Capítulo 4 - Funções. Funções (funções parciais) e aplicações (funções totais).

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1 Capítulo 4 - Funções Neste capítulo abordaremos um dos conceitos matemáticos mais importantes: o conceito de função. Falaremos em particular: de funções (funções parciais) e aplicações (funções totais); composição de funções; aplicações injectivas, sobrejectivas e bijectivas; inversa de uma aplicação bijectiva; operação num conjunto e estruturas algébricas (simples); e famílias indexadas. Tópicos como morfismos e isomorfismos entre estruturas e cardinalidade de um conjunto, serão deixados para capítulos específicos, ulteriores. Secção 1: Funções (funções parciais) e aplicações (funções totais). Uma função f entre um conjunto A e um conjunto B (ou uma função f de A para B) é uma associação entre A e B que a cada elemento de A faz corresponder no máximo um elemento de B. Podemos assim ver uma função f entre A e B como uma relação binária entre A e B que satisfaz a seguinte propriedade (dita propriedade funcional) x A y1,y2 B ((x,y1) f (x,y2) f y1=y2) No entanto, quando consideramos uma tal relação binária como uma função, a terminologia e as notações usadas mudam, de forma a salientar a noção de movimento que está intuitivamente associado às funções 1 (para além de se usarem letras como f, g,..., em vez de R, R1,..., como nomes genéricos usuais de funções). Assim: Ao conjunto A chama-se o conjunto de partida. Ao conjunto B chama-se o conjunto de chegada. Quando um elemento x de A não está associado por f a nenhum elemento de B, i.e, quando x não pertence ao domínio de f, diz-se que f não está definida em x. Quando x pertence ao domínio de f, existe então um e um só elemento de B que está associado a x por f, elemento que se diz a imagem por f de x e se denota por f(x). E, para designar que um elemento y de B é a imagem por f de um elemento x de A, escreve-se y=f(x), em vez de se escrever que (x,y) f (ou x f y, a outra notação usual nas relações binárias) 2. 1 Associado a uma função não só há uma direcção clara no relacionamento que se estabelece entre dois conjuntos, como decorre da expressão f é uma função de A para B, como uma função f é intuitivamente vista como uma entidade que nos permite passar de elementos de A para elementos de B. A distinção entre uma relação binária (satisfazendo a propriedade funcional) e a correspondente função transparece também da forma como nos referimos a ambas em português. Considere-se p.ex. a associação que se pode estabelecer entre cada pessoa e o seu pai. Se virmos esssa associação como uma relação binária no conjunto das pessoas, então poderemos dizer que ela é descrita pela expressão p.ex. é_filho/a_do_sr., ao passo que a designação natural da corrrespondente função será o_pai_de (tendo-se x é_filho/a_do_sr. y sse o_pai_de(x) = y). 2 Saliente-se que, quando se escreve y=f(x), assume-se que f está definida em x, e que a imagem de x por f é y. Refira-se ainda, a propósito, que em certas áreas da matemática se usa os termos "váriável independente" e "variável dependente" no contexto de funções: se f é uma função, então para os pares (x,y) f (i.e. tais que y = f(x)), x é chamada a variável independente e y a variável dependente. 95

2 Observação 1 : Esta visão de uma função como uma relação binária entre dois conjuntos (satisfazendo a propriedade funcional) tem a grande vantagem de permitir capitalizar, de modo imediato, nos conceitos já introduzidos a propósito de tais relações (dando de borla p.ex. as noções de domínio e contradomínio de uma função). No entanto, esta visão de uma função como um conjunto de pares ordenados (de elementos de dois conjuntos) apresenta a desvantagem de obscurecer (ou não realçar) a ideia de movimento e o carácter operacional que está intuitivamente associado a uma função. Alternativamente, podemos considerar que embora se possa representar uma função através de uma relação binária, se trata de entidades conceptualmente distintas. Uma função f entre A e B pode ser simplesmente vista como uma entidade (um processo de natureza qualquer) que permite passar de / levar de / transformar certos objectos do conjunto A (que formam o domínio onde tal função está definida) em objectos do conjunto B, através da associação a cada um desses objectos, x, de um e um só objecto y de B, que se diz a imagem de x por f, e se denota por f(x). Uma tal entidade continua a poder ser representada (em termos da teoria de conjuntos) pela relação binária entre A e B que lhe está naturalmente associada: {(x, y) : y = f(x)} conjunto de pares ordenados que é designado, por vezes, de gráfico 3 da função f (o termo grafo de f também é usado, em certos contextos, para designar esta relação). Mas o facto de se poder representar naturalmente uma função por um conjunto de pares ordenados não nos obriga a que (pelo menos conceptualmente) identifiquemos as duas entidades como sendo a mesma coisa 4. De qualquer forma, não aprofundaremos aqui esta hipotética distinção entre os dois conceitos 5. As noções de domínio e contradomínio de uma função definem-se, então, tal como para as relações binárias: 3 Tendo em mente a sua representação gráfica num plano euclideano, como é usual fazer-se em Análise Matemática, no caso das funções reais de variável real. 4 Em particular, e se quisermos ser precisos, nunca identificaremos, simplesmente, uma função f entre A e B com um conjunto de pares ordenados. Supondo que se usa R f para designar o conjunto de pares ordenados {(x,y): y = f(x)}, não é correcto, na nossa opinião, uma identificação pura e simples de f e R f. É fundamental saber quais são os conjuntos A e B que se supõe que R f está a relacionar. O mesmo conjunto R f poderá representar relacionamentos entre diferentes pares de conjuntos, em cujo caso, como salientaremos à frente, ele estará a designar diferentes funções. O máximo que podemos fazer, se quisermos ser correctos, é identificar uma função f entre A e B com a relação binária entre A e B expressa pelo conjunto de pares ordenados R f, relação binária que poderemos traduzir p.ex. pelo triplo (A,B,R f ). 5 Saliente-se apenas, a propósito, que é possível formular grande parte da Matemática vendo as funções como entidades primitivas (em vez de as ver como conjuntos de pares ordenados). Tal é feito no âmbito da teoria das categorias. Uma introdução muito sucinta a esse tópico será efectuada no apêndice 1. 96

