Estimação bayesiana em modelos lineares generalizados mistos: MCMC versus INLA

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1 Estimação bayesiana em modelos lineares generalizados mistos: MCMC versus INLA Everton Batista da Rocha Roseli Aparecida Leandro 2 Paulo Justiniano Ribeiro Jr 4 1 Introdução Na experimentação agronômica é muito comum a ocorrência de variáveis respostas cujas distribuições de probabilidade pertencem à família exponencial de distribuições. Esta família de distribuições teve destaque quando Nelder e Weddeburn (1972) definiram os modelos lineares generalizados. O modelo linear generalizado fica definido considerando-se um componente aleatório, um componente sistemático (ou preditor linear) e uma função de ligação. Considerando a inclusão de um efeito aleatório no preditor linear tem-se o modelo linear generalizado misto (MLGM). Para o MLGM, o ajuste baseado na verossimilhança pode apresentar problemas, especialmente no caso de pequenas amostras, visto que este processo de estimação baseia-se na distribuição assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança. Para solucionar este problema, propõe-se a utilização da abordagem bayesiana. A amostragem bayesiana baseada em amostras necessita de programação computacional intensiva. Os métodos computacionais intensivos mais difundidos e utilizados para a obtenção de uma amostra da distribuição a posteriori conjunta são os Métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC), especialmente o algoritmo de Metropolis-Hasting e o amostrador de Gibbs. Esses métodos em problemas mais complexos podem ser demorados na sua execução. Neste trabalho, propõe-se o uso da estimação bayesiana INLA(Integrated Nested Laplace Approximation) para o ajuste do MLGM. Pretende-se mostrar que o ganho computacional utilizando a estimação INLA é superior ao MCMC. Um exemplo ilustrativo com dados simulados será apresentado. 2 Material e métodos Para exemplificação do método INLA e sua comparação com o MCMC, será considerado o ajuste de um modelo de regressão de Poisson, com intercepto aleatório. Os dados foram simulados, considerando-se que Y i j Poisson(λ i j ) e log(λ i j ) = α + βx j + b i, fixando α = 3, 1 e.batista.rocha@usp.br 2 LCE - ESALQ/USP 3 Agradecimento a CAPES pelo apoio financeiro. 4 LEG-UFPR 1

2 β = 2 e b i N(,1). Aqui, x j refere-se a uma variável controlada quantitativa com j = 1,,3 e b i refere-se ao efeito aleatório associado à i-ésima unidade, com i = 1,,16. Sob estas especificações, o objetivo é ajustar o seguinte modelo hierárquico bayesiano, Y i j Poisson(λ i j ) (1) log(λ i j ) = α + βx j + b i b i N(,σ 2 α) α N(a 1,b 1 ), β N(a 2,b 2 ), τ b = 1/σ 2 α G(a,b) em que a 1 e a 2 são constantes reais e conhecidas e b 1, b 2, a e b são constantes reais, positivas e conhecidas. O MLGM é uma extensão do modelo proposto por Nelder e Weddeburn (1972) e encontrase definido detalhadamente em McCullagh e Nelder (1989) pela adição de efeitos aleatórios normalmente distribuídos no preditor linear do modelo. Considere a parametrização apresentada por Fong et al. (29): suponha que Y i j pertence a família exponencial de distribuições - Y i j θ i j,φ 1 p(.), em que p(.) é um membro da família exponencial, aqui parametrizada por, { } yi j θ i j b(θ i j ) p(y i j θ i j,φ 1 ) = exp + c(y i j,φ 1 ), (2) a(φ 1 ) em que i = 1,,m unidades; j = 1,,n i medidas por unidade e θ i j é o parâmetro canônico (escalar). Seja ainda µ i j = E[Y i j β,b i,φ 1 ] = b (θ i j ) com g(µ i j ) = η i j = x i j β+z i j b i, em que g(.) é uma função de ligação monótona, x i j é 1 p, z i j é 1 q, com β um vetor p 1 de efeitos fixos e b i um vetor q 1 de efeitos aleatórios, então θ i j = θ i j (β,b i ). Assuma que b i Q N(,Q 1 ), em que a matriz de precisão Q = Q(φ 2 ) depende dos parâmetros em φ 2. Assuma, além disso, que para β é considerada uma distribuição a priori normal, e tome γ = (β,b) denotando um vetor G 1 de parâmetros com distribuições a priori normais a serem estimatos e efeitos aleatórios a serem preditos. No caso em que φ 1 não for uma constante conhecida, deve-se também considerar uma priori para este parâmetro de perturbarção e para φ 2. Assim, φ = (φ 1,φ 2 ) será o vetor de componentes de variância com distribuições a priori não normais, com V = dim(φ). O uso de MCMC para a análise bayesiana é algo muito popular, entretanto, segundo Fong et al. (29), para o ajuste de MLGM, este método é particularmente interessante somente nos casos em que as independências condicionais do modelo possam ser exploradas. Além disso, o uso de MCMC exige uma sobrecarga computacional para a programação dos algoritmos. Para contornar essa dificuldade, considera-se o uso da abordagem computacional INLA, proposta por Rue et al. (29) e discutida por Fong et al. (29), no contexto dos MLGM. Para o MLGM descrito em (2), a distribuição a posteriori é expressa por, π(γ,φ y) π(φ)π(β) Q(φ 2 ) 1/2 exp { 1 2 bt Q(φ 2 )b + m i=1 log p(y i γ,φ 1 ) }, (3) 2

