INTRODUÇÃO AOS RESSEGUROS. Adrian Hinojosa e Aniura Milanés. Departamento de Estatística ICEx. UFMG.

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1 INTRODUÇÃO AOS RESSEGUROS Arian Hinojosa e Aniura Milanés Departamento e Estatística ICEx. UFMG.

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3 Sumário Capítulo 1. As probabiliaes e a teoria o risco 1 1. Por que as probabiliaes? 1 2. Probabiliaes e variáveis aleatórias nos seguros 3 3. Funções que caracterizam a istribuição 6 4. Algumas estatísticas escritivas Função geraora e momentos e e cumulantes Vetores aleatórios 2 7. Construção e novas istribuições Variáveis aleatórias não negativas Exercícios 42 Capítulo 2. Introução ao resseguro Introução Formas e resseguro Efeito o resseguro nas características as istribuições Exercícios 69 Referências 71 i

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5 CAPíTULO 1 As probabiliaes e a teoria o risco 1. Por que as probabiliaes? A teoria o seguro está baseaa no pressuposto e que inivíuos, ante uma possível grane pera, poem reuzir seus efeitos financeiros formano um grupo que a compartilhe. Dessa forma, a grane maioria as pessoas prefere assumir o compromisso pelo pagamento perióico e uma quantiae fixa e razoável e inheiro a correr o risco e ter que eventualmente fazer face a uma pera muito grane, aina que ela seja pouco provável. O seguro é um mecanismo que transfere o risco e pessoas, instituições, empresas ou organizações (seguraos) para companhias e seguros (seguraoras). Os seguraos eixam e correr o risco e enfrentar granes prejuízos financeiros por meio o pagamento perióico e uma quantia fixa chamaa e prêmio o seguro. Isto é formalizao através e um contrato ou apólice e seguros feito entre segurao e seguraora. Quano um segurao sofre uma pera como consequência e algum aciente ou esastre natural, por exemplo, pela qual eseja ser reembolsao, ele apresenta uma reclamação e sinistro ou peio e inenização à seguraora que, epeneno o contrato, atene ou não esse peio. Exemplo 1.1. As apólices os seguros os carros e Marta e Francisco valem e ezembro e 27 a ezembro o 28. Ambos pagam como prêmio o valor e RS1.5, por ano. Marta não reportou sinistros urante esse períoo. No entanto, Francisco teve que trocar o motor o carro, pois ele ficou submerso na água urante várias horas num alagamento. O prêmio pago por Francisco foi várias vezes menor o que ele teria que ter pago pelo conserto o seu carro. A situação a Marta é outra. Aparentemente ela pereu o valor pago, mas isto não é exatamente assim. Observe que no momento em que ela faz o pagamento, aina não sabe se vai ter algum problema com seu carro no ano 28. Ela fica mais tranquila sabeno que não terá que assumir granes prejuízos financieiros evios a problemas com seu carro. No seu caso, ela pagou somente por essa tranquiliae. Cabe a caa um eciir se a tranquiliae vale ou não esse preço. Caberia se perguntar como é possível que as companhias seguraoras possam assumir uma grane quantiae e riscos alheios sem ter prejuízos e, aina mais, teno lucro. Isso ocorre porque, na realiae, relativamente poucos seguraos notificam sinistros significativamente vultosos. Além isso, os prêmios são calculaos e forma que a companhia seguraora consiga fazer frente às inenizações solicitaas. Dessa forma, aparece naturalmente na teoria sobre a ativiae seguraora, a necessiae e liar com a incerteza sobre a ocorrência e fenômenos que possam causar prejuízos. O principal 1

6 2 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO objetivo as ciências atuariais é analisar as consequências financeiras e eventos futuros que são incertos. Em particular, interessa esenhar mecanismos e proteção contra os efeitos e peras granes e imprevisíveis. Por essa razão, é bastante natural pensar que uma teoria que ê um embasamento apropriao à ativiae seguraora eve tratar com fenômenos nos quais há envolvia incerteza. A teoria a probabiliae é a área a matemática que se ocupa o estuo e tais fenômenos. Isso é feito através a quantificação a chance e ocorrência e caa um os resultaos possíveis. A teoria o risco se ocupa o estuo os moelos probabilísticos que melhor se aaptam à ativiae seguraora. Seu objetivo é representar a evolução os pagamentos futuros e uma empresa seguraora. Há vários fatores que poem influenciar o resultao. Exemplo 1.2. Durante o ano e 28 a seguraora A não recebeu nenhuma reclamação e inenização, a seguraora B teve que pagar um total e RS2., para reembolsar quatro seguraos que apresentaram notificações e sinistros reclamano inenizações pelo mesmo valor, em janeiro, junho, agosto e novembro, respectivamente. Por outro lao, a seguraora C teve que inenizar somente 1 seguraos na primeira semana o mês e agosto, teno que pagar a caa um a quantia e RS1.5,. É bastante claro que a seguraora A é a que está na melhor situação, pois ela não teve peras no períoo analisao. O que izer em relação às outras uas seguraoras? Certamente a seguraora B teve a maior pera ao longo o ano, talvez poeríamos concluir que foi essa a seguraora que teve o maior prejuízio entre as três? Esta seguraora pereu no máximo RS5., por mês. No entanto, a seguraora C teve que pagar RS15., em uma semana!! É claro que a resposta epene a maneira na qual as seguraoras controlam as suas finanças, mas é bastante lógico pensar que a melhor situação é a e ter peras espalhaas ao longo o períoo analisao. Do exemplo anterior poemos concluir que necesitamos e uma teoria que leve em conta se há ou não ocorrência e sinistros no períoo analisao; os instantes as ocorrências; os valores pagos como inenização por essas ocorrências. O estuo os moelos associaos aos ramos via e não via geralmente é feito por separao evio às granes iferenças entre eles, particularmente no que iz respeito à valiae as apólices e ao número máximo e inenizações por períoo relativo a caa apólice, por exemplo. Neste texto trataremos somente o ramo não via. Aboraremos o estuo os moelos que escrevem melhor o montante as inenizações agregaas ou pera agregaa, relativos a toos os sinistros ocorrios que ão lugar a inenizações ao longo e um eterminao períoo e tempo. Analisaremos também a regulariae essas ocorrências numa apólice ou conjunto efinio e apólices. Como mencionamos anteriormente, neste texto estuaremos moelos. Moelos matemáticos são representações e fenômenos reais que nos ajuam a esclarecer alguns os aspectos o seu funcionamento. Um bom moelo matemático eve ser, por um lao, não muito complexo, pois isso ificulta o seu estuo teórico e, por outro, não muito simples, pois isso o afastaria a essência o fenômeno que queremos representar.