3 Definição 1 : Seja f uma função entre A e B. a) O domínio de f é o conjunto, que se denota por dom(f), dom f ou D f, dado por {x A: y B y=f(x)} (O domínio de f representa o conjunto dos elementos de A onde a função está definida.) b) O contradomínio de f é o conjunto, que se denota por cod(f), cod f ou C f, dado por: {y B: x A y=f(x)} (O contradomínio de f representa o conjunto dos elementos de B que são imagem por f de algum elemento do domínio da função.) Para que duas funções sejam iguais não basta que tenham o mesmo domínio e que associem o mesmo objecto y a cada elemento x do seu domínio. É necessário, para além disso, que tenham o mesmo conjunto de partida e o mesmo conjunto de chegada 6 : Definição 2 : Duas funções, f e g, são iguais, o que se denota escrevendo f = g, sse têm o mesmo conjunto de partida têm o mesmo conjunto de chegada têm o mesmo domínio e associam o mesmo elemento a cada elemento do seu domínio (i.e., simbolicamente, designando por D o domínio de ambas, x D f(x) = g(x)) Assim, para definir uma função (chamemos-lhe f) é necessário indicar: o seu conjunto de partida (chamemos-lhe A), o seu conjunto de chegada (chamemos-lhe B), e a regra de cálculo de tal associação. Os conjuntos de partida (A) e de chegada (B) de uma função (f) são tipicamente descritos dizendo seja f uma função de A para B, ou seja f uma função entre A e B. Alternativamente pode dizer-se p.ex. seja f uma função com valores em B e de variável com valores em A. Esta última descrição, aparentemente mais complexa e menos usual, é contudo muito utilizada no contexto de funções numéricas (com argumentos e resultados em conjuntos de números), embora de uma forma simplificada, em que a expressão com valores em... é sustituída por um termo que identifica o tipo desses valores (o conjunto ao qual esses valores pertencem). Por exemplo, a expressão seja f uma função real de variável real significa que f é 6 Por exemplo, as funções (que introduziremos à frente, na secção 2) de identidade num conjunto A e de inclusão de um conjunto A num conjunto B (que contenha estritamente A), têm o mesmo domínio (A) e associam a cada elemento x de A o mesmo elemento (x), mas apesar disso são consideradas funções diferentes. Refira-se, a propósito, que a posição expressa pelo Professor Campos Ferreira em [19], com a identificação de uma função com um conjunto de pares ordenados, leva a considerar tais funções como sendo iguais (veja-se o exercício 10 da pág. 34 de [19]), com o que não concordamos. 97

4 uma função de R para R, a expressão seja f função real de variável natural significa que f é uma função de N 0 para R, e seja f função inteira de variável real significa que f é uma função de R para Z. Fixados os conjuntos de partida e de chegada de uma função, esta é muitas vezes caracterizada descrevendo-se uma expressão explícita que permite calcular a imagem de cada ponto x, sem explicitar o domínio da função. Assume-se em tais casos (se nada se disser em contrário) que o domínio da função é o maior possível (i.e. o subconjunto do conjunto de partida formado por todos os pontos x para as quais a expressão indicada está definida), também chamado o domínio natural da função. Por exemplo, quando se diz seja f a função real de variável dada por 7 f(x) = 2x assume-se implícito que f está definida em todo o R, e quando se diz seja g a função real de variável dada por g(x) = x assume-se implícito que o domínio de g é R + 0 (o conjunto dos reais não negativos). Refira-se, a propósito, que embora na prática seja muito usual, sobretudo em análise e álgebra, as funções serem definidas por meio de expressões explícitas, como nos exemplos anteriores, não é contudo necessário conhecer uma expressão explícita para poder definir uma função. Existem muitos exemplos de funções sobre as quais não conhecemos expressões analíticas explícitas (muitas vezes, delas apenas sabemos que existem e possuem determinadas propriedades). A título ilustrativo, suponha-se p.ex. que P(n) designa uma condição sobre uma variável inteira (informalmente, podemos ver P(n) como descrevendo um problema sobre inteiros). Mesmo que não saibamos quais são os inteiros que satisfazem essa condição (i.e. que são solução do problema em causa), podemos sempre falar da função de Z em {0, 1} dada por 8 f(n) = 1, se P(n) é verdadeira = 0, no caso contrário Como um outro exemplo, suponha-se que dispomos de um programa de computador P, que sabemos que recebendo um natural, como "input", retorna outro natural, como "output". Um tal programa pode ser visto como calculando uma função: a função (a seguir designada por f P ), de N 0 para N 0, assim definida: y=f P (x) sse P recebendo o "input" x retorna 9 como "output" y. Mesmo que não saibamos interpretar o código de tal programa (p.ex. por desconhecermos a linguagem de programação em que ele está descrito), 7 Em vez de se escrever f(x) = 2x também se escreve, com o mesmo significado, f: x a 2x. 8 De acordo com a terminologia a introduzir na secção 2, a função a seguir não é mais do que a função característica do conjunto das soluções do problema (descrito pela condição) P(n). Refira-se, a propósito, que o problema P(n) diz-se decidível se for possível construir um programa de computador que calcule a função f referida, i.e. um programa que recebendo como input um natural n, qualquer, retorna o valor de f(n) (i.e. 1, se n é solução do problema e 0 se não é). Diz-se que uma função é computável se existe um programa de computador que a calcula (no sentido indicado). A caracterização das funções computáveis é abordada na Teoria da Computabilidade. 9 Se se admitir que o programa em causa possa não terminar para certos valores do input (não retornando, portanto, qualquer resultado, para esses valores do input), pode à mesma falar-se da função que o programa calcula, considerando que f P não está definida para os valores de x para os quais P não termina. 98

5 nada nos impede de falarmos da função f P que ele calcula, embora obviamente não saibamos caracterizar a expressão de cálculo do valor f P (x) do resultado de tal função. Observação 2 (funções e expressões e a notação lambda): Como referimos, fixados os conjuntos de partida e de chegada de uma função, esta é muitas vezes caracterizada descrevendo-se uma expressão explícita que permite calcular o valor de f(x). Por exemplo, assumindo que f é uma função real de variável real, diz-se seja f a função dada por f(x) = 2x. Mais ainda, por vezes simplica-se e diz-se mesmo apenas seja f a função 2x (ou considere-se a função 2x ). É de ter cuidado com esta simplificação, pois uma expressão e uma função são entidades conceptualmente distintas 10 e, nomeadamente, o que se pode fazer com uma não coincide com o que se pode fazer com a outra. Por exemplo, numa expressão pode substituir-se uma variável por um valor, mas não se pode aplicar uma expressão a um valor, ao contrário do que pode ser feito com uma função. A distinção entre uma expressão e a função que ela "define" (permite abstrair) é claramente evidenciada quando se recorre, por exemplo, à notação lambda para a definição de funções. A título ilustrativo, usando esta notação (introduzida na Ciência da Computação), escreve-se 11 λx.2x ( ou λx.(2x) ) para designar a função cuja regra de cálculo é dada pela expressão 2x. Assim, faz sentido escrever (λx.2x)(2) = 2*2=4 (bem como 12 f = λx.2x ) embora não faça sentido escrever (2x)(2) A simplificação atrás referida poderá ser utilizada (e usá-la-emos por vezes), desde que estejamos conscientes das imprecisões em que incorremos com ela. Antes de passarmos à definição da principal operação sobre funções (a composição de funções), vejamos alguns conceitos e notações associados a funções. Definição 3 : a) Sendo f uma função entre A e B e E A, designa-se por imagem de E, por f, o conjunto, que se denota por f[e] 13, formado pelas imagens (por f) de todos os objectos em E. Mais precisamente: f[e] = {f(x): x dom(f) x E} (i.e. f[e] = {y( B): x dom(f) E y = f(x)}) 10 Para além de uma mesma função poder ser descrita por expressões explícitas diferentes. 11 Na linguagem de programação Mathematica tal entidade seria descrita por Function[x,2x]. 12 A notação lambda (tal como a construção "Function[...]" da linguagem Mathematica) permite construir funções anónimas, no sentido de que não têm de ter um nome próprio associado. Mas, naturalmente, nada impede que se atribua a tal entidade (função) um nome, escrevendo (por exemplo) f = λx.2x. 13 Há quem escreva mesmo f(e), mas aqui preferimos escrever f[e], uma vez que (e para salientar que) E não é um objecto do domínio da função f. 99

