5. aplicação da teoria do risco a seguros

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1 5. aplicação da teoria do risco a seguros 1 / 107

2 1 Introdução / 107

3 Introdução. O objectivo deste capítulo é o de indicar vários modos de aplicação de Teoria do Risco a Problemas de Seguros. São assim aflorados os tipos usuais de distribuições para diferentes ramos de seguros; seguidamente, são referidos 2 métodos de aproximação dos modelos de risco individual para uma carteira de apólices por modelos de risco colectivo; é estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidade de ruína; e, por fim, faz-se referência a outros princípios de cálculo de prémio, realçando que os tópicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados à luz desses princípios. 3 / 107

4 Introdução. O objectivo principal deste capítulo é o de indicar vários modos de aplicação da Teoria do Risco a Problemas de Seguros. Nos dois capítulos anteriores foi desenvolvido o modelo de Risco Colectivo. Este modelo foi construído sob a suposição de que uma colecção de apólices gera um número aleatório de indemnizações (sinistros) em cada período e cada indemnização (sinistro) é de montante aleatório 4 / 107

5 Introdução. A aplicação de semelhante modelo exige informação acerca de : distribuição do número de indemnizações distribuição do montante de indemnização individual Como foi salientado, não é tarefa específica nesta abordagem levar a cabo toda uma metodologia de modelação face a dados reais. Ao longo da exposição temos suposto que ambos os modelos são conhecidos à partida, fruto eventualmente de todo um trabalho de modelação prévio. 5 / 107

6 Introdução. No entanto, será seguidamente dada uma breve ilustração do tipo de distribuições que usualmente se têm revelado mais frequentes na modelação de dados reais, para diferentes ramos de seguros: Incêndio Automóvel Incapacidade Temporária Hospitalar Seguidamente, serão referidos dois métodos de aproximação dos modelos de risco individual para uma carteira de apólices por modelos de risco colectivo, através de distribuições de Poisson Composta convenientes. Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito do resseguro na Probabilidade de Ruína. 6 / 107

7 distribuições usuais para a severidade Será feita uma breve apresentação de algumas distribuições associadas aos montantes de indemnização, em Seguros de Incêndio, Acidentes Pessoais no Ramo Automóvel, Incapacidade Temporária, Internamento Hospitalar. Nos ramos mencionados são referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais, Gama, associados a problemas actuarias correntes. 7 / 107

8 Referiremos 4 aplicações específicas, de modo a dar uma visão do leque de aplicações associadas a modelos em Teoria do Risco. SEGURO DE INCÊNDIO SINISTRO incêndio numa estrutura segura que origina dano de perdas. Na literatura ligada a problemas actuariais têm sido sugeridas algumas distribuições standard, com parâmetros a estimar a partir da amostra dos montantes de sinistro no período de estudo. Cabe aqui referir o carácter altamente assimétrico das distribuições, com de caudas pesadas. 8 / 107

9 Lognormal: f X (x; m, σ) = } 1 { xσ 2π exp (log x m)2 2σ 2, m R, x > 0, σ > 0 Se Y N (m, σ) então X = e Y LN (m, σ). µ X = exp ) (m + σ2 2 σ 2 X = (eσ2 1) exp ( 2m + σ 2) 9 / 107

10 Pareto: f X (x; x 0, α) = αxα 0 x α+1, x > x 0 > 0, α > 0 µ X = αx 0 α 1 (existe para α > 1) σ 2 X = αx 2 0 (α 2)(α 1) 2 (existe para α > 2) 10 / 107

11 Mistura de Exponenciais: f X (x; p, q, α, β) = pαe αx + qβe βx, para x > 0, α, β > 0, 0 < p < 1, p + q = 1. µ X = p α + q β σ 2 X p(1 + q) q(1 + p) = α 2 + β 2 2pq αβ 11 / 107

12 ACIDENTE DE AUTOMÓVEL SINISTRO dano num automóvel originado por um acidente. A distribuição Gama(α, β) com localização tem sido sugerida para estes casos. Os parâmetros envolvidos devem ser estimados a partir da amostra dos montantes de indemnização. 12 / 107