7 2. PROBABILIDADES E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NOS SEGUROS 3 Claramente, too moelo matemático é irreal, mas um bom moelo eve permitir esclarecer pontos importantes a realiae que queremos explicar. Faremos aqui algumas suposições com o objetivo e simplificar a teoria. Consieraremos que as peras e uma seguraora ocorrem somente quano ela atene às inenizações. Na verae isto não é bem assim, pois as seguraoras têm também espesas operacionais, e investimento, aministrativas, etcétera. Além isso, embora haja na prática quase sempre uma iferença entre o instante e ocorrência e um sinistro e o instante e pagamento a inenização corresponente, assumiremos aqui que eles são iguais. Dessa forma, as peras ou inenizações iniviuais (ou seja, relativas a uma apólice) coinciem, assim como as peras ou inenizações agregaas. Na realiae, as seguraoras evem obter uma estimativa a importância que pagarão no futuro por sinistros que já ocorreram. Isto é chamao e reserva e sinistro e o seu cálculo merece um estuo etalhao que não faremos aqui (veja [11, 15], por exemplo). Poemos izer então que a ativiae seguraora funciona a seguinte forma: as pessoas, ante a possibiliae a ocorrência e uma situação aversa que não querem assumir, optam por transferir este risco a uma companhia seguraora e aceitam pagar a ela uma quantiae fixa perioicamente. A seguraora, por sua vez, forma grupos e inivíuos e forma a garantir que os gastos pelas inenizações agregaas sejam razoavelmente previsíveis. A teoria o risco lhe fornece ferramentas teóricas que a auxiliam no cálculo os prêmios que lhe permitirão obter lucro nesse processo. Uma leitura mais etalhaa sobre o funcionamento o seguro e sobre a moelagem na teoria o risco poe ser feita nos livros [11, 15, 4], por exemplo. 2. Probabiliaes e variáveis aleatórias nos seguros A probabiliae é a teoria que estua os fenômenos ou situações envolveno incertezas. Na teoria as probabiliaes, chama-se e espaço amostral ao conjunto e toos os resultaos possíveis e uma e tais situações. Os subconjuntos o espaço amostral são chamaos e eventos. A chance e ocorrência e caa evento é quantificaa no seu valor e probabiliae. Este é meio na escala e a 1. Exemplo 2.1. Um ao sobre o qual não temos nenhuma informação é lançao e se observa o número a face que é obtia. O espaço amostral está composto pelas seis faces o ao. Assumir que as probabiliaes e toas as seis faces sejam iguais equivaleria a não poer arriscar nenhum palpite sobre o valor a face obtia. Em outras palavras, o ao é simétrico e um jogo e azar com este ao seria um jogo honesto. Se, no entanto, soubéssemos que a probabiliae e sair a face 3 é.85, teríamos uma grane chance e acertar o resultao o lançamento aina que não o tivéssemos visto, se arriscássemos que o resultao fosse 3. Exemplo 2.2. A probabiliae e um plano e saúe ter que arcar com vultosas espesas hospitalares e um cliente urante um ano epene a iae e, e forma geral, as conições e via o segurao. Para clientes na faixa e iae acima os 65 anos, este valor eve ser várias vezes maior que para clientes entre 2 e 3 anos, por exemplo. Esta é uma as razões pelas quais os prêmios cobraos pelas operaoras e planos e saúe para pessoas iosas são bem maiores que os cobraos nas outras faixas etárias.

8 4 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Quano uma seguraora e automóveis, por exemplo, vene uma apólice e seguro a um cliente, ela eve eterminar o prêmio com base numa quantiae muito limitaa e informações sobre este inivíuo. Tipicamente, esse valor é calculao utilizano aos históricos e grupos e motoristas com características similares. Com o passar o tempo, a seguraora vai aquirino informações sobre o segurao que poem provocar muanças no prêmio na hora e renovar o contrato, como número e multas, número e acientes, etc. Essas novas informações farão com que a seguraora moifique a previsão que ela fez a chance o segurao ter um aciente no períoo o contrato e que ajuste corresponentemente o prêmio o seguro. As probabiliaes que são calculaas levano em conta novos fatos e informações são chamaas e probabiliaes conicionais. Exemplo 2.3. Isaac e Sérgio fazem o seguro os seus carros pela primeira vez em uma certa seguraora. Ambos são clientes novos. Como eles têm perfis e automóveis similares, os atuários a companhia estimam que ambos têm probabiliae.1 e reportar algum sinistro urante o primeiro ano e valiae a apólice. Durante esse ano, Isaac bateu o carro três vezes, enquanto Sérgio não fez nenhuma relamação e inenização. Uma ano epois, eles foram renovar as suas apólices, então o valor estimao a probabiliae e Isaac reportar algum sinistro foi.2 e o e Sérgio foi.15. Por esta razão o prêmio calculao para o Isaac foi bem maior e ele eciiu muar e seguraora. Os valores.2 e.15 são probabiliaes conicionais, pois eles foram calculaos atualizano o valor inicial e ocorrência e sinistros, usano a informação coletaa ao longo o períoo e valiae as apólices. Se A e B são eventos, então o símbolo P(A B) enotará a chance e ocorrência o evento A, uma vez que sabemos que B ocorreu. Se P(B) >, então esta probabiliae poe ser calculaa a seguinte forma: P(A B) P(A B) =. (2.1) P(B) A expressão acima á uma maneira e se calcular a probabiliae conicional a partir e probabiliaes inconicionais. A fórmula a probabiliae total, que apresentamos a seguir, funciona no sentio inverso, ou seja, nela calculamos uma probabiliae inconicional usano várias probabiliaes conicionais. Teorema 2.4 (Lei a probabiliae total). Suponha que A 1, A 2,..., A n são eventos tais que A i A j =, para i j e A 1 A 2 A n = Ω, ou seja, eventos que formam uma partição o espaço amostral. Então para caa evento E teremos P(E) = P(E A 1 )P(A 1 ) + P(E A 2 )P(A 2 ) + + P(E A n )P(A n ). Na lei a probabiliae total, o que fazemos essencialmente é ecompor uma probabiliae inconicional em componentes que são probabiliaes conicionais e que são mais simples e se calcular na prática. Exemplo 2.5. Uma seguraora e carros classifica seus seguraos como seno e risco méio ou risco alto seguino certo proceimento. Três quartos os seguraos são consieraos como e

9 2. PROBABILIDADES E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NOS SEGUROS 5 risco méio. Ao longo e um ano, 1% os seguraos e risco méio tiveram acientes e carro a sua responsabiliae, enquanto que esse número foi 5% para aqueles e risco alto. Qual foi a porcentagem e seguraos que tiveram acientes e carro a sua responsabiliae urante esse ano? Consieremos os seguintes eventos: A: O segurao é e risco méio. B: O segurao é e risco alto. C: O segurao teve acientes e carro a sua responsabiliae ao longo o ano. Sabemos que P(A) =.75, P(B) =.25, P(C A) =.1, P(C B) =.5. Então, pela lei a probabiliae total o valor peio será P(C) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = =.2. Ou seja, 2% os seguraos tiveram acientes e carro a sua responsabiliae urante esse ano. O teorema e Bayes á uma fórmula para recalcular probabiliaes incorporano nelas novas informações. Teorema 2.6 (Teorema e Bayes). Suponha que A 1, A 2,..., A n são eventos que formam uma partição o espaço amostral. Então para qualquer evento E e para 1 j n vale P(A j E) = P(E A j )P(A j ) P(E A 1 )P(A 1 ) + P(E A 2 )P(A 2 ) + + P(E A n )P(A n ). Exemplo 2.7. Uma operaora e planos e saúe seiaa em Belo Horizonte atene clientes que moram nesta ciae e também em algumas outras ciaes a região metropolitana. Dos atenimentos e emergência feitos a moraores em Belo Horizonte, 9% são em uniaes assistenciais nesta ciae e o resto em uniaes em ciaes a região metropolitana. Para clientes que não moram em Belo Horizonte, este valor é 15%. Sabe-se que 8% os clientes esta operaora moram em Belo Horizonte. Se um atenimento e emergência é feito em uma uniae assistencial fora a ciae e Belo Horizonte, qual é a probabiliae o paciente ter sio um moraor esta ciae? Chamemos e A: O paciente mora em Belo Horizonte. B: O paciente não mora em Belo Horizonte. E: O atenimento é feito em Belo Horizonte. F: O atenimento é feito fora e Belo Horizonte.