6 b) Sendo f uma função entre A e B e E B, designa-se por imagem inversa ou imagem recíproca ou préimagem de E, por f, o conjunto, que se denota por f -1 [E], formado por todos os elementos de A cuja imagem por f está em E. Isto é: f -1 [E] = {x A: f(x) E} (embora a notação f(x) já signifique que f está definida em x, podemos ser mais explícitos e escrever f -1 [E] = {x dom(f): f(x) E}) ) c) Sendo f uma função entre A e B e E A, chama-se restrição de f ao conjunto E, à função que se designa por f E assim definida: f E é uma função de E para B dom(f E ) = dom(f) E x dom(f E) f D (x) = f(x) Saliente-se, antes de prosseguir, que o contradomínio de uma função f entre A e B não é mais do que o conjunto f[a], e que f -1 [B] coincide com o seu domínio. Exemplo 1 : Sejam f, g, h e j as funções reais de variável real dadas por f(x) = x+1, g(x) = x 4, h(x) = x + 1 e 14 j(x) = 1. Então: a) f[{3, 5, 8}] = {f(3), f(5), f(8)} = {4, 6, 8} b) f -1 [{3, 9}] = {x R: f(x) = 3 f(x) = 9} = {x R: f(x) = 3} {x R: f(x) = 9} = {2, 8} c) g[{-1, 1, 2}] = {g(-1), g(1), g(2)} = {1, 1, 16} = {1, 16} d) g[ R] = R + 0 e) g -1 [{-1, 16}] = {x R: g(x) = -1} {x R: g(x) = 16} = {-2, 2} = {-2, 2} f) g -1 [{-5, -2}] = g) g -1 [ R] = R h) h[{-3, 4, 9}] = (pois h não está definida em 3) {h(4), h(9)} = {3, 4} i) h[ R] = [1, + [ j) h -1 [{-3, 1, 10}] = {0, 81} k) h -1 [ R] = R + 0 l) j[{-12, 0, 3, 7}] = {1} m) j[ R] = {1} n) j -1 [{4,16}] = o) j -1 [{1}] = R p) j -1 [ R] = R 14 Embora a expressão que define o resultado de uma função, num ponto genérico x, dependa em geral de x, tal não é obrigatório. Por exemplo, a função j, a seguir, aplica cada ponto (cada real) x no valor

7 A principal operação sobre funções é a chamada composição de funções: f A x f(x) B g o f g g(f(x)) C Definição 4 : Sendo f uma função de A para B e g uma função de B para C, chama-se aplicação composta de f e g (ou de f com g) à aplicação, que se designa por g º f, assim definida 15 : g º f é uma função de A para C dom(g º f) = {x: x dom(f) f(x) dom(g)} x dom(g º f) g º f (x) = g(f(x)) Exemplo 2 : a) Sejam f e g as funções reais de variável real dadas por f(x) = sen x e g(x) = x 2. Tem-se dom(f) = R e dom(g) = R. Então: g º f é a função real de variável real (i.e. g º f é uma função entre R e R), de domínio R, dada por g º f(x) = g(f(x)) = g(sen x) = (sen x) 2 = sen 2 x ( x R ) f º g é a função real de variável real, de domínio R, dada por f º g(x) = sen(x 2 ) f º f é a função real de variável real, de domínio R, dada por f º f(x) = sen(sen x) g º g é a função real de variável real, de domínio R, dada por g º g(x) = (x 2 ) 2 = x 4 15 Para realçar que g º f é o nome da função, escreve-se por vezes (g º f) (x) em vez de g º f (x). Por outro lado, como forma mnemónica de recordar que na função g º f, primeiro se aplica f e depois g, há quem leia (informalmente) g º f como "g após f". Refira-se, a propósito, que em alguns textos (mais da área da Ciência da Computação), em vez de usar g º f para denotar a composição de f com g, usa-se a notação f;g (notação que relembra a noção de composição de comandos em sequência e que pretende salientar, precisamente, que na aplicação composta primeiro aplica-se f e depois aplica-se, ao resultado obtido, g). É possível generalizar a noção de função composta e definir a composta g º f mesmo quando o conjunto de chegada de f não coincide com o conjunto de partida de g. Não consideraremos aqui tais generalizações (veja-se p.ex. [19], pág. 32). 101

8 b) Sejam f e g as funções reais de variável real dadas por f(x) = x e g(x) = Tem-se dom(f) = R + 0 e dom(g) = R-{0}. Assim: g º f é uma função entre R e R 1 x 2. dom(g º f) = {x: x dom(f) f(x) dom(g)} = {x: x R + 0 x R-{0}} = R + e a expressão de g º f(x) para cada ponto x do domínio é dada por g º f(x) = g(f(x)) = g( x ) = 1 = ( x ) 2 1 x Note-se que g º f(x) = 1 somente nos pontos x onde g x º f está definida. Assim apesar da expressão estar definida em todo o real diferente de zero, o domínio de g º f é R +, e não R-{0}. 1 x f º g é uma função entre R e R dom(f º g) = {x: x dom(g) g(x) dom(f)} = {x: x R-{0} e a expressão de f º g (x) para cada ponto x do domínio é dada por f º g(x) = f( c) Seja f a função entre N 0 e R dada por f(n) = por g(x)= x 2 (pelo que dom(g) = R). Então: 1 x 2 ) = 1 = 1 x 2 x 1 x 2 R+ 0} = R-{0} n (pelo que dom(f) = N 0 ), e g a função entre R e R dada g º f é uma função entre N 0 e R, de domínio N 0, dada por g º f(n) = n ( n No ) f º g não está definida (de acordo com a definição 4). As funções mais utilizadas em matemática são aquelas em que o domínio coincide com o conjunto de partida, não sendo, portanto, de espantar que se introduza terminologia e notações específicas para nos referirmos a tais funções. Definição 5 : Uma função f entre A para B que está definida em todo o ponto de A (i.e. em que o domínio coincide com o conjunto de partida) diz-se uma uma aplicação entre A e B. Em vez de dizer que f é uma aplicação entre A e B também se diz que f é uma aplicação de A em B, ou que f aplica A em B, ou que f é uma função definida em A e com valores em B. Escreve-se f : A B para denotar que f é uma aplicação entre A e B Observação 3: Quando consideramos apenas aplicações, algumas das definições anteriores podem simplificar-se, uma vez que se sabe que tais funções estão definidas em todo o seu conjunto de partida. Assim, por exemplo: 102

