APLICAÇÃO DA ESTÍSTICA DESCRITIVA PARA O DIMENSIONAMENTO DE BAIAS DE CRUZAMENTOS EM T : ESTUDO DE CASO EM UM PÓLO GERADOR DE VIAGEM.

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1 APLICAÇÃO DA ESTÍSTICA DESCRITIVA PARA O DIMENSIONAMENTO DE BAIAS DE CRUZAMENTOS EM T : ESTUDO DE CASO EM UM PÓLO GERADOR DE VIAGEM. Harlenn dos Santos Lopes 1, Bruno de Oliveira Rocha 1, Francisco Arcelino de Araújo Correa 1 1) Departamento de Engenharia de Transportes - Universidade Federal do Ceará. harlenn@det.ufc.br, brunorocha@det.ufc.br, arcelino@det.ufc.br Resumo: A instalação de Pólos Geradores de Viagens (PGV's) sem a realização de estudos que possam qualificar e quantificar os impactos gerados com sua implantação pode levar a uma ineficiente gerência de operações, gerando, conseqüentemente, uma ineficaz segurança e fluidez no tráfego de veículos. Este trabalho consiste na análise do comportamento de um cruzamento em T, entre uma baia de conversão e uma via principal, sendo os veículos da baia atraídos por um Pólo Gerador de Viagem. A análise é fundamentada pelos métodos disponíveis na estatística descritiva. Para o tratamento dos dados, são analisadas as taxas de chagadas, as probabilidades de chegadas de veículos em determinados espaços de tempos, simulando a situação atual, com ausência de semáforo e gerando cenários comparativos supondo a instalação de um semáforo no local. O tamanho da baia é dimensionado para todas as situações, subsidiando a tomada de decisão e a escolha da alternativa mais cabível para o sistema. 1

2 1. INTRODUÇÃO Define-se com Pólo Gerador de Viagens (PGV) como construções urbanas que, pela natureza das atividades ali realizadas, atraem grande quantidade de deslocamentos de pessoas ou cargas. O seu controle torna-se importante como forma de minimizar ou eliminar os impactos indesejáveis que possam ter sobre o transporte e o trânsito da sua área de influência e que são causas importantes das más condições de circulação nas grandes cidades brasileiras (ANTP, 2005). Os Pólos Geradores de Viagens são entendidos aqui como a edificação permanente ou transitória que, pela concentração da oferta de bens ou serviços, gere grande afluxo de população, com substancial interferência no tráfego do entorno. São exemplos de PGV s: shoppings centers, escolas, aeroportos, boates, supermercados, bancos, hospitais etc. A instalação destes sem a realização de estudos que possam qualificar e quantificar os impactos gerados com a implementação pode levar a uma ineficiente gerência de operações, sendo conseqüente a ineficaz segurança e fluidez no tráfego de veículos. Neste estudo considerou-se o cruzamento em T, o qual dá acesso a um grande PGV, conforme mostrado na Figura 1. Neste cruzamento, a ausência de uma baia adequada para o estoque provisório de veículos até o momento da conversão ao PGV gera problemas ao tráfego da via, visto que sua pista à esquerda é tomada pelos veículos que necessitam realizar a conversão. Estudos a priori mostraram que, durante a hora de pico o volume de veículos que desejam efetuar a conversão para entrar no PGV é, em média, 180 veículos por hora (vph), e o volume médio de veículos que conflita com essa conversão, ou seja, que passa na via principal, é em média, 420 vph. O tempo necessário para um veículo converter à esquerda em condições de segurança é estimado em, no mínimo, 4,5 segundos. Análises realizadas anteriormente consideram que a distribuição de Poisson é adequada para representar a chegada dos veículos na baia de conversão, assim como a chegada dos veículos na via principal. Figura 1: Cruzamento de acesso ao PGV 2. METODOLOGIA Para a análise em questão definiu-se como indicador o tamanho máximo atingido pela fila de veículos que chegam para realizar a conversão, assumindo como o critério de decisão a probabilidade de a baia ser excedida em, no máximo 10%. Considerou-se primeiramente a situação atual, com a ausência de semáforo no cruzamento das vias, sendo estudadas as distribuições de chegada de veículos na baia de conversão, de passagem dos veículos na via principal e dos intervalos de passagem entre veículos na via principal. É realizada uma análise da conversão através dos conceitos de Teoria das Filas, visando identificar o número máximo de veículos na fila para melhor dimensionamento da baia. 2

