DRAFT. Campos de vetores em superficies. Capítulo 11

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1 Capítulo 11 Campos de vetores em superficies Nos dois capítulos finais deste livro vamos estudar alguns resultados da teoria global das equações diferenciais. O objetivo da teoria global é descrever o comportamento do fluxo como um todo, na totalidade do domínio da equação, combinando as informações da teoria local por meio de diversas ferramentas. Um objeto de interesse especial são os conjuntos limite, ou seja, os conjuntos de pontos de acumulação das trajetórias quando o tempo t vai para + (conjunto ω limite) ou para (conjunto α limite). As propriedades básicas destas noções serão estudadas na Seção Há diversas razões que tornam o caso das equações diferenciais de dimensão 2 merecedor de atenção especial. Enquanto as equações diferenciais de dimensão 1 são pouco interessantes do ponto de vista qualitativo global (veja os Exercícios 11.6 e 11.24), a teoria em dimensão 2 é bastante rica, como veremos. Ao mesmo tempo, o comportamento dessas equações ainda é suficientemente simples para que possamos obter resultados bastante completos, usando métodos relativamente elementares. De fato, as equações diferenciais de dimensão 2 evitam fenômenos muito complexos (às vezes chamados caos) que podem ocorrer em dimensão maior ou igual a 3 e que ainda são mal compreendidos, fazendo com que a teoria global das equações diferenciais em dimensão superior ainda esteja bastante incompleta. Inicialmente, na Seção 11.2, provaremos o Teorema de Poincaré Bendixson para fluxos no plano R 2, que é outra bela ilustração da abordagem qualitativa das equações diferenciais: ele explora a topologia do plano para descrever os possíveis conjuntos limite das trajetórias. A propriedade topológica específica de R 2 que é usada na demonstração é dada pelo Teorema da Curva Fechada: toda curva simples fechada separa o plano em duas componentes conexas, uma limitada (o lado de dentro) e a outra ilimitada (o lado de fora da curva). Na Seção apresentaremos uma aplicação do Teorema de Poincaré Bendixson ao estudo de uma equação importante da Engenharia Elétrica, chamada equação de van der Pol. Este resultado já mostra que as propriedades do domínio da equação têm um papel importante na teoria global das equações diferenciais. Na verdade, para tirarmos 313

2 314 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 real proveito desta teoria precisamos considerar equações diferenciais definidas numa classe de domínios muito mais ampla do que vimos tratando até aqui: variedades diferenciáveis. Suporemos que o leitor tem alguma familiaridade com esse conceito mas, para sua conveniência, reunimos no Apêndice A os fatos fundamentais necessários. Explicaremos na Seção o que se entende por equação diferencial numa variedade diferenciável. Na Seção observaremos que o mesmo argumento do Teorema de Poincaré Bendixson no plano também dá um resultado correspondente na esfera S 2 e na Seção discutiremos brevemente a situação em outras superfícies. Na Seção 11.4 apresentaremos outro resultado global sobre fluxos em superfícies, mais especificamente fluxos que preservam área e cujos pontos estacionários são todos de tipo sela. O Teorema de Mayer afirma que para tais fluxos a superfície ambiente pode ser decomposta em um número finito de domínios (chamados componentes), que são de dois tipos: as componentes periódicas são formadas exclusivamente por trajetórias periódicas e as componentes minimais são formadas por trajetórias abertas que são densas na componente. Encerraremos o capítulo, na Seção 11.5, com uma breve discussão da noção de estabilidade estrutural. Conceitualmente, um campo de vetores é estruturalmente estável se o comportamento qualitativo global das suas trajetórias não pode ser alterado por meio de pequenas modificações do campo de vetores. É imediato da definição que os campos de vetores estruturalmente estáveis formam um subconjunto aberto do espaço de todos os campos de vetores em qualquer variedade. Um fato notável em dimensão 2 é que esse conjunto também é denso, pelo menos se a superfície for orientável. Ou seja, neste caso todo campo de vetores pode ser tornado estruturalmente estável por meio de uma modificação arbitrariamente pequena. Esse é o conteúdo do Teorema de Peixoto (Teorema 11.40), que está na origem de muito avanço importante em Sistemas Dinâmicos Conjuntos α limite e ω limite Seja F : U R d um campo de vetores de classe C 1 definido num aberto U R d. Seja p U tal que a trajetória f t (p) está definida para todo t [0,+ ). O conjunto ω limite de p é o conjunto ω(p) dos pontos de acumulação de f t (p) quando t +, isto é, ω(p) = x U : f t n (p) n x para alguma sequência t n n +. Analogamente, seja p U tal que o trajetória f t (p) está definida para todo t (,0]. O conjunto α limite de p é o conjunto α(p) dos pontos de acumulação de f t (p) quando t, isto é, α(p) = x U : f t n (p) n x para alguma sequência t n n. Observação Lembre (Seção 5.5) que um ponto p M é recorrente no futuro se existe uma sequência (t n ) n + tal que ( f t n (p)) n p, ou seja, se p ω(p). Diremos que p U é recorrente no passado se p α(p).

3 11.1. CONJUNTOS α LIMITE E ω LIMITE 315 Exemplo Se p é um ponto estacionário então ω(p) = α(p) = {p}. Mais geralmente, ω(q) = {p} para todo q W s (p) e α(q) = {p} para todo q W u (p). Exemplo Se a trajetória γ de p é periódica então ω(p) = α(p) = γ. Mais geralmente, ω(q) = γ para todo q W s (γ) e α(q) = γ para todo q W u (γ). Em geral, o ω limite contém tanto pontos estacionários quanto pontos regulares. Veja a Figura 11.1.?? Figura 11.1: Um fluxo no plano exibindo um conjunto ω limite que contém um ponto estacionário (a sela z) e pontos regulares (incluindo duas separatrizes de z). Diremos que um conjunto X U é invariante pelo fluxo se f t (x) X para todo x X e todo t no domínio da trajetória de x. Proposição Suponhamos que f t (p) está definida para todo t 0 e { f t (p) : t 0} está contido num compacto K U. Então ω(p) é não vazio, invariante pelo fluxo, compacto e conexo. Valem fatos análogos para o conjunto α limite, supondo que f t (p) está definida para todo t 0 e { f t (p) : t 0} está contido num compacto K U. Demonstração. O fato de que ω(p) é não vazio é consequência imediata da hipótese de que a trajetória está contida num compacto. Para provar que ω(p) é invariante, considere q ω(p) e s R. Por definição, existe (t n ) n + tal que f t n (p) q. Então, (t n + s) n e f tn+s (p) = f s ( f t n (p)) f s (q). Logo, f s (q) ω(p), tal como queríamos provar. Como ω(p) K, para provar compacidade basta mostrar que ω(p) é fechado. Seja (q k ) k uma sequência em ω(p) convergindo para algum q. Por definição, para cada k existe (τn) k n tal que f τk n (p) q k quando n. Escolha n 1 1 tal que d( f τ1 n 1 (p),q 1 ) < 1. Em seguida, para cada k 2, escolha n k 1 tal que τn k k > τn k 1 k e d( f τk n k (p),q k ) < 1/k. Defina t k = τn k k. Então, (t k ) k e d( f t k(p),q k ) 0. Segue que f t k(p) q e portanto q ω(p). Finalmente, suponhamos que ω(p) não é conexo. Então, existem abertos disjuntos não vazios A e B tais que ω(p) A B e tanto ω(p) A quanto ω(p) B são não

4 316 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 vazios. Tome q A ω(p) A e q B ω(p) B. Por definição, existem (t n ) n + e (s n ) n + tais que f t n (p) q A e f s n (p) q B. A menos de tomar subsequências apropriadas, podemos supor que f t n (p) A, f s n (p) B e t 1 < s 1 < t 2 < s 2 < < t n < s n < t n+1 <. Então, para cada n podemos encontrar u n (t n,s n ) tal que f u n (p) / A B. A menos de tomar uma subsequência, podemos supor que f u n (p) converge para algum q K. Então, q ω(p) mas q / A B, o que é uma contradição. Logo ω(p) é conexo Teorema de Poincaré Bendixson Nesta seção vamos provar o seguinte resultado: Teorema 11.5 (Poincaré Bendixson). Suponhamos que U R 2 e F : U R 2 é um campo de vetores de classe C 1 com número finito de pontos estacionários. Se p U é tal que { f t (p) : t 0} está contido num compacto K U então: (a) Se ω(p) contém apenas pontos estacionários então ω(p) é um único ponto estacionário. (b) Se ω(p) contém apenas pontos regulares então ω(p) é uma trajetória fechada. (c) Se ω(p) está formado por pontos estacionários e trajetórias regulares então para toda trajetória regular γ ω(p) existem pontos estacionários z i,z j ω(p) tais que α(γ) = {z i } e ω(γ) = {z j }. Seja p U um ponto nas condições do enunciado. A primeira etapa da demonstração será entender as implicações da presença em ω(p) de um ponto regular x. Inicialmente, podemos considerar qualquer dimensão d 2. De acordo com o Teorema do Fluxo Tubular (Teorema 5.8), existem ε > 0 e um difeomorfismo H : ( ε,ε) d W U de classe C 1 tal que H(0) = x e a curva ( ε,ε) t H(t,ξ 2,...,ξ d ) é solução da equação diferencial para todo ξ = (ξ 2,...,ξ d ) em ( ε,ε) d 1. Em particular, a caixa de fluxo tubular H ( ε,ε) d é uma vizinhança de x. No que segue, consideraremos apenas seções transversais contidas em caixas de fluxo tubular. Lema Seja x ω(p) um ponto regular e S uma seção transversal ao fluxo em x. Então o conjunto dos valores de t 0 tais que f t (p) S é discreto e contém uma sequência (t n ) n + tal que f t n (p) x. Demonstração. Por definição, existe (τ n ) n + tal que f τ n (p) x. Então f τ n (p) está na caixa de fluxo tubular para todo n suficientemente grande. Então, ( τ n, ξ n ) = H 1 ( f τ n (0)) converge para 0 R d quando n. Por transversalidade, H 1 (S) intersecta ( ε,ε) { ξ} para todo ξ próximo de 0 R d 1. Então, para todo n suficientemente grande existe θ n próximo de 0 R tal que ( τ n + θ n, ξ n ) H 1 (S). Em outras