13 INCAPACIDADE TEMPORÁRIA Este seguro é caracterizado por estabelecer benefícios para pessoas incapacitadas temporariamente. Existe um período de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia da ocorrência da causa da incapacidade e o começo do pagamento dos benefícios por parte da Seguradora. Existe igualmente um limite superior para o período de pagamento (13 semanas, por exemplo). 13 / 107

14 O benefício c é um montante diário fixo; assim, o montante de indemnização é directamente proporcional ao período de tempo em que se verifica a incapacidade, a partir do período de espera. Seja Y a v.a. do tempo (em dias) a que se refere o benefício. A distribuição do montante de indemnização, X = cy, é então: P[X = x] = P[cY = x] = P[Y = x c ], x = c, 2c, 3c,, 91c no caso de 13 semanas como limite superior do suporte de Y. Quer dizer, tudo se resume à modelação da v.a. Y que está na base de X. 14 / 107

15 INTERNAMENTO HOSPITALAR Supondo também um benefício diário constante c em caso de internamento hospitalar, este exemplo é semelhante ao anterior, excluindo o período de espera. Assim, sendo Y a v.a. do número de dias de internamento hospitalar, e considerando m o número máximo de dias para os quais são pagos os benefícios por parte da Seguradora, P[X = x] = P[Y = x c ], x = c, 2c, 3c,, mc 15 / 107

16 Aproximações do Modelo Individual ao Modelo Colectivo Nos 2 métodos apresentados, pretende-se dar uma visão comparativa de como aproximar os modelos individual e colectivo, este último com uma distribuição Poisson Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos e o modelo de risco individual original. 16 / 107

17 Os modelos de risco individual e de risco colectivo são estruturas alternativas construídas de modo a captar os aspectos fundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum para cada um dos modelos é o desenvolvimento da distribuição do total das indemnizações, S. Devido à complexidade computacional de calcular a distribuição do total das indemnizações para uma carteira com n apólices usando o modelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar a distribuição usando a distribuição de Poisson Composta, normalmente associada aos modelos de risco colectivo. 17 / 107

18 Relembremos que o modelo de risco individual para n apólices modela o total de indemnizações do seguinte modo: S = n X j, j=1 onde X j representa a indemnização relativa à apólice j, j = 1,..., n. 18 / 107

19 Considera-se que os montantes individuais de indemnização, X j = I j B j, com I j a v.a. indicadora de ocorrência de indemnização para a apólice j, { 1 0 I j : q j 1 q j e B j a v.a. do montante de indemnização, caso ocorra, com f.d. F j, µ j = E[B j ] e σj 2 = Var[B j ]. 19 / 107

20 Considera-se que I j e B j, j = 1,, n, são mutuamente independentes. Assim, para a carteira das n apólices Var[S] = E[S] = n q j µ j (1) j=1 n q j (1 q j )µ 2 j + j=1 n q j σj 2 (2) j=1 20 / 107

21 Iremos apresentar 2 métodos de aproximação ao modelo Poisson Composto. MÉTODO 1: Aproximar a distribuição de S através de S PC(λ, F X ), com: λ = n λ j, j=1 λ j = q j F X (x) = n j=1 λ j λ F j(x) 21 / 107

22 Justificação: A f.g.m. para a indemnização referente à apólice j, para j = 1,, n, M Xj (r) = E[e X j r ] = E[e X j r I j = 0]P[I j = 0] + E[e X j r I j = 1]P[I j = 1] = 1 (1 q j ) + E[e B j r ]q j = (1 q j ) + M Bj (r) q j 22 / 107

23 pelo que a f.g.m. do total de indemnizações no modelo de risco individual é M S (r) = = = n M Xj (r) j=1 n [ ] (1 qj ) + M Bj (r) q j j=1 n [ ( 1 + qj MBj (r) 1 )] j=1 23 / 107

