDITOR FISCAL-AP/10) O dono de uma loja aumenta os preços durante a noite em 20% e na manhã seguinte anuncia um desconto de 30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo em relação aos preços do dia anterior é de: A) 10% D) 16% B) 12% E) 18% C) 14% 86. (TRT) A razão entre a quinta parte de um número e o dobro do mesmo número, nessa ordem, é equivalente a: A) 5% D) 40% B) 10% E) 250% C) 25% 87. (CESGRANRIO - BB/2010) Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve A) lucro de 10,3%. D) prejuízo de 12,4%. B) lucro de 7,0%. E) prejuízo de 16,5%. C) prejuízo de 5,5%. 88. (UNIVASF/09.2) Uma loja vende uma televisão em duas prestações; a primeira, de R$ 1.650,00, a ser paga um mês após a compra, e a segunda, de R$ 1.815,00, a ser paga dois meses após a compra. Se a loja cobra juros mensais cumulativos de 10% ao mês, qual o preço da televisão à vista? A) R$ 3.000,00 D) R$ 3.300,00 B) R$ 3.100,00 E) R$ 3.400,00 C) R$ 3.200, (UFPE/06) Júnior tem uma coleção de cds de música nos gêneros erudito, popular e jazz. Se 65% da coleção consiste de música erudita, 1/5 consiste de música popular e 930 cds são de jazz, quantos são os cds de música erudita da coleção? A) 4010 D) 4040 B) 4020 E) 4050 C) (CORREIOS) Quanto é 30% de R$ 420,00? A) R$ 14,00 D) R$ 126,00 B) R$ 42,00 C) R$ 84,00 24

25 91. (UFBA/07) Um comerciante compra determinado produto para revender. A diferença entre o preço de venda e o preço de custo, quando positiva, é chamada de lucro por unidade. O comerciante estabeleceu um preço de venda tal que o seu lucro seja 50% do preço de custo. Com base nessas informações, é correto afirmar: (01) O lucro total obtido é diretamente proporcional à quantidade vendida. (02) O preço de venda é 150% maior que o de custo. (04) Se o comerciante conceder um desconto de 20% sobre o preço de venda, então terá um lucro de 20% sobre o preço de custo. (08) Se o preço de custo aumentar em 10%, e o preço de venda for mantido, então o lucro será 40% do preço de custo depois do aumento. (16) Se o comerciante fizer uma promoção do tipo Leve 4 e pague 3, então isso representará, para o cliente, um desconto total de 25%. (32) Se, nos meses de janeiro e fevereiro de 2006, o lucro do comerciante cresceu exponencialmente a uma taxa mensal de 2% em relação ao mês anterior, então, ao final de fevereiro, o lucro foi de 4,04% maior que o lucro ao fim de dezembro de (UPE) Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor oferecelhe duas condições de pagamento. A primeira, pagamento à vista com um desconto de 10% sobre o preço de tabela; e a segunda em duas parcelas, pelo preço de tabela, sendo 50% de entrada e o restante com 30 dias. O consumidor dispõe do valor para o pagamento a vista. Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então A) é mais vantajoso ele comprar a prazo. B) se comprar a prazo, ele tem um lucro de 8%. C) é mais vantajoso comprar a vista. D) se comprar a prazo, terá um prejuízo de 8%. E) é indiferente comprar a vista ou a prazo. 93. (UFPE/01) Quando o preço da unidade de determinado produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% durante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto? A) 8% D) 15% B) 10% E) 30% C) 12% 94. (CORREIOS/06) Em cada 100 litros de sangue, 83 litros são de água. Escreva na forma de porcentagem o número de água existente em nosso sangue. A) 8,3% D) 0,83% B) 83% C) 830% 95. (UFPE) Um vendedor ambulante compra sete canetas por cinco reais, para comercializá-las ao preço de quatro canetas por três reais. Qual o lucro comercial do vendedor? A) 0,05% D) 15% B) 0,5% E) 50% C) 5% 96. (UFC/05) Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens? A) 2 D) 15 B) 5 E) 25 C) (UNEB/07) A taxa de juros de débito de um cartão de crédito é de, aproximadamente, 10% ao mês, calculado cumulativamente. Se uma dívida for paga três meses após a data de vencimento, então terá um acréscimo de, aproximadamente, 01) 30,3% 04) 33,1% 02) 31,2% 05) 34,3% 03) 32,3% 98. (CORREIOS/06) Um produto cujo valor a prazo é de R$ 1280,00, ao ser vendido à vista custa R$ 960,00. O percentual de desconto no pagamento à vista é de A) 19% D) 27% B) 23% E) 21% C) 25% 99. (UFPE/02) Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da seguinte forma: Metade em caderneta de poupança que lhe renderam 30% ao ano. Um terço na bolsa de valores que lhe rendeu 45% no mesmo período. O restante ele aplicou em fundos de investimento que lhe rendeu 24% ao ano. Ao término de um ano o capital deste investidor aumentou em: A) 33% D) 32% B) 38% E) 36% C) 34% 25

26 100. (CORREIOS) Na lanchonete, um sanduíche que custava R$ 2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar: A) R$ 3,50 D) R$ 0,70 B) R$ 3,05 C) R$ 2, (UEFS) Uma determinada categoria de trabalhadores participou de uma greve, reivindicando 25% de reajuste salarial e, depois de muitas negociações, obtiveram apenas 7% e encerraram a greve. A partir dessa informação, conclui-se que o novo salário de um trabalhador que passou a receber R$ 180,00 a menos do que pretendia, antes da greve, é igual, em reais, a A) 750,00 D) 937,50 B) 817,50 E) 1070,00 C) 925, (UFPE/04) Uma loja oferece a seguinte opção: Pague x reais e leve mercadorias no valor de (x+x/3) reais. Qual o desconto sobre o valor da mercadoria que se leva? A) 21% D) 24% B) 22% E) 25% C) 23% 103. (UFPE) Ao comprar um objeto à vista, um cliente obteve um desconto de 20%. Ao chegar ao caixa, o mesmo cliente foi premiado com um novo desconto de 15%, sobre o valor resultante do desconto anterior. Qual o desconto total, na forma percentual? 104. (PUC/MG) Do salário bruto de Paulo são descontados: INSS 4% FGTS 8% IR 15% 106. (UNEB) Em uma loja há a seguinte promoção: Leve 20 unidades e pague o preço de 17. O desconto concedido por essa loja, sobre o preço de cada unidade do produto em promoção, é de: 01) 10% 04) 17,5% 02) 15% 05) 20% 03) 17% 107. (UNEB) Um objeto que custa R$ 240,00 à vista poderá ser comprado com uma entrada de R$ 60,00 e o restante, a prazo, com um acréscimo de 10%. Nessas condições, o preço final do objeto será de 01) R$ 300,00 04) R$ 198,00 02) R$ 264,00 05) R$ 180,00 03) R$ 258, (UFPE/06) Um depósito de água tem a seguinte propriedade: quando está 40% vazio, o volume de água excede em 40 litros o volume de quando o reservatório está 40% cheio. Qual a capacidade do reservatório? A) 160 litros D) 220 litros B) 180 litros E) 240 litros C) 200 litros 109. (UFPE/05) Uma proposta para ajudar a combater a fome no mundo é taxar as transações financeiras internacionais em 0,01%. Estas transações movimentam US$ 1,2 trilhão ao dia útil. Qual seria o total arrecadado em um ano? (Considere que o ano consiste de 52 semanas e cada semana contém 5 dias úteis). A) 3,12 milhões de dólares. B) 31,2 milhões de dólares. C) 3,12 bilhões de dólares. D) 31,2 bilhões de dólares. E) 3,12 trilhões de dólares. Após esses descontos, Paulo recebe o salário líquido de R$ 2 190,00. O salário bruto de Paulo é: A) R$ 2 500,00 D) R$ 4 000,00 B) R$ 3 000,00 E) R$ 4 500,00 C) R$ 3 500, (UNIVASF/07) Se a população do planeta era 5,94 bilhões de habitantes em 2000 e, a cada ano, cresceu 1% em relação ao ano anterior, qual era a população do planeta em 1900? (Dado: use 1, ,70 ) A) 2,1 bilhões D) 1,9 bilhões B) 2,2 bilhões E) 2 bilhões C) 2,3 bilhões GABARITO 77 A 88 A 99 C 78 C 89 C 100 A 79 D 90 D 101 E 80 E E 81 B 92 E B 93 A 104 B B 105 B 84 C 95 C D 96 E B C 87 C 98 C 109 D 26