3 O propósito deste estudo nesta primeira etapa é verificar o tamanho da baia e decidir se o número de intervalos é sufientemente seguro para que os veículos realizem a conversão. Para o cálculo do comprimento L referente ao tamanho da baia, o valor adotado para o comprimento de um veículo é igual a 3 metros e a distância segura entre dois veículos igual a 1,5 metros. Posteriormente é realizada uma análise de cenários (modelos A, B, C, D e E) com a presença de semáforo no cruzamento. Nesta fase, este estudo tem o propósito de analisar o comportamento do cruzamento em diversos cenários, bem como dimensionar o comprimento da baia para os modelos. Nesta etapa, fez-se o uso das ferramentas de distribuição de probabilidade, utilizando as distribuições Binomial e Poisson. Segundo Montgomery (2003), esta última é uma importante distribuição de probabilidade discreta que é muito usada para modelar a ocorrência de eventos aleatórios dentro de um intervalo, de tempo ou de espaço, especificado. Tal característica pode ser bem apropriada às relações que descrevem as interações existentes no tráfego. Na construção do modelo A, considerou-se o modelo como experimento de Bernoulli, sendo considerado sucesso a chegada de um determinado veículo no tempo de vermelho do semáforo. A partir de então, procurouse simular outros modelos também caracterizados pelo experimento de Bernoulli, porém, caracterizando como sucesso a chegada de um determinado veículo nos intervalos de 2; 0,5 e 0,01 segundos, no tempo de vermelho (modelos B, C, D). Finalmente, simulou-se um último modelo (modelo E), seguindo uma distribuição de Poisson, sendo este, uma aproximação do modelo D. Os modelos foram construídos utilizando o software EXCEL, através de ferramentas e funções estatísticas disponíveis no pacote computacional. Após a análise individual dos modelos, definiu-se o modelo mais adequado para o dimensionamento da baia. Após a definição, propusera-se métodos para a validação do modelo in loco. 3. CONSTRUÇÃO E ANÁLISES DOS MODELOS 3.1. Análise do cruzamento com ausência de semáforo Chegada de veículos para conversão à esquerda Em média, segundo estudos já realizados no cruzamento, chegam 180 veículos por hora para efetuar a conversão ao PGT. Esta chegada segue uma distribuição de POISSON, e possui uma taxa λ = 180 = 3 veículos. Para a 60 min hora de pico, considerou-se 60 intervalos de 1 minuto para a verificação da distribuição de probabilidades de chegada. Apesar da distribuição de Poisson não apresentar um limite máximo como parâmetro, deve-se, limitar um valor para a apresentação da tabela. Após análise da Tabela 1, na qual verificam-se as probabilidades para a ocorrência de chegadas de veículos na baia de conversão, percebemos que valores acima de 8 chegadas por minuto apresentam probabilidade muito baixa (menor que 1%) de acontecer. A distribuição de probabilidades desta chegada está representada na Tabela 1 e pode ser visualizada no Gráfico 1. Tabela 1: Distribuição de chegadas de veículos na baia de conversão CHEGADA DE VEÍCULOS x P [X = x] P [X x] 0 5,0% 5,0% 1 14,9% 19,9% 2 22,4% 42,3% 3 22,4% 64,7% 4 16,8% 81,5% 5 10,1% 91,6% 6 5,0% 96,6% 7 2,2% 98,8% 8 0,8% 99,6% Probabilidade Gráfico 1: Distribuição de chegadas de veículos na baia de conversão 25,0% 20,0% 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 5,0% Chegada na baia 14,9% 22,4% 22,4% 16,8% 10,1% 5,0% 2,2% 0,8% Nº de veículos / minuto 3

