CONSTRUÇÃO DE MAPAS DE LIGAÇÃO POR MEIO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO VIA CADEIAS DE MARKOV

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1 CONSTRUÇÃO DE MAPAS DE LIGAÇÃO POR MEIO DE SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO VIA CADEIAS DE MARKOV Moysés NASCIMENTO 1 Cose Daião CRUZ Ana Carolina Capana NASCIMENTO 1 Adésio FERREIRA 3 Luiz Alexandre PETERNELLI 1 Fabyano Fonseca e SILVA 1 Paulo Roberto CECON 1 RESUMO: Este trabalho teve por objetivo apresentar e avaliar a eficiência da utilização de étodos de siulação de Monte Carlo via Cadeias de Markov no apeaento genético (MCMC). Utilizou-se o algorito de Metropolis-Hastings para obter estiativas de frequência de recobinação entre dois arcadores e o algorito siulated annealing para ordenar arcadores dentro dos grupos de ligação. Para tanto, siulou-se ua população F, de natureza codoinante, constituída de 00 indivíduos. Estabeleceu-se u genoa co quatro grupos de ligação, co 100 cm de taanho cada. Os grupos de ligação possue 51, 1, 11 e 6 arcas, respectivaente. O algorito de Metropolis-Hastings produziu resultados seelhantes aos obtidos analiticaente. Já o algorito do siulated annealing foi eficiente na ordenação dos arcadores, obtendo resultados seelhantes ou elhores aos do étodo delineação rápida e cadeia. Desta fora, a utilização de étodos MCMC é ua alternativa viável e de siples ipleentação e estudos de apeaento genético. PALAVRAS-CHAVE: MCMC; apeaento genético; arcadores olecular. 1 Introdução O apeaento genético facilita o trabalho de elhoraento, ua vez que ua ou ais arcas do genótipo pode estar associadas a u ou ais genes controladores de características qualitativas e quantitativas (Rosado et al., 010). Desse odo, tendo-se o genótipo apeado, o trabalho de elhoraento pode ser otiizado, tanto na eficiência do prograa, quanto na velocidade de obtenção de ganhos, pois é possível a realização de seleção co base nos arcadores (Bhering et al., 008). Após a prieira etapa do apeaento, que consiste e selecionar arcadores oleculares que apresenta poliorfiso, é necessário obter estiativas da frequência 1 Universidade Federal de Viçosa UFV, Departaento de Estatística, CEP: , Viçosa, MG, Brasil. E-ail: oysesnasci@ufv.br / ana.capana@ufv.br / peternelli@ufv.br / fabyanofonseca@ufv.br / cecon@ufv.br Universidade Federal de Viçosa UFV, Departaento de Biologia Geral, CEP: , Viçosa, MG, Brasil. E-ail: cdcruz@ufv.br 3 Universidade Federal do Espírito Santo, Centro Agropecuário CCAUFES, CEP , Alegre, ES, Brasil. E-ail: adesioferreira@gail.co 434 Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

2 de recobinação entre pares de locos para que seja possível ordenar os arcadores dentro de cada grupo de ligação. E geral, a estiação da frequência de recobinação entre pares de locos é realizada por eio do étodo da áxia verossiilhança. Este étodo é, se dúvida, o ais popular dentre os étodos de estiação. E uitas situações a solução da equação de verossiilhança pode ser obtida analiticaente. Entretanto, e situações ais coplexas a solução analítica é ipraticável, devendo o resultado ser obtido a partir de aproxiações nuéricas (Bolfarine e Sandoval, 001). Para casos e que a solução não pode ser encontrada analiticaente, surge coo opções, o étodo gráfico (Schustere e Cruz, 008), o qual atribui diferentes valores para o parâetro, referente à frequência de recobinação entre pares de arcadores, dentro do intervalo 0 a 0,5, na função de verossiilhança, encontrando assi, o ponto de áxio da função. Ebora