27 CAPITAL, JUROS, TAXA DE JUROS E MONTANTE Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é chamado de juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada por i, é expressa em porcentagem do capital, esta taxa i representa os juros numa certa unidade t de tempo, que pode ser indicada ao dia (a.d.), ao mês (a.m.) ou ao ano (a.a.). Assim, por exemplo, se o capital C emprestado for R$ 6000,00 e a taxa i for 2% a.m., os juros pagos no tempo t de 1 mês serão iguais a 2% sobre R$ 6000,00, que equivale a 0,02.(6000) e, portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros no período da taxa são iguais ao produto do capital pela taxa, isto é: J = C. i Se o pagamento for feito numa única parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado com o juro, que chamaremos montante e indicaremos por M. No caso do empréstimo de R$ 6 000,00, durante 1 mês, à taxa de 2% ao mês, o montante será igual a R$ 6120,00. De modo geral, teremos: M = C + J Imagine que um capital R$ ,00 foi aplicado durante 3 meses à taxa de 5%a.t.(ao trimestre). Vamos calcular os juros e o montante recebidos após 3 meses. Em reais, após 3 meses, os juros recebidos foram: J = (0,05) = 800 Assim o montante recebido, em reais, foi: M = = Regime de capitalização simples e composta No regime de capitalização simples, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e são dados pelo produto do capital pela taxa. Os juros são pagos somente no final da aplicação. No regime de capitalização simples, um investimento de vinte mil reais (R$ ) à taxa de 10% ao mês. Ao final do 1º mês: , = Ao final do 2º mês: , = Ao final do 3º mês: , = Ao final do 4º mês: , = O juro total produzido ao final de quatro meses é: R$ R$ = R$ No regime de capitalização composta os juros do 1º período são adicionados ao capital, gerando o montante M 1 após o 1º período. Os juros do 2º período são obtidos multiplicando-se a taxa pelo montante M 1 ; esses juros são adicionados ao montante M 1, gerando o montante M 2, após dois períodos, e assim sucessivamente, ou seja, os juros de cada período são iguais ao montante do início do período, multiplicado pela taxa; e esses juros são adicionados ao montante do início do período, gerando o montante do final do período. No regime de capitalização composta, um investimento de vinte mil reais (R$ ) à taxa de 10% ao mês. Ao final do 1º mês: , = Ao final do 2º mês: , = Ao final do 3º mês: , = Ao final do 4º mês: , = O juro total produzido ao final de quatro meses é de R$ 9 282,00. Observe que a taxa foi aplicada, sempre, sobre o montante do mês imediatamente anterior. JUROS SIMPLES Consideremos um capital C aplicado a juros simples, a uma taxa i por período e durante t períodos de tempo. Os juros do 1º período são iguais a C. i e, de acordo com a definição de capitalização simples, em cada um dos períodos seguintes os juros são iguais C. i. Assim, os juros simples da aplicação serão a soma de t parcelas iguais a C. i, ou seja: e, portanto: J = C. i + C. i + C. i C. i J = C. i. t Alguns matemáticos gostam de trabalhar a fórmula assim: C.i.t J = 100 Nessa fórmula, se a taxa de juros for i = 2%, você substituirá o i por 2, pois o 100 do denominador já representa o símbolo de taxa percentual %. Em alguns problemas de juros simples não há coerência entre a taxa de juros fornecida e o período de capitalização. Portanto você tem que 27

28 lançar mão de uma taxa proporcional, que deve ser aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, produzindo o mesmo montante acumulado no final daquele prazo. Exemplo: - 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre; - 1% ao mês é proporcional a 12% ao ano. Exercício 46 Um capital de R$ ,00, aplicado a juros simples, durante dois anos, à taxa de 2% a.m., proporciona quanto de juros? Exercício 49 (CORREIOS/08) Qual o valor do montante de uma aplicação de R$ 4.000,00 após um ano e meio, a uma taxa de juros simples de 0,6 % ao mês? A) R$ 4.182,00. B) R$ 4.332,00. C) R$ 4.432,00. D) R$ 4.512,00. E) R$ 4.492,00. Exercício 50 (BB) 2/5 de um capital foi empregado a 6% ao mês, durante 3 meses; e o restante a 5% ao mês durante 3 meses. O lucro recebido foi de R$ 972,00. O capital empregado foi: Exercício 47 (PMN-RNF/06) Qual é a taxa mensal de juros simples a que deve ser aplicado o capital de R$ 2.500,00 para que, após um período de 3 anos e 4 meses, triplique o seu valor? A) R$ 5.000,00 B) R$ 6.000,00 C) R$ 7.000,00 D) R$ 8.000,00 E) R$ 9.000,00 A) 6% B) 4% C) 5% D) 8% E) 7% Exercício 48 (BB) Em quantos meses o capital de R$ ,00 aplicado a 3,6% a.a., renderia juros necessários à formação de um montante de R$ ,00? Exercício 51 (FCC SEFAZ-PB/06) Um investidor aplica em um determinado banco R$ ,00 a juros simples. Após 6 meses, resgata totalmente o montante de R$ ,00 referente a esta operação e o aplica em outro banco, durante 5 meses, a uma taxa de juros simples igual ao dobro da correspondente à primeira aplicação. O montante no final do segundo período é igual a A) R$ ,00 B) R$ ,00 C) R$ ,00 D) R$ ,00 E) R$ ,00 28

