Răzvan Gelca (Fortaleza, Brasil)
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- Ilda Lancastre de Almeida
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1 TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS Răzvan Gelca (Fortaleza, Brasil)
2 ISOMETRIAS Răzvan Gelca
3 ISOMETRIAS Răzvan Gelca (USA) Parte do livro Geometric transformations com Carlos Yuzo-Shine (Brasil) e Ionuţ Onişor (Romênia).
4 Teorema de Pitágoras (Πυθαγóρας) Num triângulo retângulo a suma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
5 Teorema de Pitágoras (Πυθαγóρας) Num triângulo retângulo a suma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
6 Aqui ha uma demostração con transformaçoes geométricos:
7 Vamos translatar o triângulo rouxo com ângulo reto S no triângulo rouxo com ângulo reto R.
8 O triângulo rouxo ABC transforma-se nos outros triângulos rouxos por uma rotação de ângulo 90.
9 Por isso, os paralelogramas verdes têm a mesma área, e também os paralelogramas vermelhos têm a mesma área.
10 Outro ponto de vista da mesma demostração (que é uma versão da demostração de Euclides - Eὺκλɛίδης):
11 O triângulo MBC gira no triângulo ABQ.
12 O triângulo MBC gira no triângulo ABQ.
13 A área do triângulo MBC é igual a metade da área do retângulo ABMN
14 A área do triângulo MBC é igual a metade da área do retângulo ABMN e também a área de ABQ é a metade da área de BDEQ.
15 Passamos para outra parte da matemática...
16 Passamos para outra parte da matemática, teoria dos números.
17 Passamos para outra parte da matemática, teoria dos números. Teorema de Wilson Seja p um número primo. Então (p 1)! + 1 é divisível por p.
18 Passamos para outra parte da matemática, teoria dos números. Teorema de Wilson Seja p um número primo. Então (p 1)! + 1 é divisível por p. Exemplos: (2 1)! + 1 = 2 = 2 1 (3 1)! + 1 = 3 = 3 1 (5 1)! + 1 = 25 = 5 5 (7 1)! + 1 = 721 = (11 1)! + 1 = =
19 O caso p = 2 é claro, por isso fazemos a demostração no caso p 3.
20 O caso p = 2 é claro, por isso fazemos a demostração no caso p 3. Consideremos p pontos que saõ os vértices de um poĺıgono regular.
21 O caso p = 2 é claro, por isso fazemos a demostração no caso p 3. Consideremos p pontos que saõ os vértices de um poĺıgono regular. Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos?
22 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? Aqui ha um exemplo:
23 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? O primeiro vértice pode ser escolhido em p modos,
24 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? O primeiro vértice pode ser escolhido em p modos, o segundo vértice pode ser escolhido em p 1 modos,
25 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? O primeiro vértice pode ser escolhido em p modos, o segundo vértice pode ser escolhido em p 1 modos, o terceiro em p 2 modos,...
26 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? O primeiro vértice pode ser escolhido em p modos, o segundo vértice pode ser escolhido em p 1 modos, o terceiro em p 2 modos,... O número total é: p(p 1)(p 2) 1 = p!.
27 Pergunta: Quantos poĺıgonos existem cujos vértices sejam os p pontos? O primeiro vértice pode ser escolhido em p modos, o segundo vértice pode ser escolhido em p 1 modos, o terçeiro em p 2 modos,... O número total é: p(p 1)(p 2) 1 = p!. Porém...
28 Podemos començar com cada vértice do poĺıgono, e por isso contamos cada poĺıgono p vezes.
29 Podemos començar com cada vértice do poĺıgono, e por isso contamos cada poĺıgono p vezes. E também, podemos andar na outra direção, deste modo contamos cada poĺıgono duas vezes.
30 Podemos començar com cada vértice do poĺıgono, e por isso contamos cada poĺıgono p vezes. E também, podemos andar na outra direção, deste modo contamos cada poĺıgono duas vezes. Concluímos que o número total de poĺıgonos é: p! 2p (p 1)! =. 2
31 Podemos començar com cada vértice do poĺıgono, e por isso contamos cada poĺıgono p vezes. E também, podemos andar na outra direção, deste modo contamos cada poĺıgono duas vezes. Concluímos que o número total de poĺıgonos é: p! 2p E agora pedimos algo mais dificil: (p 1)! =. 2 Contar o número de poĺıgonos, se identificamos poĺıgonos por rotações.
