UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO

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1 UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO TÉCNICAS AVANÇADAS PARA POSICIONAMENTO GLOBAL BASEADAS EM GPS Alexandre Barbosa Bastos Gomes n.º 50652, AE de Sistemas, Decisão e Controlo Ri Migel Bento de Pina Mendes n.º 50852, AE de Sistemas, Decisão e Controlo LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E COMPUTADORES Relatório de Trabalho Final de Crso 75/2006/L Orientador: Professor Palo Jorge Coelho Ramalho Oliveira Co-Orientador: Professor Carlos Jorge Ferreira Silvestre Otbro de 2006

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3 Agradecimentos Aos Professores Palo Oliveira e Carlos Silvestre, os nossos primeiros agradecimentos, pela confiança no nosso trabalho desde o primeiro momento. Agradecemos também a disponibilidade e todo o apoio fornecido, sem os qais não poderia ter sido realizado este trabalho. Ao ISR Institto de Sistemas e Robótica, qe nos fornece o material necessário para a realização deste trabalho. Ao Eng. Lís Sebastião, pela análise crítica dos nossos resltados e pela grande ajda com a componente de software. Aos Engenheiros Manel Rfino e João Alves, pela ajda prestada com a componente de hardware. À REN Rede Eléctrica Nacional, em especial ao Eng. Simão Vieira, por nos ter facilitado o acesso a m excelente local para realizar os testes. Ao Professor José Sangino, pelos ses conselhos experientes. Ao Daniel Santos e Pedro Gordalina, pela ajda logística e por todos os bons momentos. Aos amigos, por terem compreendido e aceite as nossas asências. Por fim, às nossas famílias, sem as qais não teria sido possível esta caminhada. i

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5 Resmo Este relatório insere-se no contexto do trabalho final de crso Técnicas Avançadas para Posicionamento Global, baseadas em GPS e descreve a actividade desenvolvida no se âmbito drante o ano lectivo de 2005/2006. O trabalho segi três fases distintas: o estdo do GPS e dados a medir, a análise de metodologias para a estimativa da posição e a implementação dos algoritmos de posicionamento. A primeira fase aprofnda o conhecimento do GPS ao nível dos princípios de fncionamento. Descrevem-se as medições da psedo-distância e da fase da portadora, e as fontes de erro qe as afectam. Relativamente à segnda etapa, são abordadas metodologias para resolção da posição em GPS. Inicialmente estdam-se métodos de posicionamento absolto, como o iterativo e o Bancroft, qe recorrem simplesmente ao receptor do tilizador e às respectivas psedo- -distâncias. Em segida tratam-se algoritmos avançados baseados em GPS diferencial e dplas diferenças, com o objectivo de melhorar a precisão. Nestes processos são sados dois receptores, m tilizador e ma estação-base, e as respectivas psedo-distâncias o fases da portadora. Para resolver a ambigidade inerente à fase, destaca-se o método LAMBDA. A parte final consisti na implementação de algoritmos de posicionamento em Matlab e C++ para a validação e estdo do desempenho das metodologias propostas com dados recolhidos de receptores GPS. Os algoritmos implementados obtiveram ma confiança horizontal de 95% de: m para algoritmos de posicionamento absolto, m para GPS diferencial, m para dplas diferenças tilizando somente a psedo-distância e m para o método LAMBDA. Palavras-chave: Posicionamento GPS, Bancroft, DGPS, Dplas Diferenças, Método LAMBDA. iii

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7 Abstract This report is abot the final gradation thesis Advanced Techniqes for Global Positioning, based on GPS and describes the work dring the school year of 2005/2006. The work consisted of three different stages: the stdy of GPS and data measrements, the analysis of methodologies for position estimation and the development of positioning algorithms. The first stage deepens the knowledge of GPS and its operation principles. Measrements of psedo-range and carrier phase are described, as well as their error sorces. In the second stage, the methods for solving a ser position in GPS are described. First the methods of absolte positioning are explicated, like iterative and Bancroft s, those only employ the ser s receiver and its psedo-ranges. Next are explained the advanced algorithms like differential GPS and doble differences, to improve precision. This time it is sed two receivers, ser and base-station, and their psedo-ranges or carrier phases. To solve phase ambigity, the LAMBDA method is distingished. The last stage is the development of positioning algorithms in Matlab and C++ for the validation and stdy of the methods performance. The reslts obtained for horizontal confidence at 95% are: m for absolte positioning, m for differential GPS, m for doble differences with psedo-range and m for the LAMBDA method. Keywords: GPS Positioning, Bancroft, DGPS, Doble Differences, LAMBDA Method. v

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9 ÍNDICE Lista de Figras... ix Lista de Tabelas... xi Lista de Siglas...xiii Notação... xv Capítlo 1 Introdção Motivação Estado da Arte Objectivos do Trabalho... 4 Capítlo 2 Sistema GPS Constitição do Sistema Princípios de Fncionamento do GPS Fontes de Erro Determinação da Psedo-Distância Determinação da Fase Métodos de Posicionamento Capítlo 3 Algoritmos de Posicionamento Posicionamento Absolto Algoritmo Iterativo Algoritmo de Bancroft GPS Diferencial DGPS em Psedo-Distância DGPS em Posição Dplas Diferenças Dplas Diferenças via Psedo-Distância Dplas Diferenças via Psedo-Distância e Fase Capítlo 4 Método LAMBDA Modelo das Observações Solção em Vírgla Fltante Estimativa da Ambigidade Inteira Processo de Procra Processo de Selecção e Solção Inteira Capítlo 5 Resltados Testes de Precisão e Exactidão Trajectória Fechada Trajectória Livre Capítlo 6 Conclsões Anexo A Coordenadas ECEF A.1 Conversão ECEF para LLH A.2 Coordenadas ECEF do Satélite Anexo B Dilição da Precisão vii

10 Índice Anexo C Sinal GPS C.1 Código C/A e Código P C.2 Estrtra da Mensagem de Navegação C.3 Aqisição e Segimento do Sinal GPS Anexo D Álgebra Linear D.1 Mínimos Qadrados D.2 Mínimos Qadrados Pesados D.3 Factorização de Cholesky Anexo E LAMBDA: Complementos E.1 Transformação-Z E.2 2 Determinação de χ Anexo F Filtragem Kalman F.1 Modelo da Dinâmica e das Observações F.2 Comptação do Filtro: Predição e Filtragem F.3 Aplicação: Trajectória do Utilizador F.3.1 Modelo da Dinâmica e das Observações F.3.2 Ajste das Matrizes de Co-variância Q k e R k Anexo G Receptores GPS G.1 Ashtech AC G.1.1 Descrição G.1.2 Especificações Técnicas G.2 Ashtech GG G.2.1 Descrição G.2.2 Especificações Técnicas G.3 Ashtech DG G.3.1 Descrição G.3.2 Especificações Técnicas Anexo H Mensagens NMEA H.1 Mensagem PBN H.2 Mensagem MCA H.3 Mensagem SNV Anexo I Ficheiros C++ Desenvolvidos I.1 Matriz.h I.2 PBN.h I.3 MCA.h I.4 SNV.h I.5 Utilizador.h I.6 Satelite.h I.7 Algoritmos Referências viii

11 Lista de Figras Figra 1.1 Receitas da indústria associada ao GPS entre 1996 e Figra 1.2 Distribição de aparelhos GPS vendidos por segmento de mercado... 3 Figra 2.1 Satélite do sistema NAVSTAR GPS [Fonte: NASA] Figra 2.2 Placa OEM GG12 [Fonte: Thales Navigation]... 6 Figra 2.3 Posição geográfica da componente de controlo... 6 Figra 2.4 Conceito bidimensional de trilateração... 7 Figra 2.5 Conceito tridimensional de trilateração Figra 2.6 Determinação da posição do tilizador... 9 Figra 2.7 Incerteza no cálclo da posição Figra 2.8 Erros de mlti-percrso Figra 2.9 Erros de atraso troposférico e ionosférico Figra 2.10 Número de períodos e fase do sinal Figra 3.1 Conceito do posicionamento absolto Figra 3.2 Conceito do GPS diferencial Figra 3.3 Conceito de dplas diferenças Figra 5.1 Precisão e exactidão Figra 5.2 Precisão e exactidão: posicionamento absolto Figra 5.3 Precisão e exactidão: DGPS Figra 5.4 Precisão e exactidão: dplas diferenças Figra 5.5 Precisão e exactidão: Ashtech Soltions Figra 5.6 Trajectória fechada: posicionamento absolto Figra 5.7 Trajectória fechada: DGPS Figra 5.8 Trajectória fechada: dplas diferenças Figra 5.9 Trajectória completa Figra 5.10 Partida e chegada da missão Figra 5.11 Descontinidades na trajectória do Ashtech Soltions Figra 5.12 Descontinidades: pormenores Figra 5.13 Pormenores da trajectória Figra A.1 Representação das coordenadas ECEF e geodésicas Figra A.2 Eqador e órbita do satellite Figra C.1 Constrção do sinal GPS a partir da modlação em fase da portadora L Figra C.2 Estrtra do sinal GPS a partir da modlação em fase da portadora L Figra C.3 Estrtra de ma trama da mensagem de navegação Figra C.4 Despread do código C/A Figra F.1 Ciclo de comptação do filtro Kalman Figra F.2 Filtragem (esq.) e predição (dir.) de trajectórias Figra F.3 Histograma de posicionamento em longitde e latitde Figra F.4 Filtragem da trajectória com Q k baixo (esqerda) e Q k elevado (direita) Figra G.1 Placa OEM AC12 [Fonte: Thales Navigation] Figra G.2 Placa OEM GG24 [Fonte: Thales Navigation] Figra G.3 Placa OEM DG14 [Fonte: Thales Navigation] ix

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13 Lista de Tabelas Tabela 2.1 Inflência das fontes de erro na psedo-distância [Fonte: IAG] Tabela 4.1 Características dos métodos de resolção de ambigidades Tabela 5.1 Detalhes do teste Tabela 5.2 Precisão dos algoritmos: 95% de confiança e CEP Tabela 5.3 Exactidão dos algoritmos: norma das médias Tabela 5.4 Detalhes do teste Tabela 5.5 Detalhes do teste Tabela A.1 Dados das efemérides Tabela A.2 Determinação das coordenadas ECEF do satélite Tabela H.1 Estrtra de ma mensagem PBN Tabela H.2 Estrtra de ma mensagem MCA Tabela H.3 Estrtra de ma mensagem SNV xi

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15 Lista de Siglas C/A Corse-Acqisition Code CEP Circlar Error Probable CDMA Code Division Mltiple Access DGPS Differential Global Positioning System DOP Diltion Of Precision ECEF Earth Centered Earth Fixed FAA Federal Aviation Agency FARA - Fast Ambigity Resoltion Approach FASF - Fast Ambigity Search Filter GLONASS - GLObal NAvigation Satellite System GPS Global Positioning System IAG - International Association of Geodesy LADGPS Local-Area Differential Global Positioning System LAMBDA Least-sqares AMBigity Decorrelation Adjstment LSAST - Least-Sqares Ambigity Search Techniqe NAVSTAR Navigation Signal Timing and Ranging NMEA National Marine Electronics Association OEM Original Eqipment Manfactrer OMEGA - Optimal Method for Estimating GPS Ambigities P Precision Code RMS Root Mean Sqare SA Selective Availability SSG - Special Stdy Grop WADGPS Wide-Area Differential Global Positioning System WGS 84 World Geodetic System 1984 xiii

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17 Notação λ Comprimento de onda i ρ Psedo-distância entre o satélite i e o receptor I Atraso ionosférico em metros i N Ambigidade inteira referente ao satélite i e receptor R i Vector de posição do satélite i T Atraso troposférico em metros c Velocidade da lz no váco b Erro do relógio do receptor em metros i b Erro do relógio do satélite i em metros r Vector de posição do receptor xv

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19 Capítlo 1 Introdção 1.1 Motivação Em Dezembro de 1973, o Departamento de Defesa dos Estados Unidos da América aprovaram o desenvolvimento do NAVSTAR GPS (Navigation Signal Timing and Ranging Global Positioning System), m sistema de posicionamento baseado em satélites. O primeiro satélite foi lançado em Em Dezembro de 1993, estão 24 satélites em órbita, qe vieram pôr à disposição de tilizadores civis m sensor de posicionamento de grande precisão e de fácil tilização. Nos anos mais recentes, o so do GPS para navegação, posicionamento e referências de tempo torno-se ma significante actividade económica, com m impacto esperado para 2006 de mais de 20 mil milhões de eros (Figra 1.1) [1]. Projecta-se qe em 2010 este número ltrapasse os 50 mil milhões de Eros [2]. A indústria atomóvel e os consmidores individais são os responsáveis pela maior parte destes valores (Figra 1.2) [1] Receitas da indústria (Mil milhões de Eros) * 2002* 2003* 2004* 2005* 2006* Ano * Projecção Figra 1.1 Receitas da indústria associada ao GPS entre 1996 e

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21 5% 2% 2% Navegação Atomóvel Consmidor Individal 16% 35% Segimento e controlo de veíclos Prodtores de Eqipamento Original (OEM) 5% Mapeamento 13% 22% Aviação Marinha Militar Figra 1.2 Distribição de aparelhos GPS vendidos por segmento de mercado. O objectivo da indústria tem sido a redção dos cstos de prodção para tornar a tecnologia mais abrangente, mas ao mesmo tempo desenvolver aparelhos com maior precisão. Devido ao tipo de pertrbações existentes no sistema GPS, como a propagação das ondas electromagnéticas na atmosfera o o rído electromagnético das antenas dos receptores tilizados, podem obter-se melhorias na precisão através do aperfeiçoamento, tanto do software como do hardware. O recrso a técnicas avançadas de posicionamento para melhorar a precisão é ma solção óbvia e mais barata de implementar através da actalização do software do qe a alteração do hardware do aparelho GPS. 1.2 Estado da Arte Desde a criação do sistema GPS qe se desenvolveram vários abordagens para a estimação da posição de m tilizador. Apesar da grande maioria dos prodtores mndiais de receptores GPS não fornecer detalhes acerca das solções implementadas, existem vários trabalhos científicos disponíveis nesta área. As grandezas medidas e processadas são, de m modo geral, a psedo-distância e a fase das portadoras. A inovação tem srgido no tratamento destes dados, em especial na resolção da ambigidade da fase, onde se destacam os métodos [3]: LSAST (Least-Sqares Ambigity Search Techniqe) [4], FARA (Fast Ambigity Resoltion Approach) [5], método de decomposição modificada de Cholesky [6], LAMBDA (Least-Sqares AMBigity Decorrelation Adjstment) [7], método de espaço nlo [8], FASF (Fast Ambigity Search Filter) [9] e OMEGA (Optimal Method for Estimating GPS Ambigities) [10]. 3

