OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS

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1 OTIMIZAÇÃO DE ATIVOS FINANCEIROS Aluno: Tomás Gutierrez Orientador: Davi Valladão Introdução A Teoria Moderna do Portfólio surgiu diante da necessidade de métodos mais sofisticados para a mensuração do risco e otimização de carteiras de ativos, até então dominadas pela Teoria do Portfólio, apresentada originalmente por Harry Markowitz (1952). Esta fundamenta-se sobretudo na relação entre desvios do retorno do ativo e seu respectivo risco, baseando-se sobretudo em dois critérios: média e desvio-padrão. Todavia, tais métricas oferecem limitações na medição de risco, motivando o aparecimento de técnicas mais modernas. Diante da ineficácia do uso do desvio-padrão, por este ser uma medida de desvio da média, e não propriamente de risco, foi desenvolvida uma primeira métrica do risco de cauda, denominada V@R (Value-at-Risk), até hoje amplamente difundida e utilizada no mercado. Com a evolução dos estudos e pesquisas sobre o tema, uma nova métrica foi apresentada posteriormente, buscando reduzir as limitações impostas no V@R. Surge então uma evolução da primeira, tornando-se conhecida como CV@R (Conditional Value-at-Risk). Com a proposição das novas teorias de risco, uma consequência direta se refere ao mecanismo de resolução. Se antes, na Teoria do Portfólio, soluções analíticas eram utilizadas, as novas metodologias, V@R e CV@R, requerem solução numérica, mediante representação e solução por programação linear. Como consequência direta, o uso intensivo do computador se faz presente, com o desenvolvimento de linguagens de programação, softwares e pacotes voltados justamente para a análise quantitativa financeira. Atualmente, o tema de estudo sobre risco financeiro se mostra cada vez mais relevante no contexto global. Diante de crises, anomalias de mercado e outros fenômenos, a mensuração apropriada do risco de um ativo financeiro se mostra cada vez mais essencial na boa gestão de portfolios e carteiras. Objetivos Estudar e implementar modelos de seleção de carteira. A partir da utilização e análise, estabelecer novas intuições sobre a alocação de ativos no mercado financeiro brasileiro. Tal trabalho propõe, também, uma demonstração dos resultados de um modelo de otimização aplicado, seus limites e seus benefícios. Metodologia De forma simplificada, o problema proposto é: alocação de uma quantidade finita de recursos em ativos financeiros de forma a maximizar o retorno, minimizando seu risco financeiro associado. Para os fins de análise aqui realizados, limitamos também o conjunto de ativos financeiros passíveis de alocação de recursos. Uma das primeiras tentativas de resolução deste tipo de problema é associada aos estudos de Harry Markowitz que, em 1952, propôs um método de resolução baseado na relação entre a média e a variância dos ativos de um portfólio. Talvez o maior benefício de seu estudo, além de inaugurar um novo campo de estudo de forma mais concisa, foi a demonstração do conceito de diversificação do risco. Em seu artigo, Markowitz mostrou ser possível reduzir o risco

2 envolvido em uma carteira para valores inferiores aos riscos isolados de cada ativo em si. A partir daí, muitos pesquisadores se dedicaram e se dedicam ao tema da minimização do risco de uma carteira dado o nível de retorno requerido, ou, equivalentemente, maximização do retorno sujeito ao nível de risco tolerado. Além disso, Markowitz apresentou outro conceito fundamental para a análise de risco de um portfólio, a fronteira eficiente. Tal fronteira representa os pontos ótimos de alocação dado o nível de risco e de retornos obtidos. Em outras palavras, é o lugar geométrico de pontos ótimos no tocante ao retorno esperado (maximizado) sujeito ao risco estabelecido (minimizado). Na figura abaixo, a fronteira eficiente é a curva em negrito. Figura 1 Na figura acima, os pontos A e M são considerados pontos ótimos, pois dado o nível de risco, maximizam o retorno esperado. O ponto 1 não pode ser considerado um ponto ótimo pois para o mesmo nível de retorno observado, o ponto M oferece menor desvio padrão (métrica de risco considerada). Contudo, logo observou-se uma restrição na proposição de Markowitz; o uso isolado do desvio padrão como métrica de risco se mostra ineficiente. Diferentemente de uma medida de risco, o desvio padrão é uma medida de dispersão em relação à média de uma variável. Assim, novas abordagens foram apresentadas com o desenrolar dos anos. Antes de apresentar-se tais modelagens mais sofisticadas, faz-se necessária uma apresentação de conceitos úteis para o melhor entendimento do conteúdo abordado: Um funcional ρ: X R é denominada medida de risco monetária se satisfaz as seguintes propriedades para todo X, Y X: Monotonicidade: Se X Y, então ρ(x) ρ(y) Invariância por translação: Se m R, então ρ(x+m) =ρ(x) m. Normalização: ρ 0 = 0.

