wxmaxima: Software Livre para o ensino e aplicações da Matemática

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA wxmaxima: Software Livre para o ensino e aplicações da Matemática Desenvolvido pelo GESE (Grupo de Estudos de Software no Ensino) Cleber José dos Santos 1 Douglas Luan de Souza 1 Jéssica Amorim Mamed 1 Lucas Alves Guimarães 1 Lucas Ruas de Aquino 1 Matheus F. P. de Almeida 1 Jaime Batista de Souza 2 Deborah Faragó Jardim 3 1 Aluno do Bacharelado em Ciência e Tecnologia 2 Matemático do ICET 3 Professora do Bacharelado em Ciência e Tecnologia 1

2 Sumário 1 Introdução e Conceitos básicos Introdução Operadores básicos: Entradas e saídas no wxmaxima: Trabalhando com o wxmaxima: Constantes Matemáticas: Operadores Avançados: Funções Matemáticas: Manipulação de expressões matemáticas : Sistemas de equações lineares: Sistema impossível: Sistema possível determinado: Sistema possível indeterminado: Matrizes: Operações matriciais básicas com o wxmaxima: Tipos de Matrizes Introdução a Vetores Norma de Um Vetor Exercícios Resolvidos Produtos Escalar e Vetorial Exercícios Resolvidos Autovalores e Autovetores Exercícios propostos: wxmaxima e Cálculo Limites Derivadas no wxmaxima Comandos para diferenciar uma função no wxmaxima: Derivadas parciais Integrais no wxmaxima Integrais múltiplas

3 3 Atividades: Limites Derivadas Integrais

4 Capítulo 1 Introdução e Conceitos básicos 1.1 Introdução O Maxima é um Sistema de computação algébrica(cas-do inglês Computer Algebra System) derivado do sistema Macsyma, desenvolvido no Instituto de Tecnologia de Massachussets(MIT) como parte do projeto MAC. Esse tipo de software nos permite manipular expressões matemáticas, plotar grácos em duas ou três dimensões e, no caso do Maxima, além das inúmeras vantagens comuns aos demais CASs ele ainda é um software livre 1. O wxmaxima pode ser executado em vários SOs como Windows, Linux e MacOS X. O instalador do wxmaxima para Windows e Linux pode ser encontrado no endereço Operadores básicos: Operadores Função + É o operador de soma - É o operador de subtração * É o operador de multiplicação / É o operador de divisão É o operador de exponenciação! É o operador de fatoração 1.3 Entradas e saídas no wxmaxima: Toda entrada de comando no wxmaxima vem acompanhada do símbolo (%in), sendo o i do inglês in (entrada) e o N representa o número de identicação da entrada, por exemplo a 1 a linha sempre vem rotulada com o símbolo (%i1). 1 Software livre, segundo a denição criada pela Free Software Foundation, é qualquer programa computacional que pode ser usado, copiado, estudado e redistribuído sem restrição. O conceito de software livre se opõe ao conceito de software restritivo, mas não ao software que é vendido almejando o lucro(software comercial). 4

5 As saídas vem acompanhadas do símbolo (%on) no qual o o é do inglês out (saída) e o N é o número que identica a saída. 1.4 Trabalhando com o wxmaxima: Com o wxmaxima aberto, faça as seguintes operações: Obs: é imprescindível o uso do ponto e vírgula(; ) após cada linha de comando. (%i1) 2+96; (%o1) 98 (%i2) 3-45; (%o2) 42 (%i3) 3+(-45); (%o3) 42 (%i4) (%o4) 3*x; 3 x (%i5) 5/4; (%o5) 5 4 (%i6) 5.0/4.0; (%o6) 1.25 (%i7) 3^2; (%o7) 9 (%i8) x^3; (%o8) x 3 (%i9) y**0; (%o9) 1 (%i10) 5!; (%o10) 120 Caso deseje trabalhar com números decimais, outra opção seria usar o comando oat(expressão); (%i11) 11/3; 5

6 (%o11) 11 3 (%i12) float(%); (%o12) Constantes Matemáticas: Para utilizar os valores reais de constantes matemáticas, como `pi', devemos escrever antes da constante o operador `%'. (%i13) 2*pi; (%o13) 2 π (%i14) float(%); (%o14) 2.0 π (%i15) 2*%pi; (%o15) 2 π (%i16) float(%); (%o16) Operadores Avançados: (%i17) x:4; (%o17) 4 (%i18) y:%pi; (%o18) π Operadores Função : É o operador que atribui valor a uma variável := É o operador para denir uma função Às variáveis `x' e `y' foram atribuidos, respectivamente os valores `4' e π. (%i19) f(x):=x^2+1; (%o19) f (x) := x (%i20) g(y):=sin(y); 6

7 (%o20) g (y) := sin (y) Como já declaramos f(x) e g(y), e atribuimos valores a `x' e a `y', podemos calcular: (%i21) f(x); (%o21) 17 (%i22) g(y); (%o22) 0 (%i1) a(theta):=theta^2+2*theta+1; (%o1) a (θ) := θ θ + 1 (%i2) a(1); (%o2) 4 (%i3) a(2); (%o3) Funções Matemáticas: Funções Trigonométricas: Comando Função sqrt(expressão) Retorna a raiz quadrada da expressão x (m/n) Retorna a raiz n-ésima de x elavado a `m' log(expressão) Retorna o logaritmo neperiano da expressão Função Trigonométrica sin(x), sinh(x) cos(x), cosh(x) tan(x), tanh(x) acos(x) asin(x) atan(x) Descrição Seno, Seno hiperbólico Cosseno, Cosseno hiberbólico Tangente, Tangente hiperbólica Arco-cosseno Arco-seno Arco-tangente 7

