UM ALGORITMO GENÉTICO PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER

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1 UM ALGORITMO GENÉTICO PARA O PROBLEMA DE CARREGAMENTO DE CONTAINER Lúcio Lopes Rodrigues Neto Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ/ COPPE lucio.lopes@bol.co.br Ait Bhaya Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ/ COPPE/ NACAD ait@nacad.ufrj.br Eugenius Kaszkurewicz Universidade Federal do Rio de Janeiro UFRJ/ COPPE/ NACAD eugenius@nacad.ufrj.br Resuo Este trabalho apresenta ua solução para o problea de carregaento de container através de algorito genético, utilizando alguas características reais e adaptadas do processo de carregaento e dos dados das cargas de ua epresa de produto eletrônico. O algorito desenvolvido propõe dois odelos de carregaento (preenchiento do container), unificando duas propostas feitas anteriorente na literatura. São realizados testes co os dois odelos de carregaento co diferentes configurações de cargas disponíveis, que colabora para as conclusões apresentadas no trabalho. Palavras-Chaves: Algorito Genético, Carregaento de Container. Abstract This work presents a genetic algorith to find a solution to the container loading proble, using soe real features of a container loading proble as well as real cargo data fro an electronics factory. Two loading odels are proposed and used in the algorith that is developed. This perits the unification of two earlier proposals in the literature. Tests are perfored with different available cargo data, confiring conclusions that are presented in this work. Key words: Genetic Algoriths, Container Loading. Agradecientos: Os autores gostaria de agradecer o trabalho inucioso realizado pelo revisor do anuscrito: suas sugestões contribuíra significativaente para a elhoria do eso. Este trabalho contou co o apoio da SUFRAMA, que financiou o estrado do prieiro autor, be coo CAPES, CNPq e FAPERJ que apóia a pesquisa do segundo e terceiro autor. 1 Introdução O carregaento de containers é u problea clássico e pesquisas de otiização, cujo objetivo, e geral, é deterinar ua configuração de carga tal que o volue utilizado e relação ao volue total disponível do container seja axiizado. A elhor utilização do volue disponibilizado pelo container e a enor quantidade de containers utilizados reduz despesas co o transporte de ercadorias, o que reflete no preço dos produtos e nos resultados financeiros das copanhias. Contudo, a solução para esse problea não é trivial. Várias restrições co relação ao epilhaento de cargas, pesos, centro de gravidade, orientação do posicionaento das cargas, valores onetários e outros, dependendo da característica da carga, são fatores que dificulta a deterinação de ua solução ótia. A solução do problea não pode ser deterinada analiticaente, e, e teros coputacionais, é pouco provável que exista u algorito de baixa coplexidade, co base e ua abordage ateática e deterinística (FAINA, 2000). A evolução das pesquisas e as restrições peculiares a cada tipo de itens, de operação de carregaento e de transporte, coo o tipo de produto, seu forato geoétrico e a quantidade de carga, leva a adequações diferenciadas das técnicas de otiização e ao desenvolviento de heurísticas

2 adaptativas a cada problea específico. Neste contexto, o estudo e o eprego de algoritos genéticos e probleas práticos de otiização, coo o de carregaento de container, é cada vez aior. O trabalho aqui apresentado baseia-se no problea de carregaento de ua epresa fabricante de produtos eletrônicos. O seu processo de carregaento, as diensões e características de suas caixas e restrições inspira o problea estudado, que, por sua vez, é siplificado e relação ao problea original da epresa e questão, apresentando coo características principais: as caixas, que são objetos tridiensionais regulares e retangulares e possue ua diensão vertical de orientação fixa, denoinada de altura; apenas u único container é carregado por vez; as restrições de posicionaento são as esas para todas as caixas; e existência de u estoque de produtos (caixas). A configuração de carga a ser deterinada deve atender a quatro objetivos: axiização do volue utilizado; do peso da carga; do equilíbrio (centro de gravidade) e do valor onetário associado à carga. Considerando os objetivos acia, o problea, e questão, deveria ser tratado coo u problea de otiização ulti-objetivo (DEB, 2001; ESPEJO e GALVÃO, 2004). Contudo, u problea dessa natureza, co quatro objetivos, tornaria a busca por sua solução deasiadaente coplexa, ua vez que a deterinação nuérica da fronteira eficiente é difícil. A