Scanned by CamScanner
|
|
|
- Edson Henriques Pinhal
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ÍÒ Ú Ö Ö Ð È Ö ÒØÖÓ Ò Ü Ø Æ ØÙÖ Þ ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÙÖ Ó Å ØÖ Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÒ ÖÙ Ò ÔÐ º ÔÓÖ ÂÓ Å ÖÓÒ ÓÑ Å ÖÓ Ó ÓÖ ÒØ Ó Ó ÈÖÓ º Öº ÖÐÓ Ó Ö Æ ØÓ ÌÖ Ð Ó ÓÒÐÙ Ó ÙÖ Ó ÔÖ Ò¹ Ø Ó Ó ÓÖÔÓ Ó ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ñ È ¹ Ö Ù Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ¹ ÈÊÇ ¹ Å Ì ¹ Æ ¹ Í È ÓÑÓ Ö ÕÙ ØÓ Ô Ö Ð Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ø ØÙÐÓ Å ØÖ Ñ Å Ø Ñ Ø º Ú Ö ÖÓ»¾¼½ ÂÓÓ È Ó ¹ È Ø ØÖ Ð Ó ÓÒØÓÙ ÓÑ ÔÓ Ó Ò Ò ÖÓ Ó ÆÈÕº
2
3 Scanned by CamScanner
4 Ö Ñ ÒØÓ Ö Ó Ñ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙ Ö Ñ Ù ÓÑ ÍË ÕÙ Ñ Ù ÓÖ Ò ÑÓ ÒÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ñ ÓÖ ÙÐ ÒÓÒØÖ ÒÓ ÙÖ Ó Ñ Ñ Ò Ú º Ó Ñ Ù Ô ÒØÒ Ó ÓÑ Å ÖÓ Å Ö Á Ð Ò ÓÑ Å ÖÓ ÔÓÖ Ø Ö Ñ Ñ Ù Ó Ñ Ó Ø ÒØÓ Ö Ò Ó ÑÓÖ Ø Ó ÐØ ÑÓ Ù Ú ÕÙ ÒØÖ Ò º Ñ Ò ÔÓ ÊÓ Ð Þ ÖÖ Æ Ú Å ÖÓ ÔÓÖ Ø ÒØ Ô Ò Óѹ Ô Ò Ö ÑÓ ÓÑÔÖ Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ º ØÓ Ó Ó Ñ Ù ÖÑÓ Ñ Ð Ö ÕÙ Ö Ø ÓÙ Ò Ö Ø Ñ ÒØ ÓÒØÖ Ù Ö Ñ Ô Ö ÕÙ ÓÒ Ó Ó Ö Ð Þ Óº ØÓ Ó Ó Ñ Ù ÓÐ ØÙÖÑ ÕÙ ÙÖ ÒØ ØÓ Ó Ó Ø ÑÔÓ ÙÖ Ó Ø Ú Ö Ñ ÙÒØÓ ÓÑ Ó Ò Ñ Ò Ñ Ô Ð Ó Ô ÖØ Ô ÒØ Ñ Ù ÖÙÔÓ ¹ ØÙ Ó ÒØÓÒ Ó Ñ Ð ÓÒ Ò Ð È ÙÐÓ ÂÓÓ È ÙÐÓ ÂÓ Ð Ó Ê Ò ØÓ ÖÖ º ÍÑ Ö Ñ ÒØÓ Ô Ð Ñ Ó ÖÓ Ó Ñ Ù Ö Ò ÓÐ ØÙÖÑ Ñ Ó ÒØÓÒ Ó Ó Ø ÕÙ ÒÙÒ Ñ Ù ÓÖÓ Ó Ñ ÓÓÖÖ Ö Ò ÓÖ Ñ ÕÙ ÒÓÒØÖ ÙÐ Ò ÓÒ Ó ØÖ Ð Óº Ó Ñ Ù ÓÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº ÖÐÓ Ó Ö Ô ÐÓ ÙÜ Ð Ó Ô Ò Ò ÐØ ¹ ÑÓ Ñ º ØÓ Ó Ó ÈÖÓ ÓÖ Ó ÙÖ Ó ÈÊÇ Å Ì ÍÒ Ú Ö Ö Ð È Ö Ñ ÂÓÓ È Ó Ô Ð ÓÒØÖ Ù Ó Ô Ö Ñ Ù Ö Ñ ÒØÓ ÔÖÓ ÓÒ Ð Ô Ó Ðº Ó Ñ Ù Ñ Ð Ò Ó Ô Ö ØÓ ÔÖ ÒØ ÕÙ Ù Ñ Ù Ñ Ù Ð Ó ÒØÒ Ó Ó¹ Ñ Å ÖÓ Æ ØÓ ÔÓÖ ØÖ Þ Ö Ò Ñ Ð Ö Ô Ö Ñ Ò Ú º
5 ü È Ë ÓÓÖ Ò Ó Ô Ö Ó Ñ ÒØÓ È Ó Ð Æ Ú Ð ËÙÔ Ö ÓÖ Ô ÐÓ Ò ÒØ ÚÓ Ò Ò ÖÓ Ó ØÖ Ú ÓÒ Ó ÓÐ ØÙ Ó º
6 Ø Ö Ó Ñ Ù Ô ÒØÒ Ó ÓÑ Å ÖÓ Å Ö Á Ð Ò ÓÑ Å ÖÓ Ò Ñ ÑÓÖ Òµ
7 Ê ÙÑÓ Æ Ø ØÖ Ð Ó Ö ÑÓ ÙÑ Ö Ú ØÙ Ó Ö Ô ØÓ Ø ÓÖ Ö ØÑ Ø Ó Ò ¹ Ñ ÖÓ Ñ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ Ð ÒØ ÖÓ º Ö Ú Ö ÑÓ Ù Ó Ñ ÒØ Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ñ Ö Ñ Ö ÔØÓ Ö ÊË ÙØ Ö ÑÓ Ð ÙÑ ÒÙ Ò ÊË º È Ö Ó ÔÖ ÒØ ÑÓ Ð ÙÒ Ö ¹ ÙÐØ Ó Ú Ó Ù Ó ÔÖ Ò Ô Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÒÓ ÕÙ Ð Ú Ö Ù Ó Ö Ò ÑÔÓÖØÒ ÖÚ Ö Ñ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ø ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ø Ó ØÙ º º È Ð ÚÖ ¹ Ú Ì ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ù ÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ö ÔØÓ Ö ¹ Ú
8 ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ñ Ö ØÙ Ý ÓÙØ Ö Ø Ñ Ø ÒÙÑ Ö Ø ÓÖÝ Ò Ô Ö¹ Ø ÙÐ Ö ÑÓ ÙÐ Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ò Û ÓÐ ÔÖ Ñ Ð ØÝ Ø Ø º Ç Ö Ö ÙÐÐÝ Ø Ô Ö Ò Ò Ô Ö Ò Ñ Ø Ó Ó ÊË ÒÖÝÔØ ÓÒ Ò Ù ÓÑ ÒÙ Ò Ó ÊË º Ì Ö ÓÖ Ø ØÙ Ý Ð ØØÐ ÓÙØ Ù Ø ÔÖ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò Û Ñ ÒÝ Ó Ö Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø ÓÖ Ø Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ó ÒÙÑ Ö Ø ÓÖÝ ØÓ Ø ÔÖ ÒØ Ýº à ÝÛÓÖ ÆÙÑ Ö Ø ÓÖÝ Ù ÅÓ ÙÐ Ö ÓÒ ÖÙ Ò ÒÖÝÔØ ÓÒº Ú
9 ËÙÑ Ö Ó ½ ÓÒ ÖÙ Ò ¾ ½º½ Ô ØÓ À Ø Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º½º½ Ù ¹ Ç ÔÖ Ò Ô Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ ÓÒ ÖÙ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÓÒ ÖÙ Ò Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç Ì ÓÖ Ñ ÙÐ Ö ÖÑ Ø Ï Ð ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ç Ì ÓÖ Ñ Ò Ó Ê ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾ ÔÐ ¾ ¾º½ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ð ÙÑ Ù ÔÐ º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º½ ÆÓ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º¾ Ë Ø Ñ ÒØ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÓÒ ÖÙ Ò Ö ÔØÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ö ÔØÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ Ö ÔØÓ Ö Ð Ò Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º Ç Ð ÓÖ ØÑÓ ÊË º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾º Ë ÙÖ Ò ÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ä Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓØ Ú ÓÖ ÓÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ú
10 ¾º º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ö Ò Ð Ó Ö Ü
11 ÁÒØÖÓ ÙÓ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ñ Ø Ñ Ñ Ö ØÑ Ø Ó Ö Ð Óµ ÙÑ Ø Ñ Ö ØÑ Ø Ô Ö ÒØ ÖÓ ÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÚÓÐØ Ñ ÔÖ ØÖ ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ñ ÙÑ ÖØÓ Ú ÐÓÖ Ó Ñ ÙÐÓº Ç Ñ Ø Ñ Ø Ó Ù Ó ÙÐ Ö Ó Ó Ô ÓÒ ÖÓ Ò ÓÖ Ñ ÓÒ ÖÙ Ò ÔÓÖ ÚÓÐØ 1750 ÕÙ Ò Ó Ð ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒØÖÓ ÙÞ Ù ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Nº Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒÚÓÐÚ ÔÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ÔÓÖ ÖÐ Ö Ö Ù Ñ Ù Ð ÚÖÓ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÔÙ Ð Ó Ñ 1801º Æ Ø ØÖ Ð Ó Ö Ð Þ ÑÓ ÙÑ Ò Ð ÔÖÓ ÙÒ Ó Ö Ø ÓÖ Ö ØÑ Ø Ó Ò Ñ ÖÓ Ñ Ô Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ø ÔÖ Ñ Ð ÒØ ¹ ÖÓ º ÙÖ ÒØ Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ ØÙ ÑÓ Ó Ñ ØÓ Ó Ö Ñ Ö Ñ Ö ÔØÓ Ö ÊË Ò Ð ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ñ ÓÒ ÖÙ Ò Ø ÓÑÓ ÕÙ Ó ÒØ Ò Ä Ò Ö Ó Ì ÓÖ Ñ Ò Ó Ê ØÓ ÒØÖ ÓÙØÖÓ Ø Ô Ó º ÑÓÒ ØÖ ÑÓ ÙØ ÑÓ Ð ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓÖ Ñ ÓÑÓ Ó È ÕÙ ÒÓ Ì ÓÖ Ñ ÖÑ Ø ÙÐ Ö Ó Ï Ð ÓÒ Ò Ð ÑÓ Ð ÙÑ Ô ÊË º È Ö Ó ØÙ Ö ÑÓ ÙÑ ÔÓÙÓ Ó Ö Ù Ó ÔÖ Ò Ô Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÒÓ ÕÙ Ð Ú Ö Ù Ó Ö Ò ÑÔÓÖØÒ ÖÚ Ñ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ ¹ Ñ ÒØÓ Ø ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ º ½
12 Ô ØÙÐÓ ½ ÓÒ ÖÙ Ò ½º½ Ô ØÓ À Ø Ö Ó Ö Ò Ô ÖØ Ó Ö ÙÐØ Ó Ø Ô ØÙÐÓ Ó ÒØÖÓ ÙÞ ÔÓÖ Ù µ Ñ ÙÑ ØÖ Ð Ó ÔÙ Ð Ó Ñ 1801 ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ò Ô Ò 24 ÒÓ º Î Ö Ö Ò ÑÔÓÖØÒ ÕÙ ÖÚ Ö Ñ Ô Ö Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ø ÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ Ò Ø ØÖ Ð Óº Ø Ñ ÑÓ ÒÓØ Ó Ð ÒØÖÓ ÙÞ ÕÙ ÙØ Ð Þ ÑÓ Ó º ½º½º½ Ù ¹ Ç ÔÖ Ò Ô Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÂÓ ÒÒ Ö Ö ÖÐ ÒÞ Ù µ Ò Ù 30 Ö Ð 1777 Ñ ÖÙÒ Û Ò Ð Ñ Ò ÅÓÖÖ Ù 23 Ú Ö ÖÓ 1855 Ñ ØØ Ò Ò Ò Ð Ñ Ò º ÒØ Ø Ù Ò Ù Ñ ÖÙÒ Û ÑÓÖÖ Ù Ñ ØØ Ò Ò Ò Ð Ñ Ò º ØÙ ÓÙ Ò ÍÒ Ú Ö ØØ Ò Ò ÓÒ Ô ÓÙ Ò Ò Ö Å Ø Ñ Ø Ô ÖØ Ö 1807 Ò Ó Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ Ö ØÓÖ Ó Ç ÖÚ Ø ¹ Ö Ó ØÖÓÒÑ Ó Ô ÖØ Ò ÒØ ÕÙ Ð ÁÒ Ø ØÙ Óº Å ÒØ Ú Ñ Ó Ó Ö Ó Ø Ù ÑÓÖØ º Ù ÓÙ¹ Ñ Ø Ñ Ø ØÖÓÒÓÑ Ó ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ØÖ º Ç Ù ÒÓÑ ÓÒ Ø ÒÙÑ ÖÓ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø Ó ÒÓ ÓÑ Ò Ó ØÖÓÒÓÑ Ñ Ø Ñ Ø º Æ Ø Ö Ù ÑÓÒ ØÖÓÙ ÒÓÑ ¹ Ò Ð ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ö ÙÒ Ó ÕÙ Ð ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÙÒ Ó Ö Ù Ø Ñ Ù ÓÐÙ ÙÑ Ó Ø Ö ÖÓ Ø Ñ ØÖ Ñ Ù Ú Ñ ÒØ º È Ö ØÖ Ø Ö Ñ ¹ ØÖÓÒÑ ÒÚÓÐÚ Ù Ó Ñ ØÓ Ó Ó Ñ Ò ÑÓ ÕÙ Ö Ó º ÓÑ Ø Ø Ñ ÓÒ Ù Ù ÐÙÐ Ö Ñ ÔÓÙÓ Ø ÑÔÓ ÓÑ Ö Ò Ü Ø Ó Ö Ø Ó ÓÖÔÓ ¾
13 ½º½º ËÈ ÌÇË ÀÁËÌ ÊÁ ÇË Ð Ø Ô ÖØ Ö ÔÓÙ Ó ÖÚ º Ç Ø Ú Ò Ñ ÓÓÖ Ò Ù ¹ ÙØ Ð Þ Ñ¹ Ô ÐÑ ÒØ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ó ÙÑ ÔÓÒØÓ Ó Ö ÙÔ Ö ¹ Ì ÖÖ Ð Ø ØÙ ÐÓÒ ØÙ µ ÙÖÚ Ù ¹ ÙÖÚ ØÖ Ù Ó ÒÓÖÑ Ð Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÔÓ Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ö¹ Ñ ÔÖÓÚ Ú Ø Ø Ø Ó Ñ ¹ ØÓ Ó Ð Ñ Ò Ó Ù ¹ ÙØ Ð Þ ¹ Ò Ò Ð ÒÙÑ Ö Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ö Ó ÔÐ ÒÓ Ù ¹ ÔÐ ÒÓ Ô Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÑÔÐ ÜÓ º Î Ð Ó ÙÑ ØÖ Ð ÓÖ Ó ÑÔÓ Ó Ö Ó ÒÓ Ó ÙÑ Ñ Ð ÔÓ Ö Ù Ø Ö Ñ Ù Ó ÒØ º ÔÖ Ö ÓÒ ÓÒÑ Ù Ñ Ð Ö Ù Ó ÔÖ Ó Ó ÔÓ Ó Ó ÙÕÙ ÖÙÒ Û ÕÙ Ö ÓÒ Ù Ò Ð ÙÑ Ö Ò ¹ÔÖÓ Óº Ø ÔÓ Ó ÓÑ ÓÙ ÕÙ Ò Ó Ù Ø Ò ½ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ù¹Ð Ö¹ ÜÐÙ Ú Ñ ÒØ Ó ØÙ Ó ÙÖ ÒØ 16 ÒÓ º Ò ÒØ Ó Ù Ú ÑÓ ÕÙ ÒØÓ Ò Ú Ö Ö Ó Ù Ö ÑÓ Ó Ô ÐÓ Ù ØÖ Ð Ó Ñ Å Ø Ñ Ø ØÖÓÒÓÑ º Ó 30 ÒÓ Ó ÒÓÑ Ó Ö ØÓÖ Ó Ç Ö¹ Ú Ø Ö Ó ØØ Ò Ò ÕÙ Ð Ö Ö Ñ ÒØ Ù Ü ØÓ ÔÓÖ ÕÙ Ø ÒØ º ØÖ Ð ÓÙ ÙÖ ÒØ 48 ÒÓ µ Ø Ù ÑÓÖØ ÓÑ ÕÙ 78 ÒÓ º Ú Ô Ó Ð Ù Ó ØÖ ÓÑÔÐ º ÍÑ Ô Ò Ò Ú Ð ÑÓÖØ ÔÖ Ñ ØÙÖ Ù ÔÖ Ñ Ö ÑÙÐ Ö ÔÓÙ Ù ÙÒ ÑÙÐ Ö ÙÑ Ø ÖÖ Ú Ð Ö Ð Ó ÓÑ Ó Ù Ð Ó Ò ÓÙ¹Ð Ø Ø Ö ÔÓ Ð Ú Ø Ú Ð ÒÓ Ó ÙÑ Ñ Ð ÕÙ Ð Ö º Å ÑÓ ÓÑ ØÓ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ñ ÒØ Ú ÙÑ Ö Ô ÒØÓ Ø Ú ¹ ÒØ º Ù ÔÖ Ó Ô ÜÓ Ô ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÐÙÐÓ Ø Ò Ù¹ Ì ÓÖ Ó Æ Ñ ÖÓ ýð Ö Ò Ð ÓÑ ØÖ Ì ÓÖ ÈÖÓ Ð Ì ¹ ÓÖ Ó ÖÖÓ º Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ Ð ÚÓÙ Ñ Ö ÒØ ÙÑ ÒØ Ò Ú Ô ÕÙ ÑÔ Ö Ø Ö Ñ ÑÙ ØÓ ÓÙØÖÓ Ö ÑÓ ÒÐÙ Ò Ó ØÖÓÒÓÑ Ç ÖÚ ÓÒ Ð Å Ò Ð Ø Ð Ú ÒØ Ñ ÒØÓ ØÓÔÓ Ö Ó Ó ÓÑ Ò Ø ÑÓ Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÑÓ Å Ò ÑÓ ÔØ Ó º Ù ÒÓ ÒÓÒØÖÓÙ Ò Ò ÙÑ ÓÐ ÓÖ ÓÖ ÒØÖ Ó Ù ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø Ò Ó ØÖ Ð Ó ÑÔÖ ÓÞ Ò Óº Å Ú Ö ÕÙ Ó Ù ÓÐ Ñ ÒØÓ Ö Ð Ø ÚÓ Ù ÓÑÔÖ Ò Ó Ñ Ø Ñ Ø ÔÙÖ ÔÐ Ù ÔÖ ÓÙÔ Ó ÓÑ
14 ½º½º ËÈ ÌÇË ÀÁËÌ ÊÁ ÇË ØÖÓÒÓÑ Ó Ù Ó Ö ÕÙ ÒØ ÕÙ Þ Ó Ð Ø Ñ Ø Ñ Ñ Ö Ó ÙÐÓ ÎÁÁÁ Ò Ú Ð ÕÙ ÒÓ Ù ØÖ Ð Ó Ö Ø Ó Ô Ö ØÓ ÙÑ ÒÓÚÓ Ô Ö Ó Óº Ë Ø Ð ÓÑÓ Ó Ù ÓÒØ ÑÔÓÖÒ Ó Ã ÒØ Ó Ø Ø ÓÚ Ò À Ð Ñ ÒØ Ú Ñ Ö Ñ Ö Ò ÐÙØ ÔÓÐ Ø Ù ÔÓ Ú Ö ÕÙ ÒÓ Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÑÔÓ Ù ÜÔÖ ÓÙ ÒÓÚ Ù ÔÓ ÙÑ ÓÖÑ ÔÓ ÖÓ Ñ º Ù ÔÙ Ð Ù ÙÒ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ù ÒÓØ Ó Ù Ñ ÒÙ Ö ØÓ ÑÓ ØÖ Ñ ÕÙ Ð ÔÓ Ù ÙÑ Ñ ÓÖ Ú ÖØÙÓ ÒØ ØÓ Ó Ó Ø ÑÔÓ º Ò Ò ÓÑ Ö Ñ Ó Ó Ò Ó ÕÙ Þ Ñ Ú Ò Ö Ó Ø Ð ÒØÓ ÒÖ Ú Ð ÕÙ Ù ÑÓÒ ØÖ Ö Ó ÐÓÒ Ó Ù Ú º Á Ó Ô Ø ÒØ Ñ Ð ÙÒ Ó Ü ÖØÓ ÕÙ Ö Ð Ø Ñ Ù Ò Ò º Ó Ó Ó Ù ÒØ Ô Ó ÙÖ ÒØ Ó Ú Ö Ö Ù ÕÙ Ö ÓÒØÖ Ñ ØÖ ÒÙÑ ÖÑ ÐÚ Ò Ö Ô Ú Ó Ð Ö Ó Ñ Ò Ð Ó Ù ØÖ Ð ÓÖ º ÍÑ Ú Þ ÕÙ Ò Ó Ö Ø Ú ÔÖ Ø Ô Ö Ó Ð Ö Ó ÙÑ Ó ØÖ Ð ÓÖ ÖÐ Ö Ö Ò ÐØÙÖ ÓÑ Ô Ò ØÖ ÒÓ Ð Ú ÒØÓÙ¹ È Ô ÓÑ Ø Ø ÙÑ ÖÖÓ Ò Ò Ó Ñ Ù ÕÙ ÒØ ÖØ º Ù Ø Ò Ù Ó Ó ÐÙÐÓ Ñ ÕÙ Ö ÔÓ Ö Ú Ö Ó Ö ØÖÓ Ö ØÓ Ó ÕÙ Ù ÐØÙÖ Ò ÒÓ Ö Ù ÒØ Ô Ö Ð Ò Ö Ñ µ Ô Ö ÙÖÔÖ Ó ÔÖ ÒØ ÙÑ ÓÒ ÖÑ Ó ÔÖÓÚÓÙ ÕÙ ÖÐ Ö Ö Ø Ú ÖØÓº ÔÓÖØ ÒØÓ Ò ØÙÖ Ð ÕÙ Ù Ø Ú Ó Ó ØÙÑ Þ Ö ÕÙ Ø Ò ÔÖ Ò Ó ÓÒØ Ö ÐÙÐ Ö ÒØ Ø Ö ÔÖ Ò Ó Ð Öº ÇÙØÖ Ù ÔÖÓ Þ Ó ÔÖ Ò Ö Ð Ö ÓÞ Ò Óº ÓÑÓ Ó ÓÒ Ù Ù Ë ÙÒ Ó Ö Þ Ø Ö Ô Ò Ô Ö ÙÒØ Ò Ó Ó ÙÐØÓ ÓÑÓ ÔÖÓÒÙÒ Ú Ñ Ð ØÖ Ó Ð ØÓº ØÓ Ó Ó Ò Ó Ó ÕÙ Ú Ö Ö Ù Ó Ö º Ù Ó ÖÐ Ö Ö Ø Ò Ø ÒÓ ÕÙ Ò Ó ÒØÖÓÙ Ô Ö ÓÐ ÈÖ Ñ Ö Ëغ Ø ¹ Ö Ò Ò Ó Ò ÐÑ ÒØ Ô Ò Ñ ÙÑ ÒÓ Ñ Ó Ø ÒØÓ ÐÙÒÓ º Ç Ù ÔÖÓ ÓÖ Ö Âº º ØØÒ Ö ÙÑ ÔÖÓ ÓÖ ØÖ ÓÒ Ð ÕÙ Ñ Ö Ð ÓÒ Ö Ú Ó Ù ÐÙ¹ ÒÓ ÓÑÓ Ò Ô Þ ÔÓÙÓ ÓØ Ó º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ó Ó Ö Ù ÕÙ Ù Ö Ö ÒØ º ÓÑÓ Ó Ó Ö Ù ÉÙ Ò Ó Ó Ù ÒØ Ô Ó ÓÒØ Ù
15 ½º½º ËÈ ÌÇË ÀÁËÌ ÊÁ ÇË Ù Ø Ò Ö Þ ÒÓ Ö ÕÙ ÒØ Ú Ð Ö ØÑ Ø ÕÙ Ò Ó Øع Ò Ö ÔÖÓÔ Ó Ù ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ñ ØÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ½ ½¼¼ ÔÓ Ú Ñ ÕÙ ÒØÓ Ù ÓÑ º Ö ØÓ ÕÙ Ò Ó Ð Ø Ò ÙÑ Ø Ö Ø Ø ÔÓ ÕÙ Þ Ó Ù ÒØ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÙÒÓ Ö Ö Ø Ö Ø Ö Ó ÔÖÓ ÓÖ ÓÑ Ù Ö ÓÐÓ ¹Ð ¹ Ñ Ñ Ñ º Ç Ù ÒØ Ö ÓÐÓ Ö Ù Ö Ñ Ñ Ó ÓÐ Ñ Ù Ú Ñ ÒØ Ø Ô Ð Ö Ø Ö ÓÑÔÐ Ø º Ç ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÕÙ ØÓ ÒÓ Ö Ð Ô Ö Ð Ù Ñ ÕÙ Ø Ú Ð ÙÑ Ñ Ð Ö ÓÑ ÔÖÓ Ö Ö ØÑ Ø º ÓÑÓ Ó Ö Ô Þ Ò Ö Ñ ÔÖ Ò Ô ÒØ ØØÒ Ö ÖØ Ñ ÒØ Ô Ò ÓÙ ÕÙ Ð Ö ÔÓ Ú Ð Þ Ö ÙÑ ÒØ ÖÚ ÐÓ ÔÓÖ ÙÑ ÓÑ Ó Óº Å Ø Ú Ò Ò Óººº Ñ Ð ÙÒ ÙÒ Ó Ù ÓÐÓÓÙ Ù Ö Ò Ñ Ó Ñ ÑÓ Ø ÑÔÓ ÒÓ Ù Ð ØÓ Ö ÙÒ Û Ä Ø ÕÙ Þµº ÒÕÙ ÒØÓ Ó ÓÙØÖÓ ÐÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ú Ñ ÓÑ Ö Ù ÒØÓÙ¹ ÐÑÓ Ö ÒÓ ÑÔ Ú Ð Ó ÓÐ Ö Ò Ó Ó Ù Ô ØÓ ØØÒ Öº ÆÓ Ò Ð ÙÐ Ó Ö ÙÐØ Ó ÓÖ Ñ Ü Ñ Ò Ó º Ö Ò Ñ ÓÖ Ó ÐÙÒÓ Ø Ò ÔÖ ÒØ Ó Ö ÙÐØ Ó ÖÖ Ó Ô ÐÓ ÕÙ ÓÖ Ñ Ú Ö Ñ ÒØ ÓÖÖ Ó ÓÑ ÙÑ Ò ¹ ¹ Ò º Æ Ö Ù ÕÙ ÒÓÒØÖ Ú ÒÓ Ñ Ø Ú Ô Ò ÙÑ Ò Ñ ÖÓ 5050 Ò Ö Ó Þ Ö ÕÙ Ó Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÖÖ ØÓµº ÓÑÓ Ö Ô Ö Ö Ù Ø Ú ÕÙ ÜÔÐ Ö Ó Ô ÒØ Ó ÔÖÓ ÓÖ ØØÒ Ö ÓÑÓ ÕÙ Ø Ò Ó Ø Ó ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ó ÒØÓ = 101, = 101, = 101 ÔÓÖ Ñ ÒØ Ø Ò ÐÑ ÒØ = = 101º Á ØÓ ÙÑ ØÓØ Ð 50 Ô Ö Ò Ñ ÖÓ Ù ÓÑ 101º ÈÓÖØ ÒØÓ ÓÑ ØÓØ Ð = 5050º Ø Ñ Ò Ö Ô Ö ÒØ Ñ ÒØ ÑÔÐ Ù Ø Ò ÒÓÒØÖ Ó ÔÖÓÔÖ Ñ ØÖ ÔÖÓ Ö Ö ØÑ Ø Ö Ú Ò Ó ÖÑÙÐ ÓÑ Ô Ö ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø Ö ØÖ Ö ¹ ÖÑÙÐ ÕÙ ÔÖÓÚ Ú ÐÑ ÒØ Ù Ó Ö Ù ÔÓÖ ÔÖ ÔÖ Óº Ø ÓÒØ Ñ ÒØÓ Ñ ÖÓÙ Ó ÔÓÒØÓ Ú Ö Ñ Ò Ù Ú º ØØÒ Ö Ñ ¹ Ø Ñ ÒØ Ô Ö Ù ÕÙ ÔÓÙÓ Ñ Ø Ò Ô Ö Ò Ò Ö Ù Ù¹Ð Ó Ñ Ð ÓÖ Ð ÚÖÓ ÓÐ Ö Ö ØÑ Ø Ô ÐÑ ÒØ ÒÓÑ Ò Ó À Ñ ÙÖ º ÈÓÖ Ð¹ ØÙÖ Ù Ø Ú ÙÑ ØÖ ØÓ ÓÒØ ØÓ ÓÑ Å ÖØ Ò ÖØ Ð Ò ÐØÙÖ ÓÑ ½ ÒÓ Ø ÒØ ØØÒ Ö Ò ÙÐ Ó ÕÙ ÓÒ Ø ØÙ Ù ÙÑ ÓÐÔ ÓÖØ ÒÓ Ø ÒØÓ Ô Ö