útil, existe situações e que o étodo gráfico deixa de ser interessante visto à dificuldade da análise visual e planos ou superfícies. Nestes casos, étodos iterativos coo o de Newton-Raphson e Algorito EM (Esperança e Maxiização) surge coo alternativas na estiação da frequência de recobinação. Entretanto, ua á escolha do valor inicial pode fazer co que o algorito convirja para u valor que não seja o áxio da função de verossiilhança. Ua alternativa para contornar esses probleas e obter estiativas para a frequência de recobinação é o uso de étodos de aostrage baseados e cadeias de Markov, os étodos MCMC (Markov Chain Monte Carlo), ais especificaente o algorito de Metropolis-Hastings (1970). A utilização deste étodo se faz interessante visto que, obedecendo a critérios de convergência, independente do estado inicial da cadeia, ou seja, do valor inicial, o algorito converge para a distribuição de interesse. Ua vez estiadas as frações de recobinação entre cada par de arcadores, e já discriinados os grupos de ligação, deve-se deterinar a elhor orde para os arcadores dentro de cada grupo (Carneiro e Viera, 00). Quando se te apenas dois arcadores, apenas ua orde é possível. O problea surge quando o interesse é estabelecer a elhor orde a partir de u grande núero de arcas, pois se te, para n arcadores, n!/ possíveis ordens (Schuster e Cruz, 008). Nota-se então que, para grande núero de locos, este não é u problea trivial de ser resolvido. Para solucionar o problea de ordenação, ou seja, obter ua solução nuérica, vários étodos são citados na literatura: delineação rápida e cadeia (Doerge, 1996); seriação (Buetow e Chakravarti, 1987a,b); siulated annealing (Kirkpatrick et al., 1983); raos e conexões (Thopson, 1987). O étodo de siulação estocástica, siulated annealing é na verdade u conhecido étodo MCMC (especificaente o Algorito de Metropolis-Hastings), odificado de fora a se tornar u algorito de otiização. Diante do exposto, o objetivo deste trabalho apresentar e foi avaliar a eficiência da utilização de étodos de siulação de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) na estiação da frequência de recobinação entre dois arcadores e na ordenação dos esos no processo de apeaento genético. Utilizou-se o algorito de Metropolis- Hastings para obter estiativas de frequência de recobinação entre dois arcadores e o algorito do siulated annealing para ordenar arcadores dentro dos grupos de ligação. Alé disso, os resultados obtidos fora coparados co os obtidos pelos étodos de áxia verossiilhança e delineação rápida e cadeia, para a estiação da frequência de recobinação e ordenação de arcadores, respectivaente. Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

3 Material e étodos Para realização deste estudo, siulou-se ua população F de taanho 00 co arcadores codoinantes. Para esta população, foi gerado u genoa co quatro grupos de ligação, co 100 centiorgans (cm) de taanho cada. Os grupos de ligação possue 51, 1, 11 e 6 arcas, co ua distância de, 5, 10 e 0 cm entre arcas adjacentes, ocasionando diferentes graus de saturação. A escolha de ua população de taanho 00 se deve ao trabalho de Ferreira et al. (006) e que os autores afira que ua população coposta por esta quantidade de indivíduos é suficiente para construção de apa de ligação precisos. Deste odo, te-se: i) Prieiro grupo de ligação: arcador 1 (1), arcador (),..., arcador 51 (51), co intervalos entre arcas adjacentes de cm; ii) Segundo grupo de ligação: arcador 5 (5), arcador 53 (53),..., arcador 7 (7), co intervalos entre