interpretação e visualização desta fronteira é ua tarefa não trivial que talvez não fosse facilitar o processo decisório. Para tanto, optou-se por tratar o problea coo u problea de u único objetivo, para o qual, a avaliação das características do padrão de carregaento é feita por ua única função de aptidão, tabé chaada de aptidão total, que deve ser axiizada. Esta, por sua vez, é construída coo cobinação convexa dos quatro objetivos descritos acia. Os pesos da cobinação convexa são apontados confore as prioridades definidas pela epresa. O algorito genético deverá apresentar dois tipos de foração de carga, sepre através da foração de caadas de caixas: a prieira, através de u preenchiento que coeça horizontalente e segue-se no espaço vertical disponível, vindo do fundo do container para parte frontal do eso; a segunda, através de foração de torres de caixas, onde as esas preencherão o espaço disponível da esquerda para a direita do container e de trás para frente. E resuo, o algorito apresentado neste artigo, ebora baseado no artigo HE e CHA (2002), apresenta alguas novidades: considera-se ua variável adicional (valor onetário) na função de aptidão e, alé disso, perite-se u novo padrão de carregaento, propício para a foração de torres de caixas. Esta segunda odificação, por sua vez, perite u analogia co o trabalho de BORTFELDT e GEHRING (2001) que propusera ua outra etodologia para obter u padrão de carregaento baseado na foração de torres estáveis. Mostra-se que nenhu dos dois padrões é sepre superior ao outro: dependendo do problea, u ou outro padrão gerará o elhor resultado, confore ostrado através de exeplos. 2 Abordage Clássica e Metaheurística para o Problea de Carregaento de Container Na literatura técnica clássica, existe duas versões do problea do carregaento do container que recebe, respectivaente, as denoinações bin packing e knapsack proble (MICHALEWICZ, 1994; RAIDL, 1999). O bin packing é u problea de deterinação de configuração de carregaento cujo objetivo é deterinar o enor núero de containers que possa arazenar todos os itens do carregaento. O knapsack proble, no contexto do problea de carregaento, por sua vez, te por objetivo encontrar ua configuração de carregaento para u único container tal que o volue utilizado do container seja axiizado, considerando as restrições diensionais do eso. O problea cobinando knapsack e bin packing é denoinado Multiple Container Packing Proble (MCPP) ou Problea de Epacotaento e Múltiplos Containers (RAIDL, 1999), onde se te o objetivo últiplo de axiizar o espaço utilizado e iniizar o núero de containers. Ainda que o referente problea esteja noralente associado a carregaento de itens tridiensionais regulares (CHIEN e WU, 1998; HOPPER e TURTON, 1997), coo é o caso do trabalho aqui apresentado, existe estudos para probleas de utilização de espaço disponível e ua diensão (CSIRIK et al., 1999) e duas diensões (HOPPER e TURTON, 1997). Alguns estudos propõe odelos de prograação ateática para o problea do carregaento de containers, outros propõe odelos geoétricos e analíticos (MARQUES e 1495

3 ARENALES, 2002; LI et al., 2003; FAINA 2000), utilizando diferentes técnicas. CHEN et al. (1995) desenvolvera u odelo analítico para o problea de carregaento de container, utilizando variáveis inteiras e binárias, onde são consideradas caixas retangulares e de taanhos não unifores e é previsto u carregaento e diferentes containers de diensões possivelente diferentes entre si. 2.1 Forulação Mateática para o Problea de Carregaento de Container Ua adaptação da forulação ateática apresentada por CHEN et al. (1995) para as características do problea aqui apresentado, ou seja, co u único container para o carregaento e orientação fixa da diensão vertical da caixa, pode ser descrita abaixo: Min L W H p q r s N i =1 i i i i Sujeito a (Evitar sobreposição de caixas no container) xi + pi. l xi + qi. w xi xk + (1 c ik i,k, i < k (01) xk + pk. l xk + qk. w xk x i + (1 d ik i,k, i < k (02) y i + pi. l yi + qi. w yi y k + (1 aik i,k, i < k (03) y k + pk. l yk + qk. w yk y i + (1 bik i,k, i < k (04) zi + pi. l zi + qi. w zi + ri. hzi zk + (1 eik i,k, i < k (05) zk + pk. l zk + qk. w zk + rk. hzk zi + (1 fik i,k, i < k (06) M é u núero arbitrariaente grande. (Garantir que o par de caixas avaliados nas equações 01 a 06 está no container) aik + bik + cik + d ik + eik + fik si + sk 1 i,k, i < k (07) (Garantir que o posicionaento das caixas obedeça às liitações físicas diensionais do container) x i + pi. l xi + qi. w xi L + (1 si i (08) y i + pi. l yi + qi. w yi W + (1 si i (09) zi + pi. l zi + qi. w zi + ri. hzi H + (1 si i (10) Onde, descreve-se as variáveis e notações acia: N núero de caixas disponíveis para carregaento; s i variável binária, que indica se a caixa foi posicionada no container. Quando isso ocorre, s, caso contrário, s i = 0; (L, W, H) triplo que indica copriento, largura e altura do container, respectivaente; (p i, q i, r i ) triplo que indica copriento, largura e altura da caixa, respectivaente; (x i, y i, z i ) triplo que indica a locação da caixa pelo canto inferior esquerdo traseiro; (l xi, l yi, l zi ) triplo binário que indica para qual eixo o copriento da caixa está e paralelo. Coo a altura da caixa sepre está e paralelo co a altura do container, te-se: (l xi, l yi, 0); (w xi, w yi, w zi ) variável binária que indica para qual eixo a largura da caixa está e paralelo. Coo a altura da caixa sepre está e paralelo co a altura do container, te-se (w xi, w yi, 0); (h xi, h yi, h zi ) triplo binário que indica para qual eixo a altura da caixa está e paralelo. Coo a altura da caixa sepre estará e paralelo co a altura do container, te-se: (0, 0, 1); Para indicar o posicionaento das caixas e relação a outras caixas: a ik caso seja 1, indica que a caixa i está à esquerda da caixa k; b ik caso seja 1, indica que a caixa i está à direita da caixa k; c ik caso seja 1, indica que a caixa i está atrás da caixa k; d ik caso seja 1, indica que a caixa i está à frente da caixa k; e ik caso seja 1, indica que a caixa i está abaixo da caixa k; f ik caso seja 1, indica que a caixa i está acia da caixa k; 1496

4 A forulação acia indica a coplexidade do problea. De fato, o problea de carregaento de container é classificado coo u problea de classe NP-Difícil (Non-deterinistic Polynoial-tie Difficult) (RODRIGUES, 2000; LITVINENKO et al., 2002). O significado prático desta constatação é que a solução do problea utilizando a forulação acia para u problea de grande porte não seria eficiente (FAINA, 2000), otivo pelo qual abordagens utilizando algoritos etaheurísticos se justifica para esta classe de probleas. 2.2 Soluções Metaheurísticas Gerais e Algorito Genético Métodos etaheurísticos tê sido cada vez ais utilizados e probleas coplexos (NPdifíceis). Metaheurísticas de otiização apresenta coo características principais u coponente probabilístico e propõe ua heurística geral que independe da natureza do problea específico a ser tratado. Alguas das técnicas classificadas coo etaheurística desenvolvidas e utilizadas são: Algoritos Genéticos (MICHALEWICZ, 1994; SOUZA, 2002; BAILER-JONES, 2002), Busca Tabu (GLOVER, 1989; GLOVER, 1990; SOUZA, 2002), Siulated Annealing (KIRKPATRICK et al., 1983; SOUZA, 2002; BAILER-JONES, 2002), e Grasp (SOUZA, 2002). Os algoritos genéticos estão entre as etaheurísticas ais utilizadas, devido a sua flexibilidade, facilidade de prograação, possibilidade de busca de solução e u espaço grande de soluções (HE e CHA, 2002). São baseados na evolução natural da espécie, cuja idéia por trás dos algoritos genéticos é o de busca de soluções sepre elhores que o subconjunto de soluções atuais. Nesse contexto, BORTFELDT e GEHRING (2001) propõe e seu trabalho ua solução cobinando ua heurística para a foração de torres independentes de caixas regulares co u algorito genético cujo objetivo é otiizar a disposição das torres no chão do container. Busca-se ua série de caixas para o carregaento que axiize o valor total das caixas no container. HE e CHA (2002), por sua vez, desenvolve u algorito genético para solucionar o problea de carregaento de container, cujos objetivos da solução são axiizar o volue de utilização e o peso de utilização do container e iniizar a altura do centro de gravidade, através da deterinação de ua seqüência de caixas para o carregaento, resultante da decoposição dos croossoos, denoinada padrão de carregaento. As caixas do padrão de carregaento preenche os subespaços disponíveis de fora sisteática e seqüencial. Na seção abaixo é descrito o algorito genético desenvolvido para o problea de carregaento do container. 3 O Algorito Genético Proposto O algorito genético desenvolvido inspirou-se no algorito de HE e CHA (2002), adequado às características e ao contexto do problea real, co possibilidade de escolha entre dois étodos de preenchiento, u dos quais se asseelha ao étodo de preenchiento adotado por HE e CHA (2002) (Lateral, Superior e Frontal, respectivaente) e o outro que se aproxia a ua cobinação entre os étodos de preenchiento utilizado por HE e CHA (2002) e por BORTFELDT e GEHRING (2001) (Superior, Lateral e Frontal), através de foração de torres de caixas no preenchiento do container, possibilitada por ua alteração na deterinação dos subespaços e na orde dos preenchientos da solução originalente proposta por HE e CHA (2002). 3.1 Objetivos do Algorito Desenvolvido A solução do algorito desenvolvido deve atender basicaente quatro objetivos: 1. Maxiizar o volue de utilização do container. 2. Maxiizar o peso peritido de utilização do container. 3. Maxiizar a estabilidade da carga, através da iniização da altura do centro de gravidade. 4. Maxiizar o valor onetário final da carga, considerando u liite dado. O atendiento aos quatro objetivos é feito através da avaliação pela função de aptidão, tratando o problea coo u problea de u único objetivo, confore poderá ser observado. 1497