3 Além disso, uma medida de risco ρ. é coerente se, somente se possui as seguintes propriedades: Considerando duas loterias X e Y: Subaditividade: ρ X + Y ρ X + ρ Y Homogeneidade positiva Se α > 0, então ρ αx = αρ X Proposto originalmente pela empresa do ramo financeiro J.P. Morgan, o Value-at-Risk busca quantificar o risco de cauda de uma carteira a partir do seguinte modelo matemático: V@R α (X) = inf z {z R P(X + z < 0) 1-α}, ou V@R α (X) = inf z {z R P(-X z) α} Para distribuições contínuas: V@R α (X)= Fx <= (1 α) De maneira intuitiva, pode ser interpretado como o menor aporte z tal que a probabilidade de prejuízo do projeto X, mais o aporte z, seja menor ou igual a 1 α, em que α (0, 1), é conhecido como nível de confiança, como valores típicos de 0.9, 0.95 e A seguir, as imagens apresentam uma visualização gráfica do V@R para um α qualquer em uma função F x (x) acumulada e, em seguida, para uma distribuição de probabilidade hipotética (contínua) com nível de confiança de 5%. Figura 2

4 Figura 3 É comum, porém, em casos práticos, que o fluxo financeiro associado a alguma opção de investimento seja considerado discreto, isto é, um número discreto de estados da natureza ou realizações do fluxo financeiro são considerados. Como consequência, a Função Distribuição Acumulada é discreta e, portanto, certo cuidado deve ser tomado para calcularmos o Value-at- Risk nesta situação. É possível que, para determinados valores do (1 α), a obtenção do VaRα gere confusão. Por isso, há um exemplo a seguir: Exemplo 1: Considere um investimento financeiro X em que existe 80% de probabilidade de um ganho de R$ 100 mil, 10% de probabilidade de uma perda de R$ 70 mil e 10% de probabilidade de perdas de R$ 100 mil. A árvore de decisão abaixo ilustra o contexto. Figura 14 A seguir, apresentaremos um procedimento para obter o Value-at-Risk associado a um fluxo financeiro discreto. Pela definição, basicamente, devemos concentrar os estados da natureza até obtermos um acúmulo de probabilidade estritamente maior que o Nível de Significância desejado. Assim, como exemplo, para (1 α) = 15%, temos que:

5 Tabela 1 Por conseguinte, o VaR 85% (X) = X(ω2) = R$ 70 mil. Note que o acúmulo de probabilidade deve ser feito adicionando o estado que gera o menor próximo valor para o fluxo financeiro. Desta forma, se invertermos a ordenação fazendo X(ω1) = R$ 70 mil e X(ω2) = R$100 mil, então, temos que a terceira linha da tabela acima terá o estado ω1 e não ω2 como apresentado. Novamente, vamos calcular o VaR 80%. Temos, então, Tabela 2 Analogamente, VaR 80% (X) = X(ω1) = R$100 mil. De maneira geral, a tabela abaixo faz uma relação entre o nível de significância (1 α) e o VaRα(X). Tabela 3 Seja (Ω,F,P) um espaço de probabilidade e X o conjunto de opções de investimentos representados por Variáveis Aleatórias. Para qualquer α (0, 1), ρ = VaRα é uma Métrica de Risco. Prova: Para demonstrarmos esta proposição, vamos verificar se a definição de Value at Risk satisfaz as condições de medidas de risco. 1. Monotonicidade: Se X Y, então ρ(x) ρ(y). Note que se X Y então FX FY Consequentemente, para um Nível de Significância fixo (1 α), VaRα(X) VaRα(Y). Assim, ρ(x) ρ(y). A figura a seguir ilustra este resultado.

