INSTITUTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO LISTA 6. FEP Física Geral e Experimental para Engenharia I

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1 INSTITUTO DE FÍSICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO FEP195 - Física Gera e Experienta para Engenharia I LISTA 6 1. A héice de u avião gira a 1900 rev/in. (a) Cacue a veocidade anguar da héice e rad/s. R: 198, 97 rad/s (b) Quantos segundos a héice eva para girar 35 graus? R: 0, 003 s. Ua criança está epurando u carrose. O desocaento anguar do carrose varia co o tepo de acordo co a reação θ(t) = γt + βt 3, onde γ = 0, 400 rad/s e β = 0, 010 rad/s 3. (a) Cacue a veocidade anguar do carrose e função do tepo. R: ω(t) = γ + 3βt (b) Qua é o vaor da veocidade anguar inicia? R: ω(0) = γ = 0, 400 rad/s (c) Cacue o vaor da veocidade anguar instantânea para t = 5, 00 s e a veocidade édia anguar para o intervao do tepo de t = 0 até t = 5, 00 s. Mostre que a veocidade édia anguar não é igua à édia das veocidades anguares para t = 0 até t = 5, 00 s e expique a razão dessa diferença. R: ω(5) = 1, 30 rad/s, ω edia = 0, 70 rad/s, édia das veocidades = 0, 85 rad/s. 3. O ânguo descrito por ua roda de biciceta girando é dado por θ(t) = a + bt ct 3, onde a, b e c são constantes positivas tais que se t for dado e segundos, θ deve ser edido e radianos. (a) Cacue a aceeração anguar da roda e função do tepo. R: α(t) = b 6ct (b) E que instantes a veocidade anguar instantânea da roda é nua? R: t = 0 e t = b 3c 4. U corpo rígido roda e torno de u eixo fixo co o desocaento anguar dado por θ(t) = at bt 3, onde a = 6, 0 rad/s e b =, 0 rad/s 3 e t 0. Ache os vaores édios da veocidade anguar e da aceeração anguar para o intervao de tepo de t = 0 até o instante e que o corpo para. R: ω edia = a b = 4 rad/s e α edia = 3ab = 6, 0 rad/s. 5. U ventiador eétrico é desigado, e sua veocidade anguar diinui uniforaente de 500 rev/in até 00 rev/in e 4, 00 s. (a) Ache a aceeração anguar e rev/s e o núero de revouções ocorridas no intervao de 4, 00 s. R: α = 1, 5 rev/s e 3, 3 revouções (b) Supondo que a aceeração anguar cacuada no ite (a) peraneça constante, durante quantos segundos, depois de desigado o apareho, a héice continuará a girar até parar? R: t = 6, 67 s 6. A roda de ua oaria gira co aceeração anguar constante igua a, 5 rad/s. Depois de 4, 00 s, o ânguo descrito pea roda é de 60, 0 rad. Qua era a veocidade anguar inicia da roda? R: ω 0 = 10, 5 rad/s. 7. (a) Deduza ua expressão para u oviento co aceeração anguar constante que forneça θ θ 0 e função de ω, α e t (não use ω 0 ). R: θ θ 0 = ωt 1 αt (b) Para t = 8, 0 s, ua engrenage gira e torno de u eixo fixo a 4, 50 rad/s. Durante o intervao precedente de 8, 0 s ea girou através de u ânguo de 40, 0 rad. Use o resutado da parte (a) para cacuar a aceeração constante da engrenage. R: α = 0, 15 rad/s (c) Qua era a veocidade anguar de engrenage para 1

2 t = 0? R: ω 0 = 5, 5 rad/s 8. Cacue o oento de inércia de u aro (u ane fino) de raio R e assa M e reação a u eixo perpendicuar ao pano do aro passando pea sua periferia. R: I = MR 9. Ua paca etáica fina de assa M te fora retanguar co ados a e b. Use o teorea dos eixos paraeos para deterinar seu oento de inércia e reação a u eixo perpendicuar ao pano da paca passando por u de seus vértices. R: I = 1 3 M(a + b ) 10. Ache o oento de inércia de u disco aciço, unifore, de raio R e assa M e reação a u eixo perpendicuar ao pano do disco passando peo seu centro. R: I = 1 MR 11. Ua barra degada de copriento L possui assa por unidade de copriento variando a partir da extreidade esquerda, onde x = 0, de acordo co d dx = γx, onde γ é ua constante de unidade kg/. (a) Cacue a assa tota da barra e teros de γ e L. R: M = γl (b) Cacue o