10 6 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Do enunciao o problema temos que Usano o teorema e Bayes obtemos P(E A) =.9, P(F A) =.1, P(E B) =.15, P(F B) =.85, P(A) =.8, P(B) =.2. P(A F ) = P(F A)P(A) P(F A)P(A) + P(F B)P(B) = =.32. Como conclusão, temos que somente 3, 2% os atenimentos feitos fora e Belo Horizonte corresponem a pacientes moraores esta ciae. Muitas vezes teremos associaas a fenômenos com vários resultaos possíveis, certas quantiaes numéricas cujo valor epenerá o resultao ocorrio. Elas serão chamaas e variáveis aleatórias. Exemplo 2.8. Na comparação que fizemos logo epois o exemplo 1.2, vimos que quantias como número e e valor total as inenizações ao longo e um períoo são e grane interesse na ativiae e uma empresa seguraora. Elas são exemplos e variáveis aleatórias e têm um papel funamental na teoria o risco. 3. Funções que caracterizam a istribuição Muitas vezes será preciso calcular probabiliaes associaas a variáveis aleatórias. Para isso, é funamental a função e istribuição. Definição 3.1. Chamaremos e função e istribuição a variável aleatória X à função F X efinia por F X (x) = P(X x), para too x R. A função e istribuição é chamaa também e função e istribuição acumulaa. Se X é uma variável aleatória, então a sua função e istribuição F X sempre será não escrescente e contínua à ireita, com limite zero em e um em +, ou seja, F X ( ) = e F X (+ ) = 1. Outra proprieae muito importante é apresentaa a seguir. Proposição 3.2. Para too x R, vale P(X = x ) = F X (x ) F X (x ), one F X (x ) representa o limite pela esquera e F X no ponto X = x, ou seja, F X (x ) = lim x x F X (x). Graficamente, teríamos: A seguir apresentamos alguns exemplos e funções e istribuição.

11 3. FUNÇÕES QUE CARACTERIZAM A DISTRIBUIÇÃO 7 1 F X P(X = x ) x x Figura 1. P(X = x ) é o salto e F X em x = x. Exemplo 3.3. Representa-se o número e reclamações feitas numa apólice urante um ano através e uma variável aleatória com função e istribuição F 1 (x) =, x < ;, 6, x < 1;, 75, 1 x < 2;, 83, 2 x < 3; 1, x 3. Este moelo correspone a uma situação na qual poem haver nenhuma, uma, uas, ou três reclamações. O gráfico esta função aparece na figura 2 Numa eterminaa situação, poeríamos precisar e um moelo que amitisse uma quantiae ilimitaa e valores e reclamações possíveis. Neste caso, poeríamos utilizar outras istribuições como a e Poisson ou a Binomial Negativa, que serão estuaas no próximo capítulo. Exemplo 3.4. O tempo em ias ecorrio entre uas ocorrências e sinistros em apólices e uma eterminaa carteira é moelao por uma variável aleatória com istribuição { 1 e x 2, x > ; F 2 (x) =, x. Observano o gráfico e F 2 percebemos que F 2 (x) nunca atinge o valor 1. Entretanto, como F 2 (47), 9, poemos izer que, se um sinistro ocorrer, em aproximaamente 9% os casos ocorrerá o sinistro seguinte em no máximo 47 ias. Nesse caso, iferentemente o anterior, a função e istribuição é contínua.

12 8 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO F 1 (x) x Figura 2. Gráfico e F 1. F 2(x) x Figura 3. Gráfico e F 2. Exemplo 3.5. O valor total (em reais) pago por inenizações evias a reclamações e má prática méica feitas em um eterminao hospital ao longo e um ano é representao por uma variável aleatória com istribuição { 1, 2e x 1, x ; F 3 (x) =, x <.

13 3. FUNÇÕES QUE CARACTERIZAM A DISTRIBUIÇÃO 9 Embora esta função seja parecia com a o exemplo anterior, ela apresenta características muito iferentes, essencialmente pelo fato ela não ser mais contínua no ponto x =. F 3(x) 1.8 x Figura 4. Gráfico e F 3. Neste caso, temos a maior parte a probabiliae (, 8) concentraa no valor zero. Isso correspone a uma situação na qual em oito e caa ez anos, a seguraora não paga naa por reclamações esse tipo. De alguma maneira, os exemplos que acabamos e estuar representam três granes grupos nos quais se iviem as variáveis aleatórias. Definição 3.6. Uma variável aleatoria X é iscreta se ela toma uma quantiae enumerável e valores. A função que a caa valor e X faz corresponer o seu valor e probabiliae é chamaa e função e massa e probabiliae e X e é enotaa por p X, ou seja, se x j é um valor e X, p X (x j ) = P(X = x j ). A função e istribuição e uma variável aleatória iscreta satisfaz F X (x) = x i x p X (x i ). Exemplo 3.7. A função e istribuição representaa no exemplo 3.3 correspone a uma variável aleatória X iscreta com função e massa e probabiliae, 6, x = ;, 15, x = 1; p X (x) =, 8, x = 2;, 17, x = 3.

14 1 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO P X (k) k Figura 5. Gráfico e p X no exemplo 3.3. Como conseqüência a proprieae 3.2, a função e istribuição e uma variável aleatória iscreta sempre será constante por intervalos. Definição 3.8. Uma variável aleatória X é ita contínua se a sua corresponente função e istribuição for contínua e iferenciável em toos os pontos, salvo em uma quantiae no máximo enumerável e pontos excepcionais. A erivaa a função e istribuição f X (x) = F X (x), efinia em quase toos os pontos, será chamaa função e ensiae ou simplesmente ensiae e X. A função e istribuição e uma variável aleatória X contínua se escreve como F X (x) = x f X (t)t. Exemplo 3.9. A variável aleatória X no exemplo 3.4 é contínua com função e ensiae { 1 f X (x) = 2 e x 2, x > ;, x. O gráfico esta função aparece na figura 6. Devio à proprieae 3.2, toa variável aleatória contínua X eve satisfazer P(X = a) =, para qualquer a R. Isso significa que, para este tipo e variáveis, é muito ifícil (ou talvez irrelevante) na prática verificar a ocorrência e valores particulares, o que torna mais conveniente nos referirmos à ocorrência e uma faixa e valores.