22 Capítlo 1. Introdção De acordo com o SSG (Special Stdy Grop) da IAG (International Association of Geodesy) [11] para além da investigação em métodos de resolção e validação das ambigidades, o so de WADGPS (Wide-Area Differential GPS), recorrendo a redes compostas por várias estações base GPS, tem vindo a generalizar-se, permitindo amentar a performance do sistema através de processamento diferencial [12]. Estas investigações têm como objectivo melhorar a precisão do sistema GPS e a qalidade dos dados em tempo real. De ftro será possível aplicar novos métodos de estimação da posição, pois os satélites GPS irão emitir m maior número de portadoras [13]. 1.3 Objectivos do Trabalho Os objectivos deste trabalho são o estdo e a validação de algoritmos para a estimativa da posição em sistemas GPS. O trabalho segi três fases distintas: Estdo do fncionamento do sistema GPS Análise de metodologias para a estimativa da posição em GPS Implementação dos algoritmos de posicionamento em GPS A primeira fase, detalhada no Capítlo 2, aprofnda o conhecimento do sistema GPS ao nível dos princípios de fncionamento. Explicam-se as medições da psedo-distância e da fase da portadora, e as principais fontes de erro qe as afectam. No Capítlo 3, relativo à segnda etapa, são analisadas metodologias para a resolção da posição em GPS. Inicialmente são abordados métodos de posicionamento absolto, como o iterativo e o de Bancroft, qe recorrem simplesmente a m tilizador e às respectivas psedo- -distâncias. Em segida tratam-se algoritmos avançados baseados em GPS diferencial (DGPS Differential GPS) e de dplas diferenças, com o objectivo de melhorar a precisão. Nestes processos são sados dois receptores, m tilizador e ma estação-base, e as respectivas psedo-distâncias e fases da portadora. Para resolver a ambigidade imposta pela fase, detalha-se o método LAMBDA (Least-sqares AMBigity Decorrelation Adjstement), no Capítlo 4. A parte final consisti na implementação dos algoritmos de posicionamento em Matlab e C++ para a validação e estdo do desempenho das metodologias propostas com dados recolhidos de receptores GPS. No Capítlo 5, representam-se os principais resltados obtidos. Finalmente, no Capítlo 6, analisam-se os resltados experimentais e retiram-se as conclsões finais. São também abordadas implementações ftras. 4

23 Capítlo 2 Sistema GPS Neste Capítlo introdz-se o sistema GPS, as sas componentes e os ses princípios de fncionamento. Detalham-se as medições da psedo-distância e da fase, e como contribem para o cálclo da posição de tilizador do sistema. Em primeiro lgar, é importante salientar as motivações para a criação do sistema GPS, das qais se destacam: Posicionamento tridimensional preciso Informação contína dada em tempo real Independência das condições climatéricas Sporte de m número ilimitado de tilizadores 2.1 Constitição do Sistema O sistema GPS, tal como foi concebido, divide-se em três componentes: a espacial, a de tilizador e a de controlo. A componente espacial é constitída por 24 satélites NAVSTAR GPS (Figra 2.1) qe orbitam em torno da Terra a aproximadamente km de altitde, ao longo de seis planos inclinados com 55º, igalmente espaçados de 60º de latitde e com m período de 12 horas. Esta configração optimiza a cobertra da Terra, garantindo sempre a visibilidade de pelo menos qatro satélites em qalqer ponto da sa sperfície [14]. Figra 2.1 Satélite do sistema NAVSTAR GPS [Fonte: NASA]. 5

24 Capítlo 2. Sistema GPS A componente de tilizador representa todos os receptores de GPS, tanto na vertente de hardware como de software, qe captam e processam o sinal GPS de forma a obter posições, velocidades o referências de tempo (por exemplo, Figra 2.2). Figra 2.2 Placa OEM GG12 [Fonte: Thales Navigation]. A componente de controlo consiste em cinco estações de monitorização dispersas pelo planeta, qe fazem o segimento dos satélites enviando a informação adqirida para ma estação de controlo principal, (Figra 2.3), qe verifica e corrige a trajectória e informação dos satélites, para garantir o fncionamento correcto do sistema. Colorado Springs Cabo Canaveral Hawaii Ascension Diego Garcia Kwajalein Estação de Monitorização Estação de controlo Figra 2.3 Posição geográfica da componente de controlo. 2.2 Princípios de Fncionamento do GPS No posicionamento em GPS recorre-se às posições R i dos satélites e respectivas distâncias ao tilizador do sistema, denominadas por psedo-distâncias, para, através de m processo de trilateração, determinar a posição do ponto r, qe representa o tilizador do 6

25 2.2. Princípios de Fncionamento do GPS sistema. Por posicionamento entende-se a determinação das coordenadas espaciais em relação a m determinado referencial. O referencial escolhido foi o ECEF (Earth Centered Earth Fixed), m referencial ortogonal com origem no centro da Terra e qe acompanha o se movimento de rotação (Anexo A). Em posicionamento por GPS as coordenadas dos satélites e psedo-distâncias associadas são conhecidas com relativa precisão, sendo a determinação da psedo-distância disctida na Secção 2.4. As coordenadas dos satélites são obtidas de acordo com o método exposto no Anexo A.2. Ao longo desta Secção assme-se qe as posições dos satélites e respectivas psedo-distâncias são conhecidas e exactas. Para melhor compreender o conceito de trilateração, referido inicialmente, recorre-se a m exemplo a das dimensões (Figra 2.4), qe, posteriormente, será alargado a três dimensões. Em termos geométricos, através da intersecção de dois círclos, cjos raios são *i definidos pelas psedo-distâncias ρ entre os satélites e o tilizador r, obtém-se dois pontos possíveis para a posição do tilizador. Ao introdzir-se mais m satélite fica-se somente com m ponto possível para a posição do tilizador. Concli-se qe no caso bidimensional são necessárias as coordenadas de três satélites e respectivas psedo-distâncias para determinar a posição do tilizador. *1 ρ R 1 r R 2 *2 ρ *1 ρ R 1 *3 ρ r R 2 *2 ρ R 3 Figra 2.4 Conceito bidimensional de trilateração. No caso tridimensional (Figra 2.5), em analogia com o caso a das dimensões, e ma vez qe existe mais ma incógnita, é inevitável o recrso a mais m satélite, sendo então necessários qatro satélites e respectivas psedo-distâncias para se definir m ponto através de intersecções de sperfícies esféricas. 7

26 Capítlo 2. Sistema GPS Figra 2.5 Conceito tridimensional de trilateração. Em termos geométricos, a intersecção entre das sperfícies esféricas definem m círclo e ma nova intersecção devolve dois pontos, no entanto, apenas o qe estiver mais próximo é factível. Assim, em posicionamento por GPS e presspondo a inexistência de erros nos valores trabalhados, a partir do momento em qe são conhecidas pelo menos três posições dos satélites e as respectivas psedo-distâncias, determina-se a posição do tilizador em qestão. A consideração de erros inerentes ao sistema GPS vai levar a qe seja necessário m mínimo de qatro satélites para se calclar ma posição, como será mostrado na Secção 2.4. Aborda-se agora com mais profndidade o problema da determinação da posição do tilizador, assmindo-se medições precisas, i.e., desprezando os erros intrínsecos ao sistema GPS. A Figra 2.6 reprodz este problema, com as coordenadas do i-ésimo satélite a serem dadas pelo vector [ ] T [ ] T R = X Y Z e a posição do tilizador dada por i i i i r = x y z. As psedo-distâncias *1 ρ, *2 ρ e *3 ρ podem ser escritas na forma: ρ ρ ρ ( X x ) ( Y y ) ( Z z ) * = ( X x ) ( Y y ) ( Z z ) * = ( X x ) ( Y y ) ( Z z ) * = (2.1) Uma vez qe existem três incógnitas, x, y e z, e três eqações é possível resolver o problema. Como (2.1) contém eqações não-lineares podem obter-se várias solções, no entanto, como foi referido, apenas ma delas é factível, a mais próxima da sperfície Terrestre. 8

27 2.3. Fontes de Erro X, Y, Z z X, Y, Z *2 ρ *3 ρ X, Y, Z *1 ρ x, y, z y x Figra 2.6 Determinação da posição do tilizador. 2.3 Fontes de Erro Existem fontes de erro qe afectam a precisão e exactidão da medição da distância entre o tilizador e m satélite, e conseqentemente o posicionamento em GPS. A Figra 2.7, qe representa a sitação do cálclo de posição semelhante à Figra 2.4, evidencia esta sitação, em qe erros nas medições introdzem incerteza no cálclo da posição. Algns destes erros, no entanto, podem ser modelados o corrigidos, e estão divididos em três grandes categorias: os associados aos satélites, ao receptor e ao meio de propagação. Psedo-distância ideal Psedo-distância medida Figra 2.7 Incerteza no cálclo da posição. 9

28 Capítlo 2. Sistema GPS As fontes de erro nos satélites são mito peqenas e altamente controladas [15]. Distingem-se as segintes: Relógios internos: apesar da existência de relógios atómicos nos satélites, corrigidos periodicamente, qalqer deriva implica erro nas medições Efemérides: as trajectórias dos satélites são descritas por fórmlas matemáticas mito precisas, actalizadas reglarmente pela estação de controlo. Podem ocorrer algns erros, provenientes de alterações nas trajectórias previstas Acesso selectivo (SA Selective Availability): m sistema implementado para degenerar a performance do GPS para tilizadores civis. Foi desactivado em Maio do ano 2000, podendo ser reanimado em casos especiais [14] Geometria dos satélites: está associada à posição relativa dos satélites. Para amentar a precisão do posicionamento deve procrar-se a melhor geometria possível (Anexo B) As fontes de erro associadas aos receptores GPS são a principal razão para a diminição da precisão das medições [12]. Realçam-se as segintes: Relógios internos: são a principal fonte de erro, não podendo ser modelada Mlti-percrso: o sinal GPS pode percorrer diferentes caminhos desde do satélite até ao receptor (Figra 2.8). O mesmo sinal é recebido em instantes diferentes provocando interferência com ele próprio. Certas características do sinal, como o baixo espectro de potência (Anexo C.3), permitem minimizar estes erros Rído do receptor: os próprios sensores sados nos receptores têm ma restrição física, qe limita a qalidade com qe se capta o sinal Satélite Sinal GPS Sinal GPS Utilizador Sinal GPS reflectido Figra 2.8 Erros de mlti-percrso. 10

29 2.3. Fontes de Erro Finalmente, têm-se as fontes de erros nos meios de propagação (Figra 2.9) qe em certas circnstâncias, podem ser modeladas com elevada precisão [16]: Atraso ionosférico: a ionosfera começa a 50km da sperfície terrestre e prolongase por cerca de 1000km. Este atraso é derivado de ma densidade elevada de electrões qe inflencia a velocidade de propagação e a fase do sinal GPS [17]. Atraso troposférico: a troposfera é a parte inferior da atmosfera. A temperatra, pressão e hmidade existentes alteram a velocidade da propagação do sinal GPS. Figra 2.9 Erros de atraso troposférico e ionosférico. Os vários erros analisados inflenciam de maneira diferente a medição das distâncias entre o tilizador e os satélites. Na Tabela 2.1 observam-se os erros máximos introdzidos nas observações das psedo-distâncias por várias fontes de erro. Estes valores são aproximados e estão sjeitos a variâncias. Tabela 2.1 Inflência das fontes de erro na psedo-distância [Fonte: IAG]. Fontes de erro Erro máximo (metros) Ionosfera 5.0 Efemérides 2.5 Relógio do satélite 2.0 Mlti-percrso 1.0 Troposfera

30 Capítlo 2. Sistema GPS 2.4 Determinação da Psedo-Distância A psedo-distância, definida na Secção 2.2, é a distância geométrica entre o tilizador e m satélite qe, de agora em diante, será designada por psedo-distância ideal. Presspondo qe o sinal se propaga à velocidade da lz c, determina-se a psedo-distância ideal entre o *i tilizador e o satélite i, ρ, com base no tempo de emissão do sinal GPS pelo satélite i, t i e, e no tempo de recepção no tilizador, t r, medidos nma mesma referência de tempo: ρ = ct ( t) (2.2) * i i r e A eqação (2.2), no entanto, não pode ser resolvida pelo tilizador, pois o tempo de recepção do sinal é dado pelo se relógio, qe é poco exacto, e o tempo de emissão é dado pelo relógio atómico do satélite (Anexo C.2), havendo das referências de tempo distintas. Logo é necessário ter em conta os termos de deriva de relógio do tilizador, b t, no tempo recepção t r, e o do satélite i, medida entre o tilizador e o satélite i : i b t, no tempo de emissão t i e obtendo-se a psedo-distância ρ = ct ( t ) (2.3) i i r, e, i em qe t, = t + b e t i i i ei, = te+ bt são os tempos de recepção e emissão medidos no relógio do r r t tilizador e do satélite, respectivamente. Recorrendo ao resltado (2.2) redefine-se o conceito de psedo-distância medida expresso em (2.3) por: em qe: ( b ) ρ = ρ + cb (2.4) i * i i t t Introdzindo em (2.4) os principais erros de propagação tem-se: ρ = ρ + b b + T + I + ε (2.5) i * i i b é a deriva do relógio do tilizador, em metros i b é a deriva do relógio do i-ésimo satélite, em metros T é o atraso troposférico, em metros I é o atraso ionosférico, em metros ε é otros efeitos não modelados e o rído das medições No modelo mais geral da psedo-distância (2.5) nem todos os termos podem ser determinados. Desprezando a deriva do relógio do satélite (face à deriva do relógio do 12

31 2.5. Determinação da Fase receptor) e o atraso ionosférico e, ma vez qe o erro troposférico pode ser modelado [16], o sistema (2.1) é reescrito na seginte forma: ρ ρ ( ) ( ) ( ) = X1 x + Y1 y + Z1 z + b ( ) ( ) ( ) = X 2 x + Y2 y + Z2 z + b ( ) ( ) ( ) ρ = X 3 x + Y3 y + Z3 z + b (2.6) Ao introdzir-se o termo de deriva do relógio do tilizador como incógnita, ma vez qe este não pode ser modelado, é necessária ma nova eqação de psedo-distância para resolver esta nova variável. Assim (2.6) é reescrita: ρ ρ ( ) ( ) ( ) = X1 x + Y1 y + Z1 z + b ( ) ( ) ( ) = X 2 x + Y2 y + Z2 z + b ( ) ( ) ( ) ρ = X 3 x + Y3 y + Z3 z + b ρ = ( X 4 x) + ( Y 4 y) + ( Z 4 z) + b (2.7) A Eqação (2.7) é a eqação básica para encontrar a posição de m tilizador e cjos métodos para a resolver serão disctidos no Capítlo 3. Apesar de só serem necessárias qatro eqações para a resolção do problema, normalmente é útil levar em conta mais satélites. 2.5 Determinação da Fase A fase da portadora é tilizada, jntamente com a psedo-distância, qando se pretende obter maiores níveis de precisão e exactidão em GPS. Tal como foi visto na Secção 2.4, a psedo-distância é determinada através da diferença entre o tempo de recepção e emissão do sinal GPS. Um otro método para calclar a distância entre o satélite e o tilizador consiste em sar o número de períodos realizados pela portadora desde a sa emissão até à sa recepção (Figra 2.10). Sabendo o comprimento de onda das portadoras qe modelam o sinal GPS (Anexo C), a distância percorrida pelo sinal é determinada somando o número de períodos à fase no instante de recepção (2.8), ambas expressas em nidades de distância. i i i M θ φ = λ + 2π (2.8) 13