4 Chegada de veículos na via principal Em média, segundo estudos já realizados no cruzamento, chegam 420 veículos por hora na via principal do cruzamento estudado. Esta chegada, também segue uma distribuição de POISSON, e possui uma taxa λ = 420 = 7 veículos. No horário de pico, também foi considerado 60 intervalos de 1 minuto para a 60 min verificação da distribuição de probabilidades de chegada nesta via. A distribuição de probabilidades desta chegada está representada na Tabela 2 e pode ser visualizada no Gráfico 2. Tabela 2: Distribuição de chegadas de veículos na via principal. CHEGADA DE VEÍCULOS x P [ X=x] P [X x] 0 0,09% 0,09% 1 0,64% 0,73% 2 2,23% 2,96% 3 5,21% 8,18% 4 9,12% 17,30% 5 12,77% 30,07% 6 14,90% 44,97% 7 14,90% 59,87% 8 13,04% 72,91% 9 10,14% 83,05% 10 7,10% 90,15% 11 4,52% 94,67% 12 2,63% 97,30% 13 1,42% 98,72% 14 0,71% 99,43% 15 0,33% 99,76% 4

5 Gráfico 2: Distribuição de chegadas de veículos na via principal. Distribução de chegadas na Via Principal 16,00% 14,9%14,9% 14,00% 12,8% 13,0% Probabilidade 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% 10,1% 9,1% 7,1% 5,2% 4,5% 2,6% 2,2% 1,4% 0,1% 0,6% 0,7% 0,3% Nº de veículos / minuto Análise dos intervalos entre passagens de veículos na via principal Nos itens anteriores realizou-se a caracterização das taxas de chegadas nas vias estudadas, o que subsidia a análise da quantidade de veículos que conseguirão realizar a conversão no período estipulado. Para tal análise, foi necessário calcular a quantidade de intervalos entre veículos que possuíssem 4,5 segundos ou mais (tempo necessário para um veículo converter à esquerda em condições de segurança), durante a hora de pico. Pode-se considerar que, para o veículo realizar o movimento de conversão à esquerda, não deverá surgir nem um veículo no intervalo mínimo de até 4,5 segundos na via principal. Logo, teremos P[X=0] seguindo uma distribuição de Poisson, uma vez que a passagem dos veículos na via principal segue esta 0 λt ( λt) e λt distribuição: P[ X = 0] = = e O que reflete numa distribuição exponencial de probabilidades; 0! 0 λ (4,5) ( λ.4,5) e λ (4,5) P(N=0) = P ( X > 4,5) = = e, onde: λ =7 veic./min. ~ 0,0117veic./min, o que resulta 0! em numa probabilidade de intervalos maiores ou iguais a 4,5 segundos aproximadamente igual a 59%. A distribuição de probabilidades dos intervalos entre veículos na via principal é representada no Gráfico 3. 5

6 Gráfico 3: Distribuição de probabilidades dos intervalos de veículos. Considerando que, durante o horário de pico ocorrem em média 419 intervalos, verifica-se que 59% desse valor, ou seja, 247, é o número médio de intervalos maiores ou iguais a 4,5 segundos durante a hora estudada. Esta valor significa a quantidade de intervalos seguros para realizar a conversão. Dimensionamento da baia com ausência de semáforo: De posse da distribuição de chegadas de veículos na baia, bem como da distribuição dos intervalos entre veículos na via principal, pode-se analisar essa situação como sendo um caso de teoria das filas, onde existe um tempo médio de chegada seguindo uma distribuição de Poisson, um tempo médio de atendimento seguindo uma distribuição exponencial e um servidor enquadrado no modelo M/M/1. Conforme Andrade (2004), esse modelo supõe que clientes chegam a um único servidor com distribuição de Poisson ou Exponencial Negativa tendo um ritmo λ. Cada cliente, após a chegada, é atendido diretamente pelo servidor, senão aguarda na fila, a qual respeita a disciplina FIFO. Assim como o ritmo de chegada, o servidor possui um atendimento marcoviano ou de distribuição de Poisson com ritmo μ. Tanto a capacidade da fila assim como da população é infinita. A taxa média de chegada de chegada (λ) para esse modelo é de 180 veículos por hora e a taxa média de serviço (μ) é igual a 247 intervalos por hora. Proporcionando uma taxa de utilização do sistema (ρ = λ / μ ) aproximadamente igual a 73%. Esta taxa denota um sistema capaz de atender aos veículos, uma vez que não ultrapassa a capacidade de 100% do atendimento. A partir desta taxa de utilização, pode-se estimar o valor máximo da fila na área de estocagem da baia, calculando a probabilidade de k veículos na fila, como mostrado na Tabela 3. Tabela 3: Distribuição de Probabilidades da quantidade de veículos na fila da baia. Probabilidade k veiculos na fila k P[X=k] P[X k] 0 = 27,19% 27,19% 1 = 19,80% 46,98% 2 = 14,41% 61,40% 3 = 10,50% 71,89% 6