16 ½º½º ËÈ ÌÇË ÀÁËÌ ÊÁ ÇË Ù ÕÙ ÔÓÙÓ Ø Ò ÔÖ Ò Ö ÓÑ Ð Ñ Ô Ö ÖØ Ð ÕÙ Ñ Ø Ö ØÓÖÒÓÙ ÔÖÓ ÓÖ Å Ø Ñ Ø º È Ö ÒØ Ø Ò Ó Ø ÒØÓ ØØÒ Ö ÓÑÓ ÖØ Ð Ú Ø Ö Ñ Ó Ô Ù Ô Ö Ð Ð Ö Ñ Ù Ó Ó Ù Ð Óº Ö Ø Ú ØÙ Ó ÕÙ Ù ÚÓÒØ Ó Ð Ò Ñ Ð Ú Ð Þ Ó ÕÙ Ó Ù Ó Ð Ó Ù Ñ Ó Ù Ô ¹ Ó Ó ÕÙ ØÓ ÓÒØ Ù ÓÑ Ó Ñ Ó ÖÑÓ ÖÐ Ö Ö ÓÖ ÖÙØÓ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ñ ÒØÓ Ù Ô µº ÁÒ ÐÑ ÒØ Ö ÑÓ ØÖÓÙ¹ Ö ÐÙØ ÒØ Ô Ö ÙÒØÓٹРÓÑ Ö ÞÓµ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÖÖ Ò Ö Ò ÖÓ Ù ÒØ Ô Ö Ù ¹ Ö Ù Ó ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ù Ð Óº ØÓ ÖØ Ð ØØÒ Ö Ö ÔÓÒ Ö Ñ ÓÑ Ó Ò Ó Ö ÙÑ ÒØÓ ÕÙ Ö ØÙ Ð Ö ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ Ó Ò Ó ÔÓ Ú Ð Ò ÆÓ Ø ÑÓ Ú ÕÙ ÖÖ Ò Ö ÑÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ô Ó Ø ÒØ ÕÙ ÕÙ Ö ÖÚ Ö Ô ØÖÓÒÓ ÙÑ Ø Ð Ò Óº Ç Ö ÙÐØ Ó Ó ÙÑ ÓÑÔÖÓÑ Óººº Ö Ô ÖÑ Ø Ù ÕÙ Ó Ö Ô Þ Ò ÓÒ Ó Ù ØÖ Ð Ó ÖÓØ Ò Ò Ó Ð Ò Óº ÖÓ Ö Ô Ö Ù Ö ÕÙ Ú ØÓ Ð Ð Ò Ô Ö Ð Ö Ö µ ÒÓ Ù ÐÙ Ö Ô Ö Ö Ñ Ð ÚÖÓ º Ù ÖØ Ð Ô Ö Ñ ÒØÓ ØÖ Ð Ö ÙÒØÓ º Ó ØÙÑ Ú Ñ ÒØ Ö¹ ÙØ Ö ÔÖÓ¹ Ð Ñ Å Ø Ñ Ø Ø ÐÓÒ ÓÖ ÒÓ Ø º Å Ó ÖØ Ð ÓÑÔÖ Ò Ù ÕÙ Ò Ø Ò Ô Ö Ò Ò Ö Ù º Ç ÐÙÒÓ Ø Ò ÙÔ Ö Ó Ó Ñ ØÖ º Ñ 1788 Ù Ñ ØÖ ÙÐÓÙ¹ ÕÙ ÓÒØÖ ÚÓÒØ Ó Ô µ ÒÓ Ä Ù Ø Ö ¹ Ò ÙÑ Ñ Ö ÙÒ Û º Ç ÈÖÓ ÓÖ À ÐÐÛ Ò ÚÓÐÚ Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÖ Ð Ó Ö ØÓ Ù ÓÑ Ó ÓÑ ÒØ Ö Ó ÕÙ ÒÓ Ö Ò Ö Ó Ô Ö ÙÑ ØÙ ÒØ ØÓ ÓØ Ó ÓÒØ ÒÙ Ö Ø Ö ÙÐ Ò ÕÙ Ð Ð º ÓÑ Ù ÖØ Ð Ó Ð ÐÓ Ó Å Ý Ö Ó Ù ÔÖ ÙÐØÖ Ô ÓÙ Ó Ù ÓÐ ÒÓ Ñ Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ Ø Ñ Ñ Ò Ð Ò Ù Ð º ÆÓ ÒØ ÒØÓ Ô Ö ÕÙ Ó ÔÓ Ú Ð ÓÒØ ÒÙ Ö Ù Ù Ó Ø ÖÑ Ò Ó Ó Ô Ö Ó Ó Ö ÕÙ Ò Ò Ø ÓÐ Ó Ö Ò Ö Ó Ò ÖÓ Ó ÕÙ Ù ÒÓ Ø Ò º ÔÙØ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ù Ö Ñ Ù ÙÖ ÒØ Ó ÒÓ ÖÙØÙÓ Ó ÓÖ Ñ Ò Ù Ñ ÓÖ Ö ÙÒ ÒÙÑ ØÖ Ð Ó ÕÙ ÔÙ Ð ÓÙ Ñ Ä ÔÞ Ñ 1801 ÔÙØ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø º ÑÔÖ Ó Ó Ô Ô ÐÓ ÙÕÙ Ö Ò Ò Ö ÞÓ Ô Ð ÕÙ Ð Ó ØÖ Ð Ó ÓÑ
17 ½º½º ËÈ ÌÇË ÀÁËÌ ÊÁ ÇË ÓÑ ÙÑ Ø Ö ËÙ Ö Ó ÐØ Þ ÈÖ Ò Ô ÄÓÖ ÖÐ Ï Ð ÐÑ Ö¹ Ò Ò ÙÕÙ Ö ÙÒ Û Ä Ò ÙÖ º ÒØÖ ÓÙØÖ Ó Ù Ð Ö ÕÙ Ñ ÓÒ Ó ÙÕÙ ÒÙÒ Ø Ö ÓÒ Ù Ó Ö¹ Å Ø Ñ Ø Ò ÕÙ Ð Ø Ò Ó Ø Ó ÑÔÖ Ñ Ö ÙÐ Ó ÓÑ Ô ÜÓÒ Ó ÑÓÖ º Ø Ø Ö ÓÖØ Ð Ô ÐÓ Ø ÐÓ ÖÓÓ ÕÙ Ö Ù Ó Ò ÐØÙÖ Ñ Ò Ø Ó ÒÓ Ø ÑÓ Ô Ö ÒØ ÙÑ ÙÐ Ó Ú Þ ÒØ Ñ ÒØÓº Ø Ô Ð ÚÖ Ö Ø Ñ ÕÙ ÐÓ ÕÙ Ù ÒØ º ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ØÓ Ú Ñ Ø Ô ÖØ ½º ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ö Ð ¾º ÓÒ ÖÙ Ò ÔÖ Ñ ÖÓ Ö Ù º Ê ØÓ ÔÓØ Ò º ÓÒ ÖÙ Ò ÙÒ Ó Ö Ù º ÓÖÑ ÕÙ Ö Ø º ÔÐ º Ú Ó ÖÙÐÓ ÔÖ ÒØ ÑÓ Ñ Ù Ô Ò ÙÑ ÓÓ Ó ÓÒØ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÓÑ ÔÖÓÔÖ ÔÓ Ñ Ö ÓÒ Ö ÓÑÓ ÙÑ Ò ÓÒ Ð ¹ Ñ Ø ÑÓÑ ÒØÓ ÓÒ Ó Ö ÒØ Ø Ñ Ó ÓÑ Ò Ó ÒÙÑ Ò Ð ÕÙ Ð Ú Ó Ó ÓÑ Ö Ò ÓÖ Ñ Ò Ð Ö Þ º ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ö Ð ÓÒ ÖÙ Ò ÈÖ Ñ ÖÓ Ö Ù Æ ÔÖ Ñ Ö Ô Ò Ù ÒØÖÓ ÙÞ ÙÑ ÒÓÚÓ Ñ ÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Þ ÕÙ Ë ÙÑ Ò Ñ ÖÓ m Ú Ö Ò a b ÓÙ b aµ Ó Ò Ñ ÖÓ a b Ñ Ü Ö Ö ØÓ ÒØÓ a b Þ Ñ¹ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ m Ù Ö Ú Ù a b mod m Ø ÜÔÖ Ó Ð ¹ a ÓÒ ÖÙ ÒØ ÓÑ b Ñ ÙÐÓ mº Ö Ð Ó Ñ ÓÒ ÖÙ Ò m Ñ Ó Ñ ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ Ò º Ç Ò Ñ ÖÓ b Ñ Ó
18 ½º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á Ó Ö ØÓ a Ñ ÙÐÓ m ÒÚ Ö Ñ ÒØ a Ñ Ó Ó Ö ØÓ b Ñ ÙÐÓ mº Ë Ö Ò a b ÒÓ ÓÖ Ú Ú Ð ÔÓÖ m ÒØÓ a b Þ Ñ¹ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ m a b ÒÓ Ó Ö ØÓ ÙÑ Ó ÓÙØÖÓ Ñ ÙÐÓ mº ÓÖ Ó ÓÑ Ò Ó a b mod m Ó Ñ ÑÓ ÕÙ a b = my ÓÒ y ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÕÙ ÐÕÙ Öº Ù ÓÐ Ù Ó Ñ ÓÐÓ ÓÑ Ö Ò ÔÖ Ú Ò Ò ÐÓ ÒØÖ ÓÒ¹ ÖÙ Ò Ù Ð º ÒÓÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÒÐÙ Ú Ó ÕÙ ÔÓ ÑÓ ÓÒ Ö Ö Ù Ð ÙÑ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 0º Æ ÙÒ Ó Ó Ù ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø Ù ÔÖ Ñ ÖÓ ÔÖÓÚÓ٠й ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ù ÕÙ Ð ÕÙ Ù Ù ÐÑ ÒØ Ñ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ö ØÑ Ø ÌÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð Ñ ÓÖ ÕÙ 1 ÔÓ Ü ØÓ Ô Ð ÓÖ Ñ Ó ØÓÖ Ö Ö ØÓ ÙÑ ÙÑ Ñ Ò Ö ÓÑÓ ÔÖÓ ÙØÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ º Í Ò Ó Ó Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ö Ù ÔÓ Ø ÖÑ ÒÓÙ Ó Ñ Ü ÑÓ Ú ÓÖ ÓÑÙÑ (a,b) Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÑÙÑ [a,b] Ó Ò Ñ ÖÓ a bº Ç Ö ÙÐØ Ó Ù Ô Ö ÓÐÙ Ð ÓÒ ÖÙ Ò Ð Ò Ö Ë (a,m) = d ÒØÓ ÓÒ Ó Ò Ö Ù ÒØ Ô Ö ÕÙ ÓÒ ÖÙ Ò a b mod m ÓÐ Ú Ð ÕÙ d ÙÑ Ú ÓÖ bº ÒØÓ ÐÓ Ó Ü Ø Ñ d Ö ÒØ ÕÙ Ò ÓÐÙ ÓÙ d ÓÐÙ º ½º¾ ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ó ½º½ Ë a b Ó ÒØ ÖÓ Þ ÑÓ ÕÙ a ÓÒ ÖÙ ÒØ b Ñ ÙÐÓ m m (a b)º ÒÓØ ÑÓ ØÓ ÔÓÖ a b mod mº Ë m (a b) Þ ÑÓ ÕÙ a ÒÓÒ ÖÙ ÒØ b Ñ ÙÐÓ m ÒÓØ ÑÓ a b mod mº Ü ÑÔÐÓ ½º½ 11 3 mod 2 ÔÓ 2 (11 3)º ÓÑÓ = Ø ÑÓ ÕÙ mod 5º ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ Ë a b Ó ÒØ ÖÓ Ø ÑÓ ÕÙ a b mod m ÓÑ ÒØ Ü Ø Ö ÙÑ ÒØ ÖÓ k Ø Ð ÕÙ a = b+kmº ÑÓÒ ØÖ Ó Ë a b mod m ÒØÓ m (a b) Ó ÕÙ ÑÔÐ Ò Ü Ø Ò ÙÑ ÒØ ÖÓ k Ø Ð ÕÙ a b = km ØÓ a = b+kmº Ö ÔÖÓ ØÖ Ú Ð ÔÓ
19 ½º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á Ü Ø Ò ÙÑ k Ø Þ Ò Ó a = b + km Ø ÑÓ km = a b ÓÙ ÕÙ m (a b) ØÓ a b mod mº ÈÖÓÔÓ Ó ½º¾ Ë a,b,m d Ó ÒØ ÖÓ m > 0 Ù ÒØ ÒØ Ò Ó Ú Ö¹ Ö ½º a a mod m ¾º Ë a b mod m ÒØÓ b a mod m º Ë a b mod m b d mod m ÒØÓ a d mod mº ÑÓÒ ØÖ Ó ½º ÓÑÓ m 0 ÒØÓ m (a a) Ó ÕÙ ÑÔÐ a a mod mº ¾º Ë a b mod m ÒØÓ a = b+k 1 m Ô Ö Ð ÙÑ ÒØ ÖÓ k 1 º ÄÓ Ó b = a k 1 m Ó ÕÙ ÑÔÐ Ô Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ b a mod mº º Ë a b mod m b a mod m ÒØÓ Ü Ø Ñ ÒØ ÖÓ k 1 k 2 Ø ÕÙ a b = k 1 m b d = k 2 mº ËÓÑ Ò Ó¹ Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø ÐØ Ñ ÕÙ Ó Ø ÑÓ a d = (k 1 +k 2 )m Ó ÕÙ ÑÔÐ a d mod mº Ø ÔÖÓÔÓ Ó ÒÓ Þ ÕÙ Ö Ð Ó ÓÒ ÖÙ Ò ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒØ ÖÓ ÙÑ Ö Ð Ó ÕÙ Ú Ð Ò ÔÓ ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÕÙ Ð Ö Ü Ú Ñ ØÖ ØÖ Ò Ø Ú º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ë a,b,c m Ó ÒØ ÖÓ Ø ÕÙ a b mod m ÒØÓ ½µ a+c b+c mod m ¾µ a c b c mod m µ ac bc mod m
20 ½º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÑÓÒ ØÖ Ó ½µ ÓÑÓ a b mod m Ø ÑÓ ÕÙ a b = km ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÑÓ a b = (a+c) (b+c) Ø ÑÓ a+c b+c mod mº ¾µ ÓÑÓ (a c) (b c) = a b ÔÓÖ Ô Ø a b = km Ø ÑÓ ÕÙ a c b c mod mº µ ÓÑÓ a b = km ÒØÓ ac bc = ckm Ó ÕÙ ÑÔÐ m (ac bc) ÔÓÖØ ÒØÓ ac bc mod mº Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Ë a,b,c,d m Ó ÒØ ÖÓ Ø ÕÙ a b mod m c d mod m ÒØÓ ½µ a+c b+d mod m ¾µ a c b d mod m µ ac bd mod m ÑÓÒ ØÖ Ó ½µ a b mod m c d mod m Ø ÑÓ a b = km c d = k 1 mº ËÓÑ Ò Ó¹ Ñ Ó Ó Ð Ó Ù Ð Ó Ø ÑÓ (a + c) (b + d) = (k + k 1 )m ØÓ ÑÔÐ a+c b+d mod mº ¾µ Ø Ù ØÖ Ö Ñ Ó Ó Ð Ó Ù Ð a b = km c d = k 1 m Ó Ø Ò Ó (a b) (c d) = (k k 1 )m Ó ÕÙ ÑÔÐ a c b d mod mº µ ÅÙÐØ ÔÐ ÑÓ Ñ Ó Ó Ð Ó a b = km ÔÓÖc Ñ Ó Ó c d = k 1 m ÔÓÖ b Ó Ø Ò Ó ac bc = ckm bc bd = bk 1 mº Ø ÓÖ ÓÑ ÖÑÓ Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø ÐØ Ñ Ù Ð Ó Ø Ò Ó ac bc+bc bd = (ck+bk 1 )m Ó ÕÙ ÑÔÐ ac bd mod m ½¼
21 ½º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á Ì ÓÖ Ñ ½º Ë a,b,c m Ó ÒØ ÖÓ ac bc mod m ÒØÓ a b mod m d ÓÒ d = (c,m)º ÑÓÒ ØÖ Ó ac bc mod m Ø ÑÓ ac bc = kmº Ë Ú ÖÑÓ Ó Ó ( m ) ( c Ñ Ñ ÖÓ ÔÓÖ d Ø Ö ÑÓ (c/d)(a b) = k(m/d)º ÄÓ Ó (a b) ÓÑÓ d d) (m/d,c/d) = 1 Ø ÑÓ ÕÙ (m/d) (a b) Ó ÑÔÐ a b mod m d º Ò Ó ½º¾ Ë h k Ó Ó ÒØ ÖÓ ÓÑ h k mod m Þ ÑÓ ÕÙ k ÙÑ Ö ÙÓ h Ñ ÙÐÓ mº Ò Ó ½º Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒØ ÖÓ {r 1,r 2,...,r s } ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m ½µ r i r j mod m Ô Ö i j ¾µ Ô Ö ØÓ Ó ÒØ ÖÓ n Ü Ø ÙÑ r i Ø Ð ÕÙ n r i mod m. Ü ÑÔÐÓ ½º¾ {0,1,2,...,m 1} ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº Ü ÑÔÐÓ ½º { È Ö m ÑÔ Ö Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ù ÒØ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº m 1, m 3,..., 1,0,1,..., m 3, m 1 } Ì ÓÖ Ñ ½º Ë k ÒØ ÖÓ r 1,r 2,...,r k ÓÖÑ Ñ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m ÒØÓ k = mº ÑÓÒ ØÖ Ó ÈÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ó ÒØ ÖÓ t 0,t 1,...,t m 1 ÓÑ t i = i ÓÖÑ Ñ ØÓ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº Ë ÑÓ ÕÙ Ô Ö n Ü Ø ÙÑ Ò Ó Ô Ö ÒØ ÖÓ q s Ø ÕÙ n = mq +s,0 s < mº ÄÓ Ó n s mod m Ò Ó s ÙÑ Ó t i º ÓÑÓ t i t j m 1 Ø ÑÓ t i t j mod m Ô Ö i jº ÈÓÖØ ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {t 0,t 1,...,t n 1 } ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº ØÓ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ r i ÓÒ ÖÙ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ó t i Ó ÕÙ ÒÓ Ö ÒØ k mº ÓÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {r 1,r 2,...,r k } ÓÖÑ ÔÓÖ Ô Ø ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m t i ÓÒ ÖÙ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ó r i ÔÓÖØ ÒØÓ m kº Ø ÓÖÑ k = mº ½½
22 ½º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á Ì ÓÖ Ñ ½º Ë r 1,r 2,...,r m ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m a b Ó ÒØ ÖÓ ÓÑ (a,m) = 1 ÒØÓ ar 1 +b,ar 2 +b,...,ar m +b Ø Ñ Ñ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÒ Ö Ò Ó¹ Ó Ö ÙÐØ Ó Ó Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ Ö Ù ÒØ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÕÙ ÕÙ Ö Ó ÒØ ÖÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ar 1 + b,ar 2 + b,...,ar m + b Ó ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ mº È Ö ØÓ Ú ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ ar i +b ar j +b mod mº ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ø ÑÓ ar i ar j mod mº Å ÓÑÓ (a,m) = 1 Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÒÓ Þ ÕÙ r i r j mod mº Ç ØÓ r i r j mod m ÑÔÐ i = j ÙÑ Ú Þ ÕÙ r 1,r 2,...,r m ÓÖÑ Ñ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m Ó ÕÙ ÓÑÔÐ Ø ÑÓÒ ØÖ Óº ÈÖÓÔÓ Ó ½º Ë a,b,k m Ó ÒØ ÖÓ ÓÑ k > 0 a b mod m ÒØÓ a k b k mod mº ÑÓÒ ØÖ Ó Á ØÓ Ù Ñ Ø Ñ ÒØ ÒØ a k b k = (a b)(a k 1 +a k 2 b+a k 3 b 2 + +ab k 2 +b k 1 ) Ì ÓÖ Ñ ½º Ë a b mod m 1,a b mod m 2,...,a b mod m k ÓÒ a,b,m 1,m 2,...,m k Ó ÒØ ÖÓ ÓÑ m i ÔÓ Ø ÚÓ i = 1,2,...,k ÒØÓ a b mod [m 1,m 2,...,m k ] ÇÒ [m 1,m 2,...,m k ] Ó Ñ Ò ÑÓ Ñ ÐØ ÔÐÓ ÓÑÙÑ m 1,m 2,...,m k º ÑÓÒ ØÖ Ó Ë p n Ó Ñ ÓÖ ÔÖ ÑÓ ÕÙ Ô Ö Ò ØÓÖ m 1,m 2,...,m k º m i i = 1,2,...,k ÔÓ ÒØÓ Ö ÜÔÖ Ó ÓÑÓ Ð ÙÒ α ji ÔÓ Ñ Ö ÒÙÐÓ µº m i = p α 1i 1 p α 2i 2...p α ni n, ½¾
23 ½º º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÄÁÆ Ê ÓÑÓ m i (a b),i = 1,2,...,k Ø ÑÓ ÕÙ p α ji j j = 1,2,...,nº ÄÓ Ó ØÓÑ ÖÑÓ α j = max 1 i k {α ji } Ø Ö ÑÓ ÕÙ Å p α 1 1 p α p αn n (a b) (a b),i = 1,2,...,k p α 1 1 p α p αn n = [m 1,m 2,...,m k ] Ç ÕÙ ÑÔÐ a b mod [m 1,m 2,...,m k ] ½º ÓÒ ÖÙ Ò Ä Ò Ö Ñ ÑÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ð Ò Ö ÙÑ Ú Ö Ú Ð ÙÑ ÓÒ ÖÙ Ò ÓÖÑ ax b mod m ÓÒ x ÙÑ Ò Ò Ø º Ð Ú Ö Ö ÕÙ x 0 ÙÑ ÓÐÙÓ º º ax 0 b mod m x 1 x 0 mod m, ÒØÓ x 1 Ø Ñ Ñ ÓÐÙÓº Á ØÓ Ó Ú Ó ÔÓ x 1 x 0 mod m, ÒØÓ ax 1 ax 0 b mod mº Ç ÕÙ ÑÓ Ú Ö Ö ÕÙ ÙÑ Ñ Ñ ÖÓ ÙÑ Ð ÕÙ Ú Ð Ò ÓÐÙÓ ÒØÓ ØÓ Ó Ñ Ñ ÖÓ Ø Ð ÓÐÙÓº Ø Ó ÖÚ ÙÖ ÙÑ ÕÙ ØÓ Ò ØÙÖ Ð ÆÓ Ó Ü Ø Ö Ð ÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙ ÒØ ÓÐÙ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ Ö ÔÓÒ ÖÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ ØÓ Ò Ø ÑÓ ÔÖÓÚ Ö ÙÑ Ø ÓÖ Ñ ÕÙ ÒÓ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ü Ø Ò ÓÐÙ Ô Ö ÙÑ ÕÙ Ó Ó ÒØ Ò Ð Ò Öº ÍÑ ÕÙ Ó ÓÖÑ ax + by = c ÓÒ a,b c Ó ÒØ ÖÓ Ñ ÕÙ Ó Ó ÒØ Ò Ð Ò Ö Ó ÒÓÑ Ú Ñ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ö Ó Ó ÒØÓµº Ì ÓÖ Ñ ½º Ë Ñ a b ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ d = (a,b)º Ë d c, ÒØÓ ÕÙ Ó ax+by = c ÒÓ ÔÓ Ù Ò Ò ÙÑ ÓÐÙÓ ÒØ Ö º Ë d c Ð ÔÓ Ù Ò Ò Ø ÓÐÙ x = x 0 y = y 0 ÙÑ ÓÐÙÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÒØÓ ØÓ ÓÐÙ Ó ÔÓÖ x = x 0 +(b/d)k y = y 0 (a/d)k, ÓÒ k ÙÑ ÒØ ÖÓ ½