29 JUROS COMPOSTOS Já vimos que os juros simples são aqueles calculados à taxa fixa, sempre a partir da quantia inicial. Na capitalização composta os juros J, que se obtém através de um capital C, aplicado a uma taxa i, durante um certo período t, produzem um montante M que é calculado da seguinte maneira: 1º período: M 1 = C + C. i = C( 1 + i) 2º período: M 2 = M 1 + M 1. i = M 1. (1 + i) = = C(1 + i). (1 + i) = C(1 + i) 2 Exercício 54 (UFMG) Por um empréstimo de R$ ,00 à taxa de x% ao mês, se paga de uma única vez, após dois meses, o montante de R$ ,00. Por terem sido aplicados juros compostos, a taxa de: A) 15% B) 20% C) 22% D) 24% E) 25% 3º período: M 3 = M 2 + M 2. i = M 2. (1 + i) = = C(1 + i) 2. (1 + i) = C(1 + i) 3 Podemos concluir, então, que o montante será dado por: M = C(1 + i) t Observemos ainda que, embora a fórmula acima tenha sido deduzida para t inteiro e não negativo, ela pode ser estendida para qualquer valor real não negativo. Além disso, o valor de t deve ser expresso de acordo com a unidade de tempo da taxa. Essa operação é a mais utilizada nas transações comerciais e financeiras: Os juros compostos. Exercício 55 (UFPI) Um capital é empregado a uma taxa anual de 5% (juros compostos), calculada anualmente. Se o valor do montante, depois de n anos, é aproximadamente 34% maior do que o capital inicial, qual o valor de n? (Use log 10 1,05 = 0,02 e log 10 1,34 = 1,02.) Exercício 52 Um investidor aplicou R$ ,00 a juros compostos de 2% a.m.. Quanto, em reais, terá após oito meses de aplicação? Dado: 1,02 8 = 1,17166 Exercício 53 (BNB/03) Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um prazo de um trimestre. Tendo sido as capitalizações mensais, qual será o valor do resgate? A) R$ 1.331,00 B) R$ 1.300,00 C) R$ 331,00 D) R$ 300,00 E) R$ 1.000,00 Exercício 56 (UNIVASF/08.2) Um banco paga juros compostos de 6% ao ano. Se um cliente lucrou R$ 1.700,00, com uma aplicação de R$ 5.000,00, quanto tempo o capital ficou aplicado? Dado: use a aproximação ln(1,34) 0,30 e ln (1,06) 0,06. A) 3 anos B) 4 anos C) 5 anos D) 6 anos E) 7 anos 29

30 Exercício 57 (ACEP - BNB/2010) Um cliente de uma concessionária de veículos financia metade do valor de um automóvel. O financiamento consiste em seis parcelas mensais fixas de R$ 5.970,00, a primeira das quais vencendo um mês após assinatura do contrato de financiamento. A soma destas parcelas é o montante resultante da aplicação de metade do valor inicial do automóvel a uma taxa mensal de juros compostos de 3% a.m. Assinale a alternativa que apresenta o valor inicial do automóvel, considerando o valor aproximado (1,03) 6 = 1,194. A taxa nominal é usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. Nunca se pode usar a taxa nominal nos cálculos com juros compostos. Taxa efetiva é a taxa de juros compostos em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas: - 2% ao mês, capitalizados mensalmente; - 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; - 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos. Exemplo: Numa transação financeira com capitalização mensal, TAXAS DE JUROS No mercado financeiro em geral se faz uma grande confusão no que se refere aos conceitos de taxas de juros nominal, efetiva e real. Existe uma verdadeira poluição de taxas de juros, pois além das citadas tem-se ainda a simples, composta, equivalente, proporcional, aparente, antecipada, etc. Porém tentaremos simplificar as coisas a fim de tornar sua compreensão muito mais fácil. Conceito e classificação Taxa nominal Taxa efetiva 48% = ao mês. 48% ao ano 4% 12 Exercício 58 Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. O montante final dessa aplicação, sabendo que ela foi feita por um prazo de dois anos, é: Dado: (1,05) 8 = 1, A) R$ 7387,27 B) R$ 7837,27 C) R$ 7787,27 D) R$ 7738,72 E) R$ 7873,72 Suponha que você tenha feito um empréstimo de uma determinada quantia a fim de pagá-la após certo período. Como já vimos anteriormente, a taxa de juros é a razão entre os juros pagos no final do período e o capital inicialmente tomado. Por exemplo: Se você tomou R$ 1000,00 emprestado por um determinado período e pagou R$ 1200,00, então pagou R$ 200,00 de juros pelo empréstimo, logo pagou 200 = 0, 2 ou 20% de taxa de juros Taxa nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplos: - 12% ao ano, capitalizados mensalmente; - 24% ao ano, capitalizados semestralmente; - 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; Taxas equivalentes são taxas de juros efetivas fornecidas em unidades de tempo diferentes, que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo. O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos. Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos. 30

31 Exemplo 1 : A taxa de 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Note que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,00, para um investimento de um ano, irão gerar os seguintes montantes: 4% a.m. M = 1000.(1,04) 12 = 1601,03 8,16% a.b. M = (1,0816) 6 = 1601,03 Obs! Para os cálculos de (1,04) 12 e (1,0816) 6 as provas de concursos disponibilizam tabelas de consultas ou permitem o uso da calculadora. Como taxas equivalentes são taxas que geram o mesmo montante, se quisermos determinar uma taxa equivalente a outra, basta usarmos a relação: m ) = (1+ ib ) = (1+ it ) =... = (1 id ) 1 + i = (1+ i + onde: i a taxa anual i m taxa mensal i b taxa bimestral i t taxa semestral i d taxa diária Exemplo 2 : (CEF/08) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i% ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é Exercício 59 (CEF/08) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? A) 75,0% B) 72,8% C) 67,5% D) 60,0% E) 64,4% A) 4 D) 7 B) 5 E) 8 C) 6 Solução Taxa efetiva (anual) = 50% = 0,5 Taxa nominal semestral = i% capit. bimestralmente 1 + i a = (1 + i b ) ,5 = (1 + i b ) 6 (1 + i b ) 6 = 1,5 Usando a tabela ao lado fornecida na prova, temos: I b = 7% Como o semestre tem três bimestres a taxa proporcional é 7%. 3 = 21% ao semestre, logo o número 21 possui 4 divisores inteiros positivos. Resposta: Alternativa A Taxa real e Taxa aparente A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. Exemplo: Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 15% em um determinado período de tempo e, que no mesmo período ocorreu uma inflação de 5%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foi de 15%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 5% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros. 31