7 4 = 7,64% 79,53% 5 = 5,56% 85,10% 6 = 4,05% 89,15% 7 = 2,95% 92,10% 8 = 2,15% 94,25% 9 = 1,56% 95,81% 10 = 1,14% 96,95% 11 = 0,83% 97,78% 12 = 0,60% 98,38% 13 = 0,44% 98,82% 14 = 0,32% 99,14% 15 = 0,23% 99,38% 16 = 0,17% 99,55% 17 = 0,12% 99,67% 18 = 0,09% 99,76% 19 = 0,07% 99,82% 20 = 0,05% 99,87% Seguindo o critério de decisão estipulado, de que a probabilidade da baia ser excedida não deve ser superior a 10%, pode-se extrair da tabela que o valor imediatamente posterior a P[X 90%] é P[X 92,10%],onde o tamanho k correspondente ao número de veículos chegando na baia é igual a 7. Assim deve-se dimensionar o tamanho desta baia para estocar 7 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia (em metros) para este modelo seria: [(7 x 3)+(6 x 1,5)] = Análise do cruzamento com presença de semáforo Após a análise do cruzamento sem a presença de semáforo, verificou-se a possibilidade de instalação de um semáforo para tal cruzamento, com o intuito de verificar se o sistema adquire eficiência operacional. O semáforo proposto a ser instalado para o cruzamento destina 20 segundos de verde efetivo para a conversão à esquerda, em um ciclo de 60 segundos. Foram então elaborados 7 modelos, compostos de diferentes cenários, para dimensionar a baia onde o carros ficarão estocados até a conversão (Modelos A, B, C, D e E). Adota-se, nestes modelos, o mesmo critério de decisão para o tamanho da baia. Cenário I Modelo A Neste modelo considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão como uma Distribuição Binomial, onde o sucesso no Experimento de Bernoulli é caracterizado pela chegada do veículo no tempo de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p = 40/60 = Neste modelo, primeiramente, recorreu-se à distribuição de Poisson, conforme mostrado na Tabela 3, para encontrar o valor da amostra (n=8), a ser usado na distribuição de Bernoulli. Tabela 4: Distribuição de probabilidades para o modelo A. MODELO A x P[X=x] P [X x] 0 0,02% 0,02% 1 0,24% 0,26% 2 1,71% 1,97% 3 6,83% 8,79% 4 17,07% 25,86% 7