5 11.2. TEOREMA DE POINCARÉ BENDIXSON 317 palavras, f τ n+θ n (p) = H( τ n + θ n, ξ n ) está em S. Tome t n = τ n + θ n. Por construção, f t n (p) H e (t n ) n + porque (τ n ) n + e (θ n ) n 0. Além disso, lim n f t n (p) = lim n f θ n ( f τ n (p)) = x porque f τ n (x) x e f θ n id uniformemente numa vizinhança de x. Também segue que o conjunto dos t 0 tais que f t (p) S é discreto. De fato, se f τ (p) S então ( τ, ξ ) = H 1 ( f τ (p)) está em H 1 (S). Por transversalidade, esse é o único ponto na interseção de ( ε,ε) { ξ} com H 1 (S). Tomando a imagem por H, concluímos que existe um intervalo aberto de comprimento 2ε contendo τ e tal que f t (p) / S para todo t = τ nesse intervalo Consequências do Teorema da Curva Fechada Em dimensão d = 2, seções transversais são imagens de mergulhos φ : ( 1, 1) U do intervalo. Nesta seção suporemos que foi fixada uma parametrização φ qualquer e consideraremos na seção transversal a relação de ordem correspondente: x 1 = φ(u 1 ) é menor que x 2 = φ(u 2 ) se e somente se u 1 < u 2. Lema Sejam x ω(p) um ponto regular e S uma seção transversal ao fluxo em x. Sejam s 1 < s 2 < < s n < os valores de t 0 tais que f t (p) S (conforme o Lema 11.6). Então x n = f s n (p) é uma sequência monótona em S.?? Figura 11.2: Usando o Teorema da Curva Fechada. Demonstração. Se x 1 = x 2, então a trajetória de p é periódica e x n = x 1 para todo n. Suponha que x 1 < x 2. Afirmamos que x 2 < x 3. De fato, considere u 1 < u 2 em ( 1,1) dados por x 1 = φ(u 1 ) e x 2 = φ(u 2 ). Considere também a curva fechada Γ definida por (confira a Figura 11.2) Γ = { f t (p) : s 1 t s 2 } {φ(u) : u 1 u u 2 }. Note que Γ é uma curva simples, ou seja, sem autointerseções, uma vez que os pontos x 1 = f s 1(p) e x 2 = f s 2(p) são interseções consecutivas da trajetória de p com a seção

6 318 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 transversal S. Pelo Teorema da Curva Fechada, Γ separa o plano em duas componentes conexas. As trajetórias dos pontos no segmento [x 1,x 2 ] podem deslocar-se para o lado de dentro (a componente conexa limitada) ou para o lado de fora de Γ (a componente conexa ilimitada): os dois casos estão descritos na Figura No primeiro caso, trajetórias do fluxo podem passar do lado de fora para o lado de dentro de Γ, mas não em sentido contrário. A trajetória { f t (p) : t s 2 } entra no lado de dentro de Γ e então não pode passar para o lado de fora. Portanto a próxima interseção x 3 com a seção transversal está necessariamente no segmento de S acima de x 2, relativamente à relação de ordem na seção transversal. Em outras palavras, x 2 < x 3 neste caso. Um argumento análogo mostra que x 2 < x 3 também no segundo caso da Figura Isto prova a nossa afirmação. Repetindo este argumento obtemos, por indução, que x n < x n+1 para todo n. Analogamente, se x 1 > x 2 então x 2 > x 3 e, por indução, x n > x n+1 para todo n. Corolário Qualquer seção transversal S intersecta ω(p) em no máximo um ponto. Demonstração. Suponha que existe algum ponto x na interseção. Claro que x é ponto regular. Sejam s 1 < s 2 < < s n < os valores de t 0 tais que f t (p) S. Pelo Lema 11.7, a sequência x n = f s n (p) é monótona em S e pelo Lema 11.6 ela tem alguma subsequência convergindo para x. Então (x n ) n converge para x. Isto implica que x é único. Lema Seja x ω(p). Se algum dos conjuntos ω(x) ou α(x) contém pontos regulares então x é ponto periódico e ω(p) = ω(x) = α(x) = trajetória de x. Demonstração. Note que ω(x) α(x) ω(p), uma vez que ω(p) é invariante pelo fluxo e compacto (Proposition 11.4). Suponha que existe um ponto regular y ω(x) α(x) e seja S uma seção transversal ao fluxo em y. Então ω(p) S = {y}, pelo Corolário Se y ω(x), o Lema 11.7 dá que a interseção de { f t (x) : t 0} com S consiste de uma sequência monótona em S. Analogamente, aplicando o Lema 11.7 ao fluxo do campo de vetores F, se y α(x) então a interseção de { f t (x) : t 0} com S consiste de uma sequência monótona em S. Em qualquer dos casos, como a trajetória de x está contida em ω(p), a observação anterior dá que essa sequência é constante igual a y. Em particular, f t (x) = y para infinitos valores de t, o que implica que o ponto x é periódico. Seja γ a trajetória (periódica) de x. Então ω(x) = α(x) = γ, conforme observamos no Exemplo Suponhamos que a diferença ω(p) \ γ é não vazia. Claro que γ é fechado em ω(p), por ser compacto. Como ω(p) é conexo (Proposição 11.4), segue que ω(p)\γ não pode ser fechado em ω(p). Em outras palavras, existe uma sequência (y k ) k ω(p) \ γ convergindo para algum y γ. Seja S uma seção transversal ao fluxo em y. Pelo Lema 11.6, não é restrição supor que y k S para todo k. Mas então o Corolário 11.8 implica que a sequência (y k ) k é constante e, portanto, y k = y para todo k. Isso é uma contradição, pois y γ enquanto que y k / γ. Esta contradição prova que ω(p) = γ.

7 11.2. TEOREMA DE POINCARÉ BENDIXSON Conclusão da demonstração Primeiramente, suponha que ω(p) contém apenas pontos estacionários. Então, como ω(p) é conexo (Proposição 11.4) e estamos supondo que o número de pontos estacionários é finito, segue que ω(p) consiste de um único ponto estacionário. Em seguida, suponha que ω(p) contém apenas pontos regulares e seja x ω(p). Como a trajetória de x está contida em ω(p) K, temos que ω(x) é não vazio e está contido em ω(p). Além disso, todo ponto de ω(x) é regular. Pelo Lema 11.9, segue que x é ponto periódico e ω(p) coincide com a trajetória (periódica) de x. Finalmente, suponha que ω(p) contém pontos regulares e pontos estacionários. Seja x um ponto regular qualquer contido em ω(p). Se ω(x) contivesse algum ponto regular então, pelo argumento do parágrafo anterior, x seria periódico e ω(p) coincidiria com a trajetória de x, contradizendo a hipótese de que ω(p) contém pontos estacionários. Portanto, ω(x) contém apenas pontos estacionários. Usando mais uma vez o fato de que o número de pontos estacionários é finito, segue que o conjunto ω limite de x consiste de um único ponto estacionário. Exatamente o mesmo argumento, substituindo ω(x) por α(x), mostra que o conjunto α limite também consiste de um único ponto estacionário. Isto completa a prova do Teorema É claro que o conjunto α(p) também está sujeito às alternativas correspondentes à condições (a), (b) e (c) no enunciado, sempre que { f t (p) : t 0} está contido num compacto Equação de van der Pol Nesta seção vamos utilizar o Teorema de Poincaré Bendixson para provar que a equação de van der Pol da Engenharia Elétrica admite uma solução periódica. A equação de van der Pol é o caso particular da equação de Liénard (5.23) x = x g(x)x correspondente a funções g(x) = µ(x 2 1) com µ > 0. A conclusão do teorema a seguir vale sempre que a função g é Lipschitziana e a sua primitiva G satisfaz: 1. G é ímpar e lim x + G(x) = + ; 2. existem β α > 0 tais que G é negativa 1 em (0,α) e G é positiva e crescente em (β,+ ). Teorema (Liénard). A equação de van der Pol x + µ(x 2 1)x + x = 0 (11.1) possui uma trajetória periódica para todo valor do parâmetro µ > 0. 1 Esta condição é um pouco surpreendente, do ponto de vista físico, pois significa que a resistência é negativa nessa região. De fato, assim se comportam certos semicondutores chamados díodos túnel, ou díodos Esaki, que utilizam efeitos quânticos.

8 320 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 Demonstração. Considere a função g(x) = µ(x 2 1) e a sua primitiva G(x) = µ(x 3 /3 x). A equação (11.1) pode ser reescrita na forma da seguinte equação de ordem 1 e dimensão 2: u = v G(u) v (11.2) = u. De fato, se (u,v) é solução de (11.2) então u = v G (u)u = u g(u)u, ou seja, x = u é solução de (11.1). Reciprocamente, se x é solução de (11.1) com x(0) = x 0 e x (0) = y 0 então (u,v) dado por u(t) = x(t) e v(t) = (y 0 + G(x 0 )) t 0 x(s) ds é solução de (11.2). Consideremos então o campo de vetores F(u,v) = (v G(u), u) associado a (11.2). Note que a origem (0, 0) é o único ponto estacionário de F. Consideremos também a função auxiliar V : R 2 R, V (u,v) = u 2 + v 2. A sua derivada ao longo de trajetórias é dada por V (u,v) = d dt V(u,v) = 2uu + 2vv = 2uG(u) = 2µu 2 1 u2. 3 PortantoV 0 em todo o domínio (u,v) ( 3, 3) R, com V = 0 se e somente se u = 0. Consequentemente, a função V é crescente ao longo de trajetórias dentro desse domínio. Em particular, nenhuma trajetória regular acumula em (0,0) e, portanto, não existem pontos estacionários no conjunto ω limite de nenhuma trajetória regular.?? Figura 11.3: Trajetórias da equação de van der Pol (11.1) (11.2). Lema Toda trajetória γ = (u, v) de F começando em um ponto A = (0, a) com a > 0 suficientemente grande volta a intersectar o eixo vertical num ponto D = (0, d) com d < 0.