6 Figura 2 2.Invariância a Translação: Para m R, então ρ(x + m) = ρ(x) m. Pela definição, temos que VaRα(X) VaRα(X + m) = m. Portanto, VaRα(X + m) = VaRα(X) m. A figura a seguir ilustra este resultado. Figura 3 3. Normalização: Para 0 X, ρ(0) = 0. Aplicando a definição, temos que: V@Rα(0) = min{z R P({ω Ω 0(ω) + z < 0}) 1 α} = min{z R P({ω Ω 0 + z < 0}) 1 α} = 0

7 O é uma medida de risco bastante difundida no mercado financeiro. Todavia é necessário ter atenção com as suas limitações: Em casos de ativos e/ou portfólio de ativos cuja distribuição possua caudas largas, o V@R demonstra-se inadequado. Em resumo, o V@R quantifica o menor valor tal que a probabilidade de prejuízo seja inferior ao nível de significância, mas nada nos informa sobre o quão ruim é o investimento nos piores casos, como pode ser verificado na figura abaixo: Figura 4 Outro problema associado à métrica de Value-at-Risk é a possível violação de um dos conceitos básicos da análise de investimento, apresentado por Markowitz, a diversificação. Em diversos casos, o Value-at-Risk de uma carteira de ativos é superior à soma do Value-at-Risk dos ativos individuais, isto é, o risco da carteira é maior que o acúmulo do risco individual. Esta violação vai de encontro ao conhecido Efeito Portfólio largamente estudado na literatura, citado anteriormente. Exemplo 2: Suponha dois possíveis investimentos X 1 e X 2 tais que suas realizações sejam independentes. O fluxo financeiro destes investimentos é: Equação 1 Obtendo o Value-at-Risk para um Nível de Significância (1 α) = 50%, em ambas as opções de investimento, temos que VaR 50% (X 1 ) = 1 e VaR 50% (X 2 ) = 5. Supõe-se agora uma carteira X com uma alocação igualitária. Assim, o fluxo financeiro da carteira pode ser escrito como: Equação 2

8 Portanto, o VaR 50% (X) = 4. Assim, temos que VaR 50% (X) = VaR 50% (X 1 + X 2 ) = 4 > 1 5 = VaR 50% (X1) + VaR 50% (X2). Assim, VaR 50% (X 1 +X 2 ) > VaR 50% (X2) + VaR 50% (X1), implicando que o risco da carteira é maior que o risco individual dos investimentos. Assim, apesar de portfólios diversificados possuírem vantagens sob portfólios não diversificados, o correspondente Value-at-Risk não reflete esta vantagem, sendo, portanto, um ponto negativo desta métrica. Outro ponto negativo do Value-at-Risk é o fato de esta métrica ser muito sensível à escolha do nível de significância, especialmente quando estamos em um contexto discreto. Exemplo 3: Suponha um investimento X com o seguinte fluxo financeiro: Equação 3 O Value-at-Risk a um Nível de Significância de 50% é 1. Contudo, para um nível de significância de 49,9%, o Value-at-Risk é 1. O fato de esta métrica ser descontínua com relação ao nível de significância implica que uma leve alteração neste nível pode resultar em uma significante alteração na quantificação de risco do investimento. Uma crítica final feita à métrica Value-at-Risk está associada à sua formulação como um problema de otimização. A formulação de problemas de decisão baseados na minimização desta métrica (quanto menor o risco, melhor!) é realizada sob o contexto de programação matemática não linear e costumam ser bastante complexos. Consequentemente, não há registros na literatura de algoritmos eficientes para resolver estes problemas para um caso geral, sendo a formulação de boas metodologias de solução dependentes caso-a-caso. Como pode ser verificado, a métrica Value-at-Risk possui um conjunto de ineficiências. Diante de tais limitações, novas propostas de medidas foram apresentadas na literatura, com destaque para o Conditional Value-at-Risk, escolhido como referência no trabalho aqui apresentado. A métrica Conditional Value-at-Risk é um funcional CVaR N : X R definido como: CVaR N (X) = (z E[(z X)+ ] ), 1 α onde (x) V = máx{x, 0}, z = VaRα(X) e α (0, 1), assim como definido para o Value-at-Risk. Para o caso de distribuições contínuas, o Conditional Value-at-Risk pode ser definido como: CVaRα(X) = E[X X VaRα(X)], ou seja, o Conditional Value-at-Risk representa o Valor Esperado dos fluxos que são inferiores ao VaRα, isto é, inferiores ao quantil de (1-α) %. Na figura a seguir, há a representação da relação entre o Value-at-Risk e o Conditional Value-at-Risk para uma distribuição de probabilidade (contínua) hipotética e um Nível de Confiança (1-α) =5%.