5 3.2 Estrutura de Dados e População Inicial de Croossoos A estrutura de dados utilizada no referente trabalho segue o que JAKOBS (1996) propõe: ua representação para u padrão de carregaento (P), deterinado a partir de u croossoo da população, forada por índices de caixas b i : P={b 1, b 2, b 3,..., b n }, onde,..., n são índices das caixas. A seqüência b 1, b 2,..., b n representa a orde co que as caixas deve ser posicionadas no container, seguindo as regras de preenchiento previaente definidas. O croossoo, que por sua vez irá deterinar o padrão de carregaento, é forado por genes que representa os índices das caixas disponíveis para o carregaento.a população inicial de croossoos, no algorito desenvolvido, é deterinada de fora aleatória e garantindo que o taanho dos croossoos será deterinado pelo núero de caixas disponibilizadas para o carregaento. 3.3 Função de Aptidão A avaliação do padrão de carregaento é feita através da função de aptidão total ou soente função de aptidão, que avalia a configuração da carga carregada confore o volue ocupado, o peso dos produtos carregados, o centro de gravidade e o valor total dos produtos. Essas avaliações específicas são feitas por eio de sub-funções de aptidão. Cada sub-função de aptidão específica da função de aptidão total possui u peso associado que prioriza os objetivos ais iportantes e detriento a outros objetivos. O objetivo é obter o valor áxio da função de aptidão, descrita abaixo, confore os carregaentos avaliados. ϖ = k R + k 1 k 1 2 W + k + k 2 + k 3 3 G + k As sub-funções de aptidão para as restrições são as seguintes: R Sub-função de aptidão do volue; W Sub-função de aptidão do peso; G Sub-função de aptidão do centro de gravidade e V Sub-função de aptidão ao áxio valor dos produtos carregados. Os pesos são deterinados por k 1, k 2, k 3 e k 4, que estão associados às sub-funções de aptidão do volue (R), do peso (W), do centro de gravidade (G) e do valor da carga (V), respectivaente. Três sub-funções de aptidão, do volue, do peso e do centro de gravidade, são as esas utilizadas por HE e CHA (2002). Sub-função de Aptidão do Volue (R) Essa sub-função avalia o padrão de carregaento confore o volue ocupado e relação ao volue disponibilizado pela carreta, confore expressão abaixo. R = + k 100 RC Na expressão, R Bi é o volue de cada caixa carregada, onde i deterina o índice da caixa, e R C é o volue disponibilizado pelo container. Sub-função de Aptidão do Peso (T) A sub-função de aptidão ao peso (T) avalia o peso total das caixas do padrão de carregaento e relação ao peso áxio peritido pelo container. Considerando que o peso da carga, que é deterinado pela soatória dos pesos das caixas do carregaento, não pode ultrapassar o peso áxio peritido do container, a sub-função (T) recebe o valor 0 (zero), quando essa restrição é violada, confore abaixo: R Bi 4 4 V 1498

6 0 TBi > TC T = TBi 100 TBi TC TC T C é o peso áxio suportado pelo container, T Bi é o peso da caixa de índice i e representa o núero de caixas da carga. Sub-função de Aptidão do Centro de Gravidade (G) O objetivo é que o centro de gravidade seja o ais baixo possível. Para tanto, a avaliação da sub-função é realizada confore a fórula abaixo, onde T Bi representa o peso da cada caixa carregada, G Bi representa o centro de gravidade de cada caixa, confore índice i, e assue-se que o valor édio da altura da caixa é o seu centro de gravidade, e H C é a altura do container. Considera-se coo ideal u centro de gravidade no centro geoétrico do container (etade da altura). Caso o centro de gravidade esteja abaixo do valor édio da altura do container, o valor de G será aior que 100 e, no caso contrário, G assuirá u valor abaixo de 100. TBi GBi G = H 1.5 / C H 100 C TBi Sub-função de Aptidão do Valor (V) A soatória dos valores atribuídos a cada caixa deve ser igual ou inferior ao valor áxio previaente deterinado. A sub-função de aptidão do valor recebe zero quando o valor total dos produtos carregados for superior ao liite estabelecido, quando essa restrição não é violada, o valor de V é deterinado pela relação entre o valor da carga e valor áxio estipulado, confore abaixo: 0 V = VBi 100 VC V Bi é o valor associado a cada produto e V C é o valor onetário áxio que a carga do container deve possuir. 