CAPÍTULO 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

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1 CAPÍTULO 3 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 3.1) NOÇÃO DE CONJUNTO E DE ELEMENTO Como o próprio nome indica, conjunto dá ideia de coleção. Assim, toda coleção ou grupo de objetos, animais ou coisas forma um conjunto. Os objetos ou os componentes de um conjunto são chamados elementos. Exemplo: Os elementos do conjunto das vogais são: a, e, i, o, u. 3.2) REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO Podemos representar um conjunto de três formas: 3.2.1) Por extensão (enumeração dos elementos) Os elementos são mostrados explicitamente no conjunto. Exemplo: A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si} conjunto das notas musicais 3.2.2) Por compreensão (característica dos elementos) Os elementos são dados de forma implícita por intermédio de uma propriedade característica dos elementos do conjunto. Exemplo: B = {x x é divisor de 24} M = {m M m é um mês do ano que possui 31 dias } 3.2.3) Por diagramas Representamos um conjunto por meio de figuras, que são chamadas DIAGRAMAS DE VENN. Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 1, 3, 5}, sua representação pelo diagrama de Venn é: Observação: Os elementos repetidos de um conjunto são contados uma única vez. Assim sendo, não é aconselhável a repetição de elementos. 3.3) PERTINÊNCIA Para se indicar que um elemento pertence a um conjunto, utiliza-se o símbolo (lê-se: pertence); se o elemento não pertence ao conjunto, usa-se o símbolo (lê-se: não pertence). Exemplos: a) laranja {legumes} b) 12 {números pares} c) u {vogais} d) x {a, b, c} e) Brasil {países da América do Sul} f) 5 {1, 5, 7, 9} 3.4) IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos, sem importar a ordem. Exemplos: a) A = {0, 1, 3} e B = {1, 3, 0, 1} Logo A = B b) R = {1, 2, 3} e S = {1, 2, 4} Logo R S (lê-se: R é diferente de S) c) X = {1, 2, 4} e Y = {y Y x é divisor de 4} Logo X = Y 3.5) CONJUNTO UNITÁRIO Conjunto unitário é aquele que possui um único elemento. Exemplos: A = {3} B = {planeta que começa com a letra T} = {Terra} C = {oceanos que banham o Brasil} = {Atlântico} Prof. Brunno Lima Página 1 de 6

2 3.6) CONJUNTO VAZIO Conjunto vazio é aquele que não possui elemento. Exemplos: X = {meses do ano com 32 dias} Y = {x Y x > 8 e x < 2} Z = {números naturais pares entre 4 e 6} Representa-se o conjunto vazio pelos símbolos: { } ou. 3.7) CONJUNTOS DISJUNTOS São conjuntos que não têm elementos em comum, ou seja, se A e B são disjuntos A B =. Exemplo: A = {1, 2} e B = {0, 3} são disjuntos. Logo A B =. Observação: O assunto INTERSECÇÃO ( ) será estudado mais adiante. 3.8) SUBCONJUNTOS Considere os conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4} diagramados ao lado. Observemos que todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, isto é, os elementos 1, 2 e 3, que formam o conjunto A, são uma parte de B. Dizemos que quando todos os elementos de A estão incluídos em B, o conjunto A é chamado SUBCONJUNTO de B. Pode-se dizer também que A está contido em B ou que B contém A. Essas relações são indicadas por: A B (lê-se: A está contido em B) ou B A (lê-se: B contém A) Consideremos, agora, os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} e B = {4, 5} e observemos suas diagramações. Nesse caso, o elemento 5, pertencente ao conjunto B, não pertence a A. Portanto, escreve-se: B A (lê-se: B não está contido em A) ou A B (lêse: A não contém B) 3.9) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS ( ) A intersecção de dois ou mais conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a esses conjuntos ao mesmo tempo. Está associada à ideia do conectivo e. Exemplo: a) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5}, temos A B = {2, 3} Em diagrama temos: b) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 6, 7} e C = {3, 4, 5, 6}, temos: A B = {1, 3} A C = {3, 4} B C = {3, 6} A B C = {3} Em diagrama temos: 3.10) UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS ( ) A união de dois conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a um OU a outro conjunto. Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {0, 2, 4}, então A B = {0, 1, 2, 3, 4} 3.11) RELAÇÕES ENTRE O NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS Para 2 conjuntos temos: n (A B) = n (A) + n(b) n(a B) Para 3 conjuntos temos: n (A B C) = n(a) + n(b) + n(c) n(a B) n(a C) n(b C) + n(a B C) Prof. Brunno Lima Página 2 de 6

3 3.12) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS A teoria dos conjuntos é fundamental no estudo da matemática e, neste item, veremos uma de suas aplicações sob a forma de problema. Exemplo: Numa pesquisa de mercado, verificou-se que pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? Resolução: Inicialmente consideremos que: n (A B) = é o número de pessoas que usam A ou B n (B) = 800 é o número de pessoas que usam B n (A B) = 320 é o número de pessoas que usam A e B ao mesmo tempo n (A) = x é o número de pessoas que usam A 1ª resolução: Utilizando a relação apresentada no item 11 desse material, teríamos: n (A B) = n (A) + n(b) n(a B) = x = x x = x = ª resolução: Utilizando um diagrama, colocamos 320 pessoas na parte referente à intersecção de A com B. Em seguida, colocamos ( = 480) pessoas somente em B. Por último, colocamos ( = 1.200) pessoas somente em A. Logo, usam o produto A: n (A) = = pessoas Prof. Brunno Lima Página 3 de 6