32 A taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação. Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais. Exemplo: Um trabalhador recebia R$ 450,00 de salário, em 2004, e passou a receber R$ 549,00, em Qual a correção aparente que este salário recebeu? Qual a correção real, supondo que a inflação acumulada do período tenha sido de 18%? Solução Se o salário era R$ 450,00 e passou a R$ 549,00, então a taxa aparente de ganho salarial é: 450.(1 + i) = i = 549/450 i = 549/450 1 i = 1,22 1 i = 0,22 ou 22% Porém, se houve inflação nesse período, o salário corrigido pela inflação seria 450.1,18 = 531. Portanto, o ganho real foi o que transformou R$ 531,00 em R$ 549,00, ou seja, o que se estabeleceu acima da inflação. Dessa forma, a taxa real de correção foi de: 531.(1 + i) = i = 549/531 DESCONTO SIMPLES Existem duas formas de desconto simples: O Desconto Comercial, bancário ou por fora e o Desconto Racional ou por dentro. O desconto comercial é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. Esse desconto pode ser calculado usando a expressão: Onde: D = N.i.n D desconto comercial N valor nominal i taxa de juros n período de antecipação do título O valor atual comercial A é dado por: A = N D A = N N.i.n A = N(1 i.n) Exercício 61 Um título de R$ 6.000,00 deve ser descontado, a título de desconto comercial, 45 dias antes do seu vencimento. Sabendo-se que a taxa cobrada é de 2,1% ao mês, calcule: a) O valor do desconto i = 549/531 1 i = 1,034 1 i = 0,034 ou 3,4% (aproximadamente) Resposta: 3,4%. Exercício 60 (BNB/04) Em 01/01/2003 um certo veículo, zero km, custava R$ ,00 a vista. Em 01/01/2004 o mesmo modelo do veículo, também zero km, custa R$ ,00. Tendo sido de 10 % a inflação do ano de 2003, pergunta-se qual foi o aumento real do veículo neste período. b) O valor atual A) 10,00 % no ano B) 20,00 % no ano C) 22,00 % no ano D) 30,00 % no ano E) 32,00 % no ano 32

33 O desconto racional é o desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se para o cálculo a taxa efetiva, e é dado pela expressão: D N.i.n. = r 1 + i.n Obs! Existe uma relação entre o desconto comercial simples (D) e o desconto racional simples (D r ), que é: D = Dr (1+ i.n) Exercício 62 Um título de R$ 6.500,00 é resgatado 4 meses antes de seu vencimento, utilizando a taxa de juros simples de 2,3% ao mês. Quanto será pago na data do resgate e qual o valor do desconto racional obtido atual? Exercício 63 (CESGRANRIO CEF/08) Um título de valor nominal R$ ,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D d, em reais, vale A) 399,00 B) 398,00 C) 397,00 D) 396,00 E) 395,00 DESCONTO COMPOSTO O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de curto prazo, geralmente inferiores a 1 ano. Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente Composto comercial transacionar com esses tipos de descontos, porque podem título e conduzir é simples, o Desconto Como no Comercial desconto a resultados que ferem o bom senso. Como no desconto simples, temos duas formas de onde dado calculado pela expressão: sobre o do desconto composto, o Desconto Comercial, bancário composto ou por fora e o Desconto Racional ou por dentro. valor nominal D = N A, A = N(1 i) n Já o Desconto Racional é dado pela expressão: Exercício 64 (CESGRANRIO BNDES/2008) Uma nota promissória cujo valor de face é R$ ,00 foi saldada dois meses antes do seu vencimento. A taxa de desconto racional composto utilizada foi de 10% ao mês. Imediatamente após receber o pagamento, o credor da nota promissória aplicou todo o dinheiro recebido à taxa de juros compostos de 44% ao bimestre com capitalização mensal. Dois meses após a aplicação, o montante obtido pelo credor, em reais, corresponde a A) ,00 B) ,20 C) ,00 D) ,71 E) ,00 D = N, onde r A r N = Ar (1+ i) n Obs! Existe uma relação entre as taxas de desconto composto por fora ( i f ) e por dentro ( i d ), veja: 1 i f 1 i d = 1 33

34 RENDAS CERTAS As transações financeiras, de um modo geral, compreendem empréstimos ou capitalizações. Neste contexto, se inserem as rendas certas ou anuidades, como também são chamadas. Os empréstimos se constituem em operações de financiamento, cujo capital, ou seja, a devolução do principal pode ser exigida de uma só vez ou amortizada por sucessivos pagamentos ou recebimentos periódicos. As capitalizações se caracterizam por depósitos únicos ou periódicos. Trata-se de uma poupança para se constituir um montante de determinada quantia em data futura. Chama-se de rendas certas aquelas operações nas quais, depois de definidas as condições do financiamento, o valor financiado e o montante não sofrem alterações, isto é, uma vez estabelecidas as condições, elas serão imutáveis. Os elementos que compõem as rendas certas são as seguintes: Sabendo-se que a fórmula do montante é dada por M = C(1 + i) t, pode-se associar à mesma o conceito de valor monetário no tempo, o que nos permite resolver inúmeros problemas de financiamento, quando dois ou mais capitais estiverem disponíveis em datas diferentes, veja o gráfico do montante ao longo do tempo t! Assim, pode-se dizer que uma quantia, cujo valor atual é x, equivalerá, depois de um período de tempo n, uma quantia y, dada por: y = x.(1 + i) n Onde y pode ser encarado como o capital futuro e x como o capital hoje (capital atual). Para se obter o valor futuro y, deve-se multiplicar o valor atual x por (1 + i) n e para se obter o valor atual x, deve-se dividir o valor futuro por (1 + i) n, veja! P (parcela) valor da prestação; período intervalo de tempo ente duas parcelas; n número de parcelas; V a (valor atual) soma dos valores atuais de cada uma das parcelas; M (montante) soma dos montantes de cada uma das parcelas; i (taxa de juros) é a taxa de juros tomada para o período. As rendas certas podem ser classificadas como: Postecipadas prestações pagas no fim de cada período. Exemplo: Compra feita em 10 prestações mensais e sucessivas, sem entrada, vencendo-se a primeira prestação 30 dias após a compra. Antecipadas prestações pagas no início de cada período. Exemplo: Compra feita a prazo, em 10 prestações mensais e sucessivas, sendo a primeira no ato da compra, isto é, sendo uma parcela à vista. Diferidas a primeira prestação é paga após um determinado período, ou seja, há um período de carência. Exemplo 1 : Uma dívida de R$ 2000,00 deverá ser paga 3 meses antes do seu vencimento, em 20 de setembro. Sabendo que a taxa de juros para essa dívida é de 5% a.m., em regime de juros compostos, qual será o valor do desconto? Solução A dívida futura é de y = R$ 2.000,00. Para encontrarmos o valor atual (3 meses antes) basta usarmos a fórmula: y x =, com n = 3 e i = 0,05, segue: n (1+ i) 2000 x = 3 (1+ 0,05) Logo, ,12 = 272, x = x = 1.727,12 3 (1,05) Resposta: O desconto será de R$ 272,88. 34