arcas adjacentes de 5 cm; iii) Terceiro grupo de ligação: arcador 73 (73), arcador 74 (74),..., arcador 83 (83), co intervalos entre arcas adjacentes de 10 cm; iv) Quarto grupo de ligação: arcador 84 (84), arcador 85 (85),..., arcador 89 (89), co intervalos entre arcas adjacentes de 0 cm. Utilizou-se o ódulo de Siulação de genoa coplexo do aplicativo coputacional GQMOL (Cruz, 007) para obtenção destas populações..1 Método da áxia verossiilhança para estiação da frequência de recobinação Considerando inforações de dois loci gênicos (M 1 / 1 e M / ) obtidas nua população F codoinante derivada de u F 1 duplo-heterozigoto, são observadas nove classes genotípicas (Tabela 1). Tabela 1 - Valores observados e esperados da segregação de dois locos codoinantes Genótipo Núero Observado Frequência Esperada genes ligados M 1 M 1 M M n p 1 1 = 1 ( 1 r 4 M 1 M 1 M n p = 1 r( 1 r ) M 1 M 1 n 3 p = 1 r 3 4 M 1 1 M M n p = 1 r( 1 r ) 4 4 M 1 1 M n p = 1 ( 1 r ) + M 1 1 n p = 1 r( 1 r ) M M n 7 p = 1 r M n p = 1 r( 1 r ) n 9 p9 = 1 ( 1 r Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

4 Observando-se n indivíduos dentre os quais n pertence à classe genotípica i, e i que i { 1,,, 9} então, o vetor aleatório N = ( n1, n,, n9 ) te distribuição ultinoial co parâetros n, p1, p,, p9 e;portanto, π n! ( N r) = p p p n! n! n! 1 9 n1 n n9 1 9, e que p p 1 (1 r ) 4 1 = 9 = ; p = p 1 4 = p6 = p8 = r(1 r) ; 1 p 3 = p 7 = r e p = 1 ( 1 r ) + r. Apesar de haver nove classes, verifica-se que alguas delas possue a esa frequência esperada, ficando assi reduzidas a quatro (Tabela 1). A função de verossiilhança correspondente à aostra aleatória observada é dada por: n1 + n9 n + n4 + n6 + n8 n5 n3 + n7 ( ; ) = 1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) ; L r N λ r r r r r r 4 4 (1) n! e que: λ = n! n! n!. 1 9 Considerando A = n1 + n9, B = n + n4 + n6 + n8, C = n5 e D = n 3 + n7, a função suporte, ou seja, o logarito natural da função de verossiilhança de r pode ser definido coo: ln L( r; N) ln( λ) Aln(1 r) Bln( r(1 r) Cln(1 r r ) D ln( r) = () Obté-se o estiador de áxia verossiilhança igualando a função escore, definida coo a derivada da função suporte (), à zero. Isto é, l( r; N ) A B(1 rˆ ) C(1 rˆ ) D = = 0. r 1 rˆ rˆ (1 rˆ ) 1 rˆ + rˆ rˆ (3) Fazendo as siplificações necessárias e (3), obté-se a equação polinoial, cujas raízes deve ser obtidas. 3 D + B rˆ( A + 4B + C 6D ) + rˆ ( 4A + 6B + 6C + 8D ) 4rˆ ( A + B + C + D ) = Solução analítica As raízes deste polinôio pode ser encontradas analiticaente através do dispositivo prático de Briot-Ruffini. Este étodo baseia-se na lei da divisão, aplicada a u polinôio quando dividido por u binôio da fora ( x a ). Desta fora, sua utilização está condicionada ao conheciento de ao enos ua raiz do polinôio. O Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

5 conheciento de possíveis raízes pode ser obtido utilizando o teorea de raízes racionais 4. Entretanto, para grandes valores de a0 = D e a n = ( A + B + C + D ) existe ua infinidade de possíveis raízes, tornando a resolução analítica do problea ua tarefa árdua. Assi, nestes casos o resultado deve ser obtido a partir de étodos gráficos, aproxiações nuéricas e/ou étodos MCMC (Bolfarine e Sandoval, 001)..1. Solução por eio do algorito de Metropolis-Hastings (MCMC) Este é se dúvida o ais iportante dos étodos MCMC, pois todos os outros são casos especiais dele. O algorito foi inicialente proposto por Metropolis (1953) e generalizado por Hastings (1970). De aneira sucinta, a ideia do algorito é