9 11.2. TEOREMA DE POINCARÉ BENDIXSON 321 Demonstração. Confira a Figura Considere γ parametrizada de tal forma que A = γ(0). O primeiro passo é mostrar que a trajetória futura de A intersecta a vertical {u = 2} em algum ponto B = (2,b). Considere qualquer s > 0 tal que γ([0,s]) está contido no domínio {0 u 2}. As relações u = v G(u) e v = u 2 implicam que a v(t) a 2t e 2 u(t) t(a 2t G(2)) para todo t [0,s]. (11.3) Supondo que a G(2) > 4, a segunda desigualdade implica que s < 4/(a G(2)). Isto mostra que γ realmente corta a vertical pela primeira vez em algum tempo s B < 4/(a G(2)). Tome B = γ(s B ). Em seguida, vamos mostrar que a trajetória futura de B volta a intersectar a vertical {u = 2} em algum ponto C = (2,c). De fato, suponha que u(t) 2 para todo t s B. Então, usando as relações u = v G(u), v = u 2 e G(u) G(2), v(t) v(s B ) 2t = b 2t e u (t) b 2t G(2) para todo t s B. (11.4) A segunda desigualdade implica que u (t) é negativa para todo t suficientemente grande, logo u(t) é limitada por cima (e por baixo, claro). Segue que v (t) é limitada e, portanto, a trajetória não pode ir para infinito em tempo finito. Logo, γ(t) está definida para todo t [s B,+ ). Usando a segunda desigualdade uma vez mais, vemos que u (t) e portanto u(t) quando t +. Isso contradiz a hipótese de que u(t) 2 para todo t s B. Esta contradição mostra que γ cruza a vertical {u = 2} em algum tempo s C > s B. Tome s C mínimo e C = γ(s C ). Observe que u (s c ) = v(s C ) G(u(s C )) = c G(2) é negativo, e isso significa que C está abaixo do gráfico {v = G(u)}. O próximo passo é mostrar que a trajetória futura de C intersecta o eixo vertical. De fato, suponha que u(t) > 0 para todo t s C. Note que γ(t) permanece abaixo do gráfico {v = G(u)} para todo t s C, uma vez que F(u,v) = (v G(u), u) = (0, u) aponta para baixo em todo ponto do domínio {u > 0}. Então, v (t) = u(t) < 0 e u (t) = v(t) G(u(t)) < 0 para todo t > 0. (11.5) Segue que v(t) v(s C ) = 2 e u(t) u(s C ) = 2 para todo t s C. Logo, v (t) = u(t) também é limitada por baixo e portanto a trajetória não pode ir para infinito em tempo finito. Segue que γ(t) está definida para todo t [s C,+ ). As relações em (11.5) asseguram que existem os limites de u(t) e v(t) quando t +. Claro que o limite u 0 de u(t) é finito. Pelo Corolário 5.4, se o limite v 0 de v(t) também fosse finito então (u 0,v 0 ) seria um ponto estacionário, mas isso contradiria a observação anterior de que nenhuma trajetória regular acumula na origem. Portanto v(t) deve convergir para quando t +. Mas então u(t) = v(t) G(u(t)) também vai para quando t +, e isso é incompatível com a suposição de que u(t) > 0 para todo t s C. Esta contradição mostra que existe algum s D > s C tal que γ(s D ) está em {0} (,0). Lema O ponto D = (0, d) satisfaz d > a. Demonstração. Vamos estimar a variação da função V(u,v) = u 2 +v 2 ao longo de cada um dos segmentos de trajetória [A,B] γ, [B,C] γ e [C,D] γ, que ligam os pontos A, B, C, D na demonstração do lema anterior.

10 322 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 A segunda desigualdade em (11.3) implica que u = v G(u) > 0 e, portanto, [A,B] γ é o gráfico de uma função u v(u). Além disso, a primeira desigualdade em (11.3) implica que esta função vai uniformemente para + quando a +. Então, por mudança de variável, [A,B] γ V = = sb V (u(t),v(t))dt = 2uG(u) v(u) G(u) du. 2 0 V du (u,v(u)) du/dt Como o numerador é limitado e o denominador converge para infinito uniformemente, concluímos que V(B) V(A) = V 0 quando a +. (11.6) [A,B] γ Como V(B) V(A) = (b 2 + 2) a 2, também segue que b + quando a +. Um argumento análogo mostra que V (D) V(C) = V 0 quando d. (11.7) [C,D] γ O fato de que v = u 2 implica que o segmento de trajetória [B,C] γ entre B e C é o gráfico de uma função v u(v). Então, por mudança de variáveis, [B,C] γ V = = sc s B V (u(t),v(t))dt = c b c 2u(v)G(u(v)) dv = u(v) V dv (u(v),v) dv/dt b b c 2G(u(v)) dv. Note que G(u(v)) G(2) > 0 e que b c b G(2), uma vez que u(v) c. Segue que V(C) V(B) = V 2G(2) b G(2) quando a +. (11.8) [B,C] γ Agora argumentos análogos aos que usamos nos dois primeiros parágrafos mostram que a trajetória futura de C intersecta o eixo vertical e que a primeira interseção D = (0,d) satisfaz Das relações (11.6), (11.7) e (11.8), concluímos que existe κ > 0 tal que V(B) V(A) < 1 e V(C) V(B) < 2 se a > κ V(D) V(C) < 1 se d < κ. e (11.9) Suponha que a > κ. Se d > a então a conclusão do lema está satisfeita. Caso contrário d a < κ e então as desigualdades em (11.9) dão que d 2 a 2 = V(D) V(A) < 0. Em outras palavras, a conclusão d > a vale também neste caso.

11 11.3. CONJUNTOS LIMITE DE FLUXOS EM SUPERFÍCIES 323 Figura 11.4: Toda trajetória da equação de van der Pol (11.1) (11.2) começando no domínio Ω é limitada e, portanto, tem uma trajetória fechada como conjunto limite.?? Para concluir a demonstração do teorema, observe que o campo de vetores F é ímpar: F( u, v) = F(u,v) para todo (u,v) R 2. Segue que a trajetória γ começando no ponto A = (0, a) é simétrica da trajetória γ. Em particular, pelo lema que acabamos de provar, γ intersecta o eixo vertical pela primeira vez em D = (0, d). Considere a curva (veja a Figura 11.4) Γ = [A,D] γ {0} [d, a] [A,D] γ {0} [ d,a], onde [A,B] γ é o segmento de trajetória ligando D a A. Note que Γ é uma curva simples fechada. Além disso, as trajetórias começando no domínio Ω do lado de dentro de Γ não podem passar para o lado de fora. Então, toda trajetória regular { f t (x) : t 0} com x Ω está totalmente contida em Ω e, em particular, está contida num compacto. Lembrando que ω(x) não contém pontos estacionários, segue do Teorema de Poincaré Bendixson que ω(x) é uma trajetória periódica Conjuntos limite de fluxos em superfícies Vimos na seção anterior como a topologia do plano, expressa por meio do Teorema da Curva Fechada, influencia o comportamento assintótico das trajetórias do fluxo, mais precisamente, os tipos de conjuntos ω limite. Aqui vamos explorar esse tema um pouco mais, no contexto muito mais rico dos fluxos em superfícies. Começamos por estender as noções de campo de vetores e equação diferencial para variedades diferenciáveis. O leitor que não esteja bem familiarizado com a teoria das variedades diferenciáveis pode revisar as ideias fundamentais nos Apêndices A.1 e A.2. Aqui estamos especialmente interessados no caso de superfícies, ou seja, variedades diferenciáveis de dimensão d = 2, mas inicialmente consideramos o caso geral Equações diferenciais em variedades Um campo de vetores numa variedade M é uma aplicação que associa a cada ponto p M um elemento F(p) do espaço tangente T p M, ou seja, uma aplicação F : M TM

12 324 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 tal que π F = id. Dizemos que o campo de vetores é de classe C k se essa aplicação for de classe C k. Chamamos equação diferencial em M qualquer relação da forma p = F(p), (11.10) onde F é um campo de vetores em M. Uma solução da equação diferencial (11.10) é uma curva diferenciável γ : I M definida num intervalo aberto I e tal que γ (t) = F(γ(t)) para todo t I. Exemplo Seja Ψ : R m R n uma aplicação de classe C e seja c R n um valor regular, ou seja, tal que Dψ(p) : R m R n é sobrejetiva para todo p Ψ 1 (c). Suporemos que Ψ 1 (c) é não vazio. Então (confira o Apêndice A.4) toda componente conexa M de Ψ 1 (c) é uma variedade diferenciável de dimensão d = m n. O espaço tangente T p M num ponto p M está dado pelo núcleo kerdψ(p) e um campo de vetores F em M é uma aplicação F : M R m tal que DΨ(p)F(p) = 0 para todo p M. (11.11) Supondo que F se estenda a uma vizinhança aberta U de M, podemos considerar a equação diferencial x = F(x), (11.12) no aberto U de R m. A condição (11.11) implica que Ψ(x(t)) c para toda solução x(t) desta equação com condição inicial x(0) M. Quer dizer, toda solução de (11.12) com condição inicial em M está totalmente contida em M. Estas são as soluções da equação diferencial (11.10) na variedade M. Estas noções podem ser traduzidas para o contexto em que vimos trabalhando, em abertos de espaços euclideanos, por meio de coordenadas locais. Primeiramente, conforme explicado no Apêndice A.2, toda carta local ϕ α : U α X α, X α R d da variedade M tem associada uma carta local Dϕ α : T Uα M X α R d, do fibrado tangente T M, com domínio T Uα M = p Uα T p M. A expressão do campo de vetores em coordenadas locais Dϕ α F ϕ 1 α : X α X α R d (11.13) tem a forma x (x,f α (x)), onde F α : X α R d. O campo de vetores F é de classe C k se e somente se F α é de classe C k, para toda escolha da carta local ϕ α. Além disso, uma curva γ : I M com γ(i) U α é solução de (11.10) se e somente se a sua imagem ϕ α γ é solução da equação diferencial x = F α (x). Estas observações permitem estender para variedades todos as propriedades locais das equações diferenciais em abertos dos espaços euclideanos. Em particular, o Teorema de Existência e Unicidade (Teorema 2.4) implica: Teorema (Existência e Unicidade de Soluções). Se o campo de vetores F é de classe C 1 então

13 11.3. CONJUNTOS LIMITE DE FLUXOS EM SUPERFÍCIES para todo p M existe alguma solução γ : I M da equação diferencial (11.10) com 0 I e γ(0) = p; 2. se γ 1 : I 1 M e γ 2 : I 2 M são soluções de (11.10) com 0 I 1 I 2 e γ 1 (0) = γ 2 (0) então γ 1 (t) = γ 2 (t) para todo t I 1 I 2. Em particular, para todo p M existe uma única solução máxima γ : I M com 0 I e γ(0) = p. Então, tal como no contexto anterior, chamamos fluxo do campo de vetores F a família ( f t ) t de transformações definidas por f t (p) = γ(t) para todo p M tal que t está no domínio I da solução máxima com condição inicial γ(0) = p. Dizemos que o fluxo é completo se todas as soluções máximas estão definidas em todo I = R. No Exercício 11.9 convidamos o leitor a verificar que argumentos análogos aos do Teorema 3.5 e do Corolário 5.5 provam Teorema Se γ : I M é solução máxima de (11.10) tal que γ(i) está contida num compacto então I = R. Em particular, se a variedade M é compacta então o fluxo de todo campo de vetores F em M é completo Teorema de Poincaré Bendixson na esfera Considere a aplicação Ψ : R 3 R definida por Ψ(x 1,x 2,x 3 ) = x x2 2 + x2 3. Não é difícil verificar que 1 é um valor regular e então (veja o Exemplo 11.13) Ψ 1 (1) é uma variedade diferenciável de dimensão 2. Ela é chamada esfera e representada por S 2. Note que o seu espaço tangente em cada ponto p = (x 1,x 2,x 3 ) está dado por T p S 2 = {p} = {v R 3 : v p = 0}. Um campo de vetores na esfera é uma aplicação F : S 2 R 3 tal que F(p) p = 0 para todo p S 2. Como S 2 é compacta (é um subconjunto fechado e limitado de R 3 ), o fluxo de todo campo de vetores é completo. Teorema (Poincaré Bendixson). Seja F um campo de vetores de classe C 1 na esfera S 2, com um número finito de pontos estacionários. Então, para todo p S 2, (a) Se ω(p) contém apenas pontos estacionários então ω(p) é um único ponto estacionário. (b) Se ω(p) contém apenas pontos regulares então ω(p) é uma trajetória fechada. (c) Se ω(p) está formado por pontos estacionários e trajetórias regulares então para toda trajetória regular γ ω(p) existem pontos estacionários z i,z j ω(p) tais que α(γ) = z i e ω(γ) = z j. A demonstração é idêntica à do Teorema 11.5, já que o Teorema da Curva Fechada também vale em S 2 : toda curva simples fechada separa a esfera em duas componentes conexas. A única diferença com relação ao plano é que na esfera as duas componentes conexas têm papéis simétricos, não podemos mais diferenciar entre lado de dentro e lado de fora.