24 Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se log M S (r) = = n log [ ( 1 + q j MBj (r) 1 )] j=1 n j=1 k=1 ( 1) k+1 [ ( qj MBj (r) 1 )] k k O método baseia-se na aproximação que utiliza apenas o 1 o termo no desenvolvimento em série na expressão anterior, vindo então 24 / 107

25 n [ ( log M S (r) = qj MBj (r) 1 )] j=1 = λ n j=1 n = λ λ j λ ( MBj (r) 1 ) j=1 λ j λ M B j (r) n λ j λ j=1 25 / 107

26 n λ = λ j λ M B j (r) 1, com λ = j=1 = λ (M X (r) 1), com M X (r) = n j=1 n λ j, j=1 λ j λ M B j (r), sendo M X (r) a f.g.m. associado à f.d. F X (x); de imediato é identificado o modelo Poisson Composto, com M S (r) = exp {λ (M X (r) 1)}. λ j = q j 26 / 107

27 Consequências da aproximação S : 1) Coincidência do valor médio das indemnizações agregadas do modelo individual com o da aproximação, já que E[S ] = λ p 1 = λ E[X ] = λ como se constata por (1). n j=1 λ j λ µ j = n q j µ j = E[S], j=1 27 / 107

28 2) Variância das indemnizações agregadas no modelo aproximado superior à variância no modelo individual, em (2), já que Var[S ] = λ p2 = λ E[(X ) 2 ] n = λ λ j λ (σ2 + µ 2 j ) = j=1 n q j (σ 2 + µ 2 j ) j=1 > Var[S] 28 / 107

29 3) Coincidência do número esperado de sinistros do modelo aproximado com o do modelo individual, já que n n n E[ I j ] = E[I j ] = q j = j=1 j=1 j=1 n λ j = λ. j=1 29 / 107

30 Observação: No caso de montante de indemnização degenerado numa constante, B j = b j, as conclusões da aproximação pelo Método 1 têm por base a seguinte particularização : µ j = b j σ 2 j = 0 f X (x) = P[X = x] = {j:b j =x} q j λ. 30 / 107

31 MÉTODO 2: Aproximar a distribuição de S através de S PC( λ, F X ), com: λ = n λ j, λ j = log(1 q j ) j=1 F X (x) = n j=1 λ j λ F j(x) 31 / 107

32 Justificação: Semelhante à do Método 1, se considerarmos que λ j = λ j, i.e., log(1 q j ) = q j, para valores de q j próximos de 0, j = 1, 2,, n, o que é razoável em muitas situações em que a probabilidade de ocorrência de indemnização é pequena. 32 / 107

33 Consequências da aproximação S: 1) Coincidência da probabilidade de não ocorrência de sinistros no modelo individual e no da aproximação, já que P[0 sinistros na carteira no modelo S] = = exp log Ora, tem-se que j=1 n P[I j = 0] = j=1 n (1 q j ) j=1 n n (1 q j ) = exp log(1 q j ) = e λ j=1 e λ = P[0 sinistros na carteira no modelo S]. 33 / 107

34 2) Valor médio das indemnizações agregadas no modelo aproximado superior ao do modelo individual, já que tendo em atenção que log(1 q j ) = k=1 tem-se que n E[ S] = λ p 1 = λe[ X ] = λ λ j λ µ j = como se constata por (1). j=1 q k j k > q j, j = 1, 2,, n, n log(1 q j )µ j > j=1 n q j µ j, j=1 34 / 107

35 Observação: Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradora efectua contratos de seguro de Vida (apólices anuais) para duas unidades de benefício de montantes 1 e 2, respectivamente, e para indivíduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10. A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homogéneos, de acordo com o n o de indivíduos segurados, n k, em cada uma das classes assim criadas (de acordo com o montante de benefício b k e a probabilidade de indemnização q k, k = 1, 2, 3, 4): 35 / 107

36 k q k b k n k n = 1800 Aproximar a distribuição de S através de uma distribuição de Poisson Composta, utilizando os dois métodos referidos, comparando as variâncias obtidas com a variância do modelo de risco individual original. 36 / 107

