INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA VI Simpósio Nacional/Jornada de Iniciação Científica. Curvas especiais em E n

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1 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA VI Simpósio Nacional/Jornada de Iniciação Científica Curvas especiais em E n Alcides de Carvalho Júnior a (Matemática Bach.) Prof. Dr. Feliciano M. Aguiar Vitório (Orientador) a Apoio finaceiro CNPq UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

2 Sumário 1 Introdução 3 2 Curvas especiais em E n Definições Básicas Curvas Planas Curvas Especiais em E Pares de Bertrand O Teorema de Caracterização de hélices Generalizadas O espaço de Lorentz-Minkowski E Formas Bilineares O espaço de Lorentz-Minkowski E O produto vetorial Lorentiziano Curvas especiais no espaço de Lorentz-Minkowski E Curvatura e torçao O caso tipo-tempo O caso tipo-espaço O caso tipo-luz Hélices e Curvas de Bertrand em E Referências Bibliográficas 26

3 Curvas no Espaço E n Alcides de Carvalho Júnior 26 de outubro de Introdução Primeiro faremos um passeio pelas curvas que moram no espaço euclidiano n-dimensional E n. Definiremos a curvatura e a torção, e tais ferramentas caracterizam uma curva a menos da posição no espaço, i.e. de um movimento rígido (Teorema Fundamental da Teoria Local de Curvas ver [3]), para definir curvatura e torção é necessario fazer hipótese sobre a quantidade de vezes que a curva é diferenciálvel, para evitar de tratar curvas ora 2 vezes diferenciálvel ora 3 diferenciálvel consideramos apenas curvas suaves (C ). Depois obtemos algumas propriedades de uma hélice generalizada, e faremos a porva em detalhes do Teorema de caracterização de hélices generalizadas seção 2.4. Antes, definimos os pares de Bertrand, e provamos algumas proposições visando a demonstração do teorema que diz que se uma curva α com curvatura e torção não nulas tem dois pares de Bertrand, então α tem infinitos pares de Bertrand, e isto só ocorre quando α é uma hélice circular. Introduzimos o espaço de Lorentz-Minkowski E n 1, antes fizemos uma breve revisão sobre formas bilineares, no espaço de Lorentz-Minkowski E n 1 caracterizamos os vetores e subespaços, e as curvas pelo seu caráter causal, aqui também definiremos curvatura e torção, de modo a alcançarmos resultados sobre hélices, semelhantes ao do ambiente euclidiano. 3

4 2 Curvas especiais em E n 2.1 Definições Básicas Neste texto entende-se por curva parametrizada uma aplicação contínua α : I R E n, onde I é um intervalo da reta. Para todo t I, temse α(t) = (α 1 (t), α 2 (t),..., α n (t)), assim ficam definidas n funções reais as quais são contínuas, a saber α 1 (t),.., α n (t) : I R. Diz-se que uma curva parametrizada α : I R E n é diferenciável em t 0 I quando o limite α (t 0 ) = lim h 0 α(t 0 + h) α(t 0 ) h existe, e chama-se α (t 0 ) de derivada ou vetor velocidade de α em t 0. A curva parametrizada α é diferenciável em I quando é diferenciável em todo t I. Note que α (t) = lim h 0 α(t + h) α(t) h 1 = lim h 0 h.(α 1(t+h) α 1 (t),..., α n (t+h) α n (t)) = α 1 (t + h) α 1 (t) α n (t + h) α n (t) = (lim,..., lim ) = (α h 0 h h 0 h 1(t),..., α n(t)). i.e. vale que α (t) = (α 1(t), α 2(t),..., α n(t)). Uma curva parametrizada α diz-se de classe C 1 quando α é diferenciável e sua derivada α é contínua, por indução, dizemos α é C k sua derivada α é C k 1, α é de classe C 0 quando for contínua. No texto trabalhamos com curvas suaves (C ), isto é, C k para todo k. Exemplo 2.1. A curva parametrizada α : R E 2 dada por α(t) = (t, t ), não é diferenciável em 0. Pois α 2(0) não existe. Uma curva parametrizada α é regular em t 0 I se α (t 0 ) 0, e se α (t 0 ) = 0 diz-se que t 0 é um ponto singular de α (ou singularidade). A curva parametrizada α é chamada regular quando é regular em cada t I. Exemplo 2.2. Seja α(t) = (a. cos(t), a. sin(t), b.t) t R, uma hélice circular, temos que α (t) = a 2 + b 2, portanto α é regular. Exemplo 2.3. α(t) = (t 2, t 2 ) t R, tem uma singularidade em t = 0. Observação 2.1. O número α (t) mede o comprimento do vetor α (t) e é as vezes chamado de velocidade escalar. 4

5 Definição 2.1. Dado t 0 I o comprimento de arco de uma curva de classe C 1 a partir do ponto t 0 é s(t) = t t 0 α (t) dt Exemplo 2.4. Seja α : [0, 2π] E 2, α(t) = (a. cos(t), a. sin(t)) então, s(t) = 2π 0 2π α (t) dt = a. dt = 2aπ. 0 Exemplo 2.5. Seja α : [0, 2π] E 3, α(t) = (a. cos(t), a. sin(t), b.t) então, s(t) = 2π 0 α (t) dt = 2π a 2 + b 2. dt = 2π a 2 + b 2. 0 Uma reparametrização de uma curva parametrizada α é uma curva do tipo β = α h : J R E n, onde h : J I é uma função monótona sobrejetiva. Neste caso diz-se que β é uma reparametrização de α. Definição 2.2. Uma curva α : I R E n de classe C 1 diz-se parametrizada pelo comprimento de arco quando para todo t I temos s(t) = t t 0. Tradicionalmente utiliza-se s como parâmetro de comprimento de arco. Teorema 2.1. Uma curva α : I R E n, de classe C 1, é parametrizada pelo comprimento de arco se, e somente se, α (t) = 1 para todo t I Demonstração. Seja α parametrizada pelo comprimento de arco, então s(t) = t t 0 para todo t I. Logo, α (t) = ds(t) dt = d(t t 0) dt = 1. Reciprocamente, se α (t) = 1 para todo t I, tem-se para todo t I. s(t) = t t 0 α (t) dt = t t 0 dt = t t 0 Teorema 2.2. Toda curva regular α : I R E n adimite uma reparametrização por comprimento de arco. 5