14 326 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 O Teorema de Poincaré Bendixson permanece válido para fluxos no espaço projetivo P 2 (veja o Exercício 11.10). Mas o exemplo a seguir mostra que isso não é verdade no toro T 2. Exemplo Considere a relação de equivalência definida em R 2 por (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) se e somente se (x 1 y 1,x 2 y 2 ) Z 2. Representamos por [x,y] a classe de equivalência de cada dupla (x,y) relativamente a esta relação. O toro T 2 é o espaço quociente, ou seja, o espaço dessas classes de equivalência. Trata-se de uma superfície compacta (veja a Figura 11.5). Dado qualquer a R, considere o campo de vetores F definido por F([x,y]) = (1,a) para todo [x,y] T 2. Observe que F não tem pontos estacionários. As suas trajetórias são dadas por f t ([x,y]) = [x + t,y + ta], para t R. (11.14) Pode mostrar-se, e convidamos ao leitor a verificar as afirmações a seguir, que se a é racional então toda trajetória do fluxo é periódica e se a é irracional então toda trajetória do fluxo é densa, ou seja, ela passa por todo subconjunto aberto não vazio da superfície. Neste último caso, ω([x,y]) = T 2 para todo [x,y] T 2.?? Figura 11.5: Fluxo irracional no toro T 2. O toro T 2 e a garrafa de Klein K 2 são as únicas superfícies compactas que admitem campos de vetores sem pontos estacionários 2. Mas a situação do enunciado do Teorema de Poincaré Bendixson na garrafa de Klein é um pouco melhor do que no toro pois, pelo menos, temos o seguinte resultado: Teorema (Kneser). Todo campo de vetores sem pontos estacionários na garrafa de Klein admite alguma trajetória periódica Conjuntos minimais De fato, uma versão convenientemente reformulada da conclusão do Teorema de Poincaré Bendixson é válida para fluxos em qualquer superfície compacta, com os fluxos irracionais do toro descritos no Exemplo como única exceção. Para explicar esta afirmação, precisamos da noção de conjunto minimal. Seja X = /0 um conjunto compacto invariante. Dizemos que X é conjunto minimal do fluxo se ele não possui subconjuntos próprios compactos invariantes, isto é, se os únicos subconjuntos compactos invariantes são o conjunto vazio e o próprio X. 2 Isto é uma consequência direta do Teorema de Poincaré Hopf, que estudaremos no Capítulo 12.

15 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 327 Lema Um conjunto compacto invariante X M é minimal se e somente se α(x) = X = ω(x) para todo x X. Demonstração. A parte somente se é uma consequência imediata da definição e do fato de que α(x) e ω(x) são subconjuntos compactos invariantes não vazios de X (Proposição 11.4). Para provar a parte se, observe que se Y X é compacto, invariante e não vazio então Y ω(y) para todo y Y. Então, o Teorema de Poincaré Bendixson significa que para fluxos na esfera (e no espaço projetivo) com número finito de pontos estacionários só existem dois tipos de conjuntos minimais: pontos estacionários e trajetórias periódicas. É esta afirmação que se generaliza para qualquer superfície compacta, com os fluxos irracionais no toro como única exceção: Teorema (Schwartz). Se X M é um conjunto minimal de um campo de vetores F de classe C 2 numa superfície compacta M então vale exatamente uma das seguintes possibilidades: 1. X consiste de um único ponto estacionário; 2. X consiste de uma única trajetória periódica; 3. X = M = T 2. Este enunciado é falso, em geral, para campos de vetores que são apenas de classe C 1 : o primeiro contraexemplo foi obtido por Denjoy Teorema de Mayer sobre fluxos conservativos Nesta seção vamos estudar os campos de vetores em superfícies cujos fluxos preservam a área na superfície. O objetivo é provar o seguinte teorema, que dá uma descrição muito precisa da estrutura global desses fluxos: Teorema (Mayer). Seja M uma superfície compacta munida com uma forma de área e seja F um campo de vetores de classe C 1 em M cujo fluxo preserva a medida de área e cujos pontos estacionários são selas generalizadas. Então existem subconjuntos abertos D 1,..., D N, invariantes pelo fluxo, disjuntos dois-a-dois e cujos fechos cobrem toda a superfície M, tais que para cada j = 1,...,N, 1. ou D j está formado por trajetórias periódicas (dizemos que D j é uma componente periódica do fluxo) 2. ou toda trajetória contida em D j ou é uma conexão de sela ou é densa em D j (dizemos que D j é uma componente minimal do fluxo). Em qualquer dos casos, o bordo de D j está formado por conexões de sela e pontos estacionários.

16 328 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2?? Figura 11.6: Selas generalizadas com multiplicidades m = 1 e 2. No Exercício convidamos o leitor a mostrar que toda componente periódica é homeomorfa ao cilindro S 1 (0,1) ou ao toro T 2. Mais tarde, em (11.24), daremos um majorante explícito para o número total N de componentes em termos da característica de Euler da superfície. Antes de passarmos à demonstração do Teorema 11.21, que será dada nas Seções a , precisamos explicar algumas das palavras no enunciado. As noções de forma de área e de medida de área estão recordadas no Apêndice A.3. A ideia de sela generalizada é bastante simples e está ilustrada na Figura 11.6: trata-se de um ponto estacionário cuja vizinhança está dividida num número par de setores, delimitados por trajetórias, chamadas separatrizes, que convergem para o ponto estacionário quando t + (separatriz estável) ou quando t (separatriz instável). Num instante daremos uma definição formal. Falamos de conexão de sela quando uma separatriz estável coincide com uma separatriz instável de outra sela (conexão heteroclínica) ou até da mesma sela (conexão homoclínica). Na Figura 11.7 são dados exemplos dos dois casos.?? Figura 11.7: Conexões de sela: conexão heteroclínica e conexão homoclínica.

17 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 329 Selas generalizadas e caixas adaptadas. Para definir a noção de sela generalizada de modo preciso, precisamos introduzir o seguinte modelo: Exemplo Considere a seguinte família de equações diferenciais no plano complexo: z = z m, onde z C e m N. (11.15) Escrevendo z = x+iy, podemos ver (11.15) como uma equação diferencial de dimensão 2, no sentido do Capítulo 1. Por exemplo, para m = 1 a igualdade (11.15) corresponde a x = x y = y que é uma sela linear hiperbólica. Para qualquer m N, é fácil verificar que as funções z t : R C definidas por e t+lπi/(m+1) para l ímpar z l (t) = e t+lπi/(m+1) para l par são soluções de (11.15). Note que se trata de semirretas radiais e que z l+2(m+2) = z l para todo l, uma vez que a exponencial complexa é 2πi periódica. Além disso, lim z l(t) = 0 para l ímpar t e lim z l(t) = 0 para l par. t + Estas soluções são chamadas separatrizes da origem: separatrizes estáveis no caso l ímpar e separatrizes instáveis no caso l par. As demais soluções de (11.15) são hipérboles contidas nos conjuntos de nível da função ϕ(z) = Iz m+1 /(m + 1), conforme veremos no Exemplo Chamaremos caixa adaptada uma vizinhança aberta da origem limitada por 2(m + 1) segmentos de soluções e igual número de seções transversais às separatrizes, tal como ilustrado na Figura 11.6: são m + 1 seções de entrada, transversais às separatrizes estáveis, e m + 1 seções de saída, transversais às separatrizes instáveis. Observe que toda solução que entra numa caixa adaptada também sai, a menos que seja uma separatriz estável, e toda solução que sai também entra, a menos que seja uma separatriz instável. Então, dizemos que um ponto estacionário p M de um campo de vetores F numa superfície M é uma sela generalizada de multiplicidade m se o fluxo de F na vizinhança de p é diferenciavelmente equivalente ao fluxo de (11.15) na vizinhança da origem. Lembre que isto significa que existe um difeomorfismo que envia as trajetórias do fluxo de (11.15) nas trajetórias de F, preservando o sentido do tempo. As imagens das semirretas z l (t) por esse difeomorfismo são chamadas separatrizes, estáveis e instáveis, de p. Analogamente, a imagem de uma caixa adaptada da origem é chamada caixa adaptada do ponto estacionário p. Estendemos esta noção para pontos regulares da seguinte forma: uma caixa adaptada de um ponto regular p é a imagem de um retângulo ( δ 1,δ 1 ) ( δ 2,δ 2 ) por uma caixa de fluxo tubular H tal que H(0) = p. Então, a caixa adaptada é um retângulo aberto mergulhado limitado por dois segmentos de trajetória e duas seções transversais à trajetória de p: uma seção de entrada e uma seção de saída. Neste caso, toda trajetória que entra na caixa adaptada também sai e toda trajetória que sai também entra.

18 330 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 Observação É claro que se p está na separatriz estável de uma sela z então ω(p) = {z}. Caso contrário, o conjunto ω limite contém necessariamente pontos regulares. Na verdade, segue da descrição anterior que se ω(p) contém algum ponto estacionário z mas não se restringe a ele, então ω(p) também contém, pelo menos, uma separatriz estável e uma separatriz instável de z. Veja a Figura Valem observações análogas para o conjunto α limite, permutando os papéis das separatrizes estáveis e instáveis. Fórmula de Euler Poincaré. Comentemos a hipótese sobre a característica de Euler no enunciado do Teorema Lembre que a existência de uma forma de área implica que a superfície M é orientável e que as superfícies orientáveis são classificadas, a menos de difeomorfismo, pelo seu gênero g(m) 0 ou, equivalentemente, pela sua característica de Euler χ(m) = 2 2g(M) 2. Confira também o Exemplo No caso dos campos de vetores que estamos considerando, o número k e as multiplicidades m 1,...,m k das selas generalizadas estão relacionados com a característica de Euler por meio da igualdade k i=1 m i = χ(m), (11.16) que é chamada Fórmula de Euler Poincaré. Ela é um caso particular do Teorema de Poincaré Hopf, que estudaremos no Capítulo 12, pelo que deixaremos a verificação para mais tarde (Exercício 12.2). Como as multiplicidades são inteiros positivos, (11.16) implica que campos de vetores nas condições do teorema não existem quando χ(m) > 0, ou seja, quando M é a esfera S 2. Além disso, quando χ(m) = 0, a Fórmula de Euler Poincaré implica que k = 0. Em outras palavras, nas condições do teorema campos de vetores no toro M = T 2 não podem ter pontos estacionários. De fato (Exercício 11.12), os seus fluxos são necessariamente diferenciavelmente equivalentes ao fluxo rígido (11.14) para algum valor de a. Finalmente, quando χ(m) < 0 segue da Fórmula de Euler Poincaré que o número k de pontos estacionários satisfaz 1 k χ(m). Ao final da seção, em (11.24) também deduziremos que o número total N de componentes periódicas e minimais no Teorema nunca ultrapassa 2χ(M) = 4g(M) Medida transversal invariante Fixemos a forma de área ω na superfície M. A cada campo de vetores F de classe C 1 em M podemos associar a 1 forma diferencial β definida por β p (v) = ω p (F(p),v) para cada v T p M. (11.17) Observe que esta correspondência F β é uma bijeção: a relação (11.17) também permite determinar F a partir de β, uma vez que a 2 forma ω é não degenerada (confira (A.7) no Apêndice A).