32 Capítlo 2. Sistema GPS em qe: i φ é a distância, sando a medida da fase, entre o satélite i e o receptor λ é o comprimento de onda da portadora i M é o número de períodos realizados pelo sinal i θ é o valor da fase medido pelo receptor, entre 0 e 2π O problema da tilização da fase resme-se à determinação do número de períodos para se encontrar ma distância ao satélite mais precisa. Figra 2.10 Número de períodos e fase do sinal. Caso só se tivesse acesso ao valor da fase entre 0 e 2π, seria mito complicado determinar, em cada instante, o número de períodos realizados pelo sinal. Normalmente, m receptor GPS tem mecanismos qe facilitam o cálclo da distância do satélite i ao receptor qando se recorre à fase. No instante em qe o receptor adqire o sinal de m satélite (Anexo C.3), atribi m valor arbitrário ao número de períodos. A partir deste instante, ele conta qantos ciclos completos ocorrem no sinal desde a sa aqisição, i.e., as restantes medições da fase estarão correctas relativamente à primeira. Deste modo, apenas é necessário determinar a diferença entre o número de períodos reais e os arbitrários. Esta diferença é designada por ambigidade inteira da fase e m método para a sa determinação é proposto no Capítlo 4. Tendo em conta os mecanismos dos receptores GPS, redefine-se a distância do satélite i ao receptor, associada à fase da portadora: em qe: ( ) φ = ρ + b b + T I + λn + λ ϕ ϕ + ξ (2.9) i * i i i i i N é a ambigidade inteira inicial ϕ é a fase inicial do receptor i ϕ é a fase inicial do satélite i ξ é otros efeitos não modelados e o rído das medições A partir deste momento, a distância (2.9) será designada por fase da portadora. 14

33 2.6. Métodos de Posicionamento Para além do cálclo da ambigidade, otro problema na tilização da fase são os cycle slips, i.e., saltos, de m número inteiro de períodos, casados pela perda temporária do segimento do sinal (Anexo C.3). Qando m receptor GPS perde temporariamente o sinal e este volta a ser readqirido podem ocorrer saltos na ambigidade inteira definida anteriormente, i.e., o valor arbitrário atribído pelo receptor é diferente do atribído na primeira vez qe o satélite foi adqirido. Este facto invalida a ambigidade inteira previamente calclada. 2.6 Métodos de Posicionamento O método descrito na Secção 2.4 é conhecido como posicionamento absolto: dado m conjnto de posições dos satélites e respectivas psedo-distâncias determina-se o vector de posição do tilizador. Otro método sado, qe geralmente melhora a exactidão do cálclo da posição em relação ao absolto é o DGPS, qe consiste em ter m receptor extra nma posição conhecida (estação-base) qe se m método de posicionamento absolto. Sabendo a posição exacta desta estação, calclam-se correcções a introdzir nos cálclos da posição do tilizador, para obter melhores resltados. Esta informação é transmitida via rádio para os receptores a operarem na sa vizinhança. Como seria de esperar à medida qe amenta a distância do receptor à base a capacidade de correcção de erros dimini [14]. A distância para realizar DGPS, com eficiência, sita-se na ordem da centena de qilómetros. Baseados neste conceito, srgiram otros tipos de posicionamento semelhantes como o LADGPS (Local-Area DGPS), onde o tilizador se encontra na linha de vista da estaçãobase, e o WADGPS em qe o tilizador recebe informação de várias estações bases espalhadas na região de operação. É de salientar o método das dplas diferenças. Este tipo de posicionamento também necessita de ma estação-base, permitindo criar m vector qe posicione o tilizador em relação à estação-base, em vez de se definir a posição por m conjnto de coordenadas nm sistema de referência global. Mitos dos erros no posicionamento são comns ao tilizador e à estação base, caso as estações estejam geograficamente próximas, podendo diminir os ses efeitos. 15

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35 Capítlo 3 Algoritmos de Posicionamento A principal fnção do sistema GPS é fornecer as coordenadas espaciais x, y e z de m tilizador em respeito a m sistema global de coordenadas ECEF (Anexo A). Por posição do tilizador entende-se as coordenadas da antena do receptor GPS associado ao mesmo tilizador. Normalmente os receptores GPS apresentam esta posição nm sistema de coordenas geodésicas: latitde, longitde e altitde (Anexo A.1). Os algoritmos de posicionamento apresentados neste Capítlo levam em conta somente a psedo-distância o a psedo-distância e a fase da portadora. A posição de m satélite i, X i, Y i e Z i, é dada de acordo com Anexo A Posicionamento Absolto O problema de posicionamento absolto consiste em determinar a posição do tilizador recorrendo somente às observações dos satélites realizadas pelo se receptor. Este conceito está representado na Figra 3.1. Por observação de m satélite entende-se receber a sa mensagem de navegação completa e respectivas psedo-distância e fase. Figra 3.1 Conceito do posicionamento absolto. 17

36 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento Este problema de posicionamento resme-se, matematicamente, a resolver o sistema de eqações definido em (2.7) qe, por sa vez, pode ser generalizado para o caso em qe o tilizador observa N satélites, com N 4, obtendo-se o sistema de eqações (3.1). ρ ρ ( ) ( ) ( ) = X1 x + Y1 y + Z1 z + b ( ) ( ) ( ) = X 2 x + Y2 y + Z2 z + b ρ = ( X 3 x) + ( Y3 y) + ( Z3 z) + b ( ) ( ) ( ) N ρ = X N x + YN y + ZN z + b (3.1) O sistema definido em (3.1) recorre somente às medições da psedo-distância para determinar a posição do tilizador. Esta, ma vez qe as psedo-distâncias não são mito precisas, também não o vai ser. É com o objectivo de melhorar a precisão para o nível dos centímetros, qe se recorre às medições da fase. No entanto, a tilização exclsiva da fase em posicionamento absolto não é viável, ma vez qe a solção da ambigidade inteira pode demorar várias épocas a convergir [14]. Assim, para evitar resolver o problema da ambigidade e obter resltados satisfatórios para a precisão, tiliza-se ma medida, qe associa as medições da psedo-distância e da fase, designada por CSC (Carrier-Smoothed- Code): ( ) () () ρ () () ( ) φ () φ ( ) P ˆ t = z t t + z t P ˆ t 1 + t t 1 (3.2) i i i i i 1 2 em qe z 1 e z 2 são pesos para as medições da psedo-distância e fase, respectivamente, e z 1 z2 1 + =. A ideia do CSC consiste em determinar, com base na diferença entre das medições da fase consectivas, ma psedo-distância mais precisa e exacta do qe a medida pelo receptor do tilizador. Tal como para a psedo-distância medida, define-se m sistema de eqações, semelhante a (3.1), em qe se recorre às medidas CSC: Pˆ = ( X1 x) + ( Y1 y) + ( Z1 z) + b ˆ P = ( X2 x) + ( Y2 y) + ( Z2 z) + b Pˆ = ( X3 x) + ( Y3 y) + ( Z3 z) + b Pˆ = ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) + b N N N N (3.3) 18

37 3.1. Posicionamento Absolto Nesta Secção são estdados dois métodos, m iterativo e otro não iterativo qe permitem resolver qer o problema inicial (3.1) qer o problema (3.3). Estes métodos têm ma vertente mais pedagógica e o se objectivo é o de introdzir conceitos e noções importantes na constrção de algoritmos mais avançados Algoritmo Iterativo Um dos problemas na resolção do sistema (3.1) é a sa não linearidade. Esta qestão pode ser ltrapassada sando o algoritmo iterativo [14] qe recorre à expansão em série de Taylor de primeira ordem de cada eqação. Sendo a psedo-distância referente a m determinado satélite dada por ma das eqações do sistema (3.1), o incremento diferencial da i psedo-distância do i-ésimo satélite δρ é aproximado linearmente pela expansão em série de Taylor de primeira ordem, em torno de ma estimativa inicial para x, y, z e b : δρ ( ) + ( ) + ( ) ( X x ) 2 + ( Y y ) 2 + ( Z z ) 2 X x δx Y y δy Z z δz i i i i = + i i i em qe δ x, δ y, δ z e δ b são os incrementos diferenciais de x, y, z e b. Através da eqação (3.4) obtém-se a linearização do sistema definido em (3.1): ( 1 ) + ( 1 ) + ( 1 ) ( X1 x) + ( Y1 y) + ( Z1 z) ( 2 ) + ( 2 ) + ( 2 ) ( X2 x) + ( Y2 y) + ( Z2 z) ( 3 ) + ( 3 ) + ( 3 ) ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) 1 X x δx Y y δy Z z δz δρ 2 X x δx Y y δy Z z δz δρ 3 X x δx Y y δy Z z δz δρ N ( XN x) δx + ( YN y) δy + ( ZN z) δz δρ = ( X ) 2 ( ) 2 ( ) 2 N x + YN y + ZN z = + = + = + δb δb δb δb + δb (3.4) (3.5) Na resolção de m sistema de eqações lineares com mais eqações qe incógnitas, ma abordagem possível é o recrso ao método dos mínimos qadrados (Anexo D.1). Para tal, é necessário representar o sistema (3.5) de ma forma matricial: 19

38 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento em qe: δρ1 α11 α12 α13 1 δ x δρ 2 α21 α22 α23 1 δ y δρ3 α31 α32 α33 1 = δ z δb δρ N α N1 α N2 α N3 1 δ r α = i1 δρ α δ x X b ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i (3.6) (3.7) α α i2 i3 = = y Y ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i z Z ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i (3.8) (3.9) Utilizando a psedo-inversa, proveniente do método de mínimos qadrados, tem-se: Através de (3.10) obtêm-se δ r T 1 T = α α α δρ δb δ r e δ b (3.10). Estes valores não fornecem directamente a solção final, mas esta pode ser obtida tilizando a mesma eqação de ma forma iterativa, o seja, actalizando a última estimativa de x, y, z e b com a adição dos incrementos e repetindo o processo. É necessário definir m valor para verificar se o resltado obtido é o desejado, qe é dado por: δv= δx + δy + δz + δb (3.11) Qando o valor de δ v for menor qe m determinado limite ε δ v significa qe o processo iterativo termino. O algoritmo pode ser descrito de ma forma scinta pelos segintes passos: 1. Escolhe-se ma estimativa inicial para a posição x, y e z e erro de relógio b *i 2. Calcla-se a psedo-distância ideal ρ com base nos valores estimados x, y e z. A diferença entre o valor observado e o valor esperado é designada por *i 3. Utiliza-se o valor calclado de ρ em (3.7), (3.8) e (3.9) para calclar os valores α, α i2 e α i3, respectivamente de i1 4. Recorrendo a (3.10) determina-se os valores de δ x, δ y, δ z e δ b i δρ 20

39 3.1. Posicionamento Absolto 5. Somam-se os valores δ x, δ y, δ z e δ b a x, y, z e b estimados, obtendo- -se m novo conjnto de valores para a posição e erro de relógio do tilizador 6. Utilizando os valores δ x, δ y, δ z e δ b em (3.11) calcla-se o valor de δ v 7. Caso δ v seja maior qe m determinado ε v é necessário voltar ao passo 2. Caso contrário a solção obtida no passo 5 para a posição e erro de relógio deve ser considerado o resltado final. A escolha da estimativa inicial da posição e erro de relógio, neste algoritmo, é ma qestão relevante, pois pode implicar a sa não convergência [14]. Para posicionamento em torno da sperfície terrestre esta qestão pode ser facilmente ltrapassada, conhecendo a localização geográfica aproximada Algoritmo de Bancroft A existência de métodos analíticos e não-iterativos permite evitar os problemas de convergência inerentes a algoritmos iterativos. Nesta área, para problemas de posicionamento em GPS, destaca-se o algoritmo de Bancroft (Bancroft, 1985) [18][19]. A abordagem algébrica deste método necessita de ma maniplação da eqação da psedo-distância de m determinado satélite i. Maniplando ma das eqações do sistema (3.1) obtém-se: ( ( ) ) i 2 i X 2( ) ( i Yi Zi ρ Xix Yy i Zz i ρb x y z b ) δ = + + (3.12) Definindo o prodto interno de Lorentz entre dois vectores 4 gh, por: gh, T = gmh (3.13) com: M = Aplicando o prodto interno de Lorentz a (3.12) tem-se: 1 Ri Ri Ri r 1 r r,,, 0 i i i 2 ρ ρ ρ + = b 2 b b (3.14) (3.15) 21

40 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento Nm dado instante, cada psedo-distância medida dá origem a ma eqação semelhante à definida em (3.15). Como referido na Secção 3.1 são observados N satélites, qe definem ma matriz com todos os parâmetros conhecidos, dada por: X Y Z X2 Y2 Z2 ρ 3 = ρ B X Y Z ρ N XN YN ZN ρ Usando a matriz B definida em (3.16), as N observações definem o sistema: (3.16) em qe: 1 α 2 α r α BM e b +Λ = N α α 3 0 (3.17) k α 1 Rk Rk =, k k 2 ρ ρ (3.18) 1 r r Λ=, 2 b b (3.19) e = [ 1 1 1] T (3.20) N com e. No caso de existirem mais do qe qatro satélites visíveis, o número de eqações é sperior ao número de incógnitas. Por conseginte recorre-se aos mínimos qadrados para resolver o sistema definido por (3.17): r T 1 T = M ( B B) B ( Λ e + α ) b (3.21) T Definindo ( ) 1 + T = como a psedo-inversa da matriz B tem-se: B BB B r b = + Λ + MB ( e α ) (3.22) 22

41 3.2. GPS Diferencial Uma vez qe Λ contém as incógnitas do sistema r e b, sbstiti-se (3.22) na definição de Λ (3.19) obtendo-se: + + B ebe, 1 ( ), ( ) 2 B + e α B + Λ = Λ + Λ e + α (3.23) Utilizando a linearidade do prodto interno de Lorentz reescreve-se a eqação (3.23): Λ= B aba, +Λ BaBe, + Λ BeBe, (3.24) 2 2 Mltiplicando ambos os lados de (3.24) por 2 obtém-se: ( ) BeBe, Λ + 2 BaBe, 1 Λ+ BaBa, = 0 (3.25) Como se pode constatar (3.25) é ma fnção qadrática em Λ com coeficientes + +, 2 ( BaBe, 1) + + e B aba,. Todos estes coeficientes podem ser determinados, ma vez qe não contêm incógnitas. Deste modo, obtêm-se dois valores possíveis para Λ, o qe implica a existência de das solções para a posição e erro de relógio, de acordo com (3.22). Só ma das solções obtidas é qe faz sentido, aqela cja posição se encontra mais próxima da sperfície terrestre. 3.2 GPS Diferencial O GPS diferencial [20] é ma técnica qe amenta significativamente a precisão da posição do tilizador. Em termos gerais, o DGPS consiste em colocar m receptor GPS nm local fixo (denominado por estação-base) onde as sas coordenadas são conhecidas com elevada precisão. Nm dado instante, conhecendo as verdadeiras coordenadas da estaçãobase, é possível calclar a diferença entre estas e as calcladas por m método de posicionamento absolto. Esta diferença fornece os valores de correcção qe devem ser aplicados, no mesmo instante, à posição de m tilizador, previamente determinada por m algoritmo de posicionamento absolto (Figra 3.2). Este conceito é também aplicado de ma forma semelhante às medidas das psedo-distâncias. 23