9 Sendo f: A B e g: C D, então f = g sse i) A = C, ii) B = D e iii) x A f(x) = g(x) Sendo f : A B e E A, então f[e] = {f(x): x E} (i.e. f[e] = {y( B): x E y = f(x)}) Sendo f : A B e E B, então f -1 [E] = {x A: f(x) E} Sendo f : A B e E A, então a restrição de f ao conjunto E é a aplicação f D : D B, dada por x E f E (x) = f(x) A composta de duas aplicações ainda é uma aplicação. Mais precisamente, dadas f: A B e g: B C, a aplicação composta de f e g (ou de f com g) é a aplicação g º f : A C dada por x A g º f (x) = g(f(x)). Saliente-se, antes de prosseguir, que se pode ter f: A B com A = : tal função 16 pode designar-se por a aplicação vazia em B. Por outro lado, é imediato que só se pode ter f: A B com B =, se também se tiver A =, uma vez que se f aplica A em B, então para cada x em A tem de existir algum y em B tal que y=f(x). Terminologia (funções parciais e funçõ es totais) e notações : Por vezes diz-se que f designa uma função parcial ("partial function") entre A e B, se se trata de uma função que poderá estar apenas parcialmente definida no conjunto de partida A, e que f designa uma função total ("total function") entre A e B, se f é uma função que está totalmente definida no conjunto de partida A ( está definida em todos os pontos desse conjunto). Na escola matemática portuguesa usa-se o termo aplicação entre A e B para se referir a uma função total entre A e B. Por seu turno, as funções parciais são normalmente designadas (como fizemos atrás) simplesmente de funções. Refira-se, contudo, que como na maioria das disciplinas de Matemática apenas se trabalha com aplicações 17, acontece, quer em textos quer em aulas, se falar em funções quando se está, de facto, a falar estritamente de aplicações. Aqui procuraremos usar o termo aplicação sempre que nos quisermos referir estritamente a uma função total, e usaremos os termos função, função (parcial) ou função parcial 18, quando nos quisermos referir a uma função entre dois conjuntos que poderá ser ou não uma aplicação. Note-se que o dizer que f é uma função parcial entre A e B não exclui a hipótese de f estar definida em todo o A; simplesmente não o garante (nem o impõe). Assim, embora os termos função total e função parcial possam sugerir que uma função total não é parcial, tal não é o caso: uma função total (i.e. uma aplicação) entre A e B é um caso particular de uma função parcial entre A e B (em que o domínio da função coincide com o conjunto de partida A). 16 Que satisfaz {(x,y): x A y B y=f(x)} =. 17 O mesmo não é verdade em Computação. Pense-se, por exemplo, na função que um programa calcula (atrás mencionada) e o caso em que tal programa não termina, para um dado "input" x, por envolver p.ex. um ciclo infinito (ver nota de rodapé 9). 18 A inclusão, ou não, da palavra "parcial" (entre parênteses, ou sem ser entre parênteses) dependerá de sentirmos, ou não, que é essencial salientar que se está a falar de uma função que poderá não ser uma aplicação. 103

10 assim definida 20 (x,y) R f sse 21 y = f(x) Refira-se, ainda, que alguns textos de Matemática de língua inglesa 19 usam o termo "function (function between A and B)" para se referir a uma função parcial entre A e B, e "function from A to B" para se referir a uma aplicação entre A e B. Em termos notacionais, é praticamente generalizada a notação f:a B para expressar que f é uma aplicação entre A e B. Para expressar que f é uma função (parcial) entre A e B nem sempre se considera uma notação específica (não existindo uma notação genericamente aceite). No entanto, é útil dispormos de uma notação simbólica, que nos permita expressar, de forma sintética, que f é uma função (parcial) entre A e B. Assim, daqui em diante, passaremos a utilizar a notação f:a / B para designar que f é uma função (parcial) entre A e B. Observação 4 (Relações e funções): Como observámos no início desta secção, qualquer função entre A e B pode ser vista como uma relação binária entre A e B satisfazendo a propriedade funcional, e vice-versa. Se quisermos distinguir as duas entidades, usando designações distintas para as duas, podemos dizer que uma função f:a / B pode ser representada por uma relação binária entre A e B (a que na observação 1 chamámos de gráfico de f e que designaremos, a seguir, por R f ), que satisfaz a propriedade funcional, e, reciprocamente, qualquer relação binária R entre A e B, satisfazendo a propriedade funcional x A y1,y2 B ((x,y1) R (x,y2) R y1=y2) pode ser vista como representando uma função 22 entre A e B (que designaremos, a seguir, por f R 23 ) assim definida f R : A / B dom(f R ) = dom(r) f R (x) = y sse (x,y) R ( x A, y B ) 19 Veja-se p.ex [32], onde se usa o termo "codomain" para se referir o conjunto de chegada B, de uma função f entre A e B, e "range" para designar o contradomínio (sendo o domínio designado por "domain"). 20 Se a função f for uma aplicação, f: A B, então a relação R f satisfaz mesmo a propriedade x A 1 y B (x,y) R f, que é equivalente a x A y1,y2 B ((x,y1) R f (x,y2) R f y1=y2) x A y B (x,y) R f. 21 Poderíamos escrever (x,y) R f sse (x dom(f) y=f(x)), mas tal não é necessário, pois, como referimos atrás, quando se escreve y=f(x), assume-se logo (em geral) que f está definida em x (e que a imagem de x por f é y). Refira-se, a propósito, que por vezes se introduzem também notações específicas para denotar que f não está definida em x. Aqui escreveremos às vezes f(x) = - com esse fim (em vez de escrever x dom(f), que é a forma natural de descrever simbolicamente que f não está definida em x ). Sobre isto veja-se também a observação 5 a seguir. 22 Que será uma aplicação, se R satisfizer a propriedade (ver nota de rodapé 20) x A 1 y B (x,y) R. 23 Naturalmente terá de ter-se (como se tem) que R f R = R e f R f = f. 104