oento de inércia da barra e reação a u eixo perpendicuar à barra e passando pea sua extreidade esquerda. R: I = 1 ML 1. Deterine o oento de inércia de u cone aciço unifore e reação a u eixo que passa através de seu centro (figura abaixo). O cone possui assa M e atura h. base é igua a r. R: I = 3 10 Mr O raio do círcuo da sua 13. U ciindro oco te assa, raio externo R e raio interno R 1. Mostrar que o oento de inércia e reação ao eixo de sietria é I = R + R U corpo esférico sóido de raio igua a 10 c e assa de 1 kg, parte do repouso e roa ua distância de 6, 0, descendo o tehado de ua casa, cuja incinação é igua a 30 (figura abaixo). (a) Qua a aceeração inear do corpo durante o roaento? R: a = 3, 5 /s (b) Qua é a força de atrito f e? R: f e = 16, 8 N (c) Qua é a veocidade do corpo quando ee sai do tehado? R: v = 6, 48 /s 15. U ioiô é coposto por dois discos cuja espessura é b e cujo raio é R. Os dois discos estão igados por u eixo centra estreito de raio R 0. E torno desse eixo está enroado u fio de copriento L e espessura desprezíve. O oento de inércia do sistea, co reação ao seu centro de assa é dado por I CM. Supondo o atrito desprezíve, encontre a veocidade inear do ioiô quando ee sobe o fio. [ ] MR R: v = 0 gl 1/ (I CM +MR0 ) 15. U ciindro de assa e raio r, é soto (a partir do repouso) do topo de u pano incinado que faz u ânguo α co a horizonta. Sabendo que o ciindro deve descer o pano incinado roando se desizar, encontre sua aceeração. R: a = 3 gsen(α) 16. Duas partícuas de esa assa estão presas às extreidades de ua oa de assa desprezíve,

3 iniciaente co seu copriento reaxado 0. A oa é esticada até o dobro desse copriento e é sota depois de counicar veocidades iguais e opostas v 0 e v 0 às partícuas, perpendicuares à direção da oa, tais que k0 = 6v 0, onde k é a constante da oa. Cacue as coponentes (v r,v θ ) radia e transversa da veocidade das partícuas quando a oa vota a passar peo seu copriento reaxado. R: v r = 0 e v θ = v 0 0 v 0 gira e torno de u eixo vertica co veocidade escaar constante, antendo-se a ua distância d = 0, 5 do eixo; o ânguo θ entre o fio e a vertica é igua a 30. O fio passa se atrito através de u orifício O nua paca, e é puxado entaente para cia até que o ânguo θ passa a ser de 60. (a) Que copriento do fio foi puxado? R: = 0, 6 (b) De que fator variou a veocidade de rotação? R: ω ω 1 = 1, 4 -v Considere o oviento de ua partícua de assa nu capo de forças centrais associado à energia potencia U(r), onde r é a distância da partícua ao centro de forças O. Neste oviento, a agnitude = do oento anguar da partícua e reação a O se conserva. Seja (r, θ) as coponentes e coordenadas poares do vetor de posição r da partícua e reação à orige O. (a) Mostre que as coponentes e coordenadas poares do vetor veocidade v da partícua são v r = dr dt (veocidade radia) e v θ = r dθ dt (veocidade transversa). Mostre que = rv θ. (b) Mostre que a energia tota E da partícua é dada por E = v r + (r ) + U(r) 18. Ua esa de coquetéis te u tapo giratório, que é ua tábua circuar de raio R e assa M, capaz de girar co atrito desprezíve e torno do eixo vertica da esa. Ua baa de assa M e veocidade v, disparada por u convidado que abusou dos coquetéis, nua direção horizonta, vai-se encravar na periferia da tábua. (a) Qua é a veocidade anguar de rotação adquirida pea tábua? R: ω = v MR (b) Que fração da energia cinética inicia é perdida no ipacto? R: 1 M 19. Ua boinha presa a u fio de assa desprezíve O θ d 0. U hatere forado por dois discos 1 e iguais de assas unidos por ua barra rígida de assa desprezíve e copriento = 30 c repousa sobre ua esa de ar horizonta. U terceiro disco 3 de esa assa desoca-se co atrito desprezíve e veocidade v 0 = 3 /s sobre a esa, perpendicuarente ao hatere, e coide frontaente co o disco, ficando coado a ee. Descreva copetaente o oviento subseqüente do sistea. R: v CM = 1 /s na direção de v 0 e ω = 5 rad/s 1 v Dois patinadores de assa 60 kg, desizando sobre ua pista de geo co atrito desprezíve, aproxia-se co veocidades iguais e opostas de 5 /s, segundo retas paraeas, separadas por ua distância de 1, 40. (a) Cacue o vetor oento anguar do sistea e ostre que é o eso e reação a quaquer ponto e se conserva. R: = 40 kg /s perpendicuarente à pista 3