8 1.5 Manipulação de expressões matemáticas : Como foi citado na introdução desta apostila, uma grande vantagem do wxmaxima é nos permitir a manipulação de expressões complicadas. Seguem abaixo alguns exemplos simples nos quais ele se mostra muito útil: (%i1) cos(x)^3; (%o1) cos (x) 3 (%i2) trigreduce(%); (%o2) (%i3) cos (3 x) + 3 cos (x) 4 cos(x)^2+sin(x)^2+2; (%o3) sin (x) 2 + cos (x) (%i4) (%o4) 3 (%i5) (%o5) (%i6) (%o6) 3 (%i7) trigsimp(%); trigreduce(%o3); cos (2 x) ratsimp(%); (%o7) cos (2 θ) cos(2*theta); 1 cos (2 x) (%i8) trigexpand(%); (%o8) cos (θ) 2 sin (θ) 2 (%i9) factor(a(theta)); (%o9) (θ + 1) 2 8

9 1.6 Sistemas de equações lineares: Quando inserir um sistema de equações é importante nomeá-lo para facilitar sua identicação e manter a organização. Estes são inseridos com a seguinte estrutura: [Equação 1, Equação 2],[Variável 1, Variável 2];. Para obter a solução do sistema usa-se o comando `solve'. (%i38) sis:[2*x+y=5,3*x-2*y=4],[x,y]; (%o38) [y + 2 x = 5, 3 x 2 y = 4] (%i39) solve(sis); (%o39) [[y = 1, x = 2]] Exercício 1: Em um cinema o valor do ingresso para crianças é R$ 1,50 e para adultos é R$ 4,00. Num certo dia frequentaram o local 2200 pessoas e o total arrecadado foi R$ 5.050,00. Quais os números de adultos e crianças que assistiram lmes? Esse problema pode ser resolvido facilmente através de equações dispostas em um sistema. Primeiro arranjamos as equações das seguintes formas: x + y = 2200 para o número de pessoas e x.1, y = 5050 para o total arrecadado. Com a estrutura pronta entramos com um sistema no wxmaxima e solucionamos o problema. (%i32) sis: [x+y=2200,x*(3/2)+y*4=5050],[x,y]; (%o32) [y + x = 2200, 4 y + 3 x 2 = 5050] (%i33) solve(sis); (%o33) [[y = 700, x = 1500]] O número de crianças é 1500 e adultos 700. Uma outra forma de trabalharmos com sistemas lineares é escrevê-los na forma de uma matriz aumentada ou expandida, que no wxmaxima é feito utilizando o comando `augcoefmatrix', após inserir o sistema como no exemplo anterior, obtendo assim, a sua solução através do escalonamento da mesma, com o comando `triangularize'. 9

10 (%i40) M:augcoefmatrix(sis,[x,y]); ( ) (%o40) (%i41) triangularize(m); ( ) (%o41) Utilizando a ferramenta de plotagem gráca do wxmaxima, podemos fazer uma interpretação geométrica do conjunto solução de um sistema, escrevendo cada equação deste, em função de uma variável. (%i5) plot2d([5-2*x,(-4+3*x)/2],[x,-0.5,6],[y,-0.5,6]); Sistema impossível: (%i1) sis1:[-2*x-y=-5,-8*x-4*y=-25],[x,y]; (%o1) [ y 2 x = 5, 4 y 8 x = 25] (%i2) solve(sis1); (%o2) [] 10

11 1.6.2 Sistema possível determinado: --> sis2:[-x-y=-4,-2*x-3*y=-2],[x,y]; (%o1) [ y x = 4, 3 y 2 x = 2] --> solve(sis2); (%o2) [[y = 6, x = 10]] Sistema possível indeterminado: (%i1) sis3:[-2*x+4*y=-2,4*x-8*y=4],[x,y]; (%o1) [4 y 2 x = 2, 4 x 8 y = 4] 11

12 A partir das matrizes encontre as equações dos sistemas lineares e de seu resultado: ( Logo após, diga se os sistemas são S.I(Sistema impossível), S.P.D(Sistema possível e determinado), ou se é S.P.I(Sistema possível e indeterminado). Resolvendo : (%i1) (%o1) [] linsolve([2*x+3*y+2*z=10, 4*x+6*y+4*z=18, 1*x-2*y+3*z=5], [x,y,z]); Logo é um S.I, não possui nenhuma solução. ) (%i2) linsolve([1*x+0*y+0*z+0*k=2, 0*x+1*y+0*z+0*k=3, 0*x+0*y+1*z+0*k=5, 0*x+0*y+0*z (%o2) [x = 2, y = 3, z = 5, k = 9] Logo é um S.P.D, possui uma única solução. (%i3) linsolve([7*x+4*y+2*z+0*k=1, 9*x+2*y+7*z+5*k=5], [x,y,z,k]); (%o3) [x = 12 %r %r1 9, y = 11 Logo é um S.P.I, possui innitas soluções. 31 %r %r1 26, z = %r2, k = %r1] 22 12