3.4 Operadores do Algorito Genético A obtenção de nova população de croossoos, que dará orige a novas configurações de carregaento possíveis, é feita por eio dos operadores de cruzaento, de utação e de seleção. Os operadores de cruzaento e de utação fora desenvolvidos especificaente para a aplicação no algorito genético aqui apresentado. Cabe enfatizar que estes operadores, ebora se asseelhe aos operadores clássicos de cruzaento e utação, apresenta iportantes diferenças ipostas pelo problea específico sendo estudado. Cruzaento O operador de cruzaento executa o cruzaento de u par de croossoos (pais) para gerar dois novos croossoos (filhos) que irão forar ua nova geração e que possuirão os esos núeros de genes dos croossoos pais. Esses novos croossoos gerados pelo operador cruzaento contê inforações dos dois croossoos geradores. V V Bi Bi > V C V C 1499

7 Os pares de croossoos para o cruzaento são forados aleatoriaente e a deterinação de quais pares farão efetivaente o cruzaento é deterinado tabé de fora aleatória associando a u tero probabilístico p c (probabilidade de cruzaento). O processo do cruzaento dos pares inicia-se pela deterinação da posição (x) do prieiro eleento oriundo de u dos croossoos pais e do núero de genes (y) provenientes desse eso croossoo pai, que a partir do eleento inicial (x), deverá copor u dos novos indivíduos. Os eleentos restantes são oriundos do outro croossoo pai, seguindo a seqüência dos eleentos desse croossoo e não repetindo nenhu eleento que já tenha sido originado do prieiro croossoo pai, antendo a esas características da estrutura de dados dos croossoos pai. Os valores de x e y são deterinados aleatoriaente coo no operador de cruzaento de HE e CHA (2002). Na figura 1 é apresentado u exeplo do ecaniso utilizado no operador de cruzaento para geração de dois novos croossoos a partir de u par de pais geradores Pai Pai 2 x = 3 y = Pai Filho Pai Filho 2 Figura 1 - Exeplo da operação de cruzaento para obtenção de dois novos croossoos a partir de u par de croossoos. Mutação O operador de utação gera u novo ebro da esa classe, a partir de ua odificação nos genes do croossoo original. O processo de utação de croossoos se dá através da udança aleatória das posições dos genes de u croossoo. Essa udança aleatória ocorre através da deterinação do núero aleatório de genes que sofrerão utação, esse núero é associado a u fator de probabilidade fixo p, sendo 0 p 1, que liita o núero de genes que participarão do processo. Na execução do operador de utação, é feita a deterinação aleatória do núero de genes que participarão da utação (x), e seguida, deterina-se quais os genes que participarão da utação. Os genes participantes deverão trocar as posições entre eles. Na figura 2, é possível verificar u exeplo da execução do processo de utação, onde o núero aleatório de genes (x) é 3. Croossoo Original Croossoo Novo Mask: X = Posição: Genes Originais: Ref: Núero de genes do croossoo que sofrerá utação Genes que sofrerão utação Novas posições para os genes: originalente nas posições 1, 5 e 7, genes udarão de posição para, respectivaente, 5, 7 e 1. Figura 2 - Exeplo da operação de utação que resulta e novo croossoo pela troca de posição de genes de u croossoo original. 1500

8 Seleção O operador de seleção é executado após os dois operadores anteriorente descritos. No processo de seleção é feita ua classificação dos croossoos novos gerados, a partir do cruzaento e utação, juntaente co os croossoos que dera orige aos novos. Essa classificação toa coo referência o valor da função de aptidão associado a cada croossoo. Após isso, seleciona-se os croossoos para a nova população obedecendo ao seguinte critério: no áxio, 80% do taanho da população de croossoos é forada pelos elhores croossoos, confore função de aptidão, e o restante é forado pelos piores croossoos, antendo-se a característica do processo de evolução. 