35 Exemplo 2 : Um carro, que custa à vista R$ ,00, está sendo vendido com financiamento nas seguintes condições: Entrada igual a 30% do preço à vista e o restante em duas parcelas iguais, à taxa de juros compostos de 7% a.m., com a primeira parcela vencendo 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda, 60 dias após a entrada. Qual o valor de cada parcela? Solução Entrada: 30% de = 0, = 4200 Restante: = 9800 P P 9800 = + (1+ 0,07) 2 (1+ 0,07) P P 9800 = + (1,07) 2 (1,07) P = 5420 Resposta:O valor de cada parcela é de R$ 5.420,30. Note que se, por exemplo, um financiamento fosse feito em uma série de 12 prestações iguais a P, a serem satisfeitas no final de cada período, o valor atual na data zero seria obtido pelo somatório dos valores atuais individuais de cada uma das 12 parcelas na data zero: V a P = (1+ i) 1 P + (1+ i) 2 P (1+ i) E seria inviável fazer essa operação, mesmo usando calculadora. Entretanto, colocando P em evidência no segundo membro da expressão acima, a expressão abaixo entre colchetes é a soma dos termos de uma P.G.: V a = P , (1+ i) (1+ i) (1+ i) generalizando, temos: V Portanto a 1 = P. (1+ i) (1+ i) (1+ i) n (1+ i) 1 V a = P., onde a expressão entre n i.(1+ i) colchetes representa-se a n i e lê-se a, n cantoneira i ou simplesmente, a, n,i, que vem do fato das tabelas financeiras serem de dupla entrada e, em n, tem-se a coluna dos períodos, enquanto que na linha, as taxas i. Portanto V a pode ser representado assim: V a = P. a n i n Obs.! Os valores de a n i são tabulados e, geralmente, quando exigidos em questões de concursos, em que não são permitidos uso de calculadoras financeiras ou científicas, são fornecidas tabelas para as soluções das questões. Exemplo 3 : Um carro foi vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$ 2.800,00, sendo a primeira prestação no ato da compra. Sabendo-se que a concessionária opera a uma taxa de juros de 2% a.m., calcule o preço à vista desse carro. Solução i = 0,02 a.m. n = 12 meses P = R$ 2.800,00 V a =? Essa compra foi feita com entrada, ou seja, um caso de renda certa antecipada. Para se calcular o preço à vista (V a ) usa-se a expressão: V a P + P.a n i =, onde V a é o preço à vista, P é a entrada, P.a n i, em que a n i é encontrado na tabela abaixo, observando que n agora vale 11, pois foi dada uma entrada. Observe que a 11 2 = 9,786848, pois este valor se encontra na linha em que n = 11 e na coluna em que i = 2%. Veja! n 1% 2% 3% 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Portanto, substituindo os valores na fórmula, temos: Preço à vista = entrada + valor atual, logo: V a = P + P.a n i V a = , V a = ,17 Resposta: O preço à vista é R$ ,17. 35

36 Exemplo 4 : Uma moto é vendida em 4 prestações de R$ 1.750,00, com o primeiro pagamento para 3 meses após a compra. Sabendo que a loja trabalha com juros de 3% a.m., calcule o valor à vista dessa moto. Solução Esse é o famoso caso de renda diferida. Temos: n = 4 P = R$ 1.750,00 i = 0,03 a.m. V a =? Exercício 65 (CEF/08) Um investimento consiste na realização de 12 depósitos mensais de R$ 100,00, sendo o primeiro deles feito um mês após o início da transação. O montante será resgatado um mês depois do último depósito. Se a taxa de remuneração do investimento é de 2% ao mês, no regime de juros compostos, o valor do resgate, em reais, será A) 1200,00 B) 1224,00 C) 1241,21 D) 1368,03 E) 2128,81 Para este tipo de financiamento usamos a seguinte fórmula: P.an i Va =, onde m (1+ i) a n i = a4 3 = 3, (consulte a tabela), pois n = 4 e i = 3. Sabe-se também que m = 2, posto que o diferimento é de 3 meses e eme"é sempre o período de diferimento menos 1. Portanto: V a , = 2 (1+ 0,03) 6504,9215 V a = 1,0609 V a = 6131,51 Resposta: O valor à vista da moto é R$ 6.131,51. O MONTANTE NAS RENDAS CERTAS Em um processo de capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais a P, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i, referidas ao mesmo período das parcelas, o montante M na data focal n é o resultado da soma dos montantes de cada uma das parcelas. A fórmula usada para o cálculo desse montante é demonstrada usando-se P.G., e é: = M P.S n i onde S n i tem seus valores tabulados em tabela fornecida pela banca do concurso, e é dado por: S n i n (1+ i) = i 1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor. Estão listados abaixo os principais sistemas de amortização e a simulação de um financiamento hipotético de R$ 1.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 1%, através de uma tabela com os elementos indicados : Sistema de Amortização Amortização t Juros do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , Totais

37 I. Sistema de Pagamento Único: Um único pagamento no final. O devedor paga o Montante = Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de t períodos. O Montante pode ser calculado pela t fórmula M = C(1+ i). Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final. Veja! Sistema de pagamento único Amortização t Juros do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , , , , , , , , , , ,01 0 Totais 51, ,01 III. Sistema Americano: O Sistema de Amortização Americano é uma forma de pagamento de empréstimos que se caracteriza pelo pagamento apenas dos juros da dívida,deixando o valor da dívida constante,que pode ser paga em apenas um único pagamento. Esse sistema de amortização tem a vantagem em relação ao sistema de pagamento único, pois nele não há incidência de juros sobre juros.os juros sempre incidem sobre o valor original da dívida.com isso o devedor pode quitar sua dívida quando quiser. Uso comum: Agiotagem. Sistema Americano n Juros Amortização do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , ,00 10, , ,00 10, , ,00 10, , ,00 10, , , ,00 0 Totais 50, ,00 II. Sistema de Pagamentos variáveis: O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito. Por exemplo: Se o devedor fizer um acordo da dívida da seguinte forma: No final do 1º mês: R$ 100,00 + juros No final do 2º mês: R$ 150,00 + juros No final do 3º mês: R$ 200,00 + juros No final do 4º mês: R$ 250,00 + juros No final do 5º mês: R$ 300,00 + juros Sistema de Pagamentos Variáveis Amortização t Juros do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , ,00 100,00 110,00 900,00 2 9,00 150,00 159,00 750,00 3 7,50 200,00 207,50 550,00 4 5,50 250,00 255,50 300,00 5 3,00 300,00 303,00 0 Totais 35, ,00 IV. Sistema de Amortização Constante (SAC): Neste sistema, a amortização da dívida é constante e igual em cada período. o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. Desta forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculada dividindo-se o valor do principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas. A principal característica do SAC é a de que ele amortizar um percentual fixo do saldo devedor desde o início do financiamento. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação Sistema de Amortização Constante (SAC) Amortização t Juros do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , ,00 200,00 210,00 800,00 2 8,00 200,00 208,00 600,00 3 6,00 200,00 206,00 400,00 4 4,00 200,00 204,00 200,00 5 2,00 200,00 202,00 0 Totais 30, ,00 37