6 Demonstração. Considere I = [a, b], pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que s, onde s é a função comprimento de arco da definição 2.1, é contínua no fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), e vale s (t) = α (t) > 0 pois α é regular, daí s é crescente, e portanto injetiva, mais ainda, s é bijetiva sobre sua imagem J = s(i). Logo, exite h : J I a função inversa de s e { (h s)(t) = t, t I (s h)(w) = w, w J (1) (2) pela regra da cadeia, derivando (1) temos h (s).s (t) = 1, o que nos dá h (s) = 1 s (t) = 1. Afirmamos que β(s) = α(h(s)) é a reparametrização por α (t) comprimento de arco s de α. Com efeito, pelo teorema 2.1, basta mostrar que β (s) = 1. De fato, derivando β(s) temos β (s) = α (h(s)).h (s), logo β (s) = α (h(s)). h (s) = α 1 (t). α (t) = Curvas Planas Seja α : I E 2 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s. O vetor T (s) = α (s) é chamado tangente unitário. Se α(s) = (x(s), y(s)), então T (s) = (x (s), y (s)). Define-se N(s) através de uma rotação de T (s) por 90 graus no sentido antí-horário desse modo N(s) = ( y (s), x (s)). Assim, fica bem definido ao longo de α a base ortonormal {T (s), N(s)}, chamada de Diedro de frenet. Sendo T (s) unitário, tem-se que T (s) é perpendicular a T (s) e portanto paralelo a N(s). Daí, T (s) = κ(s)n(s), onde κ(s) é o fator de mutiplicidade entre T e N, o número κ(s) é chamado curvatura de α em s. Note que a curvatura κ(s), assim definida, pode ser tanto positiva quanto negativa. κ(s) é as vezes chamada de curvatura com sinal e denotada por κ s (s). De N(s) = 1 temos que N (s) é perpendicular a N(s) e assim N (s) = a(s)t (s), onde a(s) = N (s), T (s), derivando N(s), T (s) = 0 temos N (s), T (s) + N(s), T (s) = 0 o que implica que a(s) = N (s), T (s) = N(s), T (s) = N(s), κ(s)n(s) = κ(s). Logo, N (s) = κ(s)t (s). Proposição 2.1. Seja α : I E 2 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s. Então valem as seguintes equações: 1. T (s) = κ(s)n(s) 2. N (s) = κ(s)t (s) 6

7 Para curvas no plano podemos definir o vetor normal unitário sem fazer a hipotese de que κ > 0. Em E 3 a curvatura perde o sinal e surge outro invariante geometrico: a torção τ. É claro que κ s coincide com κ que defineremos a seguir. Seja s 0 I tal que κ(s 0 ) > 0, o sinal da curvatura nos diz que o traço da curva está acima da reta tangente numa vizinhaça de s 0, analogamente, se κ(s 0 ) < 0 então o traço da curva está abaixo da reta tangente. 2.3 Curvas Especiais em E 3 Seja α : I R E 3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s. T (s) = α (s) denotará o vetor tangente unitário de α em s. Definição 2.3. O número κ(s) = T (s) é chamado de curvatura de α em s. Exemplo 2.6. Seja α uma reta, dada por α(s) = sw + V, onde W, V E 3 e W = 1. Tem-se α (s) constate igual a W, logo T (s) é identicamente nulo e portanto k(s) 0. Reciprocamente, se k(s) 0 então α é uma reta. Pode-se definir a curvatura para uma curva regular α não parametrizada por comprimento de arco. Pelo teorema 2.2 α admite uma reparametrização por comprimento de arco β, e a curvatura κ α (t) é por definição igual a β (s) = κ β (s). Uma vez definido a curvatura de α, obtém-se uma fórmula explícita para κ α (t). Como α(t) = (β s)(t) derivando tem-se α (t) = β (s(t)).s (t) e α (t) = β (s(t)).s (t) 2 + β (s(t)).s (t). Assim, α (t) α (t) = s (t) 3.β (s(t)) β (s(t)). Logo, α (t) α (t) = α (t) 3. β (s(t)) β (s(t)) = α (t) 3 β (s(t)). β (s(t)), pois β β, de β (s(t)) = 1 e κ α (t) = β (s(t)) segue κ α (t) = α (t) α (t). α (t) 3 Geometricamente a curvatura κ(s) mede o quanto uma curva se curva perto de α(s), o exemplo acima diz que uma reta não se curva o que era natural de se esperar. Exemplo 2.7. Seja α uma hélice circular, dada por α(s) = (a. cos(s), a. sin(s), b.s), com a 2 + b 2 = 1. Temos T (s) = ( a. cos(s), a. sin(s), 0), logo κ(s) = a. 7

8 Figura 1: Hélice Circular Observação 2.2. Note que κ(s) 0 e κ(s) = 0 se, e somente se, T (s) = 0. Suponha que κ(s) > 0, de T (s) = 1 temos por derivação que T (s), T (s) = 0, para todo s I, assim T (s) é um vetor não nulo perpendicular T (s). Feito isso definiremos o vetor normal unitátio. Definição 2.4. Seja α : I R E n uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s com κ(s) > 0 o vetor N(s) = T (s) T (s) é chamado vetor normal unitário de α em s. Exemplo 2.8. Seja α uma hélice circular, dada por α(s) = (a. cos(s), a. sin(s), b.s), com a 2 +b 2 = 1. Como T (s) = ( a. cos(s), a. sin(s), 0) e T (s) = a temos que, N(s) = ( cos(s), sin(s), 0). Sabe-se que o produto vetorial de dois vetores x e y é um vetor perpendicular a x e a y, e denotado por x y, mais ainda, se x = 1 e y = 1 tem-se x y = 1. Com efeito, x y 2 = x 2. y 2 x, y 2 = = 1. Assim, define-se o vetor binormal unitário. Definição 2.5. Seja α : I R E 3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s com κ(s) > 0, o vetor B(s) = T (s) N(s) é chamado vetor binormal unitário de α em s. Observação 2.3. De posse da definição do vetor binormal e de algumas propriedades do produto vetorial podemos escrever B = N T, T = N B, T = B N, N = B T e N = T B. 8

