Sumário. 1 Introdução 2. 2 Instalação do wxmaxima 2. 3 Operadores básicos: 2. 4 Entradas e saídas no wxmaxima: 2

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1 Sumário 1 Introdução 2 2 Instalação do wxmaxima 2 3 Operadores básicos: 2 4 Entradas e saídas no wxmaxima: 2 5 Manipulação de expressões matemáticas : 6 6 Matrizes: Usando o comando: Principais operações com matrizes: Sistemas de equações lineares: Sistema impossível: Sistema possível determinado: Sistema possível indeterminado: Grácos: 11 9 Exercícios: APÊNDICE A Matrizes: o passo: o passo: o passo: Grácos: o passo: o passo: o passo: APÊNDICE B 16 1

2 1 Introdução O Maxima é um Sistema de computação algébrica(cas-do inglês Computer Algebra System) derivado do sistema Macsyma, desenvolvido no Instituto de Tecnologia de Massachussets(MIT) como parte do projeto MAC. Esse tipo de software nos permite manipular expressões matemáticas, plotar grácos em duas ou três dimensões e, no caso do Maxima, além das inúmeras vantagens comuns aos demais CASs ele ainda é um software livre 1. O wxmaxima pode ser executado em vários SOs como Windows, Linux e MacOS X. O instalador do wxmaxima para Windows e Linux pode ser encontrado no endereço 2 Instalação do wxmaxima Para proceder à instalação do wxmaxima,enconta-se disponível um tutorial na internet clicando no seguinte link : Caso tenha alguma dúvida sobre o assunto podem ser encontrados vários outros tutoriais que tratam da instalação deste na internet utilizando sites de pesquisa como o Google ou sites como o Youtube, no caso de diculdades e no caso de diculdades posteriores favor entrar em contato com o 3 Operadores básicos: Operadores Função + É o operador de soma - É o operador de subtração * É o operador de multiplicação / É o operador de divisão É o operador de exponenciação! É o operador de fatoração 4 Entradas e saídas no wxmaxima: Toda entrada de comando no wxmaxima vem acompanhada do símbolo (%in), sendo o i do inglês in (entrada) e o N representa o número de identicação da entrada, por exemplo a 1 a linha sempre vem rotulada com o símbolo (%i1). As saídas vem acompanhadas do símbolo (%on) no qual o o é do inglês out (saída) e o N é o número que identica a saída. 1 Software livre, segundo a denição criada pela Free Software Foundation, é qualquer programa computacional que pode ser usado, copiado, estudado e redistribuído sem restrição. O conceito de software livre se opõe ao conceito de software restritivo, mas não ao software que é vendido almejando o lucro(software comercial). 2

3 Com o wxmaxima aberto, faça as seguintes operações: Obs: é imprescindível o uso do ponto e vírgula(; ) após cada linha de comando. (%i1) 2+96; (%o1) 98 (%i2) 3-45; (%o2) 42 (%i3) 3+(-45); (%o3) 42 (%i4) (%o4) 3*x; 3 x (%i5) 5/4; (%o5) 5 4 (%i6) 5.0/4.0; (%o6) 1.25 (%i7) 3^2; (%o7) 9 (%i8) x^3; (%o8) x 3 (%i9) y**0; (%o9) 1 (%i10) 5!; (%o10) 120 Caso deseje trabalhar com números decimais, outra opção seria usar o comando oat(expressão); (%i11) 11/3; (%o11) 11 3 (%i12) float(%); (%o12)

4 Constantes Matemáticas: Para utilizar os valores reais de constantes matemáticas, como `pi', devemos escrever antes da constante o operador `%'. (%i13) 2*pi; (%o13) 2 π (%i14) float(%); (%o14) 2.0 π (%i15) 2*%pi; (%o15) 2 π (%i16) float(%); (%o16) Operadores Avançados: (%i17) x:4; (%o17) 4 (%i18) y:%pi; (%o18) π Operadores Função : É o operador que atribui valor a uma variável := É o operador para denir uma função Às variáveis `x' e `y' foram atribuidos, respectivamente os valores `4' e π. (%i19) f(x):=x^2+1; (%o19) f (x) := x (%i20) g(y):=sin(y); (%o20) g (y) := sin (y) Como já declaramos f(x) e g(y), e atribuimos valores a `x' e a `y', podemos calcular: 4