4 (b) Quando os patinadores chega a 1, 40 u do outro, estende os braços e dão-se as ãos, passando a girar e torno do centro de assa cou. Cacue a veocidade anguar de rotação. R: ω = 7, 1 rad/s. U corpo de assa inicia M iniciaente e repouso está preso a extreidade de ua corda de taanho L, quando esticada. A outra extreidade da corda está presa a u suporte, coocado e ua esa que não oferece atrito. Esse corpo possui ua vávua que é capaz de expeir u gás, perpendicuarente ao fio e paraeaente à esa, nua taxa λ [kg/s] e co ua veocidade escaar V E reativa ao corpo. O corpo sai do repouso e coeça a girar e torno do suporte do fio. Deterine o oento anguar da partícua nu instante t quaquer, toando t = 0 no instante e que [ a vávua ] é aberta. R: L = (M λt) V E n M (M λt) 3. A oécua de oxigênio, O, te assa tota de 5, kg e u oento de inércia de kg, e reação ao eixo que atravessa perpendicuarente a inha de junção dos dois átoos. Suponha que essa oécua tenha e u gás a veocidade de 500 /s e que sua energia cinética de rotação seja dois terços da energia cinética de transação. Deterine sua veocidade anguar. R: ω = rad/s 4. Ua força é apicada tangenciaente à borda de ua poia que te 10 c de raio e oento de inércia de kg e reação ao seu eixo. A força te óduo variáve co o tepo, segundo a reação F (t) = 0.5t t, co F e Newtons e t e segundos. A poia está iniciaente e repouso. E t = 3 s, quais são (a) a sua aceeração anguar e R: α = 4 rad/s (b) sua veocidade anguar? R: ω = 495 rad/s 5. Considere dois corpos co 1 > igados por u fio de assa desprezíve que passa sobre ua poia de raio R e oento de inércia I = MR ao redor de seu eixo de rotação, coo na figura abaixo. O fio não desiza sobre a poia. A poia gira se atrito. Os corpos são sotos do repouso e estão separados por ua distância vertica de h. Expresse as respostas e função de 1,, M, g e h. (a) Encontre as veocidades transacionais dos corpos quando passa u peo outro. [ ] 1/ gh( R: v = 1 ) ( M ) (b) Encontre a aceeração inear dos corpos. R: a = ( 1 ) ( M ) g 6. Ua chainé ata, de fora ciíndrica, cai se houver ua ruptura na sua base. Tratando a chainé coo u bastão fino, de atura h, expresse (a) a coponente radia da aceeração inear do topo da chainé e função do ânguo que ea faz co a vertica, e R: a r = 3g[1 cos(θ)] (b) a coponente tangencia dessa esa aceeração. R: a θ = 3 sen(θ) (c) Para que ânguo θ a aceeração é igua a g? R: θ = 34, 5 7. Dois bocos idênticos, de assa M cada u, estão igados por ua corda de assa desprezíve, que passa por ua poia de raio R e de oento de inércia I (figura abaixo). A corda não desiza sobre a poia; desconhece-se existir ou não atrito entre o boco e a esa; não há atrito no eixo da poia. Quando esse sistea é iberado, a poia gira de u ânguo θ, nu tepo t, e a aceeração dos bocos é constante. Todas as respostas deve ser expressas e função de M, I, R, θ, g e t. 4