9 Exemplo 2.9. Seja α uma hélice circular, dada por α(s) = (a. cos(s), a. sin(s), b.s), com a 2 + b 2 = 1. Como T (s) = ( a. sin(s), a. cos(s), b) e N(s) = ( cos(s), sin(s), 0) temos que, B(s) = T (s) N(s) = (b. sin(s), b.cos(s), a). Para cada s I com κ(s) > 0 tem-se definidos os três vetores unitários e ortogonais {T (s), N(s), B(s)} este triedo, é chamado de triedo de Frenet. Teorema 2.3 (Equações de Frenet). Seja α : I R E n uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco s com κ(s) > 0, para todo s I. Então valem as equações a seguir: 1. T (s) = κ(s)n(s) 2. N (s) = κ(s)t (s) τ(s)b(s) 3. B (s) = τ(s)n(s) Demonstração. 1. segue de imediato da definição de N(s). 2. Segue da observação 2.3 que N = B T então N = B T + B T, e pelos items 1. e 3. temos N = (τn T ) + (B κn) = τ(n T ) + κ(b N) = κt τb, esta última igualdade devido a observação De fato, sendo {T, N, B} uma base ortonormal de E 3 temos B = a 1 T + a 2 N + a 3 B, onde a 1 = B, T, a 2 = B, N, a 3 = B, B. Afirmamos que a 1 = 0 e a 3 = 0, com efeito, derivando B, B = 1 tem-se que a 3 = B, B = 0, agora derivado B, T = 0 obtemos B, T + B, T = 0, como T é paralelo a N temos B, T = 0, logo B, T = 0 como haviamos afirmado. Definição 2.6. O número τ(s) é chamado de torção de α em s. Geometricamente a torção mede o quanto uma curva deixa de ser plana. Um resultado interessante é que uma curva regular com κ > 0 é plana se, e somente se, a torção é identicamente nula. Exemplo Seja α uma hélice circular, dada por α(s) = (a. cos(s), a. sin(s), b.s), com a 2 + b 2 = 1. Dos exemplos anteriores temos que B(s) = (b. sin(s), b.cos(s), a) e N(s) = ( cos(s), sin(s), 0) derivando B(s) segue que, B (s) = (b. cos(s), b. sin(s), 0) = b.( cos(s), sin(s), 0) = b.n(s), portanto τ(s) = b. 9

10 2.3.1 Pares de Bertrand Será tratado agora um exercício clássico Geometria Diferencial, onde caso uma curva α tenha mais de um par de Bertrand, α tem um número infinito de pares de Bertrand. Isso ocorre se, e somente se, α é uma hélice circular. Antes algums resultados preliminares. Definição 2.7 (Pares de bertrand). Seja α : I R E n uma curva regular (não necessariamente pelo comprimento do arco) com k(t) 0, τ(t) 0, t I. A curva α é chamanda curva de bertrand se exite uma curva β : I R E n tal que as retas normais de α e β coincidam em t I.Neste caso, β é chamada o par de bertrand de α. Podemos escrever β(s) = α(s) + r(s)n α (s). N α (s) é o vetor normal unitário de α em s, usaremos o indice α ou β para indicar a qual curva me refiro. Nos resultados que seguem consideramos α e β pares de Bertrand como acima e n = 3. Proposição 2.2. Para cada t I. A distância entre as curvas é constates.(i.e. α(t) β(t) = r). Demonstração. De fato, para isso basta mostrar que r(t) = r para todo t I. Ou seja r (t) = 0. Parametrizando α pelo comprimento do arco s e em seguida derivando β(s), temos β (s) = T α (s) + r (s)n α (s) + r(s)n α(s) pelo teorema 2.3 vem que β (s) = T α (s) + r (s)n α (s) + r(s)( κ(s)t (s) τ(s)b(s)) = T α (s) + r (s)n α (s) r(s)κ(s)t α (s) r(s)τ(s)b α (s) = (1 r(s)κ(s))t α (s) + r (s)n α (s) r(s)τ(s)b(s), daí r (s) = β (s), N α (s) = a T β (s), N α (s), pois β (s) = at β (s) e como N α = ±N β segue que r (s) = a T β (s), N α (s) = ±a T β (s), N β (s) = 0 o que nos dá r(s) = r constate. Proposição 2.3. T β, T α formam um ângulo θ constante. Demonstração. Considere α e β parametrizadas pelo comprimento do arco. Mostraremos que T β, T α = 0 daí T β, T α = cont. = cos(θ). De fato, T β, T α = T β, T α + T β, T α. Afirmamos que T β, T α = 0. Com efeito, pelo teorema 2.3 temos T β = κ βn β logo, T β, T α = T β, T α = κ β N β, T α = ±κ β N α, T α = 0, pois N β = ±N α e N α T α. De modo análogo conclui-se que T β, T α = 0, portanto T β, T α = cont. = cos(θ). Proposição 2.4. α é uma curva de Bertrand se, e somente se, existe uma combinação linear Aκ(s) + Bτ(s) = 1 onde A,B são constantes não nula. 10