15 3. FUNÇÕES QUE CARACTERIZAM A DISTRIBUIÇÃO 11 f X (x) 1/2 x Figura 6. Gráfico e f X no exemplo 3.4. Para ar uma interpretação a função e ensiae, suponhamos que f X seja contínua em x = x e consieremos um intervalo a forma (x ε, x + ε). Pelo teorema o valor méio integral, vale que se ε for suficientemente pequeno, então P(x ε < X < x + ε) = x +ε x ε f X (x)x 2εf X (x ). e f X (x ) 1 2ε P(x ε < X < x +ε), ou seja, se consierarmos a probabiliae P(x ε < X < x + ε) como o peso os valores e X no intervalo (x ε, x + ε), f X (x ) correspone ao limite este peso por uniae e comprimento quano este comprimento vai para zero, corresponeno com a noção e ensiae. Assim, aqueles x com menor valor e f X (x ) serão menos frequentes que os que têm f X (x ) maior. Definição 3.1. Uma variável aleatória X será chamaa mista se ela não for iscreta e se, além isso, a sua função e istribuição F X for escontínua em pelo menos um ponto e, no máximo, em um conjunto enumerável e pontos. As variáveis aleatórias mistas são híbrias e variáveis contínuas e iscretas e aparecem muito na teoria o risco, particularmente em certos tipos e contratos e seguros. Elas não poem ser escritas nem através e funções e probabiliae nem através e funções e ensiae. Exemplo A variável aleatória o exemplo 3.5 é uma variável mista.

16 12 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO P(x 1 < X, < x 2 ) f x P(x 3 < X, < x 3 ) x 1 x 2 x 3 x 4 x Figura 7. Os valores e X em (x 3, x 4 ) são menos frequentes que aqueles em (x 1, x 2 ). A partir a função e istribuição, poem ser efinias outras funções que também são e interesse a matemática atuarial. Definição Chamaremos e função e sobrevivência e uma variável aleatória X à função S X (x) = P(X > x) = 1 F X (x). A função taxa e falha acumulaa ou função e risco é efinia por H X (x) = log S X (x). Se X for uma variável aleatória contínua, utiliza-se também a função taxa e falha, a h X (x) = H X(x) = S X (x) S X (x), naqueles pontos x R one F X seja iferenciável. Neste caso, vale aina e H X (x) = x S X (x) = exp h X (y)y x λ X (t)t. a também chamaa e força e mortaliae na teoria os seguros e via Na literatura matemática utiliza-se muito a notação F X para a função e sobrevivência S X. As funções e sobrevivência e taxa e falha são muito utilizaas quano X representa o

17 4. ALGUMAS ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS 13 tempo e via, seja e uma pessoa ou e um prouto, com uração limitaa. Neste caso, S X (x ) seria a probabiliae a pessoa (ou o prouto) viverem mais e x uniaes e tempo. λ X (x ) representa a ensiae e frequência relativa e falha na iae x, ao que houve sobrevivência até a iae x. Exemplo As funções e sobrevivência nas variáveis os exemplos 3.3, 3.4 e 3.5 são, respectivamente 1, x <,, 4, x < 1, S 1 (x) =, 25, 1 x < 2,, 17, 2 x < 3,, x 3; e S 2 (x) = { e x 2, x >, 1, x S 3 (x) = {, 2e x 1, x, 1, x <. No caso o exemplo 3.4, existe também a função taxa e falha { 1 h 2 (x) = 2, x > ;, x. A função e sobrevivência é mais comumente usaa para variáveis aleatórias com valores não negativos. Neste caso é comum consierar S X como função efinia somente nestes valores. No exemplo acima particularmente, escreveríamos S 2 (x) = e x 2 e λ2 (x) = 1 2, x >. Vimos que as funções e istribuição, e probabiliae, e ensiae e e sobrevivência caracterizam totalmente a istribuição as variáveis aleatórias. Entretanto, elas não permitem, por exemplo, fazer comparações rápias entre uas variáveis aleatórias. Para isso, muitas vezes é melhor usar estatísticas escritivas, algumas as quais escreveremos a seguir 4. Algumas estatísticas escritivas Às vezes é interessante conhecer, por exemplo, o tempo méio entre uas reclamações feitas numa eterminaa carteira ou o valor méio pago como inenização evio a reclamações.

18 14 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Definição 4.1. O momento e orem k, k = 1, 2..., e uma variável aleatória X é o valor esperao a k-ésima potência esta variável, assumino que ele existe. Ele é enotao por E(X k ) ou µ k e é calculao como µ k = x k i p X (x i ), i se X for iscreta e se X for contínua. + µ k = x k f X (x)x, Quano k = 1, E(X) é chamao e esperança ou valor esperao e X e será enotao como µ X. Exemplo 4.2. No exemplo 3.3, poemos calcular µ X = E(X) =, 6 + 1, , 8 + 3, 17 =, 82. No exemplo 3.4, a variável X é contínua, portanto evemos fazer µ X = + x 2 e x 2 x = 2, enquanto no exemplo 3.5, X é uma variável mista e sua esperança e calculaa como 1 µ X =, 8 + +, 2xe x 1 x = 2. Definição 4.3. O momento central e orem k, k = 1, 2..., e uma variável aleatória X é a esperança a k-ésima potência a iferença entre X e sua méia e é enotao por µ k = E[(X µ X ) k ], quano este número existe. O seguno momento central é comumente chamao e variância e enotao por A sua raiz quaraa σ X = [V ar(x)] 1 2 σ 2 X = V ar(x) = E[(X µ X ) 2 ]. é chamaa e esvio parão. Nos cursos e cálculo e probabiliaes, prova-se a seguinte fórmula muito útil para o cálculo a variância σ 2 X = V ar(x) = E(X 2 ) µ 2 X. O esvio parão é uma meia e quanto a probabiliae é espalhaa sobre os valores possíveis a variável X em relação à sua méia µ X. Para consierar esta variação em termos relativos, efine-se o coeficiente e variação. 1 Na seção??? isso ficará claro

19 5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS E DE CUMULANTES 15 Definição 4.4. A razão entre o esvio parão e a esperança e uma variável X é chamaa e coeficiente e variação e X e enotaa por CV = σ X µ X Quano seja interessante ressaltar a variável X cujo coeficiente e variação estamos calculano, o enotaremos como CV (X). O nome esvio parão, ao à quantiae σ X, correspone ao fato a variável Z = X µ X σ X estar paronizaa no sentio e que ela é aimensional e sempre teremos E(Z) = e V ar(z) = E(Z 2 ) = 1. Os momentos e orem superior esta variável Z epenem e X. Alguns eles são utilizaos como estatísticas escritivas. Definição 4.5. Chamaremos e coeficiente e assimetria a variável aleatória X a quantiae [ (X ) ] 3 µx γ X = E Não é ifícil ver que para variáveis aleatórias X com istribuição simétrica, ou seja, quano P(X x) = P(X x), para too x R, o coeficiente γ X =. No entanto, é possível ter γ X = sem que X tenha istribuição simétrica. Em geral um valor positivo e γ X inica que as probabiliaes à ireita a méia tenem a ser atribuías a valores mais afastaos a méia que aqueles à sua esquera. 5. Função geraora e momentos e e cumulantes Em geral, calcular os momentos e uma istribuição poe ser bastante complicao. Muitas vezes é mais fácil fazê-lo utilizano a chamaa função geraora e momentos. Definição 5.1. A função geraora e momentos e uma variável aleatória X é a função M X (t) efinia por M X (t) = E [ e tx], para aqueles valores e t para os quais esta expressão esteja bem efinia. Se X for contínua com ensiae f X, então + M X (t) = e tx f X (x)x. Se X for iscreta com função e massa e probabiliae p X, então M X (t) = i σ X e tx i p X (x i )x. Pela efinição, fica claro que quano t =, M X (t) sempre está efinia e vale M X () = 1. Neste texto, estaremos mais interessaos em variáveis aleatórias X que tomam valores não negativos. Isso é o que acontece, por exemplo, quano X representa a quantiae e reclamações feitas por seguraos associaos em uma eterminaa carteira ao longo e um ano ou quano X correspone aos valores as inenizações iniviuais que uma seguraora tem que pagar. Ocorre