5 (a) Qua a aceeração anguar da poia? R: α = θ t (b) Qua a aceeração dos dois bocos? R: a = θr t (c) Quais as tensões na parte superior e inferior da corda? R: T 1 = M ( g θr t ) e T = Mg MθR t Iθ Rt 8. Ua roda de biciceta de assa M e raio R 1 (assa dos raios da roda desprezíve) pode girar ivreente e torno de u eixo horizonta. U fio de assa desprezíve é enroado e torno de seu diâetro, e igado a u boco de assa 1 = M 5, passando por ua poia que é u disco de assa = 4M 5 e raio R, coo visto na figura. (a) Faça u diagraa ostrando as forças apicadas peo fio e cada u dos três corpos. (b) Obtenha a força exercida peo fio na roda de biciceta, e teros de M e da aceeração a da assa 1. R: F = Ma (c) Deterine a força exercida peo fio na assa 1, e teros de a e M. R: F = M(g a) 5 (d) Deterine a aceeração a da assa 1. R: a = g 8 9. Para atirar ao soo u adversário de 80 kg, você utiiza o desocaento e torno do quadri, u gope básico do judô e que você tenta puxá-o peo unifore co ua força F, que te u braço de aavanca d 1 = 0, 30 e reação ao ponto de apoio (eixo de rotação) no seu quadri direito, sobre o qua deseja girá-o co ua aceeração anguar de 1 rad/s, ou seja, ua aceeração no sentido horário na figura abaixo. Suponha que o oento de inércia I e reação ao ponto de rotação seja 15 kg. (a) Qua deve ser o óduo de F se, iniciaente, você inciná-o para frente, para fazer co que o centro de assa dee coincida co o seu quadri (figura a)? R: F = 600 N (b) Qua será o óduo de F se o adversário peranecer ereto e o vetor peso dee tiver u braço de aavanca d = 0, 1 e reação ao eixo de rotação (figura b)? R: F = 913, 6 N 30. Libera-se ua caixa que está presa a ua corda enroada e ua nora (figura abaixo). A assa da caixa é M c = 35 kg, e a assa e o raio da nora são M n = 94 kg e R n = 83. Deterine (a) o óduo a da aceeração inear da caixa e R: a = 4, /s (b) a tensão F T da corda. A nora pode ser tratada coo u ciindro unifore de raio R n ; despreza-se o torque devido ao atrito nos ancais da corda. R: F T = 197, 4 N 31. A figura abaixo ostra u disco unifore cuja assa M é de, 5 kg e cujo raio é igua a 0 c, ontado sobre u eixo horizonta fixo. U boco cuja assa é de 1, kg está pendurado e ua 5

6 corda eve enroada e torno da borda do disco. Para o instante t =, 5 s, cacue (a) e que ânguo gira o disco? R: θ = 75 rad (b) qua a veocidade anguar do disco? R: ω = 60 rad/s (c) qua é a energia cinética de rotação do disco? R: T R = 90 J ponto O? R: L = gtd O y d P x 3. U ciindro de assa M e raio R roa se escorregar para baixo e u pano incinado de copriento L e atura h (figura abaixo). M Encontre a veocidade do seu centro de assa quando o ciindro acança a base do pano. 4 R: v CM = 3 gh R h L 33. Ua esfera, u ciindro e u aro, todos co o eso raio R, parte do repouso e roa para baixo sobre o eso pano incinado. Qua corpo atingirá a base prieiro? R: a esfera 34. O que é aior, o oento anguar da Terra associado à rotação e torno de seu eixo ou o seu oento anguar associado ao oviento orbita e torno do So? R: o oento anguar orbita. 35. Ua partícua de assa parte do repouso no ponto P indicado na figura abaixo. (a) Cacue o torque da força gravitaciona sobre a partícua e reação à orige O. R: τ = gd (b) Qua é o oento anguar da partícua que cai, para u dado instante de tepo t, e reação ao 36. Sob deterinadas circunstâncias, ua estrea pode sofrer u coapso e se transforar e u objeto extreaente denso, constituído principaente por nêutrons e chaado Estrea de Nêutrons. A densidade de ua estrea de nêutrons é aproxiadaente vezes aior do que a da atéria cou. Suponha que a estrea seja ua esfera aciça e hoogênea antes e depois do coapso. O raio inicia da estrea era de 7, k (coparáve co o raio do So); seu raio fina é igua a 16 k. Supondo que a estrea origina copetava u giro e 30 dias, encontre a veocidade anguar da estrea de nêutrons. R: ω = 4, rad/s 37. Ua esa giratória grande gira e torno de u eixo vertica fixo, fazendo ua revoução e 6, 00 s. O oento de inércia da esa giratória e torno desse eixo é igua a 100 kg. Ua criança co assa de 40, 0 kg, que estava iniciaente e repouso no centro da esa, coeça a correr ao ongo de u raio. Qua