32 Por exemplo, os seguintes polı gonos sa o ide nticos:
33 Porque p e um nu mero primo, os unicos polı gonos que sa o invariaveis por rotac o es sa o os polı gonos estrelados:
34 Contamos os polı gonos estrelados usando a lado que comec a em A1, porque o polı gono e determinado por este lado. Temos p 1 posibilidades.
35 Contamos os poĺıgonos estrelados usando a lado que começa em A 1, porque o poĺıgono é determinado por este lado. Temos p 1 posibilidades. Mas neste caso contamos cada poĺıgono duas vezes, e por isso existem poĺıgonos estrelados. p 1 2
36 Obtemos que existem (p 1)! p 1 = 2 2 poĺıgonos que não são estrelados. (p 1)! p 2
37 Cada poĺıgono que não é estrelado, é identificado com p 1 outros.
38 Cada polı gono que na o e estrelado, e identificado com p 1 outros.
39 Cada polı gono que na o e estrelado, e identificado com p 1 outros.
40 Cada polı gono que na o e estrelado, e identificado com p 1 outros.
41 Cada polı gono que na o e estrelado, e identificado com p 1 outros.
42 Cada polı gono que na o e estrelado, e identificado com p 1 outros.
43
44 Concluímos que a resposta da pergunta é: p p [ (p 1)! p 2 ] = 1 2 [ p + ] (p 1)! + 1 p 1.
45 p. Concluímos que a resposta da pergunta é: 1 2 [ p + ] (p 1)! + 1 p 1. Isso e um número inteiro somente se (p 1)! + 1 é divisível por
46 Concluímos que a resposta da pergunta é: 1 2 [ p + ] (p 1)! + 1 p 1. Isso e um número inteiro somente se (p 1)! + 1 é divisível por p. QED.
47 Voltemos a geometria.
48 Voltemos a geometria. Theorema de Pompeiu Seja ABC um triângulo equilátero, e seja P um ponto no plano. Então existe um triângulo com lados P A, P B, P C.
49 Demonstração:
50 Demonstração: Rodamos o triângulo ABC em torno de C com 60.
51 Demonstração: CP = CQ, CP Q = 60.
52 Demonstração: CP Q é equilátero.
53 Demonstração: Olhe o triângulo AP Q!
54 Demonstração: AP, AQ = BP, P Q = CP.
55 E agora um problema de combinatória, da Olimpiada de Matemática de Bulgária.
56 Problema Temos 2000 bolas azuis numa caixa. Temos também suficentes bolas azuis, verdes, e vermelhas, inicialmente fora da caixa. Cada vez podemos substituir duas bolas na caixa do seguinte modo: duas azuis com uma verde, duas vermelhas com uma verde, duas verdes com uma azul e uma vermelha, uma azul e uma verde com uma vermelha, uma verde e uma vermelha com uma azul. 1. Depois de repetir as operações, ficamos com 3 bolas. Demonstrar que uma delas é verde. 2. É possível fazer estas operações de tal forma que no fim na caixa reste só uma bola?
57 Solução: Associamos rotações ás bolas:
58 Substituir duas bolas azuis com uma verde: Substituir duas bolas vermelhas com uma verde etc...
59 Inicialmente temos uma rotação de , que é um múltiplo de 360.
60 Inicialmente temos uma rotação de , que é um múltiplo de Para obter uma rotação o ângulo cujo seja um múltiplo de 360 como uma composição de tres rotações de ângulos 90, 180, ou 270, precisa pelo menos uma rotação de Nenhum dos ângulos de 90, 180, ou 270 é um múltiplo de 360, por isso a resposta é não.
61 Continuamos com um outro exemplo de geometria.
62 Continuamos com um outro exemplo de geometria. Problema Seja ABCD um quadrado e M um ponto no interior do quadrado tal que MAB = MBA = 15. Determinar o ângulo DM C.
63 Continuamos com um outro exemplo de geometria. Problema Seja ABCD um quadrado e M um ponto no interior do quadrado tal que MAB = MBA = 15. Determinar o ângulo DM C.