3 em que y i = (y i1,,y ini ) é o vetor de observações na unidade i. Deseja-se obter as marginais a posteriori π(γ g y), g = 1,,G, e π(φ υ y), υ = 1,,V. Assim, tem-se π(γ g y) = π(γ g φ,y) π(φ y)dφ, (4) que pode ser calculada pela aproximação π(γ g y) = π(γ g φ,y) π(φ y)dφ K π(γ g φ k,y) π(φ k y) k, (5) k=1 em que a aproximação de Laplace (ou outra aproximação analítica) é aplicada para o cálculo de π(γ g φ,y). O output do INLA consiste das distribuições a posteriori marginais dos parâmetros, que podem ser exploradas para a obtenção dos resumos a posteriori. Sob as especificações em (2), considerando os dados a serem simulados conforme a descrição no início desta seção, tem-se que γ = (α,β,b 1,b 2,,b 16 ) e φ = τ α. Para descrever a incerteza relativa aos parâmetros α, β e τ α, adotou-se independência entre eles, e para refletir o conhecimento vago no ajuste via MCMC, tomou-se a 1 = a 2 =, b 1 = b 2 = 1 e a = b = 1,E 3. O Teste de Raftery e Lewis e o período de adaptação do algoritmo foram considerados para determinar o tamanho efetivo da cadeia a ser monitorada no ajuste MCMC. Para verificar a convergência das cadeias de MCMC, aplicou-se o Teste de Gelman e Rubin. As análises bayesianas utilizando a estimação INLA foram realizadas no programa R considerando o pacote INLA, e os ajustes utilizando o MCMC foram obtidos com a interface entre os programas R e OpenBUGS, através do pacote BRugs. 3 Resultados e discussões Considere os dados gerados conforme descrito na seção 2. Na Figura 1 (a) e Figura 1 (b), tem -se os perfis das i unidades geradas avaliadas no j-ésimo nível de x j, para a variável y i j em análise. Aparentemente existe a necessidade da inclusão de um efeito aleatório de intercepto no modelo, segundo as especificações em (1). Para o ajuste do modelo hierárquico bayesiano (1) foram considerados dois métodos de estimação: INLA e MCMC. Para a obtenção dos resultados via MCMC foram geradas três cadeias com descarte das 5 primeiras observações (burn-in) e monitoramento de cadeias de tamanho efetivo 1, com espaçamento de 25 unidades entre cada observação (thin), baseado no teste de Raftery e Lewis. A convergência das cadeias para os parâmetros monitorados foi verificada através do teste de Gelman e Rubin. O ajuste considerando o método de estimação INLA, foi realizado com a função inla(), do pacote INLA, disponível no programa R. As medidas resumo a posteriori considerando os métodos MCMC e INLA são apresentadas na Tabela 1. Observa-se que não há discrepância entre os valores obtidos via estimação MCMC e INLA, e que ambos são próximos do valor real, para cada um dos parâmetros estimados. 3