11 Demonstração. Seja α uma curva de Bertrand e β o par de α (β = α +rn α ), parametrizadas pelo comprimento do arco. Pela proposição 2.3 segue que T α, T β = cos(θ) e da demonstração da proposição 2.2 vemos que cos(θ) = T α, T β = (1 rκ), como sin(θ) = T β T α = ((1 rκ)t α rτb α ) T α = rτ B α T α = rτ. E supomos τ 0 temos, 1 rκ = ± cot(θ) = cte. Daí, 1 = rκ ± cot(θ)rτ, rτ para concluir basta fazer A = r e B = ± cot(θ)r. Reciprocamente, suponhamos que existe uma combinação linear Aκ(s) + Bτ(s) = 1. Afimação β = α + AN α é o par de Bertrand de α. De fato, β = (1 rκ)t α AτB α, utilizando novamente a combinação temos β = BτT α AτB α = τ(bt α AB α ), daí, T β = BT α AB α, derivando T (B 2 + r 2 ) 1 β temos T β = 2 BT α AB α, pelas equações de frenet 2.3, T (B 2 + r 2 ) 1 β = BκN α AτN α Bκ Aτ = N 2 (B 2 + r 2 ) 1 2 (B 2 + r 2 ) 1 α, 2 logo N α é paralelo a N β e portanto as normais coincidem. Assim, α é uma curva de Bertrand. Teorema 2.4. Seja α uma curva com τ 0 e κ 0. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. α é uma hélice circular. 2. α possui infinitos pares de Bertrand 3. α possui dois pares de Bertrand Demonstração. 1. = 2. Sendo α uma hélice circular vimos que κ(s) = κ 0, τ(s) = τ 0. Assim para cada A exite B 0 tal que Aκ 0 + Bτ 0 = 1, pela proposição 2.4 temos que existem infinitos pares de Bertrand.(a cada A eu tenho um par de Bertrand). 2. = 3. É óbivio. 3. = 1. Suponhamos que existam dois pares de Bertrand β 1 (s) = α(s) + r 1 N α (s), β 2 = α(s) + r 2 N α (s). Pela proposição 2.4 existem a 1 e a 2 unívocamente determinados por r 1, r 2 tais que { r1 κ α + a 1 τ α = 1 (3) r 2 κ α + a 2 τ α = 1 Derivando este sistema obtemos, { r1 κ α + a 1 τ α = 0 r 2 κ α + a 2 τ α = 0 11 (4) (5) (6)

12 como as curvas são diferentes temos r 1 r 2 e portanto a 1 a 2 o que nos dá κ = 0 e τ = 0 logo, κ e τ são contantes, fazendo uso do teorema fundamental da teoria local de curvas(unicidade), vê-se que a hélice é a única curva com curvatura e torção constantes. Para maiores informações do teorema fundamental da teoria local de curvas ver Manfredo [3]. 2.4 O Teorema de Caracterização de hélices Generalizadas Definição 2.8 (Hélice generalizada). Uma curva α : I R E n, onde I é um intervalo, é chamada uma hélice generalizada se as retas tangentes de α fazem um ângulo constante com uma direção fixada a E n,o vetor a E n é chamado eixo da hélice. Exemplo A hélice circular α(t) = (a. cos(t), a. sin(t), b.t) é uma hélice generalizada de eixo e 3 = (0, 0, 1). A saber, cos(θ)= e 3, α (t) e 3. α (t) = b a2 + b. 2 Na proposição a seguir suponha que τ 0. omitiremos os parâmetros por comodidade. Sempre que estiver claro Proposição 2.5. α é uma hélice generalizada se, e somente se, κ τ = const. Demonstração. Seja α uma hélice generalizada de eixo a E 3, com a = 1, temos que a = α 1 T +α 2 N +α 3 B, onde α 1 = T, a, α 2 = N, a, α 3 = B, a, por hipotese T, a = α (s), a = cos(θ) = c, onde c é uma constante, derivando tem-se α (s), a = κ N, a = 0, logo, a = cos(θ)t + B, a B de a = 1 temos cos(θ) 2 + B, a 2 = 1. Daí, B, a 2 = 1 cos(θ) 2 = sin(θ) 2, portanto a = cos(θ)t + sin(θ)b, derivando obtemos 0 = cos(θ)t + sin(θ)b = cos(θ)κn + sin(θ)τn, esta última igualdade devido as equações de frenet, ver o teorema 2.3, o que nos dá cos(θ)κ + sin(θ)τ = 0, donde κ = tan(θ) = const. Reciprocamente, basta refazer os argumentos. τ Exemplo A hélice logarítica dada por α(t) = (e t cos(t), e t sin(t), e t ), t 2 [0, ) é uma hélice generalizada. De fato, note que κ(t) = 3e e τ(t) = 1 t 3e, t assim κ τ = 2. 12

13 Figura 2: Hélice Logarítica Proposição 2.6. α é uma hélice generalizada se, e somente se, as retas normais passando por α(s) são paralelas a um plano fixo. Demonstração. Seja α uma hélice generalizada de eixo a E 3, logo T, a é contante. Derivando T, a temos T, a = 0 como T é paralelo a N segue que N, a = 0, portanto N é paralelo a um plano normal a a. A reciproca novamente se faz refazendo os agumentos. Faremos agora uma breve apresentação de algums fatos visando o teorema central desta seção. Seja Σ uma superfície regular e α : I R Σ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Então em Σ, o triedo de Darboux {T, Y = U T, U} está definido ao longo de α, onde T é o tangente unitário de α e U o normal unitário de Σ. Definição 2.9. Seja α uma curva em Σ parametrizada pelo comprimento de arco passando por p Σ(digamos α(t 0 ) = p), κ a curvatura de α em t 0, e cos(θ) = n, U, onde n é o vetor normal de α e U é o normal a Σ em p. O número k n = κ cos(θ) é chamado de curvatura normal de α Σ em p. Agora pegue o triedo de Frenet e rotacione por θ, assim obtemos o triedo de Darboux. T T Y = 0 sin(θ) cos(θ) N U 0 cos(θ) sin(θ) B O que nos dá { Y = cos(θ)n sin(θ)b U = sin(θ)n + cos(θ)b Seja w um campo diferenciável e unitério de vetores ao longo de uma curva parametrizada α sobre uma superfície orientada Σ. Como w(t) = 1, t I, dw Dw (t) é normal a w(t) e portando = λ(u w(t)), onde Dw dt dt dt é a derivada covariante de w em t. O número λ = λ(t), denotado por [Dw/dt], é chamado valor algébrico da derivada covariante. 13 (7) (8)