11 Suponha-se, agora, que R é uma relação binária entre A e B que não satisfaz a propriedade funcional. Então, a alguns elementos de A estarão associados mais do que um elemento de B, pelo que R não poderá ser vista como uma função. No entanto, tal não significa que não se possa representar uma tal relação como (ou através de) uma função, não entre A e B, mas sim entre A e (B) 24. De facto, qualquer relação binária R entre A e B pode ser mesmo representada através de uma aplicação f assim definida: f : A (B) f(x) = {y B: (x,y) R} 25 E, reciprocamente, qualquer aplicação f: A (B) pode ser representada por uma relação binária R entre A e B, definindo: (x,y) R sse y f(x). Em conclusão: uma função entre A e B pode ser vista como (representada por) uma relação binária funcional entre A e B, e vice-versa; e uma relação binária, funcional ou não, entre A e B pode ser representada como (uma função que é) uma aplicação (agora) entre A e (B), e vice-versa. Mais uma vez nos encontramos perante uma situação em que um conceito pode ser representado à custa de outro e, por vezes, de mais do que uma maneira. Tal permite-nos que num dado contexto, ou para um dado problema, se escolha a representação que se lhe adeque melhor (por ser a mais simples, ou a de mais fácil manipulação nesse contexto). Observação 5 (transformação de funções parciais em aplicações): Por vezes dá jeito transformar uma função parcial f: A / B numa aplicação que disponibilize a mesma informação que essa função parcial. Tal pode ser feito muito facilmente, mantendo o mesmo conjunto de partida, e alargando o conjunto de chegada com um elemento que não pertença a B (que a seguir designaremos por) "-", que intuitivamente pode ser visto como codificando o valor "indefinido". De facto, considerando tal interpretação, é imediato que uma função parcial f: A / B pode ser "traduzida" pela aplicação f T (designação escolhida aqui como mnemónica de "f total") assim definida 26 : f T : A (B {-}) x dom(f) f T (x) = f(x) x (A-dom(f)) f T (x) = - 24 Igualmente podemos representar tal relação como uma aplicação entre AxB e {0,1}, através da chamada função característica da relação (ver secção 2, a seguir). 25 Se x dom(r), então f(x)=. Se R for uma relação funcional, então a imagem por f de qualquer elemento do domínio de R será um conjunto singular. 26 Naturalmente, uma outra maneira imediata de "transformar" uma função parcial f numa aplicação consiste em manter o conjunto de chegada e restringir o conjunto de partida ao domínio de f, isto é, em considerar a restrição de f ao conjunto D=dom(f). No entanto, é discutível se a aplicação assim obtida disponibiliza a mesma informação que a função parcial inicial f (uma vez que tal aplicação f D não guarda a informação que f não está definida em A-D). 105

12 No resto deste capítulo, com uma ou outra excepção, não falaremos em geral de funções parciais, concentrando-nos nas aplicações. No entanto, alguns dos conceitos introduzidos (em secções ulteriores) para aplicações são facilmente generalizáveis a funções parciais. Exercícios : 1. Considere a função f: R / R dada por f(x) = x 1. Diga qual é o seu domínio e o seu contradomínio. 2. Considere as funções reais de variável real dadas por f(x) = 1 x +1 e g(x) = x2, e diga a que são iguais as funções g º f e f º g. 3. Considere a função f: R / R dada por f(x) = x e a função g: R / R dada por g(x) = x 2. Caracterize as funções: g º f e f º g. 4. Considere a função f: R / R dada por f(x) = x. Diga a que são iguais f[{-2, 2}] e f -1 [{-4, 0, 2}]. 5. Prove que a composição de funções é associativa, i.e. prove que, quaisquer que sejam as funções x 1 f:a / B, g:b / C e h:c / D, se tem h º (g º f) = (h º g) º f. 6. Sendo f : A / B, demonstre que: a) Quaisquer que sejam X,Y A, tem-se X Y f[x] f[y] b) Quaisquer que sejam X,Y B, tem-se X Y f -1 [X] f -1 [Y] 7. Seja f: R R tal que f(x) = x+1, g: R R tal que g(x) = x 3 e h: R R tal que g(x) = x. a) Diga a que são iguais: g º f, f º g, f º f, g º g, f º h, h º f, g º h, h º g, (g º f) º h, g º (f º h) b) Sendo C = {-1, 0, 1} e D = {x: x R -2 x < 3}, diga a que são iguais: f[c], g[c], h[c], f[d], g[d], h[d], f[ N 0 ], g[ N 0 ], h[ N 0 ], f[ R], g[ R], h[ R] 8. Seja f: R R tal que f(x) = x+1, e g: R R tal que g(x) = x 4. Diga a que são iguais: f[{3,5,8}], f -1 [{3,5,8}], g[{3,7}], g -1 [{4,16}] 9. Uma aplicação f : A B diz-se constante sse c B x A f(x) = c, e diz-se que f é constantemente igual a c( B) sse x A f(x) = c. Considere a aplicação f : N 0 N 0, constantemente igual a 1, e diga a que é igual: a) f[{5, 7, 8}] b) f -1 [{1}] c) f -1 [ N 0 ] d) f -1 [{3}] 10. Considere a linguagem de programação Mathematica. Construa um programa (nessa linguagem) que: a) Recebendo um conjunto finito A e uma aplicação definida em A, retorna (a representação da relação que é) o gráfico de tal função. b) Recebendo uma relação binária R, satisfazendo a condição x A 1 y B (x,y) R, retorna a aplicação f R de que tal relação é o gráfico (ver observação 4). c) Recebendo uma aplicação f e um subconjunto E do seu conjunto de partida, retorna f[e]. d) Recebendo uma aplicação f e um subconjunto E do seu conjunto de chegada, retorna f -1 [E]. 106

13 11.Considere a linguagem de programação Mathematica. Construa um programa (nessa linguagem) que recebendo duas aplicações, para as quais está definida a composta, retorna a respectiva aplicação composta. Ilustre o programa construído, aplicando a duas funções (nas condições requeridas), previamente definidas, e indicando expressão da sua aplicação composta para um ponto genérico x. Secção 2: Algumas aplicações (concretas e classes de aplicações) importantes. O conceito de função é um conceito já relativamente bem conhecido dos alunos, que com ele trabalharam ao longo do Ensino Secundário 27. E, em particular, os alunos já conhecem bem, do Secundário, algumas funções reais de variável real importantes, como p.ex. as funções polinomiais, as funções racionais, as funções exponenciais e logarítmicas e as funções trignométricas. No entanto, para além dessas funções de resultado real, existem muitas outras funções importantes e de interesse nomeadamente para a chamada "matemática do discreto". A título ilustrativo, referem-se duas funções de resultado inteiro que são utilizadas p.ex. no âmbito da análise da eficiência de algoritmos (vejase o capítulo 12). A função tecto - "ceiling function" - é a aplicação de R em Z que aplica cada real no seu "tecto", onde o tecto de um número x é denotado por x e define-se como se segue: x = menor inteiro maior ou igual a x Segue-se o gráfico desta função no intervalo ]-3, 3]: Por sua vez, a função característica (de um número) - "floor function" (que sugere uma designação, mais apropriada, como função soalho ou função chão) - é a aplicação de R em Z que aplica cada real na sua característica, onde a característica 28 de um número x é denotada por x e define-se como se segue: x = maior inteiro menor ou igual a x 27 Onde os alunos trabalharam não só com aplicações, mas também com funções (parciais). Por exemplo, um exercício típico do Secundário consiste em perguntar qual é o domínio da função real de variável real, f, dada por f(x) = x?. x 1 28 A designação de x como a característica de x parece advir do seguinte: qualquer real x pode ser decomposto, de uma única maneira, na soma de um inteiro n com um real θ entre 0 e 1 (mais precisamente, 0 θ<1), tendo-se que n = x e θ = x - x. Se x for maior ou igual a 0, n corresponde à chamada parte inteira de x e θ à parte decimal; no entanto, se x<0, então designa-se usualmente por parte inteira de x, não x, mas sim x (ver exemplos a seguir). 107