42 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento Satélite Sinal GPS Sinal GPS Estação-base Utilizador Calcla correcções com base na posição real e calclada Envio das correcções Determina posição com base nas correcções recebida Figra 3.2 Conceito do GPS diferencial. Para ma melhor performance no so de técnicas diferenciais em algoritmos de posicionamento é essencial qe se verifiqe m conjnto de condições. Em primeiro lgar o tilizador deve estar próximo da estação-base (máximo de 20km), para garantir qe os sinais recebidos estão sjeitos a atrasos ionosféricos e troposféricos idênticos. É também necessário qe ambos os receptores tilizem o mesmo conjnto de satélites e efemérides (coerência na constelação sada), para impedir o cálclo de posições com erros associados a diferentes fontes. Finalmente a estação-base não deve corrigir erros qe não são mensráveis pelo tilizador, como os erros de mlti-percrso. Neste projecto são abordados dois algoritmos qe se enqadram neste tipo de técnica, m efecta correcções ao nível da psedo-distância, o DGPS em psedo-distância, e otro ao nível da posição, o DGPS em posição DGPS em Psedo-Distância O so do GPS diferencial em psedo-distância consiste em introdzir correcções nas psedo-distâncias observadas pelo tilizador. O primeiro passo consiste em determinar m valor mito próximo da psedo-distâncias ideal da estação-base, recorrendo às sas coordenadas precisas e às coordenadas dos satélites observados. A diferença entre este valor e as psedo-distâncias observadas pode ser sado por m receptor GPS vizinho para corrigir as sas observações relativas às mesmas psedo-distâncias. Uma das grandes vantagens do tratamento diferencial em GPS é a possibilidade de cancelar erros idênticos à estação-base e ao tilizador. Recorrendo à eqação geral da psedodistância (2.5), define-se a correcção da psedo-distância referente ao satélite i observado pela estação-base por [20]: 24

43 3.2. GPS Diferencial δρ = ρ + b ρ = b T I ε (3.26) i * i i i b b b b Defini-se (3.26) de modo a garantir qe esta correcção apenas englobe erros idênticos a ambos os receptores, razão pela qal a deriva do relógio da estação-base não é contemplada. Considerando a proximidade entre a estação-base e o tilizador, a correcção da psedodistância deste último é: δρ δρ (3.27) i A igaldade (3.27) corresponde às correcções individais qe devem ser aplicadas às medições de cada psedo-distância realizadas pelo tilizador. Finalmente, para determinar a posição do tilizador recorre-se a m dos métodos expostos na Secção 3.1, sando as psedodistâncias corrigidas. i b DGPS em Posição O GPS diferencial é sado em posição, aplicando correcções directamente às coordenadas do tilizador, de forma semelhante ao DGPS em psedo-distância. A primeira etapa deste algoritmo consiste em calclar as posições dos receptores r b e r recorrendo a m dos algoritmos propostos na Secção 3.1. De segida calcla-se a diferença entre as coordenadas exactas da estação-base r bref,, conhecidas a priori, e as calcladas na etapa inicial. Esta diferença é designada por correcção da posição da estação-base: em qe rbref, = xbref, ybref, z bref,. T δ r = r r (3.28) b b, ref b Assme-se qe a posição, em analogia com o modelo da psedo-distância (2.5), é modelada por [20]: em qe: r = r δ + δ + δ + δε b b, ref B I T δ rb (3.29) δ B é a correcção de posição associada aos erros de deriva dos relógios dos satélites δ I é a correcção de posição associada ao atraso ionosférico δ T é a correcção de posição associada ao atraso troposférico δ ε é a correcção de posição associada a erros não modelados 25

44 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento Qando ambos os receptores GPS estão sficientemente próximos, então os erros ionosféricos e troposféricos assmem valores semelhantes. Os erros de relógio dos satélites GPS também são idênticos para os dois receptores, porqe se tiliza o mesmo conjnto de satélites para o cálclo das posições. Tendo em conta estas considerações, e como o erro de relógio do receptor pode ser determinado, a correcção calclada para a estação-base pode ser aplicada directamente à posição calclada para o tilizador: r = r + δ r (3.30), DGPS b em qe r, DGPS é a estimativa da posição do tilizador corrigida diferencialmente. 3.3 Dplas Diferenças O método das dplas diferenças [16] é m algoritmo semelhante ao GPS diferencial. Os presspostos definidos para o bom fncionamento do DGPS mantêm-se para o posicionamento sando dplas diferenças. A principal vantagem deste método, em comparação com o DGPS, é o facto de também se consegir cancelar o erro proveniente do relógio do receptor. A grande diferença entre o DGPS e o método das dplas diferenças reside no facto de no primeiro se calclar correcções para a estação-base qe, posteriormente, são enviadas para o tilizador. O das dplas diferenças, por otro lado, combina a informação de dois receptores de forma a cancelar erros comns. Esta técnica é normalmente sada para determinar baselines, mas também pode ser aplicada à determinação da posição do tilizador. Por baseline entende-se o vector de distância, com origem na estação-base, qe ne os dois receptores (Figra 3.3). Figra 3.3 Conceito de dplas diferenças. 26

45 3.3. Dplas Diferenças Em dplas diferenças, o problema de posicionamento em GPS fica redzido ao cálclo de incrementos em qe [ ] T Δ r = Δx Δy Δ z. Δ r à estimativa da posição do tilizador: r = rˆ +Δ r (3.31) A baseline Δ r b, pode ser determinada calclando a diferença entre as coordenadas da estação-base e do tilizador: Δ r = r r (3.32) b, b Dplas Diferenças via Psedo-Distância Considerando o receptor e o conjnto de satélites k e l, define-se, para a psedodistância (2.5), diferenças simples entre satélites por: () * Δ ρ t = ρ ρ =Δ ρ +Δ T +ΔI Δ b (3.33) kl k l kl kl kl kl De forma análoga define-se diferenças simples entre receptores por: () * ρ t = ρ ρ = ρ + T + I + b (3.34) k k k k k k b b b b b b Como se verifica através da análise de (3.33), no caso das diferenças entre satélites, o erro de relógio do receptor é cancelado. De forma análoga, analisando (3.34) constata-se qe o erro de relógio do satélite é anlado, qando se calcla a diferença entre receptores. Obtidas as diferenças simples, define-se as dplas diferenças (diferença entre diferenças simples de satélites e receptores), para a psedo-distância, por: () t ( t) ( t) ( t) ( t) Δ ρ = ρ ρ = Δρ Δ ρ (3.35) kl k l kl kl b b b b Sbstitindo (3.33) o (3.34) em (3.35) obtém-se: * ( ) ρ Δ ρ t = Δ + Δ I + Δ T (3.36) kl kl kl kl b b b b Analisando (3.36) verifica-se qe os erros derivados do relógio dos receptores e do relógio dos satélites foram anlados. Partindo do pressposto qe se lida com baselines peqenas, as dplas diferenças dos atrasos ionosféricos e troposféricos são desprezáveis [16]. Assim (3.36) pode ser reescrita da seginte forma: kl b * ( t) ρ Δ ρ = Δ (3.37) Recorrendo a (3.37), concli-se qe as dplas diferenças da psedo-distâncias medidas são igais às dplas diferenças das psedo-distâncias ideais. kl b 27

46 Capítlo 3. Algoritmos de Posicionamento A definição de psedo-distância ideal (2.1) pode ser expandida em série de Taylor de primeira ordem em torno do ponto r ˆ : vem qe: Definindo ρ ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X xˆ Y yˆ Z zˆ = ρ + Δ x + Δ y + Δ z (3.38) * k * k k k k * k * k * k ρ 0 ρ 0 ρ 0 k como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X xˆ Y yˆ Z zˆ = k k k k * k * k * k ρ 0 ρ 0 ρ 0 ρ Δx Δz * k * k k = ρ ( 0) + Δy (3.39) (3.40) Spondo qe se observam m + 1 satélites ( m dplas diferenças), define-se o satélite k, com o maior ânglo de elevação, como principal, para maximizar a geometria [16], e obtém-se o seginte sistema: ( 0) ( 0) Δρ Δρ k1 * k1 k 1 b b k2 * k2 k 2 Δx Δρb Δρ b = Δy Δ z ρ ρ ( 0) Δ Δ km * km k m b b Δr B A (3.41) O sistema anterior pode ser resolvido recorrendo aos métodos sais de mínimos qadrados pesados: T ( ) 1 Δ = (3.42) 1 T 1 r A Q A A Q B em qe Q é a matriz de co-variância das observações. A posição do tilizador é então calclada recorrendo a (3.31), somando a correcção (3.42) à estimativa da posição do tilizador r ˆ Dplas Diferenças via Psedo-Distância e Fase O posicionamento relativo de grande precisão é baseado em medidas da fase da portadora bastante exactas. A fase da portadora, no entanto, não pode ser tilizada sozinha ma vez qe é necessário calclar a ambigidade inteira, referida na Secção 2.5. Uma possível abordagem será sar a psedo-distância e a fase em conjnto [16]. 28

47 3.3. Dplas Diferenças Tal como para a psedo-distância, define-se dplas diferenças da fase da portadora: () t ( t) ( t) ( t) ( t) Δ φ = φ φ = Δφ Δ φ (3.43) kl k l kl kl ij ij ij i j Tendo em conta a definição da medida da fase da portadora redefine-se (3.43): () * Δ φ t = Δρ Δ I + Δ T + λ Δ N (3.44) kl kl kl kl kl ij ij ij ij ij Considerando qe se trabalha com baselines peqenas os atrasos ionosféricos e troposféricos são desprezáveis [16]. Assim (3.44) pode ser escrita de ma forma simplificada: * ( t) Δ φ = Δ ρ + λ Δ N (3.45) kl kl kl ij ij ij O resltado obtido para as dplas diferenças da fase da portadora (3.45) tem m efeito semelhante ao obtido para as dplas diferenças da psedo-distância (3.37), sendo capaz de anlar, teoricamente, todos os erros com a mesma fonte. Recordando a expansão em série de Taylor de primeira ordem da psedo-distância ideal (3.38) em torno do ponto r ˆ e sando (3.39) vem qe: * * k Δx k k ρ ρ ( 0) 0 i y * k = * k + k Δ + k φ ρ ( 0 i ) λn i z Δ (3.46) Nm caso em qe se observam m + 1 satélites ( m dplas diferenças), define-se o satélite k, com o maior ânglo de elevação, como principal, para maximizar a geometria [16], e obtém-se o seginte sistema: ( ) ( ) k1 * k1 k 1 Δρij Δρ 0 ij i i k2 * k2 k 2 Δx Δρij Δρ ij 0 i i 0 0 Δy km * km k m Δ z Δρij Δρ ij ( 0) i i k1 * k1 = k1 k 1 Δ N φij λ1 ρ ij ( 0) ij Δ Δ i i λ1 0 0 k 2 N k2 * k2 k 2 ij Δφij λ1 Δρ ij ( 0) i i 0 0 Δ 0 km ΔN km * km k m ij Δφij λ1 Δρ ij ( 0) i i 0 0 λ 1 (3.47) Neste caso não é possível resolver o sistema anterior pelas técnicas sais de mínimos qadrados pesados, ma vez qe a solção da ambigidade da fase tem de ser inteira. Uma primeira abordagem possível consiste em calclar a ambigidade inteira como ma solção em vírgla fltante e posteriormente arredondar para o inteiro mais próximo. Este tipo de solção não é a mais correcta, ma vez qe nem sempre a melhor solção inteira qe minimiza m determinado fncional de csto é o arredondamento directo da solção em vírgla fltante, sendo então necessário recorrer a algoritmos de estimação inteira. 29

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49 Capítlo 4 Método LAMBDA Nos problemas de posicionamento recorrendo à fase da portadora é possível obter-se resltados de alta precisão, no entanto é necessário resolver o problema da estimativa da ambigidade inteira da fase. Para lidar com esta qestão foram desenvolvidos vários métodos, dos qais se destacam [3]: LSAST [4], FARA [5], método de decomposição modificada de Cholesky [6], LAMBDA [7], método de espaço nlo [8], FASF [9] e OMEGA [10] (Tabela 4.1). Tabela 4.1 Características dos métodos de resolção de ambigidades. Algoritmo Ator principal Procra da ambigidade Processamento dos dados Espaço de procra LSAST Hatch Independente Uma época Nenhm FARA Frei e Betler Todas Várias épocas Condicional Decomposição modificada de Cholesky Eler and Landa Todas Várias épocas Nenhm LAMBDA Tenissen Todas Várias épocas Transformação/ Condicional Espaço Nlo Martin-Neira Independente Uma época Transformação FASF Chen e Lachapelle Todas Várias épocas Condicional OMEGA Kim e Langley Independente Uma época/várias épocas Transformação/ Condicional O conceito de melhor algoritmo para resolção de ambigidades inteiras é disctível. Um princípio possível seria considerar qal o algoritmo qe oferece ma maior probabilidade de encontrar o valor inteiro correcto para a ambigidade. No entanto não existem trabalhos de comparação entre os vários métodos apresentados na Tabela 4.1. Neste Capítlo detalha-se o método LAMBDA (Tenissen, 1993) [7], m algoritmo capaz de resolver problemas gerais de estimação inteira. O método LAMBDA foi o primeiro, de ma classe de algoritmos baseados na teoria de mínimos qadrados inteiros [7], qe melhora a eficiência comptacional permitindo resolver ambigidades da portadora da fase em GPS em tempo real. De modo a melhorar a eficiência, este método realiza ainda transformações nm espaço de procra condicionado. 31

50 Capítlo 4. Método LAMBDA 4.1 Modelo das Observações Assme-se qe se têm disponíveis m + 1 observações da psedo-distância e da fase da portadora nm dado instante. Recorrendo a (3.47) é possível constrir m modelo matemático linearizado das observações das dplas diferenças para ma baseline peqena: em qe: ( 0) ( 0) k1 * k1 k 1 Δρij Δρ ij i i k2 * k2 k 2 Δρij Δρ ij i 0 0 i k1 ΔN ij km * km k m Δx k 2 Δρij Δρ ij ( 0) i i = Nij k1 * k1 k 1 Δφij λ1 Δρ ij ( 0) y Δ Δ + + e i λ i z k2 * k2 k 2 Δφij λ1 Δρ ij ( 0 Δ ) i km 0 0 N i Δr Δ ij a Δφ λ Δρ ( 0) 0 0 λ1 km * km k m ij 1 ij i i y B y é o vector das observações menos as dplas diferenças calcladas; A 2m y Δ r é o vector qe contém os incrementos à posição do tilizador; 3 Δr a é o vector das m ambigidades das dplas diferenças; m a B é ma matriz 2m 3 qe relaciona as observações com a baseline A é ma matriz 2m m qe relaciona as observações com as ambigidades e é o rído das medições e efeitos não modlados Assme-se qe a matriz [ B A ] com dimensão 2m ( 3 m) (4.1) + tem característica completa igal a 3 + m, o seja, realizaram-se ma série de observações, sficientes para determinar os incrementos à posição do tilizador e a ambigidade inteira da fase. Na estimativa das coordenadas da posição do tilizador e da ambigidade da fase das dplas diferenças tiliza-se o princípio dos mínimos qadrados, com a restrição de a ambigidade ter de tomar valores inteiros: em qe Δr, a Q y m min y BΔr Aa com Δr e a (4.2) Q y é a matriz de co-variância das observações y, simétrica e positiva definida. A estimativa dos parâmetros da minimização (4.2) é realizada em três passos: cálclo da solção em vírgla fltante sando mínimos qadrados, estimativa da ambigidade inteira da solção obtida e cálclo da solção inteira. 32