24 ½º º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÄÁÆ Ê ÑÓÒ ØÖ Ó Ë d c ÒØÓ ÕÙ Ó ax + by = c ÒÓ ÔÓ Ù ÓÐÙÓ ÔÓ ÓÑÓ d a d b d Ú Ö Ú Ö c Ó ÕÙ Ð ÙÑ ÓÑ Ò Ó Ð Ò Ö a bº ËÙÔÓÒ ÑÓ ÔÓ ÕÙ d cº È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º Ü Ø Ñ ÒØ ÖÓ n 0 m 0 Ø ÕÙ an 0 +bm 0 = d ½º½µ ÓÑÓ d c Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ k Ø Ð ÕÙ c = kdº Ë ÑÙÐØ ÔÐ ÖÑÓ Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ ½º½µ ÔÓÖ k Ø Ö ÑÓ a(n 0 k) + b(m 0 k) = kd = cº Á ØÓ ÒÓ Þ ÕÙ Ó Ô Ö (x 0,y 0 ) ÓÑ x 0 = n 0 k y 0 = m 0 k ÙÑ ÓÐÙÓ ax+by = cº Ð Ú Ö Ó ÕÙ Ó Ô Ö ÓÖÑ Ó ÓÐÙ ÙÑ Ú Þ ÕÙ x = x 0 +(b/d)k y = y 0 (a/d)k ax+by = a(x 0 +(b/d)k)+b(y 0 (a/d)k) = ax 0 + ab d k+by 0 ab d k = ax 0+by 0 = c Ç ÕÙ ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ÓÒ ÙÑ ÓÐÙÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö (x 0,y 0 ) ÔÓ ÑÓ Ô ÖØ Ö Ð Ö Ö Ò Ò Ø ÓÐÙ º ÈÖ ÑÓ ÓÖ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ØÓ ÓÐÙÓ ÕÙ Ó ax+by = c ÓÖÑ x = x 0 +(b/d)k,y = y 0 (a/d)kº Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ (x,y) ÙÑ ÓÐÙÓ º º ax+by = cº Å ÓÑÓ ax 0 +by 0 = c Ó Ø ÑÓ Ù ØÖ Ò Ó Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ ÕÙ ax+by ax 0 by 0 = a(x x 0 )+b(y y 0 ) = 0, Ó ÕÙ ÑÔÐ a(x x 0 ) = b(y 0 y)º ÓÑÓ d = (a,b) Ø ÑÓ Ô ÐÓ ÓÖÓÐ Ö Ó ÈÖÓÔÓ Ó ½º ÕÙ ( a d, b ) = 1. d ÈÓÖØ ÒØÓ Ú Ò Ó¹ Ó Ó Ñ Ñ ÖÓ ÐØ Ñ Ù Ð ÔÓÖ d Ø Ö ÑÓ a d (x x 0) = b d (y 0 y). ½º¾µ ÄÓ Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º (b/d) (x x 0 ) ÔÓÖØ ÒØÓ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ k Ø Þ Ò Ó x x 0 = k(b/d) ÓÙ x = x 0 +(b/d)kº ËÙ Ø ØÙ Ò Ó¹ Ø Ú ÐÓÖ x Ò ÕÙ Ó ½º¾µ Ø ÑÓ y = y 0 (a/d)k Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº ½
25 ½º º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÄÁÆ Ê ÓÑ Ø Ø ÓÖ Ñ ÑÓ ÔÓ ÑÓ ÓÖ Þ Ö ÕÙ ÒØ Ó ÓÐÙ ÒÓÒ¹ ÖÙ ÒØ Ó Ü Ø Ð ÙÑ µ ÕÙ ÓÒ ÖÙ Ò Ð Ò Ö ax b mod m ÔÓ Ù º Ì ÓÖ Ñ ½º Ë Ñ a,b m ÒØ ÖÓ Ø ÕÙ m > 0 (a,m) = dº ÆÓ Ó Ñ ÕÙ d b ÓÒ ÖÙ Ò ax b mod m ÒÓ ÔÓ Ù Ò Ò ÙÑ ÓÐÙÓ ÕÙ Ò Ó d b ÔÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ÓÐÙ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ mº ÑÓÒ ØÖ Ó È Ð ÈÖÓÔÓ Ó ½º½ ÑÓ ÕÙ Ó ÒØ ÖÓ x ÓÐÙÓ ax b mod m ÓÑ ÒØ Ü Ø ÙÑ ÒØ ÖÓ y Ø Ð ÕÙ ax = b + my ÓÙ Ó ÕÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ ax my = bº Ó Ø ÓÖ Ñ ÒØ Ö ÓÖ ÑÓ ÕÙ Ø ÕÙ Ó ÒÓ ÔÓ Ù Ò Ò ÙÑ ÓÐÙÓ Ó d b ÕÙ d b Ð ÔÓ Ù Ò Ò Ø ÓÐÙ ÔÓÖ x = x 0 (m/d)k y = y 0 (a/d)k, ÓÒ (x 0,y 0 ) ÙÑ ÓÐÙÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ax my = bº ÄÓ Ó ÓÒ ÖÙ Ò ax b mod m ÔÓ Ù Ò Ò Ø ÓÐÙ ÔÓÖ x = x 0 (m/d)kº ÓÑÓ Ø ÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÐÙ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ú ÑÓ Ø ÒØ Ö Ó Ö Ö Ó Ö ÕÙ ÓÒ x 1 = x 0 (m/d)k 1 x 2 = x 0 (a/d)k 2 Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ mº Ë x 1 x 2 Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒØÓ x 0 (m/d)k 1 x 0 (m/d)k 2 mod mº Á ØÓ ÑÔÐ (m/d)k 1 (m/d)k 2 mod m ÓÑÓ (m/d)m Ø ÑÓ (m/d,m) = m/d Ó ÕÙ ÒÓ Ô ÖÑ Ø Ó Ò Ð Ñ ÒØÓ m/d Ö ÙÐØ Ò Ó Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º k 1 k 2 mod dº Ç ÖÚ ÕÙ m Ó Ù Ø ØÙ Ó ÔÓÖ d = m/(m/d)º Á ØÓ ÒÓ ÑÓ ØÖ ÕÙ ÓÐÙ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ ÖÓ Ó Ø Ó ØÓÑ ÖÑÓ x = x 0 (m/d)k ÓÒ k Ô ÖÓÖÖ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ d Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ò Ó ½º Þ ÑÓ ÕÙ ÙÑ ÓÐÙÓ x 0 ax b mod m Ò Ñ ÙÐÓ m ÕÙ Ò Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖ ÓÐÙÓ x 1 ÓÖ ÓÒ ÖÙ ÒØ a x 0 Ñ ÙÐÓ mº Ò Ó ½º ÍÑ ÓÐÙÓ ā ax 1 mod m Ñ ÙÑ ÒÚ Ö Ó a Ñ ÙÐÓ mº Ë Ù ÓÖ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º ÕÙ (a,m) = 1, ÒØÓ ÔÓ Ù ÙÑ Ò Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ mº ÔÖÓÔÓ Ó Ù ÒØ ÒÓ Þ ÕÙ Ò Ó ÙÑ ÒØ ÖÓ Ó Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ p ÓÒ p ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓº ÈÖÓÔÓ Ó ½º Ë p ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓº Ç ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ a Ó Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ p ÓÑ ÒØ a 1 mod p ÓÙ a 1 mod pº ½
26 ½º º ÇË Ì ÇÊ Å Ë ÍÄ Ê ÊÅ Ì ÏÁÄËÇÆ ÑÓÒ ØÖ Ó Ë a Ó Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÒÚ Ö Ó ÒØÓ a 2 1 mod p Ó ÕÙ Ò ÕÙ p (a 2 1)º Å p (a 1)(a+1) Ò Ó Ô ÔÖ ÑÓ p (a 1) ÓÙ p (a+1) Ó ÕÙ ÑÔÐ a 1 mod p ÓÙ a 1 mod pº Ö ÔÖÓ Ñ Ø ÔÓ a 1 mod p ÓÙ a 1 mod p ÒØÓ p (a 1) ÓÙ p (a + 1)º ÈÓÖØ ÒØÓ p (a 1)(a + 1) Ó ÕÙ Ò a 2 1 mod p Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº ½º Ç Ì ÓÖ Ñ ÙÐ Ö ÖÑ Ø Ï Ð ÓÒ ÒØ ÑÓÒ ØÖ ÖÑÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒ ÕÙ Þ ÕÙ Ô Ö Ô ÔÖ ÑÓ (p 1)! 1 mod p ÓÖÒ ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ØÓÑ Ò Ó p = 13 ÓÑ Ò Ð ÔÖ ÒØ ÖÑÓ ÙØ Ð Þ Ò ÑÓÒ ØÖ Óº ÒØÖ Ó Ò Ñ ÖÓ 1,2,3,...,12 ÓÑ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ 1 12 Ó Ó Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ 13º Á ØÓ Ù ÈÖÓÔÓ Ó ½º ÔÓ 1 1 mod mod 13 Ò Ò ÙÑ Ó Ò Ñ ÖÓ 2,3,...,11 ÓÒ ÖÙ ÒØ 1 ÓÙ 1 Ñ ÙÐÓ 13º Å ÓÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ 2,3,4,...,11 Ó ØÓ Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ ÓÑ 13 ÙÑ Ð ÔÓ Ù Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º ÙÑ Ò Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ 13º Ð ÔÓ Ñ ÔÓÖØ ÒØÓ Ö ÖÙÔ Ó Ñ 5 Ô Ö (5 = (13 3)/2) ÕÙ Ó Ó Ù ÒØ mod mod mod mod mod 13 È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º¾ µ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ó Ø Ò Ó mod 13 Ë ÑÙÐØ ÔÐ ÖÑÓ Ó Ó Ð Ó ÔÓÖ 12 Ø Ö ÑÓ mod 13 ÔÓÖØ ÒØÓ ÓÑÓ 12 1 mod 13 Ø ÑÓ Ò ÐÑ ÒØ (13 1)! 1 mod 13º ½
27 ½º º ÇË Ì ÇÊ Å Ë ÍÄ Ê ÊÅ Ì ÏÁÄËÇÆ Ì ÓÖ Ñ ½º Ì ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒµ Ë p ÔÖ ÑÓ ÒØÓ (p 1)! 1 mod pº ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ (2 1)! 1 mod 2 Ó Ö ÙÐØ Ó Ú Ð Ó Ô Ö p = 2º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÒ ÖÙ Ò ax 1 mod p Ø Ñ ÙÑ Ò ÓÐÙÓ Ô Ö ØÓ Ó ÒÓ ÓÒ ÙÒØÓ 1,2,3,..,p 1 ÓÑÓ Ø Ð Ñ ÒØÓ ÓÑ ÒØ 1 p 1 Ó Ù ÔÖ ÔÖ Ó ÒÚ Ö Ó Ñ ÙÐÓ p ÔÓ ÑÓ ÖÙÔ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 2,3,4,...,p 2 Ñ (p 3)/2 Ô Ö Ù Ó ÔÖÓ ÙØÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ 1 Ñ ÙÐÓ 13º Ë ÑÙÐØ ÔÐ ÖÑÓ Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø Ö ÑÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º¾ µ (p 2) 1 mod pº ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ó¹ Ñ Ó Ó Ð Ó Ø ÓÒ ÖÙ Ò ÔÓÖ p 1 Ø Ö ÑÓ (p 2) (p 1) (p 1) mod p, ØÓ (p 1)! 1 mod p ÙÑ Ú Þ ÕÙ p 1 1 mod pº Ç Ø ÓÖ Ñ Ù ÒØ ÒÓ Þ ÕÙ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ø Þ Ö Ð Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ï Ð ÓÒ Ð Ú Ö ÔÖ ÑÓº Ì ÓÖ Ñ ½º½¼ Ë n ÙÑ ÒØ ÖÓ Ø Ð ÕÙ (n 1)! 1 mod n ÒØÓ n ÔÖ ÑÓº ÑÓÒ ØÖ Ó ÔÖÓÚ ÔÓÖ ÓÒØÖ Óº Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ (n 1)! 1 mod n ØÓ n ((n 1)! + 1) ÕÙ n ÒÓ ÔÖ ÑÓ ÓÙ n = rs 1 < r < n 1 < s < nº Æ Ø ÓÒ r (n 1)! Ò Ó r ÙÑ Ú ÓÖ n r ((n 1)!+1) ÔÓÖØ ÒØÓ r Ú Ú Ö Ö Ò (n 1)!+1 (n 1)! = 1, Ó ÕÙ ÙÖ Ó ÙÑ Ú Þ ÕÙ r > 1º ÄÓ Ó ÙÑ Ø Ð n Ø Þ Ò Ó (n 1)! 1 mod n Ú Ö ÔÖ ÑÓº Ç ÔÖ Ü ÑÓ Ø ÓÖ Ñ ÒÓ Þ ÕÙ p ÔÖ ÑÓ p a ÒØÓ p (a p 1 1)º Î ÑÓ ÔÖ Ñ Ö Ñ ÒØ ÔÖÓÚ Ö ØÓ ÒÙÑ Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÑ Ò Ð ÐÙ ØÖ Ö Ù Ò ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ p = 11 a = 5º ÄÓ Ó Ø ÑÓ mod mod mod 11 ½
28 ½º º ÇË Ì ÇÊ Å Ë ÍÄ Ê ÊÅ Ì ÏÁÄËÇÆ mod mod mod mod mod mod mod 11 Ç ÖÚ ÕÙ 11 ÒÓ Ú Ò Ò ÙÑ Ó ÔÖÓ ÙØÓ j 5 1 j 10 ÕÙ ØÓ Ò ÓÐÙÒ ÕÙ Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ñ º Ç ÖÚ Ø Ñ Ñ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ó ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ 11 ÔÓ 5j 5k mod 11 Ú ÑÓ Ø Ö j k mod 11 ÓÑ 1 j 10 1 k 10 ÔÓÖØ ÒØÓ j = kº ÄÓ Ó ÓÑÓ Ò Ò ÙÑ ÓÒ ÖÙ ÒØ Þ ÖÓ Ñ ÙÐÓ 11 ØÓ Ó Ó ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ 11 Ð Ú Ñ Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ Ö ÒØ Ò Ñ ÖÓ ÒØÖ 1,2,3,...,10º Ç ÖÚ ÕÙ ØÓ Ó Ø Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ñ Ñ Ö Ô Ø Ò ÓÐÙÒ º Ö Ø Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ñ º ÓÖ ÔÓ ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ô Ö Ó Ø Ö (1 5)(2 5)(3 5) (10 5) mod 11 ÔÓÖØ ÒØÓ ! 10! mod 11º Å ÓÑÓ (10!,11) = 1 Ø ÑÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º ÕÙ mod 11, Ó ÕÙ ÑÓ ØÖ Ú Ð Ó Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ó Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÕÙ a = 5 p = 11º ÓÑ Ø Ü ÑÔÐÓ Ñ Ñ ÒØ Ö Ð ÔÖÓÚ Ö Ó Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º½½ È ÕÙ ÒÓ Ì ÓÖ Ñ ÖÑ Ø Ë p ÔÖ ÑÓº Ë p a ÒØÓ a p 1 1 mod pº ÑÓÒ ØÖ Ó Ë ÑÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó Ô ÐÓ pò Ñ ÖÓ {0,1,2,...,p 1} ÓÒ Ø ØÙ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ pº Á ØÓ Ò ÕÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ ÓÒØ Ò Ó ÒÓ Ñ Ü ÑÓp Ð Ñ ÒØÓ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓp ÔÓ Ö ÓÐÓ Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÒ ÚÓ ÓÑ ÙÑ Ù ÓÒ ÙÒØÓ {0,1,2,...,p 1}º Î ÑÓ ÓÖ ÓÒ Ö Ö Ó Ò Ñ ÖÓ a,2a,3a,...,(p 1)aº ÓÑÓ (a,p) = 1 Ò Ò ÙÑ Ø ½
29 ½º º ÇË Ì ÇÊ Å Ë ÍÄ Ê ÊÅ Ì ÏÁÄËÇÆ Ò Ñ ÖÓ ia 1 i p 1 Ú Ú Ð ÔÓÖ p ÓÙ Ò Ò ÙÑ ÓÒ ÖÙ ÒØ Þ ÖÓ Ñ ÙÐÓ pº ÉÙ ÕÙ Ö Ó Ð Ó ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ p ÔÓ aj ak mod p ÑÔÐ j k mod p ØÓ ÔÓ Ú Ð j = k ÙÑ Ú Þ ÕÙ Ñ Ó j k Ó ÔÓ Ø ÚÓ Ñ ÒÓÖ Ó ÕÙ pº Ì ÑÓ ÔÓÖØ ÒØÓ ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ Ó p 1 Ð Ñ ÒØÓ ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ p ÒÓ¹ Ú Ú ÔÓÖ pº ÄÓ Ó ÙÑ Ð ÓÒ ÖÙ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ ÒØÖ Ó Ð Ñ ÒØÓ {1,2,3,...,p 1}º Ë ÑÙÐØ ÔÐ ÖÑÓ Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø Ö ÑÓ a(2a)(3a)(4a) (p 1)a (p 1) mod p, ÓÙ a p 1 (p 1)! (p 1)! mod pº Å ÓÑÓ((p 1)!,p) = 1 ÔÓ ÑÓ Ò Ð Ö Ó ØÓÖ (p 1)! Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó Ó Ø Ò Ó a p 1 1 mod p Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº ÓÖÓÐ Ö Ó ½º½½º½ Ë p ÙÑ ÔÖ ÑÓ a ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÒØÓ a p a mod p. ÑÓÒ ØÖ Ó Ì ÑÓ ÕÙ Ò Ð Ö Ó Ó p a p aº Ë p a ÒØÓ p (a(a p 1 1)) ÔÓÖØ ÒØÓ a p a mod pº Ë p a p a p 1 1 ÔÓÖØ ÒØÓ p (a p a)º ÄÓ Ó Ñ Ñ Ó Ó Ó a p a mod pº Ò Ó ½º Ë n ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ ÙÒÓ φ ÙÐ Ö ÒÓØ ÔÓÖ φ(n) Ò ÓÑÓ Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ñ ÒÓÖ Ó ÕÙ ÓÙ Ù n ÕÙ Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ ÓÑ nº Ò Ó ½º ÍÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m ÙÑ ÓÒ ÙÒØÓ φ(n) ÒØ ÖÓ r 1,r 2,...,r φ(m) Ø ÕÙ Ð Ñ ÒØÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ ÓÑ m i j ÒØÓ r i r j mod mº Ü ÑÔÐÓ ½º Ç ÓÒ ÙÒØÓ {0,1,2,3,4,5,6,7} ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ 8 ÔÓÖØ ÒØÓ {1,3,5,7} ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ 8º Ñ Ó Ø Ö ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ ÙÑ Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ñ ÙÐÓ m Ø Ö Ø Ö Ö Ó Ð Ñ ÒØÓ Ó Ø Ñ ÓÑÔÐ ØÓ ÕÙ ÒÓ Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ ÓÑ mº ½
30 ½º º ÇË Ì ÇÊ Å Ë ÍÄ Ê ÊÅ Ì ÏÁÄËÇÆ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Ë a ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ Ø Ð ÕÙ (a,m) = 1º Ë r 1,r 2,...,r φ(m) ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m ÒØÓ ar 1,ar 2,...,ar φ(m) Ø Ñ Ñ ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ mº ÑÓÒ ØÖ Ó ÓÑÓ Ò ÕÙ Ò ar 1,ar 2,...,ar φ(m) Ø ÑÓ φ(m) Ð Ñ ÒØÓ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ð Ó Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÔÖ ÑÓ ÓÑ m Ó Ó ÒÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ mº ÓÑÓ (a,m) = 1 (r i,m) = 1 Ø ÑÓ (ar i,m) = 1º ÄÓ Ó ÒÓ Ö Ø ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ ar i ar j mod m i jº Å ÓÑÓ (a,m) = 1 ar i ar j mod m Ø ÑÓ r i r j mod m Ó ÕÙ ÑÔÐ i = j ÙÑ Ú Þ ÕÙ ar 1,ar 2,...,ar φ(m) ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Î ÑÓ ÓÖ ÑÓ ØÖ Ö Ú Ð Ó Ì ÓÖ Ñ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ó Ô Ð Ô Ö ÐÙ ØÖ Ö ÕÙ Ù Ö ÑÓ Ò ÑÓÒ ØÖ Óº Ë Ñ m = 8 a = 5º Ë ÑÓ ÕÙ Ó ÓÒ ÙÒØÓ {1,3,5,7} ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ 8º ÓÒ Ö ÑÓ Ó ÓÒ ÙÒØÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ 5 1,5 3, º È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ Ø ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ñ Ñ ÓÒ Ø ØÙ ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ8º Á ØÓ Ò ÕÙ ÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ 5 1,5 3,5 5,5 7 ÓÒ ÖÙ ÒØ Ñ ÙÐÓ 8 Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ó Ð Ñ ÒØÓ 1,3,5,7º Ì ÑÓ Ò Ö Ð ÕÙ mod mod mod 8 ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó¹ Ñ Ñ ÖÓ Ñ Ñ ÖÓ Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ø ÑÓ 5 4 ( ) ( ) mod 8 ÓÑÓ ( ,8) = 1 ÔÓ ÑÓ Ò Ð Ö Ó ØÓÖ ( ) Ó Ø Ò Ó mod 8. Ç ÖÚ ÕÙ 4 = φ(8) ÓÙ ÔÖÓÚ ÑÓ ÕÙ 5 φ(8) 1 mod 8. ¾¼