20 16 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO que, se X é não negativa, M X (t) está efinia para too t < h, com h, seno que h poe tomar o valor +. Se h >, izemos que X tem caua leve e, nesse caso, o resultao a seguir fornece uma maneira simples e calcular os momentos e X. Proprieaes 5.2. Suponha que a função geraora e momentos M X e uma variável aleatória X esteja efinia numa vizinhança e t =. Então existem os momentos e X e toas as orens e vale E[X n ] = M X (t) = M (n) X t (). t= Exemplo 5.3. No exemplo 3.7, foi obtia a função e massa e probabiliae e uma variável X representano o número e reclamações Poemos escrever então M X (t) = E[e tx ],, 6, x = ;, 15, x = 1; p X (x) =, 8, x = 2;, 17, x = 3. = e t, 6 + e t 1, 15 + e t 2, 8 + e t 3, 17 =, 6 +, 15e t +, 8e 2t +, 17e 3t. M X (t) está efinia para too t R e portanto aqui h = +. Derivano em relação a t, obtemos M X(t) =, 15e t +, 16e 2t +, 51e 3t e substituino o valor t =, temos que µ X = M X () =, 82, que coincie com o valor calculao no exemplo 4.2. Exemplo 5.4. No exemplo 3.4, a variável aleatória X representa o tempo entre uas ocorrências consecutivas e sinistros. Vimos, no exemplo 3.9, que a sua ensiae satisfaz f X (x) = 1 2 e x 2, x >. Portanto, M X (t) = E[e tx ], = + = etx e x 2 x + e x( 1 2 t) x = e x( t) t. 1 = 1 2t

21 5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS E DE CUMULANTES 17 ese que t < 1 2, ou seja h = 1 2. Derivano M X (t), obtemos M X(t) 2 = (1 2t) 2 e portanto, µ X = M X () = 2, que foi o valor a esperança que calculamos para X no exemplo 4.2. Exemplo 5.5. Vimos que a variável X que, no exemplo 3.5, representava valores e inenizações agregaas era uma variável mista. Apesar e não termos fornecio uma fórmula explícita para o cálculo a função geraora e momentos no caso este tipo e variáveis, poemos proceer e forma similar a como fizemos no exemplo 4.2 M X (t) = E[e tx ], = e t., =, =, t =, e tx e x 1 x +, 2 1 1t e x( 1 1 t) x e x( 1 1 t) + sempre que t < 1 1 = h. Poemos conferir que M X () =, 8 +, 2 = 1 e, além isso, M X(t) = 2 (1 1t) 2, portanto, µ X = E[X] = M X () = 2, como foi obtio no final o exemplo 4.2. Outra proprieae muito útil a função geraora e momentos é que, sob conições bastante gerais, ela etermina a istribuição e X. Em outras palavras, se uas variáveis aleatórias têm a mesma função geraora e momentos, elas evem ter a mesma istribuição. Exemplo 5.6. Suponha que X é uma constante, por exemplo X =. Então M X (t) = 1, para too t R. Suponha agora que a sua única informação sobre a istribuição e uma outra variável aleatória Y é que a sua função geraora e momentos satisfaz M Y (t) = 1, para too t R. Ou seja, as funções geraoras e momentos e X e e Y coinciem. Assim, poemos concluir que as istribuições e X e e Y coinciem e, portanto, Y também será igual à constante.

22 18 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Exemplo 5.7. Suponha que uma variável Y tenha função geraora e momentos M Y (t) =, 8 +, 2 1 1t, t < 1 1. Então Y é uma variável aleatória mista cuja função e istribuição é a função F 3 o exemplo 3.5. Algumas proprieaes interessantes a função geraora e momentos são listaas a seguir. Proprieaes a função geraora e momentos (1) M X (t) >, para too t one M X (t) esteja efinio; (2) Se X, então M X (t) e M X é uma função estritamente crescente no seu omínio e efinição a menos que X seja a constante, caso em que M X (t) =, para too t; (3) M X (t) > para too t tal que M X(t) esteja efinio, a menos que X seja a constante, caso em que M X (t) = para too t; (4) M X () = 1 e o coeficiente angular e M X no ponto t = é igual a µ X ; (5) Se a, b R, temos M ax+b (t) = e bt M X (at). M X M X t t Figura 8. M X com X não negativa Figura 9. M X com X não positiva Existem outros valores numéricos que escrevem as características as istribuições e probabiliae. Eles são chamaos cumulantes e estão estreitamente relacionaos com os momentos. Estes valores são obtios a partir a função geraora e cumulantes, efinia a seguir.

23 5. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS E DE CUMULANTES 19 M X t Figura 1. M X com X tomano valores negativos e positivos Definição 5.8. A função geraora e cumulantes e uma variável aleatória X é a função ψ X efinia por ψ X (t) = ln M X (t), para too t para o qual esta expressão faça sentio. Se existir a j-ésima erivaa e ψ X no ponto t =, efinimos o j-ésimo cumulante κ j e X como κ j = ψ (j) X (). Quano for preciso especificar que estamos nos referino ao cumulante a variável aleatória X escreveremos κ j (X). Uma proprieae importante os cumulantes é que para j = 1, κ 1 coincie com a méia e para j = 2 e j = 3, eles coinciem com os momentos centrais. Vejamos como obter isto no caso j = 2. Suponha que X seja uma variável aleatória tal que M X seja uas vezes iferenciável numa vizinhança e t =. Derivano uas vezes a função geraora e cumulantes, obtemos: ψ X(t) = M X (t) M X (t) ψ X(t) = M X (t).m X(t) [M X (t)]2 [M X (t)] 2.