14 Segue-se o gráfico desta função (agora) no intervalo [-3, 4[: Tem-se, por exemplo: 2.3 = 2 e 2.3 = = -3 e -2.3 = -2 Seguem-se algumas propriedades interessantes destas funções (cuja verificação deixamos ao cuidado do leitor), onde x designa um qualquer real e n designa um qualquer inteiro: i) x = x x Z x = x ii) x -1 < x x x < x+1 iii) - x = - x e - x = - x iv) x = n n x < n+1 x = n x-1 < n x x = n n-1 < x n x = n x n < x+1 v) x + n = x + n e x + n = x + n vi) x < n x < n n < x n < x x n x n n x n x e com n designando um qualquer inteiro e a e b inteiros não nulos (e / a operação de divisão real): vii) n/2 + n/2 = n viii) n/a /b = n/(ab) ix) n/a /b = n/(ab) Observação : A função tecto e a função característica (de um número) estão disponíveis na linguagem de programação Mathematica, sendo aí designadas, respectivamente, por Ceiling e Floor. Para além destas (e de muitas outras) funções particulares que são importantes, importa também conhecer certos tipos/classes de funções relevantes, que têm inclusivamente designações específicas. O resto desta secção tem esse objectivo. 108

15 Definição 1 : a) Dado um conjunto A, chama-se função identidade em A, à aplicação que se designa por id A (ou I A ) assim definida: id A : A A x A id A (x) = x b) Dado um conjunto B e um seu subconjunto A, chama-se função de inclusão de A em B à aplicação, que designaremos a seguir 29 B por inc A (ou só por inc, se A e B forem evidentes pelo contexto), assim definida: B inc A : A B x A inc B A (x) = x Definição 2 : Por função Booleana, ou predicado, entende-se qualquer função com resultado nos valores de verdade (valores lógicos) 0 e 1 (i.e. cujo conjunto de chegada é {0, 1}). Embora um predicado possa ser uma função parcial, têm particular interesse os predicados que correspondem a funções totais (i.e. aplicações). Em particular, podemos recorrer a tais predicados para caracterizar, de forma alternativa, outros conceitos matemáticos. Por exemplo, em vez de vermos uma relação binária entre A e B como um conjunto de pares ordenados (pertencentes a AxB), podemos também "vê-la" como um predicado que recebendo um qualquer par (x,y) (pertencente a AxB) retorna 1 ou 0 (consoante tal par pertence ou não à relação). Predicados, como este, que nos permitem obter uma caracterização alternativa de um certo conceito (ou construção) matemático, são usualmente designados de funções características (desses conceitos) 30. Seguem-se dois exemplos importantes de funções características. Definição 3 : Dado um conjunto A e um subconjunto S de A, chama-se função característica de S em A, à aplicação Booleana, que designaremos a seguir por c S (em A), assim definida: c S (em A) : A {0,1} x A ( (x S c S (em A) (x) = 1) (x S c S (em A) (x) = 0) ) Quando o conjunto A é evidente pelo contexto (como p.ex. quando fixamos um determinado universo de trabalho e A é esse universo), pode falar-se simplesmente na função característica de S e escrever apenas c S. 29 No que respeita a esta alínea e às definições 3 e 4 abaixo, deve realçar-se que a notação usada aqui para designar as funções em causa não é uma notação padrão. 30 A função característica de um número, atrás introduzida, não corresponde à noção de função característica que estamos a procurar intuir agora. 109

16 Assim, dado um conjunto A, qualquer seu subconjunto pode ser caracterizado por uma aplicação de A em {0,1}. E, vice-versa, é fácil verificar que qualquer aplicação de A em {0,1} define, de modo análogo, um subconjunto de A (formado pelos elementos que são aplicados em 1) 31. Exemplo 1 : a) A função característica de S = {0, 1, 2, 3} em N 0 é a aplicação c S : N 0 {0,1} assim definida c S (0) = c S (1) = c S (2) = c S (3) = 1 n 4 c S (n) = 0 b) A aplicação c: N 0 {0,1} dada por c(2) = 1 e n 2 c(n) = 0 caracteriza o subconjunto singular de N 0, formado apenas pelo 2, e a aplicação c: N 0 {0,1} dada por n 0 c(n) = 0 caracteriza o conjunto vazio. Definição 4 : Dada uma relação n-ária R (n 1) entre os conjuntos A 1,..., A n chama-se 32 função característica da relação R à aplicação Booleana, que designaremos a seguir por c R, assim definida 33 : c R : A 1 x...xa n {0,1} c R (x 1,...,x n ) = 1 (x 1,...,x n ) R ( (x1,...,xn) A1x...xAn ) Tem-se, assim, que qualquer relação n-ária, entre n conjuntos, pode ser representada por uma aplicação de A 1 x...xa n em {0,1} (a sua função característica) e, vice-versa, é fácil verificar que qualquer aplicação de A 1 x...xa n em {0,1} define, do mesmo modo, uma relação (formada pelos tuplos que são aplicados em 1). Exemplo 2 : Seja R a relação binária em A = {1, 2, 3} dada por R = {(1,1), (1,2), (3,2)}. A função característica de R é a aplicação c R : A 2 {0,1} assim definida c R (1,1) = 1 c R (1,2) = 1 c R (1,3) = 0 31 Sem pretender entrar em detalhes, e mais como curiosidade (atendendo aos objectivos deste texto), refira-se que tal facto está na base da notação 2 A que (como se referiu na nota de rodapé 10 do capítulo 2) também é usada para referir o conjunto (A), das partes de A. De facto: pelo que se disse acima, o conjunto das partes de A pode ser "identificado" com o conjunto das aplicações de A em {0, 1} pelas razões que exporemos na observação 2-b) da secção 4, à frente, pode usar-se B A para designar o conjunto de todas as aplicações de um conjunto A num conjunto B, pelo que o conjunto das aplicações de A em {0, 1} pode ser designado por {0,1} A e, como se observou na nota de rodapé 16 do capítulo 3, pode-se "identificar" cada natural com o conjunto dos naturais precedentes (pelo que 2 pode ser identificado com {0,1}) e, juntando tudo isto, facilmente se chega à notação 2 A. 32 É imediato constatar que a função característica da relação R (entre os conjuntos A 1,..., A n ) coincide com a função característica do conjunto R no conjunto A 1 x...xa n, usando a terminologia da definição c R (x 1,...,x n ) é uma abreviatura de c R ((x 1,...,x n )) (veja-se a secção 3). 110