9 Figura 7 Exemplo 4: Utilizando o mesmo exemplo dado para o cálculo do V@R pode-se extrair o CV@R conforme será demonstrado abaixo. Novamente analisa-se um investimento financeiro X tal que existe 80% de probabilidade de um ganho de 100 mil R$, 10% de probabilidade de uma perda de 70 mil R$ e 10% de probabilidade de perdas de 100 mil R$ cuja árvore de decisão está representada a seguir. Figura 5 Já se chegou a conclusão de que para α = 85%, o VaR 85%( X) = 70 mil R$. A partir deste valor e da primeira definição dada de CVaR, é possível calcular o CVaR 85% (X) e encontrar a seguinte tabela: Tabela 4 A partir desta tabela, podemos calcular o Conditional Value-at-Risk a um Nível de Significância de (1 α) = 15%. CVaR85%(X) = ( VaR85%(X) E VaR85% X)V ) 1 α = ( 70 p q=,qr,qs ( 70 X(ω)) V P({ω}) ) 0.15

10 = ( = 90 ) Para um nível de significância de (1-α) = 20%, recalcula-se: VaR wx% X = 100 mil R$ (resultado obtido através do exemplo 1) Tabela 5 Assim, CVaR wx% X = ( VaR wx% X E[( VaR wx%(x) X) V ] 1 α ) = (100 = ( 100 ω {ω1,ω2,ω3 } (100 X(ω) ) + P({ω}) = ) Ao contrário do Value-at-Risk, o Conditional Value-at-Risk não é descontínuo com relação a pequenas variações do nível de significância (1 α). Na figura a seguir, foi plotado a curva do CVaRα (X) e o VaRα(X) em função de α. Figura 6 Observe que, de fato, o CVaRα (X) não possui saltos como verificou-se no VaRα (X).