13 1.7 Matrizes: Temos que matriz é a disposição de elementos na forma de tabela na qual uma matriz A, m x n (m por n), nos leva a distribuição dos termos em m linhas e n colunas, podendo ser representada da seguinte maneira: A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 No wxmaxima as matrizes podem ser inseridas de diferentes formas, dentre elas temos as linhas de comandos. Uma das maneiras de inserir matrizes é através do comando: matrix();, na qual os argumentos, linhas e colunas com seus respectivos elementos, são inseridos entre os parênteses e separados por colchetes e vírgulas. É importante a atribuição de um nome à matriz para posteriormente facilitar as operações com as mesma. Segue abaixo um exemplo: (%i1) (%o1) A:matrix([2,4,1],[3,7,2],[9,7,5]); O comando entermatrix(m,n), retorna uma matriz m por n de forma interativa, sendo que se m é igual a n o wxmaxima pergunta pelo tipo de matriz (diagonal, simétrica, antissimétrica ou genérica) e por cada elemento. Mas se m for diferente de n o wxmaxima pergunta por cada elemento. Seguem os exemplos abaixo: (%i1) entermatrix(2,2); Isthematrix1.Diagonal2.Symmetric3.Antisymmetric4.GeneralAnswer1, 2, 3or4 : 1; Row1Column1 ( ): 4; Row2Column2 : 2; M atrixentered. 4 0 (%o1) 0 2 (%i1) entermatrix(2,3); Row1Column1 : 2; Row1Column2 : 3; Row1Column3 : 5; Row2Column1 : 1; Row2Column2 : 2; Row2Column3 ( : 0; ) M atrixentered (%o1)

14 Outra maneira de escrever uma matriz é denindo-a em função das posições dos elementos da mesma, na qual determinamos a regra que permite denir um elemento e a dimensão da matriz desejada. No exemplo abaixo, i representa o número da linha e j o da coluna: (%i9) B[i,j]:=i+3; (%o9) B i,j := i + 3 (%i10) genmatrix(b,3,3); (%o10) O wxmaxima nos permite carregar pacotes com funções extras, na qual esses são carregados do diretório de instalação do programa. O pacote `gaal' nos permite gerar uma matriz de maneira aleatória com elementos de 5 a 5 utilizando a função 'randi();'. Segue o exemplo: (%i8) (%o8) (%i9) (%o9) load("gaal")$ randi(3,2); Métodos de escalonamento com o wxmaxima: Dentre as possíveis formas de solucionar sistemas de equações lineares e consequentemente matrizes, temos o método de escalonamento desenvolvido por Gauss e Jordan que no wxmaxima é dado pelo comando `echelon();'. Segue o exemplo abaixo: (%i2) A:matrix([2,5,4],[5,2,1],[9,0,6]); 14

15 (%o2) (%i3) (%o3) echelon(a); Outro comando que realiza escalonamento é o `triangularize();'. Entretanto esse comando que também realiza a eliminação de Gaussian, não normaliza o elemento líder não nulo em cada linha. (%i5) (%o5) triangularize(a); O pacote `gaal' também nos permite escalonar matrizes passo a passo com a função `escalona();', nos retornando as operações entre as linhas como segue no exemplo abaixo: (%i1) load("gaal"); (%o1) C : /P ROGRA 2/M AXIM A 1.0/share/maxima/5.26.0/share/gaal.mac (%i2) M:matrix([2,5,3],[9,1,6],[8,2,5]); (%o2) (%i3) escalona(m); a.eliminao : linha1 > linha Continua?(sim = 1; /no = 2; )1; linha2 > linha2+( 9) linha1linha > linha3 + ( 8) linha1 15

16 Continua?(sim = 1; /no = 2; )1; 2a.eliminao : linha2 > linha Continua?(sim = 1; /no = 2; )1; linha1 > linha1 + ( ) linha2linha3 > linha3 + (18) linha Continua?(sim = 1; /no = 2; )1; 3a.eliminao : linha3 > linha Continua?(sim = 1; /no = 2; )1; linha1 > linha1 + ( ) linha3linha2 > linha2 + ( ) linha Continua?(sim = 1; /no = 2; )2; (%o3) Operações matriciais básicas com o wxmaxima: Somente estão denidas as operações de adição e subtração quando as matrizes são da mesma ordem. Essas operações são dadas pelos operadores + e como seguem nos exemplos abaixo: (%i1) (%o1) A:matrix([2,5],[3,6]); ( )

17 (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) B:matrix([3,5],[1,0]); ( ) A+B; ( ) A-B; ( ) O operador que realiza a multiplicação entre matrizes, ou produto não comutativo, é o ponto, '.'. É importante lembrar que ao se trabalhar com matrizes o operador de multiplicação '*' é usado ao se multiplicar um escalar pela matriz, pois quando usado entre matrizes retorna o produto comutativo, multiplicação de elemento por elemento. Seguem exemplos: (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) A:matrix([2,4,5,1],[5,7,4,1],[9,1,5,7],[3,2,5,0]); B:matrix([2,5,3,4],[9,0,6,4],[5,6,3,1],[0,0,2,5]); Observe os resultados com o uso dos diferentes operadores: (%i3) (%o3) A.B;

18 (%i15) A*B; (%o15) Multiplicação por escalar: (%i4) 2*A; (%o4) (%i8) X:matrix([2,5],[6,9]); ( ) 2 5 (%o8) 6 9 (%i9) sqrt(2)*x; ( ) 2 (%o9) (%o10) (%i10) 2.33*X; ( 4.66 ) Potência de matrizes: (%i11) X^3; ( ) (%o11) Como já visto, outro pacote que nos fornece funções extras é o 'nchrpl', que nos retorna a função 'mattrace();', que calcula o traço da matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal. Segue o exemplo abaixo: Primeiro carregamos o pacote: 18