17 c R (2,1) = 0 c R (2,2) = 0 c R (2,3) = 0 c R (3,1) = 0 c R (3,2) = 1 c R (3,3) = 0 Exercícios : 1. Sendo B = N 0 e A = {1, 3, 5}, diga a que é igual (onde inc designa a função de inclusão de A em B): a) inc[{3, 5}] b) inc -1 [{1, 5, 7}] c) inc -1 [{4, 8}] 2. Sendo A = N 0 e S = {1, 3, 5}, diga a que é igual (onde c S designa a função característica de S em A): c S [{3, 5}], c S [{0, 1, 5}], c -1 S [{1}], c -1 S [{0}], c -1 S [{0, 1}] A Diga ainda a que é igual a função inc {0,1} º c S. 3. Considere a relação binária R, em {0, 1, 2, 3}, dada por R = {(0, 1), (0, 0), (0, 2)}, e diga a que é igual a sua função característica. 4. Considere a relação binária R, em R 2, dada por R =, e diga a que é igual a sua função característica. 5. Considere a relação ternária R, entre N 0, Z e N 1, dada por R = {(0,0,1), (0,-1,1), (1,-2,2)}, e diga a que é igual a sua função característica. 6. Sendo f : A B, verifique que f º id A = id B º f = f 7. Considere a linguagem de programação Mathematica. No exercício a), pediu-se que construísse um programa que recebendo uma relação de equivalência num certo conjunto, retornasse o respectivo conjunto quociente. Construa, agora, um programa que recebendo um conjunto finito e a função característica de uma relação de equivalência nesse conjunto, retorna o respectivo conjunto quociente. Secção 3: Funções de aridade n ( 1), operações e estruturas algébricas (simples). Por aridade de uma função entende-se o número de argumentos desta. Diz-se que uma função é n-ária se tem n ( 1) argumentos (unária se n=1, binária se n=2, e assim sucessivamente). Considere-se uma função f de aridade n superior a um, e suponha-se que os argumentos de f tomam valor nos conjuntos, respectivamente, A 1,..., A n, e o resultado toma valor num conjunto B. Como, intuitivamente, tal entidade (função) pode ser vista como associando a cada tuplo (x 1,...,x n ), com x 1 A 1,..., x n A n, (no máximo) um elemento de B, ela é usualmente representada em Matemática como se segue: f : A 1 x...x A n / B (ou, se se tratar de uma aplicação, f : A 1 x...x A n B) isto é, como uma função (unária) cujo conjunto de partida é o produto cartesiano de A 1,..., A n. No entanto, em vez de se escrever f((x 1,...,x n )), escreve-se simplesmente f(x 1,...,x n ). 111

18 Esta notação não é ideal, pois não permite distinguir claramente uma função n-ária, com argumentos em A 1,..., A n, de uma função unária com argumento em A 1 x... x A n 34. Pelo contrário, uma notação como f : A 1... A n / B (ou, se f for uma aplicação, f : A 1... A n B) já nos permite distinguir tais funções 35. Não iremos, contudo, considerar aqui tal notação alternativa para a descrição de funções, seguindo, assim, a tradição matemática usual. Definição 1 : a) Por operação n-ária (n 1) num conjunto não vazio A entende-se 36 uma aplicação entre A n e A. b) Se θ é uma operação n-ária (n 1) num conjunto (não vazio) A, diz-se que um subconjunto de A, não vazio, S, é fechado para a operação θ sse sempre que aplicamos a operação a elementos de S ainda obtemos um elemento de S. Simbolicamente: x1,...,xn S θ(x 1,...,x n ) S Dito de outra forma, S é fechado para θ sse a "restrição de θ a S" for uma operação em S; nesse caso também se diz que a "restrição de θ a S" é a operação em S induzida por θ. (Informalmente, quando S é fechado para θ também se diz que θ é uma operação em S, em vez de dizer, como seria mais correcto, que a "restrição de θ a S" é uma operação em S.) 34 Embora apresente, precisamente por isso, a vantagem de permitir codificar funções que possam receber qualquer número de argumentos, num certo conjunto E, como funções da forma f : n 1 E n / B assumindo que se continua a escrever f(x1,...,xn) como abreviatura de f((x1,...,xn)). 35 Em Ciência da Computação, no âmbito dos tipos abstractos, estas distinções são clarificadas. Ao especificar um tipo descreve-se (em particular) a "assinatura das operações". Informalmente, a assinatura de uma operação especifica a sintaxe desta. A assinatura de uma operação toma a forma genérica f : a 1... a n b, com a 1,..., a n, b nomes (nomes que são vistos como identificadores de conjuntos). A semântica de um tipo abstracto envolve a definição de uma interpretação para este, em que tais nomes, a 1,..., a n, b, são interpretados como conjuntos, A 1,..., A n, B, e f é interpretada como uma aplicação entre A 1 x...xa n e B. O aprofundamento deste tópico está, contudo, fora do âmbito deste texto. 36 Este é o entendimento usual, embora se possa também estender a noção de operação (n-ária) em A a funções parciais entre A n e A (nesse sentido se pode dizer que a divisão é uma operação nos reais). Igualmente se pode estender a noção de operação a funções envolvendo diferentes conjuntos (como nos tipos abstractos: ver nota de rodapé anterior): pense-se p.ex. numa operação "acrescenta", que recebendo um subconjunto B de um conjunto A e um elemento y de A, "acrescenta y a B", i.e. retorna o conjunto B {y} - tal hipotética "operação" corresponde a uma aplicação entre (A) x A e (A). Refira-se, por último, que por vezes também se identifica as constantes (elementos de um conjunto A) com operações 0- árias (nesse conjunto A). Contudo, não tomaremos aqui essa opção: apesar de ela ter vantagens em alguns contextos, pensamos que seria desajustada neste texto. 112