8 5 27,31% 53,18% 6 27,31% 80,49% 7 15,61% 96,10% 8 3,90% 100,00% De acordo com o critério de decisão estipulado, pode-se extrair da Tabela 4 que o valor imediatamente posterior a P[X 90%] é P[X 96,10%], onde o numero de veículos chegando na baia é igual a 7. Assim deve-se dimensionar o tamanho desta baia para estocar 7 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia para este modelo seria 30 metros. Cenário II - Modelo B Neste modelo considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão também como uma Distribuição Binomial, entretanto, o sucesso no Experimento de Bernoulli caracteriza-se pela chegada do veículo em um intervalo de tempo de 2 segundos ao longo do período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p = (180veic. x 2seg / 3600seg) = 0,1. O número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos chegando no vermelho, ou seja, n = 40/2 = 20. A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada na Tabela 5. Tabela 5: Disribuição de probabilidades para o modelo B. MODELO B x P[X=x] P [X x] 0 12,16% 12,16% 1 27,02% 39,17% 2 28,52% 67,69% 3 19,01% 86,70% 4 8,98% 95,68% 5 3,19% 98,87% 6 0,89% 99,76% 7 0,20% 99,96% 8 0,04% 100,00% De acordo com o critério de decisão estipulado, verifica-se, na Tabela 5 que o valor imediatamente posterior a P[X 90%] é P[X 95,68%], onde o número de veículos que chegam na baia é igual a 4. Assim deve-se dimensionar o tamanho desta baia para estocar 4 veículos. De acordo com os valores fornecidos no item 2 para o dimensionamento das baias, podemos concluir que o tamanho da baia para este modelo seria 16,5 metros. Cenário III Modelo C Este modelo também considera-se a chegada dos veículos na baia de conversão como uma Distribuição Binomial, porém o sucesso no Experimento de Bernoulli se caracteriza pela chegada do veículo em um intervalo de tempo de 0,5 segundo ao longo do período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p = (180veic. x 0,5 seg / 3600seg) = 0,025. O número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos chegnado no vermelho, ou seja, n = 40/0,5= 80. A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada na Tabela 6. Tabela 6: Distribuição de probabilidades para o modelo C MODELO C x P[x] P[X x] 0 13,19% 13,19% 1 27,06% 40,26% 8

9 2 27,41% 67,67% 3 18,27% 85,94% 4 9,02% 94,96% 5 3,52% 98,48% 6 1,13% 99,61% 7 0,31% 99,91% 8 0,09% 100,00% Conforme critério de decisão utilizado para os modelos, pode-se verificar na Tabela 6 que o valor imediatamente posterior a P[X 90%] é P[X 94,96%], onde o número de veículos chegando na baia é igual a 4. Desta forma, o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos. O tamanho da mesma, para este modelo seria 16,5 metros Cenário IV Modelo D O modelo D também segue o mesmo raciocínio dos modelos B e C, entretanto, o sucesso no Experimento de Bernoulli caracteriza-se como a chegada do veículo em um intervalo de tempo de 0,01 segundo ao longo do período de vermelho. A probabilidade deste sucesso é dada por: p = (180veic. x 0,01 seg / 3600seg) = 0,0005. O número de experimentos (n) é igual ao número total de veículos chegnado no vermelho, ou seja, n = 40/0,01 = A distribuição de probabilidade do modelo pode ser observada na Tabela 7. Tabela 7: Distribuição de probabilidade para o modelo D. MODELO D x P[x] P[X x] 0 13,53% 13,53% 1 27,07% 40,59% 2 27,07% 67,67% 3 18,05% 85,72% 4 9,02% 94,74% 5 3,61% 98,35% 6 1,65% 99,55% 7 13,53% 99,89% 8 0,11% 100,00% Verifica-se na Tabela 7 que o valor a considerar é P[X 94,74%], onde o número de veículos chegando na baia é igual a 4. Neste caso, o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos e possuiria 16,5 metros Cenário V Modelo E O modelo E constitui uma aproximação da distribuição binominal do modelo D para uma distribuição de poisson. Esta aproximação deve-se ao fato de que, para este modelo, o número de experimentos é muito grande (n= 4000) e a probabilidade de sucesso é muito pequena (p = 0,0005) resultando em um valor esperado de μ = n. p = ,0005 = 2.A Tabela 8 demonstra a distribuição de probabilidade para o modelo E. Tabela 8: Distribuição de probabilidade para o modelo E. MODELO E x P[x] P[X x] 0 13,53% 13,53% 1 27,07% 40,60% 9