19 (%i9) (%o9) load("nchrpl"); C : /P ROGRA 2/M AXIM A 1.0/share/maxima/5.26.0/share/matrix/nchrpl.mac Em seguida damos entrada na matriz desejada e chamamos a função: (%i10) f:matrix([2,5,1],[1,7,5],[0,7,2]); (%o10) (%i11) mattrace(f); (%o11) 11 O cálculo do determinante da matriz é feito através do comando 'determinant();'. Segue o exemplo abaixo: (%i7) (%o7) (%i8) (%o8) 50 N:matrix([3,6,4,1],[9,7,4,1],[0,9,3,1],[8,2,3,1]); determinant(n); Tipos de Matrizes Uma matriz identidade é aquela que tem todos elementos da diagonal principal 1, podendo ser facilmente construida com o comando 'ident(n);', na qual n é a dimensão da matriz: (%i3) (%o3) ident(3);

20 Para gerar uma matriz nula, em que todos elementos são zero, utilizamos o comando 'zeromatrix(m,n);', na qual m e n representa o numero de linhas e colunas. (%i4) (%o4) zeromatrix(2,3); ( 0 0 ) Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada (m = n),onde para todo i j os elementos são nulos, ou seja, os elementos que não pertencem a diagonal principal. Esta é construida através do comando 'diagmatrix();'. (%i5) diagmatrix(3,x/3); x (%o5) x x A transposta de uma matriz M, de dimensão m x n, representada por M t, é de- nida como a matriz n x m que surge da permutação das linhas com as colunas de M. O comando 'transpose();' realiza esta permutação. (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) M:matrix([2,4,6]); ( ) transpose(m); Adjunta é a matriz transposta da matriz de cofatores de M. O comando 'adjoint();' nos retorna a mesma. (%i11) M:matrix([3,5,7],[8,2,7],[1,0,9]); (%o11)

21 (%i12) adjoint(m); (%o12) Se temos que A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos que A 1 é inversa de A se, e somente se: A.A 1 = A 1.A = I. A matriz inversa é dada pelo comando 'invert();'. Segue o exemplo abaixo: (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) M:matrix([2,4,5],[6,8,2],[2,5,3]); invert(m); Ainda é possível obtê-la usando a potência: (%i18) M^^(-1); (%o18) Introdução a Vetores Para trabalhar com vetores no wxmaxima, será necessário uma simples conversão, por exemplo os vetores: v = 2i + 4j 2k e u = 3i j + 5k, serão armazenados de seguinte forma: (%i1) v:[2,4,-2]; (%o1) [2, 4, 2] (%i2) u:[3,-1,5]; 21

22 (%o2) [3, 1, 5] A adição, subtração e multiplicação de um escalar são feitas de seguinte forma: (%i3) v+u; (%o3) [5, 3, 3] (%i4) u-v; (%o4) [1, 5, 7] (%i5) 2*u; (%o5) [6, 2, 10] (%i6) 3*u-5*v; (%o6) [ 1, 23, 25] Uma pequena observação que deve ser feita, é que os operadores ` ' e `/' referentes a multiplicação e divisão de vetores, irá retornar apenas a multiplicação e divisão feita elemento por elemento, logo para o cálculo do produto escalar devemos usar o ponto `.'. (%i7) u.v; (%o7) Norma de Um Vetor O comprimento de um vetor u é denotado por: sqrt(u 2 + v 2 ),logo para calcular a norma de um vetor no wxmaxima pode-se fazer usando o comando `sqrt();', veja o exemplo: (%i3) (%o3) (%i2) sqrt(3^2+2^2+1^2); 14 float(%); 22

23 (%o2) Outra forma mais simplicada de efetuar o cálculo da norma no wxmaxima é dado pela seguinte equação: (%i11) mag_u:sqrt(u.u); (%o11) Exercícios Resolvidos Encontre a norma de v. v 1 = (1, 2), v 2 = (1, 2, 1), v 3 = ( 7, 2, 2) (1.1) Resolvendo: (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) (%i5) (%o5) (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) load(gaal); C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac v1:matrix([1,2]); ( ) 1 2 v2:matrix([1,-2,1]); ( ) v3:matrix([-7,-2,2]); ( ) no(v1); 5 no(v2); 6 no(v3); 57 23

24 Sejam u = (2, 1, 3), v = (4, 2, 1) e w = (1, 2, 1). Calcule o que se pede: a) u + v b) 3 v u c) 4 w + 2 v u Resolvendo: (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) (%i5) (%o5) (%i6) load(gaal); C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac u:matrix([2,-1,3]); ( ) v:matrix([4,-2,1]); ( ) w:matrix([1,-2,1]); ( ) no(u+v); 61 (3*no(v))-(no(u)); (%o6) (%i10) 4*no(w)+2*no(v)-no(u); (%o10) Também visualizar gracamente um vetor, inicialmente será necessário carregar o pacote 'Draw' no wxmaxima, e para isso é necessário digitar 'load(draw)', tal pacote já está incluído no programa. Após carregá-lo basta utilizar o comando abaixo como demonstrado: (%i1) load(draw); 24

25 (%o1) C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/draw/draw.lisp (%i2) wxdraw3d(color = red,vector([0,0,1],[1,1,-2]) )\$ (%t2) É possível também alterar a cor do vetor, mudando a cor RED para a cor desejada, desde que ela esteja na língua inglesa. A posição do vetor no gráco poderá ser modicada através do primeiro colchete, e o vetor será incluído no segundo colchete. Outra ferramente bem útil, é incluir vários vetores no mesmo gráco, isso é possível adicionando dentro dos parenteses o comando `vector([0,0,1],[x,y,z])', com os tamanhos desejados. Para facilitar o cálculo da norma, foi utilizado o pacote GAAL, para utilizá-lo será necessário também carregá-lo usando o comando`load(gaal)'. Para calcular a norma do vetor, é bem simples, basta digitar `no(x)' onde x é o vetor. Veja abaixo: (%i1) load(gaal); (%o1) C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) v:matrix([1,2,3]); ( ) no(v); 14 float(%); (%o4)