24 2 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Substituino agora o valor t = e usano que M X () = 1, M X () = EX e M X (t) = EX2, vemos ψ X() = M X () M X () = EX ψ X() = M X ().M X () [M X ()]2 [M X ()] 2 = EX2.1 [EX] = V ar(x). Essa e outras proprieaes a função geraora e cumulantes são resumias a seguir. Proprieaes a função geraora e cumulantes (1) Sob conições bastante gerais, ψ X caracteriza a istribuição e X. (2) κ j = ψ (j) X () = Se j 4, em geral não vale κ j = E[(X µ) j ] (3) ψ ax+b (t) = ψ X (at) + bt., j = ; EX, j = 1; V ar(x), j = 2; E[(X µ) 3 ], j = 3. As proprieaes a função geraora e cumulantes poem ser obtias a partir aquelas a função geraora e momentos. 6. Vetores aleatórios Muitas vezes as quantiaes aleatórias aparecem na prática relacionaas com outras. Por exemplo, parece bastante razoável analisar a frequência e ocorrência e incênios florestais junto com a intensiae e frequência as precipitações e número e acientes e trânsito junto com as conições o tempo. Nestes casos interessa não somente o comportamento iniviual essas quantiaes, mas também as relações entre elas e por isso serão analisaas juntas, formano um vetor. Quantiaes vetoriais associaas a experimentos aleatórios serão chamaas e vetores aleatórios. Daas uas variáveis aleatórias X e Y quaisquer, chamaremos e função e istribuição conjunta e X e Y ou função e istribuição o vetor (X, Y ) à função e uas variáveis aa por F X,Y (x, y) = P(X x, Y y). Se X e Y forem variáveis iscretas, efine-se a função e massa e probabiliae conjunta p X,Y como p X,Y (x i, y j ) = P(X = x i, Y = y j ), one x i e y j são valores possíveis e X e e Y, respectivamente. As funções e massa e probabiliae e X e Y poem ser obtias a partir a conjunta como mostrao a seguir, p X (x i ) = j p X,Y (x i, y j ), p Y (y j ) = i p X,Y (x i, y j ).

25 6. VETORES ALEATÓRIOS 21 Neste contexto, as istribuições e probabiliae e X e Y são chamaas e istribuições marginais. Outras istribuições e interesse são as seguintes. Fixemos um valor possível para Y, y j. Então poemos calcular p X Y =yj (x i ) = P(X = x i Y = y j ) = P(X = x i, Y = y j ) P(Y = y j ) = p X,Y (x i, y j ). p Y (y j ) p X Y =yj é chamaa e função e probabiliae conicional e X ao que Y = y j. Muitas vezes enota-se por X Y = y j à istribuição corresponente e escreve-se por exemplo, X Y = y j Bernoulli(, 2). A corresponente esperança é enotaa como E(X Y = y j ), ou seja, E(X Y = y j ) = i x i p X Y =yj (x i ). Observe que para caa y j obtemos um valor E(X Y = y j ), ou seja, poemos consierar a função g(y j ) = E(X Y = y j ) e poeríamos consierar então a variável aleatória g(y ). Esta variável é chamaa e esperança conicional e X aa Y e enotaa por E(X Y ). É importante compreener que E(X Y = y j ) é sempre um número, entanto que E(X Y ) é uma variável aleatória (efinia como seno uma função a variável Y ). Usano a lei a probabiliae total e o teorema e Bayes, respectivamente poemos obter p X (x i ) = j p X Y =yj (x i )p Y (y j ) p X Y =yj (x i ) = p Y X=x i (y j )p X (x i ) p Y (y j ) Uma proprieae essencial a esperança conicional é a seguinte. Proposição 6.1. E(E(X Y )) = EX

26 22 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Demonstração. Seja g(y) = E(X Y = y j ). Então calculamos E(E(X Y )) = E(g(Y )) = g(y j )p Y (y j ) j = j = j = j = i E(X Y = y j )p Y (y j ) ( ) x i p X Y =yj (x i ) p Y (y j ) i x i p X,Y (x i, y j ) i x i p X (x i ) = EX. Se a F X,Y for iferenciável salvo em uma quantiae enumerável e pontos, então chamaremos e função e ensiae conjunta e X e Y à função f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) As funções e ensiae marginais e X e Y calculam-se como f X (x) = f X,Y (x, y)y, f Y (y) = f X,Y (x, y)x. Para y tal que f Y (y) >, a istribuição conicional e X aa Y = y será aquela com ensiae cuja esperança é f X Y =y (x) = f X,Y (x, y) f Y (y) E(X Y = y) = xf X Y =y (x)x. A esperança e X aa Y é a variável aleatória E(X Y ) = g(y ), one g(y) = E(X Y = y). A proprieae e E(X Y ) apresentaa na proposição 6.1 vale também neste caso e a prova é similar. Formulações análogas a lei a probabiliae total e o teorema e Bayes são f X (x) = + f X Y =y (x)f Y (y)y f X Y =y (x) = f Y X=x(y)f X (x) f Y (y)

27 6. VETORES ALEATÓRIOS 23 Se tivermos no caso iscreto que p X Y =yj (x i ) = p X (x i ), para toos os valores possíveis x i e y j ou, no caso contínuo que f X Y =y (x) = f X (x), poemos interpretar que informações aicionais sobre o valor e Y não afetam a preição que possamos fazer sobre o valor e X. Isto é a base a noção e inepenência. Dizemos que uas variáveis aleatórias são inepenentes se a sua função e istribuição conjunta fatora no prouto as marginais. Se X e Y são iscretas, elas são inepenentes se e somente se p X,Y (x i, y j ) = p X (x i )p Y (y j ). e se formarem um vetor contínuo, X e Y são inepenentes se e somente se f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y). Informalmente, poemos izer que uas variáveis aleatórias são inepenentes se o conhecimento o valor e uma elas não afeta a istribuição e probabiliae a outra. Caso contrário, as variáveis são epenentes. Por exemplo, suponha que as variáveis S e N representam, respectivamente, inenização agregaa e número e reclamações corresponentes a uma eterminaa carteira e uma empresa seguraora urante um eterminao períoo e tempo. Então é claro que se o número N e inenizações reportaas for grane, o valor total as inenizações (S) everá ser grane também. Resulta natural pensar que S e N evem ser variáveis aleatórias epenentes. Mais formalmente, izemos que uas variáveis X e Y são inepenentes se as suas funções e istribuição fatoram, ou seja, se F X,Y (x, y) = F X (x)f Y (y), para toos x, y R. Se X e Y são iscretas, a inepenência equivale a p X,Y (x i, y j ) = p X (x i )p Y (y j ), para toos os valores possíveis e x i e y j. Se X e Y formam um vetor contínuo então a inepenência equivale a f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), para toos (x, y) R 2. Observe que quano as variáveis X e Y são inepenentes, poemos obter a istribuição conjunta a partir as marginais. As variáveis aleatórias inepenentes possuem algumas outras características interessantes. Definição 6.2. Sejam f e g uas funções e ensiae. Chamamos e convolução e f e g à função e ensiae aa por f g(x) = f(x y)g(y)y = f(y)g(x y)y R Se f 1, f 2,..., f n são n funções e ensiae, efinimos a convolução recursivamente como f 1 f 2... f n = f 1 (f 2 f 3... f n ). R