51 4.2 Solção em Vírgla Fltante 4.2. Solção em Vírgla Fltante A minimização expressa em (4.2) é resolvida através de mínimos qadrados pesados (Anexo D.2) presspondo m a, obtendo-se valores em vírgla fltante para a estimativa da posição do tilizador e da ambigidade das dplas diferenças. Geralmente o problema de mínimos qadrados com característica máxima é resolvido via eqações normais [21]. O sistema de eqações normais relativo ao problema (4.2) é definido por: T 1 T 1 T 1 B Qy B B Qy A Δr B Qy y T 1 T 1 T 1 AQy B AQy A a = AQy y N x r (4.3) O sistema Nx = r é resolvido recorrendo à decomposição de Cholesky (Anexo D.3) da matriz N. As estimativas em vírgla fltante das incógnitas do sistema (4.3) e a matriz de co-variância associada são definidas, respectivamente, por: Por otro lado, a estimativa da ambigidade inteira tiliza a inversa da matriz de covariância Δrˆ xˆ = aˆ QΔ rˆ Q Δrˆaˆ Qˆ = Q aˆδ rˆ Q aˆ (4.4) (4.5) C (Anexo D.3): em qe Q â qe pode ser obtida através do elemento CΔ r 0 C = CaΔ r C a C a é ma matriz trianglar inferior de dimensão m. C a, proveniente de factor de Cholesky Recorrendo a (4.6) obtém-se a inversa da matriz de co-variância das ambigidades: 1 T aˆ a a (4.6) Q = C C (4.7) Como será visto na Secção 4.5, no cálclo da solção final dos incrementos da posição do tilizador é necessária a matriz Cholesky C : Q Δ ra ˆˆ. Esta também pode ser obtida através do factor de Q = C C C C (4.8) T T T 1 Δra ˆˆ Δr aδr a a 33

52 Capítlo 4. Método LAMBDA 4.3 Estimativa da Ambigidade Inteira A estimativa da ambigidade inteira é descrita pelo fncional: a 2 m = min a a ˆ com a (4.9) a 1 Qa A minimização (4.9) contém a estimativa inteira por mínimos qadrados do vector de ambigidades ( a ). É nesta etapa concreta qe se tiliza o método LAMBDA qe, por sa vez, está dividido em dois pontos principais: 1. Descorrelação das ambigidades, qe consiste na reparametrização das ambigidades originais a para as novas ambigidades recorrendo à transformação-z (Anexo E.1) 2. Estimativa das ambigidades inteiras através do processo de procra (Secção 4.4) Na determinação da solção inteira para as ambigidades da fase, a solção de (4.9) é obtida por m processo de procra, em detrimento dos métodos algébricos, qe não entram em conta com a restrição inteira. A procra da solção em m é dispendiosa em termos comptacionais. De modo a tornar o método mais eficiente, a procra é confinada a m espaço em torno de â [22]: T ( ˆ) ( ˆ) a a Q a a χ (4.10) 1 2 aˆ O espaço de procra definido em (4.10) está centrado em â, a sa forma e orientação são governadas por Q â e a sa dimensão por 2 χ. A escolha do parâmetro m compromisso entre a eficiência e a descoberta da melhor solção. A matriz de co-variância 2 χ (Anexo E.2) é Q â é não diagonal, implicando ambigidades fortemente correlacionadas [16]. A procra pode ser ainda mais eficiente, tornando as ambigidades independentes, através do descorrelacionamento da matriz (Anexo E.1), remodelando-a de acordo com: Q zˆ T Z Qaˆ Z Q â recorrendo à transformação-z = (4.11) em qe Z é a matriz de transformação do processo de descorrelação. Devido à natreza inteira da resolção da ambigidade da fase, ma descorrelação completa de Q â não é possível, i.e., não se obtém ma matriz de co-variância diagonal mas sim ma matriz qase diagonal. Por matriz qase diagonal entende-se ma matriz cjos elementos não diagonais têm m valor próximo de zero. 34

53 4.4. Processo de Procra Conclído o processo de descorrelação, a minimização (4.9) sando as ambigidades transformadas é eqivalente a: z 2 m = min z z ˆ com z (4.12) z 1 Qz T T em qe z = Z a e zˆ = Z aˆ. Tal como as ambigidades, o espaço de procra também é alterado. Deste modo, em vez de (4.10), obtêm-se o novo espaço de procra: em qe: T ( ˆ) ( ˆ) z z Q z z χ (4.13) Q zˆ 1 2 zˆ onde L é ma matriz inferior e D ma matriz diagonal. T = L DL (4.14) Determinadas as novas ambigidades ( ẑ ) e respectiva matriz de co-variância ( Q ) o processo de procra das melhores ambigidades inteiras pode ser iniciado. ẑ 4.4 Processo de Procra A estimativa da ambigidade inteira é baseada nm processo de procra, tilizando os limites individais das ambigidades qe resltam de m ajste seqencial por mínimos qadrados [25]. Uma vez terminado o processo de descorrelação, inicia-se a procra nm sbespaço de m qe contém a solção inteira. Esta procra é tilizada para determinar a melhor solção do problema de mínimos qadrados inteiros (4.12). Recorrendo a (4.13) define-se o fncional de csto: Definindo: T ( ) ( ˆ) ( ˆ) f z = z z Q z z χ (4.15) 1 2 zˆ ( ˆ) T ( ) T z = z L z z L z z = z zˆ (4.16) o eqivalentemente, em termos de cada elemento do vector z [24]: z ˆ i = zi i= m m z ˆ i = zi + ( zj z j) l ji i = m 1, m 2,,1 j=+ i 1 em qe l ji representa o elemento da linha j e colna i da matriz L T. (4.17) 35

54 Capítlo 4. Método LAMBDA Sbstitindo (4.16) em (4.15) e tilizando a decomposição (4.14) vem: o de modo eqivalente: ( ) f z T ( ) ( ) ( ) 1 2 (4.18) f z = z z D z z χ ( z z ) ( z z ) ( z z ) m m 2 = χ d d d 1 2 m (4.19) É de salientar qe qalqer z qe satisfaça (4.19) também satisfaz os segintes limites individais: z d χ z z + d m m m m m m ( z m j z j) ( zj z j) χ z d χ z z + d i i i i i j i 1 d =+ j j=+ i 1 d j m ( z m j z j) ( zj z j) χ z d χ z z + d j 2 d = j j= 2 d j χ (4.20) Baseado nos limites definidos em (4.20) implementa-se m processo de procra. Os limites speriores e inferiores de z i definem m intervalo designado por nível i. Os inteiros neste nível são procrados do menor para o maior e cada inteiro válido é testado individalmente, m de cada vez. Determinado z i no nível i, procede-se para o nível i 1 para calclar zi 1. Caso não se encontre m inteiro válido no nível i volta-se para o nível anterior i + 1 e determina-se o próximo inteiro válido z i + 1, retornando novamente para o nível i. Qando se encontrar z 1 no nível 1, obtém-se m vector completo de inteiros z. Após a obtenção do vector z inicia-se ma nova procra. O novo processo é iniciado no nível 1 para procrar todos os otros inteiros válidos, do menor para o maior. A procra só termina qando todos os inteiros válidos encontrados são processados. Depois de resolvido o problema (4.12) é necessário realizar ma transformação inversa de forma a se obter a solção para o problema (4.9). Esta é dada por: T a= Z z (4.21) É de salientar qe (4.21) transforma m vector de inteiros notro vector de inteiros, m dos pré-reqisitos na obtenção da matriz Z, obtendo-se assim m vector de ambigidades inteiras para o problema (4.9), com era pretendido. 36

55 4.5. Processo de Selecção e Solção Inteira 4.5 Processo de Selecção e Solção Inteira Após a determinação dos q vectores de ambigidades é necessário escolher qal corresponde ao melhor conjnto de ambigidades inteiras qe resolvem (4.1). O método tilizado para este fim baseia-se na análise do resído [26]: V = BΔ r + Aa y (4.22) Para cada m dos q vectores possíveis, o resído (4.22) toma valores diferentes. O T 1 vector das ambigidades a escolhido é aqele qe minimiza V Q V. De modo a confirmar a validade da solção, efecta-se m teste de confiança (qanto maior, maior a confiança na solção) [26]: R T 1 ( V Qy V) T 1 ( V Qy V) y II = (4.23) I em qe os índices I e II definem o menor e segndo menor valores de T 1 V Q y V, respectivamente. A solção final, depois de escolhido o melhor vector de ambigidades a através de (4.23), para os incrementos à posição estimada do tilizador é obtida explicitamente corrigindo a solção em vírgla fltante (4.4) [23]: Δ r =Δrˆ Q Q a a 1 Δrˆˆ a aˆ ( ˆ ) Um otro método possível para calclar os incrementos à posição do tilizador estimada vem directamente do sistema de eqações normais (4.3) [23]: ( ) Δ r = N r N a 1 Δr Δr Δra (4.25) (4.24) em qe N T 1 Δ r = B Q y B, r B Q y T 1 Δ r = y e N T 1 Δ ra = B Q y A. 37

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57 Capítlo 5 Resltados Um dos temas relativos aos algoritmos de posicionamento em GPS é a precisão e a exactidão dos ses resltados. A determinação destes parâmetros é ma tarefa qe envolve várias condicionantes e existem vários métodos estatísticos para as descrever [27]. Também introdz desde logo m conjnto de qestões como: a qantidade de pontos a ser recolhida ao longo da experiência, a qantidade de satélites e a respectiva geometria, a estrtra do ambiente envolvente (efeitos mlti-percrso) o as condições atmosféricas. Como em qalqer instrmento de medição, a única maneira para medir a precisão e a exactidão é através da comparação com ma medida padrão. É neste sentido qe se adopto a solção fornecida pelo pacote Ashtech Soltions [28] (pós-processamento) como referência. Analisa-se também a solção comercial fornecida pelo receptor do tilizador (tempo real). Esta fnciona como m segndo termo de comparação para os algoritmos de posicionamento absolto. De modo a melhor compreender os resltados, as posições recolhidas na experiência foram transformadas para coordenadas locais, nm espaço ortonormado de três dimensões. Este espaço tem como origem m ponto na sperfície da Terra (dada pelo Ashtech Soltions), o plano xoy é m plano tangente ao geóide da Terra, com eixo xx a ter a direcção do Norte cardeal, o yy do Este cardeal e o zz perpendiclar ao geóide da Terra (Anexo A). Os vários algoritmos testados para a estimação da posição estão detalhados no Capítlo 3 e a docmentação da sa implementação no Anexo I. Os resltados de cada teste podem ser comparados, pois são todos relativos ao mesmo conjnto de dados. Nos algoritmos qe recorrem a mais qe m receptor (DGPS e dplas diferenças), existe a possibilidade do número de satélites visíveis ser menor, em certos instantes, do qe nos algoritmos de posicionamento absolto. No entanto, como se lido com baselines peqenas e testes relativamente longos é possível desprezar este facto. O primeiro ensaio consisti em deixar o receptor do tilizador estacionário, drante algmas horas, para analisar a precisão e exactidão dos algoritmos implementados. O segndo teste consisti na realização de ma trajectória fechada, para testar se as coordenadas iniciais são idênticas às coordenadas finais. 39

58 Capítlo 5. Resltados No último teste, analisa-se o comportamento dos algoritmos nm ambiente não controlado, com o intito de verificar os ses comportamentos nma missão real. 5.1 Testes de Precisão e Exactidão A precisão e a exactidão são reglarmente sadas para avaliar o posicionamento em GPS. É necessário fazer a distinção entre precisão e exactidão: a precisão é o gra proximidade entre os pontos estimados e a sa média, a exactidão é o gra de proximidade entre m ponto estimado e o se valor real (Figra 5.1). Figra 5.1 Precisão e exactidão. De modo a segir os padrões dos catálogos de receptores fornecidos pela indústria, sam-se como critérios de precisão o CEP (Circlar Error Probable) e a confiança a 95%, e como critério de exactidão a norma das médias. O CEP é ma medida estatística de precisão, qe é definida como o menor raio de m círclo qe engloba 50% dos pontos estimados. O conceito de confiança de 95% é semelhante, no entanto o círclo correspondente engloba 95% dos pontos. Finalmente, a norma das médias é a distância eclidiana entre a média das posições estimadas e a média das posições fornecidas pelo pacote Ashtech Soltions. De acordo com as coordenadas locais definidas anteriormente, é possível então definir medidas de precisão horizontal (plano xoy ), vertical (eixo zz ) e esférica (espaço xoyoz ). Na Tabela 5.1 mostram-se os pormenores sobre o teste para avaliar a precisão e exactidão dos vários algoritmos. As Figras 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5 exibem a precisão e exactidão para os algoritmos de posicionamento absolto, GPS diferencial, de dplas diferenças e Ashtech Soltions, respectivamente. A Tabela 5.2 mostra as várias medidas de precisão e a Tabela 5.3 mostra a exactidão, para os vários algoritmos. Tabela 5.1 Detalhes do teste. 40

59 5.1. Testes de Precisão e Exactidão Data e Local Receptor do tilizador Receptor da estação base 6 de Otbro de 2006 na Alameda do Institto Sperior Técnico de Lisboa AC12 (Anexo G.1) GG14 (Anexo G.3) Taxa de actalização máxima 1.0 segndos Teste Receptor estacionário drante 2344 segndos (40 mintos). Figra 5.2 Precisão e exactidão: posicionamento absolto. 41

60 Capítlo 5. Resltados Figra 5.3 Precisão e exactidão: DGPS. Figra 5.4 Precisão e exactidão: dplas diferenças. Figra 5.5 Precisão e exactidão: Ashtech Soltions. 42

61 5.2. Trajectória Fechada Tabela 5.2 Precisão dos algoritmos: 95% de confiança e CEP. Algoritmos Precisão em metros Horizontal Vertical Esférica 95% CEP (50%) 95% CEP (50%) 95% CEP (50%) Iterativo Bancroft CSC DGPS p.-distância DGPS posição Dplas diferenças LAMBDA Receptor Ashtech Soltions Tabela 5.3 Exactidão dos algoritmos: norma das médias. Algoritmos Exactidão em metros Horizontal Vertical Esférica Iterativo Bancroft CSC DGPS p.-distância DGPS posição Dplas diferenças LAMBDA Receptor Trajectória Fechada Na Tabela 5.4 mostram-se os pormenores sobre o teste relativo a ma trajectória rectanglar fechada. As Figras 5.6, 5.7 e 5.8 exibem as trajectórias criadas pelos algoritmos de posicionamento absolto, GPS diferencial e de dplas diferenças, respectivamente, tendo sempre como referência a solção do pacote Ashtech Soltions. A trajectória calclada pelo método LAMBDA, na Figra 5.8, revela qe em certas sitações o comportamento deste algoritmo pode ltrapassar os resltados obtidos pelo Ashtech Soltions. 43

62 Capítlo 5. Resltados Data e Local Receptor do tilizador Receptor da estação base Tabela 5.4 Detalhes do teste. 11 de Agosto de 2006 na Alameda do Institto Sperior Técnico de Lisboa AC12 (Anexo G.1) GG14 (Anexo G.3) Taxa de actalização máxima 1.0 segndos Teste Realizo-se ma trajectória fechada ao longo de m rectânglo com 28.6 metros (Norte) por 17.5 metros (Este). Figra 5.6 Trajectória fechada: posicionamento absolto. 44