19 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 331 Lema O fluxo do campo de vetores F preserva a medida de área em M se, e somente se, a 1 forma diferencial β definida em (11.17) é fechada. Demonstração. Pelo Teorema de Darboux (Teorema A.4) na vizinhança de cada ponto de M podemos escolher coordenadas (x, y) relativamente às quais a forma de área está dada por ω p = dx dy e, portanto, a medida de área é a área euclideana usual no plano: vol(e) = dx dy (11.18) para todo subconjunto mensurável E do domínio da carta local. Seja F(p) = X(p)( / x) +Y(p)( / y) a expressão do campo de vetores nessas coordenadas locais canônicas. A definição (11.17) dá que Segue que E β p = (dx dy) X(p) x +Y(p) y, = Y (p)dx + X(p)dy. (11.19) X Y dβ p = (p) + x y (p) dx dy = divf(p)ω. Portanto dβ 0 se, e somente se, o divergente divf do campo de vetores (mais precisamente, da sua expressão em coordenadas canônicas) é identicamente nulo. Como vimos anteriormente (Observação 7.7), isso acontece se e somente se o fluxo preserva a medida de área (11.18). Analisemos com mais detalhe a relação entre um campo de vetores F cujo fluxo preserva a medida de área e a 1 forma fechada β associada. Por um lado, (11.17) dá que os zeros de β são precisamente os pontos estacionários de F: como ω é não degenerada, a 1 forma ω p (F(p), ) é nula se, e somente se, F(p) = 0. Por outro lado, se p é um ponto regular β p (v) = 0 ω p (F(p),v) = 0 v é colinear com F(p). Em outras palavras, o núcleo kerβ p é a reta na direção de F(p). Agora, o fato de que a 1 forma β é fechada significa que ela é localmente exata, ou seja, que para todo ponto q M existe uma função diferenciável ϕ : U q R definida numa vizinhança U q de q e tal que β p = dϕ(p) para todo p U q. Esta função está definida unicamente a menos de uma constante aditiva. Então, a observação de que kerdϕ(p) contém F(p) para todo p significa que a derivada de ϕ ao longo das trajetórias é identicamente nula. Consequentemente, ϕ é constante em cada trajetória do campo de vetores dentro de U q. Exemplo Considere as funções F m definidas no plano complexo C por F m (z) = z m, com m N. Identificando C com o plano euclideano, podemos pensar em cada F m como um campo de vetores (x,y) (X m (x,y),y m (x,y)) em R 2. Como F m (z) é uma função analítica do conjugado z, as equações de Cauchy-Riemann dão que X m x = Y m y e X m y = Y m x.

20 332 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 A primeira igualdade significa que o divergente divf m é identicamente nulo e, consequentemente, o fluxo de F m preserva área. Deixamos a cargo do leitor verificar que a 1 forma diferencial associada a F m está dada por β z = dϕ m (z), onde ϕ m (z) = 1 m + 1 Izm+1 Em particular, neste caso β é exata. Segue das observações anteriores que as trajetórias de F m estão contidas em conjuntos de nível da função ϕ m (z). Lembre que chamamos seção transversal ao fluxo do campo de vetores F a imagem S de qualquer mergulho γ : ( 1,1) M de classe C 1 tal que γ (t) nunca é colinear com F(γ(t)). Equivalentemente, β γ(t) (γ (t)) = 0 para todo t. Chamamos β medida (ou medida transversal definida por β ) de uma curva diferenciável σ : I U ao número real l β (σ) = β = β σ(t) (σ (t))dt. (11.20) σ A importância desta noção advém do fato de que a β medida é preservada pelas transformações de Poincaré do fluxo: Lema Se P : S 0 S 1 é uma transformação de Poincaré e σ 0 S 0 e σ 1 S 1 são segmentos das seções transversais tais que P(σ 0 ) = σ 1, então l β (σ 0 ) = l β (σ 1 ). Demonstração. Considere o domínio D M formado pelos segmentos de trajetória ligando cada ponto x σ 0 à respectiva imagem P(x) σ 1. Não é restrição supor que estes segmentos de trajetória não se intersectam (porque toda transformação de Poincaré pode ser decomposta em composições de transformações de Poincaré dentro de caixas de fluxo tubular, as quais obviamente têm a propriedade de não interseção). Então D é um retângulo mergulhado em M, tal como representado na Figura O bordo de D está formado pelos segmentos σ 0 e σ 1 juntamente com as duas trajetórias, γ 0 e γ 1, do fluxo que ligam as extremidades de σ 0 e σ 1. Então, pelo Teorema de Stokes, β + β + β + β = β = dβ = 0. σ 0 γ 0 σ 1 γ 1 D D Como β se anula ao longo de trajetórias, esta igualdade reduz-se a σ 0 β σ 1 β = 0, que é precisamente o que queríamos provar.?? A 1 forma β também permite escolher uma orientação preferencial em cada seção transversal: dizemos que um segmento σ S está orientado positivamente se l β (σ) > 0 e que ele está orientado negativamente se l β (σ) < 0. Segue do Lema que toda transformação de Poincaré P : S 0 S 1 preserva orientação. A partir daqui consideraremos todo segmento de seção transversal orientado positivamente Domínios das transformações de Poincaré A seguir, precisamos analisar os domínios de definição das transformações de Poincaré. Sejam p 0 e p 1 dois pontos numa mesma trajetória regular, p 1 = f τ (p 0 ) com τ > 0, e I

21 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 333 σ 0 Figura 11.8: A β medida é invariante por toda transformação de Poincaré. sejam S 0 e S 1 seções transversais ao fluxo em p 0 e p 1, respectivamente. Sabemos (Teorema 5.11) que existe uma transformação de Poincaré definida de uma vizinhança de p 0 dentro de S 0 para uma vizinhança de p 1 dentro de S 1. A questão que queremos tratar é qual é o domínio máximo de definição.?? Figura 11.9: Transformações de Poincaré entre seções transversais dentro da mesma caixa adaptada. Comecemos por considerar o caso particular em que as seções S 0 e S 1 e o segmento de trajetória entre p 0 e p 1 estão contidos numa mesma caixa adaptada. Confira a Figura No caso de caixa adaptada de ponto regular (figura à esquerda) é claro que a transformação de Poincaré pode ser estendida até que o domínio alcance os extremos de S 0 ou S 1. No caso de caixa adaptada de um ponto estacionário z (figura à direita) temos uma (única) obstrução adicional: o domínio da transformação de Poincaré pode ser estendido até alcançar os extremos das seções transversais ou alguma separatriz estável do ponto estacionário z. Observe que segmentos de separatrizes estáveis de z (ou qualquer outro ponto estacionário) que entram e saem da caixa adaptada não são relevantes neste contexto, apenas os segmentos finais das separatrizes estáveis de z. Para cada i = 0,1, representemos por Si (p) e S i + (p) as componentes conexas de S i \ {p i }, com Si (p) do lado negativo e S i + (p) do lado positivo de p i relativamente à orientação positiva da seção transversal. Em particular, temos que σ 1

22 334 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 se l β (S 0 (p 0)) l β (S 1 (p 1)) e l β (S + 0 (p 0)) l β (S + 1 (p 1)) e S 0 não intersecta nenhum segmento final de separatriz estável de z então a transformação de Poincaré P : S 0 S 1 está definida em toda a seção transversal S 0. Usando o Lema 11.26, vamos para obter uma versão geral deste fato, para qualquer segmento de trajetória e quaisquer seções transversais, que terá um papel importante na demonstração do Teorema 11.21: Proposição Sejam p 0 e p 1 dois pontos numa mesma trajetória regular, p 1 = f τ (p 0 ) com τ > 0, e sejam S 0 e S 1 seções transversais ao fluxo de F em p 0 e p 1, respectivamente, tais que (a) se l β (S 0 (p 0)) l β (S 1 (p 1)) e l β (S + 0 (p 0)) l β (S + 1 (p 1)) e (b) toda separatriz estável que passa por S 0 também corta S 1 posteriormente a essa passagem. Então existe uma transformação de Poincaré P : S 0 S 1 definida em todo S 0 tal que P(p 0 ) = p 1. Demonstração. O detalhamento é um pouco longo mas a ideia é bastante simples. Usaremos o caso local anterior para mostrar que a transformação de Poincaré está bem definida numa vizinhança de p 0 com tamanho uniforme, dependendo apenas das seções transversais e do campo de vetores. Então, substituindo p 0 por qualquer outro ponto no domínio, concluiremos que a transformação de Poincaré se estende a toda a seção transversal S 0, tal como afirmado. Como M é compacta, podemos encontrar uma cobertura finita {U 1,...,U k } por caixas adaptadas e uma família {V 1,...,V k } de caixas adaptadas ligeiramente maiores, tais que V j contém o fecho de U j para todo j = 1,...,k. Em seguida, como estamos lidando com famílias finitas, podemos encontrar constantes ε > 0 e δ > 0 tais que (i) para todo q na interseção de duas caixas adaptadas U i e U j existe alguma seção transversal σ ao fluxo em q tal que σ V i V j e cada uma das componentes conexas de σ \ {q} tem β medida igual a ε; (ii) para todo p numa caixa adaptada U j e toda seção transversal S ao fluxo em p existe alguma seção transversal θ S com p θ V j e tal que cada uma das componentes conexas de θ \ {p} tem comprimento igual a δ ou está numa extremidade de S e tem comprimento menor que δ. Confira a Figura Como a 1 forma β é limitada, reduzindo δ se necessário podemos supor que todo segmento de comprimento menor ou igual que δ tem β medida menor ou igual que ε.?? Decomponhamos o segmento de trajetória [p 0, p 1 ] em subsegmentos [q i 1,q i ], i = 1,...,n tais que q 0 = p 0, q n = p 1 e cada [q i 1,q i ] está contido em alguma caixa adaptada U ji. Confira a Figura Usando a propriedade (i), para cada i = 0,...,n podemos escolher uma seção transversal σ i ao fluxo no ponto q i, tal que σ i V ji V ji+1 (respectivamente, σ 0 V j1, se i = 0, e σ n V jn, se i = n);