31 ½º º Ç Ì ÇÊ Å ÀÁÆ Ë ÇË Ê ËÌÇË Ì ÓÖ Ñ ½º½ ÙÐ Öµ Ë m ÙÑ ÒØ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ a ÙÑ ÒØ ÖÓ ÓÑ (a,m) = 1 ÒØÓ a φ(m) 1 mod m. ÑÓÒ ØÖ Ó ÆÓ Ì ÓÖ Ñ ½º½¾ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÕÙ Ó Ð Ñ ÒØÓ ar 1,ar 2,...,ar φ(m) ÓÒ Ø ØÙ Ñ ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓm (a,m) = 1 r 1,r 2,...,r φ(m) ÓÖ ÙÑ Ø Ñ Ö ÙÞ Ó Ö ÙÓ Ñ ÙÐÓ m Á ØÓ Ò ÕÙ ar i ÓÒ ÖÙ ÒØ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÑ Ó r j,1 j φ(m) ÔÓÖØ ÒØÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó ar i Ú Ö ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó r j Ñ ÙÐÓ m ØÓ ar 1 ar 2... ar φ(m) r 1 r 2... r φ(m) mod m ÓÙ a φ(m) r 1 r 2...r φ(m) r 1 r 2... r φ(m) mod m. ÓÑÓ ÔÓ ÑÓ Ò Ð Ö φ(m) r i,m = 1 i=1 φ(m) i=1 Ñ Ñ Ó Ó Ð Ó Ô Ö Ó Ø Ö a φ(m) 1 mod mº ÓÑÓ Ô Ö p ÔÖ ÑÓ φ(p) = p 1 Ó Ø ÓÖ Ñ Ñ ÙÑ Ò Ö Ð Þ Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½½º r i ½º Ç Ì ÓÖ Ñ Ò Ó Ê ØÓ Ç ÒÓÑ Ó Ó Ø ÓÖ Ñ Ù ÒØ Ú Ó ØÓ ÕÙ Ø Ö ÙÐØ Ó Ö ÓÒ Ó Ò ÒØ Ù Ô ÐÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò º Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ç Ì ÓÖ Ñ Ò Ó Ê ØÓ µ Ë (m i,m j ) = 1 Ô Ö i j c i Ó ÒØ ÖÓ ÒØÓ Ó Ø Ñ ¾½
32 ½º º Ç Ì ÇÊ Å ÀÁÆ Ë ÇË Ê ËÌÇË x c 1 mod m 1 x c 2 mod m 2 x c 3 mod m 3 º x c r mod m r ÔÓ Ù ÓÐÙÓ ÓÐÙÓ Ò Ñ ÙÐÓ m ÓÒ m = m 1 m 2 m r º ½º µ ÑÓÒ ØÖ Ó Ë Ò ÖÑÓ y i = m/m i ÓÒ m = m 1 m 2... m r Ø Ö ÑÓ (y i,m i ) = 1 ÔÓ (m i,m j ) = 1 Ô Ö i jº ÓÖÑ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º ÙÑ ÓÒ ÖÙ Ò y i x 1 mod m i ÔÓ Ù ÙÑ Ò ÓÐÙÓ ÕÙ ÒÓØ ÑÓ ÔÓÖ y i º ÄÓ Ó y i y i 1 mod m i,i = 1,2,,rº ÖÑ ÑÓ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ x Ó ÔÓÖ x = c 1 y 1 y 1 +c 2 y 2 y 2 + +c r y r y r ÙÑ ÓÐÙÓ ÑÙÐØÒ Ô Ö Ó ÒÓ Ó Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò º ØÓ Ô Ð Ò Ó Ó y j Ø ÑÓ ÕÙ m i y j Ô Ö i jº Ñ c j y j 0 mod m i ÓÒ ÕÙ ÒØ Ñ ÒØ x = c 1 y 1 y 1 +c 2 y 2 y 2 + +c i y i y i +...+c r y r y r c i y i y i mod m i c i mod m i. ÈÖÓÚ ÑÓ Ù Ö ÕÙ Ø ÓÐÙÓ Ò Ñ ÙÐÓ mº Ë x ÙÑ ÓÙØÖ ÓÐÙÓ Ô Ö Ó ÒÓ Ó Ø Ñ ÒØÓ x c i x mod m i ÔÓÖØ ÒØÓ x x mod m i º ÄÓ Ó m i (x x),i = 1,2,...,rº ÈÓÖ ÓÙØÖÓ Ð Ó ÓÑÓ (m i,m j ) = 1 Ô Ö i j Ø ÑÓ ÕÙ [m 1,m 2,...,m r ] = m 1 m 2... m r. ÈÓÖØ ÒØÓ Ô ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º mm 1 m 2... m r ( x x) ÓÙ x x mod m Ó ÕÙ ÓÒÐÙ ÑÓÒ ØÖ Óº Ç ÓÖÓÐ Ö Ó Ù ÒØ ÙÑ Ú Ö Ó Ñ ÓÑÔÐ Ø Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ º ËÙ ÔÖÓÚ Ù Ñ Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ñ ½º ½º½ º ÓÖÓÐ Ö Ó ½º½ º½ Ç Ì ÓÖ Ñ Ò Ó Ê ØÓ ¹ Ú Ö Ó ¾µ Ë (a i,m i ) = 1 (m i,m j ) = 1 Ô Ö i j c i ÒØ ÖÓ ÒØÓ Ó Ø Ñ ¾¾
33 ½º º Ç Ì ÇÊ Å ÀÁÆ Ë ÇË Ê ËÌÇË a 1 x c 1 mod m 1 a 2 x c 2 mod m 2 a 3 x c 3 mod m 3 º a r x c r mod m r ÔÓ Ù ÓÐÙÓ ÓÐÙÓ Ò Ñ ÙÐÓ m ÓÒ m = m 1 m 2 m r º ½º µ ÑÓÒ ØÖ Ó È ÐÓ Ì ÓÖ Ñ ½º Ô Ö i = 1,...,r Ü Ø a i Ø Ð ÕÙ a i a i 1 mod m i ÔÓÖØ ÒØÓ Ó Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò ½º µ ÕÙ Ú Ð ÒØ x a 1 c 1 mod m 1 x a 2 c 2 mod m 2 x a 3 c 3 mod m 3 º x a r c r mod m r ½º µ ÓÑÓ Ó Ø Ñ ½º µ ÒØ Ó Ó Ó Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ó Ö ÙÐØ Ó Ù º ¾
34 Ô ØÙÐÓ ¾ ÔÐ ¾º½ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ð ÙÑ Ù ÔÐ ÍÑ ÖÖ Ñ ÒØ Ñ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ø ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÕÙ ÒÚÓÐÚ Ó ÓÒ ØÓ ÓÒ ÖÙ Ò º Ó Ó Ö Ð ÒØ Ù ÕÙ Ó ÖÚÓÙ ÕÙ Ù Ú ÑÓ ÓÑ ÑÙ Ø Ö ÕÙ Ò Ö Ó Ø ÔÓ a Ó Ñ ÑÓ Ö ØÓ ÕÙ b ÕÙ Ò Ó Ú Ó ÔÓÖ m ÕÙ Ö Ð Ó Ø Ò ÙÑ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ñ Ð ÒØ Ù Ð º Ó Ù ÒØÓ ÕÙ ÒØÖÓ ÙÞ Ù ÙÑ ÒÓØ Ó Ô Ô Ö Ø ØÓ ÕÙ ÒÓÑ ÒÓÙ ÓÒ ÖÙ Ò º ÅÙ ØÓ Ø Ñ Ö ØÓ Ó Ö Ø Ñ ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ ÒÓ Ð ÚÖÓ Ó Ö Ø ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ º ÙÑ ÓÒ ØÓ ÑÙ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ø Ö Ð ÓÒ Ó ÓÑ Ú Ð Ó Ö ØÓ ÙÑ Ú Ó Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ º Ç ÕÙ ÒÓ ÑÙ ØÓ ÓÑÙÑ Ó ØÙ Ó ÑÙ Ø ÔÐ ÕÙ Ó Ø Ñ ÔÓ Ù ÒÓ ÓØ ÒÓ ØÓ Ô Ó º Ö ÒØ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ó ÓÑÓ Ó ÖÖ Ò Ñ ÖÓ Ó ÓÙÑ ÒØÓ ÒØ È ÆÈ ÁË Æ ÁËËÆ Ö ÔØÓ Ö Ð Ò Ö Ó Ú Ö Ó ÒÑ ÒÓ Ô Ö Ó ØÓ Ö Ø Ñ ÒØ Ð Ó Ó Ø Ñ ÓÒ ÓÖÑ ÑÓ ØÖ Ö ÑÓ Ñ ÒÓ Ó ØÙ Óº Ø Ø Ñ Ø ÒØ ØÙ Ð ÔÓ Ö ØÖ Ð Ó Ò Ð Ó Ò ÒÓ ÙÒ¹ Ñ ÒØ Ð Ö ÓÖ Ü Ð ÒØ ÓÔÓÖØÙÒ ÓÒØ ÜØÙ Ð Þ Ó ÒÓ ÔÖÓ Ó Ò ÒÓ» ÔÖ Ò Þ Ñ Ñ Ø Ñ Ø º ÁÒ ÐÑ ÒØ Ú ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØÓ Ø Ö Ó Ó Ö Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó ØÖ Ð Ó Ø Ö ÑÓ ÔÖ ÒØ Ó Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ ÔÐ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÒØ Ö ÒØ Ø Ñ Ö Ø ÓÖ Ó Ò Ñ ÖÓ º ¾
35 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë ¾º½º½ ÆÓ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÒØ ÔÖ ÒØ ÖÑÓ Ò ÔÖÓÔÖ Ö Ð ÓÒ ÓÒ ÖÙ Ò Ú ÑÓ ÒÚÓÐÚ Ö ØÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ÔÓ Ö Ñ Ö ÓÐÓ Ó ÐÙÒÓ Ù Ó Ò ÒÓ Ñ Ð Ö Þ Ó ÓÑ Ó Ø Ñ ÓÑÓ ÒØÖÓ ÙÓ Ó ÙÒØÓº Ü ÑÔÐÓ ¾º½ Î ÑÓ ÔÖ ÒØ Ö ÙÑ ÕÙ ØÓ Ö Ø Ö Ó ÒÓ ÕÙ Ø Ó Ø Ç Å È ÇÐ ÑÔ Ö Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÓÐ È Ð µº À Ó Ó Ó ÔÓ Ó ÕÙ ÙÑ Ö Ò Ù Ô Ö ÓÒ ØÖÙ Ö Ù Ø ÓÒ ÓÖÑ ÑÓ ØÖ ÙÖ º Ö Ò ÓÒØ ÒÙ Ù ØÖ Ð Óº ËÓ Ö ÕÙ Ð Ó ÔÓ Ó Ø Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 118 ÙÖ ¾º½ Ì Ö Ò Î ÑÓ Ó ÕÙ Ø ÓÒØ Ò Ó ¼ ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¼ ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÖÓ ÕÙ Ð ÙÑ Ô Ó Ñ Ô ÒØ ÔÓ Ö ÓÒØ ÒÙ Ö ÓÒ ØÖÙ Ò Ó Ø Ð Ø ÕÙ Ô Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 118º Ñ Ð Ö Ñ ÕÙ Ð Ó Ö Ò Ö Ø Öº ÓÒÚ Ò ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ö ÙÑ ÓÐÙÓ ÑÙ ØÓ ÔÖ Ø Ò Ñ Ö Ô º ÁÑ Ò ÕÙ ØÓ Ô Ö ÙÒØ Ó Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ 890 ¾
36 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë ÈÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ó Ó Ö Ô Ø Ñ Ó ØÓ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ó Þ ÓÑ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó ÓÖÑ Ñ ÙÑ ÔÖÓ Ö Ó Ö ØÑ Ø Ö ÞÓ Ù Ð 8 ÓÙ ÙÑ ÒØ Ñ Ó ØÓ Ñ Ó ØÓº Ç ÖÚ ÑÓ Ø Ñ Ñ ÕÙ Ó ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ó Ô ÖØ Ö Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ 8º Ç Ó ÓÖÖ ÔÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ 8 ÓÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ú Ó ÔÓÖ 8 Ü Ñ Ö ØÓ Þ ÖÓ 8.n ÓÑ n Nµº Ç Ó B ÓÖÖ ÔÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ 8 Ñ 1 ÓÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ú Ó ÔÓÖ 8 Ü Ñ Ö ØÓ 1 8.n + 1 ÓÑ n Nµº Ç Ó C ÓÖÖ ÔÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ñ ÐØ ÔÐÓ 8 Ñ 2 ÓÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ú Ó ÔÓÖ 8 Ü Ñ Ö ØÓ 2 8.n + 2 ÓÑ n Nµ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ó Ó H Ò Ó Ô ÐÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ú Ó ÔÓÖ Ó ØÓ Ü Ñ Ö ØÓ 7º Ð ÖÓ ÕÙ Ô Ö Ö Ó Ö ÕÙ Ð Ó Ø Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 118 Ø Ú Ö ÖÑÓ ÕÙ Ð Ñ Ð Ø Ð Ò Ñ ÖÓ Ô ÖØ Ò Ó ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ó Ø Ó Ó Ú ÖÑÓ 118 ÔÓÖ 8º Î ÑÓ ½½ µ ½ Î Ö ÑÓ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ 118 Ù Ð ÓÙ Ô ÖØ Ò Ñ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ØÓ ÒÓ Ó Gº ÌÓ Ó Ó Ò Ñ ÖÓ ÒÓ Ó Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ØÓ ÒÓ Ñ ÑÓ Ó Ø Ñ ÙÑ Ô ÖØ ¹ ÙÐ Ö Ñ ÓÑÙÑ Ü Ñ Ó Ñ ÑÓ Ö ØÓ Ó Ö Ñ Ú Ó ÔÓÖ 8 ÓÑÓ ÓÑ ÒØ ÑÓ Ò ÒØÖÓ ÙÓ Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ ÒØÖ ÒÓ Ñ ÙÐÓ 8º Ç Ò Ñ ÖÓ 14 ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ 22 ÒÓ Ñ ÙÐÓ 8 Ó Ò ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ü Ñ Ó Ñ ÑÓ Ö ØÓ ÕÙ Ò Ó Ú Ó ÔÓÖ Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ñ Ó ØÓ Ó Ö Ó Ó Gµº Î Ö Ò Ó ½ ¾¾ µ ½ µ ¾ Ë Ñ ÓÐ Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ Ö Ú Ö mod 6 Ü ÑÔÐÓ ¾º¾ Ö ØÑ Ø Ó Ö Ð Ó ÌÖ Ø ¹ ÙÑ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 12 ÒÓ Ö Ð Ó Ò Ð Ó Ð ÖÓµº ÆÓØ ÕÙ 13 ÓÖ ÓÒ ÖÙ ÒØ 1 ÓÖ ÒÓ Ñ ÙÐÓ 12º Ñ Ó Ú Ó ÔÓÖ 12 ¾
37 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë ÙÖ ¾º¾ Ê Ð Ó Ò Ð Ó Ü Ñ Ö ØÓ 1º 17 ÓÖ ÓÒ ÖÙ ÒØ 5 ÓÖ Ñ ÙÐÓ 12º Ì ÒØÓ 17 ÓÑÓ 5 Ú Ó ÔÓÖ 12 Ü Ñ Ö ØÓ 5 º º º Ñ Ù Ú Ñ ÒØ º ,mod ,mod12 Ñ ÓÖ Ñ Ö ÒÙÑ Ö Ð Ó Ò Ð Ó ÓÒ Ø ØÙ Ñ Ø Ñ Ñ ÙÑ Ó Ð Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ò Ó ÓÑ Ñ ÙÐÓ 12º Ü ÑÔÐÓ ¾º Î ÑÓ ÙÑ ÔÐ Ó ÒØ Ö ÒØ Ó Ö Ó Ø Ñ Ö Ð ÓÒ Ó Ð Ò Ö Ó Î ÑÓ ÙÔÓÖ ÕÙ ÚÓ Ñ ÕÙ Ð Ñ Ò Ù Ó 1 Ó Ò ÖÓ ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ó ÒÓº Ñ 2006 ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó ÙÑ ÓÑ Ò Óº ÁÑ Ò ÑÓ ÕÙ ÚÓ Ö ÕÙ Ò Ó Ö ÙÑ ÓÙØÖÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ú Ð Ô Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÓµº ÑÓÒØ Ö ÙÑ Ø Ð Ô Ö ÔÖ Ñ Ö Ñ Ò ÕÙ ÒÓ Ó Ö Domingo (1) Segunda (2) Ì Ö (3) Quarta (4) Quinta (5) Sexta (6) Ë Ó (7) Î Ö ÑÓ ÕÙ ÕÙ Ø ÑÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ ÒØ ÙÑ Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ¹ ÙÐÓ 7 Ò Óº ÑÓ ÕÙ Ø Ú ÑÓ ÒØ Ö Ó Ñ Ó Ö Ö Ñ ÕÙ ¾
38 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë Ñ Ò Ù Ó 5 ÙÐ Ó ÒÓ Ø ÑÓ ÙÑ Ð Ò Ö Ó Ñ ÑÓ Ð ÖÓµº ÈÖ Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ Ú Ö ÕÙ ÒØÓ Ü Ø Ñ 1 Ò ÖÓ Ø 5 ÙÐ Óº Î ¹ ÑÓ Janeiro = 31 Fevereiro = ÒÓ ÜØÓµ Å ÖÓ = 31 Abril = 30 Maio = 31 Junho = 30 Julho = 5 Total = 186. ¾º½µ ÓÖ ÓÑÓ Ø Ú ÑÓ ÙÑ Ð 186 Ø ÑÓ Ò Ó Ö Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 7 7 Ñ Ò µ ÕÙ Ð Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ó 186º Ø ÑÓ ÒØ ÙÑ ØÙ Ó Ñ Ñ Ð ÒØ ÕÙ Ú ÑÓ ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ñ Ñ ÒÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ö Ð Ó Ò Ð Ó º Ë Ú ÖÑÓ 186 ÔÓÖ 7 Ø Ö ÑÓ ½ µ ¾ ÄÓ Ó Ó 186 ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó 4 ÒÓ Ñ ÙÐÓ 7º ÓÑÓ Ó 4 Ò ÖÓ 2006 Ó ÙÑ ÕÙ ÖØ ¹ Ö Ó 186 Ó Ñ ÑÓ ÒÓ Ø Ñ Ñ Ó Ö Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ñ ÕÙ ÖØ ¹ Ö Ø ÒÓ ÖÓ ÓÙÔ Ó ÔÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó 4 Ñ ÙÐÓ 7º Ñ ÓÑ Ó ØÖ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÔÓ ÑÓ Ó ÖÚ Ö ÕÙ Ñ ÒÓ Ó ÓØ ÒÓ Ü Ø Ñ Ò Ñ Ö ØÙ ÓÒ Þ ÔÖ ÒØ ÒÓÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ kº Ð Ò Ö Ó Ö Ð Ó Ò Ð Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ö Ð ÒÚÓÐÚ Ò Ó Ö Ô ¹ Ø Ô Ö º ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ Ñ ÒÓ Ó ØÙ Ó ÕÙ Ò Ö ÔØÓ Ö Ñ Ú Ö Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÙÑ ÒØÓ ÒØ Ó ÓÑÓ ÒÓ È ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓµ Ø Ñ Ñ Ø ÔÖ ÒØ Ö ØÑ Ø ÅÓ ÙÐ Ö ÒÓÓ ÓÒ ÖÙ Ò º ¾
39 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë ¾º½º¾ Ë Ø Ñ ÒØ Ó Ñ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø ÜØÓ ÙÑ ÖÖÓ ÓÖØÓ Ö ÒÙÑ Ô Ð ÚÖ ÔÓ Ö ÐÑ ÒØ Ô Ö Ó ÔÓ ÓÙ Ô Ð ÚÖ ÒÓ Þ Ô ÖØ Ó ÓÑ ÓÙ ÒÓ Þ ÒØ Ó ÓÑ Ó ÓÒØ ÜØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø ÑÓ Ò Ò ÖÓ ÐÓ Ó Ô Ö ÑÓ ÕÙ Þ ÑÓ ÙÑ ÒÚ Ö Ó Ù ÐØ Ñ Ð ØÖ º Å ÕÙ Ò Ó Ó ÓÓÖÖ ÓÑ Ó Ð Ö ÑÓ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÙÑ Ó ÒØ Ó ÕÙ ÐÕÙ Ö ÒÓ Ø Ö ÑÓ ÓÑÓ Ô Ö Ö ØÖÓ ÒÙÑ ÑÔÐ ÓÐ Öº È Ö Ó Ø Ñ Ñ Ô Ö Ñ Ò Ñ Þ Ö Ö Ù ÓÖ Ñ Ö Ó Ó Ñ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ ÓÙ Ú Ö Óº Ì ØÓ Ó ÒÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ó Ò ÒÓÓ ÓÒ ÖÙ Ò ÕÙ ÑÓ ØÖ ÑÓ ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ º ÅÓ ØÖ Ö ÑÓ Ù Ö Ð ÙÒ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ù Ó ÓÑÓ ÒØ ÓÖ º ÁË Æ ÍÑ Ó Ü ÑÔÐÓ Ñ ÒØ Ó Ó Ø Ñ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËØ Ò Ö ÓÓ ÆÙÑ Ö ÁË Æµ Ø ÐÓ Ó Ð ÚÖÓ ¹ÊÓÑ ÔÙ Ð Ñ Ö Ð ÕÙ Ó Ö Ó Ñ1969º Ò ÕÙ ØÓÖ Ø Ñ Ø ÐÓ Ö Ó Ù Ð ÚÖÓ Ò ÓÖÑ Ø Þ Ö Ó Ø Ñ ÒÓÑ Ò ÖÚ Ù ÑÓØ Ú Ó Ò Ö Ó Óº Ú ÒØ Ñ ÕÙ ÔÓÖ Ö ÙÑ Ó ÒÙÑ Ö Ó ÙÐØÖ Ô ÙÐ Ö ¹ Ô ÐÓ Ú Ö Ó ÓÑ Ó ÑÙÒ Ó Ñ ÓÑÓ Ö Ò Ú Ö Ð ØÓ Ü Ø ÒØ º ÓÖÑ ÔÓ Ö ÑÓ ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ØÖ Ú Ó ÁË Æ ÙÑ Ð ÚÖÓ ÔÓÒ º Ñ Ø Ð Ø Ñ ÔÙ Ð Ó ÒØ ØÖ Ú ½¼ Ð Ö ÑÓ Ò Ó ÕÙ Ó ÐØ ÑÓ ØÓ ÓÒØÖÓÐ µ ÐÙÐ Ó ØÖ Ú Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ò¹ ÚÓÐÚ Ò Ó ÓÔ Ö Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ Ó ÓÙØÖÓ ÒÓÚ ØÓ º ÒÓÚ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ Ó ÑÔÖ Ù Ú Ó Ñ Ô ÖØ Ø Ñ Ò Ó Ú Ö Ú Ð Ô Ö ÔÓÖ Ò ÕÙ ØÖ Ò Ñ Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ó Ö Ó Ô ØÓÖ Ó Ö Ó Ð ÚÖÓ Ñ ÕÙ ØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ð Ò Ù Ò Ð ÒØ ÓÑ ÒØ Ô ÐÓ Ð Ö ÑÓ 0 ¹ ØÓÖ Å Ö Û¹À ÐÐ Ø Ñ ÙÑ Ó 2 Ð Ö ÑÓ ÕÙ ÒØ ÓÖÑ Ö Ø Ñ Ò 6 Ð Ö ÑÓ Ô Ö ÒØ Ó Ù ÔÙ Ð Ú Ò Ó ÔÓ ÔÓ Ð 10 6 = Ø ØÙÐÓ º Î ÑÓ ÓÑÓ ÔÖÓ Ó ÐÙÐÓ Ó ØÓ Ò Ð Ó ÁË Æ ÓÒØÖÓÐ µº Ê ÔÖ ÒØ Ò Ó ÔÓÖ a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9 ÕÙ Ò ÓÖÑ Ô ÐÓ 9 ÔÖ ¹ ¾