26 Um vetor unitário é dado por: e u = u. No wxmaxima podemos denir como: u (%i12) e_u:u/mag_u; 3 (%o12) [, 1 5, ] O ângulo entre dois vetores é dado por: θ = cos 1 ( u.v calculado da seguinte forma: u. v ). No wxmaxima será (%i14) theta: acos(u.v/(mag_u*mag_v)); ( ) 4 (%o14) π acos 6 35 (%i15) float(%); (%o15) No cálculo do produto vetorial devemos inicialmente carregar o pacote `vector', o operador que deve ser usado é o ` ', você irá notar que apenas após o comando `express(% )' ser usado, o wxmaxima irá mostrar o produto vetorial em sua forma correta. (%i23) load(vect); (%o23) C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/vector/vect.mac (%i24) u~v; (%o24) [2, 4, 2] [3, 1, 5] (%i25) express(%); (%o25) [ 18, 16, 14] O cálculo do volume é dado por: V = u.(vxu). Representando no wxmaxima: (%i21) w:[2,3,1]; (%o21) [2, 3, 1] 26

27 (%i26) abs(u.express(v~w)); (%o26) Produtos Escalar e Vetorial No cálculo do produto vetorial e escalar será usado também o pacote GAAL. Para trabalharmos com esses produtos, devemos inicialmente carregar o pacote pelo comando 'load(gaal);', seguem os exemplos abaixo: (%i1) (%o1) load(gaal); C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac É necessário declararmos dois vetores pelo comando `matrix([i,j,k]);', como os vetores `u' e `v' mostrados a baixo: (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) v:matrix([1,2,2]); ( ) u:matrix([3,-1,2]); ( ) Logo após estes procedimentos, iremos calcular o produto escalar: 'pe(v,u);' e vetorial: 'pv(v,u);' (%i4) (%o4) 5 (%i5) (%o5) pe(v,u); pv(v,u); ( ) Podemos calcular pelo próprio pacote `gaal' as projeções de dois vetores pelo comando `proj(w,v);' 27

28 (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) (%i5) (%o5) w:matrix([1,2,3]); ( ) v:matrix([2,-1,0]); ( ) load(gaal); C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac proj(w,v); ( ) proj(v,w); ( ) Exercícios Resolvidos Produto escalar e vetorial Encontre `u. v' e `u * v': 1. u = (2,2), v = (1, 2) 2. u = ( 4,2,0), v = (1,2,3) 3. u = (1,0, 7), v = (2,1,3) Resolvendo : (%i1) (%o1) load(gaal); C : /P ROGRA 1/M AXIM A 2.0/share/maxima/5.25.0/share/gaal.mac (%i10) u1:matrix([2,2,0]); (%o10) ( ) 28

29 (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) u2:matrix([-4,2,0]); ( ) u3:matrix([1,0,-7]); ( ) (%i11) v1:matrix([1,-2,2]); (%o11) ( ) (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) v2:matrix([1,2,3]); ( ) v3:matrix([2,1,3]); ( ) (%i12) pe(u1,v1); (%o12) 2 (%i13) pv(u1,v1); (%o13) ( ) (%i14) pe(u2,v2); (%o14) 0 (%i15) pv(u2,v2); (%o15) ( ) (%i16) pe(u3,v3); (%o16) 19 (%i17) pv(u3,v3); (%o17) ( ) 29

30 1.9 Autovalores e Autovetores Um recurso muito requisitado na álgebra linear são os Autovalores e Autovetores, o wxmaxima consegue calcular tais valores pelos comando `eigenvectors();' que calcula o autovetor e `eigenvalues();' para calcular os autovalores. Será necessário também que os dados sejam colocados em forma de matriz, para que o cálculo seja efetuado. (%i1) (%o1) (%i4) a:matrix([1,2],[0,-2]); ( ) eigenvalues(a); (%o4) [[ 2, 1], [1, 1]] (%i5) eigenvectors(a); (%o5) [[[ 2, 1], [1, 1]], [[[1, 3 ]], [[1, 0]]]] 2 Uma outra forma de acessar os comandos de Autovalor e Autovetor seria o uso da barra de ferramentas do wxmaxima, assim será encontrado: `Álgebra Autovalor' ou `Álgebra Autovetor'. (%t2) Polinômio Característico O Polinômio Característico de uma matriz também pode ser calculado no wxmaxima, utilizando o comando `charpoly(a, x), expand;', onde `a' é uma matriz quadrada e `x' a variavel, temos: 30

31 (%i1) (%o1) (%i2) a:matrix([0,-2],[1,2]); ( ) charpoly(%, x), expand; (%o2) x 2 2 x + 2 Outra forma de fazer o cálculo é acessando as barras de ferramentas atravez de: `Álgebra Polinômio Característico...', desta forma o programa irá calcular o polinômio a partir de uma matriz declarada anteriormente. Veja abaixo: (%t2) 1. Encontre as equações características das matrizes: ( ) ( Calcule o Autovalor do item 1: ) ( Calcule os Autovetores possíveis do item 1: Resolvendo: ) ( ) (%i1) (%o1) a:matrix([2,1],[-1,0]); ( 2 )