23 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 335 Figura 11.10: Seções transversais contidas em caixas adaptadas. cada uma das componentes conexas de σ i \ {q i } tem β medida igual a ε. Além disso, usando (ii), podemos encontrar seções transversais θ 0 S 0 e θ n S 1 tais que q 0 θ 0 V j1 e q n θ n V jn e cada uma das componentes conexas de θ 0 \{q 0 } e de θ n \{q n } tem comprimento igual a δ ou está numa extremidade de S 0 e S 1, respectivamente, e tem comprimento menor que δ; em qualquer dos casos, a sua β medida é menor ou igual que ε. V ji U ji σ i 1 σ i q i 1 q i q i+1 Figura 11.11: Decompondo a trajetória em segmentos contidos em caixas adaptadas.?? A hipótese (b) da proposição garante que θ 0 não corta nenhum segmento final de separatriz estável. Portanto, conforme observado anteriormente, existe uma transformação de Poincaré P 0 : θ 0 σ 0 ao longo de segmentos de trajetória dentro de V j1 com P 0 (q 0 ) = q 0. Pela mesma razão, a imagem P 0 (θ 0 ) não intersecta nenhum segmento final de separatriz estável e, portanto, existe uma transformação de Poincaré P 1 : P 0 (θ 0 ) σ 1 ao longo de segmentos de trajetória dentro de V j1 com P 1 (q 0 ) = q 1. Repetindo este argumento, construímos transformações de Poincaré P i, i = 1,...,n com U ji+1 V ji+1

24 336 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 P i (q i 1 ) = q i e tais que cada uma está definida na imagem da anterior. Compondo todas estas transformações, obtemos P : P n P 1 P 0 : θ 0 σ n, com P(q 0 ) = q n. Seja σ n = P(θ 0 ) a imagem desta aplicação e seja ˆσ n σ n a seção transversal ao fluxo no ponto q n definida da seguinte forma (confira a Figura 11.12): (i) se l β ( σ + (q n )) l β (θ + n (q n)) então ˆσ + n (q n) = σ + n (q n), (ii) caso contrário, ˆσ n + (q n) é o segmento de σ n + (q n) com β medida igual a l β (θ n + (q n)) e que tem q n como ponto extremo inferior, e analogamente para ˆσ n (q n ), com q n como ponto extremo superior. Mais uma vez, a hipótese (b) no enunciado garante que ˆσ n não intersecta nenhum segmento final de separatriz estável. Logo, pelo mesmo argumento local que usamos anteriormente, existe uma transformação de Poincaré P n+1 : ˆσ n θ n com P n+1 (q n ) = q n. Então, a composição P = P n+1 P = P n+1 P n P 1 P 0 está definida na pré-imagem ˆθ 0 = P 1 ( ˆσ n ).?? Figura 11.12: Finalizando a construção da transformação de Poincaré P : S 0 S 1. No caso (i) temos que ˆθ + (q 0 ) = θ + (q 0 ) e, portanto, ou ˆθ + (q 0 ) tem comprimento igual a δ ou ele está na extremidade de S 0. No caso (ii), como as transformações de Poincaré preservam a β medida, P( ˆθ + 0 (q 0)) = P n+1 ( ˆσ n (q n )) = θ + n (q n). Portanto, neste segundo caso, ou P( ˆθ 0 + (q 0)) tem comprimento igual a δ ou ele está na extremidade de S 1. Além disso, valem fatos análogos para ˆθ 0 (q 0). Então, lembrando que δ não depende dos pontos p 0 e p 1, podemos usar a construção que acabamos de apresentar para estender o domínio de definição até alcançar as extremidades de S 0 ou de S 1. Como transformações de Poincaré preservam a β medida, a hipótese (a) da proposição assegura que as extremidades de S 0 são alcançadas em primeiro lugar.

25 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS Estabilidade e componentes periódicas A construção das componentes periódicas no Teorema é feita pela seguinte proposição: Proposição A união P de todas as trajetórias periódicas do fluxo de F é um subconjunto aberto de M. Além disso, P tem um número finito de componentes conexas, e o bordo de cada componente conexa consiste de conexões de sela e respectivos pontos estacionários. A prova desta proposição ocupa a presente seção. Comecemos por mostrar que P é aberto: Lema (Estabilidade). Seja p M um ponto periódico do fluxo de F. Então todo ponto numa vizinhança de p também é periódico. Demonstração. Seja S uma seção transversal ao fluxo no ponto p e seja P : S S a respectiva transformação de primeiro retorno, definida numa vizinhança S de p. Para cada ponto z S, seja [p,z] S o segmento da seção transversal ligando p a z. Então, como P(p) = p, l β ([p,z]) = l β (P([p,z])) = l β ([p,p(z)]) e isso implica que P(z) = z. Então, todas as trajetórias passando por S são periódicas. A seguir vamos caracterizar os bordos das componentes conexas de P. O primeiro passo é: Lema Seja S uma seção transversal ao fluxo de F e sejam p,r S tais que toda trajetória passando por (p, r] S é periódica mas a trajetória passando por p não é periódica. Então p está numa conexão de sela. Demonstração. Suponha que a trajetória γ de p não é numa separatriz estável. Então, pela Observação 11.23, existe algum ponto regular q ω(p). Seja S uma seção transversal ao fluxo em q. Então, conforme vimos no Lema 11.6, existe uma sequência injetiva de pontos p n S γ convergindo para q quando n. Substituindo r por um ponto mais próximo de p, se necessário, podemos supor que l β ([p,r]) é menor que as β medidas das componentes conexas de S \ {q}. Então também é menor que as β medidas das componentes conexas de S \ {p n } para todo n suficientemente grande. Isto implica que a condição (a) da Proposição está satisfeita 3 para p 0 = p, p 1 = p n e S 0 = [p,r] e S 1 = S. A condição (b) também está satisfeita, uma vez que estamos supondo que as trajetórias passando por (p, r] são periódicas e que a trajetória de p não é uma separatriz estável. Portanto, podemos concluir da proposição que, para todo n suficientemente grande, existe uma transformação de Poincaré P n : [p,r] S com P n (p) = p n. Veja a Figura ?? 3 Do modo como definimos seção transversal, seria mais correto dizer que tomamos para S 0 uma pequena vizinhança aberta de [p,r] dentro de S. Mas trata-se de um abuso de linguagem inofensivo e nos permitiremos cometê-lo outras vezes.

26 338 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 S r p Figura 11.13: Mostrando que o bordo de uma componente periódica está formado por conexões de sela. Escreva r n = P n (r). Então toda trajetória passando por (p n,r n ] é periódica e l β ([p n,r n ]) = l β ([p,r]) é positivo. Esta última propriedade implica que os segmentos [p n,r n ] não podem ser disjuntos dois-a-dois. Portanto, existem m = n tais que p m [p n,r n ]. Consequentemente, a trajetória de p m é periódica, o que acarreta que a trajetória de p é periódica. Isto contradiz a hipótese e essa contradição prova que γ é uma separatriz estável. O mesmo argumento, aplicado ao fluxo do campo de vetores F, mostra que γ é uma separatriz instável. Portanto, γ é uma conexão de sela, tal como afirmado. Corolário Se p é um ponto regular no bordo de P então p está numa conexão de sela. Além disso, localmente, todos os pontos de (pelo menos) um lado dessa conexão de sela estão em P. Demonstração. Seja S uma seção transversal ao fluxo no ponto p. Como p está no bordo do aberto invariante P, há duas possibilidades. Uma é que P intersecte S num intervalo da forma (p, q). Nesse caso podemos usar o Lema para concluir que p pertence a uma conexão de sela. Além disso, evidentemente, todos os pontos de (pelo menos) um lado da conexão de sela dentro de uma vizinhança de p pertencem a P. Portanto, a conclusão vale neste caso. A outra possibilidade é que exista uma sequência infinita de componentes conexas (p n,q n ) da interseção P S convergindo para p. Nesse caso, usando outra vez o Lema 11.30, todos os pontos p n e q n estão em conexões de sela. No entanto, existe um número finito de conexões de sela e é igualmente claro que a interseção de cada uma delas com qualquer seção transversal também é finita. Isto significa que esta segunda situação na verdade não pode ocorrer. Demonstração da Proposição O fato de que o conjunto P é aberto está provado no Lema e o fato de que os bordos estão formados por conexões de sela e pontos estacionários é dado no Corolário Também segue que o número de componentes conexas é finito, uma vez que o número de conexões de sela é finito e, de acordo com o corolário, cada uma delas pode estar no bordo de não mais que duas componentes conexas de P. q r n p n S

27 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS Recorrência e componentes minimais A construção das componentes minimais no Teorema será feita por meio da proposição a seguir. Nesta seção consideramos apenas trajetórias regulares não periódicas. Representaremos por Γ s a família dessas trajetórias que não são separatrizes estáveis e por Γ u a família daquelas que não são separatrizes instáveis. As conexões de sela são precisamente as trajetórias regulares não periódicas que não pertencem a Γ s Γ u. Seja M a união dos interiores dos conjuntos ω(γ) com γ Γ s. É claro que M é aberto e invariante pelo fluxo. Proposição M tem um número finito de componentes conexas e o bordo de cada componente conexa está formado por conexões de sela e respectivos pontos estacionários. Além disso, toda trajetória regular não periódica γ que não é conexão de sela está contida em M e é densa na componente conexa de M que a contém. Pela Proposição 11.28, uma trajetória regular não periódica não pode acumular numa trajetória periódica. Esse fato será usado implicitamente algumas vezes no que segue. O ponto de partida da demonstração da Proposição é o seguinte lema: Lema (Recorrência). Seja γ uma trajetória regular não periódica e seja S uma seção transversal ao fluxo num ponto qualquer p γ. Se γ Γ s então a trajetória futura γ + = { f t (p) : t > 0} intersecta todo segmento da forma (p,q) ou (q, p) dentro de S. Analogamente, se γ Γ u então a trajetória passada γ = { f t (p) : t < 0} intersecta todo segmento da forma (p,q) ou (q, p) dentro da seção transversal.?? q p S Figura 11.14: Entendendo os conjuntos α limite e ω limite de uma trajetória regular não periódica que não é uma separatriz. Demonstração. Provaremos a primeira afirmação para segmentos da forma (p, q); as demais são inteiramente análogas. Aproximando q de p se necessário (isto não afeta a validade do enunciado), podemos supor que (a) l β ((p,q)) é menor que as β medidas das componentes conexas de S \ (p,q) e (b) toda separatriz estável que passa por (p, q) intersecta S posteriormente a essa passagem. q p 1 p S