19 Se considerarmos a operação de adição (+) nos inteiros, tem-se que o conjunto dos naturais é fechado para essa operação (+ é também uma operação nos naturais); no entanto, p.ex. o conjunto {-1, 0, 1, 2,...}, dos inteiros maiores ou iguais a -1, já não é fechado para a adição (uma vez -1 + (-1) = -2 e -2 já não pertence a esse conjunto). Notação : i) Usaremos normalmente a letra grega θ (θ 1, θ 2,...), ou ρ (ρ 1, ρ 2,...), para nos referirmos genericamente a uma operação num conjunto. (Naturalmente, operações específicas, como soma, subtracção, etc., serão designadas pelos símbolos usuais.) ii) De acordo com o que se observou atrás, se θ é uma operação n-ária (n 1) num conjunto (A), escreve-se θ(x 1,...,x n ), em vez de θ((x 1,...,x n )), para se referir ao resultado de aplicarmos θ ao tuplo (x 1,...,x n )( A n ) iii) Se θ é uma operação binária num conjunto A, escreve-se normalmente xθy, em vez de θ(x,y), para se referir ao resultado de aplicarmos a operação θ ao par (x,y) ( A 2 ). Isto é, no caso das operações binárias usa-se em geral a notação infixa 37 para expressar o resultado da operação. As operações binárias são particularmente usadas em Matemática (pense-se por exemplo nas operações de adição e multiplicação em conjuntos de números, ou nas operações de intersecção e união nas partes de um conjunto). Seguem-se algumas propriedades que tais operações podem (ou não) possuir. Definição 2 : a) Seja θ uma operação binária num conjunto (não vazio) A. Então: i) Diz-se que dois elementos, x e y, de A, são permutáveis para θ sse x θ y = y θ x ii) Diz-se que θ é comutativa sse x,y A x θ y = y θ x iii) Diz-se que θ é associativa sse x,y,z A (x θ y) θ z = x θ (y θ z) (em cujo caso se pode escrever simplesmente x θ y θ z, em vez de (x θ y) θ z) iv) Diz-se que um elemento e ( A) é elemento neutro para θ (ou que θ tem elemento neutro e) sse x A (x θ e = e θ x = x) v) Diz-se que um elemento e ( A) é elemento absorvente para θ sse x A (x θ e = e θ x = e) vi) Se θ tem elemento neutro e, diz-se que um elemento x (de A): - tem inverso direito (ou que é invertível à direita) sse existe um elemento y de A tal que x θ y = e (e y diz-se inverso direito de x) - tem inverso esquerdo (ou que é invertível à esquerda) sse existe um elemento y de A tal que yθx=e (e y diz-se inverso esquerdo de x) - tem inverso (ou que é invertível) sse existe um elemento y de A tal que x θ y = y θ x = e (e y diz-se inverso de x: como é imediato, y é inverso de x sse x é inverso de y) 37 Na notação infixa o símbolo da operação ocorre entre os seus argumentos; na notação prefixa o símbolo da operação ocorre antes dos argumentos (é a notação que é usualmente usada para expressar o resultado de uma função); finalmente, na notação sufixa o símbolo da operação ocorre após os argumentos. 113

20 b) Sejam θ 1 e θ s duas operações binárias num mesmo conjunto (não vazio) A. Então, diz-se que: θ 1 é distributiva em relação a θ 2 à direita sse x,y,z A x θ 1 (y θ 2 z) = (x θ 1 y) θ 2 (x θ 1 z) θ 1 é distributiva em relação a θ 2 à esquerda sse x,y,z A (y θ 2 z) θ 1 x = (y θ 1 x) θ 2 (z θ 1 x) (Se θ 1 for comutativa, então θ 1 é distributiva em relação a θ 2 à direita sse θ 1 é distributiva em relação a θ 2 à esquerda (demonstre!), podendo dizer-se simplesmente que θ 1 é distributiva, ou verifica a propriedade distributiva, em relação a θ 2 ) Antes de vermos alguns exemplos, enunciemos e demonstremos (apenas) dois resultados. Teorema 1 : Seja θ uma operação binária num conjunto (não vazio) A. Então θ tem no máximo um elemento neutro. Demonstração: Suponha-se, por absurdo, que θ admitia dois elementos neutros, e1 e e2, distintos (i.e. e1 e2). Então: i) e1 θ e2 = e2 Justificação: e1 é elemento neutro (e e2 A) ii) e1 θ e2 = e1 Justificação: e2 é elemento neutro (e e1 A) Logo e1 = e2, o que contradiz e1 e2 (c.q.d.) Teorema 2 : Seja θ uma operação binária num conjunto (não vazio) A, que é associativa e admite elemento neutro e. Então: x,y,z A ((x θ y = e z θ x = e) y = z) isto é, em notação mais condensada (e salientando apenas no fim que as variáveis estão a ser universalmente quantificadas): x θ y = z θ x = e y = z ( x,y,z A ) Demonstração: Sejam x, y e z quaisquer elementos de A, tais que x θ y = e e z θ x = e. Ora: z θ (x θ y) = (z θ x) θ y (x θ y = e e z θ x = e) z θ e = e θ y (e é elemento neutro para θ) z = y Logo, como z θ (x θ y) = (z θ x) θ y, em virtude de θ ser associativa, podemos concluir que z = y (c.q.d.) Observação (inverso de um elemento): Do teorema 2 anterior, decorre imediatamente que se a operação θ for associativa, então se um elemento x tem inverso direito (y) e inverso esquerdo (z), os inversos esquerdo e direito são iguais e x é invertível. 114

21 E igualmente se conclui (porquê?) que, se a operação θ for associativa (e admitir elemento neutro), então o inverso de um elemento x, quando existe, é único (e o inverso do inverso de x é x: porquê?) Nestes casos, é frequente denotar o inverso de x por x -1, embora se considerem outras notações para certo tipo de operações. Por exemplo, para a adição de números (e para outras operações de "tipo aditivo"), o inverso de x é designado de simétrico de x, e denotado por -x. Exemplos : 1) A operação de adição (por exemplo) nos reais é comutativa e associativa, tem elemento neutro (0), mas não tem elemento absorvente, e qualquer real x tem inverso em relação a essa operação (-x). Por sua vez, a multiplicação nos reais é comutativa e associativa, tem elemento neutro (1), tem elemento absorvente (0), e qualquer real x diferente de 0 tem inverso em relação à multiplicação (x -1 ). A operação de multiplicação é distributiva em relação à operação de adição, mas a operação de adição não é distributiva em relação à operação de multiplicação. 2) A operação de intersecção no conjunto A, das partes de um conjunto A, é comutativa e associativa, tem elemento neutro (A) e elemento absorvente ( ). O único elemento (subconjunto de A) que admite inverso é o próprio A (qual é o seu inverso?). A operação de união, no mesmo conjunto A, é comutativa e associativa, tem elemento neutro ( ) e elemento absorvente (A). O único elemento (subconjunto de A) que admite inverso é o (qual é o seu inverso?). Qualquer das duas operações é distributiva em relação à outra. 3) Se considerarmos a linguagem de programação Mathematica e a operação Join (por exemplo) no conjunto das listas de inteiros, tem-se que essa operação não é comutativa, mas é associativa, tem elemento neutro (a lista vazia), mas não tem elemento absorvente. O único elemento (lista) que admite inverso é o próprio elemento neutro (i.e. a lista vazia). No capítulo anterior, já falámos de estruturas (em vez de estruturas também se fala em "conjuntos equipados com estrutura", ou mesmo em "conjuntos com estrutura"). Em particular, dissemos que um conjunto A e uma relação binária R em A formava uma estrutura (que se representa por (A,R) ou por (A;R)), e como exemplos importantes dessas estruturas falámos dos conjuntos parcialmente ordenados. Trata-se de casos particulares de um tipo de estruturas conhecidas por estruturas relacionais. Em vez de se considerar um conjunto e relações nele definidas, podemos também considerar estruturas formadas por um conjunto e operações definidas nesse conjunto: diz-se então que estamos em presença de uma estrutura algébrica. Um dos casos mais simples e importantes de estruturas algébricas consiste em considerar um conjunto (não vazio) equipado com uma operação binária, estrutura que se designa genericamente de grupóide: 115