14 Definição Seja α uma curva parametrizada pelo comprimente de arco s. O valor algébrico [Dα (s)/dt] = κ g da derivada covariante de α (s) é chamado de curvatura geodésica de α. Note que κ g = [Dα (s)/dt] = α (s), N α (s) = κ n, U T = κ n, Y = κ sin(θ). O que segue κ 2 = κ 2 n + κ 2 g. As equações de darboux são dadas por: T = κ g Y + κ n U Y = κ n T + τ g U U = κ n Y + τ g Y onde κ n, κ g e τ g são a curvatura normal, curvatura geodésica e a torção geodésica de α, respct. Denotemos por θ o ângulo entre o vetor U normal a superfície e o normal n. isto nos dá as seguintes formulas κ 2 = κ 2 n + κ 2 g κ n = κ cos(θ) κ g = κ sin(θ) θ = τ τ g Derivando cos(θ) = n, N temos, θ sin(θ) = n, N + n, N = κt τb, N + n, κ n T + τ g Y = τ B, N + τ g n, Y, donde, θ = τ τ g. Da definição de hélice generalizada temos que uma curva α parametrizada pelo comprimento de arco é uma hélice se, somente se, as retas normais fazem um ângulo constante com um direção fixa, isto é, N, d = cos(θ), onde N é o vetor nomal de α, d um vetor fixo e θ o ângulo constante entre N e d. Derivando esta ultima equação com relação a s, ebtemos N, d = 0 κt τb, d = 0 κ T, d = τ B, d T, d = τ B, d κ Seja B, d = c, então d se escreve como combinação linear do seguinte modo: d = τ ct + cos(θ)n + cb. κ Sendo d o eixo da hélice, podemos supor d unitário d = 1, obtendo assim, 14

15 τ 2 Portanto, podemos escrever d como κ 2 c2 + cos 2 (θ) + c 2 = 1 ( ) τ 2 κ + 1 c 2 = sin 2 (θ) 2 κ c = ± κ2 + τ sin(θ). 2 τ κ d = ± sin(θ)t + cos(θ)n ± κ2 + τ 2 κ2 + τ sin(θ)b 2 Derivando N, d = 0 com relação a s, temos N, d = 0 κ T (κ 2 + τ 2 )N τ τ κ B, ± sin(θ)t + cos(θ)n ± κ2 + τ 2 κ2 + τ sin(θ)b = 0 2 ± κ τ κ2 + τ sin(θ) 2 (κ2 + τ 2 ) cos(θ) ± κτ = 0 κ2 + τ sin(θ) 2 τ κ κ τ κ2 + τ 2 sin(θ) = (κ2 + τ 2 ) cos(θ) κ 2 ( τ cot(θ)(κ 2 + τ 2 ) = κ2 + τ 2 κ κ 2 ( τ cot(θ) = (κ 2 + τ 2 ) 3 2 κ) Teorema 2.5. Uma curva α : I R E 3 parametrizada pelo comprimento de arco é uma hélice generalizada se, e somente se, ( é uma função constantes. σ(s) = ± κ 2 ) ( τ (κ 2 + τ 2 ) 3 2 κ ) (s) Demonstração. Os vetores que fazem um ângulo constante com uma direção fixa constitui um cone. Então os vetores unitários em E 3 que fazem um ângulo constante com uma direção fixa constitui um cone circular, que a curva base situa-se na esfera unitéria S 2. No que segue, uma curva parametrizada pelo comprimento de arco é uma hélice se, somente se, a indicatix normal é um circulo em S 2. Em outras palavras, se calcularmos a indicatix normal β(s) = N(s) ao longo de α, a curvatura geodésica se torna como a seguir: calculamos primeiro N,N e N N, N = κt τb N = ( κt τb) = κ T κt τ B τb 15 )

16 pelas equações de frenet, temos N = κ T κ 2 N τ B τ 2 N N = κ T (κ 2 + τ 2 )N τ B N N = κ(κ 2 + τ 2 )(B N) + κτ (T B) τκ (T B) + τ(κ 2 + τ 2 )(B N) = κ(κ 2 + τ 2 )T + (κτ τκ )N + τ(κ 2 + τ 2 )B ( τ = κ(κ 2 + τ 2 )T + κ κ) 2 N + τ(κ 2 + τ 2 )B segue que κ β = N N (κ 2 + τ 2 ) 3 + (κ 2 ( τ κ = ) ) 2 = 1 + (κ2 ( τ κ ) ) 2 N 3 (κ 2 + τ 2 ) 3 (κ 2 + τ 2 ) 3 onde κ β é a curvatura de β. Seja κ g e κ n a curvatura geodésica e a curvatura normal, respct. uma vez que a curvatura normal κ n = 1 em S 2, e substituindo κ n e κ β na equação κ 2 β = κ 2 n + κ 2 g temos, 1 + (κ2 ( τ κ ) ) 2 (κ 2 + τ 2 ) = k2 g κ g = ± (κ2 ( τ κ ) ) = cot(θ), onde θ é o ângulo (κ 2 + τ 2 ) 3 2 constante entre o vetor normal N e o eixo da hélice d. Neste caso, uma curva α : I R E 3 parametrizada pelo comprimento de arco é uma hélice se, somente se, a indicatix normal N : I R S 2 é um circulo. 3 O espaço de Lorentz-Minkowski E Formas Bilineares Sejam E, F espaços vetoriais. Uma forma bilinear g : E F R é uma função g(u, v) linear em cada entrada, isto é, para quaisquer u 1, u 2 E, v 1, v 2 F e a R, g satizfaz as seguintes propriedades: g(u 1 + u 2, v 1 ) = g(u 1, v 1 ) + g(u 2, v 1 ); g(au 1, v 1 ) = ag(u 1, v 1 ) g(u 1, v 1 + v 2 ) = g(u 1, v 1 ) + g(u 1, v 2 ); g(u 1, av 1 ) = ag(u 1, v 1 ). Além disso, se E = F e g satifaz g(u, v) = g(v, u), para todos u, v E diremos que g é simétrica. Definição 3.1. Seja g uma forma bilinear simétrica em E. Diz-se que g é: 1. Positiva definida quando g(v, v) > 0 para todo v E e v 0. 16