40 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë Ñ ÖÓ ØÓ Ú ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ÐÓ Ò ÓÖ Ñ Ô Ð {10,9,8,7,6,5,4,3,2} ÓÑ Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ø Ó º Ç ØÓ ÕÙ Ø ÐØ Ò Ó ÕÙ Ú ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÔÓÖ a 10 Ú Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ Ú Ð Ø Ð ÕÙ Ó Ö Ö ÒØ Ó ÓÑ Ó Ø Ú Ö Ö ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ 11 ØÓ ÓÑ Ó Ø S Ó Ò Ñ ÖÓ S + a 10 Ú Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ 11 ÓÙ S +a 10 0 mod 11º Î ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Æ ÓÒØÖ Ô Ó Ð ÚÖÓ Ì Ñ ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÐ Ó ÈÖÓ ÓÖ Å Ø Ñ Ø Ë Å Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ Ó Ó ÁË Æ º Î ÑÓ Ó ÐÙÐÓ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ ÕÙ ÓÑÓ Ø ÑÓ Ó ÖÚ Ò Ó Ù Ð 8º ½ ¾ ½¼ ¾ ØÙ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ò Ó Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ø Ó Ø Ö ÑÓ = = = 333 ½½ µ ¼ È Ö Ó Ø ÖÑÓ ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ 11 Ó Ö ÒØ ÖÑÓ Ó ÑÓ Ð Ö ÑÓ Ó Ñ ÒÓÖ Ú ÐÓÖ ÕÙ Ø Ò Ø Ð ÓÒ Ó Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 8 ÔÓ 11 3 = 8º Ç ÕÙ ÓÒ Ö Ó Ú ÐÓÖ ÔÖ ÒØ Ó ÒÓ Ó Óº Á Ó Ò Þ Ö ÕÙ = 341 ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ 11 ÓÙ Ò ÕÙ mod 11º Ó ÖÖ Æ¹½ ÍÑ Ó Ó ÖÖ Ñ Ù Ó ÒÓ ÑÙÒ Ó ØÓ Ó Ó Æ¹½ ÓÒ Ø ¹ ØÙ Ó 13 Ð Ö ÑÓ Ò Ó ÕÙ Ó ÐØ ÑÓ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ º Æ Ó Ù ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 10 Ó ØÓÖ ÕÙ ÓÑÔ Ñ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ó Ó Ó ØÓ 1 3 ÕÙ ÚÓ Ö Ô Ø Ò Ó ÕÙ Ö Ô Ö Ö Ø º Ë a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9,a 10,a 11,a 12 ÕÙ Ò ÓÖÑ Ô ÐÓ 12 ÔÖ Ñ ÖÓ ¹ ØÓ Ú ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ÐÓ Ò ÓÖ Ñ Ô Ð ß½ ½ ½ ½ ½ ½ Ð ÓÑ Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ø Ó º Î ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÔÓÖ S ÓÑ Ó Ø º Ç ØÓ ÕÙ Ø ÐØ Ò Ó ÕÙ Ú ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÔÓÖ 13 Ú Ö Ø Ð ÕÙ Ó Ö ÓÑ Ó ¼
41 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë ÓÑ S Ú Ö Ö ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ 10 ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ S +a 13 Ú Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ 10 ÓÙ S +a 13 0 mod 10º Î ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÆÙÑ Ñ Ð Ñ ÙÑ ÖÖ Ô Ö ÈÓÖØÙ Ð Ø ÑÓ Ó Ù ÒØ Ó ÖÖ ÙÖ ¾º Ó ÖÖ Î ÑÓ ØÙ Ö Ó ÐÙÐÓ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ó Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ ÕÙ Ø ÑÓ Ú Ò Ó Ö Ó ØÓ 7µº ¾ ¼ ¾ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ò Óº ØÙ Ò Ó Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ø Ö ÑÓ = 83 ½¼ µ ÄÓ Ó Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ö Ù Ð 7(10 3)º ÆÓØ ÕÙ 83+7 = 90 Ñ ÐØ ÔÐÓ 10µ Ë ÑÓ Ø Ñ Ñ ÕÙ ÒÓ Ó ÖÖ ÓÑ 13 Ð Ö ÑÓ Ó ØÖ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ Ó Ó Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ó Ô Ö ØÖÓ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ú Ö ÕÙ ÕÙ Ô Ö ÔÖÓ ÙØÓ Ð Ó ÒÓ Ö Ð Ø Ö ÑÓ ÑÔÖ Ó ØÓ 7,8 9µ Ó ÕÙ ØÖÓ ØÓ Ù ÒØ ÒØ Ñ Ó Ö ÒØ Ó ÔÖ Ü ÑÓ ÒÓ ØÓ ÒØ Ñ Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó ÐØ ÑÓ ÓÑÓ ÑÓ Ó ØÓ Ú Ö ÓÖ ÓÙ ÓÒØÖÓÐ ÕÙ ÔÓ ÐÙÐ Ö ØÖ Ú ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 10º ØÖÓ È Ó Ò Ê Ø Ö Ð» È ÇÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÒÓ Ó ÓØ ÒÓ Î Ö Ó Ó Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ó È ÙÑ Ô Ó ½
42 ¾º½º ÊÁÌÅ ÌÁ ÅÇ ÍÄ Ê Ä ÍÅ ËÍ Ë ÈÄÁ Ë Ç Ò Ñ ÖÓ È ÙÑ Ô Ó ÒÓ Ö Ð ÓÒ Ø ØÙ Ó ½½ ØÓ Ò Ó ÙÑ ÔÖ Ñ ÖÓ ÐÓÓ ÓÑ Ð Ö ÑÓ ÙÑ ÙÒ Ó ÓÑ Ñ Ó Ð Ö ÑÓ ÕÙ Ó ÓÑÓ ÒÓ ÁË Æ ÒÓ Ó ÖÖ ØÓ ÓÒØÖÓÐ ÓÙ Ú Ö Ó º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ñ ÙÑ Ó ÔÐ Ó ÒÓÓ ÓÒ ÖÙ Ò º ÆÓ Ó Ó È Ó ÑÓ ØÓ ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ Ú Ö ÓÖµ Ó Ö Ùй Ø Ó ÙÑ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ ½½ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó ÔÓÖ ÙÑ ÓÔ Ö Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÒÓÚ Ð Ö ÑÓ º Ë a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9 ÕÙ Ò ÓÖÑ Ô ÐÓ ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ Ú ÑÓ ÑÙÐØ ÔÐ ¹ÐÓ Ò ÓÖ Ñ Ô Ð ½ ¾ ÓÑ Ö Ó ÔÖÓ ÙØÓ Ó Ø Ó º Ç ØÓ ÕÙ Ø ÐØ Ò Ó ÕÙ Ú ÑÓ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÔÓÖ ½¼ Ú Ö Ø Ð ÕÙ Ó Ö Ù ØÖ Ó ÓÑ Ó Ø Ú Ö Ö ÙÑ Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½ ØÓ ÓÑ Ó Ø S Ó Ò Ñ ÖÓ S a 10 Ú Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ 11 ÓÙ S a 10 0 mod 11º ÆÓØ ÕÙ Ø Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ó ÔÖ ÔÖ Ó Ö ØÓ Ú Ó ÔÓÖ 11 ÓÑ Ó Ø º ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó È ÙÑ Ô Ó Ø Ñ Ó Ù ÒØ 9 ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ¾ ½¼ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ö Ó Ø Ó Ù ÒØ Ñ Ò Ö Ö Ú ÑÓ Ó ÒÓÚ ÔÖ Ñ ÖÓ ÜÓ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÓÑ Ó ØÓ 1 9º ¾ ½ ¼ ½ ¾ ØÙ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ö ÑÓ = 116º Ú Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ 116 ÔÓÖ 11 Ø Ö ÑÓ ½½ ½¼µ ½½ ÓÖÑ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ö Ó Ð Ö ÑÓ 6º Ø ÖÑ Ò Ó Ó ÙÒ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ø ÑÓ Ó Ñ Ð Ö Ò Ó ÕÙ ÓÖ Ö ÒØ ÑÓ Ó ÑÓ ØÓ ÕÙ Ó ÕÙ ÑÓ ÐÙÐ Öµ Ù ÑÓ ÙÑ ÑÙÐØ ÔÐ Ó 0 9º Î ÑÓ ¾
43 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á ¾ ½ ¼ ¼ ½ ¾ ØÙ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ö ÑÓ = 145 Ú Ò Ó Ó Ò Ñ ÖÓ 145 ÔÓÖ 11 Ø Ö ÑÓ ½ ½½ ¾µ ½ ÄÓ Ó Ó ÙÒ Ó ØÓ ÓÒØÖÓÐ Ó 2º ÓÒÐÙ ÑÓ ÒØÓ ÕÙ ÒÓ ÒÓ Ó Ü ÑÔÐÓ Ó È ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ë Ó Ö ØÓ Ú Ó Ó 10 ÓÙ Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó Ó ÓÒ ÖÙ ÒØ Ó 10 Ñ ÙÐÓ 11 Ù Ö ÑÓ Ò Ó Ó ØÓ Þ ÖÓº ¾º¾ ÓÒ ÖÙ Ò Ö ÔØÓ Ö Ö ÔØÓ Ö Ó Ö Ó ÖÝÔØ ÓÒ Ó Ö Ô Ò Ö Ø µ ¹ Ò ÕÙ ÓÙÐØ Ó Ò Ó ÙÑ Ñ Ò Ñ Ø Ñ ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ Ó Ö ÙÖ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ô Ö Ö Ö Ö Ö Ñ Ò Ò º Ç ØÓ Ö Ö ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ö ÙÑ Ø ÜØÓ ÒÓÖÑ Ð Ñ Ø ÜØÓ Ö ØÓ Ó ØÓ Ó Ö ÓÔ Ö Ó ÒÚ Ö ÓÒ Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÙÑ Ø ÜØÓ Ö Ó Ñ Ø ÜØÓ ÒÓÖÑ Ðº Î Ö ÑÓ ÓÒ ØÓ ¹ Ø Ö Ó Ö ÔØÓ Ö Ù Ò ÔÐ Ñ Ø Ñ Ø º ÍÑ Ò ÓÖÑ Ó ÒÓ¹ Ö ÕÙ ÒÚ ÙÑ Ô Ó ÓÙ ÓÖ Ò Þ Óµ Ô Ö ÓÙØÖ Ñ Ø ÜØÓ Ð ÖÓ ÔÐ ÒØ Üصº Ö Ñ Ó ÔÖÓ Ó ÓÒÚ Ö Ó ÙÑ Ø ÜØÓ Ð ÖÓ Ô Ö ÙÑ Ó Ö Ó Ö Ñ Ó ÔÖÓ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ö Ù¹ Ô Ö Ö Ó Ø ÜØÓ ÓÖ Ò Ð Ô ÖØ Ö ÙÑ Ø ÜØÓ Ö Óº ØÓ Ó ØÙ Ó Ö ÔØÓ Ö Ó Ö Ñ Ñ Ó ÕÙ Ô Ò Ö Ñ Ö Ñº ÙÑ Ö ÑÓ Ô Ð Þ Ó Ø ÓÖ Ò ÓÖÑ Ó ÓÑ ÑÙ Ø ÓÒØÖ Ù ÓÙØÖÓ ÑÔÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÓÒ Ñ ÒØÓº Ö ÔØÓ Ö ÑÓ ÖÒ Ñ ÒØ ÓÖÑ Ô ÐÓ ØÙ Ó Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÔØÓ Ö Ó ÕÙ ÔÓ Ñ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ñ ÓÑÔÙØ ÓÖ º Ë ¹ ÕÙ ÔÖ Ñ Ö ÔÐ Ó Ö ÔØÓ Ö Ó ÒÚ ÒØ Ô ÐÓ ÑÔ Ö ÓÖ ÖÓÑ ÒÓ Â Ð Ó Ö ÕÙ ÒÚ Ú Ñ Ò Ò Ó Ù Ò Ö ØÖÓ Ò Ó Ð ØÖ Ó Ð ØÓ Ô ÖØ Ö ÙÑ ÑÔÐ Ö Ö Ñ Ð Ö ÕÙ Ü ÑÔÐ ÑÓ Ñ ÕÙ
44 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ö ÔÙÐ ØÖ Ú 3µº ØÖ Ú Ø ÕÙ Ñ Ð ØÖ Ö Ñ ØÖÓ Ô Ð Ø Ö Ö Ð ØÖ ÒØ Ö ÓÖ ÒÓ Ð ØÓº Ø ÓÖÑ ÓÑ ÒØ ÕÙ Ñ ÓÙ Ö Ö ÓÒ Ù Þ Ö Ó Ð ÓÖ ØÑÓ Ð Ö Ñ Ò Ñ ÓÖ Ò Ðº Î ÓÑÓ ÙÒ ÓÒ Ú Ú 3 Â Ð Ó Ö À Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Í Î Ï À Á Â Ã Ä Å Æ Ç È É Ê Ë Ì Í Î Ï ÇÙ ÙÑ Ô Ð ÚÖ ÑÔÐ ÓÑÓ Ø Ö Ö Ó ÓÑÓ ÜÕÜÞÜÓ º Ø Ø Ñ ÓÙØÖÓ Ñ Ð Ö Ó Ø Ó ØÖ Ú Ô ÖÑÙØ Ñ ÕÙ Ð ØÖ Ó Ñ Ö Ð Ó ÑÙ ØÓ ÑÔÐ ÒÓ Ö Ñ Ö Ó Ñ ÔÓÖ ÑÙ ØÓ Ø ÑÔÓ ÖÚ Ö Ñ Ô Ö ÓÒ Ö Ñ Ò Ò º Î ÑÓ ÙÑ Ü ÑÔÐÓ Ñ ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ð Ó ÕÙ Ø Ñ ÓÑ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ð Ñ Ü ÑÔÐÓ ¾º ½ ¾ ½¼ ½½ ½¾ ½ Ò Ó Ô Õ Ö Ø Ù Ú Û Ü Ý Þ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Ú ÓÑ Ö 4 Ð ØÖ Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ù ÔÓ Ó ÒÓ Ð ØÓº ÓÑ Ú Ð Ù Ø ØÙ Ô Ð Ð ØÖ Ù Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÓÖ Ò Ð ÙÑ ÒØ Ó 4º ÉÙ Ò Ó ÓÒØ Ö Ó Ö ÙÐØ Ó Ö ÙÔ Ö ÓÖ Ó 26 ÚÓÐØ ÑÓ Ó Ò Ó Ó Ð ØÓº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó Ò Ñ ÖÓ 28 ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ð ØÖ b ÔÓ 28 = 26+2 ÓÑÓ ÑÓ 28 2 mod 26º Ø Ú ÓÑÓ ÔÐ Ò Ð Ó Ò ÒÓ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ú ÖÓ Ó ÐÙÒÓ Ô Ö Ö ÕÙ Ò ØÖ ÙÓ Ñ Ò Ñ ÒÚ Ð Ø ÖÓ ÕÙ ÔÐ Ö ÓÔ Ö Ó ÒÚ Ö ÕÙ Ó Ù Ô ÐÓ Ñ ÓÖ Ñ Ò Ñ Ò Ö Ó Ñ Ò ¹ Ñ Ö ÔØÓ Ö º ÆÓ Ò ÒÓ Å Ó ÔÓ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ö Ú ÔÓÖ ÙÑ ÙÒÓ ØÓÖ Ô Ö ÕÙ Ø Ú ÒÚ Ö µ Ó Ö ÔØÓÖ Ñ Ò Ñ Ö ÔØÓ Ö Ø Ö ÕÙ Ó Ø Ö ÙÒÓ ÒÚ Ö Ô Ö ØÖ ÙÞ Ö Ñ Ò Ñ Ö º Ò ÒÓ Ò ÒÓ Å Ó Ú ÔÓ Ö Ö Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÖ Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö Ú Ó Ó Ô ÐÓ Ö ÔØÓÖ Ö ØÖ Ú Ñ ØÖ Þ ÒÚ Ö º
45 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ü ÑÔÐÓ ¾º ØÖ Ú Ú ÓÑÓ Ü ÑÔÐÓ ÓÑ Ö 4 ÓÙ y = x+4µ Ñ Ò Ñ Ö ÒÚ Ó CIDADE MARAVILHOSA Ó ÖÙÔÓ Ñ ÓÖ Ø Ö ÕÙ Ö ÔØÓ Ö ¹Ð ÓÑÓ GMHEHI QEVEZMPLSWEº Ç ÖÙÔÓ Ö ÔØÓÖ Ñ Ò Ñ Ò Ó ÕÙ Ú Ó ÓÑ Ö 4 Ø Ö ÓÖ ÕÙ Ù ØÖ Ö 4 ÙÒ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ Ñ Ð ØÖ Ñ Ò Ñ Ö Ô¹ ØÓ Ö Ô Ö Ó Ø Ö Ñ Ò Ñ ÓÖ Ò Ð Ö Ò Ó Ó Óº Î ÑÓ ¹ É ½ ¹ ½ Å Å ½ ¹ Á ¹ ½ À ¹ Î ¾¾¹ ½ Ê ¹ ½ À ¾ ¹ ¾¾ Î Á ¹ Å ½ ¹ Á È ½ ¹ ½¾ Ä Ä ½¾¹ À Ë ½ ¹ ½ Ç Ï ¾ ¹ ½ Ë ÙÖ ÒØ ÙÒ Ù ÖÖ ÑÙÒ Ð Ø Ñ Ð ØÖÓÑ Ò Ó Ò Ó Ó Ó Ó Ñ Ò Ò ÓÖ Ñ ÑÙ ØÓ Ù Ó º Æ Ø ÔÓ Ø ÚÓ ÖÓØÓÖ Ò¹ ÓÖÔÓÖ Ú Ñ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÙÑ Ô ÖÑÙØ Ó Ù Ò Ø Ð Ó Ñ Ñ Ò ÑÓ Ô Ö ¹ Ó ÓÑ ÓÙÒØ Ö ÓÙ ÓÒØ ÓÖ µ Ô ÖÑ Ø Ñ ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÓÐ Ð Ø ÔÖÓ¹ ÙÞ Ò Ó ÙÑ ÕÙ ÒØ ÑÔÖ ÓÒ ÒØ ÓÑ Ò º Ö Ó Ñ Ø Ñ Ð Ò Ð ÕÙ ØÖ Ð Ö Ñ ÒÓ ÑÓ Ó ÉÙ ÖØ Ð Ò Ö Ð ÓÑÙÒ ÓÚ ÖÒ Ñ ÒØ ÓÚ ÖÒÑ ÒØ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ À ÕÙ ÖØ Ö µ Ñ Ð Ø Ý È Ö Ó Ó Ð Ñ ÓÖ Ñ ÕÙ Ö Ó º Ð ØÖ Ø Ú Ñ Ñ ØÓÖÒÓ ÕÙ ØÖÓ Ñ Ð Ò Ð Ñ ÔÓÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ñ ÒØ Ò Ñ Ó ÓÑ Ò Ó Ö ¹ ØÒ Ó Ñ Ö ÒÓ ÑÙ ØÓ Ñ Ò ÓÖÑ Ó º Ò ÙÖ ÒØ Ù ÖÖ ÓÑÔÙØ ÓÖ ÓÑÓ Ó ÓÐÓ Ù µ ÓÖ Ñ Ù Ó Ò ÕÙ Ö Ó Ð Ñ Ø Ð ÒÓ ÔÓÒ ÒØÓ Ö ÔØÓ Ö Ô ÓÙ Ö ØÙ ÓÖÑ Ñ ÒØ º ÔÓ Ë ÙÒ Ù ÖÖ ÅÙÒ Ð ÓÑ Ó ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ Ó ÓÑÔÙØ ÓÖ Ö Ö ÐÑ ÒØ ÓÖ Ù ÒÓÖÔÓÖ Ò Ó ÓÑÔÐ ÜÓ Ð ÓÖ ØÑÓ Ñ Ø Ñ Ø Ó º Æ Ú Ö ØÖ Ð Ó Ö ÔØÓ Ö Ó ÓÖÑÓÙ
46 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ô Ö Ò ÓÑÔÙØ Ó ÑÓ ÖÒ º ¾º¾º½ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ò Ö ÔØÓ Ö Æ Ö ÔØÓ Ö Ù Ñ¹ Ú ÕÙ ÖØ ÓÖÑ Ó Ò ÐÓ ØÖ Ø Ù Ô ÐÓ Ò ÑÓÖ Ó ÒÓ Ø Ö º Ø Ø Ö Ö Ð Ø Ú Ð Ö Ó ÐÓ Ò ÓÑÙÒ ÙÑ Ù Ö Ð ÒØ ÓÐÙ º Ì ÐÚ Þ Ø Ò ÖÚ Ó Ò Ô Ö Ó Ô Ö Ó ØÖ ÓÚ Ò ÒÓÖØ ¹ Ñ Ö ÒÓ Ï Ø Ð Å ÖØ Ò À ÐÐÑ Ò Ê ÐÔ Å Ö Ð Ó ÓÒ ØÖÙ Ö Ñ Ñ 1976 ÙÑ Ø Ñ Ö ÔØÓ Ö Ñ ÕÙ Ó Ö Ó ÓÑÙÒ Ó ÙÖ Ó ÔÓÖ Ù Ú ÕÙ Ó ÓÑÙÒ ÒØ ÒÓ ÔÖ Ñ ØÖÓ Ö ÒØÖ ÓÑÓ ÓÒØ Ù Ò ØÓÖ Ò Ó Ó Ð º Ó Ø ÒÚ ÒÓ ÕÙ Ò Ô ÖÓÙ Ó Ø Ñ Ö ÔØÓ Ö ÊË º Ñ Ö ÑÓ ÔÓÖ ÂÓÓ Å Ö Ó Ô Ö ÓÒ Ò Ø Ó Ñ Ó ÒÓÑ Ø Ñ ¹ Ø Ñ ÒØ ÙØ Ð Þ Ó Ô ÐÓ Ô Ð Ø Ö ÔØÓ Ö º Ñ ÒØ Ö ÒØ Ó ÕÙ Ð Ö Ô Ò ÒÓ Ñ ÓÖ Ö ÔØÓÖ ÓÙ Ô Ò Ñ A Bº Ó ØÙÑ ¹ Ö ÒØ Ö Ð ÙÑ Ø Ö Ö Ô Ö ÓÒ Ñ ÕÙ Ó ØÙÑ Ö Ö Ó ÒÓÑ Ú ¹ Ú Ñ Ò Ð ÕÙ Ö ÔÖ ÒØ ÕÙ Ð ÕÙ Ô ÙØ ÓÙ ÕÙ Ð ÕÙ Ú ÖÓÔ º Ø Ó ÖØ À ÐÐÑ Ò Å Ö Ð ÓÑÙÒ Ó Ñ Ò Ò ¹ Ö Ü ÙÑ ØÖÓ Ú Ö ÓÑÓ Þ ÑÓ Ò Ø Ú ÒØ Ö ÓÖ ÓÑÓ Ö ØÓ Ò Ú Â Ð Ó Öº Ö ÔÖ Ó ÕÙ ÂÓÓ Å Ö ÒÓÒ¹ ØÖ Ñ ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ñ ÙÑ Ú ÕÙ Ô Ò Ð Ó ÓÒ Ñº Ë Ó Ð Ô ÖÑ Ø Ö ÔÓ Ø Ö ÓÖÑ ÒØ ØÖÓ Ö Ñ Ò Ò ØÒ Ñ ÕÙ Ú ÑÔÖ ÙØ ÓÒ Ù Ô Ö ¹Ð º Ñ ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ñ Ò Ò Ö Ø Ó Ø ÑÔÓ Ö Ø Ó Ø ÑÔÓ ÑÓ ÖÒÓ Ñ ÙÒ ÓÒ Ö Ñ Ô ÓÒ Ô Ö ÓÖ ÑÔÐ Ñ ÒØ º Ú ÔÓ Ö Ö ÑÔÐ Ñ Ö ÑÔÖ Ò ¹ Ö Ó ÕÙ ÂÓÓ Å Ö ÓÑ Ò Ñ ØÙ Ó ÒØ Ò Ñ ÑÔÖ Ó Ö ÔÓ Ú Ðº À ÐÐÑ Ò Å Ö Ð ÔÓ Ö ÚÓÐÙ ÓÒ Ö º Ë ÙÒ Ó Ó ÕÙ Ñ ÕÙ ÔÖÓÔÙ Ö Ñ ÂÓÓ Å Ö ÓÑ Ñ ÔÓÖ ÓÖ Ö Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ º Ø ÔÓ¹ Ñ Ö Ô Ð Ó ÔÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ú Ó ÓÒ Ó Ö Ö ÒÓ Ø Ö ÓÑÓ Ó Ö Ö Ú Ó ÔÖÓ Óº ÙÑ Ð ÓÐ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ñ ÒØ Ñ Ö ØÓº Ø Ð ÙÑ ÓÒØ Ñ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö Ñ Ó Ñ ÙÑ Ñ ÑÓ Ö ÙÐØ Ó ÙÑ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ñ Ò Ò Ù Ñ ÓÒ ÕÙ Ö Ú Ó Ó