siular ua cadeia de Markov ( X n ) n 0 e seu espaço de estados ( Λ ) co distribuição estacionária π. Isto é, valores de Λ após u tepo suficienteente longo de siulação são aostrados de ua distribuição aproxiadaente igual a π. Neste algorito u valor é gerado a partir de ua distribuição auxiliar, q( r,r ), e aceito co ua dada probabilidade α ( r,r ). Esse ecaniso de correção garante a convergência da cadeia para a distribuição de equilíbrio, que, neste caso, é a distribuição de interesse π (Paulino et al., 003). Suponha que no instante t a cadeia esteja no estado r e u valor r é gerado de ua distribuição proposta q( r,r ). O novo valor π ( N r ) q( r, r) aceito co probabilidade α ( r, r ) = in,1. π ( N r) q( r, r ) Ua característica iportante é que só é necessário conhecer π parcialente, isto é, a enos de ua constante. Desta fora, no caso da estiação da frequência de recobinação pode-se negligenciar o valor de λ. O algorito de Metropolis-Hastings para o caso da estiação da frequência de recobinação pode ser descrito coo: Algorito 1 1. Escolhe-se ua função de transição auxiliar q( r,r ) ;. Escolha X Λ, ou seja, u chute inicial; 0 r é 3. Para n 0 e X n = r siule X n+ 1 ~ q( r,r ) e lance ua distribuição unifore co a=0 e b=1, U (0,1). Supondo que X n+1 = r, faça X n+ 1 r se U < α( r, r ), = r caso contrário ; 4. n n + 1 e retorne para o passo 3; 5. Interropa o processo considerando u critério de convergência. 4 Se o núero racional p/q, co q e p, prios entre si, é ua raiz da equação polinoial co coeficientes inteiros n n 1 an x + an 1 x + + a x + a1x + a0 = 0, então, p é divisor de a 0e q é divisor de a n. 438 Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

6 Sabe-se da literatura especializada (Weir, 1996; Schuster e Cruz, 008) que os valores de frequência de recobinação varia entre 0 e 0,5, assi, escolheu-se coo distribuição proposta, isto é, q( r, r ) ua distribuição unifore co valores entre 0 e 0,5. Por se tratar de ua distribuição de probabilidade siétrica, a probabilidade de π ( N r ) aceitação se siplifica para α ( r, r ) = in 1,, ou seja, π ( N r) α =. (1 r) r(1 r) (1 r) + r r A B C D (1 r ) r(1 r ) (1 r ) + r r ( r, r ) in 1, Para avaliar a convergência do algorito de Metropolis-Hastings foi utilizado o critério de Raftery e Lewis (199) ediante o pacote Bayesian Output Analysis (BOA) do R (R Developent Core Tea, 010). Alé disso, co o objetivo de se observar a diinuição da influência do valor inicial da cadeia ao longo do processo de siulação, fora utilizados coo valores iniciais da cadeia, para cada par de arcadores, os valores de r = 0 05 e r = , 0,. Métodos para ordenação dos arcadores..1 Delineação rápida e cadeia O algorito da delineação rápida e cadeia (Doerge, 1996), consiste nua aneira siples para a ordenação de arcadores oleculares dentro dos grupos de ligação. Este algorito pode ser descrito da seguinte fora: 1. Verifica-se qual par de arcadores ( i, j ) possui a enor estiativa de frações de recobinação entre cada par de arcadores. Esses arcadores iniciarão a cadeia;. Verifica-se qual é o arcador não apeado ( k ) que apresenta a enor estiativa de frações de recobinação co u dos arcadores terinais. Posiciona-se este arcador ao lado daquele co o qual apresentou a enor fração de recobinação; 3. Repete-se o procediento até que todos os arcadores seja adicionados à cadeia; 4. E seguida, tenta-se inversões sucessivas e duplas e triplas arcas, a fi de iniizar a soa das recobinações adjacentes (SARF)... Siulated annealing O siulated anneling é ua pequena odificação no conhecido algorito MCMC de Metropolis-Hastings (1970), que o transfora e u algorito de otiização conhecido coo siulated annealing (Kirkpatrick et al., 1983). A ideia fundaental deste étodo é eprestada da física. E física da atéria condensada, annealing é u processo Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