é a veocidade anguar da esa giratória quando a criança está a ua distância de, 00 do centro? (Suponha que a criança possa ser considerada ua partícua). R: ω = 0, 94 rad/s 38. Ua porta sóida de adeira co argura de 1, 00 e atura de, 00 é articuada e u de seus ados e possui assa tota de 40, 0 kg. Iniciaente ea está aberta e e repouso, a seguir, ua porção de ateria aorfo e pegajoso de assa igua a 0, 500 kg, se desocando perpendicuarente à porta co veocidade de 1, 0 /s, coide no centro da porta. Cacue a veocidade anguar fina da porta. A porção do ateria supracitado contribui significativaente 6

7 para o oento de inércia? R: ω = 0, 3 rad/s 39. Ocasionaente ua estrea de nêutrons sofre ua aceeração repentina e inesperada conhecida coo Gitch. Ua expicação é que o gitch ocorre quando a crosta da estrea de nêutrons sofre ua pequena sedientação, fazendo diinuir o oento de inércia e torno do eixo de rotação. Ua estrea de nêutrons co veocidade anguar ω 0 = 70, 4 rad/s sofreu u gitch e outubro de 1975 que fez sua veocidade anguar auentar para ω = ω 0 + ω, onde ω ω 0 =, Se o raio da estrea de nêutrons era de 11 k, qua foi sua diinuição na sedientação dessa estrea? Suponha que a estrea de nêutrons seja ua esfera aciça e hoogênea. R: 1, 1 c 40. Ua haste etáica degada de copriento d e assa M pode girar ivreente e torno de u eixo horizonta, que a atravessa perpendicuarente, à distância d/4 de ua extreidade. A haste é sota a partir do repouso, na posição horizonta. (a) Cacue o oento de inércia I da haste co respeito ao eixo e torno do qua ea gira. R: I = 7 48 Md (b) Cacue a veocidade anguar ω adquirida pea haste após ter caído de u ânguo θ (figura abaixo), be coo a aceeração anguar α. R: ω = [ 4 g 7 d sen(θ)] 1/ e α = 1 g 7 d cos(θ) 3d /4 θ 41. Quatro discos iguais de assas ocupa os vértices de ua aração quadrada forada por quatro barras rígidas de copriento e assa desprezíve. O conjunto está sobre ua esa de ar horizonta, podendo desocar-se sobre ea co atrito desprezíve. Transite-se u ipuso instantâneo P a ua das assas, na direção de ua das diagonais do O d /4 quadrado (figura). Descreva copetaente o oviento subseqüente do sistea. R: v CM = P 4 e ω = P 4L P 4. Ua roda ciíndrica hoogênea, de raio R e assa M, roa se desizar sobre u pano horizonta, desocando-se co veocidade v, e sobe sobre u pano incinado de incinação θ, continuando a roar se desizar (figura abaixo). Até que atura h o centro da roda subirá sobre o pano incinado? R: h = R + 3 v 4 g R M v θ R M 43. U disco co ua assa de 80, 0 g e u raio de 4, 00 c desiza ao ongo de ua esa de ar à veocidade de 1, 50 /s coo ostrado na figura. Ee faz ua coisão obíqua co u segundo disco tendo raio 6, 00 c e assa 10 g (iniciaente e repouso) de fora que suas bordas apenas se toque. Coo suas bordas estão revestidas co ua coa de ação instantânea, os discos fica grudados e gira após a coisão (ver figura). (a) Qua é o oento anguar do sistea e reação ao centro de assa? R: L = 7000 g c /s (b) Qua é a veocidade anguar ao redor do centro de assa? R: ω = 9, 47 rad/s 1,50 /s (a) (b) h 7

8 44. U giroscópio possui oviento de precessão e torno de u eixo vertica. Descreva o que ocorre co a veocidade anguar de precessão quando são feitas as seguintes udanças nas variáveis, antendose as outras grandezas constantes: (a) a veocidade anguar de spin do voante dobra; (b) o peso tota dobra; (c) o oento de inércia e torno do eixo do voante dobra; (d) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra; (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d) dobrasse de vaor ao eso tepo? 45. Considere u giroscópio co u eixo que não está na direção horizonta, as possui ua incinação β e reação à horizonta. Mostre que a veocidade anguar da precessão não depende do vaor de β. 8