3.5 Decodificação para Obtenção do Padrão de Carregaento A decodificação do croossoo para obtenção da configuração do carregaento é realizada através do preenchiento do espaço do container seguindo a seqüência dos genes dos croossoos. O processo decorre de u étodo sisteático de preenchiento de subespaços, considerando as restrições que as caixas e o container apresenta, coo liites diensionais e de rotação (udança de orientação), até que todo o espaço do container esteja preenchido ou que não haja ais caixas que possa ocupar o espaço restante. A decodificação é deterinada através de u processo de decoposição de espaços, onde originalente o espaço disponível é dado pelo volue do container. Seguindo a orde do croossoo, verifica-se a prieira caixa que não viola as restrições diensionais do container, a esa é selecionada para o carregaento, sendo posicionada no canto inferior esquerdo, que será chaado de orige do container. A caixa selecionada deterina ua decoposição do espaço restante do container e três subespaços: lateral, superior e frontal. Os subespaços deve ser preenchidos, confore a seqüência dos genes, até que todo o espaço esteja preenchido ou que não haja ais caixa que possa atender às restrições diensionais do espaço restante. A cada seleção de ua nova caixa para o preenchiento, as diensões dos subespaços deve ser atualizadas. As figuras 3 e 4 deonstra coo os subespaços são deterinados. H (altura) H (altura) Superior Superior Lateral Lateral Frontal W (Largura) Frontal W (Largura) L (Copriento) Figura 3 Decoposição do espaço do container, a partir do posicionaento da prieira caixa, para o preenchiento Lateral, Superior e Frontal, respectivaente. L (Copriento) Figura 4 Decoposição do espaço do container, a partir do posicionaento da prieira caixa, para o preenchiento Superior, Lateral e Frontal, respectivaente. Confore encionado, fora desenvolvidas duas etodologias de preenchiento, que se diferencia na obtenção dos subespaços e na orde de preenchiento dos esos. Ua delas segue a esa etodologia utilizada por HE e CHA (2002), cuja orde de preenchiento é lateral, superior e frontal (figura 3); e a outra aqui apresentada é originada de ua odificação nos subespaços e na orde de preenchiento dos esos, que passa a ser: superior, lateral e frontal (figura 4). Este últio apresenta ua restrição quanto ao posicionaento das caixas no subespaço superior, onde as caixas posicionadas acia não pode apresentar diensões horizontais superiores às diensões horizontais da caixa posicionada logo abaixo, possibilitando a foração de torres de caixas. Assi, consegue-se unificar duas etodologias de soluções distintas através da udança da orde de preenchiento dos subespaços e da odificação de obtenção dos esos. 1501

9 As caixas que fora selecionadas para o preenchiento do container fora o padrão de carregaento. É por esse padrão que a configuração será avaliada, através da função de aptidão total. 4 Testes e Resultados O algorito genético desenvolvido foi testado co diferentes diensões de container e diferentes configurações de caixas disponíveis para o carregaento. O algorito foi desenvolvido e Matlab 5.3 e os testes fora realizados e PC AMD Atlon (2.8 GHz) / 192 MB de eória RAM, co sistea operacional Windows XP Ver Os parâetros do algorito genético fora previaente definidos, tendo sido realizado DOE (Design of Experient) para deterinação de dois dos parâetros: núero de gerações e probabilidade de utação (p). Os pesos associados às sub-funções por sua vez fora deterinados confore prioridade definida pela epresa, onde o problea se inspira. 4.1 Teste co 100 Caixas No prieiro grupo de testes fora realizados testes co 100 caixas, de diensões siilares, extraídas de valores reais de diensões de aparelhos de áudio, confore tabela 1. Tabela 1 - Dados diensionais, pesos e valores das caixas do teste co 100 caixas de áudio. Modelo Altura (c) Copr. (c) Largura (c) Volue (c 3 ) Peso Bruto (kg) Valor (R$) Qtd A B C D E F G As diensões do container era, 1.35, 5, 1.08, respectivaente, altura, copriento e largura. Tinha coo peso áxio de carregaento kg, e o valor onetário áxio para a carga era de R$ Os principais parâetros do algorito genético era núero de croossoos por população igual a 100, probabilidade de cruzaento (p c ) igual a 0.8, probabilidade de utação (p ) igual a 0.1 e núero de gerações igual a 200. Os pesos associados às sub-funções de aptidão era: k 1 = 7, k 2 = 0.5, k 3 = 0.5 e k 4 = 2. Resultados dos Testes co 100 Caixas O teste co 100 caixas para o preenchiento Lateral, Superior e Frontal, apresentou coo édia e desvio padrão respectivos à função de aptidão total e as sub-funções de aptidão os resultados deonstrados na tabela 2, be coo, o valor áxio para função de aptidão total e os respectivos valores das sub-funções. Tabela 2 - Média e desvio padrão e elhor resultado dos valores dos testes co 100 caixas da tabela 1 (preenchiento Lateral, Superior e Frontal). Função de Aptidão - ϖ (%) R (%) T (%) G (%) V (%) Média Desv.Pad Melhor Resultado Para a esa configuração de caixas e container fora realizados os testes co o preenchiento seqüencial Superior, Lateral e Frontal, obtendo os resultados apresentados na tabela