7 térico utilizado para iniizar a energia livre de u sólido. Inforalente o processo pode ser descrito e duas etapas: (i) auentar a teperatura do sólido até ele derreter; (ii) diinuir lentaente a teperatura até as partículas se organizare no estado de ínia energia do sólido. Esse processo físico pode ser siulado no coputador usando o algorito de Metropolis. Suponha que o estado atual do sólido é x, e que a energia desse estado é H ( x ). U estado candidato y, de energia H ( y ), é gerado aplicando ua pequena perturbação no estado x. A regra de decisão para aceitar o estado candidato utiliza a seguinte ( ) ( ) probabilidade H y H x αt ( x, y) = in 1,exp, e que T denota a teperatura. Se T o resfriaento é realizado lentaente, o sólido atinge o equilíbrio térico a cada teperatura. Do ponto de vista de siulação, isso significa gerar uitas transições a ua certa teperatura T (Robert e Casella, 004). Para o problea de ordenação de arcadores, faz-se a seguinte analogia: i) As soluções do problea de ordenação (otiização), ou seja, os eleentos x Λ, representados por todas as possíveis perutações, são equivalentes aos estados físicos x ; ii) A função, f ( x ) D σ, i σ i + 1 K 1 =, que associa a cada orde x Λ i= 1 a distância total percorrida (SARF - su of adjacent recobination frequency) é equivalente à função energia do sólido, H ( x ) ; iii) Ua orde candidata y de distância dada por K 1 f ( y ) = D σ, i σ i + é equivalente a u estado candidato yde energia H ( y ) ; iv) U 1 i= 1 parâetro de controle c > 0 é equivalente à teperatura. Seja x ua orde inicial, c 0 o parâetro de controle inicial e L 0 o núero 0 inicial de iterações utilizadas para u eso valor de c 0. O siulated annealing pode ser descrito da seguinte fora: Algorito 1. Escolha n = 0, x = x n Λ, c 0 e L 0 ;. Faça i de 1 até L n ; 3. Gere y na vizinhança de 4. Se f ( y ) f ( x ), então x y ; x e gere ua variável aleatória X ~ U (0,1) ; f ( y 5. Se f ( y ) > f ( x ) e ) f ( x ) U < exp, então x y ; cn 6. Fi do faça; 440 Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

8 7. n n + 1; 8. Defina c n e E que L n, e volte até o passo até u critério de parada. L n é o núero de transições da cadeia e cada teperatura ( c n ). Para obter ua aproxiação nuérica da solução do problea de ordenação dos arcadores, utilizando o algorito siulated annealing, é necessário definir u sistea de vizinhança e Λ, isto é, ua perutação candidata de arcadores. Adotou-se u sistea e que o vizinho típico (orde candidata) de ua orde (,,,,,,,, σ ) 1 σi σi+ 1 σ j 1 σ j σ k (,,,,,,,, σ ) 1 σi σ j 1 σ j σi+ 1 σ j σ k x = foi definido coo y =. A Figura 1 apresenta u gráfico de u vizinho típico candidato de ua orde x Λ. Figura 1 -Vizinho candidato de ua orde x Λ. O parâetro de controle na n-ésia iteração do algorito, denotado por c n, foi A calculado co base na expressão, c, n = e que é o núero de iterações do ln( + 1) algorito e A ua constante escolhida de fora conveniente. A escolha de A é feita de fora que o algorito do siulated annealing escape dos ínios locais da função de interesse (SARF), e alcance o ínio global. Portanto, a constante A deve ser escolhida de fora que todas as ordens iniciais seja aceitas. Neste trabalho, da esa fora que no trabalho de Nasciento et al. (010), utilizou-se coo o valor desta constante. Para avaliar a convergência do siulated annealing utilizou-se a evolução das distâncias totais e cada iteração. Os algoritos fora ipleentados na linguage de prograação R versão.15.1 (R Developent Core Tea). Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