17 2. Negativa definida g(v, v) < 0 para todo v E e v Não-degenerada se g(v, u) = 0 para todo v E, então u = Degenerada se não é não-degenerada. O índice i de uma forma bilinear simétrica g é a maior dimensão de um subespaço vetorial W E, tal que g W é negativa definida. Uma forma bilinear, simétrica e não-degenerada é também chamada de produto escalar. Dado um espaço vetorial E com produto escalar g e dime = n > 0, considere uma base ortonomal {v 1, v 2,..., v n } de E, para uma demontração que tal base existe veja Lang [4], Teorema 5.1 página 180. A matriz de g com relação a essa base é diagonal. De fato, g(v i, v j ) = δ ij ε j onde ε j = g(e j, e j ) = ±1 e { 0 se i = j δ ij = 1 se i j Na literatura corrente é comum reodenar a base de modo que os sinais negativos caso existam apareçam no fim da lista dada a seguir. Assim, a lista (ε 1, ε 2,..., ε n ) = (+,..., +,,..., ) é chamada Assinatura de g. Teorema 3.1. Em um espaço com produto escalar g, o número de sinais negativos na assinatura de g é igual ao índice i de g. Ver O Neill [11], lema 2.26 página O espaço de Lorentz-Minkowski E 3 1 Definição 3.2. O Espaço Lorentz-Minkowski é o espaço métrico E 3 1 = (R 3,, ), onde a metrica, é dada por: u, v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u 3 v 3, onde u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ). A metrica, é chamada metrica Lorentziana. Note que a metrica lorentziana, é uma forma bilinear simétrica, nãodegenerada de índice 1 em R 3. Definição 3.3. um vetor v E 3 1 é chamado 1. Tipo-espaço se v, v > 0 ou v = 0 2. Tipo-tempo se v, v < 0 17

18 3. Tipo-luz se v, v = 0 e v 0. A norma de um vetor v E 3 1 é o número v, v, e será denotada por v. O vetor v é dito unitário se tem norma 1. O conjunto C formado por todos os vetores v E 3 1 Tipo luz é chamado Cone de luz. i.e. C = {v E 3 1; v, v = 0 e v 0}. Dado U E 3 subespaço vetorial, induzimos em U a metrica Lorentziana, diremos que U é Tipo espaço (Resp. Tipo tempo, Tipo luz) se a metrica induzida é positiva definida (Resp. não degenerada de índice 1, degenerada em U {0}). O Carater Causal de um vetor ou subespaço é a propriedade de ser Tipo espaço, Tipo tempo, Tipo luz. Denotamos por B = {e 1, e 2, e 3 } a base canonica de R 3, que é, e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1). Exemplo Os vetores e 1 e e 2 são tipo-espaço, já e 3 tipo-tempo. 2. O subespaço V gerado por {e 1, e 2 } é tipo-espaço. De fato, dado v V temos que v = ae 1 + be 2, daí g(v, v) = v, v = a 2 + b 2 0 e igual a 0 se, e somente se, a = b = 0. Portanto, g é positiva definida e assim V é tipo espaço. 3. O subespaço V gerado por {e 1, e 3 } é tipo-tempo. De fato, g(u, v) = ac bd onde u = ae 1 + be 2 e v = ce 1 + de 2, logo g é não degenerada de índice 1. Figura 3: O caráter causal no espaço de Minkowski. O conjunto dos vetores tipo-tempo será denotado por T. Para cada u T, define-se o cone tipo-tempo de E 3 1, pelo conjunto C(u) = {v T ; u, v < 0}. C(u) é não vazio uma vez que u C(u). Proposição 3.1. Seja v E 3 1. Então v um vetor tipo-tempo se, e somente se, < v > é tipo espaço e assim, E 3 1 =< v > < v > (Veja [8] Proposição 1.1.4, pg. 3). 18

19 Aqui < v > denota o espaço gerado por v e < v > o complemento ortogonal do espaço gerado por v. Proposição 3.2. T é a união disjunta de C(u) e C( u). Demonstração. É claro que C(u) ( u) T. Agora, dado w T temos pela proposição 3.1 que w = au + w, onde a R {0} e w < u >, assim, u, w = u, au + w = a u, u + u, w = a u, u = a u 2. Se a > 0 então u, w < 0 e w C(u). Se a < 0 então u, w > 0 e w C( u). Além disso, C(u) C( u) =. Proposição 3.3. Sejam v, w T. Se v C(u), para algum u T, então w C(u) se, e somente se, v, w < 0. Demonstração. Demonstraremos que se v( C(u) ) e w T, então w C(u) u se, e somente se, v, w < 0. Como C = C(u) podemos supor u u unitário. Pela proposição 3.1 temos v = au+v e w = bu+w onde a, b R {0} e v, w < u >. Sendo < u > tipo-espaço, então v, w v w,e v, w = ab + v, w. Agora, de 0 > v, v = a 2 + v 2 segue que a > v, analogamente, b > w o que nos dá v, w a b. Como v C(u) temos 0 > u, v = u, au + v = a u, u = a, assim a > 0, agora note que e isto concluí o resultado. sinal( v, w ) = sinal(b), Teorema 3.2 (Desigualdade contrária de Schwarz). Seja u e v dois vetores tipo-tempo. Então u, v u v. Vale a igualdade se, e somente se, u é múltliplo escalar de v. No caso em que ambos vetores estão no mesmo cone tipo-tempo C(u), existe um único número ϕ > 0 tal que u, v = u v cosh(ϕ). O número ϕ é chamado anglo hiperbólico entre u e v. 19

20 Demonstração. Novamente pela proposição temos v = au + v onde a R {0} e v < u >. Sendo < u > tipo-espaço v, v 0, e como v T temos v, v = a 2 u, u + v, v < 0. Por outro lado, u, v 2 = a 2 u, u 2 = (a 2 u, u ) u, u = ( v, v v, v ) u, u. De v, v 0 e u, u < 0 temos que v, v u, u > 0. Então, u, v 2 v, v u, u = u 2 v 2, e a iqualdade ocorre se, e somente se, v, v = 0 o que implica v = 0, ou seja, v = au. Para a segunda parte do teorema escreva u, v 2 ( u, u )( v, v ) 1. Como u e v pertencem ao mesmo cone tipo tempo temos u, v < 0, assim u, v u, u v, v 1. Sendo o cosseno hiperbólico uma função injetiva, cosh : [0, ] [1, ], então existe um único número ϕ tal que cosh(ϕ) = u, v u, u v, v. Corolário Se u, v são dos vetores tipo-tempo pertencentes ao mesmo cone tipo-tempo, então u + v u + v e acontece a igualdade se, e somente se, u e v são proporcionais. Demonstração. Como u, v < 0, a desigualdade contrária de Schwarz nos dá u, v u v. Assim, ( u + v ) 2 = u u v + v 2 u + v, u + v = u + v 2. 20