37 Resolução: Pelo Método 1, 1800 λ = q j = j=1 4 n k q k = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100, k=1 A f.m.p. para X é f X (x) = P[X = x] = P[X = 1] = P[X = 2] = {j:b j =x} 500(0.02) + 300(0.10) (0.02) + 500(0.10) 100 q j, pelo que λ = 0.4 = 0.6 p 2 = E[(X ) 2 ] = 1 2 (0.4) (0.6) = / 107

38 pelo que Pelo Método 2, Var[S ] = λ p 2 = = 280 > 256 λ 1800 = log(1 q j ) = j=1 4 n k log(1 q k ) k=1 = 500 log(0.98) 500 log(0.98) 300 log(0.90) 500 log(0.90) = 104.5, 38 / 107

39 A f.m.p. para X é f X (x) = P[ X = x] = que pelo que P[ X = 1] = P[ X = 2] = {j:b j =x} 500 log(0.98) 300 log(0.90) log(0.98) 500 log(0.90) log(1 q j ), pelo λ = = p 2 = E[ X 2 ] = 1 2 (0.399) (0.601) = Var[ S] = λ p 2 = = > 280 > / 107

40 Será aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o cálculo do prémio de resseguro. Neste parágrafo entra em jogo a relação entre as três entidades: Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No cálculo de resseguro Stop-Loss são obtidas as fórmulas recursivas de acordo com dedutíveis estipulados, sendo dado ênfase ao caso em que as indemnizações individuais assumem valores nos inteiros positivos. Por outro lado é uma constante desta secção evidenciar ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados são agora adaptados para esta relação entre as 3 entidades em questão. 40 / 107

41 O conceito de seguro com um dedutível (ou retenção) já foi apresentado anteriormente, como um tipo de tratado óptimo que maximiza a utilidade esperada, supondo fixado o prémio à partida. Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscos para a seguradora. Seja S o total de indemnizações num dado período, para uma Companhia Seguradora. Para um com Dedutível d, o montante pago pela Resseguradora à Seguradora Cedente é o excesso positivo sobre um limite fixado d: I d := ( N X i d) + = (S d) + = max(s d, 0) = i=1 { 0, S < d S d, S d, 41 / 107

42 e, consequentemente, o montante de indemnizações retidas pela Seguradora cedente é { S, S < d S I d := min(s, d) = d, S d. Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora vê assim limitado superiormente por d o montante das indemnizações retidas na Companhia. 42 / 107

43 Neste parágrafo entra em jogo a relação entre as três entidades: Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. Por outro lado, realçamos o facto de que os conceitos anteriormente apresentados são agora adaptados para esta relação entre as 3 entidades em questão, sempre sob o ponto de vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central. Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que o estudo é desenvolvido sob o ponto de vista da Seguradora Cedente. 43 / 107

44 44 / 107

45 Debrucemo-nos, em seguida, sobre Métodos de Cálculo do Prémio de Resseguro Stop-Loss com dedutível d Comecemos pelo prémio puro respectivo, E[I d ], o que corresponde a um limite inferior para o prémio Stop-Loss real. Denotemos por F S e f S respectivamente a f.d. de S e a f.d.p. de S. Então: E[I d ] = d (x d)f S (x)dx (3) 45 / 107

46 Por outro lado, E[I d ] = = 0 0 (x d)f S (x)dx xf S (x)dx d pelo que (3) é equivalente a E[I d ] = E[S] d + 0 d 0 (x d)f S (x)dx f S (x)dx + d 0 d 0 (d x)f S (x)dx, (d x)f S (x)dx (4) 46 / 107

47 Notando que f S (x) = d dx [1 F S(x)], podemos exprimir o prémio puro do resseguro em termos da f.d. de S, já que E[I d ] = d (x d)f S (x)dx = d (d x) d dx [1 F S(x)]dx = (d x)[1 F S (x)] d + [1 F S (x)]dx, integrando por partes d 47 / 107

48 pelo que, notando que lim x x[1 F S (x)] = 0, se obtem E[I d ] = d [1 F S (x)]dx (5) e também E[I d ] = E[S] d 0 [1 F S (x)]dx (6) 48 / 107