10 Tabela 3 - Média e desvio padrão e elhor resultado dos valores dos testes co 100 caixas da tabela 1 (preenchiento Superior, Lateral e Frontal). Função de Aptidão - ϖ (%) R (%) T (%) G (%) V (%) Média Desv.Pad Melhor Resultado Nota-se nas tabelas 2 e 3 que para o grupo de testes descritos acia, os valores associados ao preenchiento da seqüência Lateral, Superior e Frontal fora superiores ao preenchiento Superior, Lateral e Frontal. A diferença nos resultados é explicada pela cobinação de ua série de fatores, coo, a diferença na obtenção dos subespaços e, por conseqüência, no preenchiento dos esos, be coo as próprias diensões das caixas e do container, que favorecera ao preenchiento Lateral, Superior e Frontal, dificultando a foração de torres do outro odelo de preenchiento. O tepo édio de execução do algorito genético nos dois odelos de preenchiento para os testes co 100 caixas e 200 gerações foi de inutos. 4.2 Teste co Grupo de 285 Caixas U novo grupo de testes foi realizado co 285 caixas, que representava caixas de diferentes produtos: Áudio, Tvs e DVDs, confore pode ser observado na tabela 4, onde tabé pode ser observados os valores associados às caixas e as quantidades respectivas a cada grupo. Para esse grupo de caixas, as diensões e parâetros do container são descritos na tabela 5. Tabela 4 - Dados diensionais, pesos e valores das caixas do teste co 285 caixas de Áudio, Tv e DVD. Modelo Altura (c) Copr. (c) Largura (c) Volue (c 3 ) Peso Bruto (kg) Valor (R$) Qtd A B C D E F G Tabela 5 - Diensões e Parâetros do Container nos testes co 285 caixas. Altura () Copr. () Largura () Volue ( 3 ) Peso Bruto Max (Kg) Valor Max (R$) Por sua vez, os parâetros do algorito genético fora: núero de croossoos por população igual a 100; probabilidade de cruzaento (p c ) igual a 0.8; probabilidade de utação (p ) igual a 0.1. Os pesos associados às sub-funções fora respectivaente: k 1 = 6, k 2 = 1, k 3 = 1 e k 4 = 2. Resultados dos Testes co 285 caixas No odelo de preenchiento Lateral, Superior e Frontal, as édias e desvios padrões das sub-funções e da função de aptidão total são apresentados na tabela 6, be coo, o valor áxio obtido para a função de aptidão total e os valores respectivos a cada sub-função de aptidão. Tabela 6 - Média e desvio padrão e elhor resultado dos valores dos testes co 285 caixas da tabela 4 (preenchiento Lateral, Superior e Frontal). Função de Aptidão - ϖ (%) R (%) T (%) G (%) V (%) Média Desv.Pad Melhor Resultado

11 Para a esa configuração de 285 caixas, do container respectivo e antendo todos os parâetros do algorito genético, fora realizados os testes co o preenchiento na seqüência Superior, Lateral e Frontal. Os resultados são apresentados na tabela 7. Tabela 7 - Média e desvio padrão e elhor resultado dos valores dos testes co 285 caixas da tabela 4 (preenchiento Superior, Lateral e Frontal). Função de Aptidão - ϖ (%) R (%) T (%) G (%) V (%) Média Desv.Pad Melhor Resultado Diferenteente do que aconteceu no teste co 100 caixas, cujas diensões era seelhantes entre elas, no teste co 285 caixas, co 7 grupos distintos de diensões de caixas, o preenchiento cuja seqüência é Superior, Lateral e Frontal apresentou elhores resultados para a função de aptidão total coparando-se ao odelo Lateral, Superior e Frontal. Na tabela 08 é possível observar o resultado do teste estatístico de diferença entre édias, realizado através de u software estatístico SSS_Stat, utilizado para coprovar estatisticaente a diferença entre os resultados dos testes dos odelos de preenchiento. Tabela 8 - Teste estatístico de diferença entre édias dos testes co 285 caixas entre os preenchientos Superior, Lateral e Frontal (S-L-F) e Lateral, Superior e Frontal (L-S-F). S-L-F L-S-F Diff (X1-X2) Média Desvio Padrão:n Estatística % ponto Valor P E-06 Para essa configuração de caixas e de container, cobinada a fora de obtenção dos subespaços e a seqüência de preenchiento dos esos, o preenchiento Superior, Lateral e Frontal foi favorecido apresentando elhores resultados édios. O tepo édio de execução do algorito genético nos dois odelos de preenchiento para os testes co 285 caixas e 350 gerações foi de 3.55 horas. 