4 QUESTÕES DE CONCURSOS 91) (TÉCNICO ADMINISTRATIVO-ANAC/DEZEMBRO DE 2012-CESPE) Determinada companhia aérea possui uma frota com cinco aviões: dois deles têm capacidade para 138 passageiros; outros dois, para 180 passageiros e um, para 264 passageiros. Julgue o próximo item a respeito dessa frota. Se 12% dos assentos disponíveis na frota forem reservados para passageiros portadores de necessidades especiais, então 108 assentos estarão disponíveis para esses passageiros. 92) (AGENTE ADMINISTRATIVO-MDIC/FEVEREIRO DE 2014-CESPE) Se, no final do primeiro mês, 65% do valor das vendas for destinado ao pagamento dos fornecedores, 60% do restante for destinado ao pagamento de impostos e de aluguel, e se, após essas despesas, o valor restante no caixa for igual a R$ ,00, então o valor recebido pelas vendas no primeiro mês será superior a R$ ,00. (TÉCNICO JUDICIÁRIO-ÁREA: ADMINISTRATIVA-STJ/SETEMBRO DE 2015-CESPE) Determinada faculdade oferta, em todo semestre, três disciplinas optativas para alunos do quinto semestre: Inovação e Tecnologia (INT); Matemática Aplicada (MAP); Economia do Mercado Empresarial (EME). Neste semestre, dos 150 alunos que possuíam os requisitos necessários para cursar essas disciplinas, foram registradas matrículas de alunos nas seguintes quantidades: 70 em INT; 45 em MAP; 60 em EME; 25 em INT e MAP; 35 em INT e EME; 30 em MAP e EME; 15 nas três disciplinas. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 93) Os dados disponíveis são insuficientes para se determinar a quantidade de alunos que não efetuaram matrícula em nenhuma das três disciplinas. 94) A quantidade de alunos que se matricularam apenas na disciplina MAP é inferior a 10. (TECNOLOGISTA EM PROPRIEDADE INDUSTRIAL-INPI/DEZEMBRO DE 2014-CESPE) No triênio , 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos. 95) Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA. 96) Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França. 97) Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA. 98) Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil. Prof. Brunno Lima Página 4 de 6

5 99) (TÉCNICO ADMINISTRATIVO-IBAMA/OUTUBRO DE 2012-CESPE) Sabendo que o governo federal ofereceu aos servidores públicos uma proposta de reajuste salarial de 15,8% parcelado em três vezes, com a primeira parcela para 2013 e as demais para os anos seguintes, julgue o item a seguir. Um servidor federal com salário de R$ ,00 em 2012, passará a receber, em 2015, após a concessão da última parcela de reajuste, salário inferior a R$ , ) (ANALISTA ADMINISTRATIVO-IBAMA/JULHO DE 2013-CESPE) Uma extensa região de cerrado é monitorada por 20 fiscais do IBAMA para evitar a ação de carvoeiros ilegais. Dessa região, a vegetação de 87 km 2 foi completamente arrancada e transformada ilegalmente em carvão vegetal. Os 20 fiscais, trabalhando 8 horas por dia, conseguem monitorar toda a região em 7 dias. A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte. Se a parte devastada por carvoeiros ilegais corresponder a 15% da área da referida região, então a região tem mais de 575 km 2 de área. 101) (ANALISTA JUDICIÁRIO-ÁREA: APOIO ESPECIALIZADO-ESPECIALIDADE: ANÁLISE DE SISTEMAS-TRE-ES/JANEIRO DE 2011-CESPE) Apesar da pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários, deputados e senadores aprovaram proposta de aumento de 62%. Com isso, eles passarão a ganhar R$ 26,7 mil, fora os valores de verbas de gabinete, indenizatórias, de cotas de passagens, telefone e despesas médicas, que, somados, ultrapassam R$ 100 mil por mês. Internet: < (com adaptações). Tendo como referência o texto acima, julgue o item que se segue. O salário dos parlamentares, antes do reajuste referido no texto, era superior a R$ 16,5 mil. (AGENTE ADMINISTRATIVO-DPRF/FEVEREIRO DE 2014-CESPE) A partir de uma amostra de candidatos a cargos em determinado concurso, verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400, para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se inscreveram para o cargo B. A respeito dessa situação hipotética, julgue o item subsecutivo. 102) Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B. (ANALISTA TÉCNICO-TRAINEE-SEBRAE/FEVEREIRO DE 2014-CESPE) Considere que, de um grupo de vinte candidatos selecionados para o programa de trainee do SEBRAE nacional, dezessete tenham apresentado aproveitamento igual ou superior a 75% ao final de cada etapa e que dezesseis deles tenham apresentado adequação ao perfil exigido pela instituição. Com base nessas informações, julgue os dois próximos itens. 103) Se dois candidatos desse grupo não apresentaram nenhum dos requisitos citados, então menos de quatorze candidatos apresentaram os dois requisitos. 104) Pela análise dos dados acima, é possível inferir que, dos 20 candidatos selecionados, a quantidade mínima de candidatos que apresentaram os dois requisitos citados é 13. Prof. Brunno Lima Página 5 de 6

6 GABARITO 91- C 92- C 93- E 94- C 95- E 96- E 97- C 98- C 99- E 100- C 101- E 102- E 103- E 104- C ANOTAÇÕES Prof. Brunno Lima Página 6 de 6