49 Observação: Se d = 0, então E[I d ] = E[I 0 ] = E[S], o que de certo modo equivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite de retenção nulo então terá de pagar por prémio de resseguro o prémio puro referente a todas as indemnizações agregadas do risco associado. Observação: As expressões (5) e (6) são válidas para distribuições mais genéricas, incluindo discretas ou mistas. A utilização mais conveniente de uma das expressões (3), (4), (5) ou (6) depende do problema particular em questão. 49 / 107

50 Exemplo: Considere que é sensato modelar através de uma distribuição Gama(α, β) as indemnizações agregadas associadas a determinado tipo de risco dentro de uma seguradora, S. Denotando por F S (x; α, β) = x 0 βα xα 1 Γ(α) e βx dx a f.d. associada a S, mostrar que E[I d ] = α β [1 F S(d; α + 1, β)] d[1 F S (d; α, β)]. 50 / 107

51 Resolução: E[I d ] = = d d (x d)f S (x; α, β)dx (x d)β α x α 1 Γ(α) e βx dx = β α x α d = α β β α+1 d Γ(α) e βx dx d x α d f S (x; α, β)dx Γ(α + 1) e βx dx d[1 F S (d; α, β)] = α β [1 F S(d; α + 1, β)] d[1 F S (d; α, β)]. 51 / 107

52 Fórmulas Recursivas para E[I d ] com indemnizações inteiras Consideremos agora o caso particular de S com valores no suporte dos inteiros x = 0, 1, 2, f S (x) = P[S = x] d N 52 / 107

53 Observação: O Prémio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedutível d / ℵ para o caso de indemnizações inteiras obtem-se por interpolação linear nos inteiros que contêm d (Exercício 8.9 ( ) ). 53 / 107

54 Para o caso discreto as expressões (3)e (4) têm a sua contrapartida E[I d ] = x=d+1 d 1 (x d)f S (x) = E[S] d + (d x)f S (x) (7) x=0 enquanto que para as expressões (5)e (6) se obtem E[I d ] = = d d+1 d [1 F S (x)]dx [1 F S (x)]dx + d+2 d+1 = [1 F S (d)] + [1 F S (d + 1)] +, E[I d ] = [1 F S (x)]dx +, [1 F S (x)] (8) x=d 54 / 107

55 e também E[I d ] = d 1 [1 F S (x)] [1 F S (x)] x=0 x=0 d 1 E[I d ] = E[S] [1 F S (x)] (9) x=0 55 / 107

56 Em geral, obtem-se assim uma fórmula recursiva: E[I d+1 ] = E[I d ] [1 F S (d)], d = 0, 1, 2, E[I 0 ] = E[S] (10) Este método é muito útil para o caso de as indemnizações agregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, com severidade nos valores inteiros positivos, já que também para esse caso a f.m.p. de S pode ser calculada recursivamente. 56 / 107

57 Fórmulas Recursivas para S PC(λ, F X ) com f X (x) = P[X = x], x = 1, 2, A partir dos Valores Iniciais f S (0) = P[S = 0] = e λ E[I 0 ] = E[S] = λp 1 = λe[x ] (11) 57 / 107

58 são usadas as Fórmulas Recursivas f S (x) = P[S = x] = λ x jf X (j)f S (x j) j=1 F S (x) = F S (x 1) + f S (x) E[I x ] = E[I x 1 ] {1 F S (x 1)}, x = 1, 2, 3, (12) 58 / 107

59 Exemplo: Uma carteira de apólices produz um n o de sinistros, N, num período fixo, de acordo com n P[N = n] e indemnizações individuais X com x P[X = x] / 107

60 Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas as f.d. e f.m.p. de S, obtendo-se x f S (x) F S (x) Calcular o Prémio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedutível de d = / 107

61 Resolução: 9 E[I 7 ] = (x 7)f S (x) = (x 7)f S (x) x=8 x=8 = 1 f S (8) + 2 f S (9) = (0.0002) = , ou, alternativamente, 8 E[I 7 ] = [1 F S (x)] = [1 F S (x)] = x=7 x=7 61 / 107