63 5.3. Trajectória Livre Figra 5.7 Trajectória fechada: DGPS. Figra 5.8 Trajectória fechada: dplas diferenças. 5.3 Trajectória Livre Na Tabela 5.5 detalham-se os pormenores sobre o teste relativo a ma trajectória livre em campo aberto, nm ambiente não controlado. A Figra 5.9 mostra o aspecto da trajectória completa realizada e define o sistema de coordenadas sado nas restantes Figras. Nesta Secção apenas vai ser apenas analisado o método LAMBDA, pois pela observação das Tabelas 5.2 e 5.3 verifica-se qe este apresenta melhores resltados. Na Figra 5.10 observam-se as posições de chegada e saída, e constata-se a possibilidade da a ambigidade inicial ter sido mal resolvida pelo método LAMBDA. 45

64 Capítlo 5. Resltados A Figra 5.11 mostra das descontinidades na trajectória do Ashtech Soltions (em pormenor na Figra 5.12). Inicialmente, a trajectória do Ashtech Soltions afasta-se da trajectória calclada pelo método LAMBDA e, posteriormente, volta a aproximar-se. Este facto pode indiciar qe a solção proposta para este troço pelo método LAMBDA seja a mais correcta. Na Figra 5.13 observam-se dois troços da trajectória completa, qe evidenciam qe os rídos presentes no método LAMBDA e na solção Ashtech Soltions são semelhantes. Ainda qe a exactidão do método LAMBDA varie ao longo do teste realizado. Data e Local Receptor do tilizador Receptor da estação base Tabela 5.5 Detalhes do teste. 23 de Jnho de 2006 ao largo do cabo de Sines GG24 (Anexo G.2) GG24 (Anexo G.2) Taxa de actalização máxima 0.4 segndos Teste Receptor colocado nm barco de reconhecimento do fndo mar do pontão de Sines. Figra 5.9 Trajectória completa. 46

65 5.3. Trajectória Livre Figra 5.10 Partida e chegada da missão. Figra 5.11 Descontinidades na trajectória do Ashtech Soltions. Figra 5.12 Descontinidades: pormenores. 47

66 Capítlo 5. Resltados Figra 5.13 Pormenores da trajectória. 48

67 Capítlo 6 Conclsões Pretende-se com o presente trabalho a análise, o desenvolvimento e a validação de técnicas avançadas de posicionamento em GPS. O objectivo prático era desenvolver algoritmos com precisão e exactidão semelhante às solções disponibilizadas comercialmente, em especial a do pacote Ashtech Soltions [28]. Os algoritmos de posicionamento absolto, Bancroft e iterativo, têm resltados semelhantes, pois são simplesmente dois métodos diferentes para resolver a mesma eqação de posicionamento. Com a introdção do CSC consege-se melhorar a precisão e exactidão. Os algoritmos de GPS diferencial e de dplas diferenças apresentam resltados de qalidade sperior aos algoritmos de posicionamento absolto, pois recorrem a ma estaçãobase para diminir as inflências das fontes de erro. O DGPS em posição e o em psedo-distância apresentam resltados semelhantes, ma vez qe o se princípio para a diminição da inflência de erros é idêntico. O algoritmo de dplas diferenças via psedo-distância apresenta resltados melhores qe os algoritmos de DGPS, pois dimini o erro proveniente do relógio do tilizador. O algoritmo de dplas diferenças via psedo-distância e fase, recorrendo ao método LAMBDA, é o algoritmo qe apresenta melhores resltados. O facto de resolver a ambigidade inteira da fase permite-lhe ma grande precisão. Os resltados obtidos, qer a nível de exactidão, precisão o pertrbações da trajectória, são próximas da solção fornecida pelo Ashtech Soltions. O método LAMBDA está limitado à correcta qantificação das variâncias das medições da psedo-distância e da fase. O desconhecimento destes valores pode impedir a correcta resolção das ambigidades. Por otro lado, o número de observações acmladas para resolver a ambigidade é m factor determinante. Uma alteração deste valor para o mesmo conjnto de dados, pode levar ao cálclo de ma ambigidade diferente. Todos estes factores inflenciam a exactidão do método. Em todos os algoritmos analisados a precisão vertical é maior qe a precisão horizontal, por limitações próprias do sistema GPS e não dos métodos. 49

68 Capítlo 6. Conclsões Em resmo, o so da fase na estimação da posição em GPS é essencial para obter precisão e exactidão elevadas. No entanto, a complexidade associada à resolção da ambigidade da fase pode levar a solções erróneas. Nm trabalho ftro, seria interessante analisar métodos capazes de resolver a ambigidade da fase nm só receptor o com m único conjnto de observações [10]. Otra área interessante de estdo, é investigação de mecanismos para lidar com cycle-slips, como as triplas diferenças [16]. A aplicação de filtros e smoothers a variáveis de interesse do sistema GPS pode melhorar a precisão e exactidão do posicionamento (no Anexo F analisa-se ma simples aplicação do filtro Kalman à trajectória de m tilizador). 50

69 Anexo A Coordenadas ECEF Como a Terra está em constante rotação, para se consegir referenciar a posição do satélite a m determinado ponto na sperfície terrestre, a sa rotação tem de ser levada em conta. A solção natral consiste em introdzir m esqema de transformação de coordenadas do sistema. Neste Anexo é também apresentado m algoritmo para determinar as coordenadas ECEF (Earth Centered Earth Fixed) do satélite através dos dados provenientes das efemérides. O referencial ECEF é m referencial cartesiano fixo, com coordenadas tridimensionais XYZ, com respeito à Terra e acompanha a sa rotação. A sa origem corresponde ao centro de massa gravítico, o eixo zz crza o Pólo Norte, plano xoy define o plano eqatorial e o eixo xx crza o meridiano de Greenwich. A.1 Conversão ECEF para LLH A Terra é m planeta aproximadamente esférico, apresentando no entanto algns desvios relativamente à forma esférica, bem como irreglaridades desigalmente distribídas na sa sperfície. A forma da Terra é definida com base no campo gravítico terrestre. A sa sperfície, abstraindo das ondlações do terreno, pode ser definida pela sperfície do nível médio das ágas do mar, sposta prolongada debaixo dos continentes. Esta sperfície de nível, chamada geóide, é ma sperfície mal conhecida, não definida matematicamente, cjo estdo é do âmbito da Geodesia. Dada a complexidade do geóide é sal tilizar como sperfície de referência m elipsóide de revolção. Um elipsóide de revolção é o sólido gerado pela rotação de ma semi-elipse em torno de m dos ses eixos. Existem várias referências para este elipsóide, a sada pelo sistema GPS denomina-se de WGS 84 (World Geodetic System 1984) [30]. O algoritmo fornecido pelo Eng. Lís Sebastião, implementado de acordo com [31], permite transformar as coordenadas ECEF para m sistema de coordenadas geodésicas sobre 51

70 Anexo A. Coordenadas ECEF o elipsóide WGS 84. As coordenadas geodésicas são compostas por latitde, longitde e altitde. A latitde ϕ de m ponto é o ânglo formado pela normal ao elipsóide nesse ponto e pelo plano do eqador. Conta-se de -90 a +90 a partir do eqador, negativamente no hemisfério Sl e positivamente no hemisfério Norte. A longitde λ é o ânglo diedro formado pelo plano do meridiano de m ponto como plano do meridiano de referência e conta-se de -180 a +180, negativamente para Oeste e positivamente para Este. Por acordo internacional adopto-se para meridiano de referência o meridiano do Observatório de Greenwich em Inglaterra. A altitde de m ponto é a distância mínima do ponto à sperfície do elipsóide. Contam-se valores positivos se o ponto for exterior ao elipsóide e negativos se for interior. Figra A.1 Representação das coordenadas ECEF e geodésicas. A.2 Coordenadas ECEF do Satélite Através de ma transformação de coordenadas, m ponto de referência pode ser deslocado para o sistema de coordenadas desejado. Na Figra A.2 está representada a órbita de m satélite, o eqador, o ânglo ω entre o perige e o nó ascendente, o ânglo i entre o plano da órbita do satélite e o eqador e também está representado o ânglo Ω entre o nó ascendente e o eqinócio de vernal. 52

71 A.2. Coordenadas ECEF do Satélite Figra A.2 Eqador e órbita do satellite. Pretende-se descobrir, tendo em conta os referenciais definidos na Figra A.2, ma mdança de coordenadas qe transforme o referencial 1 no referencial 4, i.e., qe transforme o referencial da órbita do satélite no referencial da Terra. Esta transformação é dada por [14]: ( Ω er ) ( + ω) ( Ω er ) ( ) ( + ω) ( er ) ( ω) ( er ) ( ) ( ω) sin () sin ( ω) x4 rcos cos v rsin cos i sin v y 4 = rsin Ω cos v + + rcos Ω cos i sin v + z r i v+ 4 (A.1) em qe r é a distância eclidiana do satélite ao centro da Terra, v é a anomalia verdadeira e Ω er =Ω Ω eter é o ânglo entre o nó ascendente e o meridiano de Greenwich, onde e Ω é a velocidade de rotação da Terra e t er é tal qe qando t er = 0 o meridiano de Greenwich está alinhado com o eqinócio de vernal. A transformação de coordenadas definida em (A.1) permite referenciar a posição do satélite em ECEF. Para se determinar todos os termos necessários para efectar a transformação (A.1) é necessário recorrer às efemérides obtidas através do processamento do sinal GPS qe é recebido pelo receptor. A Tabela A.1 contém os dados das efemérides provenientes do sinal necessários para determinar as coordenadas do satélite em ECEF. 53

72 Anexo A. Coordenadas ECEF Tabela A.1 Dados das efemérides. Variável Unidades Descrição M 0 Δ n e Semicírclos Semicírclos/segndo Adimensional Anomalia média fracção de m período orbital expressa como m ânglo para o tempo de referência Termo de correcção do movimento médio velocidade de progresso do satélite em torno da órbita Excentricidade qantifica o desvio entre a órbita elíptica e a circlar Ω 0 a metros Raiz qadrada do semi-eixo maior Semicírclos Ascensão recta no plano da órbita ânglo formado pelo meridiano do ponto vernal e a órbita do satélite Ω Semicírclos/segndo Velocidade de ascensão recta i 0 Semicírclos Ânglo de inclinação ω Semicírclos idot Semicírclos/segndo Velocidade de inclinação C c Radianos C s Radianos C rc C rs C ic C is Metros Metros Radianos Radianos Argmento do perige ânglo desde o nó ascendente até ao ponto do perige Termo de correcção harmónica da amplitde do co-seno do argmento da latitde Termo de correcção harmónica da amplitde do seno do argmento da latitde Termo de correcção harmónica da amplitde do co-seno do raio da órbita Termo de correcção harmónica da amplitde do seno do raio da órbita Termo de correcção harmónica da amplitde do co-seno do ânglo de inclinação Termo de correcção harmónica da amplitde do seno do ânglo de inclinação t oe Segndos Tempo de referência da efeméride Estes valores alimentam m algoritmo, descrito na Tabela A.2, qe permite calclar a posição de m satélite nm referencial ECEF para m dado instante. Para se obter ma informação mais detalhada sobre o algoritmo consltar [14]. 54

73 A.2. Coordenadas ECEF do Satélite Tabela A.2 Determinação das coordenadas ECEF do satélite. Etapas Descrição μ = m s Parâmetro niversal gravitacional da Terra 5 e rad / s Velocidade de rotação da Terra Ω = n ( a) 2 a = Semi-eixo maior 3 0 μ / = a rad s Movimento médio comptado t = t t Tempo de referência da efeméride k 0 oe n = n +Δ n Movimento médio corrigido M = M + nt Anomalia média 0 k E = M + esin( E ) Eqação de Kepler para anomalia excêntrica k k k 1 cos( Ek ) e v1 = cos 2 Anomalia real do co-seno 1 e cos( Ek ) v = sin e sin( Ek ) 1 ecos( Ek ) ( ) 1 2 Anomalia real do seno v = v sgn v Anomalia real k φ = f + ω Argmento da latitde k k δμ = C cos(2 φ ) + C sin(2 φ ) Correcção da segnda harmónica para o argmento da latitde k c k s k δ r = C cos(2 φ ) + C sin(2 φ ) Correcção da segnda harmónica para o raio k rc k rs k δi = C cos(2 φ ) + C sin(2 φ ) Correcção da segnda harmónica para a inclinação k ic k is k μ = φ + δμ Argmento da latitde corrigido k k k r = a(1 ecos( E )) + δ r Raio corrigido k k k ik = i0 + δik + ( idot) tk Inclinação corrigida Ω =Ω + ( Ω Ω ) t Ω t Longitde do nó ascendente corrigida k 0 0 k e oe x' = r cos( μ ) Coordenada X no plano da órbita k k k y' = r sin( μ ) Coordenada Y no plano da órbita k k k x = x' cos( Ω ) y' cos( i )sin( Ω ) Coordenada X em ECEF k k k k k k y = x' sin( Ω ) + y' cos( i )cos( Ω ) Coordenada Y em ECEF k k k k k k z = y' sin( i ) Coordenada Z em ECEF k k k 55

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75 Anexo B Dilição da Precisão A dilição da precisão (DOP - Diltion Of Precision) é ma medida sada para avaliar a precisão da posição de m tilizador do sistema GPS. Existem várias maneiras de definir a DOP, mas todas elas dependem da geometria dos satélites e da posição do tilizador. Se recorrermos ao sistema linearizado das eqações da psedo-distância para qatro satélites obtém-se [12]: em qe: δρ α α α δ x δρ 2 α21 α22 α 23 1 δ y δρ 3 = α31 α32 α33 1 δ z δb δρ N α N1 α N2 α N3 1 α = i1 x α X ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i (B.1) (B.2) α α i2 i3 = = y Y ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i z Z ( X x ) + ( Y y ) + ( Z z ) i i i i (B.3) (B.4) e δ x, y δ, δ z, δ b e δρi são os incrementos diferenciais de x, respectivamente. Deste modo define-se a matriz: T ( αα) A A A A A A A A = A31 A32 A33 A34 A A A A y, z, b e ρ i, (B.5) em qe A ij representa o elemento da matriz T 1 ( α α) na linha i e colna j. 57

76 Anexo B. Dilição da Precisão A DOP geométrica (GDOP Geometry DOP) é definida por GDOP = A11 + A22 + A33 + A44 (B.6) A DOP da posição (PDOP Position DOP) é dada por: PDOP = A11 + A22 + A33 (B.7) A DOP horizontal (HDOP Horizontal DOP) é dada por: A DOP vertical (VDOD Vertical DOP) é dada por: A DOP do tempo (TDOD Time DOP) é dada por: HDOP = A11 + A22 (B.8) VDOP = A 33 (B.9) TDOP = A 44 (B.10) Um menor valor da DOP significa ma melhor geometria dos satélites para calclar a posição do tilizador [12]. A DOP pode ser tilizada como critério para seleccionar o melhor conjnto de satélites de modo a obter ma posição do tilizador mais precisa. 58

77 Anexo C Sinal GPS Cada satélite GPS transmite simltaneamente em das bandas de freqência, ma a MHz (banda L 1 ) e otra a MHz (banda L 2 ), qe são múltiplas de 10.23MHz, a freqência do relógio interno. Estas das freqências são modladas em fase (BPSK Binary Phase-Shift Keying) [12] por ma seqência psedo-aleatória e por ma mensagem de navegação contendo a informação necessária para o cálclo da posição do satélite. C.1 Código C/A e Código P A portadora L 1 é modlada por ma componente em fase (código C/A Coarse/Acqisition Code) (Figra C.1) e ma em qadratra (código P Precision Code). Por sa vez, a portadora L 2 é modlada somente pelo código P, qe não está disponível para so civil. Portadora L 1 Código C/A Mensagem de navegação Mltiplicador Mltiplicador Sinal GPS Figra C.1 Constrção do sinal GPS a partir da modlação em fase da portadora L. 1 O código C/A consiste nma seqência periódica de implsos nitários psedoaleatórios, com m período total de 1ms, a ma freqência de 1.023MHz. Este código por sa vez codifica a mensagem de navegação qe é enviada a m ritmo de 50bit/s (Figra C.2). 59