28 p Y (4) = p X ( 2) + p X (2) = AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Proposição 6.3. Se X 1,..., X n são variáveis contínuas e inepenentes, então f X1 +X X n = f X1 f X2... f Xn. Em particular, se as variáveis X 1, X 2,..., X n são também ienticamente istribuías com ensiae f, vale f X X n = f f... f } {{ } = f n. n vezes Outras proprieaes úteis as variáveis aleatórias inepenentes aparecem resumias a seguir Proprieaes Sejam X 1, X 2,..., X n variáveis aleatórias inepenentes, então (1) M X X n (t) = M X1 (t)m X2 (t) M Xn (t), (2) ψ X1 +X X n (t) = ψ X1 (t) + ψ X2 (t) + + ψ Xn (t), (3) κ j (X 1 + X X n ) = κ j (X 1 ) + κ j (X 2 ) + + κ j (X n ), assumino que toos os valores acima estejam bem efinios. 7. Construção e novas istribuições 7.1. Transformações e variáveis aleatórias. Com frequência ocorre que uma variável aleatória e interesse poe ser representaa como função e uma outra cuja istribuição conhecemos. Para fixar iéias suponha que temos uma variável Y aa pela expressão Y = g(x), one g enota alguma função escalar efinia sobre os reais e X é uma variável aleatória com istribuição conhecia. Precisamos e métoos para encontrar a istribuição e Y. Se X é iscreta, o problema é bastante simples pois neste caso temos que p Y (y j ) = P(Y = y j ) = P(g(X) = y j ) = p X (x i ). {i:g(x i )=y j } Exemplo 7.1. Suponha que X tem a função e massa e probabiliae 1 6, i = 2; 1 p X (i) = 12, i = 1; 1 2, i =. Então Y = X 2 é uma variável aleatória que toma os valores, 1 e 4 com probabiliaes p Y () = p X () = 1 2, p Y (1) = p X ( 1) + p X (1) = 1 6, Se X for contínua, o problema é mais complicao, pois Y = g(x) poe ser iscreta, contínua ou mesmo e um outro tipo.

29 7. CONSTRUÇÃO DE NOVAS DISTRIBUIÇÕES 25 Exemplo 7.2. Consiere uma variável X N(, 1). Consiere a função g(x) = sinal(x) que a caa x R faz corresponer o seu sinal, ou seja 1, x > ; sinal(x) =, x = ; 1, x <. Então Y = sinal(x) toma os valores 1 e 1, ambos com probabiliae 1/2, seno portanto uma variável aleatória iscreta. Na próxima seção veremos um exemplo e uma função e uma variável aleatória contínua que é o tipo misto. De forma geral sabemos que F Y (y) = F g(x) (y) = P(g(X) y) = f X (x)x,. Se g for crescente, por exemplo, teremos que F Y (y) = g 1 (y) f X (x)x. {x:g(x) y} Em alguns casos conseguimos garantir que Y seja também contínua Transformações lineares. Suponha que Y = ax + b, com a e b R. Se a > temos que F Y (y) = P(Y y) = P(aX + b y) ( = P X y b ) a ( ) y b = F X. a Como F Y é uma função iferenciável, obtemos que Y é contínua com função e ensiae f Y (y) = 1 ( ) y b a f X. a Em geral, se a vale f Y (y) = 1 a f X ( y b Exemplo 7.3. Seja X U(, 1) e seja Y = ax + b, a >, então f Y (y) = 1 ( ) { y b 1 = a, b < y < a + b; a a, caso contrário. Ou seja, Y U(b, a + b). a ).

30 26 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Transformações e potência. Suponha que Y = X n, one n é um inteiro positivo. Se n for ímpar teremos Derivano F Y obtemos que F Y (y) = P(Y y) = P(X n y) = P(X y 1/n = F X (y 1/n ). f Y (y) = 1 n y1/n 1 f X (y 1/n ). Se n for par, teremos que X n e portanto F Y (y) = se y. Se y > vale Portanto, se y >, [X n n] = [ y 1/n X y 1/n ]. F Y (y) = P(X n y) = P( y 1/n X y 1/n ) = F X (y 1/n ) F X ( y 1/n ) f Y (y) = [ ] F X (y 1/n ) F X ( y 1/n ) y = 1 [ ] n y1/n 1 f X (y 1/n ) + f X ( y 1/n ). Em particular, para a transformação Y = X 2 obtemos f Y (y) = 1 2y 1/2 [f X( y) + f X ( y)], y. Exemplo 7.4. Seja X N(, 1) e seja Y = X 2. Então se y > [ 1 1 f Y (y) = e y/2 + 1 ] e y/2, 2π 2π ou seja, Y χ 2 (1). = 2y 1/2 1 2π y 1/2 e y/2, Transformações monótonas e iferenciáveis. Utilizano o métoo usao nos casos anteriores é possível provar o seguinte resultao. Proposição 7.5. Seja Y uma variável aleatória com ensiae f X. Suponha que g é uma função estritamente monótona e iferenciável, então a variável aleatória Y = g(x) tem função e ensiae aa por { f f Y (y) = X (g 1 (y)) y g 1 (y), se y = g(x), para algum x R;, caso contrário.

31 7. CONSTRUÇÃO DE NOVAS DISTRIBUIÇÕES 27 Exemplo 7.6. Seja X U(, 1) e seja Y = ln(x). A função g(x) = ln(x) é iferenciável e estritamente ecrescente no intervalo (, 1) e P(X (, 1)) = 1, portanto, poemos aplicar o resultao acima. Como y g 1 (y) = e y, obtemos que f Y (y) = e y, se e y (, 1), ou seja, se y > e concluimos que Y exp(1). Vimos que e maneira geral o cálculo a istribuição a variável Y = g(x) poe ser bastante complicao. Por isso seria muito conveniente ispor e alguma ferramenta que simplifique o cálculo os seus momentos. Proposição 7.7. Se Y = g(x) tiver valor esperao finito, seno X uma variável aleatória contínua, então E[g(X)] = g(x)f X (x)x. Exemplo 7.8. Seja Y exp(1) e seja X = e Y. Calculemos E(X). E(X) = R e 2y y = 1 2. Observe que não precisamos eterminar a istribuição e X para fazer os nossos cálculos. No entanto, esta istribuição não é ifícil e achar. Você consegue fazé-lo? (Sugestão: Veja o exemplo 7.6) Misturas e istribuições compostas. Definição 7.9. Uma variável aleatória X é chamaa e mistura iscreta se a sua função e istribuição aota a forma F X (x) = p k F Xk (x), (7.2) k=1 para alguma sequência e variáveis aleatórias {X k } k 1 e alguma sequência {p k } k 1 e números positivos tais que p k = 1. k=1 Ela será chamaa e mistura contínua se + F X (x) = F Xλ (x)f(λ)λ, (7.3) para alguma família e variáveis aleatórias {X λ } λ I, I R e para alguma função e ensiae f. No primeiro caso, izemos que X é uma mistura iscreta e variáveis {X k } k 1 com os pesos a mistura {p k } k 1 ou, equivalentemente, que F X é uma mistura as funções e istribuição {F Xj } j 1, com pesos e mistura {p k } k 1. No seguno caso, izemos que X é uma mistura