10 2 27,07% 67,67% 3 18,04% 85,71% 4 9,02% 94,73% 5 3,61% 98,34% 6 1,20% 99,55% 7 0,34% 99,89% 8 0,11% 100,00% Observa-se, na Tabela 8, que o valor a considerar é P[X 94,73%], onde o número de veículos chegando na baia é igual a 4. Neste caso, o tamanho desta baia deve ser dimensionado para estocar 4 veículos e possuiria 16,5 metros Análise dos resultados Após análise dos modelos, verifica-se que a distribuição de Poisson representa melhor este tipo de situação, quando comparado com a distribuição Binomial. Isto acontece em virtude do tamanho da amostra ser muito grande e a probabilidade muito pequena O modelo A pode ser considerado falho neta situação, uma vez que necessita de limitação referente a número máximo de veículos chegando na baia. Esta limitação faz com que se recorra à distribuição de Poisson para estimar este número máximo, influenciando diretamente no dimensionamento do tamanho da baia. Pode-se observar, após a análise dos modelos, que os modelos B a D apresentam resultados semelhantes, principalmente quando o intervalo de tempo do estudo tende a zero. Pode-se verificar, então, que o modelo E, o qual é uma aproximação do modelo D, se torna mais adequado já que não limita um valor máximo e a probabilidade tende para zero, sendo considerado um evento raro. Uma baia com 30 metros, sem a presença de semáforo no cruzamento pode ser considerada uma solução mais apropriada e viável para a situação, uma vez que a implantação de um semáforo geraria custos de aquisição, implantação e controle, além de visão negativa por parte dos condutores que trafegam na via principal. De acordo com a análise, este tamanho proposto para a baia atenderia o horário de pico, portanto, também atenderia, até com certa com folga, a necessidade de estocagem dos veículos nos demais horários do dia. 4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Os modelos considerados e analisados são uma abstração da realidade, simplificando-a. Em função disto, ocorreram diversas limitações durante este estudo. As taxas de chegadas de veículos nas vias são valores médios, obtidos durante a hora de pico, não demonstrando o comportamento do sistema durante esta hora, tendo a confiabilidade baseada na distribuição de probabilidades de Poisson. Também se considerou, durante o estudo, a passagem, em um tempo efetivo de verde, de todos os veículos presentes na fila de espera, bem como daqueles que chegam durante o verde do semáforo. Não se considerou o tamanho dos veículos para o estudo da conversão, este fator poderia influenciar significativamente a análise do cruzamento sem a presença de semáforo. O valor médio considerado para os veículos também desconsidera a possibilidade deste PGV atrair veículos de longo comprimento como ônibus e caminhões. Para a validação deste modelo in loco, propõe-se a observação do cruzamento no horário de pico, durante uma semana, a coleta de dados referentes ao número de veículos que chegam ao cruzamento pela baia e pela via principal em intervalos de 1 minuto e intervalos entre chegadas nas duas vias. Posteriormente, deve-se verificar, através dos gráficos de freqüências observadas e esperadas, se estes dados seguem realmente a distribuição de 10

11 Poisson, além de avaliar se as hipóteses de eventos independentes e raros são válidas. Caso não sigam, deve-se analisar estatisticamente qual a distribuição representaria bem o comportamento da população para este estudo de caso. Somente com a validação correta dos dados coletados in loco pode-se realizar análises fundamentadas na realidade, embasando a tomada de decisão em sistemas operacionais. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Andrade, E. L., (2004) Introdução a Pesquisa Operacional. Editora LTC. 3ª Ed. Rio de Janeiro. ANTP (2005) Associação Nacional de Transportes Públicos. Planejando o desenvolvimento das Cidades. São Paulo. Disponível em: Ary, M.B. (2002) Análise da demanda de viagens atraídas por shopping centers em Fortaleza. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil. Milton, J.S. e Arnold, J.C. (2003) Introduction to Probability and Statistics: principles and applications for engineering and the computing sciences. McGraw Hill, New York, EUA. Montgomery, D. C. e Runger G. C. (2003) Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC. 2ª Edição. Rio de Janeiro. 11