4 13 (a) (b) y_ij 5 y_ij x_j x_j Figura 1: (a)gráfico de perfis individuais da i-ésima unidade avaliada no j-ésimo nível de x j. (b)gráfico de perfis da i-ésima unidade avaliada no j-ésimo nível de x j. Tabela 1: Medidas resumo a posteriori, considerando a estimação INLA e MCMC. Parâmetro Estimativas Valor real MCMC INLA Média(DP ) P 2,5% P 97,5% Média(DP ) P 2,5% P 97,5% α 3,131(,262) 2,615 3,655 3,128 (,238) 2,658 3,597 3, β -2,37(,44) -2,124-1,952-2,36(,44) -2,123-1,949-2, σ α 1,34(,27),723 1,519 1,176(,48),544 2,126 1, DP - Desvio padrão Na Figura 2 (a) tem-se o box plot dos valores preditos a posteriori para os efeitos aleatórios, utilizando a estimação INLA. Note que o valor pertence a todos os intervalos do box plot, de forma que com 95% de credibilidade, verifica-se que b i =, i = 1,,16, o que reflete a especificação da simulação dos dados, b i N(,1). Na Figura 2(b), tem-se as densidades marginais a posteriori dos parâmetros, obtidas via MCMC e INLA, e nota-se que elas são similares. Em termos de tempo computacional, utilizando a função system.time() do R, verifica-se que o tempo total de execução do algoritmo MCMC é de 219,95 segundos, enquanto o período para execução do algoritmo INLA é de,72 segundos, para a obtenção das estimativas, em um processador Intel R Core(TM) 2.4GHz, havendo portanto uma redução de tempo computacional em 99,67% (o tempo de execução do INLA representa aproximadamente,33% do tempo de execução do MCMC). 4

5 (a) (b) P 2.5 % P 5 % P 97.5 % α β σ α INLA MCMC b i Figura 2: (a)box plot a posteriori para os valores preditos dos efeitos aleatórios. (b)densidade marginal a posteriori dos parâmetros estimados. 4 Conclusões O ajuste do modelo bayesiano hierárquico Poisson com intercepto aleatório realizado pelo método MCMC e INLA levaram a resultados similares, os quais são muito próximos do verdadeiro valor do parâmetro. Em termos de tempo de execução dos algoritmos, o método INLA mostrou-se mais eficiente que o método MCMC, tornando assim a inferência bayesiana por meio da estimação INLA uma alternativa viável e atraente para o usuário. Referências [1] FONG, Y.; RUE, H., WAKEFIELD, J. Bayesian inference for generalized linear mixed models. Biostatistics. v.11, n. 3, p , 29. [2] McCULLAGH, P.; NELDER, J.A. Generalized Linear Models. London: Chapman and Hall, 1989, 511 p. [3] NELDER, J.A.; WEDDERBURN, R.W.M. Generalized Linear Models. Journal of the Royal Statistical Society, Series A (General), v.135, n.3, p , [4] RUE, H.; MARTINO, S.; CHOPIN, N. Approximate Bayesian inference for latent Gaussian models by using integrated nested Laplace aproximations (with discussion). Journal of the Royal Statistical Society - Series B, v.71, Part 2, p , 29. 5