47 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ù Ñ Ò Ò º Ç ÔÖÓ Ó ÕÙ ÒÚ ÒØ Ö Ñ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÓÖ ÑÙ ØÓ Ò Ò Ó Ó Ö ÑÓ ØÖ Ó ÒÓ ÕÙ ÖÓ ÜÓº ÌÙ Ó Ô ÓÖÑ Ô Ö ¹ ÓÑ Ø Ö Ó Ó Ó º Ú ÒÓ Ó ØÖÓ Ñ ÙÑ ÔÓÖ ÔÓ Ö Ö Ö Ó Ó Ö Ñ ÕÙ Ó ÖØ ÖÓ Ó ÓÒ º Ç ÔÖÓ Ó ÒÚ ÒØ Ó ÔÓÖ À ÐÐÑ Ò Å Ö Ð Ñ Ö Ó Ò Ñ ÒØÓ Ö Ô¹ ØÓ Ö ÓÑ Ú Ô Ð ÕÙ ÙÒ ÓÒ Ñ Ñ ÓÒ ÙÒØÓ ÓÑ Ú Ö Ø ÕÙ ÒÓ ÔÖ Ñ Ö ØÖÓ º ¹ Ò Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÕÙ ÓÒ Ø Ò ¹ ÐÑ ÒØ Ñ ØÖ Ð Ö ÓÑ Ó Ö ØÓ Ú Ó ÒØ Ö ÔÓÖ ÙÑ Ò Ñ ÖÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ó Ñ ÙÐÓº ÔÖÓ Ó Ó ÒÓÑ Ò Ó ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ k Ô ÐÓ ÑÓ Ó Ò Ó Å Ø Ñ Ø Ù º Ë ÑÓÒ Ë Ò ÒÓ Ù Ä ÚÖÓ Ó Ó ÙÑ Ü ÑÔÐÓ ÕÙ Ö ØÖ Ø Ñ Ó ÔÖÓ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÒÚÓÐÚ Ó Ò Ú Ô Ð º Ç ÓÑÙÒ ÒØ ÓÑÓ ÂÓÓ Å Ö ÓÑ Ò Ñ ÒÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÖÚ Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô Ö ÙÑ ÔÓØ Ò Ó Ó ÙÒ Ó Ô Ö Ó Ñ ÙÐÓ ÓÒ ÖÙ Ò º ÑÓ ÕÙ Ø Ò Ñ ÓÔØ Ó Ô ÐÓ Ò Ñ ÖÓ 5 11º Ø Ö Ñ ÒØÓ Ö Ö Ò Ó Ó ÐÙÐÓ 5 x ÓÒ ÖÙ Ò ÒÓ Ñ ÙÐÓ 11º Ç ÜÔÓ ÒØ Ü Ö Ö ØÓ ÓÐ ÙÑ Ð µº Å Ö ÓÐ 3 Ô Ö Ù Ò Ñ ÖÓ Ö ØÓ ÜÔÓ ÒØ ÔÓØ Ò µ Å Ö ÐÙÐ 5 3 = 125 ØÖ Ú ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 11 Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 4 ÔÓ 125 Ú Ó ÔÓÖ 11 Ü Ö ØÓ 4º Å Ö ÒÚ Ó Ö ÙÐØ Ó 4 Ô Ö ÂÓÓº ÂÓÓ ÓÐ 6 Ô Ö Ù Ò Ñ ÖÓ Ö ØÓ ÒÓÚ Ñ ÒØ Ó ÜÔÓ ÒØ ÔÓØ Ò µ ÂÓÓ ÐÙÐ 5 6 = ØÖ Ú ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 11 Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 5 ÔÓ Ú Ó ÔÓÖ 11 Ü Ö ØÓ 5º ÂÓÓ ÒÚ Ó Ö ÙÐØ Ó 5 Ô Ö Å Ö ÆÓØ ÕÙ Ñ ÑÓ ÕÙ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ð ÒÚ Ö Ñ ÙÑ Ó ÓÙØÖÓ Ó Ñ ÒØ Ö ÔØ Ó Ô Ó ÒÓ Ø Ö Ñ ÓÑÓ Ö Ú Ò Ð Ó ÔÖÓ Óº Å Ö Ô Ó Ö ÙÐØ Ó ÂÓÓ 5 Ó Ù Ò Ñ ÖÓ Ö ØÓ 3 ÐÙÐ 5 3 = mod 11º 125 Ú Ó ÔÓÖ 11 Ü Ö ØÓ 4º ÂÓÓ Ô Ó Ö ÙÐØ Ó Å Ö 4 Ó Ù Ò Ñ ÖÓ Ö ØÓ 6 ÐÙÐ 4 6 = mod 11º 4096 Ú Ó ÔÓÖ 11 Ø Ñ Ñ Ü Ö ØÓ 4º Î ÕÙ ÂÓÓ Å Ö ÒÓÒØÖ Ö Ñ Ó Ñ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ 4 Ñ ÕÙ Ø Ú Ñ Ò¹ ÓÖÑ Ó ÙÑ Ó ÓÙØÖÓ Ó Ù Ò Ñ ÖÓ Ö ØÓ Ô Ó º Ò Ñ ÖÓ Ö ÓÖ
48 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ù Ó ÓÑÓ Ú Ô Ö ÓÑÔÓ Ó Ñ Ò Ò Ö ÔØÓ Ö º ØÖ Ú Ö ÔØÓ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ØÖ Ú ÒØ ÖÒ Ø ÙÑ ÐÙØ ÑÔÖ ÔÖÓ ÒÚ Ö Ó Ø ÒØ Ö ÔØ Ö Ó Ó Ó Ñ Ö Ó Ö µº Ð ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ñ Ö ÔØÓ Ö ÑÙ ØÓ Ñ ÓÑÔÐ ÜÓ Ó ÕÙ ÑÓ ØÖ ¹ ÑÓ ÕÙ º Ç ÕÙ Ü ÑÔÐ ÑÓ ØÖ Ú Ú Ö ÔØÓ Ö ÑÔÐ Ó Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö Ö Ð Ó ÕÙ Ü Ø ÒØÖ Ø Ñ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Öº ÙÑ ÙÒØÓ Ø ÒØ ØÙ Ð ÒØ Ö ÒØ ÕÙ ÔÓ Ö Ù Ó Ñ Ð Ù Ó Ö Ð ÓÒ Ó ÓÒ ØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Å Ø Ñ Ø ÓÑÓ ÇÔ Ö ÁÒÚ Ö ¹ Ú Ð ÙÒ º ¾º¾º¾ Ö ÔØÓ Ö Ð Ò Ö Ó ÆÓ Ó Ð Ò Ö Ó Ó Ð Ò Ö Ó Ö ÓÖ ÒÓ Ú Ñ ÙÒ Ñ Ø Ó ÙÐÓ ÎÁº Ç Ð Ò Ö Ó ÒØ Ö ÓÖ ÒØÖÓ ÙÞ Ó ÔÓÖ Â Ð Ó Ö Ó Ó Ñ ÙÑ ÒÓ ÓÑ ÙÑ ÒÓ ÜØÓ 4 Ñ 4 ÒÓ º Ø ÒÓ Ó ÙÑ Ñ ÔÖ 4 ÔÓÖÕÙ Ó ÒÓ ÓÐ Ö ÔÖÓÜ Ñ Ñ ÒØ 365,2422 º Ø Ô ÕÙ ÒÓ ÖÖÓ Þ ÓÑ ÕÙ Ó Ð Ò Ö Ó Ö ÔÙÐ ÙÑ 128 ÒÓ º ÈÓÖ ÚÓÐØ Ó ÙÐÓ ÎÁ Ó ÖÖÓ ÙÑÙÐ Ó Þ ÓÑ ÕÙ Ó 1 Ó ÔÖ Ñ Ú Ö 11 Ñ ÖÓ Ñ Ú Þ Ó ÓÖÖ ØÓ 21 Ñ ÖÓº Ç Ô Ô Ö Ö Ó ÁÁÁ ÓÖÖ Ù Ö ÔÒ Ñ ÙÑ ÒÓÚÓ Ð Ò Ö Ó ÑÔÓ ØÓ ÒÓ ÔÖ Ò Ô Ô Ø Ð Ó ÙÖÓÔ º Ó Ö Ø Ó ÕÙ 10 Ö Ñ ÓÑ Ø Ó ÒÓ ÒÓ 1582 Þ Ò Ó ÓÑ ÕÙ 15 ÓÙØÙ ÖÓ Ú ÐÓ Ó ÔÓ 4 ÓÙØÙ ÖÓ ÕÙ Ð ÒÓº Ç ÒÓ ÜØÓ Ö Ñ Ó ÒÓ Ú Ú ÔÓÖ 4 Ü ØÓ ÕÙ Ð ÕÙ Ó ÒÓ ÒØ Ò Ö Ó º ÒÓ ÒØ Ò Ö Ó Ö Ñ ÜØÓ Ó Ñ Ú Ú ÔÓÖ 400º ÔÖ ÒØ Ö ÑÓ ÕÙ ÙÑ Ñ Ò Ö ÓÑÔ Ò Ù Ù Ø Ø Ú Ñ ¹ Ø Ñ Ø ÒÚÓÐÚ Ò Ó Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ µ ÔÐ Ó Ð Ò Ö Ó º Î ÑÓ Ö Ö ÔÖ Ø Ð ÙÒ Ü ÑÔÐÓ Ò ÐÑ ÒØ ÜÔÐ Óº Ç ÔÖÓ¹ Ñ ÒØÓ ÕÙ ÓÐ ÑÓ ÙÒ ÓÒ Ô Ö Ø ÒØÖ Ú Ó ÙÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ó ÒÓ ÜØÓ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ 00 µº ÓÑ Ð ÙÑ ÑÓ ¹ ÓÒØÙ Ó ÔÓ Ö ÔØ Ó Ô Ö Ø Ò Ö ÕÙ ÕÙ Ö Ø º ½º ÐÙÐ ÕÙ ÒØÓ ÒÓ Ô Ö Ñ 1900 Ø Ó ÒÓ Ñ ÕÙ ÚÓ Ò Ùº ÈÓÖ Ü ÑÔÐÓ ÚÓ Ò Ù Ñ 1980 Ö ÒÓØ Ö 80º Î ÑÓ Ñ Ö
49 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á ÕÙ ÒØ Aº ¾º ÐÙÐ ÕÙ ÒØÓ 29 Ú Ö ÖÓ Ü Ø Ö Ñ ÔÓ 1900º È Ö Ó Ø Ú Ö ÔÓÖ 4 Ó Ú ÐÓÖ A Ñ ÓÒ Ö Ö Ó Ö ØÓ Ú Óº Î ÑÓ Ñ Ö ÒÓÚ ÕÙ ÒØ Bº º ÓÒ Ö Ò Ó Ó Ñ Ó Ò Ñ ÒØÓ Ó Ø Ò Ó Ò Ñ ÖÓ Ó Ó Ð ÕÙ Ø Ò Ø Ð ÐÓ Ó ÜÓº ÈÖÓÙÖ Ó Ñ ÒÓØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ø Ó Ð Ó Ð º Î ÑÓ Ñ Ö Ò Ñ ÖÓ Cº Ì Ð Ó Ñ Â Ò ÖÓ ¼ ÂÙÐ Ó Ú Ö ÖÓ Ó ØÓ ¾ Å ÖÓ Ë Ø Ñ ÖÓ Ö Ð ÇÙØÙ ÖÓ ¼ Å Ó ½ ÆÓÚ Ñ ÖÓ ÂÙÒ Ó Þ Ñ ÖÓ º ÓÒ Ö Ó Ó Ò Ñ ÒØÓ (x)º ÐÙÐ x 1 ÕÙ Ú ÑÓ Ñ Ö Dº º ËÓÑ ÓÖ Ó ÕÙ ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ÚÓ Ó Ø Ú Ò Ø Ô ÒØ Ö ÓÖ (A+B+ C+D)º Ú ÓÑ Ó Ø ÔÓÖ Ø (7) Ú Ö ÕÙ Ó Ú ÐÓÖ Ó Ö ØÓ Ú Óº º Ò ÐÑ ÒØ ÔÖÓÙÖ Ö ØÓ Ò Ø Ð Ù Öº ÎÓ Ø Ö Ó Ñ Ò Ó Ù Ò Ñ ÒØÓ ÓÙ ÕÙ ÐÕÙ Ö ÓÙØÖ Ô Ó ÕÙ ÕÙ Ö Ó Ö Öº Ü ÑÔÐÓ ¾º Î ÑÓ Ñ Ò Ö ÙÑ Ô Ó ÕÙ Ø Ò Ò Ó Ñ 16 Ú Ö ÖÓ 1918º ÉÙ Ð Ó Ó Ñ Ò ÕÙ Ô Ó Ò Ù ½º ( ) = 18 ÐÓ Ó A = 18 ¾º 18 4 = 4 ÓÒ Ö Ó Ö ØÓµ ÐÓ Ó B = 4 º Ç Ñ Ú Ö ÖÓ ÒØÓ C = 3 Ú Ö Ò Ø Ð µ
50 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ë ÙÒ ¹ Ö ¼ Ì Ö ¹ Ö ½ ÉÙ ÖØ ¹ Ö ¾ ÉÙ ÒØ ¹ Ö Ë ÜØ ¹ Ö Ë Ó ÓÑ Ò Ó º x = 16 Ó Ò Ñ ÒØÓµ ÐÓ Ó D = (x 1) = 16 1 = 15 º ËÓÑ Ò Ó Ó ÕÙ ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ø Ö ÑÓ = 40 º 40 7 = 5 Ö ØÓ 5º ÓÑÓ Ó Ö ØÓ Ú Ó Ó 5 Ò Ø Ð Ó 5 ÙÑ Ëý Ǻ ÂÙ Ø Ø Ú Å Ø Ñ Ø ØÓ ½ Ç Ð ÓÖ ØÑÓ ÕÙ Ó ÑÓÒØ Ó Ô ÖØ Ù Ó ØÓ ÕÙ Ó 1 Ó Ò ÖÓ 1900 Ó ÙÑ ÙÒ ¹ Ö 0 Ò Ø Ð µº ÌÓ Ó Ó Ô Ó ÕÙ ÓÖ Ñ ÓÐÓ Ó Ò Ö Ö ÔÖ Ø Ú Ñ Ø ÖÑ Ò Ö Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ Ò ÕÙ Ò Ñ Ò ÕÙ Ø ÔÖÓÙÖ Ø Ñ Ñ Ö Ð Ó ÕÙ Ð ÙÒ ¹ Ö 01/01/1900 ÕÙ ÒÓ Ó ÔÓÒØÓ Ô ÖØ º ØÓ ¾ ÒÓ 365 Ú Ù ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ Ø Ó ÙÑ ÔÓ Ó Ô Ö Ö Ø ÒÓ ÐÓ Ó Ñ Ò ÙÒ Ø Ö ÕÙ ÖØ ÕÙ ÒØ ÜØ Ó ÓÑ Ò Ó ÙÒ Øºµ Ñ Ö Ð Ó Ó ¹ ¹ Ñ Ò Ñ ÕÙ Ù Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ Ó ÒÓ ÒØ Ö ÓÖº Á ØÓ ÔÓÖÕÙ 365 Ú Ó ÔÓÖ 7 Ü Ö ØÓ 1º ÉÙ Ò Ó Ô Ó Þ Ö Ò ÒØÖ Ó ÒÓ Ù Ò Ñ ÒØÓ Ó ÒÓ 1900 Ø Ó Ö Ò Ó ÕÙ ÒØÓ Ø Ñ ÒØÓ ÓÙ ÐÓ Ñ ÒØÓ Ø ÔÖ Ñ Ö Ó Ö Ù Ñ Ö Ð Ó ÕÙ Ð 01/01/1900º ÉÙ Ò Ó Ó Ö ÑÓ Ò Ù ÒØ ÕÙ ÒØ ÒÓ ÜØÓ Ó Ú Ö Ó Ö ÙÐØ Ó ÒØ Ö ÓÖ ÔÓÖ 4µ Ø ÑÓ Ö ÒØ Ò Ó Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ñ ÙÑ ÒÓ ÐÓ Ñ Ò Ô Ö ÒÓ ÜØÓ ÓÒ Ö Óº Á ØÓ ÔÓÖÕÙ Ó ÒÓ ÜØÓ Ø Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ Ó ÒÓ Ù ÒØ ÒÓ Ñ 1 Ñ Ñ 2 ÕÙ 366 Ü Ö ØÓ 2 ÕÙ Ò Ó Ú Ó ÔÓÖ 7º ¼
51 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ç Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ô Ó Ó ÔÖÓ Ó ÖÚ Ö Ñ Ô Ò Ô Ö ÐÓ Ð Þ Ö Ó 1 Ó Ò ÖÓ Ó ÒÓ ÓÒ Ö Ó ÓÙ Ø ÕÙ Ô Ò Ó ÆÇ Ø Ó ÓÒ Ö Óº ÓÖ Ú Þ Ö ÒØ ÖÑÓ Ó ÐÓ Ñ ÒØÓ Ö Ó Ô ÐÓ Ñ Ô ÐÓ Ø ÔÖÓÙÖ º ØÓ Ë ØÓ Ó Ó Ñ Ó ÒÓ Ø Ú Ñ 28 ÕÙ Ö Ö ØÓ Þ ÖÓ Ó Ö Ú ¹ Ó ÔÓÖ 7µ ØÓ Ó Ó Ñ Ø Ö Ñ Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÓ Ü Ø Ñ ÒØ ÒÓ Ñ ÑÓ Ñ Ò ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ Ó ÒÓ ÓÒ Ö Óº Å ÓÑÓ Ø ¹ ÑÓ Ñ ÓÑ Ñ 2 ØÓ Ó Ñ ØÖ Ò ÓÖÖ Ó Ò ÖÓ Ø Ó Ñ ÓÒ Ö Óµ ÑÔÙÖÖ Ñ Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÓ ÙÑ ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÒÓ ÐÓ Ó Ñ Ò º Ø Ð Ö Ô Ö Ó ÒÓ Ó Ð¹ ÓÖ ØÑÓ Ø Ö Ð ÓÒ Ö ØÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ö ÓÙ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 7º Î ÑÓ ÓÑÓ ÙÖ Ö Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ Ø Ð º Â Ò ÖÓ ÒÓ Ö Ö Ò ÐÓ Ó ÒÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ø Ñ ÒØÓ Ñ Ö Ð Ó Ð ÔÖ ÔÖ Ó ÒÓ ÕÙ ÐÕÙ Ö Ñ ÒØ Ð ÑÔÙÖÖ Ò Ó Ù ÔÖ Ñ ÖÓ Ô Ö Ö Ø ÒÓ ÐÓ Ñ Ö Ð Ó Ó ÔÖ ÔÖ Ó ½ Ó Ò ÖÓ Ó ÒÓ Ñ ÕÙ ØÓµº ÈÓÖ Ó Ò Ø Ð Ó Ð Ó Ó Ñ Ò ÖÓ Ø ÑÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Þ ÖÓº ÓÑÓ Ó Ñ Ò ÖÓ Ø Ñ Ú Ó ÔÓÖ 7 Ü Ö ØÓ 3 Ñ Ú ÑÔÙÖÖ Ö Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ñ Ù ÒØ Ô Ö Ö Ø Ñ Ö Ð Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ ÕÙ Ð ÒÓº ÈÓÖ Ó Ó Ñ Ú Ö ÖÓ Ö Ó Ò Ñ ÖÓ 3 Ò Ø Ð º ÓÑÓ Ú Ö ÖÓ Ø Ñ Ú Ó ÔÓÖ 7 Ü Ö ØÓ 0 Ñ ÒÓ Ö Ö ÒØ Ö ÕÙ ÐÕÙ Ö ÐÓ Ñ ÒØÓ ÓÒ Ð Ó Ñ Ù ÒØ º ÄÓ Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ñ Ñ ÖÓ Ö ÒÓ Ñ ÑÓ Ñ Ò ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ú Ö ÖÓ ÕÙ Ð ÒÓ ÓÙ Ö ÐÓ Ó Ô Ò Ñ Ñ 3 Ô Ö Ö Ø Ñ Ö Ð Ó Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ ÕÙ Ð ÒÓº ÈÓÖ Ó Ò Ø Ð Ó Ñ Ñ ÖÓ Ø Ñ Ñ Ø Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ 3º ÓÑÓ Ñ ÖÓ Ø Ñ Ú Ó ÔÓÖ 7 Ü Ö ØÓ 3 Ñ Ú Ñ¹ ÔÙÖÖ Ö Ó Ó Ñ Ù ÒØ ÙÑ ØÓØ Ð ( ) Ô Ö Ö Ø ÕÙ ÓÑÓ ÒÙÑ ÓÑ Ò Ñ Ø ÐÓ Ñ ÒØÓ Ó ÙÑÙÐ Ø ÚÓ º ÈÓÖ Ó Ò Ø Ð Ó Ñ Ö Ð Ø Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ 6º ÓÑÓ Ö Ð Ø Ñ30 30 Ú Ó ÔÓÖ7 Ü Ö ØÓ2 Ñ Ú ÑÔÙÖÖ Ö Ó Ó Ñ Ù ÒØ ÙÑ ØÓØ Ð ( ) Ñ ÓÑÓ Ñ Ò ½
52 ¾º¾º ÇÆ ÊÍ Æ Á ÊÁÈÌÇ Ê Á Ø Ñ 7 Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ 7 Ó Ò Ñ ÖÓ 8 ÓÖÖ ÔÓÒ Ó = 1 Ö ØÓ 1µº Á ØÓ Ú Ò Ö Ó ØÓ ÒÓ ÐÓ Ñ Ò Ó Ñ ÑÓ ÕÙ Ú Ò Ö ÙÑ Ô Ò º ÈÓÖ Ó Ó Ñ Ñ Ó Ò Ø Ð Ø Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ 1º Ñ ÔÓÖ ÒØ Ù Ø Ñ¹ ÐÑ ÒØ Ó Ò Ñ ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ó Ó ÓÙØÖÓ Ñ º Ç Ô Ó ÕÙ ÑÓ Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ñ ÕÙ ÒØ Ñ ÕÙ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ó Ñ Ø ÓÒ Ö Ø ÒØ ÒÓ ÐÓ Ó Ñ Ò Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ò ÖÓ 1900º ÈÖ ÑÓ ÓÖ Ô Ö Ò Ð Þ Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÕÙ ÒØ ÐÓ Ñ ÒØÓ Ò Ö Ó Ô Ö Ø Ò ÖÑÓ Ó Ü ØÓ ÔÖÓÙÖ Óº ÇÖ ÐÓ Ð Þ ÑÓ Ó 1 ÕÙ Ö ÑÓ ÐÓ Ð Þ Ö Ó x ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ ÔÖ ÑÓ Ò ÙÑ ÐÓ Ñ ÒØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ (x 1) Ô Ó º Î ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ø ÔÖÓÙÖ Ó Ó 4 ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ Ø Ö ÑÓ Ò Ñ 3 = 4 1 ÐÓ Ñ ÒØÓ Ö Ø ÒÓ ÐÓ Ñ Ò º Ë Ó ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ð Ñ Ù ÒÙÑ Ø Ö ¹ Ö ÔÓÖ Ü ÑÔÐÓ Ó 4 Ö ÒÙÑ ÜØ ¹ Ö ÕÙ Ø Ú ÒØ Ñ ÒØ 3 ÒØ Ø Ö ¹ Ö ÒÓ ÐÓµº Ð ÖÓ ÕÙ ÓÑ Ó ÕÙ ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ Ó Ø Ó Ò Ø Ô Ó ÔÖÓ Ó Ø Ö ÑÔÖ Ö Ú ÔÓÖ 7 ÔÓ Ó Ø Ó Ñ Ò Ó ÐÓ Ö Ô Ø ÑÔÖ º Ø Ú ÓÙ Ö Ò Ö ÓÙ ØÖÙÕÙ ÙÑ ÓÙØÖÓ Ü ÑÔÐÓ ÒØ Ö ÒØ ÒÓ ÓÒ ÖÙ Ò Ñ ÙÐÓ k ÕÙ Ò Ó Ù Ð 7º ¾º¾º Ç Ð ÓÖ ØÑÓ ÊË ÊË ÙÑ Ð ÓÖ ØÑÓ Ö ÔØÓ Ö Ó ÕÙ Ú Ó Ù ÒÓÑ ØÖ ÔÖÓ¹ ÓÖ Ó ÁÒ Ø ØÙØÓ Ì ÒÓÐÓ Å Ù ØØ ÅÁ̵ ÊÓÒ Ð Ê Ú Ø Ë Ñ Ö Ä ÓÒ Ö Ð Ñ Ò ÙÒ ÓÖ ØÙ Ð ÑÔÖ ÊË Ø Ë ÙÖ ØÝ ÁÒº ÕÙ ÒÚ ÒØ Ö Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑÓ ¹ Ø Ø (2008) Ñ Ñ Ù ÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ó Ø Ñ Ú Ñ ØÖ ÙÒ Ñ ÒØ ¹ Ñ Ø ÓÖ Ð Ó Ò Ñ ÖÓ º ÓÒ Ö Ó Ó Ñ ÙÖÓ ÕÙ Ñ Ò ÓÙ ÔÓÖ Ø ÖÖ ØÓ Ø Ò¹ Ø Ø Ú ÕÙ Ö ¹ÐÓº Ó Ø Ñ Ñ Ó ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ÓÖ ØÑÓ ÔÓ Ð Ø Ö Ö ÔØÓ Ö Ò ØÙÖ Ø Ð ÙÑ Ö Ò ÒÓÚ Ñ Ö ÔØÓ Ö Ú Ô Ð Ç ÊË ÒÚÓÐÚ ÙÑ Ô Ö Ú ÙÑ Ú Ô Ð ÕÙ ÔÓ Ö ÓÒ ÔÓÖ ØÓ Ó ÙÑ Ú ÔÖ Ú ÕÙ Ú Ö Ñ ÒØ Ñ ÐÓº ÌÓ Ñ Ò Ñ Ö Ù Ò Ó ÙÑ Ú Ô Ð ÔÓ Ö Ö Ù Ò Ó Ö Ô Ø Ú Ú ¾
¾½ Ë ÑÙÐ Ó ÜÔ Ö Ò ÓÑÓ ÖÖ Ñ ÒØ ÑÓÒ ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ñ ÙÐ Ì ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú ÖØÙ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ØÓÓÐ Ò Ô Ý Ð ØÙÖ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Á ÙÐ Ò Ò Ö ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÒ Ó Ò ÔÐ Úº ÀÙÑ ÖØÓ º º Ö ÒÓ ¾ ¼ ¼¹ ¼½ ˺ º ÑÔÓ ËºÈº
ÒØ Ò Ó ÂÓ ÕÙ Ñ Ò Ö Ø Ú ÍÑ Å ØÓ ÓÐÓ È ÖØ Ó Ô Ö Ó Ó¹ÔÖÓ ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ñ Ó Ì Ù Ñ Ø ÓÐ Ò Ò Ö ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù ÓÙØÓÖ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ýö Ô Ð Þ Ó Ñ Ò Ò Ö ÓÑÔÙØ ÓÖ µ ÍÒ Ú Ö Ó Å Ò Ó ÓÐ Ò Ò Ö Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ
¾¾½ ÔÖ ÒØ Ó Ó ËÓ ØÛ Ö Ù ÓÒ Ð Î Ø¾½ Å Ò ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ø ÓÒ Ð ËÓ ØÛ Ö Î Ø¾½ Å Ò µ Ï ÐØÓÒ Èº Ë ÐÚ Ð Åº º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Ð ØÓÒ º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ ÁÚÓÑ Ö Ö ØÓ ËÓ Ö Ó Ó º Ⱥ ˺ Ë ÐÚ Û ÐØÓÒÔ ÙÓкÓѺ Ö» Ì»Í È ½¼ ¹ ¼