5 (%i21) f(x); (%o21) 17 (%i22) g(y); (%o22) 0 (%i1) a(theta):=theta^2+2*theta+1; (%o1) a (θ) := θ θ + 1 (%i2) factor(a(theta)); (%o2) (θ + 1) 2 (%i3) a(1); (%o3) 4 (%i4) a(2); (%o4) 9 Funções Matemáticas: Comando sqrt(expressão) x (m/n) log(expressão) Função Retorna a raiz quadrada da expressão Retorna a raiz n-ésima de x elavado a `m' Retorna o logaritmo neperiano da expressão Funções Trigonométricas: Função Trigonométrica sin(x), sinh(x) cos(x), cosh(x) tan(x), tanh(x) acos(x) asin(x) atan(x) Descrição Seno, Seno hiperbólico Cosseno, Cosseno hiberbólico Tangente, Tangente hipérbolica Arco-seno Arco-cosseno Arco-tangente 5

6 5 Manipulação de expressões matemáticas : Como foi citado na introdução desta apostila, uma grande vantagem do wxmaxima é nos permitir a manipulação de expressões complicadas. Seguem abaixo alguns exemplos simples nos quais ele se mostra muito útil: (%i1) cos(x)^3; (%o1) cos (x) 3 (%i2) (%o2) (%i3) trigreduce(%); cos (3 x) + 3 cos (x) 4 cos(x)^2+sin(x)^2+2; (%o3) sin (x) 2 + cos (x) (%i4) trigsimp(%); (%o4) 3 (%i5) (%o5) (%i6) trigreduce(%o3); cos (2 x) ratsimp(%); 1 cos (2 x) (%o6) 3 (%i7) cos(2*theta); (%o7) cos (2 θ) (%i8) trigexpand(%); (%o8) cos (θ) 2 sin (θ) 2 6 Matrizes: No wxmaxima as matrizes podem ser inseridas de duas formas distintas, pela barra de ferramentas do software, que pode ser vista no APÊNDICE A, ou por linha de comando. Como se pode ver abaixo: 6

7 6.1 Usando o comando: Para se inserir um matriz no wxmaxima se utiliza o comando: matrix(); Podendo também ser nomeada como no exemplo abaixo, onde `A' recebeu a matriz criada. (%i28) A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]); (%o28) Principais operações com matrizes: Com o wxmaxima podemos efetuar operações com matrizes, algumas dessas operações estão exemplicadas abaixo. Obs: A multiplicação matricial se dá com o operador `.', já o operador realiza a multiplicação de cada entrada da 1 a matriz pela respectiva entrada da 2 a. (%i29) B:matrix([3,1,2],[-1,0,3],[4,2,-5])$ (%i30) C:matrix([10,-2,-6],[2,1,6],[5,4,2])$ (%i31) B+C; (%o31) (%i32) B-C; (%o32) (%i33) B.C; (%o33)

8 (%i34) B*C; (%o34) Comando para se obter a transposta de uma matriz (%i35) transpose(b); (%o35) (%i36) invert(b); (%o36) (%i37) adjoint(b); (%o37) Sistemas de equações lineares: Quando inserir um sistema de equações é importante nomeá-lo para facilitar sua identicação e manter a organização. Estes são inseridos com a seguinte estrutura: [Equação 1, Equação 2],[Variável 1, Variável 2];. Para obter a solução do sistema se usa o comando'solve'. (%i38) sis:[2*x+y=5,3*x-2*y=4],[x,y]; (%o38) [y + 2 x = 5, 3 x 2 y = 4] (%i39) solve(sis); (%o39) [[y = 1, x = 2]] 8

9 Uma outra forma de trabalharmos com sistemas lineares é escreve-los na forma de uma matriz aumentada ou expandida, que no wxmaxima é feito utilizando o comando `augcoefmatrix', após inserir o sistema como no exemplo anterior, obtendo assim, a sua solução através do escalonamento da mesma, com o comando `triangularize'. (%i40) M:augcoefmatrix(sis,[x,y]); ( ) (%o40) (%i41) triangularize(m); ( ) (%o41) Utilizando a ferramenta de plotagem gráca do wxmaxima, podemos fazer uma interpretação geométrica do conjunto solução de um sistema, escrevendo cada equação deste, em função de uma variável. (%i5) plot2d([5-2*x,(-4+3*x)/2],[x,-0.5,6],[y,-0.5,6]); 7.1 Sistema impossível: (%i1) sis1:[-2*x-y=-5,-8*x-4*y=-25],[x,y]; (%o1) [ y 2 x = 5, 4 y 8 x = 25] 9

10 (%i2) (%o2) [] solve(sis1); 7.2 Sistema possível determinado: --> sis2:[-x-y=-4,-2*x-3*y=-2],[x,y]; (%o1) [ y x = 4, 3 y 2 x = 2] --> solve(sis2); (%o2) [[y = 6, x = 10]] 10