38 Exercício 66 (FGV AUDITOR FISCAL-AP/10) Carlos comprou em janeiro de 2010 uma casa por R$ ,00, com um financiamento sem entrada no sistema de amortização constante (SAC) a ser pago em 10 anos com prestações mensais e taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. O contrato determina que a primeira prestação deva ser paga em fevereiro deste ano e as outras em cada um dos meses seguintes. Então, o valor da prestação que Carlos deverá pagar no mês de junho de 2010 é de: A) R$ 3.020,00 B) R$ 3.160,00 C) R$ 3.240,00 D) R$ 3.300,00 E) R$ 3.450,00 Exercício 67 (BNB/03) A quantia de R$ ,00 foi contratada em uma operação de compra a prazo. O esquema de amortizações acertado foi o SAC - Sistema de Amortização Constante. A periodicidade das prestações é bimestral, sendo taxa efetiva mensal de juros compostos de 10% e os juros capitalizados bimestralmente. Não há carência. Não há entrada nem sinal. A duração será de 20 meses. Qual o valor da primeira prestação? A) R$ 3.100,00 B) R$ 2.100,00 C) R$ 1.000,00 D) R$ 3.000,00 E) R$ 500,00 V. Sistema Price ou Francês (PRICE): O método de amortização baseado nas tabelas de Richard Price, na realidade foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. A principal característica da tabela Price, ou Sistema Francês de Amortização, são as prestações iguais. Este método foi denominado de tabelas de juro composto pelo seu autor Richard Price em sua obra "Observations on Reversionary Payments". Esta é a única forma conhecida de pagamento de cálculo de empréstimos através de parcelas de igual valor. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo. O cálculo da prestação P (pagamento) é o quociente entre o valor financiado V f e a constante de financiamento a, tal que n i a n i n (1+ i) 1 = n i.(1+ i) onde i é a taxa ao período e n é o número de períodos, ou seja, Vf P = a n i No nosso exemplo, i = 1% = 0,01; n = 5 e V f = 1000, portanto 4, a 5 1 = e O quadro fica assim: a 5 1 (1+ 0,01) 1 = 5 0,01.(1 + 0,01) 1000 P = P = 206,06.. 4, Sistema Price ou Francês Amortização t Juros do Saldo Pagamento saldo devedor devedor , ,00 196,04 206,04 803,96 2 8,04 198,00 206,04 605,96 3 6,06 199,98 206,04 405,98 4 4,06 201,98 206,04 204,00 5 2,04 204,00 206,04 0 Totais 30, , ,20 5 Exercício 68 (BNB/04) Qual das alternativas abaixo, em relação ao Sistema de Prestações Constantes em pagamento de empréstimos, está CORRETA? A) O saldo devedor tem comportamento linearmente decrescente. B) Os juros pagos têm comportamento linearmente decrescente. C) As amortizações têm comportamento crescente. D) Todas as amortizações têm o mesmo valor. E) As amortizações têm comportamento decrescente. 38

39 Ainda existem o Sistema de Amortização Misto (SAM) e o Sistema Alemão. Estes, menos utilizados e que não tem incidências nas provas de concursos, por isso não serão estudados. No SAM, os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price; e o Sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. É necessário conhecer o valor de cada pagamento P e os valores das amortizações A k, k=1,2,3,...,n. Nesse sistema, temos: C.i P =, A n 1 (1 i) 1 n 1 = P(1 i) e A k A = (1 i) 1 k 1 Vale ainda salientar que em qualquer que seja o sistema de amortização usado para o pagamento da dívida, vale a regra: 110 Para que a primeira prestação tenha o menor valor possível, esse cliente deverá optar pelo SAC. 111 A taxa de juros mensal de 1% é equivalente a uma taxa superior a 12,5% ao ano. 112 No SAC, os valores das prestações mensais formam uma progressão aritmética de razão igual a 0,01A, em que A é o valor da amortização. 113 No SAC, o valor da 26.ª prestação é igual ao dobro da amortização. 114 Pelo sistema francês, o valor da 98.ª prestação será inferior a R$ 875, Pelo SAC, a soma das primeiras 29 prestações será inferior a 50% do valor financiado. Pagamento = Juros + Amortização P = J + A e Saldo devedor = Taxa Saldo devedor anterior Onde, SD n = i.sd n-1 J juros A amortização P prestação ou parcela ou pagamento SD n saldo devedor após n amortizações SD n-1 saldo devedor após n 1 amortizações Exercício 69 (CESPE BRB/2010) Para aquisição de sua casa própria, um cliente de uma instituição financeira com carteira hipotecária necessita financiar R$ ,00. O financiamento poderá ser feito pelo sistema de amortização constante (SAC) ou pelo sistema de amortização francês (PRICE). Em cada um desses sistemas, a prestação mensal é composta pelo valor determinado pelo sistema e mais R$ 25,00 a título de seguro de financiamento. A taxa de juros é de 1% ao mês, o prazo do financiamento é de 10 anos e não há correção monetária. Com relação à situação apresentada, julgue os itens seguintes, considerando 1,1268 e 3,3 como valores aproximados de (1,01) 12 e (1,1268) 10, respectivamente. 39

40 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS Fluxo de caixa O fluxo de caixa é uma forma de representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem), onde a unidade de tempo pode ser dia, mês, ano, etc. As entradas de dinheiro são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, orientadas para cima; e as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, porém para baixo. Nas empresas, a mesma idéia é utilizada para representar as saídas e entradas de dinheiro do caixa. Outra forma de representação é por meio de tabelas, onde os valores positivos representam as entradas e os negativos, as saídas, nos instantes considerados. Veja o exemplo: Uma pessoa aplicou R$ 5.000,00 em um banco e recebeu R$ 600,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi Taxa interna de retorno A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente ou atual das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa. A TIR é usada como método de análise de alternativas de investimentos, onde o investimento será economicamente atraente se a TIR for maior do que a taxa mínima de atratividade (taxa de retorno esperada pelo investimento). A TIR também é utilizada na comparação entre dois ou mais projetos de investimentos, quando estes forem mutuamente excludentes. Neste caso, o projeto que apresentar o maior valor da TIR será o projeto economicamente mais atraente. A depender do fluxo de caixa de uma empresa, o cálculo da TIR pode ser um processo complexo quando calculado à mão, sendo normalmente feito com o uso de calculadoras financeiras ou programas de computador. Entretanto, para efeitos didáticos, as bancas elaboradoras dos concursos tratam de situações de fáceis resoluções. Sob o ponto de vista prático, a taxa interna de retorno é a taxa de juros que produz um valor atual V a resultante da aplicação de um conjunto de capitais C 1, C 2,...C n nas datas 1, 2,...n, respectivamente, ou seja, é a taxa i, tal que V a C = (1+ i) 1 1 C + (1+ i) 2 2 C (1+ i) n n E do ponto de vista do banco, foi Outra forma de representar o exemplo acima, sob o ponto de vista do aplicador é Ano Fluxo de caixa R$ E do ponto de vista do banco, só inverteríamos os sinais das quantias, na tabela acima. Veja! Ano Fluxo de caixa R$ Ex: (CESGRANRIO - CEF/08) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser A) 216,5 B) 217,5 C) 218,5 D) 219,5 E) 220,5 Solução A data zero indica o valor atual (V a = 410), onde houve saída, e as datas 1 e 2 indicam as entradas, que nesse caso são de mesmo valor P; e a taxa interna de retorno deve ser a taxa que produza a seguinte equivalência: P P 410 = (1+ 0,05) (1+ 0,05) P P 410 = ,05 2 = P.1,05 + P 1,05 2 1,05 Donde se conclui que P = 220, Resposta: Alternativa E.