21 3.2.1 O produto vetorial Lorentiziano Definição 3.4. Sejam u, v E 3 1, chamamos de produto vetorial lorentiziano de u e v o único vetor denotado por u v que satifaz u v, w = det(u, v, w), para todo w E 3 1. A expreção det(u, v, w) denota o determinante da matriz obtida pondo as coordenadas de u,v e w como linha. Proposição 3.4. O produto vetorial satisfaz as seguintes propreidades: 1. u v = v u. 2. u v é ortogonal a u e a v. 3. u v = 0 se, e somente se, u e v são proporcionais. 4. u v 0 pertence ao plano P =< u, v > gerado se, e somente, P é tipo-luz. 4 Curvas especiais no espaço de Lorentz-Minkowski E 3 1 Uma curva α em E 3 1 é dita tipo espaço em t 0 (resp. tipo tempo, tipo luz) se seu vetor velocidade α (t 0 ) é tipo espaço (resp. tipo tempo, tipo luz). A curva α é chamada tipo espaço (resp. tipo tempo, tipo luz) quando é tipo espaço (resp. tipo tempo, tipo luz) em cada t I. Em geral uma curva α em E 3 1 não pertence a somente um dos tipos acima. Exemplo 4.1. Dada a curva α(t) = (cosh(t), t 2, sinh(t)), temos α (t) = (sinh(t), 2t, cosh(t)), assim α (t)α (t) = sinh 2 (t)+(2t) 2 cosh 2 (t) = 4t 2 1. Daí, a curva α(t) é tipo espaço no intervalo (, 1/2) (1/2, ), tipo temmpo em ( 1/2, 1/2) e tipo luz nos pontos { 1/2, 1/2}. Exemplo 4.2. A curva α(t) = (sinh(t), 2t, cosh(t)) é tipo espaço. A curva α(t) = (2 cosh(t), t, 2 sinh(t)) é tipo tempo. A curva α(t) = (cosh(t), t, sinh(t)) é tipo luz. Seja α um curva é tipo espaço (ou tipo tempo) em t 0, a continuidade de α nos dá uma vizinhaça V = (t 0 ε, t 0 + ε) de t 0 onde α é tipo espaço (ou tipo tempo). Uma curva parametrizada α em E 3 1 é regular em t 0 I se α (t 0 ) 0.A curva parametrizada α é chamada regular quando é regular em cada t I. O caráter causal das curvas no espaço de Minkowski impõe condições na regularidade e topologia das curvas. 21

22 Proposição 4.1. Cada curva tipo tempo ou tipo luz é regular. Demonstração. Seja α tipo tempo, daí x (t) 2 + y (t) 2 z (t) 2 < 0, onde α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Em particular z(t) 0, logo, α é regular. Se α é tipo luz, então z(t) 0, caso contrário α (t) = 0. Mas, assim α(t) seria tipo espaço. Como consequência da demonstração, temos que se uma curva α é tipo espaço ou tipo tempo em t 0, então, α é localmente um gráfico (numa vizinhaça de t 0 ). Observação 4.1. Definimos a função comprimento de arco S do mesmo modo que no ambiente euclidiano (Ver 2.1). Definição 4.1. Seja α uma curva tipo espaço ou tipo tempo o comprimento de arco de α a partir do ponto t 0 é S(t) = t t 0 α (t) dt Para curvas tipo luz, o vetor α (t) é tipo luz e não haveria sentido em falar de comprimento de arco. Proposição 4.2. Seja α uma curva tipo espaço ou tipo tempo em E 3 1. Então exite uma reparametrização tal que α (s) = 1. Precisamente, dado t 0 I, exite δ, ε > 0 e um difeomorfimo h : ( ε, ε) (t 0 δ, t 0 + δ) tal que a curva β : ( ε, ε) E 3 1 dada por β = α h satisfaz β (s) = 1 Neste caso, dizemos que a curva α esta parametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração. A demonstração segue as mesmas linhas do teorema 2.2. Proposição 4.3. Seja α uma curva tipo luz. Então exite uma reparametrização de α dada por β = α h tal que β (s) = 1. Dizemos que α é pseudo-parametrizada pelo comprimente de arco. 4.1 Curvatura e torçao Dada uma curvar regular atribuimos a cada ponto da curva uma base E 3 1 chamada de triedo de franet. A variação desta base ao longo da curva vai nos dar a informação como o curva é deformada em ser sentido. definise também a curvatura, toção, assim como o campos de vetores tangentes, normais e binormais, a ideia aqui é imitar as definições feitas anteriormente no ambiente euclediano. 22

23 4.1.1 O caso tipo-tempo Supomos α uma curva tipo tempo, asssim, pela proposição 3.1, temos T (s) 0 é um vetor tipo espaço. A curvatura é definida pelo número κ(s) = T (s). O vetor normal N(s) é definido por N(s) = T (s) T (s). Além disso, κ(s) = T (s), N(s). O vetor B(s) = T (s) N(s) é chamado vetor binormal. O vetor B(s) é unitário e tipo espaço. Assim, para cada s, {T, N, B} é uma base ortonormal de E 3 1 e chamada de triedo de franet de α. A toção é definida por τ(s) = N (s), B(s), escrevemos agora as equações de frenet em sua forma matricial T N B = 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 T N B O caso tipo-espaço Seja α uma curva tipo espaço. carater causal de T (s). Então existem três possibilidades para o 1. O vetor T (s) é tipo espaço. Assim, escrevemos κ(s) = T (s), N(s) = T (s) e B(s) = T (s) N(s). Os vetores N e B são chamados de T (s) normal e binormal respectivamente. κ(s) é chamada a curvatura de α em s. As esquações de frenet são dadas por T 0 κ 0 T N = κ 0 τ N B 0 τ 0 B A torção de α é τ(s) = N (s), B(s). 2. O vetor T (s) é tipo tempo. O vetor normal é N(s) = T (s) T (s), onde a curvatura κ de α é dada por κ(s) = T (s) = T (s), T (s). O vetor binormal é B(s) = T (s) N(s), que é um vector de tipo espaço. As equaões de frenet são 23