½ Ë Ø Ñ Ê Ð Î ÖØÙ Ð Ô Ö Ë ÑÙÐ Ó Î Ù Ð Þ Ó Ö ÈÓÒØÙ Ö Ø Ù ÑÔÓ Ð ØÖ Ó Î ÖØÙ Ð Ê Ð ØÝ ËÝ Ø Ñ ÓÖ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Î Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÈÓ ÒØ Ö Ò Ø Ð ØÖ Ð ÒØ ÓÒ Ó Î Ò ÖÐ Ó Ë ÒØÓ ½ Ë Ð Ò ÊÓ Ö Ù Ó Ë ÒØÓ ¾ ÄÙ Ò Å Ó Ö
½ Ê Ú Ø Ö Ð Ö Ò ÒÓ ÚÓк ¾ ÒÓº ¾ ÂÙÒ Ó ¾¼¼¾ ÈÖÓ Ù Ó ÐÑ Ø Ó ÙÖØ Å ØÖ Ñ ¹ÊÇÅ Ô Ö Ó Ò ÒÓ ÈÖÓ ÙØ ÓÒ Ó Ø Ë ÓÖع ÙÖ Ø ÓÒ ÐÑ Ò ¹ÊÇÅ ÓÖ È Ý Ì Ò ÂÙÖ Ò Ö À ÐÐÑ ÒÒ ÊÓ Ð Ò Å ÖÓ Ö Ò ÓÒ Æ Ú ÖÐ Ò Ó ÒØÓÒ Ó Ë Ú Ó ËÙ ÙÑ
ÓÑÔÖ Ò Ó Ì ÖÑÓ ÒØ Ó ÒÓ ÙÖ Ó Ò ÍÒ Ö Ø Ò Ò ÒØ ÛÓÖ Ò Ò ÓÙÖ µ Å Ö Ë Ð Ø Ëº º È Ò ÖÓ Ä Ø Å Ö ÂÓ º Å ÖÕÙ ÐÑ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ò Ì ÒÓÐÓ ÍÒ Ú Ö Ó Ñ Ö ¼¼ ¹ ½ Ó Ñ Ö ÈÓÖØÙ Ð Ê Ó Ñ ½ Å Ó ¾¼¼½º ØÓ Ñ ¼ ÇÙØÙ ÖÓ ¾¼¼½º Æ Ø
Ú Ð Ó ÓÒ ÙÒØÓ Ö Ø Ö Ø ÒÓ Ê ÓÒ Ñ ÒØÓ È Ð ÚÖ Å ÒÙ Ö Ø ÂÓ ÂÓ Ñ Ö ÇÐ Ú Ö Â Ò ÓÖ ÖØ Ó Å ØÖ Ó Ù Ñ Ø ÓÓÖ Ò Ó Ó ÙÖ Ó È ¹ Ö Ù Ó Ñ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÍÒ Ú Ö ¹ Ö Ð ÑÔ Ò Ö Ò ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ò Ö Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù Å ØÖ
Ö Ø Ö Þ Ó Ö Ö È Ö¹ØÓ¹È Ö ÂÙÐ ÒÓ Ë ÒØÓ Ä ÓÒ Ö Ó ÊÓ Ó ÆÓ Ù Ö È ÙÐÓ Ö Ù Ó Î Ö Ð Ó ÐÑ Ï Ò Ö Å Ö ÂÖº Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Å Ò Ö ÙÐ ÒÓ ÐÖÓ Ó Ô ÙÐÓ Ú Ö Ð Ó Ñ Ö ºÙ Ñ º Ö ½ Ö Ð ¾¼¼¾ È Ð ÚÖ ¹ Ú Ë Ø Ñ
½ Ê Ú Ø Ö Ð Ö Ò ÒÓ ÚÓк ¾ ÒÓº ¾ ÂÙÒ Ó ¾¼¼¾ ØÖ Ø Ô Ö ÍØ Ð Þ Ö Ó ÈÖÓ Ö Ñ ÈÖÓÑ Ø Ù Ò ÐØ Ö Ó ÓÒ Ô Ó Ñ Å Ò Ë ÖÐ Ý Ì Ó Ó Ö ½ È ÙÐÓ Ê Ö Ó Ë ÐÚ ÊÓ ¾ ÍÑ Ð Ò ÓÑ ØØ È Ù Ð Ð Ò Ã ÓÒ Ñ ½ Ó Ö ºÙ Ñ º Ö ¾ ÖÓ ºÙ Ñ º Ö ÙÑ
0xFFF... sistema operacional. (b)
Ô ØÙÐÓ Ö ÒÑ ÒØÓ Å Ñ Ö Å Ñ Ö ÙÑ Ö ÙÖ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÕÙ Ú Ö ÙÓ Ñ ÒØ Ö Ò Óº ÒÕÙ ÒØÓ Ô ÖÑ Þ Ò Ñ ÒØÓ Ó ÓÑÔÙØÓÖ Ú Ñ Ö Ò Ó ÓÒØ ÒÙ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ü ¹ Ó Ó ØÛ Ö Ö Ø ÐÚ Þ Ø Ü ÑÓÖ º Ô ÖØ Ó Ø Ñ ÓÔ ÖÓÒ Ð ÕÙ Ö Ò Ñ Ñ Ö Ñ Ö Ò ÓÖ
À À ÍÑ ÈÖÓØÓÓÐÓ ÊÓØ Ñ ÒØÓ Ô Ö ÁÑÔÐ ÒØ Ó ÈÖÓ Ö Ú Ó Ë ÖÚ Ó ÅÙÐØ Ø ÄÙ À ÒÖ Õ٠ź ú Ó Ø ½ ¾ ÄÙ º Ó Ø Ð Ô º Ö Ë Ö ½ Ë Ö º Ð Ô º Ö ÇØØÓ ÖÐÓ Åº º Ù ÖØ ¾ ÓØØÓ Ø ºÙ Ö º Ö ½ ÄÁÈ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø È ÖÖ Ø Å Ö ÙÖ ÔÐ ÂÙ Ù
INTERFACE CONTRATO IIOP ORB CORBA IIOP FRAMEWORK DE COMPONENTES
ÒÚÓÐÚ Ñ ÒØÓ ËÓ ØÛ Ö ÇÖ ÒØ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ È Ö ÆÓÚÓ Ë ÖÚ Ó Ì Ð ÓÑÙÒ Ó Ð Ò º Ù Ñ Ö ÒØÓÒ Ó Ìº Å «Â Ñ Äº È Ö Ö ÖÙÒÓ º ÊÙ Ó Å Ö Ð Ö ÖÑ Ò ÁÒ Ø ØÙØÓ Æ ÓÒ Ð Ì ÒÓÐÓ ÁÒ ÓÖÑ Ó ¹ ÁÌÁ È ½ ¾ ¹ ÑÔ Ò ¹ËÈ ½ ¼ ¹ ¼ Ð Ò Ñ «Ñ Ð
ÍÒ Ú Ö Ø Ù Ð ÑÔ Ò ÙÐ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÓÑÔÙØ Ó Ò Ð ÖÕÙ Ø ØÙÖ Ö ¹ Ö Ò Ð Ò ÓÒ Ò ÖØ Ð ÔÐ ÙÑ Ö ØÙÖ Î ÖØÙ Ð ÙØÓÖ Ê Ö Ó Ô Ø Ò Ó Å ÖØ Ò Ë ÐÚ ÇÖ ÒØ ÓÖ ÈÖÓ º Öº Ê Ö Ó Ê ÖÓ Ù Û Ò ÖØ Ó Å ØÖ Ó ÔÖ ÒØ ÙÐ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÓÑÔÙØ Ó
Notas de Aula. Introdução a Computação Gráfica. IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada
Notas de Aula Introdução a Computação Gráfica IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada Autores Jonas de Miranda Gomes Luiz Carlos Pacheco Rodrigues Velho Paulo Roma Cavalcanti Intituições IMPA -
ÍÒ Ú Ö Ø Ù Ð ÑÔ Ò ¹ ÍÆÁ ÅÈ ÙÐ Ò º Ð ØÖ ÓÑÔÙØ Ó ÁÒØÖÓ ÙÓ Ó Ë Ø Ñ ÇÔ Ö ÓÒ Ð Ö Ö ÓÞÓ ¹ ÍÆÁ ÅÈ Å ÙÖ Ó º Å Ð ¹ ÍÆÁ ÅÈ ÄÙ º Ò ÙÐ ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ö Ð Í ÖÐÒ Â Ò ÖÓ ¾¼¼¾ ÑÔ Ò ËÈ ¹ Ö Ð ËÙÑ Ö Ó Ä Ø ÙÖ Ä Ø Ì Ð Ú Ú
Gerente GC GC. Cluster N. Cluster 1. Cluster 2
Ö Ò Ð ØÖ Ù ÓÒ Ú Ð Ñ ÐÙ Ø Ö ÒØ Ð Ö Äº Ó Ë ÒØÓ Ð Èº Ù ÖØ ÂÖº Ð ÒÒ Å Ò Ð Ð Ö ºÙ Ñ º Ö Ð Ò ºÙ ÔÖº Ö Ý ÖÝ ÓкӺ Ô ÔØÓº Ò ÓÑÔÙØ Ó ÔØÓº ÁÒ ÓÖÑ Ø Ý Ö ËÓÐÙØ ÓÒ ÁÒº ÍÒ Úº Ö Ð Å Ò Ö ÍÒ Úº Ö Ð Ó È Ö Ò Ó ¹ Ù Ë Ò Å
Ô Ó ÓÖÑ Ð ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ñ Ò ÑÓ ÙÖ Ò Ô Ö Ö ÓÐÙÓ ÒÓÑ ÒÓ ÆË Î Ò Ö Ë Ö Ñ ÒØÓ Ò Ñ Ö ÅÓÖ Ö Ù Ó Ä ÑÓ Ì Ø Ø Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø Å Ø Ñ Ø ÔÐ ¹ ÁÅ Ô ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Ö Ò Ó ÆÓÖØ ¹ Í ÊÆ ÑÔÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ö Ó ¹ Ä Ó ÆÓÚ ¹ ¼
Roteador. subrede de comunicação. canal
Ê Ë ÇÅÈÍÌ ÇÊ Ë ÅÇ ÄÇ ÇËÁ Ð Ö Ö ÓÞÓ Å ÙÖ Ó º Å Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ò Ö ÓÑÔÙØ Ó ÙØÓÑ Ó ÁÒ Ù ØÖ Ð ÙÐ Ò Ò Ö Ð ØÖ ÓÑÔÙØ Ó ÍÒ Ú Ö Ø Ù Ð ÑÔ Ò ¾¼¼¾ ½ ¹¾¼¼¾»»ÍÆÁ ÅÈ Ô ØÙÐÓ ½ ÁÆÌÊÇ Í Ç ½º½ ÓÒ ØÓ Ó Ò Ö ÑÓ Ê ÓÑÔÙØ ÓÖ ÓÑÓ
WUDS QRWLILHU VFULSWV. *HUHQWH LQWHUPHGLiULR
ÍÑ ÒØ ËÆÅÈ Ô Ö Ø Ó ÁÒØÖÙ Ó Ò ÅÓÒ ØÓÖ Ó ÁÒØ Ö Ó ÈÖÓØÓÓÐÓ Ö Å Ò ØØ ½ ÄÙ ÒÓ Ô ÖÝ ¾ Ä Ò Ì ÖÓÙÓ ½ ½ ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Ö Ò Ó ËÙÐ ÁÒ Ø ØÙØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø Úº ÒØÓ ÓÒ ÐÚ ¼¼ ¹ ÖÓÒÓÑ ¹ È ½ ½¹ ¼ ¹ ÈÓÖØÓ Ð Ö Ö Ð ¾ ÍÒ Ú Ö
ÍÑ Ë Ø Ñ ÌÙØÓÖ ÅÙÐØ ¹ ÒØ ÒÓ ÓÑ Ò Ó Ê È ØÖ Ù Ø ÚÓ Å Ò ÖØ Ó Ù Ñ Ø ÓÓÖ Ò Ó Ó ÙÖ Ó È ¹ Ö ÙÓ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö Ö Ð È Ö ¹ ÑÔÙ ÁÁ ÓÑÓ Ô ÖØ Ó Ö ÕÙ ØÓ Ò Ö Ó Ô Ö Ó Ø ÒÓ Ó Ö Ù Å ØÖ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø º ýö ÓÒ ÒØÖ Ó Ê È ØÖ
½½ ÓÑÓ Æ Ó Ö Ú Ö ËÓ Ö À Ø ÓÖ ¹ ÙÑ Å Ò ØÓ À ØÓÖ Ó Ö Ó ÀÓÛ ÓÒ ÓÙÐ ÒÓØ ÛÖ Ø ÓÙØ Ø ØÓÖÝ Ó Ô Ý ¹ ØÓÖ Ó Ö Ô Ð Ñ Ò ØÓµ ÖÑ ÖØ Ò ºÙÒ ÑÔº Öº ÖÙÔÓ À Ø ÓÖ Ì ÓÖ Ò Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Ê Ó Ó Ñ Ó ÖÓÒÓÐÓ ÁÒ Ø ØÙØÓ Ð Ï Ø Ò ÍÆÁ ÅÈ
¾ Ê Ú Ø Ö Ð Ö Ò ÒÓ ÚÓк ¾ ÒÓº ¾ ÂÙÒ Ó ¾¼¼½ Ç Å ØÓ Ó ÒØ Ø Ù ÓÒØÖÓÚ Ö Ì ÑÝØ Ó Ø ÒØ Ø Ò Ø Ö ÓÒØÖÓÚ Ö ÊÓ Ö Ó ÅÓÙÖ ÖÓ Ö Ó Ö Þ ÔÑ ÐºÓѺ Öµ ÂÓ Ó Ø Ø Ö Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ù Ö º Öµ ÁÒ Ø ØÙØÓ Í ÊÂ Ê Ó Ñ ¾»¼»¾¼¼¼º Å ÒÙ Ö
ÍÒ Ú Ö Ö Ð Ó Ê Ó Â Ò ÖÓ ÒØÖÓ Ò Å Ø Ñ Ø Æ ØÙÖ Þ Ç ÖÚ Ø Ö Ó Ó Î ÐÓÒ Ó Ä Ø ÙØÖ ÖÖ Ö Ê Ä Ç Á ¹ ÌÁÎÁ Å ËÌÊ Ä Ë ÌÁÈÇ ËÇÄ Ê È ÊÌÁÊ ÄÁÆÀ Àα ¾¼½¼ Ä Ø ÙØÖ ÖÖ Ö Ê Ä Ç Á ¹ ÌÁÎÁ Å ËÌÊ Ä Ë ÌÁÈÇ ËÇÄ Ê È ÊÌÁÊ ÄÁÆÀ Àα
Î ÄÁ Ç Ç Ë ÅÈ ÆÀÇ ÆÌ Ë Å Î ÁË ÆÇ Ê Æ Á Å ÆÌÇ Ê Ë Å Ö ÐÓ ÓÒ ÐÚ ÊÙ Ò Ø Ò Ì Ë ËÍ Å ÌÁ Ç ÇÊÈÇ Ç ÆÌ ÇÇÊ Æ Ç ÇË ÈÊÇ Ê Å Ë È Ë¹ Ê Í Ç Æ ÆÀ ÊÁ ÍÆÁÎ ÊËÁ Ê Ä Ç ÊÁÇ Â Æ ÁÊÇ ÇÅÇ È ÊÌ ÇË Ê ÉÍÁËÁÌÇË Æ ËËýÊÁÇË È Ê Ç
ÊÚ Ø Ö ÐÖ Ò ÒÓ ÚÓк ¾ ÒÓº ÅÖÓ ¾¼¼ ËÑÙÐÓ Ò ÐØÖÓÒ ÔÖ Ö Ø ÍÒÑÒ ÓÒ ÑÒ ÓÒ ËÑÙÐØÓÒ Ó ÐØÖÓÒ Ò ØÝ ÓÖ ÓÒ ÑÒ ÓÒÐ Ò ØÛÓ ÑÒ ÓÒÐ ÖÝ ØÐ ÈÐÒÓ ÐØÓÖÖ ÎÐÑÖ Ð ¾ ÏÐØÖ ÐÙÖ ÞÚÓ ÂÙÒÓÖ ØØÔ»»ÛÛÛºÓÖ ØÐÓÖ ººÐºÙÒ ÔºÖµ ÔÖØÑÒØÓ ÁÒ
ÓÑÔÙØÓ Ö ÍÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÈÐÒÓ ÈÓÓ ÄÙÞ ÎÐÓ ÂÓÒ ÓÑ ÁÅÈ ß ÁÒ ØØÙØÓ ÅØÑØ ÈÙÖ ÔÐ ØÖ ÓÒ ØÓÖÒ ½½¼ ÊÓ ÂÒÖÓ Ê ÖÞÐ ¾¾¼¹ ¾¼º ÐÚÐÓÓÒ ÑÔºÖ Ê ÙÑÓ Æ ÖØÓ ÔÖ ÒØÑÓ ÙÑ ÔÖÓÔÓ Ø ÔÐÒÓ ÔÓÓ ÔÖ ¹ ÔÐÒ ÓÑÔÙØÓ Ö º ÑØÓÓÐÓ ÙØÐÞ ÙÒÑÒØ Ò
Sistemas de Operação Sockets
Sistemas de Operação Sockets O que é um socket? Uma interface de comunicação entre processos que podem ou não residir na mesma máquina, mas que não precisam estar relacionados. É usado normalmente para
ÊÚ Ø Ö ÐÖ Ò ÒÓ ÚÓк ¾¾ ÒÓº ÞÑÖÓ ¾¼¼¼ ¾ ÁÒÚÒÓ Ó ÓÒØÓ ÉÙÒØÙÑ ÒÖ ÙÒÓ ÈÐÒ ÆÐ ÓÒ ËØÙÖØ ÔÖØÑÒØÓ ÍÒÚÖ ÖÐ ËÓ ÖÐÓ ½ ¹¼ ËÓ ÖÐÓ ËÓ ÈÙÐÓ ÊÓ Ñ ¾¾ ÆÓÚÑÖÓ ¾¼¼¼º ØÓ Ñ ¾ ÞÑÖÓ ¾¼¼¼º À Ñ ÒÓ Ó ÕÙÒØÙÑ ÔÖÓÚÓÓÙ ÙÑ ÖÚÓÐÙÓ Ò Ò
ÀÙÖ Ø ÀÖ ÔÖ ÐÓÒÑÒØÓ Ø ØÓ ÌÖ Ñ Ë ØÑ ÓÑ ÈÖÓ ÓÖ ÀØÖÓÒÓ ÝÖ ÖÒÓ ËÓÙ ÊÓ ÖØÓ Å ØÖÓ ÙÑØ Ó ÈÖÓÖÑ È ¹ÖÙÓ Ñ ÓÑÔÙØÓ ÔÐ ÙØÓÑÓ ÍÒÚÖ ÖÐ ÐÙÑÒÒ ÓÑÓ ÖÕÙ ØÓ ÔÖÐ ÔÖ ÓØÒÓ Ó ØØÙÐÓ Å ØÖº ýö ÓÒÒØÖÓ ÇØÑÞÓ ÁÒØÐÒ ÖØк ÇÖÒØÓÖ ÄÙÞ
arxiv:physics/0210092 v1 22 Oct 2002
Listening to the coefficient of restitution and the gravitational acceleration of a bouncing ball C. E. Aguiar and F. Laudares Instituto de Física, Universidade Federal do Rio de Janeiro Cx.P. 68528, Rio
Do cadastramento da Instituição de Ensino:
DOCUMENTAÇÃO NECESSÁRIA PARA CADASTRAMENTO DE INSTITUIÇÕES DE ENSINO E CURSOS DE NÍVEL MÉDIO E SUPERIOR,. NO ÂMBITO DAS PROFISSÕES INSERIDAS NO SISTEMA ONFEA/CREA, PARA CONCESSÃO DE TÍTULOS, ATRIBUIÇÕES
28 TH BRAZILIAN SYMPOSIUM ON DATABASES
28 TH BRAZILIAN SYMPOSIUM ON DATABASES TUTORIALS PROCEEDINGS September 30 th October 3 rd, 2013 Recife, Pernambuco, Brazil Promotion Brazilian Computer Society SBC SBC Special Interest Group on Databases
!"!#$ %"&'$ (#!') *!"!#$ %"('$ (#')+,-#$ (,-'.,/%0,).,/%0 ).,/10 %23455623556 7899: 5;665;66 ?9@ABCD@9EF9G3H>BIJK>I9@A@BG4>I9LAB@K@JIM>D899:566566 NBCKOPQCIHBCRSG7HHBCRHBCKOTA>CUGNBCKOTA>CUIHBCR8ACUVW:X6YZ
ines@dcc.fc.up.pt (sala 1.31) http://www.dcc.fc.up.pt/ ines/aulas/0809/so/so.html
Acetatos baseados nas aulas do Prof. Fernando Silva ÔÓÒØ Ñ ÒØÓ ÙÐ Ì Ö Ë Ø Ñ ÇÔ Ö Ó ines@dcc.fc.up.pt (sala 1.31) http://www.dcc.fc.up.pt/ ines/aulas/0809/so/so.html ÁÒ ÙØÖ Departamento de Ciência de Computadores
Determinaçao do Vector Optimo
ØÑÓ ÌÖØÓÖ Ó ÈÖÑØÖÓ ÖØÙÐØÓÖÓ ÒÑ Ù Ø Ó ËÒÐ Ð ÖÐÓ º ËÐÚ ½ Á Ð ÌÖÒÓ Ó ¾ Ò ËÑÖ ÒÒÓÙ ½ ÔÖØÑÒØÓ ÐØÖÓÒ ÁÒÙ ØÖÐ ÍÒÚÖ Ó ÅÒÓ ÈÓÖØÙÐ ÒºÙÑÒÓºÔØ ¾ ÁÆË»ÁËÌ ÈÓÖØÙÐ Á кÌÖÒÓ ÓÒ ºÔØ ÈÐÔ Ê Ö Ä ÆØÖÐÒ ÒÓÙÒØÐºÖ ÖºÔÐÔ ºÓÑ Ê
CARTILHA PARA ADESÃO ATA DE REGISTRO DE PREÇO
CARTILHA PARA ADESÃO ATA DE REGISTRO DE PREÇO POLÍCIA RODOVIARIA FEDERAL ARP Nº 09/2013 Aos Órgãos da Administração Pública Ref.: 2013. Ata de Registro de Preços conforme preceitua o Decreto Nº 7.892,
Åaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
SUSCETIBILIDADE EROSIVA DOS SOLOS
ASPECTOS MORFOMÉTRICOS COMO SUBSÍDIO AO ESTUDO DA CONDUTIVIDADE #'(%)!*")+$!"#$!%&!&& HIDRÁULICA E SUSCETIBILIDADE EROSIVA DOS SOLOS,-./01 :;354A946;69354UA>::
!!" #"!" #"!" #" $ $ % $ & #'"(" ) * ) + ), - "."/." 0 123 245 637 859 428:1;23 245 639 859 48:< => 459 => 8?=@6A=:?=@6A:?=@BA6CDE FGG DHIIJ E FGG 1HIIJ K GGG L MNONPQ ROSTQ UPNTVMW NONPQ ROUTQ UPTVX YZPQ
SOMBRA CURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃ TÓPICOS EM SISTEMAS DISTRIBUÍDOS
UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA CURSO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃ ÇÃO TÓPICOS EM SISTEMAS DISTRIBUÍDOS DOS Prof. Giuliano Prado M. Giglio, MSc. profgiuliano@yahoo.com.br http://www.profgiuliano.cjb.net Tópicos
Diagnóstico de Vulnerabilidades através da Injecção de Ataques
Diagnóstico de Vulnerabilidades através da Injecção de Ataques, Covilhã, Portugal João Antunes 1, Nuno Neves 1, Miguel Correia 1, Paulo Veríssimo 1, Rui Neves 2 1 Faculdade de Ciências da Universidade
GERENCIAMENTO INTEGRADO DE REDE LOCAL COM SOFTWARE LIVRE
Ilha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO Câmpus de Ilha Solteira - SP Ápio Carnielo e Silva GERENCIAMENTO INTEGRADO DE REDE LOCAL COM SOFTWARE LIVRE Ilha Solteira 2014 ÁPIO
Universidade de São Paulo Instituto de Física de São Carlos Departamento de Física e Informática
Universidade de São Paulo Instituto de Física de São Carlos Departamento de Física e Informática Ê Ë Ä ÁÎ Ë Ê ËÀ ÊÁ Ë ÌÊý ÇÅÍÄÌÁÅ Á ÇÅÉÓË Å ËÁÅÍÄ Ç ÁÅÈÄ Å ÆÌ Ç André Muezerie Tese apresentada ao Instituto
Pesquisa Nacional em Gerenciamento de Processos de Negócio - 2013
Pesquisa Nacional em Gerenciamento de Processos de Negócio - 2013 O status e a evolução do Gerenciamento de Processos de Negócio nas organizações brasileiras. ! " #$& '( ( ') * ) +,! " ) * - + (.+ ( &
IMPORTAÇÃO DO CADASTRO DE PESSOAS
IMPORTAÇÃO DO CADASTRO DE PESSOAS 1. Objetivo: 1. Esta rotina permite importar para o banco de dados do ibisoft Empresa o cadastro de pessoas gerado por outro aplicativo. 2. O cadastro de pessoas pode
Tabela de Vinculação de pagamento Manteve o mesmo nome DDM SIAFI-TABELA-VINCULA-PAGAMENTO
Segue abaixo dados das DDMs que mudaram para o PCASP, tanto as que mudaram de nome como as que mantiveram o mesmo nome. Para estas, os campos que serão excluídos (em 2015) estão em vermelho e os campos
Componentes de um Sistema de Operação
Componentes de um Sistema de Operação Em sistemas modernos é habitual ter-se os seguintes componentes ou módulos: Gestor de processos Gestor da memória principal Gestor da memória secundária Gestor do
Domingo Segunda- feira Terça- feira Quarta- feira Quinta- feira Sexta- feira Sábado 1-fev 2-fev 3-fev 4-fev 5-fev 6-fev
Domingo Segunda- feira Terça- feira Quarta- feira Quinta- feira Sexta- feira Sábado 1-fev 2-fev 3-fev 4-fev 5-fev 6-fev 09:00AM - 10:00PM 09:00AM - 08:00PM 09:00AM - 08:00PM 09:00AM - 09:00PM 09:00AM -
'!"( )*+%, ( -. ) #) 01)0) 2! ' 3.!1(,,, ".6 )) -2 7! 6)) " ) 6 #$ ))!" 6) 8 "9 :# $ ( -;!: (2. ) # )
!" #$%&& #% 1 !"# $%& '!"( )*+%, ( -. ) #) /)01 01)0) 2! ' 3.!1(,,, " 44425"2.6 )) -2 7! 6)) " ) 6 #$ ))!" 6) 4442$ ))2 8 "9 :# $ ( -;!: (2. ) # ) 44425"2 ))!)) 2() )! ()?"?@! A ))B " > - > )A! 2CDE)
Intervalo de confiança para α
Intervalo de confiança para α Teorema (Intervalo de Confiança a (1 γ) 100% para α) Dado o Modelo de Regressão Linear Simples, um intervalo a (1 γ) 100% de confiança para a ordenada na origem, α, da recta