41 Uma forma de resumir as coisas é escrever a expressão: EXERCÍCIOS PROPOSTOS P + P.(1 + i) = 410.(1 + i) 2 P + P.(1 + 0,05) = 410.(1 + 0,05) 2 P + 1,05.P = 410.(1,05) 2 2,05.P = 410.1,1025 2,05.P = 452,025 P = 220,50. Exercício 70 (FCC BB/2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano: 110. (CJF) Um empréstimo de R$ 8000, 00, durante 3 meses, rende juros de R$ 1 200,0. A taxa mensal do empréstimo foi de: A) 6% D) 7% B) 4,5% E) 8% C) 5% O valor de X é igual a A) R$ ,00 B) R$ ,00 C) R$ ,00 D) R$ ,00 E) R$ , (TRE) Um capital aplicado a juros simples comerciais, à taxa de 80% a.a., deverá triplicar no prazo de: A) 2 anos D) 3 anos B) 1 ano e 6 meses E) 3 anos e 6 meses C) 2 anos e 6 meses 112. (BB) Que quantia, aplicada a 2,5% a.m., durante 3 meses e 10 dias, rende R$ ,00? A) R$ ,00 D) R$ ,00 B) R$ ,00 E) R$ ,00 C) R$ ,00 Exercício 71 (FCC BB/2010) Uma máquina com vida útil de 3 anos é adquirida hoje (data 0) produzindo os respectivos retornos: R$ 0,00 no final do primeiro ano, R$ ,00 no final do segundo ano e R$ ,00 no final do terceiro ano. O correspondente valor para a taxa interna de retorno encontrado foi de 20% ao ano. Então, o preço de aquisição da máquina na data 0 é de A) R$ ,00. B) R$ ,00. C) R$ ,00. D) R$ ,00. E) R$ , (TST) Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em 7 anos? A) 50% a.a. D) 1 2/7 % a.a. B) 128 4/7 %a.a. E) 1/2 % a.m. C) 142 6/7 % a.a (TST) O capital de R$ ,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado durante um ano e 3 meses. A) 6% a.m. D) 61% a.a. B) 60% a.a. E) 50% a.a. C) 5% a.a (TJ-CE) No regime de juros compostos, quanto rende um capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 2 anos à taxa de 10% ao semestre? A) R$ 2.400,20 D) R$ 2.432,00 B) R$ 2.329,10 E) R$ 3.575,00 A) R$ 2.320,50

42 116. (CORREIOS/08) Um capital de R$ 600,00 foi aplicado por 3 meses à taxa de 2% de juros simples ao mês, esse capital produzirá de juro: A) R$ 30,00 D) R$ 39,00 B) R$ 33,00 C) R$ 36, (PM-Ba/01) Os 3/5 de um capital C foram aplicados a juros simples à taxa anual de 18% e o restante de C, à taxa anual de 15%. Se após 8 meses de aplicação o juro total era de R$ 140,00, o capital C era A) R$ 1 000,00 D) R$ 1 250,00 B) R$ 1 050,00 E) R$ 1 480,00 C) R$ 1 125, (ESPM/SP) O tempo necessário para que um capital empregado à taxa de 2% ao mês, com juros capitalizado mensalmente, dobre de valor é: (Dados: log2 = ; log102 = 2,0086) A) 12 meses D) 48 meses B) 25 meses E) 60 meses C) 35 meses 119. (FEI-SP) Se aplico hoje o capital de R$ ,00 à taxa de juros compostos mensais de 10%, poderei retirar daqui a 5 meses: A) R$ ,00 D) R$ ,00 B) R$ ,00 E) R$ ,00 C) R$ , (Unijui-SP) Um capital de R$ 2.000,00 rende juros compostos de 10% ao mês durante dois meses. O valor dos juros é: A) R$ 2.420,00 D) R$ 420,00 B) R$ 2.240,00 E) R$ 1.600,00 C) R$ 400, (CORREIOS/06) O montante após dois anos, de um capital de R$ 7.540,00, aplicado a uma taxa de juros de simples de 1,16% ao mês, terá valor, em reais, igual a A) 9636,12 D) 9003,15 B) 9814,23 E) 9097,49 C) 9639, (UNEB) Duas pessoas fizeram um empréstimo de uma mesma quantia por dois meses, nas seguintes condições: A primeira, a juros compostos de 2% ao mês. A segunda, a juros simples de x% ao mês. Sabendo-se que, ao quitar a dívida, as duas pagaram o mesmo valor, conclui-se que x é igual a: 01) 2,01 04) 4,04 02) 2,02 05) 4,40 03) 2, (UNEB) Um investidor fez uma aplicação a juros simples de 10% mensal. Depois de 2 meses, retirou capital e juros e os reaplicou a juros compostos de 20% mensal, por mais dois meses e, no final do prazo, recebeu R$ 1.728,00. Pode-se afirmar que o capital inicial aplicado foi de: 01) R$ 1000,00 04) 1.200,00 02) R$ 1.100,00 05) 1.144,00 03) R$ 1.120, (UFBA) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e saldou a dívida da seguinte maneira: 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$ 2.260,00; 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3.050,00; 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida. Nessas condições, pode-se afirmar: (01) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou devendo R$ 4.340,00. (02) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% do valor do empréstimo. (04) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a R$ 3.300,00. (08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9.000,00. (16) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do valor do empréstimo (PF) Os juros produzidos pela caderneta de poupança são juros compostos, pois após cada mês, os juros são incorporados ao capital. Nessas condições, qual o montante produzido por R$ ,00 em 4 meses, a 10% ao mês, em reais? A) D) B) E) C) (CEF) Considere que o valor de R$ ,00 rendeu num certo período o montante de R$ ,00 a juros compostos de 6% a.a. capitalizados anualmente. Então o período de aplicação daquele capital é aproximadamente igual a: Dados: log 1,06 = 0, 02531; log 2,1061= 0,30451 A) 13 anos D) 14 anos B) 12 anos E) 10 anos C) 11 anos 42