62 Observação: Para o caso de S ter suporte não limitado superiormente é mais conveniente utilizar as expressões alternativas equivalentes para somatórios finitos (ou integrais num intervalo limitado). 62 / 107

63 Exemplo: Supondo que S tem distribuição Poisson Composta com λ = 1.5 e P[X = 1] = 2 3 e P[X = 2] = 1 3, calcular f S(x), F S (x) e E[I x ] para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,. Resolução: Recorrendo às expressões (11) e (12), obtêm-se os valores iniciais f S (0) = F S (0) = e λ = e 1.5 = E[I 0 ] = E[S] = λp 1 = 1.5 E[X ] = = 2 e em seguida as expressões recursivas 63 / 107

64 f S (x) = λ x 2 jf X (j)f S (x j) j=1 = 1.5 x [f X (1)f S (x 1) + 2f X (2)f S (x 2)] = 1 x [f S(x 1) + f S (x 2)], x = 1, 2,, 6 Por exemplo, f S (1) = f S (0) = e assim sucessivamente, obtendo-se no final 64 / 107

65 x f S (x) F S (x) E[I x ] / 107

66 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ruína Este parágrafo aborda o tema proposto de uma forma introdutória, visando um compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a segurança esperada por outro. Estabelecendo como medida de segurança exactamente um limite superior para a probabilidade de ruína, pretende-se que a selecção do contrato entre os resseguros admissíveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. É exactamente neste parágrafo que o significado da designação dada anteriormente de coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado tratado de resseguro o valor daquele coeficiente não é suficientemente elevado (ao qual corresponde um valor de probabilidade de ruína mais baixo), deverá ser tomado em consideração um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o referido parâmetro ( e a baixar a probabilidade de ruína, consequentemente). Essencialmente, à custa de exemplos ilustrativos é feita uma comparação do desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss. 66 / 107

67 Questões acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem ser respondidas de diferentes maneiras. Uma da abordagens foi considerada à luz da teoria da utilidade. Assim, face à adopção de uma função utilidade por parte da Seguradora e tendo à sua disposição diversos tipos de contrato de Resseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde a maior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muito simples conceptualmente, mas que na prática não é muito explorada, fundamentalmente devido à escolha da função utilidade mais apropriada. 67 / 107

68 Posteriormente, foi considerada uma taxa de prémio que contemplava alguma carga de segurança relativamente ao processo de risco associado, nomeadamente, c = (1 + θ)λp 1 (13) supondo p 1 = E[X ] a indemnização individual esperada num período de tempo unitário. Em termos de Resseguro Stop-Loss, debruçámo-nos anteriormente sobre o cálculo do prémio puro associado ao resseguro com dedutível d, E[I d ], que não é mais do que um limite inferior do valor real do prémio a pagar pela transferência de parte das indemnizações acima de certo montante de retenção. 68 / 107

69 Tal como no caso geral, a real taxa de prémio a pagar no caso de utilização do princípio do valor médio obedece ao enquadramento geral do tipo Taxa do Prémio de Resseguro = (1+Coeficiente de Segurança para Resseguro ) Taxa Esperada das Indemnizações para Resseguro Isto é, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivo S, h(s) S, a taxa de prémio para o colectivo será c h = (1 + ξ h )E[h(S)] (14) sendo a taxa no colectivo afectada de uma carga de segurança ξ h E[h(S)]. 69 / 107

70 Observação: Note-se que sendo o taxa de prémio de Resseguro determinada pela Resseguradora, o coeficiente de segurança ξ h é obtido à custa de (14). Em particular, o estudo efectuado na secção anterior com resultados para a taxa de prémio puro E[I d ] equivale a considerar ξ h = 0. Alternativamente à abordagem seguida anteriormente, consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certa forma contemplando um compromisso entre o ganho esperado, por um lado, e a segurança esperada, por outro. Devido à carga contida no prémio de Resseguro, a aquisição de Resseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo, um contrato de resseguro conveniente implica um acréscimo de segurança para a Companhia Cedente. 70 / 107