32 (%i2) (%o2) (%i3) (%o3) (%i4) (%o4) (%i5) b:matrix([3,-5],[0,7]); ( ) c:matrix([5,0],[-1,7]); ( ) d:matrix([2,1],[-2,3]); ( ) charpoly(a, x), expand; (%o5) x 2 2 x + 1 (%i6) charpoly(b, x), expand; (%o6) x 2 10 x + 21 (%i7) charpoly(c, x), expand; (%o7) x 2 12 x + 35 (%i8) charpoly(d, x), expand; (%o8) x 2 5 x + 8 (%i10) eigenvalues(a); (%o10) [[1], [2]] (%i11) eigenvalues(b); (%o11) [[3, 7], [1, 1]] (%i12) eigenvalues(c); (%o12) [[5, 7], [1, 1]] (%i13) eigenvalues(d); 7 i 5 7 i + 5 (%o13) [[, ], [1, 1]]

33 4. Encontre as equações características das matrizes seguintes: Resolvendo no wxmaxima: (%i1) (%o1) (%i2) (%o2) a:matrix([1,0,1],[-1,2,0],[3,0,4]); b:matrix([7,2,1],[4,3,0],[-1,0,1]); (%i3) charpoly(a, x), expand; (%o3) x x 2 11 x + 2 (%i4) charpoly(b, x), expand; (%o4) x x 2 24 x + 16 Utilizando as funções da barra de ferramentas: Introduzindo matrizes: 1 o passo: 2 o passo: 33

34 3 o passo: Obtendo matriz a partir da expressão: 1 o passo: 2 o passo: (%i1) C: genmatrix(lambda([i,j], i-2*j), 2, 2); ( ) 1 3 (%o1) Exercícios propostos: 1)Sendo a matriz encontre: A =

35 a)determinante de A; b)transposta de A; c)adjunta de A; d)inversa de A; e)conra o resultado da letra d) multiplicando A pela sua inversa; 2)Encontre a solução do sistema abaixo: 2x + 3y z =0 (1.2) 4x + y + z =7 (1.3) 2x + y + z =4 (1.4) 3)Calcule φ real de modo que: 4. Se A = 1 2 e B = φ = 0, determine a matriz X tal que X + 2B = A. 5. Seja (a ij ) uma matriz quadrada de ordem 2 tal que a ij = 2i 3j e seja ( ) 1 0 B =. Calcule X tal que X + 2A = 2B Sejam as matrizes A = 1 0 1/ /2 0 Determine o elemento C 34 da matriz C = (A + B) 1 7. Dadas as matrizes AB = A(BAC). 8. Sabendo que A = ( ( ) e B = ) e AC = ( e B = ( ) : 1 3 1/ /2 5 ), calcule A(B + C) e 35

36 ( 1 0 a.verique se A 1 = 1 1 ) ; b.determine X tal que AX = B (ITA-SP) Sejam as matrizes: A = Determine o elemento C 34 da matriz C = (A + B) 1. e B = (UEL-PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos: 1) Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C. 2) O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodicada. 3) Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,... 3, 23 = z. 4) Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras K, W e Y. 5) O número zero corresponde ao ponto de exclamação. 6) A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m 11, m 12, m 13, m 21, m 22, m 23, m 31, m 32, m 33. Considere as matrizes C = e P = Com base nas informações descritas, assinale a alternativa que a presenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a)boasorte! c)boatarde! e)socorro! b)boaprova! d)ajudeme! 11. Realize a translação de uma linha que tem seus pontos limites representados pelo pontos A(1,1), B(7,1) e C(4,7) pertencentes ao R 2 de 5 unidades na coordenada horizontal e 3 unidades na coordenada vertical. 12. Duplique a escala de um objeto que tem seus pontos limites nos Pontos A(1,1), B(3,1) e C(2,3). 36

37 13. Rotacione um objeto por um ângulo de 90 o no sentindo anti-horário com relação à origem sendo que seus pontos limites é A(1,1), B(7,1) e C(4,7). 37

38 Capítulo 2 wxmaxima e Cálculo 2.1 Limites Exercício resolvido 1: Dada a função f(x) = x , calcule lim f(x). 2x 2 x 0 SOLUÇÃO: Resolveremos este exercícios de duas maneiras distintas, a primeira manualmente e a segunda como o auxílio do software. Visto que o limite do denominador é 0, não podemos aplicar a Lei do Quociente de imediato. Podemos racionalizar f(x) mutiplicando tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do numerador, assim temos: lim x 0 x x 2 = lim x 0 (x ) 16 = lim x 0 2x 2 ( x ) = lim x 0 1 = lim x 0 2 x = 1 x x x 2 x x 2 2x 2 ( x ) = 1 16 Utilizando o software wxmaxima podemos encontrar o limite de f(x) através das seguintes linhas de comando: (%i1) f(x):=(sqrt(x^2+16)-4)/(2*x^2); (%o1) x f (x) := 2 x 2 (%i2) limit(f(x),x,0); (%o2)