78 Anexo C. Sinal GPS 1bit (20ms) Mensagem de navegação 50bps 1ms Um bit em código C/A 20 períodos de código/bit 1 implso (0.9775μs) Um período do código C/A 1023 implso/período Portadora L MHz Figra C.2 Estrtra do sinal GPS a partir da modlação em fase da portadora L. 1 O código C/A foi criado com o objectivo de: Permitir medições simltâneas e precisas de vários satélites Resistir a erros de mlti-percrso Protecção contra interferências maliciosas (jamming) Para permitir o envio e a aqisição de informação em simltâneo sa-se CDMA (Code Division Mltiple Access), qe só é possível porqe os sinais de cada satélite têm correlação crzada nla. Com a fnção de diminir os erros casados por mlti-percrso, e otro tipo de interferências, o código C/A apresenta ma densidade espectral de potência baixa, i.e., a potência do sinal encontra-se espalhada por ma banda de freqência relativamente grande (2MHz). O código P, de modo semelhante ao código C/A, baseia-se nma seqência periódica de implsos nitários com ma modlação em fase a ma freqência de 10.23MHz, dez vezes sperior ao código C/A. Este código não é transmitido directamente pelo satélite, sendo modificado primeiro por m código Y, razão pela qal se denomina reglarmente de código P(Y). Devido à estrtra inerente do código, como a largra de banda e freqência, ele é mais robsto contra interferências exteriores (como spoofing e jamming) e mais preciso qe o código C/A. Este código, tal como foi referido, não está disponível para so civil. 60

79 C.2. Estrtra da Mensagem de Navegação C.2 Estrtra da Mensagem de Navegação A mensagem de navegação, como foi referido anteriormente, contém parâmetros qe permitem resolver o problema de posicionamento em GPS. A informação principal contida na mensagem consiste em: Almanaqe dos satélites: estes dados são transmitidos por cada satélite e contém informação poco precisa sobre as órbitas de todos os satélites qe, apesar de não permitirem calclar a posição, podem ser gardados no receptor, sendo válidos por vários meses. Com estes parâmetros é possível ao tilizador saber qais os satélites visíveis nm dado sítio, de modo a iniciar primeiro a procra destes qando o aparelho GPS é ligado pela primeira vez (Anexo C.3) Efemérides do satélite: é ma informação semelhante à do almanaqe mas mito mais precisa e relativa apenas ao satélite qe a envio. Estes dados permitem calclar com rigor a posição do satélite e são válidos apenas por pocas horas Temporização do sinal: é ma etiqeta imposta na mensagem qe permite ao tilizador calclar o tempo de emissão de pontos específicos do sinal GPS, e conseqentemente o tempo qe o sinal demora a percorrer entre o satélite e tilizador Atraso ionosférico: contém parâmetros para realizar estimativas do atraso ionosférico de modo a melhorar a performance do GPS Estado do satélite: esta informação permite ao tilizador saber o estado de fncionamento do satélite, de modo a poder ignorá-lo caso não esteja a operar correctamente Estes dados estão segmentados de igal maneira em todos os satélites. Basicamente ma mensagem de navegação completa consiste em 25 tramas de 1500 bits. Cada ma destas tramas está dividida em 5 sb-tramas de 300 bits. A ma taxa normal de transmissão (50 bit/s) ma mensagem de navegação demora 750 segndos (12.5 mintos) a ser recebida, o qe no pior dos casos pode levar ao tempo de inicialização de m aparelho GPS (recepção completa de ma mensagem de navegação) a ser praticamente o dobro. A primeira sb-trama contém m conjnto de coeficientes qe permitem realizar correcções do relógio do satélite. A segnda e terceira sb-tramas são praticamente constantes ao longo da mensagem, pois contêm informação precisa relativa às efemérides do satélite 61

80 Anexo C. Sinal GPS emissor da mensagem. As das últimas sb-tramas variam ao longo da mensagem e contêm informação do almanaqe, correcções ionosféricas e estado de saúde do satélite. Nma trama apenas sege ma página (1 25 da informação) do almanaqe, razão pela qal ma mensagem de navegação é composta por m total de 25 mensagens (Figra C.3). Sb-trama Estrtra 1 TLM HOW Correcção de relógio 2 TLM HOW Efemérides do satélite 3 TLM HOW Efemérides do satélite 4 TLM HOW Atraso ionosférico, Mensagens especiais, etc. 5 TLM HOW Almanaqe, Saúde do satélite, etc. Figra C.3 Estrtra de ma trama da mensagem de navegação. Existem também dois campos no início de todas as sb-tramas: a TLM (Telemetria) e HOW (Hand-Over Word). O preâmblo do campo TLM permite ao tilizador detectar m começo de ma sb-trama. Os restantes bits são reservados o de paridade. O campo HOW contém a identificação do número da sb-trama, e informação qe permite determinar ao tilizador o tempo de emissão da sb-trama. C.3 Aqisição e Segimento do Sinal GPS Qando o tilizador liga m receptor de GPS, antes de se descodificar a informação no sinal é necessário realizar a aqisição e o segimento do sinal GPS. Definem-se m conjnto de operações a realizar para exectar esta tarefa: 1. Determinação dos satélites visíveis 2. Determinação do desfasamento Doppler aproximado para cada satélite visível 3. Procrar o sinal na freqência e na fase do código C/A 4. Detectar a presença do sinal e confirmar a sa detecção 5. Fixar e segir o código C/A 6. Fixar e segir a portadora 7. Realizar sincronização de bits 8. Desmodlar a mensagem de navegação 62

81 C.3. Aqisição e Segimento do Sinal GPS A primeira vez qe m receptor é ligado é necessário procrar todos os satélites de forma exastiva para determinar qais são visíveis. Este intervalo de tempo de procra é designado de TTFF (Time To First Fix). É possível redzir o TTFF, em algns receptores, introdzindo as coordenadas aproximadas do tilizador e sando a informação do almanaqe, de modo a limitar a procra de satélites. Pode-se também introdzir a hora aproximada, apesar da maior parte dos receptores terem m relógio sficientemente preciso e qe opera mesmo com o aparelho desligado. Através da estimativa do desfasamento de Doppler (casado pelo movimento do satélite) do sinal GPS dos satélites visíveis é possível definir m padrão de procra na freqência mais eficiente, em qe as freqências de recepção mais prováveis são procradas em primeiro lgar. O desfasamento de Doppler é calclado com base no conhecimento aproximado da posição, tempo e dados do almanaqe. Apesar do GPS emitir sinais não basta a sintonização de ma simples freqência para receber o sinal, ma vez qe estes têm ma densidade de potência mito baixa (spreadspectrm, como havia sido referido nas propriedades do código C/A), isto é, a potência do sinal está espalhada ao longo de ma banda de freqências vasta. Esta sitação leva a qe seja necessário o despread do sinal recorrendo a ma réplica do código sado (C/A o P) (Figra C.4). Qando ocorre alinhamento dos códigos, obtém-se m pico no espectro de potência e o sinal é detectado. Para encontrar o sinal emitido do satélite, de modo eficiente, é necessário ma procra bidimensional: no atraso do código C/A e na freqência da portadora. Fnção de transferência do filtro para recperação do sinal Densidade de potência do sinal após o despreading Densidade de potência do sinal antes do despreading Densidade de potência do rído Figra C.4 Despread do código C/A. A procra no atraso do código deve ser realizada para cada freqência procrada. O receptor gera códigos igais aos dos satélites e altera o atraso do código em intervalos discretos até encontrar o alinhamento aproximado com o código recebido. 63

82 Anexo C. Sinal GPS A procra na freqência sa os resltados das estimativas de Doppler. Com base na freqência estimada execta ma procra em torno dessa freqência, pois existe maior probabilidade de o sinal se encontrar nma freqência na vizinhança da estimada. Estes métodos de procra do sinal têm m compromisso entre a probabilidade de detecção e m falso alarme. Esta relação é melhor qanto maior for a potência do sinal. Sempre qe ocorre ma falsa detecção tem de se proceder novamente à procra. Assim qe o sinal é detectado é essencial fixá-lo e efectar o segimento da portadora. Isto é necessário para qe o sinal não se perca e se mantenha alinhado, permitindo realizar o despreading. Deste modo, obtém-se ma fase de referência para a desmodlação do sinal. Isto também permite a medição da velocidade (através do ritmo de variação da fase), o cálclo mais preciso do efeito de Doppler para facilitar o segimento do código e a estimativa da psedo-distância através da fase da portadora. Uma vez fixada e segida a portadora, procede-se à sincronização de bits. O método mais simples de o fazer é realizar m histograma com as freqências da portadora em vários intervalos de tempo segidos, onde os intervalos mais freqentes identificam os instantes de tempo qe marcam as fronteiras dos bits. Após a sincronização efecta-se a desmodlação dos bits para se obter a mensagem de navegação. 64

83 Anexo D Álgebra Linear D.1 Mínimos Qadrados O método de mínimos qadrados para sistemas lineares é ma técnica qe permite encontrar ma solção aproximada para m sistema de eqações lineares qe não tem ma solção exacta. Este é m problema recorrente em sistemas onde o número de eqações ( m ) é sperior ao número de incógnitas ( n ). Em termos matemáticos pretende-se encontrar ma solção ˆx para a eqação: Ax = b (D.1) em qe A é ma matriz m n conhecida (com m> n), x é m vector desconhecido de dimensão n e b é o vector de medições conhecido de dimensão m. Mais precisamente, qer-se minimizar o qadrado da norma eclidiana do resído ( Ax b), o seja minimizar: 2 Ax b (D.2) Utilizando o facto da norma qadrada de m vector v ser igal a (D.2) da seginte forma: T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T Ax b Ax b Ax Ax b Ax Ax b b b T vv, pode reescrever = + (D.3) O mínimo de (D.3) é encontrado derivando (D.3) em ordem a x e igalando a zero: T T 2AAxˆ 2Ab= 0 (D.4) A solção do problema é obtida resolvendo: T T AAxˆ = Ab (D.5) T A eqação (D.5) é habitalmente designada por eqação normal. A matriz AA é ma matriz qadrada qe é invertível se a matriz A tiver característica completa igal a n. Neste caso a solção de (D.5) é única e é dada por: ( ) 1 ˆ T T x = AA Ab (D.6) A matriz ( T AA) 1 A T é salmente designada por psedo-inversa de A. 65

84 Anexo D. Álgebra Linear D.2 Mínimos Qadrados Pesados Uma das sposições no método sal de mínimos qadrados é o facto de se considerar qe todas as medições estão sjeitas ao mesmo tipo de erro, i.e., o desvio padrão do erro é considerado constante para todas as medições. Esta consideração nem sempre se enqadra em todos as aplicações. Por exemplo, em GPS, a fase da portadora é mito mais precisa qe a psedo-distância, o seja, o desvio padrão do erro associado à fase da portadora é menor qe o associado à psedo-distância. Em sitações como esta, em qe não é aconselhável tratar todas as observações de igal maneira, é sal recorrer-se a mínimos qadrados pesados para maximizar a eficiência do processo de estimação. O método de mínimos qadrados pesados é em tdo semelhante ao método de mínimos qadrados descrito no Anexo D.1. A única diferença reside no facto do qadrado da norma eclidiana ser ponderada por ma matriz de pesos. Esta condição pode ser descrita matematicamente por: 2 W Ax b (D.7) em qe W é a matriz de pesos das observações com dimensão n n. Usando o facto da norma qadrada de m vector v ser T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T vv, pode reescrever (D.7): T T T T Ax b W Ax b Ax W Ax b WAx Ax Wb b Wb = + (D.8) O mínimo de (D.8) é encontrado derivando (D.8) em ordem a x e igalando a zero: 2 T T AWAxˆ 2AWb= 0 (D.9) A solção do problema é obtida resolvendo: T T AWAxˆ = AWb (D.10) A matriz A T WA é ma matriz qadrada qe é invertível se a matriz A tiver característica completa igal a n. Neste caso a solção de (D.10) é única e é dada por: ( ) 1 ˆ T T x = AWA AWb (D.11) É fácil de verificar qe caso a matriz W seja a identidade, então a estimativa da solção obtida em (D.11) é idêntica à obtida em (D.6). 66

85 D.3. Factorização de Cholesky D.3 Factorização de Cholesky A decomposição de Cholesky (Cholesky, 1905) foi talvez o primeiro método para factorizar ma matriz simétrica definida positiva nm prodto de matrizes trianglares. Estas matrizes são designadas de factores de Cholesky. Um factor de Cholesky C de ma matriz simétrica positiva definida A é tal qe: em qe C é ma matriz trianglar inferior. T CC = A (D.12) A factorização de Cholesky é freqentemente tilizada na resolção de sistemas de eqações lineares na forma Ax sistema Ax = b. Se A for ma matriz simétrica positiva definida, então o = b pode ser resolvido calclando primeiro a factorização de Cholesky da matriz A e resolvendo o sistema Cy Sistemas na forma Ax = b, para y, e depois resolvendo o sistema T C x = y, para x. = b com A simétrica positiva definida são bastante comns, nomeadamente os sistemas de eqações normais em problemas de mínimos qadrados lineares. Os coeficientes do factor de Cholesky podem ser obtidos igalando os coeficientes dos dois lados da eqação (D.12). Seja A ma matriz n n vem qe: c c11 c12 c1 n a11 a12 a1 n c21 c c22 c 2n a21 a22 a 2n = c c c 0 0 c a a a n1 n2 nn nn n1 n2 nn em qe os coeficientes, para i = 1,, n e j = i+ 1,, n, são dados por: (D.13) c a c c a c c c i 1 i 1 2 ii = ii ik e ji = ji jk ik ii k= 1 k= 1 (D.14) Se A for definida positiva então os coeficientes são sempre reais. A implementação da factorização de Cholesky foi retirada do pacote de fnções LINPACK [32] para C++. 67

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87 Anexo E LAMBDA: Complementos E.1 Transformação-Z A transformação-z é introdzida decompondo-se a matriz de co-variância em qe L é ma matriz inferior e D ma matriz diagonal. Q aˆ Q â em: T = L DL (E.1) O objectivo da transformação-z é determinar ma matriz Z, qe seja próxima da inversa da matriz L. Caso se consiga encontrar ma matriz de inteiros Z igal a Se Qẑ zˆ T T T aˆ 1 L, então: Q = Z Q Z = Z L DLZ = D (E.2) = D, as ambigidades ẑ estão completamente descorrelacionadas e a minimização inteira é redzida a m simples processo de arredondamento da solção em vírgla fltante estimada [21]. Na prática ma descorrelação completa raramente é possível devido à natreza inteira da solção, logo diagonal, sendo possível decompô-la em: em qe L é ma matriz inferior e D ma matriz diagonal. Analisando (E.3), a matriz de co-variância Q zˆ Q ẑ raramente será ma matriz estritamente T = L DL (E.3) Q ẑ é próxima da matriz diagonal D qando os elementos não-diagonais de L são mito peqenos. Este reqisito é atingido recorrendo a transformações inteiras de Gass [23]. Deste modo a minimização (4.9) é transformada em: 2 1 Qzˆ m min z zˆ com z (E.4) z É possível, através de permtações, amentar a eficiência do processo de bsca, ordenando decrescentemente as entradas da matriz diagonal D [24], o seja: d d d (E.5) 1 2 m em qe d i é o elemento i da diagonal da matriz D. 69