28 340 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 Relativamente a esta última condição, observe que o conjunto formado pelos últimos pontos de interseção de cada uma das separatrizes estáveis com a seção transversal S é finito, e que basta que (p,q) evite esse conjunto. Afirmamos que existe algum ponto z (p, q) cuja trajetória futura intersecta (p, q) em algum ponto w. De fato, considere a união E das trajetórias futuras dos pontos de (p,q). É claro que E é um conjunto com área positiva, uma vez que tem interior não vazio, e também é claro que ele é invariante pelo fluxo. Se a afirmação fosse falsa então, como (p,q) é transversal ao campo de vetores, a diferença E \ f t (E) teria área positiva para t > 0, contradizendo a hipótese de que o fluxo de F preserva a medida de área. Esta contradição prova a nossa afirmação. As propriedades (a) e (b) acima asseguram que as hipóteses da Proposição são satisfeitas por p 0 = z, p 1 = w, S 0 = [p,q] e S 1 = S. Usando a proposição, concluímos que existe uma transformação de Poincaré P : [p, q] S com P(z) = w. Como P preserva a β medida, há duas possibilidades para a posição relativa de [p,q] e da sua imagem, as quais estão ilustradas na Figura No caso do lado esquerdo da figura, o ponto P(p) γ + está em (p,q). Isso prova o lema neste caso.?? q 1 p 1 Figura 11.15: Mostrando que trajetórias regulares que não são separatrizes acumulam em si mesmas. No caso do lado direito existe p 1 (p,q) tal que P(p 1 ) = p. Tome um ponto q 1 (p,q) próximo de p 1 e tal que q 2 = P(q 1 ) também está em (p,q), tal como descrito na Figura Tomando q 1 suficientemente próximo de p 1, podemos supor que [p,q 2 ] e [p 1,q 1 ] são disjuntos e também que todo segmento que intersecta [p 1,q 1 ] e cuja β medida é menor ou igual que l β ([p 1,q 1 ]) está contido em (p,q). Considerando a união E das trajetórias futuras dos pontos de (p,q 2 ), e usando uma vez mais o fato de que o fluxo preserva a medida de área, obtemos que existe algum ponto z (p,q 2 ) cuja trajetória futura intersecta (p 1,q 1 ) em algum ponto w. Tal como anteriormente, segue que existe uma transformação de Poincaré P : [p,q 2 ] S com P (z ) = w. Em particular, P ([p,q 2 ]) intersecta (p 1,q 1 ). Notando que l β (P ([p,q 2 ])) = l β ([p,q 2 ]) = l β (P([p 1,q 1 ])) = l β ([p 1,q 1 ]), concluímos que P ([p,q 2 ]) está contido em (p,q). Como P (p) γ +, isto prova o lema neste caso. q q 2 p

29 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 341 Este lema significa que se γ Γ s então todo ponto p γ está em ω(γ), inclusive a acumulação se dá pelos dois lados da trajetória. Analogamente, se γ Γ u então todo ponto p γ está em α(γ). A seguir analisaremos os bordos dos conjuntos limite. Lema Seja γ Γ s e seja p um ponto regular no bordo de ω(γ). Então p pertence a alguma conexão de sela e, localmente, todos os pontos de (pelo menos) um dos lados da conexão de sela estão no interior de ω(γ). Além disso, valem as afirmações correspondentes para α(γ) quando γ Γ u. Demonstração. Provaremos as afirmações para γ Γ s ; o caso γ Γ u é análogo, considerando o fluxo associado ao campo de vetores F. Seja S uma seção transversal ao fluxo no ponto p e seja γ a trajetória de p. Observe que γ ω(γ) e os seus conjuntos limite α( γ) e ω( γ) também estão contidos em ω(γ), uma vez que ω(γ) é invariante e fechado. Suponha que γ não é uma separatriz estável. Então, pelo Lema 11.33, S ω( γ) acumula em p pelos dois lados da seção transversal. Como estamos supondo que p está no bordo de ω(γ), o complementar S \ ω(γ) também tem que acumular em p. Então, existem segmentos abertos (q n,r n ) S convergindo para p tais que q n,r n ω(γ) mas (q n,r n ) ω(γ) = /0. As trajetórias de q n e r n são necessariamente separatrizes estáveis: caso contrário, pelo Lema 11.33, os conjuntos ω(q n ) ou ω(r n ) teriam que intersectar o segmento (q n,r n ) e, como esses conjuntos estão contidos em ω(γ), isso estaria em contradição com a escolha do segmento. Da mesma forma, as trajetórias de q n e r n são necessariamente separatrizes instáveis. Em outras palavras, provamos que todos os pontos q n e r n estão em conexões de sela. Mas isso é uma contradição porque existe um número finito de conexões de sela e cada uma delas intersecta a seção transversal num número finito de pontos. Esta contradição prova que γ é uma separatriz estável. Um argumento inteiramente análogo, usando α( γ), mostra que γ é uma separatriz instável. Portanto, γ é uma conexão de sela, tal como enunciado. Os mesmos argumentos mostram que o interior de ω(γ) contém algum segmento da forma (q, r) ou (r, q) na seção transversal S: caso contrário, existiriam segmentos (q n,r n ) S convergindo para p com q n,r n ω(γ) e (q n,r n ) ω(γ) = /0, e já vimos que isso conduziria a uma contradição. Corolário Se γ Γ s então γ está contida no interior do seu conjunto ω limite e, em particular, o interior é não vazio. Além disso, se γ é uma trajetória contida em ω(γ) então ω( γ) = ω(γ) se γ Γ s e α( γ) = ω(γ) se γ Γ u. Valem as afirmações correspondentes para o conjunto α limite de qualquer trajetória γ Γ u. Demonstração. Consideramos apenas o caso γ Γ s ; o enunciado para γ Γ u segue considerando o fluxo do campo de vetores F. Pelo Lema 11.33, todo ponto de γ está em ω(γ). Pelo Lema 11.34, esses pontos não podem estar no bordo de ω(γ). Isto prova a primeira afirmação. Agora suponha que γ Γ s está contida em ω(γ). Então é claro que ω( γ) está contido em ω(γ), já que este último é fechado e invariante. Para provar a inclusão recíproca, observe que γ acumula em γ e que, como acabamos de ver, γ está no interior do seu próprio conjunto ω limite. Segue que γ intersecta ω( γ) e, usando que este último é fechado e invariante, que ω(γ) ω( γ). O mesmo argumento mostra que α( γ) = ω(γ) se γ Γ u está contida em ω(γ).

30 342 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 É claro que os interiores dos conjuntos ω limite e α limite são abertos e invariantes pelo fluxo. A seguir, vamos ver que eles são em número finito: Corolário Existe um número finito de conjuntos ω limite distintos de trajetórias γ Γ s e os respectivos interiores são disjuntos dois-a-dois e conexos. Valem as afirmações correspondentes para o conjunto α limite quando γ Γ u. Demonstração. Consideramos apenas o caso γ Γ s ; o enunciado para γ Γ u segue considerando o fluxo do campo de vetores F. Considere γ 1,γ 2 Γ s. Se o interior de ω(γ 1 ) intersecta o interior de ω(γ 2 ), podemos encontrar uma trajetória γ contida na interseção e que não é uma conexão de sela. Então, o Corolário 11.35, dá que ou ω(γ 1 ) = ω( γ) = ω(γ 2 ) ou ω(γ 1 ) = α( γ) = ω(γ 2 ). Em qualquer dos casos, os dois conjuntos ω limite coincidem. Resumindo, dois conjuntos ω(γ), γ Γ s ou são iguais ou têm interiores disjuntos. Agora, pelo Lema 11.34, o bordo do interior de cada um desses conjuntos contém alguma conexão de sela, e cada conexão de sela está no bordo de não mais que dois interiores. Segue que a família {ω(γ) : γ Γ s } é finita, e os respectivos interiores são disjuntos dois-a-dois, tal como afirmado. Resta mostra que esses interiores são conexos. Represente por U γ o interior de ω(γ), com γ Γ. Suponha que existem fechados F e G de M tais que F G contém U γ e F G é disjunto de U γ. Como γ U γ, pelo Corolário 11.35, segue que F G contém γ e F G é disjunto de γ. Então, como a trajetória γ é conexa, ela está contida num dos dois fechados, digamos F. Segue que ω(γ) também está contido em F e, portanto, U γ não intersecta G. Isto prova a afirmação. Demonstração da Proposição O Corolário mostra que as componentes conexas de M são precisamente os interiores dos diferentes conjuntos ω(γ), γ Γ s e que elas são em número finito. O Lema dá que os bordos estão formados por conexões de sela e respectivos pontos estacionários. Resta mostrar que toda trajetória regular não periódica γ que não é conexão de sela está contida em M e é densa na componente conexa que a contém. Isso é claro quando γ Γ s pois o Corolário dá que γ está contida no interior de ω( γ). Quando γ Γ u, o Corolário dá que γ está contida no interior de α( γ). Como este último é um aberto não vazio e a união das separatrizes estáveis tem interior vazio (por ser uma família finita de curvas diferenciáveis em M), existe alguma trajetória γ Γ s que intersecta o interior de α( γ) e, consequentemente, está contida nele. Pelo Corolário 11.35, segue que α( γ) = ω(γ). Então, γ está contido no interior de ω(γ), o qual também é a a componente conexa que contém γ Conclusão da demonstração e comentários adicionais As componentes periódicas são as componentes conexas de P e as componentes minimais são as componentes conexas de M. Vimos na seção anterior que estes conjuntos são abertos, invariantes e disjuntos dois-a-dois e que a sua união contém toda trajetória regular, periódica ou não, que não é conexão de sela. Em particular, os seus fechos cobrem toda a superfície M. É claro que as componentes conexas de P são formadas por trajetórias periódicas, conforme a condição 1. no Teorema 11.21, e a Proposição 11.32

31 11.4. TEOREMA DE MAYER SOBRE FLUXOS CONSERVATIVOS 343 dá que as componentes conexas de M satisfazem a condição 2. no enunciado. Portanto, a demonstração do teorema está completa. Para encerrar o tema, vamos observar que os argumentos anteriores também fornecem um majorante explícito para o número total de componentes, periódicas e minimais. De fato, de acordo com o Corolário e o Lema 11.34, o bordo de cada componente está formado por conexões de sela e pontos estacionários. Se algum bordo é vazio então, por conexidade, a componente é única e coincide com M. Isso é o caso, por exemplo, quando não existem conexões de sela e, em particular, quando não existem pontos estacionários (ou seja quando M = T 2 ). Confira os Exercícios a A partir daqui suporemos que os bordos são todos não vazios. Em particular, χ(m) < 0. O Corolário e o Lema também asseguram que cada conexão de sela está no bordo de não mais que duas componentes do fluxo. Então, o número N de componentes não pode ultrapassar o dobro do número de conexões de sela, o qual não excede o dobro do número de separatrizes estáveis (ou instáveis). Em outras palavras, usando (11.16), N 2 k i=1 (m i + 1) = 2k 2χ(M). (11.21) Com um pouco mais de trabalho, é possível cortar esta estimativa pela metade. Vamos esboçar o argumento de maneira sucinta. Primeiramente, a Fórmula de Euler Poincaré (11.16) permanece válida para a restrição do fluxo a qualquer domínio aberto D limitado por trajetórias periódicas: z i D m i = χ(d). (11.22) Isso é porque o Teorema de Poincaré Hopf (Capítulo 12) também vale para variedades com bordo, desde que o campo de vetores seja tangencial ao bordo e não nulo em todo ponto do bordo. Mais geralmente, e por razões semelhantes, se o bordo D está formado por trajetórias regulares e pontos estacionários então z i D m i z j D s j (D) = χ(d) (11.23) onde s j (D) representa o número de separatrizes de cada ponto estacionário z j D contidas em D. Isto tem como consequência que uma conexão homoclínica γ nunca é homotopicamente trivial ou seja, nunca é o bordo de um disco contido em M. De fato, suponha que existe uma conexão homoclínica que limita um disco D M e seja z j o ponto estacionário associado a tal conexão homoclínica. Como a característica de Euler do disco é igual a 1, a identidade (11.23) significa que z i D m i s j(d) = 2 e isto é impossível, porque m i 1 e s j (D) 0.