11 7.3 Sistema possível indeterminado: (%i1) sis3:[-2*x+4*y=-2,4*x-8*y=4],[x,y]; (%o1) [4 y 2 x = 2, 4 x 8 y = 4] 8 Grácos: Grácos no wxmaxima podem ser inseridos de duas maneiras distintas, a primeira pela barra de ferramentas do software, que pode ser vista no APÊNDICE A, e a segunda por linha de comandos como segue abaixo: (%i40) plot3d(sin(x)^2, [x,-5,5], [y,-5,5]); 11

12 9 Exercícios: Utilizando o wxmaxima: 1) Calcule: a) ; b) ; c) 8 6 ; d) 20!; e) 100a 200 ; 2)Sabendo que x = 5 e y = 3, calcule: a)f(x) = x 2 + 4x + 3; b)g(y) = y 4 + 2y 2 + 5; 3)Sabendo que f(x) = x 3 + 3x 2 5x, g(x) = sen(x/4) 2 e h(x) = 2x 3 + e x, calcule: a)f(g(x)) b)g(f(x)) c)f(g(f(x))) d)h(f(g(x))) e)h(x) o g(x) 4)Sendo a matriz encontre: A = a)determinante de A; b)transposta de A; c)adjunta de A; d)inversa de A; e)conra o resultado da letra d) multiplicando A pela sua inversa; 5)Encontre a solução do sistema abaixo: 2x + 3y z =0 (1) 4x + y + z =7 (2) 2x + y + z =4 (3) 12

13 6)Simplique as segintes expressões: a) x2 +2x+1 x+1 b) sen(x) 2 + cos(x) 2 + sec(x) 2 tan(x) 2 c) x2 1 x 1 d) 1 + tan(x) 2 7)Calcule φ real de modo que: φ = 0 8)dados os pontos P (3, 2) e Q( 5, 4): a)encontre a distância entre esses pontos. b)encontre o ponto médio do segmento de reta P Q. c)encontre a equação reduzida da reta que passa por P Q. d)qual o coeciente angular da reta supracitada? e)e o coeciente linear ou intercepto y? f)plote o gráco dessa reta e avalie os resultados obtidos, analisando-o quanto a crescimento e raiz. 9)Se a caixa abaixo possui a medida da aresta y igual à medida da aresta z = 18cm e seu volume é 12, 312L: Calcule: a)a medida da aresta x. b)a área da base da caixa. c)a área total do papelão gasto para confeccionar a caixa, sabendo que ela não possui tampa. 10)Sabendo que o triângulo abaixo é retângulo, a=π/6 e b=3cm.calcule: 13

14 a)a área do triângulo. c)a medida de h. b)o perímetro do triângulo. 11)No paralelepípedo abaixo estão representados os pontos P (x, 1, 0), Q(1, 1, 5) e R(2, 1, 2), determine o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo seja 92u.m.. Referências SANTOS, Bruna. Introdução ao Software MAXIMA. Centro de Matemática da Universidade do Porto, Dezembro, POOLE,David. Álgebra linear. 1st ed., Pioneira Thompson Learning, São Paulo, Kolman, Bernard and Hill, David R.. Introdução a Álgebra linear com Aplicações. CLTC, 8th edition,2008. RORRES, Anton. Álgebra linear com Aplicações. Bookman,8th edition. 10 APÊNDICE A 10.1 Matrizes: Para inserir uma matriz pela barra de ferramantas do wxmaxima, siga os seguintes passos: o passo: 14

15 o passo: o passo: 10.2 Grácos: Para inserir um gráco no wxmaxima, siga os seguintes passos: o passo: o passo: o passo: 15

16 11 APÊNDICE B Respostas dos exercícios: 1) a) 66, b) -963, c) , d) e) a/2 2) a) f(5) = 48, b) g(3) = 104 3) a)sin( x 4 )6 + 3sin( x 4 )4 5sin( x 4 )2, b)sin( x3 +3 x 2 5 x) 2 4 c)sin( x3 +3 x 2 5 x) 6 + 3sin( x3 +3 x 2 5 x) 5sin( x3 +3 x 2 5 x) 2, d)2(sin( x 4 )6 + 3sin( x 4 )4 5sin( x 4 )2 ) 3 + e sin( x 4 )6 +3sin( x 4 )4 5sin( x 4 )2 e) 2sin( x 4 )6 + e sin( x 4 ) 4) a) 21, b) , c) /3 1/3 1/ , d) 1/3 2/21 8/21 e) /3 4/21 5/ ) x = 1 2, y = 1, z = 4. 6) a) x+1, b) 2, c) x+1, d) 7) φ = ) a)d = 6, b) M(4,3), c) y = 3x 1, d) 3 4 4, e) 1 4 9) a) 38 cm, b) 684cm 2, c)4068cm 2 1 cos(x) 16

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