32 28 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO contínua as variáveis {X λ } λ I com pesos e mistura representaos pela função e ensiae f. Exemplo 7.1. Consiere um contrato e seguros no qual se ineniza o segurao pelo valor total e sua pera (L) naa primeira vez que ela ocorre urante um períoo e tempo fixao. Chamemos e X o valor a inenização que o segurao recebe nesse períoo. Então teremos que {, se não há sinistro no períoo; X = L, se há sinistro no períoo. Utilizano a fórmula a probabiliae total 2.4, poemos calcular a istribuição e X. Suponhamos que a probabiliae e haver sinistros urante o períoo é igual a p e enotemos A = há sinistro no períoo. Suponhamos também que X toma valores inepenentemente a ocorrência e sinistros no períoo. Então, se x >, F X (x) = P(X x) = P(X x A)P(A) + P(X x A C )P(A C ) = P(L x A) p + P( x A C ) (1 p) = pf L (x) + (1 p)f (x). Ou seja, X é uma mistura iscreta e variáveis L e a constante, com pesos p e 1 p respectivamente. Se L for contínua, então X será uma variável mista. A variável aleatória o exemplo 3.5 é uma variável esse tipo. As variáveis e tipo mistura são muito utilizaas na teoria o risco. Esse tipo e moelo é aequao em situações nas quais o valor a variável X epene e um fator subjacente que correspone a vários fenômenos que poem ocorrer com probabiliaes esconhecias. Por exemplo, o número e acientes automobilísticos poe epener as conições meteorológicas, e negligência o motorista ou e sinalização ineficiente. Esse efeito subjacente também é aleatório, o que leva a pensar que também possa ser representao através e uma variável aleatória. Se X for uma mistura iscreta e o efeito subjacente for moelao por uma variável iscreta Λ, tomano os valores inteiros não negativos, com as probabiliaes p k, k N, ou seja, p Λ (k) = P(Λ = k) = p k, k N. A istribuição F X Λ=k moela o comportamento e X sob o regime no qual λ = k. Se X k X Λ = k teremos que F X (x) = F X Λ k (x)p Λ (k) = k=1 F Xk (x)p Λ (k). (7.4) e obtemos (7.2). Se o efeito Λ for moelao como uma variável aleatória contínua, teremos F X (x) = one caa X λ X Λ = λ. + F X Λ=λ (x)f Λ (λ)λ = k=1 + F Xλ (x)f Ω (λ)λ (7.5)

33 7. CONSTRUÇÃO DE NOVAS DISTRIBUIÇÕES 29 Nos ois casos a variável Λ é chamaa e variável misturaora e as variáveis X λ (ou as istribuições F Xλ ) são as variáveis (ou as istribuições) misturaas. Geralemnte as istribuições misturaas são e uma mesma família paramétrica. Fala-se por exemplo e mistura e normais, sem fazer menção ao tipo e variável misturaora Λ. Muitas vezes as istribuições misturaas têm somente um parâmetro λ, nesse caso Λ representa uma aleatorização o parâmetro. Exemplo Uma seguraora classifica os seus seguraos em ois grupos: baixo risco e alto risco. Em ambos, o valor e uma inenização segue uma istribuição exponencial com parâmetro λ, seno que λ = 1 para inivíuos classificaos como baixo risco e λ = 1 para inivíuos 2 classificaos como alto risco. Obtenha a istribuição o valor a inenização para novos seguraos (que aina não foram classificaos), assumino que 2% as pessoas possuem características o grupo e alto risco e 8% o grupo e baixo risco. Solução: Chamemos e X o valor a inenização reclamaa ( ) por um novo segurao. A variável Λ 1 com função e probabiliae p Λ (1) =, 8 e p Λ =, 2, representa a classificação o 2 segurao em algum os ois grupos e risco. Além isso, sabemos que X Λ = 1 exp(1) e X Ω = 1 ( ) 1 2 exp. Portanto, se x >, teremos 2 ( ) 1 f X (x) = f X Λ= 1 (x) p Λ + f 2 2 X Λ=1 (x) p Λ (1) = 1 2 e x 2, e 1x, 8 =, 1 e x e 1x. Vejamos como obter iferentes características e uma mistura em termos as características as istribuições misturaas e os pesos a mistura.

34 3 1. AS PROBABILIDADES E A TEORIA DO RISCO Proposição Seja X uma mistura iscreta as variáveis {X j } j 1 com pesos {p j } j 1, então (1) Se toas as variáveis {X j } j 1 possuírem k-ésimo momento finito, X também o possuirá, valeno EX k = p j EXj k ; j=1 (2) Se toas as variáveis {X j } j 1 possuírem variância finita, então V ar(x) também será finita e teremos V ar(x) = p j V ar(x j ) + (EX EX j ) 2 p j ; j=1 (3) Se toas as funções geraoras e momento M Xj, j 1 existirem e estiverem efinias no intervalo (a, b), então o mesmo ocorre para M X e vale M X (t) = p j M Xj (t), (a, b). j=1 Exemplo As inenizações (em milhões e reais) por incênios florestais que uma certa seguraora eve assumir se comportam a seguinte forma: Períoo e seca Períoo e chuva Valor a inenização Probabiliae Valor a inenização Probabiliae 5,1 5,3 2,1 2,6 1,8 1,1 Assumino que os períoos e seca e chuva têm a mesma uração, calcule a esperança e a variância a variável X: valor a inenização ocorria ao longo e um ano. Solução: Chamemos e X 1 a variável aleatória relativa á inenização paga por um incênio ocorrio no períoo e seca e e X 2 à corresponente ao períoo e chuva. Então, e j=1 EX 1 = 5, 1 + 2, 1 + 1, 8 = 82, 5 EX 2 = 5, 3 + 2, 6 + 1, 1 = 23, 5 V ar(x 1 ) = (5 82, 5) 2, 1 + (2 82, 5) 2, 1 + (1 82, 5) 2, 8 = 1236, 25 V ar(x 2 ) = (5 23, 5) 2, 3 + (2 23, 5) 2, 6 + (1 23, 5) 2, 1 = 695, 25. Para uma inenização ocorria urante um ano, temos probabiliae 1 2 períoo e chuva e, portanto, p X (x) = p X 1 (x) + p X2 (x), 2 e ela ter ocorrio no

35 one x = 5, x = 2 ou x = 1. Aplicano a proposição 7.12, teremos que 7. CONSTRUÇÃO DE NOVAS DISTRIBUIÇÕES 31 EX = 1 2 EX EX 2 = 53 V ar(x) = 1 2 V ar(x 1) V ar(x 2) (EX 1 EX) (EX 2 EX) 2 = 1 2 (1236, , 25) (82, 5 53)2 + 1 (23, 5 53)2 2 = 14, 875 Exemplo Suponha que X é mistura e uma variável constante X 1 = a e uma outra variável X 2 exp(β), com pesos p e 1 p respectivamente. Calcule a função geraora e momentos e X. Solução: M X (t) = p M X1 (t) + (1 p) M X2 (t) = p e at β + (1 p) β t, para t < λ. Observe que o omínio e M X será a interseção os omínios as funções geraoras e momentos as variáveis misturaas. Resultaos análogos aos apresentaos para misturas iscretas na proposição 7.12 também valem no caso contínuo. Proposição Seja X uma mistura contínua e variáveis {X λ } λ I, com pesos representaos pela função f, então (1) Se caa X λ, λ I possuir k-ésimo momento finito, X também o possuirá, valeno EX k = + EX k λ f(λ)λ, (2) Se caa X λ, λ I possuir variância finita, então V ar(x) também será finita e V ar(x) = + V ar(x λ )f(λ)λ + + (EX λ EX) 2 f(λ)λ, (3) Se toas as funções geraoras e momentos M Xλ, λ I existirem e estiverem efinias no intervalo (a, b), então o mesmo ocorre para M X e vale M X (t) = + M Xλ (t)f(λ)λ, t (a, b).