Avaliação de Desempenho de Sistemas

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1 Avaliação de Desempenho de Sistemas Modelo de Filas M/M/1 e M/M/m Prof. Othon Batista othonb@yahoo.com

2 Modelo de Filas Nas aulas anteriores vimos a necessidade de se utilizar uma distribuição para representar o comportamento da taxa de chegada e taxa de atendimento de sistemas Poisson, exponencial A distribuição de Poisson se aplica geralmente a qualquer situação. Mas para o atendimento não existe uma única distribuição de uso prático generalizado Erlang (abordagem matemática complexa) Poisson (para taxa de chegada) e Exponencial (tempo de atendimento atendimento) tem sido usada para pela facilidade do ponto de vista matemático, permitindo compreender melhor o processo de filas. 2

3 Regras para todas as filas τ = intervalo entre duas chegadas sucessivas. λ = taxa média de chegada = 1/ E[τ] s = tempo de serviço por job. µ = taxa média de atendimento = 1/ E[s] n = nº de jobs no sistema. n q = nº de jobs esperando para serem servidos n s = nº de jobs em atendimento r = tempo de resposta, inclui o tempo de espera mais o tempo de atendimento w = tempo de espera pelo atendimento. É o tempo entre a chegada e o início do atendimento. Todas estas variáveis, com exceção de λ e µ, são variáveis aleatórias. 3

4 Modelo de Poisson: M/M/1 Intervalo entre chegadas e o tempo de atendimento são distribuídos exponencialmente Não existe limitação no tamanho da população e nem do tamanho da fila Disciplina da fila é FIFO... Intensidade de tráfego = 4

5 Modelo de Poisson: M/M/1 Nº médio de clientes na fila esperando atendimento Nº médio de clientes do sistema Tempo médio que o cliente fica na fila Tempo médio que o cliente fica no sistema Probabilidade de existirem n clientes no sistema E[n q ]= 2 1 E[n]= E[w ]= E[r ]= Pn=1 n 5

6 Exercício Considere um sistema de chegadas de pessoas numa cabine telefônica que obedece o modelo de Poisson. Tempo entre chegada e de atendimento distribuídos exponencialmente. A taxa de chegada é 6 pessoas por hora e o tempo médio de atendimento é 3 minutos. a) qual a probabilidade de uma pessoa chegar na cabine e não ter que esperar? b) qual o nº médio de pessoas na fila? c) qual o nº médio de pessoas no sistema? d) qual o nº médio de pessoas usando o telefone? e) qual o tempo médio na fila? f) qual é a fração do dia durante a qual o telefone está em uso? g) para qual taxa de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila seria de 3 minutos? 6

7 Solução. λ =6 chegadas por hora; 1/µ= 3 min; µ=60(1/3)=20 chamadas por hora hora Clientes por hora 7

8 Exercício As medidas do gateway de uma rede mostram que a taxa média de chegadas de pacotes é 125 pacotes por segundo e o gateway gasta em média 2 ms para encaminhar um pacote. Usando o modelo M/M/1 responda. A) qual a utilização do gateway? B) qual a probabilidade de 10 pacotes estarem no gateway C) qual a probabilidade de estouro de memória considerando que o gateway suporta 13 pacotes em fila? Probabilidade de 15 ou mais pacotes no sistema = ρ 15 D)Qual o tempo médio total de espera pelo encaminhamento? E)Qual a probabilidade de existirem 5 pacotes na fila? 8

9 Modelo M/M/m Intervalo entre chegadas e o tempo de atendimento são distribuídos exponencialmente m servidores com a mesma capacidade de atendimento Não existe limitação no tamanho da população e nem do tamanho da fila Disciplina da fila é FIFO... Intensidade de tráfego = m 10

10 Fila M/M/m: Vários servidores Probabilidade de 0 clientes no sistema P0= 1 1 m m m 1 m! 1 m n n=1 n! Probabilidade de n clientes no sistema Pn= P0m n n! Pn= P0 mm n m!, nm, nm Probabilidade de todos os servidores estarem ocupados Nº de clientes no sistema Nº de clientes na fila Pnm= P0m m m! 1 E[n]=m Pnm 1 E[n q ]= Pnm 1 11

11 Fila M/M/m: Vários servidores Tempo médio no sistema E[r ]= 1 Pnm 1 m 1 Tempo médio na fila E[w]= Pnm m1 12

12 Exercício Estudantes chegam ao centro de computação de uma universidade segundo um processo de Poisson com taxa de 10 estudantes por hora. Em média cada estudante gasta 20 minutos para usar um terminal de matrícula. Existem 5 terminais. Assuma o modelo M/M/5 e responda. Considere o tempo em minutos. a) Intensidade de tráfego b) qual a probabilidade de todos os terminais estarem livres? c) qual a probabilidade de todos os terminais estarem ocupados? d) qual o nº médio de estudantes no centro? e) qual o nº médio de estudantes esperando na fila? f) qual o nº médio de estudantes usando os terminais? 13

13 Solução λ =1/6; µ=1/20; m=5 14

14 Solução λ =1/6; µ=1/20; m=5 15

15 Exercício Um banco possui dois funcionários no setor de atendimento ao público. O 1º trabalha apenas com depósitos e o 2º com retiradas. O tempo de serviço de ambos segue a distribuição exponencial com média 3 minutos por cliente. As chegadas são 16 por hora e 14 por hora para 1º e 2º respectivamente. Qual seria o efeito no tempo médio do sistema se ambos os funcionários trabalhassem com retiradas e depósitos? 16

16 Tarefa de programação Para filas M/M/1 e Filas M/M/m: Com base em alguns parâmetros iniciais informados compute todos os valores possíveis com base nas fórmulas apresentadas na aula de hoje. 17