9 3 Resultados e discussão A partir das inforações relativas a cada par de arcadores, por exeplo, M 1 / 1 e M /, obtivera-se, por eio do étodo da áxia verossiilhança, os polinôios que possibilita a estiação dos valores das frequências de recobinação entre pares de arcadores. Devido a grande quantidade de análises, ais especificaente 3.916, visto que fora siulados 89 arcadores que são cobinados a, serão apresentados os resultados da estiação da frequência de recobinação apenas para os prieiros pares de arcadores dentro de cada grupo de ligação, ou seja, M 1 / 1 e M /, M 5 / 5 e M 53 / 53, M 73 / 73 e M 74 / 74 e, por últio, M 84 / 84 e M 85 / 85. Os polinôios são dados por: 3 800rˆ rˆ 43rˆ + 16 = 0; M1M M1M M1M 3 800rˆ rˆ 436rˆ + 18 = 0 ; M 5M 53 M 5M 53 M 5M rˆ rˆ 504rˆ + 5 = 0 ; M 73M 74 M 73M 74 M 73M rˆ rˆ 580rˆ = 0. M 84M 85 M 84M 85 M 84M 85 As estiativas das frequências de recobinação, obtidas no software GQMOL (Cruz, 009) e seus respectivos intervalos de confiança, estão apresentadas na Tabela. Tabela - Estiativas da frequência de recobinação entre dois arcadores, considerando ua população F coposta de 00 indivíduos, por duas diferentes abordagens (Método da Máxia Verossiilhança e Metropolis- Hastings), e seus respectivos intervalos de confiança Loci MMV LI LS MH ( r 0 = 0, 05 ) LI LS MH ( r 0 = 0, 50 ) LI LS rˆ 4,10 M 1 M,11 6,08 4,35 (0,0101) (0,0103),59 7, 4,30 (0,0101),57 6,50 rˆ M 5 M 53 4,60 (0,0107),49 6,70 4,84 (0,0110),90 7, 4,84 (0,010),95 7,08 rˆ M 73 M 74 14,00 (0,0180) 10,9 17,70 14,4 (0,019) 10,78 18,35 14,0 (0,0190) 10,85 18,16 rˆ M 84 M 85 5,90 (0,064) 0,7 31,07 6,08 (0,060) 1,36 31,43 6,11 (0,064) 1,0 31,4 MMV: Método da Máxia Verossiilhança; MH: Metropolis-Hastings; LI: Liite inferior; LS: Liite superior; Valores entre parênteses são os desvios padrão das estiativas das frequências de recobinação. 44 Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

10 Para cada ua das análises realizadas (3916), o núero de iterações, burn-in e thin fora indicados de acordo co o critério de Raftery e Lewis (199). A constatação final da convergência foi tabé realizada por eio do critério de Raftery e Lewis (199), via fator de dependência, avaliado no pacote BOA ( Bayesian Output Analysis ) do software R (Sith, 007). Tanto os valores estiados para a frequência de recobinação quanto seus respectivos intervalos de confiança apresentara valores siilares pelas duas diferentes abordagens realizadas (Tabela ). E relação ao algorito de Metropolis-Hastings observou-se tabé que o uso de diferentes valores iniciais para a cadeia não influencia o resultado da estiação (Tabela ). Observou-se tabé que apenas os intervalos de confiança referentes ao par de arcadores M 5 e M continha o valor paraétrico, ou seja, 5 cm entre arcas 53 adjacentes (Tabela ). Esse resultado evidencia que a população siulada constituída de 00 indivíduos não foi capaz de reproduzir fielente o apa co precisão adequada. Após a estiação das frequências de recobinação entre os pares de arcadores, deterinou-se a elhor orde para os arcadores dentro de cada grupo de ligação siulado. De acordo co o software GQMOL, que encontra a solução do problea através do étodo