11 Esta propriedade é bastante interessante para mesurar risco, uma vez que uma leve alteração no nível de significância (1 α) não gera uma significante alteração na métrica de risco como acontecia com o VaRα. Além disso, o CVaRα (X) está sempre acima do VaRα (X). Resultados numéricos e análise Munido de tal base teórica, desenvolveu-se o estudo da alocação ótima no mercado financeiro brasileiro, com o uso de ferramentas computacionais de suporte. A partir de uma seleção de ativos específicos, e seus respectivos históricos em anos recentes (Jan/2005 a Jan/2015), implementou-se um modelo de programação estocástica de dois estágios buscando a maximização do retorno e minimização do risco, mensurado pelo CV@R. Tal modelo, exposto na imagem ao lado, requer como input apenas o risco tolerado, o retorno requerido e uma matriz de base de dados representando uma aproximação da distribuição de probabilidades do ativo. Como output, temos o percentual de alocação em cada ativo para o alcance do objetivo. No modelo, Z corresponde ao Value-at-Risk (V@R) no ótimo, y s = variável auxiliar para cada cenário que no ótimo é igual a (z Ri(s)*xi) +, x i = percentual ótimo alocado em cada empresa, R i = retorno em cada cenário, p s = probabilidade de cada cenário e γ= retorno requerido. Baseados em uma fonte de dados com os retornos mensais de 10 anos (01/01/2005 a 01/01/2015), aplicou-se o modelo seguidamente em uma estrutura de backtest (teste com dados passados). Como dados de entrada do modelo, temos a base de dados para uma janela temporal especificada, o nível de significância requerido, o retorno desejado e a riqueza disponível para a alocação. Tal riqueza, começando com o valor 1 (= 100%) era, então, reaplicada seguidamente ao modelo, atualizando a janela temporal, simulando o crescimento de uma carteira de investimentos orientada por tais equações, ao longo do tempo. Tal crescimento foi, então, comparado ao rendimento do índice Ibovespa, representativo do mercado financeiro brasileiro, para os períodos equivalentes. Faz-se importante ressaltar que o tamanho da janela utilizada como aproximação da distribuição de probabilidades influencia no tempo de rendimento do índice de comparação utilizado como referência. Por exemplo, ao usar um tamanho de janela igual a 12 observações, reduziu-se a base de dados em 1 ano para o backtest, sendo realizado então, nos 9 anos seguintes. Para um tamanho igual a 24, os 2 primeiros anos foram suprimidos e 8 utilizados em sequencia, e assim em diante, dado que a observação é mensal e 12 meses equivalem a 1 ano. A seleção de ativos se restringiu às ações das seguintes empresas (em parênteses, a respectiva identificação na listagem em bolsa): Vale ( VALE5.SA ), AmBev ( ABEV3.SA ), Petrobrás ( PETR4.SA ), Eletrobrás ( ELET3.SA ), Banco Bradesco ( BBDC3.SA ), Companhia Siderúrgica Nacional ( CSNA3.SA ), Embraer ( EMBR3.SA ), Gerdau ( GOAU4.SA ) e Banco do Brasil ( BBAS3.SA ). A frequência utilizada na coleta de dados foi mensal. Ao longo dos testes, variou-se o valor do parâmetro α (nível de significância), o valor do retorno requerido γ e do tamanho da janela temporal a ser considerada como base dos retornos. Mais detalhes sobre os valores utilizados e os respectivos resultados são fornecidos nas tabelas a seguir. Em cada tabela, está exposto o valor do retorno total obtido com o uso do modelo, para os parâmetros especificados. Em cada tabela, o uso de cores segue a seguinte lógica: quanto

12 mais intensa a cor verde (vermelha), maior (menor) o retorno, tomando como referência (cor branca) o retorno do Ibovespa para o mesmo período. Após tais tabelas, foi feito ainda um levantamento de algumas informações relevantes, agrupadas novamente de acordo com o tamanho da janela temporal considerada. Tamanho da janela: 12 observações; Ibovespa = 22.21% γ \" % % 22.01% 22.01% % % 30.09% 30.09% % % 40.87% 40.87% % % 49.55% 49.55% Tabela 6 Tamanho da janela: 24 observações; Ibovespa = 5.08% γ \" % % % % % % % % % % % -9.84% % % % 35.26% Tabela 7 Tamanho da janela: 36 observações; Ibovespa = % γ \" % % % 10.76% % 34.03% 50.12% 16.88% % % % 66.21% % % % % Tabela 8 Tamanho da janela: 48 observações; Ibovespa = 19.36% γ \" % 8.78% -9.25% 15.03% % % % % % % % % % % % % Tabela 9