39 Com o auxílio do software podemos entender melhor o algebrismo utilizado para encontrar o limite de f(x). Segue os seguintes passos: 1) Racionalizando a função por multiplicar f(x) pelo conjugado do seu numerador. (%i3) (%o3) g (x) := (%i4) g(x):= ((sqrt(x^2+16)-4)*(sqrt(x^2+16)+4))/ ((2*x^2)*(sqrt(x^2+16)+4)); ( x ) ( x ) 2 x 2 ( x ) ratsimp(h(x):=((sqrt(x^2+16)-4)*(sqrt(x^2+16)+4)) /(2*x^2*(sqrt(x^2+16)+4))); 1 (%o4) h (x) := 2 x ) Substituimos a variável x por 0, e comparamos com o limite de h(x) quando x tende a 0. (%i5) subst(0, x, h(x):=1/(2*sqrt(x^2+16)+8)); (%o5) h (0) := 1 16 Percebe-se que em h(x) não há restrição quando x = 0 como em f(x). (%i6) limit(h(x), x, 0); (%o6) ) Agora vamos comparar os grácos gerados por f(x) e h(x). A princípio notamos que as duas funções geram a mesma curva. Porém se aumentarmos o zoom no ponto onde x = 0 veremos a diferença entre as curvas. Em f(x) a curva não é contínua quando x = 0, ao contrário de h(x). (%i7) plot2d(f(x), [x,-5,5], [plot_format, gnuplot])$ 39

40 (%i8) plot2d(h(x), [x,-5,5], [plot_format, gnuplot])$ Assim, concluímos que o artifício utilizado para calcular lim x 0 f(x), por encontrar uma função h(x) que permita calcular o limite através da substiuição direta (x = 0), não elimina a restrição x 0 de f(x). Podemos ver isso claramente comparando os grácos das funções. 2.2 Derivadas no wxmaxima Comandos para diferenciar uma função no wxmaxima: Para uma função de uma variável usamos di(nome da função, variável, ordem da derivada) ou apenas di(nome da função, variável) para o caso em que queremos a primeira derivada da função. Exemplo: (%i1) (%o1) diff(cos(x),x,1); sin (x) 40

41 Ou simplesmente: (%i2) diff(cos(x),x); (%o2) sin (x) (%i11) diff(%e^x,x,20); (%o11) e x (%i12) diff(log(x),x); (%o12) 1 x (%i13) diff(log(x)/log(a),x); 1 (%o13) log (a) x (%i14) diff(a^x,x); (%o14) a x log (a) (%i15) 'diff(cot(x),x); (%o15) d ctg (x) d x Derivadas parciais Para calcular a derivada parcial de uma função com relação a determinada variável, consideramos as demais como constantes. Desse modo, no wxmaxima, usamos o seguinte comando: di(nome da função, variável para a qual deseja-se calcular a derivada); Já para calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma variável e depois em relação a outras, usa-se o comando : di(nome da função, variável1,ordem da derivada,..., variável n, ordem da derivada). Seja f(x, y) = x 2 + y 2, então f x = 2x, f y = 2y, f xx = f yy = 2 e f xy = f yx = 0 no wxmaxima fazemos: (%i3) f(x,y):=x^2+y^2; (%o3) f (x, y) := x 2 + y 2 (%i6) (%o6) f_x:diff(f(x,y),x,1); 2 x 41

42 (%i8) (%o8) (%i9) (%o9) 2 f_y:diff(f(x,y),y,1); 2 y f_xx:diff(f(x,y),x,2); (%i10) f_yy:diff(f(x,y),y,2); (%o10) 2 Determine h xxx, h yyy, h θθθ e h xyθ para a função h(x, y, θ) = x 6 cos(θ) 4 +y 5 sin(xtan(θ)), utilizando o wxmaxima. (%i12) h(x,y,theta):=x^6*cos(theta)^4+y^5*sin(x*tan(theta)); (%o12) h (x, y, θ) := x 6 cos (θ) 4 + y 5 sin (x tan (θ)) (%i13) h_xxx:diff(h(x,y,theta),x,3); (%o13) 120 cos (θ) 4 x 3 tan (θ) 3 cos (tan (θ) x) y 5 (%i15) h_yyy:diff(h(x,y,theta),y,3); (%o15) 60 sin (tan (θ) x) y 2 (%i19) h_ttt:ratsimp(diff(h(x,y,theta),theta,3)); (%o19) ((( 4 sec (θ) 2 tan (θ) sec (θ) 4) x sec (θ) 6 x 3) cos (tan (θ) x) 6 sec (θ) 4 tan (θ) x 2 sin (tan ( ( 40 cos (θ) 3 sin (θ) 24 cos (θ) sin (θ) 3) x 6 (%i6) h_xyt:diff(h(x,y,theta),x,1,y,1,theta,1); (%o6) 5 sec (θ) 2 cos (tan (θ) x) y 4 5 sec (θ) 2 tan (θ) x sin (tan (θ) x) y Integrais no wxmaxima O wxmaxima pode calcular tanto integrais denidas quanto indenidas, utilizando a mesma função, a sintaxe dessa função é integrate(função, variável de integração) ou integrate(função, variável de integração, limite inferior, limite superior), respectivamente. Exemplo: 42

43 (%i14) integrate(x^2,x); (%o14) x3 3 (%i16) integrate(x^2,x,0,6); (%o16) Integrais múltiplas Para o cálculo de integrais múltiplas de funções no wxmaxima usamos do fato de que a integral de uma função também uma função será. Seja f(x, y) uma função multivariável genérica, para integrá-la no wxmaxima faremos integrate(integrate(f(x, y), x),y); ou integrate(integrate(f(x, y), x, a, b),y, c, d); Vale ressaltar que para, por exemplo, calcular uma integral tripla usamos o comando integrate três vezes e precisamos indicar em qual variável ele irá integrar primeiro. Segue o exemplo da integral 10 x 2 2ydydx. 2π 0 (%i2) integrate(integrate(2*y,y,0,x^2),x,2*%pi,10); 32 π5 (%o2) Calcule o volume do sólido formado entre as funções z = x 2 +y 2 10 e z = 10x y no intervalo 0 <= x <= 5, 5 <= y <= 5 O volume pedido está entre os grácos vermelho e azul abaixo: ª O gráco pode ser gerado com os comandos: 43