32 344 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 Agora podemos deduzir que o bordo de toda componente do fluxo contém pelo menos duas conexões de sela. De fato, suponha existe alguma componente cujo bordo contém uma única conexão de sela. Se a conexão é heteroclínica, ou seja, se ela liga pontos estacionários distintos, é claro que ela não desconecta M. Se a conexão é homoclínica, a sua união com o ponto estacionário é uma curva simples fechada. O único jeito dela desconectar M seria se fosse homotopicamente trivial, e acabamos de ver que isso não é possível. Portanto, a situação aventada não pode ocorrer. Combinando esta observação com o argumento que usamos para obter (11.21), vemos que o número total N de componentes do fluxo satisfaz N κ i=1 Confira também a observação no Exercício (m i + 1) = k χ(m) 2χ(M). (11.24) 11.5 Comentários sobre estabilidade estrutural Outra fato importante sobre campos de vetores em superfícies é que a maioria deles são estruturalmente estáveis, ou seja, o comportamento qualitativo global das suas trajetórias não pode ser alterado mediante pequenas modificações do campo de vetores. Para darmos um enunciado formal, precisamos introduzir algumas noções. Seja M uma variedade compacta qualquer. Para cada k N fixado representaremos por X k (M) o espaço de todos os campos de vetores de classe C k, munido com a topologia C k. A ideia desta topologia é que dois campos de vetores estão próximos se eles e suas derivadas até a ordem k estiverem uniformemente próximas. Para expressarmos essa ideia de forma precisa, fixemos um atlas finito da variedade M, ou seja, uma família finita de cartas locais ϕ α : U α X α cujos domínios U α constituem uma cobertura de M. Para cada campo de vetores F em M, considere as suas expressões locais relativamente as estas cartas Dϕ α F ϕ 1 α : X α X α R d, x (x,f α (x)), conforme (11.13). Dizemos que dois campos de vetores F e G de classe C k estão ε próximos se D j F α (x) D j G α (x) < ε para todo j = 0,1,...,k e todo x X α, e toda carta local ϕ α : U α X α no atlas fixado (aqui D j designa a derivada de ordem j, com D 0 F = F e D 0 G = G). Então dizemos que um subconjunto N de X k (M) é aberto se para todo F N existe ε > 0 tal que todos os campos de vetores ε próximos de F pertencem a N. Por definição, a topologia C k é a topologia definida por estes abertos. É possível verificar (Exercício??) que ela não depende da escolha do atlas finito. Segue diretamente das definições que X k (M) X k+1 (M) e que se N é aberto de X k (M) então N X k+1 (M) é aberto de X k+1 (M). Também consideramos o conjunto X (M) = X k (M) k N

33 11.5. COMENTÁRIOS SOBRE ESTABILIDADE ESTRUTURAL 345 dos campos de vetores infinitamente diferenciáveis, e a topologia C, cujos abertos são os conjuntos da forma N X (M) com N aberto de X k (M) para algum k N. Para cada k N { }, dizemos que F X k (M) é estruturalmente estável se existe algum aberto N de X k (M) contendo F e tal que os fluxos de todos os campos de vetores em N são topologicamente equivalentes ao fluxo de F. Segue imediatamente da definição que o conjunto dos campos de vetores estruturalmente estáveis é aberto em X k (M). Suponhamos que M é uma superfície (comentaremos o caso de dimensões superiores daqui a pouco). Diremos que F é um campo de vetores de tipo gradiente (ou de Morse Smale) se ele satisfaz as seguintes condições: (a) F tem um número finito de pontos estacionários e de trajetórias periódicas, todos hiperbólicos; (b) F não tem conexões de sela; (c) toda trajetória tem como conjunto α limite um único ponto estacionário ou trajetória periódica, e analogamente para o conjunto ω limite. Teorema (Palis). Se M é uma superfície compacta então o conjunto dos campos de vetores de tipo gradiente é um subconjunto aberto não vazio de X k (M), para todo k N { }. Teorema (Palis). Se M é uma superfície compacta então todo campo de vetores de tipo gradiente em X k (M) é estruturalmente estável, para todo k N { }. A noção de campo de vetores de tipo gradiente pode ser estendida para qualquer variedade M, de qualquer dimensão. Para isso, precisamos da noção de conjunto dos pontos não errantes do fluxo, que é o conjunto Ω(F) dos pontos p M tais que para toda vizinhança V e todo T > 0 existe t R com t > T tal que f t (V) V = /0. Exemplo Todo ponto estacionário é não errante, e o mesmo vale para todo ponto periódico. Então dizemos que F X k (M) é um campo de vetores de tipo gradiente se (a) F tem um número finito de pontos estacionários e de trajetórias periódicas, todos hiperbólicos; (b) a variedade estável de todo ponto estacionário ou trajetória periódica é transversal à variedade instável de todo ponto estacionário ou trajetória periódica; (c) o conjunto Ω(F) contém apenas pontos estacionários e trajetórias periódicas. Com esta definição, os Teoremas e permanecem válidos em qualquer dimensão. No entanto, o resultado a seguir é específico de dimensões baixas: o enunciado é falso 4 em qualquer variedade de dimensão maior ou igual que 3. Veja também o Exercício 11.24, que trata o caso M = S 1. 4 Na verdade, o caso k = 1 para variedades de dimensão igual a 3 ainda está em aberto.

34 346 CAPÍTULO 11. CAMPOS DE VETORES EM DIMENSÃO 2 Teorema (Peixoto). Se M é uma superfície orientável então o conjunto dos campos de vetores de tipo gradiente é denso em X k (M), para todo k N { }. Combinado com o Teorema 11.38, este resultado mostra que os campos de vetores estruturalmente estáveis formam um subconjunto aberto de X k (M). Aliás, não é difícil deduzir do Teorema que no caso de superfícies orientáveis a recíproca do Teorema também vale: os campos de vetores estruturalmente estáveis são, precisamente, os campos de vetores de tipo gradiente Aplicação computacional: atrator de Lorenz O atrator estranho de Lorenz é um dos modelos de equações diferenciais mais conhecidos e populares, celebrizado pelos meios de comunicação em conexão com expressões como caos ou efeito borboleta. Trata-se da equação diferencial x = sx + sy y = rx y xz (11.25) z = xy bz onde s, r e b são parâmetros positivos. Ela está remotamente relacionada com o fenômeno físico da convecção térmica, como vamos explicar, mas é especialmente importante por ser um modelo bastante simples cujas trajetórias, no entanto, têm um comportamento muito complicado e, em certo sentido, imprevísivel. Boa parte do movimento de ar na atmosfera terrestre se dá por convecção térmica: calor do Sol absorvido pela superfície da Terra é transmitido às camadas mais baixas da atmosfera; esse ar aquecido sobe, abrindo caminho para correntes descendentes de ar mais frio. Em 1916, o físico britânico Lord Rayleigh propôs um modelo matemático para o fenômeno de convecção térmica numa camada de fluido contida entre duas placas horizontais que são mantidas a temperaturas constantes T topo < T base. Quando a diferença ΔT = T base T topo é pequena, não há movimento do fluido: o calor é transmitido para cima apenas por condução. Nesta situação, dita estacionária, a temperatura T est varia linearmente com a coordenada vertical η. Quando ΔT aumenta, a solução estacionária torna-se instável, dando origem à formação de cilindros de convecção, tal como ilustrado na Figura Supondo que o sistema é invariante por translações numa dada direção, por exemplo, a direção dos cilindros de convecção na figura, podemos reduzir o sistema a duas dimensões espaciais: uma coordenada horizontal ξ e uma coordenada vertical η. Então o modelo de Lord Rayleigh reduz-se à equação diferencial parcial linear ( 2 Ψ) = (Ψ, 2 Ψ) + ν 4 Ψ + gα Θ t (ξ,η) ξ Θ = (Ψ,Θ) t (ξ,η) + ΔT Ψ H ξ + κ 2 Θ, (11.26) onde t é o tempo, Θ(ξ,η,t) = T(ξ,η,t) T est (ξ,η,t) é a diferença de temperatura com relação à solução estacionária mencionada anteriormente e Ψ é a função de cor-

35 11.6. APLICAÇÃO COMPUTACIONAL: ATRATOR DE LORENZ 347 Figura 11.16: Células cilíndricas de convecção: fluido quente vai esfriando à medida que sobe, até que o movimento se inverte, e o fluido começa a descer e a ser aquecido novamente. rente: o movimento do fluido tem lugar ao longo das curvas de nível de Ψ, com velocidade dada pelo gradiente ortogonal Ψ η, Ψ. ξ As demais letras representam grandezas físicas: H é a distância entre as placas horizontais, g é a constante de gravidade, α é o coeficiente de expansão térmica, ν é a viscosidade e κ é a condutividade térmica. A solução Ψ 0, Θ 0 corresponde à situação estacionária em que não há movimento do fluido. Para ΔT próximo de zero ela é estável, mas deixa de sê-lo quando a diferença de temperatura ultrapassa um certo valor. Então surge outra solução estável, da forma πa π Ψ(ξ,η,t) = Ψ 0 sin H ξ sin H η e πa π Θ(ξ,η,t) = Θ 0 cos H ξ sin H η, em que Ψ 0, Θ 0 e a são constantes. Note que esta solução não depende do tempo t e é periódica nas variáveis espaciais ξ e η. Ela corresponde ao movimento em cilindros de convecção na Figura O parâmetro a está relacionado com a excentricidade dos cilindros. A equação (11.26) foi investigada nos anos 1950 pelo meteorologista americano Barry Saltzman, com o objetivo de entender o que acontece quando aumentamos ΔT ainda mais. Para tal, Saltzman considerou expansões das variáveis dependentes como séries de Fourier formais nas variáveis ξ e η, com coeficientes dependentes do tempo: Ψ(ξ,η,t) = Ψ k,l (t)exp i k πa k,l Z H ξ + l π H η e Θ(ξ,η,t) = Θ k,l (t)exp i k πa H ξ + l π (11.27) H η. k,l Z Substituindo estas expressões na equação diferencial parcial (11.26), obtém-se um sistema de equações diferenciais ordinárias cujas incógnitas são os coeficientes de Fourier