delineação rápida e cadeia, o prieiro grupo de ligação é ordenado da seguinte fora 1,,,. Essa orde possui ua distância total de 11,00 cm. Já a solução 51 obtida pelo étodo de otiização estocástica foi: 1,3,,4,5,,33, 38,34, 35,36,37,39,41,40, 4, 44,43,45,46,,50, 51, a qual te ua distância total de 111,50 cm, ou seja, inferior à solução obtida pelo étodo delineação rápida e cadeia. Para os deais grupos de ligação, as soluções obtidas pelos dois étodos são equivalentes, ou seja, 5,,, 7 73,, e 83 84,,, 89 para os grupos de ligação, 3 e 4 respectivaente. Essas ordens possue a distância total de 101,40, 111,50 e 105,00 cm, respectivaente. A Figura apresenta a evolução das distâncias total a cada iteração do algorito nos grupos de ligação analisados. Verificou-se que quanto aior o núero de arcas no grupo de ligação aior o núero de iterações necessárias para que o algorito obtenha u resultado satisfatório (Figura ). Para grupos de ligação ais saturados, isto é co distâncias entre arcas adjacentes enores, cm, o algorito do siulated annealing obteve resultados seelhantes ou elhores (enor SARF) que o étodo de delineação rápida e cadeia. Este elhor desepenho é tabé explicado pelo núero de arcadores, visto que o siulated annealig analisa u aior núero de possíveis ordens. Já para os deais grupos de ligação que possue níveis de saturação enores e consequenteente enor núero de arcadores os étodos utilizados neste estudo apresentara resultados siilares. Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

11 (A) (B) distância total percorrida (SARF) distância total percorrida (SARF) Iterações Iterações (C) (D) distância total percorrida (SARF) distância total percorrida (SARF) Iterações Iterações Figura -Evolução das distâncias total a cada iteração do algorito. (A) grupo de ligação 1 (B) grupo de ligação (C) grupo de ligação 3 (D) grupo de ligação 4. Conclusões Diante destes resultados, verificou-se que os étodos de siulação de Monte Carlo via aldeias de Markov apresentara resultados satisfatórios tanto para estiação da frequência de recobinação quanto na ordenação de arcadores, especificaente o algorito de Metropolis-Hastings proporcionou resultados seelhantes aos obtidos pelo étodo da áxia verossiilhança e, co respeito à ordenação de arcadores, para grupos co aior núero de arcas, 51 arcas, o étodo baseado e siulação estocástica, siulated annealing, apresentou ordens co distância (SARF) iguais ou enores que o étodo delineação rápida e cadeia. Nos deais casos, abos os étodos fora equivalentes, apresentando esa distância SARF. NASCIMENTO, M.; CRUZ, C. D.; NASCIMENTO, A. C. C.; FERREIRA, A.; PETERNELLI, L. A.; SILVA, F. F.; CECON, P. R. Construction of linkage aps by Markov Chain Monte Carlo ethod. Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01. ABSTRACT: The objective of this work was to present and evaluate the efficiency of the use of Markov Chain Monte Carlo Methods (MCMC) in genetic apping. It was used the Metropolis- 444 Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01