5 Conclusões Coo observado, algoritos genéticos deonstrara ser técnicas eficientes para probleas coplexos e co últiplas restrições, coo o problea de carregaento de containers, deonstrando flexibilidade ao se adaptar ao problea específico estudado. Coparando os dois odelos de preenchiento, o odelo de seqüência Lateral, Superior, Frontal apresentou resultado elhor que o odelo Superior, Lateral, Frontal nos testes co 100 caixas, onde os grupos apresentava seelhanças nas diensões das caixas. Entretanto, nos testes co 285 caixas, o odelo de preenchiento Superior, Lateral, Frontal apresentou resultados ais satisfatórios que o odelo Lateral, Superior, Frontal, confore condições descritas nos coentários dos testes. Percebe-se, portanto, que o resultado dos dois odelos de preenchiento é influenciado pelas diensões e pelas quantidades de caixas disponíveis para a foração do padrão de carregaento, be coo pelas diensões do container. O que leva a concluir que dependendo das características e da quantidade das caixas, u odelo pode ser ais adequado que o outro. No problea real, onde alguas restrições não são rigorosaente obedecidas e existe alguas características adicionais, a taxa de ocupação do volue estava e 84.5%, e nos testes apresentados neste trabalho chegou-se a 83.20% (para teste de 100 caixas) e 74.05% (para 285 caixas). Por fi, coprovou-se que dois tipos de padrões de carregaento, oriundos de duas etodologias de soluções distintas, dos autores HE e CHA (2002) e BORTFELDT e GEHRING (2001) respectivaente, pudera ser unificadas fazendo ua alteração no processo de obtenção dos 1504

12 subespaços e na orde de preenchiento dos esos, acrescentando ua restrição específica para a seleção de caixas no preenchiento Superior, Lateral e Frontal que peritisse a foração de torres. 6 Referências Bibliográficas BAILER-JONES, D. M., BAILER-JONES, C. A. L.. Modelling Data: Analogies in Neural Networks, Siulated Annealing and Genetic Algoriths. In: Model-Based Reasoning: Science, Technology, Values, L. Magnani and N. Nersessian (eds). New York, Kluwer Acadeic/ Plenu Publishers, BORTFELDT, A., GEHRING, H.. A Genetic Algorith for Solving the Container Loading Proble, European Journal of Operational Research, v. 131, pp , CHEN, C. S., LEE, S. M., SHEN, Q. S.. An Analytical Model for the Container Loading Proble, European Journal of Operational Research, v. 80, pp , CHIEN, C. F., WU, W. T.. A Recursive Coputational Procedure for Container Loading Proble, Coputers Industry Engineering, v. 35, n. 1-2, pp , CSIRIK, J., JOHNSON, D. S., KENYON, C., SHOR, P. W., WEBER, R. R.. A Self Organizing Bin Packing Heuristic, Algorith Engineering and Experientation, pp , DEB, K.. Multi-Objective Optiization Using Evolutionary Algoriths. 1 ed. Chichester, John Wiley & Sons, ESPEJO, L. G. A., GALVÃO, R. D.. Ua Aproxiação da Fronteira Eficiente para u Problea de Localização Hierárquico de Máxia Cobertura, Pesquisa Operacional, v. 24, n. 2, pp , FAINA, L.. A Global Optiization Algorith for Three-Diensional Packing Proble, European Journal of Operational Research, v. 126, pp , GLOVER, F.. Tabu Search, Part I. ORSA Journal on Coputing, v.1, pp , GLOVER, F.. Tabu Search, Part II. ORSA Journal on Coputing, v.2, pp. 4-32, HE, D. Y., CHA, J. Z.. Research on Solution to Coplex Container Loading Proble Based on Genetic Algorith. In: Proceeding of First International Conference on Machine Learning and Cybernetics, v. 1, pp , Beijing, Noveber, HOPPER, E., TURTON, B.. Application of Genetic Algoriths to Packing Probles A Review, In: Proceedings of the 2nd On-line World Conference on Soft Coputing in Engineering Design and Manufacturing, pp , London, JAKOBS, S.. On Genetic Algoriths for the Packing of Polygons, European Journal of Operational Research, v. 88, pp , KIRKPATRICK, S., GELATT, C. D., VECCHI, M. P.. Optiisation by Siulated Annealing, Science, v. 220, pp , LI, H.-L., TSAI, J.-F., HU, N.-Z.. A distributed global optiization ethod for packing probles. Journal-of-the-Operational-Research-Society, v. 54, pp , LITVINENKO, V. I., BURGHER, J. A., et al. The Application of the Distributed Genetic Algorith to the Decision of the Packing in Containers Proble, In: Proceeding of the 2002 IEEE International Conference on Artificial Intelligence Systes (ICAIS 02), v.1, Divnoorskoe, Septeber, MARQUES, F. P., ARENALES, M. N.. O problea da Mochila Copartientada e Aplicações, Pesquisa Operacional, n. 3, v. 22, pp , MICHALEWICZ, Z.. Genetic Algoriths + Data Structure = Evolution Progras. 2 ed. New York, Springer-Verlag, RAIDL, G. R.. A Weight-Coded Genetic Algorith for the Multiple Container Packing Proble. In: Proceeding of the 14th ACM Syposiu on Applied Coputing, v. 1, pp , San Antonio, July, RODRIGUES, R. F.. Coplexidade Coputacional NP-Copletude. ICE Departaento da Ciência da Coputação, SOUZA, M. J. F.. Inteligência Coputacional para Otiização. ICEB, Universidade Federal de Ouro Preto,