44 (%i37) load(draw)$ (%i40) draw3d(explicit(x^2+y^2-10,x,-10,10,y,-10,10),color = red,explicit(10*x-y,x,-10,10,y,-10,10))$ para calcular a integral, faz-se: (%i12) integrate(integrate(10*x-y-(x^2+y^2-10),x,0,5),y,-5,5); (%o12) Calcule R x 2 yda na região R mostrada abaixo: (%i5) wxdraw2d(fill_color=blue,rectangle([-2,0],[2,2]),fill_color= white,rectangle([-1,0],[1,1])); Uma das maneiras de calcular esse volume é dado pela integral x2 ydydx. E o wxmaxima nos dá: (%i6) (%o6) integrate(integrate(x^2*y,x,-2,2),y,0,2)- integrate(integrate(x^2*y,x,-1,1),y,0,1); x2 ydydx 44

45 Capítulo 3 Atividades: 3.1 Limites 1 - Um cano rompido em uma plataforma petrolífera do mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura a uma distância de x metros do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento (x = 0), mas, para x > 0, observa-se que y = 0,5(x2 +3x) x 3 +x 2 +4x Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua qual é a espessura estimada no local do vazamento? Plote o gráco da função e verique o ponto onde a curva não é contínua. 2 - Investigue o comportamento de f(x) = 2x2 5x+2 quando x está próximo (a) x 2 4 de 2 (b) de -2. Existe o limites para estes valores de x? A função é contínua para estes valores de x? 3 - Dada a função g(x) = x sen( 1 ) plote o gráco de g(x). Veja que a função x oscila com frequência cada vez maior à medida que x se aproxima de 0, tanto do lado esquerdo como do lado direito, mas com amplitude cada vez menor. Existe o limite lim x 0 g(x)? Se existir, quanto vale? 3.2 Derivadas 4 - Os experimentos mostram que, quando uma pulga dá um pulo, a altura do animal (em metros) após t segundos é dada pela função H(t) = 4, 4t 4, 9t 2. 45

46 a. Calcule H (t). Qual é a taxa de variação de H(t) após 1 segundo? Neste instante, a altura está aumentando ou diminuindo? b. Em que instante H (t) = 0? Qual é o signicado físico deste instante? c. Em que instante a pulga "aterrissa"(volta à altura inicial)? Qual é a taxa de variação de H(t) neste instante? Neste instante, a altura está aumentando ou diminuindo? 5 - Um empresário estima que, se fabricar x centenas de unidades de um certo produto, terá um lucro P (x) = 4.000(15 x)(x 2) Reais. a. Determine P (x). b. Qual é o signicado do nível de produção xm para o qual P (x) = 0? Determine o valor de xm. 6 - Um gerente observa que o custo para produzir x unidades de um certo produto é C milhares de reais, onde C(x) = 0, 04x 2 + 5, 1x a. Determine o custo médio quando o nível de produção varia de x = 10 para x = 11 unidades. b. Use o wxmaxima para calcular a taxa instantânea de variação do custo com o nível de produção para x = 10 e compare o resultado com o do item (a). O custo está aumentando ou diminuindo quando a produção é de 10 unidades? 7 - Segundo as projeções, a população de uma certa cidade daqui a x meses será P (x) = 2x + 4x 3/ ). a. A que taxa a população estará variando com o tempo daqui a 9 meses? b. A que taxa percentual a população estará variando com o tempo daqui a 9 meses? 8 - Uma empresa usa um caminhão para entregar seus produtos. Para estimar os custos, o gerente modela o consumo de combustível do caminhão usando a função G(x) = ( x + x) litros/quilômetro, supondo que o caminhão trafega a uma velocidade constante de x quilômetros por hora, para x 5. O motorista recebe R$20,00 por hora para dirigir o caminhão por 250 quilômetros e o preço do litro de combustível é de R$1,90. a. Escreva uma expressão para o custo total C(x) de uma viagem de 250 quilômetros. b. Qual é a taxa de variação do custo C(x) com x quando o caminhão está a 40 quilômetros por hora? A esta velocidade, o custo aumenta ou diminui quando a velocidade aumenta? 46

47 3.3 Integrais 9 - Um fabricante constatou que o custo marginal é 3q 2 60q +400 reais por unidade, onde q é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de R$900,00. Qual é o custo total para produzir as primeiras cinco unidades? 10 - A população P (t) de uma colônia de bactérias t horas depois de inicada uma observação está variando a uma taxa dada por dp dq = 200e0,1t + 150e 0,03t Se a população era de bactérias quando a observação começou, qual será a papulação 12 horas mais tarde? 11 - A taxa de variação do preço unitário p (em reais) de um certo produto é dada por dp dx = x 2 onde x é a demanda do produto (número de unidades vendidas) em centenas de unidades. Suponha que a demanda seja 400 unidades (x = 4) para um preço unitário de R$30,00. a. Determine a função demanda p(x) b. Para que preço a demanda é de 300 unidades? Para que preço a demanda é zero? c. Qual é a demanda para um preço unitário de R$20,00? 12 - A área de um terreno pode ser denida sob a curva y = x no intervalo 0 x 1, onde x e y estão em centenas de metros. Se o preço da terra é R$12,00 o metro quadrado, qual é o valor do terreno? 13 - Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva y = x 3 + 3x 2. 47