12 Hastings algorith to estiate the frequency of recobination between two arkers and the siulated annealing to ordering of the genetic arkers within each linkage group. In order to evaluate the capacity of algoriths, an F co-doinant population with 00 individuals, were siulated. For this population, a genoe with four linkage groups (100 cm) was generated. The linkage groups possessed 51, 1, 11 and 6 arks, respectively, and a corresponding distance of, 5, 10 and 0 cm between adjacent arks, thereby causing various degrees of saturation. Metropolis-Hastings algorith presented equivalent results to the analytical solution. The ethod based upon stochastic siulation by siulated annealing presented orders with distances equivalent to or lower than rapid chain delineation. Thereby the MCMC ethods were a viable and siple alternative for genetic apping studies. KEYWORDS: MCMC; genetic apping; olecular arkers. Referências BHERING, L. L.; CRUZ, C. D.; GOD, P. I. V. G. Estiativa de frequência de recobinação no apeaento genético de faílias de irãos copletos. Pesq. Agropec. Bras., Brasília, v.43, n.3, p , 008. BOLFARINE, H.; SANDOVAL, M. C. Introdução a inferência estatística. Rio de Janeiro: SBM, p. BUETOW, K. H.; CHAKRAVARTI, A. Multipoint gene apping using seriation. I. General ethods. A. J. Huan Genet., Cabridge, v.41, p , 1987a. BUETOW, K. H.; CHAKRAVARTI, A. Multipoint gene apping using seriation. II. Analysis of siulated and epirical data. A. J. Huan Genet., Cabridge, v.41, p , 1987b. CARNEIRO, N. S.; VIEIRA, M. L. C. Mapas genéticos e plantas. Bragantia, Capinas, v.61, p , 00. CRUZ, C. D. Gqol: prograa para análise de genética quantitativa olecular Versão (009). Disponível e: < dbg/gqol/gqol.ht>. Acesso e: Ago. 01. DOERGE, R. Constructing genetic aps by rapid chain delineation. J. Quant. Trait Loci, v., p.11-13, FERREIRA, A.; SILVA, M. F.; SILVA, L. C.; CRUZ, C. D. Estiating the effects of population size and type on the accuracy of genetic aps. Genet. Mol. Biol., Ribeirão Preto, v.9, p , 006. HASTINGS, W. Monte Carlo sapling ethods using Markov chains and their applications. Bioetrika, Oxford, v.57, n.1, p , KIRKPATRICK, S.; GELATT, C. D.; VECCHI, M. P. Optiization by siulated annealing. Science, Washigton, v., p , METROPOLIS, N.; ROSENBLUTH, A.; ROSENBLUTH, M.; TELLER, A.; TELLER, E. Equation of state calculations by fast coputing achine. J. Che. Phys., College Park, v.1, p , Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p ,

13 NASCIMENTO, M.; CRUZ, C. D.; PETERNELLI, L.A.; CAMPANA, A. C. M. Coparison between siulated annealing algoriths and rapid chain delineation in the construction of genetic aps. Genet. Mol. Biol., Ribeirão Preto, v.33, p , 010. PAULINO, C.D.; TURKMAN, M. A.; MURTEIRA, B. Estatística Bayesiana. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, p. R Developent Core Tea. R: A language and environent for statistical coputing. R Foundation for Statistical Coputing, Vienna, Austria, 010. URL < RAFTERY, A. L.; LEWIS, S. M. Coent: one long run with diagnostics: ipleentation strategies for Markov chain Monte Carlo. Stat. Sci., Bethesda, v.7, p , 199. ROBERT, C.; CASELLA, G. Monte Carlo statistical ethods. New York: Springer, p. ROSADO, T. B.; TOMAZ, R. S.; RIBEIRO JUNIOR, M. F.; ROSADO, A. M.; GUIMARÃES, L. M. S.; ARAÚJO, E. F.; ALFENAS, A. C.; CRUZ, C. D. Detection of QTL associated with rust resistance using IBD-based ethodologies in exogaic Eucalyptus spp. Populations. Crop Breed. Appl. Biotechnol., Viçosa, v.10, p , 010. SCHUSTER, I.; CRUZ, C. D.Estatística genôica - Aplicada a populações derivadas de cruzaentos controlados.viçosa: UFV, p. SMITH, B. J. Boa: an R package for MCMC output convergence assessent and posterior inference. J. Stat. Softw., Los Angeles, v.1, p.1-37, 007. THOMPSON, E. A. Crossover counts and likelihood in ultipoint linkage analysis. J. Math. Appl. Med. Biol., Oxford, v.4, p , WEIR, B. Genetic data analysis. Sunderland: Sinauer Associates, p. Recebido e Aprovado após revisão Rev. Bras. Bio., São Paulo, v.30, n.3, p , 01