43 127. (FCC BB/2010) Um capital é aplicado, durante 8 meses, a uma taxa de juros simples de 15% ao ano, apresentando um montante igual a R$ ,00 no final do prazo. Se este mesmo capital tivesse sido aplicado, durante 2 anos, a uma taxa de juros compostos de 15% ao ano, então o montante no final deste prazo seria igual a A) R$ ,50. D) R$ ,50. B) R$ ,00. E) R$ ,75. C) R$ , (UFBA) Um aparelho eletrodoméstico está à venda pelo preço de R$ 300,00, numa loja que oferece as seguintes opções de pagamento: Plano A: à vista, com 5% de desconto; Plano B: pagamento no prazo de um mês, sem desconto nem acréscimo; Plano C: pagamento no prazo de dois meses, com juros compostos de 5% ao mês. Uma segunda loja vende o mesmo aparelho por um preço 5% mais caro que o anterior, mas oferece um desconto de 10% à vista. Com base nessas informações, é correto afirmar que, se um cliente (01) optar pelo plano B, pagará 5% a mais que outro que optar pelo plano A. (02) preferir o pagamento à vista, será mais vantajoso comprar na segunda loja. (04) optar pelo plano C, pagará um valor maior que R$ 330,50. (08) Aplicar, no dia da compra, a uma taxa de 7% ao mês, o dinheiro que usaria para o pagamento à vista no plano A, após dois meses terá o suficiente para o pagamento do valor correspondente ao plano C. (16) comprar dois aparelhos à vista, um em cada loja, a média dos preços dos aparelhos será inferior a R$ 285, (SEFAZ-AL/02) Considerando que um investidor aplique mensalmente R$ 500,00 em um fundo de investimentos que remunera à taxa de juros compostos de 2% a.m., julgue os itens a seguir. 1 Se o investidor fizer três aplicações, o montante aplicado, no instante em que ele efetuar o último depósito, será menor que R$ 1.600,00. 2 Se o investidor fizer três aplicações, o montante, um mês após o último depósito, será maior que R$ 1.600,00. 3 No instante da segunda aplicação, o investidor acumulava um rendimento inferior a R$ 12,00. 4 O valor atual da seqüência de quatro aplicações, um mês após a quarta aplicação é igual a 500 [1,02 + (1,02)² + (1,02)³ + (1,02) 4 ]. 5 Para obter um montante superior a R$ 1.500,00 já no segundo mês da aplicação, as mensalidades poderiam ser de R$ 745, (ESPCEX/07) Dividiu-se uma herança de R$ ,00 entre dois herdeiros de 7 e 13 anos, sendo as quantias depositadas em um banco a juros simples de 5% ao ano, de tal modo que ao completarem 21 anos tenham quantias iguais. A parte da herança, em reais, que deve ser deixada ao mais moço é: A) D) B) E) C) (CORREIOS/08) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado durante 4 anos, à taxa de 12% ao ano. Ao final deste tempo, o investidor terá, a regime de juros simples: A) R$ 2160,00 D) R$ 2960,00 B) R$ 2360,00 C) R$ 2660, (BNB/07) Um capital de R$ 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples 7,5% a.a., obteve um rendimento de R$ 843,75. O tempo correspondente à aplicação foi de: A) 2 anos e 2 meses D) 1 ano e 5 meses B) 1 ano e 11 meses E) 2 anos e 3 meses C) 2 anos e 1 mês 133. (CEF/08) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será A) 50,00 D) 56,00 B) 52,00 E) 58,00 C) 54, (BNB/07) Se aplicarmos R$ ,00 a juros compostos de 6% ao trimestre, teremos após 3 anos, em real, a importância correspondente a: A) (1,06) 12 D) 25000x(1,02) 12 B) (1,02) 9 E) 25000x(1,02) -9 C) (1,06) (BNB/07) João aplica ao final de cada mês R$ 1.000,00 em um fundo de investimentos que paga juros compostos de 5% ao mês. O montante que ficará à disposição de João imediatamente após o 10º depósito será: Use: (1,05) 10 = 1,63 43

44 A) R$ ,00 D) R$ ,00 B) R$ ,00 E) R$ ,00 C) R$ , (BNB/07) A tabela abaixo, apresentando algumas células sem valores numéricos, refere-se a um empréstimo bancário de R$ ,00 entregue no ato da assinatura do contrato, à taxa nominal 12% ao ano; para pagamento em 6 meses sem carência pelo Sistema Price. n Prestação Juros Amortização Saldo Devedor ,000, , , , , , , , , Com relação a essa situação, julgue os itens a seguir: I. Imediatamente após o pagamento da segunda prestação, o saldo devedor será inferior a R$ 8.100,00. II. O valor da quinta prestação será superior a R$ 2.100,00. III. O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a R$ 30,00. Assinale a opção correta de resposta. A) Os itens I e III estão certos. B) Os itens I e II estão certos. C) Os itens II e III estão certos. D) Apenas o item II está certo. E) Todos os itens estão certos (BB/09) 51 Se um dos dez países considerados for selecionado ao acaso, então a probabilidade de que a taxa de juros atual desse país encontre-se entre 5,5% e 10% será igual a 0,2. 52 Em termos proporcionais, o maior corte da taxa de juros ocorreu na Índia. 53 A taxa de juros compostos praticada anteriormente pela Hungria era de 10% ao ano. Essa taxa é equivalente a uma taxa de juros semestral superior a 5%. 54 Caso o governo do Canadá venda, por 1 milhão de dólares, títulos à taxa de juros compostos de 1% ao ano para serem resgatados daqui a 3 anos, então, para resgatar esses títulos ao final do período, o governo canadense deverá desembolsar mais de 1,03 milhão de dólares. 55 Considere que, em uma carteira de investimentos de um banco em Taiwan, um investidor aplique quatro parcelas anuais, consecutivas e iguais a dólares, à taxa de juros compostos de 2% ao ano. Nessa situação, tomando-se 1,082 como valor aproximado de 1,024, é correto afirmar que, imediatamente após ser feita a última aplicação, o montante desse investidor será superior a dólares (CEF/08) Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? A) 110,00 D) 104,00 B) 108,00 E) 102,00 C) 106, (BNB/04) Pedro aplicou R$ 1.000,00 em um banco que paga taxa efetiva de 21 % ao bimestre. A operação teria duração de dois meses. Um mês antes do resgate desta aplicação, Pedro precisava pagar R$ 1.500,00 a seu irmão Marcos. Pedro efetuou este pagamento através da transferência da aplicação para Marcos e mais uma parcela à vista em dinheiro. De quanto foi essa parcela? A) R$ 290,00 D) R$ 1.400,00 B) R$ 400,00 E) R$ 1.290,00 C) R$ 500,00 Tendo como referência a figura acima, que mostra os valores das taxas de juros anuais, em dois anos consecutivos, denominados anterior e atual, em 10 países, julgue os itens seguintes. 50 O valor médio das taxas atuais dos 10 países em questão é inferior a 5% (BNB/04) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformandose em R$ ,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100 %, qual foi a inflação medida no mesmo período? A) 100% ao período D) 400% ao período B) 200% ao período E) 500% ao período C) 300% ao período 44