EXCELENTÍSSIMO SENHOR DOUTOR JUIZ DE DIREITO DA 1ª VARA DE FALÊNCIAS E RECUPERAÇÕES JUDICIAIS DA COMARCA DE SÃO PAULO- SP
M EXCELENTÍSSIMO SENHOR DOUTOR JUIZ DE DIREITO DA ª VARA DE FALÊNCIAS E RECUPERAÇÕES JUDICIAIS DA COMARCA DE SÃO PAULO- SP Processo nº 8767-65486 ALVAREZ & MARSAL CONSULTORIA EMPRESARIAL DO BRASIL LTDA,
A "(* 3-2 )8 =T31 L3UL V W QPFRSPJGOJR MNO;FPFF; ( @ $ - *% DEFGHIGFFJF ) 1"$ - / ( %$ ) K) ) @ $ - " L" $ ) =% $ "& 5" $ >?($ $ / - @- / A ) B / $*& (4$ $ "($ 0, 7, 1& '/ $" < < % $ 0 C4% ( % $ 7 ( %
J O S É R E N A T O C A S A G R A N D E - G OVERNADOR
ª«+ +,-./012,-./01E š šœ žÿž œ `a^&^ a'` ^^ ^ e_'!`b"'`a' a '^ e`_ah ^ ' jklmno 3454678779:43;57?347>;??@A;6?B?48C?A?B4?D3;6?5;54=6;?B?!"#$ %&' (#)* J O S É R E N A T O C A S A G R A N D E
Componentes de um Sistema de Operação
Componentes de um Sistema de Operação Em sistemas modernos é habitual ter-se as seguintes componentes ou módulos: Gestor de processos Gestor da memória principal Gestor da memória secundária Gestor do
Administração (RIO) CURSO: Ciência da Computação (RIO) CURSO: Ciências Biológicas (RIO) CURSO: Ciências Contábeis (RIO) CURSO:
Administração (RIO) Vagas do Vestibular : 60 D/F: 0 N/I: 12 RP: 12 Não Destinadas à Reserva : 33 Res: 3 BEATRIZ DA SILVA BITTENCOURT 143001296-1 A2-2º semestre - Bacharelado - noite 77 NR 76 Ciência da
é é ç í é é é ç ó çõ é ê á çã é çã é á á ã é í á ã ó É ã ê í á á é á ã â é ó é é ã é é é á é ã ó ã á é í á é ê ã
Ó é é ç ç ã éó éçéá éé çí é éé çóçõé ê á çã é çã é á á ã é í á ã óéãê íáá éáãâé ó é é ã éé éáé ãóã áéí á é ê ã çã é ã é çã ãíçãê éé ô í é çóã á ó ó é çãéã ú ê é á íô á ãé úóé çãçç óçãéééõé ççã çãôáíô éçé
Telecom. Manual de Instrução e Instalação TELEMATE. Modelo TM-10. Tecnologia em Headset
Manual de Instrução e Instalação TELEMATE Modelo TM-10 ÍNDICE Introdução 4 Apresentação 4 Acessórios 6 Instalação 7 Descrição de Funcionamento 8 Instalação em Rede 9 Descrição TS-10 10 Características
Câmara dos Deputados Praça 3 Poderes Consultoria Legislativa Anexo III - Térreo Brasília - DF
Henrique Leonardo Medeiros Consultor Legislativo da Área II Direito Civil e Processual Civil, Direito Penal e Processual Penal, de Família, do Autor, de Sucessões, Internacional Privado Câmara dos Deputados
" # $! % & %' "! () * + %!! -!', ". /!, DEFWKTNXYIZME[QI\XEYXP]I^DQEMNIE_UHQVQTNEXNQYI DEFGEHIJKLMENIOIEMPPQRDQEMNIERSEMTQUMVNM 0123452167839:41;6?146@A326B2:C DEFfQNgEQIfMEEQRDQEMNIEhijVQjIROiUQjI
Aula 5 Quadriláteros Notáveis
Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:
RELATÓRIO DE EXECUÇÃO E PRESTAÇÃO DE CONTAS DA UPA TIPO III - 24 HORAS - SANTA LUZIA JUNHO DE 2013 CONTRATO DE GESTÃO SES/RJ
RELATÓRIO DE EXECUÇÃO E PRESTAÇÃO DE CONTAS DA UPA TIPO III - 24 HORAS - SANTA LUZIA JUNHO DE 2013 CONTRATO DE GESTÃO SES/RJ 1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS Neste mês foram atendidos 9.913 pacientes, sendo
GLOSSÁRIO PREV PEPSICO
GLOSSÁRIO PREV PEPSICO A T A A ABRAPP Aã Aã I Aí I R ANAPAR A A M A A A Lí Aá S C é ç í ê çõ 13ª í ã. Açã B E F Pê P. Cí ê, ã ê. V Cê Aã P ( á). N í, - I R P Fí (IRPF), S R F, à í á, ( 11.053 2004), çã.
! $&% '% "' ' '# ' %, #! - ' # ' ' * '. % % ' , '%'# /%, 0! .!1! 2 / " ') # ' + 7*' # +!!! ''+,!'#.8.!&&%, 1 92 '. # ' '!4'',!
"#$%% $&% '% "' ' '# '"''%(&%') '*'+&%'# ),'#+# ' %, # - ' # ' "%'''' ' * '. % % ', '%'# ''''') /%, 0.1 2 / " ') 33*&,% *"'",% '4'5&%64'' # ' + 7*' # + "*''''' 12''&% '''&")#'35 ''+,'#.8.&&%, 1 92 '. #
Tópicos Quem é é a a PP aa nn dd ui t t?? PP oo rr qq ue um CC aa bb ea men tt oo PP er ff oo rr ma nn cc e? dd e AA ll tt a a Qua ll ii dd aa dd e e PP aa nn dd ui t t NN et ww oo rr k k II nn ff rr aa
Administração (RIO) CURSO: Ciência da Computação (RIO) CURSO: Ciências Biológicas (RIO) CURSO: Vestibular Estadual / 2014 - UERJ 02/09/2014 16:05:21
Administração (RIO) Vagas do Vestibular : 60 D/F: 0 N/I: 12 RP: 12 Não Destinadas à Reserva : 33 Res: 3 JOAO VICTOR MOURA SILVA 143038970-3 A2-2º semestre - Bacharelado - noite 73 NR 73 Ciência da Computação
PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães
PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães Nível Iniciante Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede
Telecomunicações Básico
Telecomunicações Básico Prof. MSc. Eng. ! "!"!"#$ %!"# #% # $ &# #!% '($ ) ) *+, ) $-!.) / 0 1#() 0!2) $% & '() * %# ') % &# /) *%+,,%-, 334-3564.7 &3897.%& / /% 0 0% 1 0 :'( : : $00'( :'(;< : 4.*6 :4.*6
Manual de Instruções. Intercomunicador Profissional EXP-98in
! #"$ %& Manual de Instruções Intercomunicador Profissional EXP-98in ')(+*-,/.103246587+0+9;:2?;2@A:/BC7/.19D@E,+FAG+2>H#IJK0/, LNM+O3PRQ SRTEU>V>W3XZY/X\[^]3Q U#_>`bacVdE`Q efuhgi]>aj[kmlonpazqnx+rso
quealteraoregulamento(ce)n.º423/2007 queimpõemedidasrestritivascontraoirão
ConseilUE PUBLIC REGULAMETO(CE).º /2008DOCOSELHO de quealteraoregulamento(ce)n.º423/2007 queimpõemedidasrestritivascontraoirão OCONSELHODAUNIÃOEUROPEIA, TendoemcontaoTratadoqueinstituiaComunidadeEuropeia,nomeadamenteosartigos60.º
Gramáticas Livres de Contexto
Gramáticas Livres de Contexto 25 de novembro de 2011 Definição 1 Uma Regra (ou produção) é um elemento do conjunto V (V Σ). Sendo que V é um conjunto finito de elementos chamados de variáveis e Σ um conjunto
NPQV Variável Educação Prof. Responsáv el : Ra ph a el B i c u d o
NPQV Variável Educação Prof. Responsáv v el :: Ra ph aa el BB ii cc uu dd o ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA ÁREA DE EDUCAÇÃO 2º Semestre de 2003 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA ÁREA DE EDUCAÇÃO As atividades realizadas
$7(1d 2. 5 ( ) ( ', 7 $ / ' ( & 2 1 & 8 5 6 2 3 Ò % /, & 2 1 ž
5 ( ) ( ', 7 $ / ' ( & 2 1 & 8 5 6 2 3 Ò % /, & 2 1 ž $7(1d 2 Você está recebendo do fiscal um caderno de questões com 30 (trinta) questões que compõem a prova escrita objetiva numeradas seqüencialmente
Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 *
Objetivas 01 1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/ B) /3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b
NOME :... NÚMERO :... TURMA :...
1 TERCEIRA SÉRIE ENSINO MÉDIO INTEGRADO Relações métricas envolvendo a circunferência Prof. Rogério Rodrigues NOME :... NÚMERO :... TURMA :... X - RELAÇÕES MÉTRICAS NO DISCO (Potência de Ponto) X.1) Relação
OPERADOR DE COMPUTADOR. U t i l i z e e s t e e s p a ç o p a r a r a s c u n h o. Concurso Público HEMOPA/PA 2
U t i l i z e e s t e e s p a ç o p a r a r a s c u n h o Concurso Público HEMOPA/PA 2 ÕÖ ###*+,#-.! #"$%!&!'""####! &# " 0+,#!"#-%!!+"#!"!####/$ #!"/#!$"#"3"!" #"$/!0#"1#-!#() ""!"#"#!#!"+4) 51#-###"$"4#!!6-78
Copa Patrulha Escolar de Futsal 2016
Copa Patrulha Escolar de Futsal 2016 ESCOLAS PARTICIPANTES Nº ESCOLA Nº ESCOLA 1 ULISSES GUIMARÃES 25 CAP. CLÁUDIO MANUEL 2 RISOLETA NEVES 26 EDUARDO LIMA E SILVA 3 FLORA CALHEIROS 27 JESUS BURLAMACHI
INTERPRETAÇÃO TOMOGRÁFICA DE DENTES RETIDOS EM ORTODONTIA DEGUSTAÇÃO
INTERPRETAÇÃO TOMOGRÁFICA DE DENTES RETIDOS EM ORTODONTIA Marília Sayako Yatabe Daniela Gamba Garib Gabriel Salles Barbério Maria Aparecida de Andrade Moreira Machado Thais Marchini de Oliveira Guilherme
MANUAL DE PINAGEM ECU-TEST2 EVOLUTION
MANUAL DE PINAGEM ECU-TEST2 EVOLUTION 18/09/2013 MONTADORAS: SISTEMAS REUNALT: PINAGEM DA ECU: FENIX 5...04-05 PINAGEM DA ECU: IAW 5NR...06-07 PINAGEM DA ECU: IAW 8R...08-09 PINAGEM DA ECU: SAGEM 3000
Município de Gondomar. Resumo. 97.037,18 97.037,18 6737 401 04 99D Outras construções Anfiteatro junto à Igreja de Medas
3196 31 4 4D Equipamentos não integrados nos Deposito de aguas das oliveiras 29-6-2 19.75,81 151,716.257,33 637 41 4 5D Cemitérios (construções, vedações e Cemiterio de Melres - novo 31-12-29 25.887,49
A TEMPESTADE É BRISA
Intro: / G / Am C / G C G / A TEMPESTADE É BRISA Am C G C G Am C G C G O, o, o, o, Jesus, O, o, o, o, Jesus Am C G As ondas bravas do mar, um barco quer virar Am C G O vento forte a soprar, onde Jesus
$35(6(17$d 2Ã&/Ë1,&$ 'LDJQyVWLFRÃ FOtQLFR &ROHGRFROLWtDVH &ROHFLVWLWH 3DQFUHDWLWH &ROHGRFROLWtDVH HP UHVROXomR &ROHFLVWLWH 3DQFUHDWLWH &ROHGRFROLWtDVH HP UHVROXomR &yolfdãeloldu (FRJUDILD &ROpGRFRÃ!ÃÃFP
REGULAMENTO DE INSTALAÇÃO E FUNCIONAMENTO DOS ESTABELECIMENTOS DE HOSPEDAGEM No u s o d a c o mp e t ê n c i a p r e v i s t a al í n e a v ) d o n. º 1 d o ar t i g o 64º d o De c r e t o -Le i n. º 1
! "#" $ %&& ' ( )%*)&&&& "+,)-. )/00*&&& 1+,)-. )/00*&2) (5 (6 7 36 " #89 : /&*&
! "#" %&& ' )%*)&&&& "+,)-. )/00*&&& 1+,)-. )/00*&2) 3 4 5 6 7 36 " #89 : /&*& #" + " ;9" 9 E" " """
Siemens AG 2009 SIRIUS SENTRON SIVACON. Catálogo LV 90 2009. Baixa Tensão Corte, protecção e comando. Answers for industry.
SIRIUS SENTRON SIVACON Catálogo LV 90 2009 Baixa Tensão Corte, protecção e comando Answers for industry. Interruptores de corte em carga, sistemas de barramentos SENTRON 8US Introdução Tipo 3NP 1 3K 3NJ4
Se o ABC é isóscele de base AC, determine x.
LISTA DE EXERCÍCIOS DE RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA PROFESSOR MOABI QUESTÃO I Nas figuras abaixo, o CBA é congruente ao CDE. Determine o valor de x e y. QUESTÃO II Num triângulo, o maior lado mede 26 cm,
1 Avaliação de Desempenho de Sistemas Paralelos 1
1 Avaliação de Desempenho de Sistemas Paralelos 1 Leonardo Brenner 2 (PUCRS, lbrenner@inf.pucrs.br) Paulo Fernandes 3 (PUCRS, paulof@inf.pucrs.br) Afonso Sales 4 (PUCRS, asales@inf.pucrs.br) Resumo: Este
MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA
1 MATEMÁTICA II EXERCÍCIOS DE REVISÃO GEOMETRIA SÓLIDA ===================================================== 1) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são dadas por números inteiros em P.A. de razão
A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br
A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se
"* + "* + ")"* + ")"* +
* + * + %& '( %& '( )* + )* + ),-./ 0 ( ( ),1.2./ 0 ( ( 0(0*33** 0(7 4 % & % &' % ( ) * & )+ ', + ---. % / -. + +) /0.- 1 2. 0. 3 + (4 % 7 +4 -' & 1 1' *88** 1&0 % ' % 1 9 1 1 1 % (4 (4 +272 4 1 & 9+
Bissetrizes e suas propriedades.
Semana Olímpica 013 - Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP issetrizes e suas propriedades. Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual à distância de P a
01) 48 02) 96 03) 144 04) 240 05) 336. Os três anéis de cores diferentes poderão ser colocados em 3 de 8 dedos das mãos da senhora, logo
PROVA FINAL DE MATEMÁTICA - TURMAS DO o ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - OUTUBRO DE 0. ELABORAÇÃO: PROFESSORES ADRIANO CARIBÉ E WALTER PORTO. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA 0 - (FGV-Adaptada)
Aula 10 Triângulo Retângulo
Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,
GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar
GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,
TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C
Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento
2. Na figura, ANM é um triângulo e ABCD é um quadrado. Calcule a área do quadrado:
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. Duas cidades X e Y são interligadas pela rodovia R101, que é retilínea e apresenta 300 km de extensão. A 160 km de X, à beira da R101, fica a cidade Z, por onde passa a rodovia
ENSINO ENS. FUNDAMENTAL PROFESSOR(ES) TURNO. 01. A) 83 16 B) 3 2005 D) 103 a. 02. A) 5 2 B) 3 2 C) 6 2 D) a 2006 E) (ab) 3 F) (3a) p 03.
SÉRIE 8º ANO OLÍMPICO ENSINO ENS. FUNDAMENTAL PROFESSOR(ES) SEDE ALUNO(A) Nº RESOLUÇÃO TURMA TURNO DATA / / ÁLGEBRA CAPÍTULO POTENCIAÇÃO Exercícios orientados para a sua aprendizagem (Pág. 6 e 7) 0. A)
ÚÛÜÝÞßàáßáàÝâãäåæãçãÚÛãÝÞâÞè 3/.Ã526.QRS»¼½¾ ÀÁ½Â¼½ gcd ] defg^d g id opqrps\y ~ Y pqpqrpå[ ÆpsY -./010 1060 m/5çv5lt0 WXYZ[\Y 2.Q254Ä. Ç3l opqrps\y 4.204T1015 ]^_`a]b]cdefg^g ^g`g^dg id pzp qs ZYWXYZ[\Y