88 Anexo E. LAMBDA: Complementos E.2 Determinação de 2 χ O desempenho comptacional do método LAMBDA está dependente da determinação 2 da constante positiva χ qe controla a dimensão da região do elipsóide. Este valor não pode ser demasiado peqeno para se garantir qe o espaço de procra contém a solção a qe 2 satisfaz (4.9). Por otro lado, m valor de χ demasiado elevado pode resltar nm espaço de procra mito grande, o qe tornaria o método ineficiente. Na implementação proposta por 2 Tenissen [7], o valor de χ permanece constante drante todo o processo de procra. O método qe permite determinar o valor de χ 2 fixa-o inicialmente em infinito. Spondo qe se pretende obter as q melhores solções para o problema de minimização 2 (4.12) é necessário definir m valor de χ qe as contenha. Assim começa-se por determinar o primeiro candidato através do arredondamento da solção em vírgla fltante: 1 2 () 1 ˆ ˆ ˆ em qe z ˆi representa o inteiro mais próximo de z ˆi T z = z z z m (E.6) O segndo candidato é igal ao primeiro, exceptando o primeiro elemento qe será o segndo valor inteiro mais próximo de ẑ 1. O terceiro candidato é obtido de forma análoga com a excepção para a primeira entrada qe será igal ao terceiro valor inteiro mais próximo de ẑ 1. Aplicando m método semelhante pode obter-se os restantes candidatos ( m candidatos no total). Analisando (4.19) retira-se qe: () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f z 1 f z 2 f z q (E.7) ( q) ( ) 2 O valor de χ é então fixado em f z, redzindo a região do elipsóide. 70

89 Anexo F Filtragem Kalman A filtragem Kalman (Kalman, 1960) [29] é m algoritmo recrsivo eficiente para estimar o estado de m sistema dinâmico, qe consege combinar o modelo da dinâmica do sistema e o modelo observações, cada m com rído associado. Para sistemas em qe o modelo da dinâmica e o modelo das observações é linear e os rídos associados são Gassianos, a estimativa do filtro Kalman é óptima. O estado de m sistema é dado por m conjnto de variáveis de interesse, também chamadas de variáveis de estado. O estado de m sistema evoli em fnção do estado no instante anterior e de algma acção qe haja sobre o sistema. Normalmente não se tem acesso directo às variáveis de estado, mas é possível fazer observações do sistema qe são fnções do estado no mesmo instante. Neste Anexo aborda-se a filtragem Kalman para sistemas lineares e as possíveis aplicações ao sistema GPS. F.1 Modelo da Dinâmica e das Observações Qando se aplica a filtragem Kalman a m sistema dinâmico, é necessário, em primeiro lgar, definir como estas evolem ao longo do tempo, de modo a definir a dinâmica do sistema em estdo. De m modo geral define-se qe m sistema linear nm instante k evoli de m estado no instante k 1 de acordo com: x = F x + B a + (F.1) k k k 1 k k k em qe: x k é o vector de variáveis de estado no instante k k F é o modelo de transição de estado qe é aplicado a estado anterior k 1 B k é o modelo da entrada de controlo aplicada ao vector de controlo a k k é o rído do processo qe pode ser modelado por rído branco Gassiano de x média nla com co-variância Q, N(0, Q ) k k 71

90 Anexo F. Filtragem Kalman A introdção de rído no modelo da dinâmica é encarada como a impossibilidade de modelar a física do sistema de modo perfeito. A co-variância tem no modelo. Q k qantifica a incerteza qe se Em segndo lgar é preciso definir m modelo das observações do nosso sistema. Nm instante k ma observação do estado x k é dada por em qe: zk = H xk + wk (F.2) H k é o modelo de observações qe mapeia o espaço de estados no espaço das observações w k é o rído das observações qe pode ser modelado por rído branco Gassiano de média nla com co-variância R, N(0, R ) k O so de rído no modelo das observações é encarado como a falta de precisão dos sensores qe exectam as medições sobre o sistema. k F.2 Comptação do Filtro: Predição e Filtragem Uma vez definidos os modelos da dinâmica e das observações do sistema, o filtro Kalman tem de ser inicializado. O estado do filtro é representado por das variáveis: x ˆk, a estimação do estado no instante k P k, a matriz de co-variância da estimação (medida do erro na estimação do estado) Como o filtro Kalman é m estimador recrsivo, apenas é necessário a estimativa do estado anterior e respectiva co-variância do instante anterior. É então necessário definir o estimador do estado inicial ˆx 0 e a incerteza qe se tem nesta estimação (através de ma matriz de co-variância P 0 ). Ao longo dos instantes segintes o filtro Kalman vai actalizando as estimativas e respectivas co-variâncias, através do ciclo de comptação com das etapas distintas: predição e filtragem. 72

91 F.2. Comptação do Filtro: Predição e Filtragem Inicialização Predição Filtragem Figra F.1 Ciclo de comptação do filtro Kalman. Na fase de predição, a estimativa do estado anterior xk 1 é propagada de acordo com o modelo da dinâmica do sistema e a co-variância Pk 1 é actalizada de acordo com a covariância associada à dinâmica, Q. De modo mais concreto: xˆ = F xˆ + B a (F.3) k k k 1 k k em qe: xˆk é o estado predito no instante k P = F P F + Q (F.4) k k k 1 k k P k é a matriz de co-variância da estimação predita Em segida, realiza-se a fase de filtragem qe é iniciada com as observações sobre o sistema. Esta informação é depois sada para actalizar o estado predito e a co-variância associada, de acordo com as eqações: em qe: K k é o ganho de Kalman óptimo xˆ = xˆ + K ( z H xˆ ) (F.5) k k k k k k P = ( I K H ) P (F.6) k k k k H xˆ é a observação predita no instante k k k I é ma matriz identidade O ganho de Kalman K k é capaz de pesar de modo óptimo o resído criado entre a observação realizada e a observação predita ( z H xˆ ), de modo a obter-se melhor k k k estimativa do estado actal possível [29]. Em algns instantes pode não ser possível efectar medições no sistema, sendo apenas propagado o modelo da dinâmica, sem qe haja o passo de filtragem propriamente dito. 73

92 Anexo F. Filtragem Kalman F.3 Aplicação: Trajectória do Utilizador Uma aplicação simples e directa do filtro Kalman em problemas de posicionamento em GPS é a filtragem da posição do tilizador. As principais vantagens são: Filtragem do rído da trajectória, levando em conta a dinâmica do sistema Predição da trajectória mesmo qando não há satélites sficientes para calclar a posição F.3.1 Modelo da Dinâmica e das Observações O modelo da dinâmica de m sistema é definido mitas vezes de modo experimental o pela própria física. Não havendo acesso a parâmetros internos nem conhecimentos a priori do sistema em casa, não é possível definir m modelo da dinâmica preciso. Este é o caso qando se sa o sistema GPS de modo independente. Para contornar este problema sa-se m modelo linear de dinâmica geral em qe as acelerações são dadas pelas derivadas das velocidades, qe por sa vez são dadas pelas derivadas das posições. As posições consideram-se a latitde, longitde e altitde em preferência às coordenadas ECEF, pois a trajectórias a serem filtradas ficam nm sistema mais intitivo, correspondente à sperfície da Terra. Usando a forma expressa em (F.1) ficase com o modelo: 2 xk Ta 0 0 T x a k 1 2 y k y Ta Ta k 1 2 z k Ta 0 0 T 2 z a k 1 vxk, Ta 0 0 vxk, 1 v yk, = Ta 0 vyk, 1 + vzk, Ta vzk, 1 a xk, a xk, 1 ayk, ayk, 1 a zk, a zk, 1 k (F.7) em qe: xk, yk, z k são a latitde, longitde e altitde no instante k, respectivamente v, v, v são as velocidades segndo a latitde, longitde e altitde no x, k y, k z, k instante k, respectivamente 74

93 F.3. Aplicação: Trajectória do Utilizador a, a, a são as acelerações segndo a latitde, longitde e altitde no x, k y, k z, k instante k, respectivamente T a é intervalo de tempo de amostragem das variáveis de estado k tem associado ma matriz de co-variância Q k de dimensão 9 9 De modo mais intitivo, fica-se com o modelo diferencial eqivalente: x vx y v x z v z v x ax v y = a y + v z az a x 0 a y 0 a z 0 k (F.8) x em qe x =, t y y =, t z z =, t v v = e t a a =, isto é, as derivadas em ordem ao tempo. t As observações do sistema são os valores finais obtidos pelos algoritmos de posicionamento, isto é, a latitde, a longitde e a altitde, qe são variáveis de estado. Facilmente se obtém m modelo no formato de (F.2): x y z k xobs, k vxk, y = v + w obs, k yk, z obs, k vzk, a a a k k xk, yk, zk, k (F.9) em qe x, y, z são as observações do sistema no instante k : latitde, longitde obs, k obs, k obs, k e altitde, respectivamente w k tem associado ma matriz de co-variância R k de dimensão

94 Anexo F. Filtragem Kalman Utilizando o modelo da dinâmica e modelo das observações previamente definidos, pode-se aplicar a filtragem Kalman a ma trajectória de m tilizador. Na Figra F.2 mostram-se a filtragem de ma trajectória, onde é diminído o rído da mesma, e a predição de ma trajectória, qando não há satélites sficientes para calclar a posição. Os rídos associados aos modelos sados nestes resltados são descritos em mais detalhe no Anexo F.3.2. Figra F.2 Filtragem (esq.) e predição (dir.) de trajectórias. F.3.2 Ajste das Matrizes de Co-variância Q k e R k O bom fncionamento do filtro Kalman está dependente da fiabilidade dos modelos de dinâmica e de observação [29]. É essencial consegir qantificar a incerteza dos modelos através das matriz de co-variância Q k e R k. Para simplificar este problema considera-se qe matrizes de co-variância são constantes ao longo do tempo e diagonais, isto é, o rído de cada variável é constante e incorrelacionado com os otros. Apesar de não ser verdade no sistema definido, é ma boa aproximação. Partindo deste princípio, o problema da determinação das matrizes de covariância resme-se ao cálclo da variância de cada variável em ambos os modelos. A matriz R k pode ser determinada experimentalmente, ma vez qe está associada à precisão dos algoritmos de posicionamento. O procedimento sado consiste em calclar várias posições de ma estação fixa, ao longo de m período alargado de tempo, e calclar a variância destes pontos para cada ma das variáveis observadas: latitde, longitde e altitde. 76

95 F.3. Aplicação: Trajectória do Utilizador Posição real Figra F.3 Histograma de posicionamento em longitde e latitde. A constrção da matriz Q k é mais complexa e com m carácter mais sbjectivo. A variância de cada variável de estado não pode ser calclada de modo experimental, ma vez qe não há conhecimento do sistema qe sará o posicionamento por GPS. O método consisti em testar conjntos de valores em várias experiências de posicionamento e afiná-los para obter os melhores resltados. Por melhores resltados, entende-se aqeles em qe o filtro mostro ser capaz de diminir o rído das trajectórias e segi-las com poco atraso. Qanto maiores forem os valores de trajectória filtrada se aproximará das observações realizadas. Q k, o seja, o modelo da dinâmica é poco fiável, mais a Figra F.4 Filtragem da trajectória com Q k baixo (esqerda) e Q k elevado (direita). 77

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97 Anexo G Receptores GPS Neste Anexo descrevem-se os receptores GPS sados para recolher os dados qe permitiram efectar os testes necessários para analisar os algoritmos implementados: Ashtech AC12 (Figra G.1), Ashtech GG24 (Figra G.2) e Ashtech DG14 (Figra G.3). G.1 Ashtech AC12 G.1.1 Descrição Figra G.1 Placa OEM AC12 [Fonte: Thales Navigation]. O Ashtech AC12 [33] é ma placa de baixo csto qe fornece, além da psedodistância, ma fase da portadora precisa. Esta é ma característica qe só era encontrada em receptores com m csto mito elevado. O AC12 foi concebido para integração de sistemas, oferecendo posicionamento absolto o posicionamento através de DGPS. Entre otras características realça-se o facto de ter baixo consmo, de ter dimensões redzidas e de sar o protocolo NMEA (National Marine Electronics Association). A placa OEM AC12 processa sinais, provenientes da constelação de satélites GPS e de satélites do SBAS (Satellite-Based Agmentation System). Esta última fncionalidade permite realizar DGPS sem cstos adicionais. 79

98 Anexo G. Receptores GPS G.1.2 Especificações Técnicas Características Standard: Receptor GPS de 12 canais e até 2 canais para SBAS Portadora L1, código e fase DGPS remoto 1Hz de taxa de actalização máxima Sporte para WAAS/EGNOS Velocidade (máxima) 514m/s Altitde (máxima) m Precisão: Atónomo: o Horizontal CEP 3.0m o Horizontal 95% 5.0m DGPS: o Horizontal CEP 0.8m o Horizontal 95% 1.5m Medições da fase da portadora com ma precisão de 3mm (RMS). Tempo de Aqisição: Hot start Warm start Cold start Placa AC12 OEM: Dimensões: mm Peso: 45.4g Alimentação: 3.3 a 5.0V Consmo de potência: 1W < 10seg < 45seg < 150seg 80

99 G.2. Ashtech GG24 G.2 Ashtech GG24 G.2.1 Descrição Figra G.2 Placa OEM GG24 [Fonte: Thales Navigation]. O Ashtech GG24 [34] é m receptor qe permite conciliar a informação proveniente do sistema GPS com a do sistema GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System), o eqivalente Rsso ao sistema GPS, para melhorar a precisão. Uma das principais vantagens da integração do GPS com o GLONASS é a possibilidade de amentar o número de satélites visíveis pois, para além dos 24 satélites GPS disponíveis qe orbitam em torno da Terra, também se tem acesso aos 13 satélites GLONASS disponíveis. Assim, e ma vez qe a probabilidade de ter mitos satélites visíveis é maior, é possível amentar a precisão com qe se determina a posição do tilizador do sistema GPS, ma vez qe a geometria dos satélites pode ser melhorada. G.2.2 Especificações Técnicas Características Standard: 12 canais GPS L1 código e fase 12 canais GLONASS L1 código e fase DGPS remoto Sporta RTK 2.5Hz de taxa de actalização máxima Velocidade (máxima) 514m/s Altitde (máxima) m 81

100 Anexo G. Receptores GPS Precisão: Atónomo: o Horizontal CEP 3.2m o Horizontal 95% DGPS: não disponível. o Horizontal CEP 0.4m o Horizontal 95% Tempo de Aqisição: Hot start Warm start Cold start Placa GG24 OEM: Dimensões: cm Peso: 500g Alimentação: 5.0V Consmo de potência: 2.3W não disponível. não disponível < 30seg < 40seg G.3 Ashtech DG14 G.3.1 Descrição Figra G.3 Placa OEM DG14 [Fonte: Thales Navigation]. O Ashtech DG14 [35] é ma placa de nova geração de baixo csto qe fornece, além da psedo-distância, ma fase da portadora precisa. Esta é ma característica qe só era encontrada em receptores com m csto mito elevado. O DG14 foi concebido para 82