24 T N B = 0 κ 0 κ 0 τ 0 τ 0 T N B A torção de α é τ(s) = N (s), B(s). 3. O vetor T (s) é tipo luz (Lembre-se que T (s) 0 e não é proporcional a T (s)). Definimos o vetor normal N(s) = T (s), que é linearmente independente com T (s). Seja B o único vetor tal que N(s), B(s) = 1 e ortogonal a T. O vetor B(s) é chamado o vetor binormal de α em s. As equaões de frenet são T N B = τ τ A função τ é chamada de torção de α. Não existe definição de curvatura de α O caso tipo-luz Seja α uma curva pseudo-parametrizada pelo comprimento de arco, isto é, α (s) é um vetor unitário tipo espaço. Escrevemos T (s) = α (s), definimos o vetor normal N(s) = T (s) e o binormal como o único vetor ortogonal a N(s) tal que N(s), B(s) = 1. As equações de frenet são: T N B = τ τ 0 Novamente a função τ é a torção de α. Da mesma forma como no ambiente euclidiano, pode-se encontrar fórmulas para a curvatura e torção de uma curva não parametrizada pelo comprimento de arco. Primeiro, precisamos definir a curvatura e torção para este tipo de curvas. Dada uma curva α ão parametrizada pelo comprimento de arco define-se a curvatura κ α de α como sendo a curvatuda de uma reparametrização por comprimento de arco, isto é, κ α (t) := κ β (s), onde β é uma reparametrização por comprimento de arco de α. T N B T N B 4.2 Hélices e Curvas de Bertrand em E 3 1 No espaço euclidiano, uma hélice generalizada é uma curva onde as tangentes forma um ânglo constante com uma direção fixa. Esta direção é chamada eixo 24

25 da hélice. Ver definição 2.8. Na seção 1 mostramos que uma curva α é uma hélice generalizada se, e somente se, κ é uma função constante. Estendemos τ esta noção para o ambiente lorentziano. Como no espaço de Minkowski não podemos falar em ânglo entre vetores, consideramos a função T, v para um direção fixa v, e definiremos um hélice por: Definição 4.2. Uma hélice em E 3 1 é uma curva regular tal que T (s), v é um função constante para um vetor fixo v 0. v é chamado eixo da hélice. Nos teoremas que seguem assuma que α é uma curva não planar. Teorema 4.1. Se uma curva α (tipo espaço ou tipo tempo) em E 3 1 é uma hélice, então κ é uma fução constate. τ Demonstração. Separamos a prova em dois casos: α é tipo espaço. Assim, existem três possibilidades para T. -Se T é tipo espaço, como T, v = cte, onde v é o eixo da hélice, temos por derivação e usando as equações de frenet que κ N, v = 0 donde N, v = 0. Daí, segue que v é combinação linear de T e B, isto é, v = at + bb. Novamente derivando v = at + bb com relação a s e usando as equações de frenet, obtemos, a T + at + b B + bb = 0 a T + aκn + b B + bτn = 0 a T + (aκ + bτ)n + b B = 0 a = b = 0 e aκ + bτ = 0. O que nos dá o resultado desejado. -Para T é tipo tempo a demonstração é analoga. -Se T é tipo luz. Derivando T, v = cte, temos N, v = 0 v = at +bb a T +at +b B+bB = 0 a T +an +b B+b( T τb) = 0 (a b)t + an + (b bτ)b = 0 o que implica a = b = 0, isto é, v = 0 o que é uma contradição. α é tipo tempo. é similar a caso onde T e N são tipo espaço, e será deixado como execício. Para a reciproca precisamos da noção de curvatura e torção definidas a longo de α, para isso, consideramos que o vetor normal não é tipo luz. Teorema 4.2. Seja α uma curva (tipo espaço ou tipo tempo) em E 3 1 com o vetor normal não sendo tipo luz. Se κ é uma fução constate, então α é uma τ hélice. 25

26 Demonstração. Suponha que τ = cκ, c R, consideramos aqui o caso da curva sendo tipo tempo. Defina v(s) = ct (s)+b(s) temos assim que v (s) = ct (s) + B (s), das esquações de frenet temos que v (s) = cκn(s) τn(s) = cκn(s) cκn(s) = 0, isto é v(s) = v é uma função constante. Além disso, v, T = c o que prova que α é uma hélice. Referências Bibliográficas [1] MONTIEL. S.; ROS. A. Curves and Surfaces, volume 69 of Graduate Studies in Mathematics. AMS, [2] P. V. ARAÚJO. Geometria Diferencial. Coleção Matemática Universitária. IMPA, [3] M. P. DO CARMO [DC]. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. Textos Universitários. SBM, [4] Serge Lang. Álgebra Linear. Coleção Clássicos da Matemática. Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 3 a edition, [5] Elon Lages Lima. Curso de análise, volume 2 of Projeto Euclides. IMPA, Rio de Janeiro, 11 a edition, [6] Elon Lages Lima. Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. IMPA, Rio de Janeiro, 8 a edition, [7] ALI. A.T.; R. LÓPEZ. On slant helices in minkowski space E3 1. ar- Xiv: v1 [math.dc], Preprint [8] R. LÓPEZ. Differential geometry of curves and surfaces in lorentzminkowski space. arxiv: v1 [math.dc], Preprint [9] ALI. A.; TURGUT. M. Some characterizations of slant helices in E n. arxiv: v1 [math.dg], Preprint [10] ALI. A.; TURGUT. M. Some characterizations of special curves in the euclidean space E 4. arxiv: v1 [math.dc], Preprint [11] Barrett. O Neill. Semi-riemannian geometry with application to relativity. Academic Press, New York,