13 Tamanho da janela: 12 observações Período 1/1/06 1/1/15 IBOVESPA Maior retorno Menor retorno Retornos >= IBOVESPA Retornos < IBOVESPA Média dos retornos 22.21% 49.55% % % Tabela 10 Tabela 11 Tamanho da janela: 24 observações Período 1/1/07 1/1/15 IBOVESPA Maior retorno Menor retorno Retornos >= IBOVESPA Retornos < IBOVESPA Média dos retornos 5.08% 35.26% % % Tamanho da janela: 36 observações Período 1/1/08 1/1/15 IBOVESPA % Maior retorno Menor retorno Retornos >= IBOVESPA Retornos < IBOVESPA Média dos retornos % % % Tabela 12 Tabela 13 Tamanho da janela: 48 observações Período 1/1/09 1/1/15 IBOVESPA 19.36% Maior retorno Menor retorno Retornos >= IBOVESPA Retornos < IBOVESPA Média dos retornos % % % Com base nos dados expostos, algumas suposições puderam ser levantadas. Mas antes, algumas considerações sobre eventuais fatores externos que podem ter influenciado o modelo: Os dados da janela de 48 observações não levam em conta a crise de 2008 no cálculo do retorno da Ibovespa, resultando em um retorno mais alto se comparado aos dados com menos observações (24 e 36 observações). É necessário, porém, ressaltar que a economia brasileira ainda se recupera de tamanho encolhimento, como pode ser evidenciado pelos dados imediatamente após o início da mesma (retorno negativo entre 2008 e 2015, exposto na janela de 36 observações). Já o primeiro período utilizado, de 2006 a 2015 não apresenta um retorno maior dado o período de alta entre 2005 e 2007, que, junto à estabilização pós-08 superpõe a queda acentuada no auge da crise. Com respeito ao modelo em si, algumas observações podem ser levantadas. Em geral, ao requerermos maior retorno, o modelo se torna mais seletivo, e propicia resultados melhores, embora nem sempre suficientes para se equiparar ao benchmark (taxa de referência). Já em relação ao parâmetro do nível de significância, nada pode ser dito, pois embora a maior parte dos dados aponte para uma relação inversa entre α e o retorno obtido, os dados com 48 observações contrariam essa hipótese. Ainda sobre o modelo, percebe-se resultados melhores à medida que a janela utilizada aumenta. Isso ocorre possivelmente porque com mais dados para a distribuição de probabilidade aproximada, melhor o resultado obtido. Dessa forma, expõe-se a melhoria no funcionamento do modelo com maior fonte de dados utilizada. Novamente sobre a fonte de dados, algumas considerações adicionais. A coleta de observações aqui realizada foi de caráter mensal, o que torna a base de dados menor. Retornos semanais, diários ou até mesmo intradiários possibilitariam o uso de uma janela temporal maior, e ao mesmo tempo, forneceriam uma aproximação mais fidedigna da distribuição de probabilidade dos ativos utilizados. Técnicas de aumento da frequência, conhecidas como high frequency possivelmente melhorariam a performance. Além disso, o uso dos retornos dos ativos de forma pura, sem nenhuma análise estatística prévia (séries temporais, etc.) piora a qualidade da previsão, por deixar de capturar possíveis tendências nos dados, por exemplo.

14 Dada a motivação do trabalho condicionada apenas à performance do modelo de otimização em dados puros, tal análise não foi feita. Pode-se observar, finalmente, a diversidade de resultados obtidos com a variação dos parâmetros. Desde excelentes respostas até péssimas condições finais, o modelo possuiu amplo alcance de cenários finais. E justamente a capacidade de prover excelentes resultados indica uma possível adaptação da metodologia para aprimorá-la. Conclusões O estudo possibilitou uma melhor compreensão dos modelos de otimização aplicados ao estudo de finanças. A métrica CV@R, mais avançada, se mostrou também mais consistente. Diante da simplicidade de implementação do modelo, uma atenção especial deve ser direcionada à matriz de retornos utilizada como input. O fornecimento de dados históricos simples não reflete eventuais tendências nos valores dos ativos. Uma alternativa que se mostra mais apropriada é o uso de modelagem dos dados a partir de estruturas de séries temporais, resultando em alocações mais eficientes dos ativos. Em especial, o uso de modelos que atribuem maior peso às observações mais recentes possibilita resultados melhores, por levarem em consideração a possível estrutura de tendência que o preço dos ativos está seguindo. Notadamente, o modelo utilizado requer ajustes como os sugeridos acima. O grau de dispersão de seus resultados é muito acentuado, e alguns cenários gerados implicam valores inconcebíveis na formulação de um modelo de gestão financeira. De forma geral, o modelo pode ser aplicado não só no mercado financeiro brasileiro, mas em qualquer outro, ressaltando a generalidade e aplicabilidade do estudo na área. Assim, o avanço teórico no campo de otimização e finanças se mostra essencial para o contínuo aprimoramento de modelos de seleção de carteira e alocação eficiente de recursos. Referências 1 JORION, Philippe Value at risk, Irwin Chicago, Pflug, G., Some results on Value-At-Risk and Conditional-Value-at-Risk in S. Uryasev Ed., Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications, Kluwer Academic, Norwell, MA, ARTZNER, Ph., F. Delbaen, J. M. Eber, e D. Heath, Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, 9, , 1999