64 Consideramos a reflexão em torno da reta AC.
65 O ponto M transforma-se no ponto N.
66 O triângulo AM B transforma-se no triângulo AN D.
67 AM = AN, MAN = = 60.
68 O triângulo AMN é equilátero.
69 AND transforma-se em MND pela reflexão em torno de DN.
70 Por isso AD = MD.
71 O triângulo MDC é equilátero.
72 Resposta: CMD = 60.
73 E agora de novo, teoría de números.
74 E agora de novo, teoría de números. Pequeno Teorema de Fermat Seja p um número primo e n um número inteiro. Então n p n é divisível por p.
75 Consideramos um poĺıgono regular com p vértices, e contamos todas as coloraçoes dos vértices com n cores.
76 Consideramos um poĺıgono regular com p vértices, e contamos todas as coloraçoes dos vértices com n cores. Claramente, tem n p colorações.
77 Agora imaginamos que os vértices coloridos são as miçangas de um colar. Neste caso, duas colorações que coincidem depois de uma rotação representam o mesmo colar.
78 Agora imaginamos que os vértices coloridos são as miçangas de um colar. Neste caso, duas colorações que coincidem depois de uma rotação representam o mesmo colar. Vamos contar o número de colares diferentes.
79 Porque p é um número primo, as únicas colorações que são invariantes a alguma rotação são as colorações com somente uma cor, e temos n delas.
80 Porque p é um número primo, as únicas colorações que são invariantes a alguma rotação são as colorações com somente uma cor, e temos n delas. Cada das outras colorações é parte de uma familia de p colorações que correspondem ao mesmo colar.
81 Porque p é um número primo, as únicas colorações que são invariantes a alguma rotação são as colorações com somente uma cor, e temos n delas. Cada das outras colorações é parte de uma familia de p colorações que corespondem ao mesmo colar. Então o número de colares é n + np n. p Este é um número inteiro, e por isso n p n é divisível por p.
82 Problema Seja ABCD um quadrilatero e sejam M e N os pontos médios dos lados AD e BC. Demonstrar que AB + CD MN = 2 se e só se ABCD é um trapezoidal.
83 Translatamos CD em AE.
84 Translatamos CD em AE.
85 No triângulo CEB, MN = EB/2.
86 No triângulo AEB, EB AB + AE.
87 Obtemos EB AB + CD.
88 Por isso, MN = 1 2EB AB+AE 2 = AB+CD 2.
89 Por isso, MN = 1 2EB AB+AE 2 = AB+CD 2. Tem igualdade se e só se as retas AB e AE coincidem.
90 Por isso, MN = 1 2EB AB+AE 2 = AB+CD 2. Tem igualdade se e só se AB CD.
91 Problema Seja ABC um triângulo equilátero. Uma reta paralela a AC intersecta os lados AB e BC em M e P. Seja D o centro do triângulo BMP e seja E o ponto médio do AP. Calcular os ângulos do triângulo DEC.
92 Problema Seja ABC um triângulo equilátero. Uma reta paralela a AC intersecta os lados AB e BC em M e P. Seja D o centro do triângulo BMP e seja E o ponto médio do AP. Calcular os ângulos do triângulo DEC.
93 Consideramos a rotação do centro D e ângulo 120. O seguimento BP transforma-se em P M, e por isso, P transforma-se em M e C transforma-se num ponto K na reta MP.
94 Consideramos a rotação do centro D e ângulo 120. O seguimento BP transforma-se em P M, e por isso, P transforma-se em M e C transforma-se num ponto K na reta MP.
95 Consideramos a rotação do centro D e ângulo 120. O seguimento BP transforma-se em P M, e por isso, P transforma-se em M e C transforma-se num ponto K na reta MP.
96 Porque MK = CP = AM e KMA = 60, o triângulo AKM é equilátero. Por isso AK CP. Obtemos que AKP C é um paralelograma com centro E.
97 Porque MK = CP = AM e KMA = 60, o triângulo AKM é equilátero. Por isso AK CP. Obtemos que AKP C é um paralelograma com centro E.
98 Então E é o ponto médio do seguimento CK, e por isso DE CK. Concluímos que EDC é um triângulo
99 Então E é o ponto médio do seguimento CK, e por isso DE CK. Concluímos que EDC é um triângulo
100 Então E é o ponto médio do seguimento CK, e por isso DE CK. Concluímos que EDC é um triângulo
101 Problema Demonstrar que se é possível inscrever tres quadrados iguais num triângulo, então o triângulo e equilátero.
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