71 Face a determinada condição de segurança pré-estabelecida, o segurador selecciona de entre os contratos de resseguro admissíveis aquele que produz um ganho esperado mais elevado. Que medida de segurança escolher? Iremos considerar a probabilidade de ruína. Um requisito possível poderá ser uma condição limitativa para a Probabilidade de Ruína, do tipo PROBABILIDADE DE RUÍNA 1% 71 / 107

72 Iremos desenvolver este estudo para determinados tratados de resseguro, para os quais seja possível determinar o respectivo Coeficiente de Ajustamento, R, (ou R). Tornar-se-á agora mais clara a designação de R: se para determinado tratado de resseguro o valor de R não é suficientemente elevado (e ao qual corresponde um valor de Probabilidade de Ruína não suficientemente baixo) deverá ser tomado em consideração um reajustamento do contrato de forma a aumentar o R associado (e a baixar a probabilidade de ruína, consequentemente). Iremos com o exemplo seguinte abordar a questão, para o caso de um Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem à sua escolha um de três dedutíveis a estabelecer. 72 / 107

73 Exemplo: Uma Seguradora possui uma carteira de apólices que produz indemnizações agregadas anuais que são independentes e identicamente distribuídas como uma Poisson Composta com λ = 1.5, com f X (1) = 2 3 e f X (2) = 1 3. Os prémios anuais são de montante c = 2.5. a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resulta desta carteira (ou seja, com cobertura completa por parte desta companhia seguradora, ou ainda supondo o caso extremo de um dedutível d = ). 73 / 107

74 b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Loss para uma carga de segurança associada de 100%. Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta de um contrato de resseguro stop-loss afectado de um dedutível de 1 d = 3; 2 d = 4; 3 d = 5. Comparar estas três alternativas que a companhia tem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado. 74 / 107

75 Resolução: a) Estamos perante a definição discreta do coeficiente de ajustamento, já que são mencionados prémios anuais e o comportamento da indemnizações agregadas anuais. Assim, o processo de reservas associado é dado pelo modelo U n = u + nc S n, S n = onde W i representa as indemnizações agregadas no ano i, sendo considerado que W i i.i.d. a W PC(λ; F X ), com λ = 1.5 e c = 2.5. Para este caso particular foi mostrado que R R, i.e., R é solução da equação do modelo a tempo contínuo λ + cr = λm X (r) n i=1 W i 75 / 107

76 Ora neste caso a f.g.m. associada às indemnizações individuais X é M X (r) = E[e rx ] = f X (1)e r + f X (2)e 2r = 2 3 er e2r, donde o coeficiente de ajustamento associado a esta cobertura total, R, é solução da equação transcendente r = e r e2r, que resolvida iterativamente resulta em R = / 107

77 Consideraremos o estudo do caso d = 4, já que para os outros valores do dedutível o desenvolvimento é semelhante. No Exemplo foram calculados vários valores para a taxa do prémio puro, E[I d ], em particular E[I 4 ] = De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradora estabeleceu uma taxa de Prémio de Resseguro que está afectada de um coeficiente de segurança ξ I4 = 100%, i.e., denotando por c I4 o prémio de resseguro anual para um Stop-Loss com dedutível d = 4, c I4 = (1 + ξ I4 )E[I 4 ] = 2E[I 4 ] = / 107

78 Assim, o Prémio Retido anual na seguradora, c retido, será igual ao montante recebido pelos seus segurados c subtraído do prémio de Resseguro, c I4, que a empresa cedente terá de pagar à resseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e., ou seja, c retido = c c I4 c retido = = Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente vê a sua responsabilidade desagravada, ficando com as indemnizações retidas { Wi, W Ŵ i = i = 0, 1, 2, 3, 4 4, W i > 4 78 / 107

79 sendo Ŵi i.i.d. a Ŵ que corresponde à v.a. W truncada em 4. Assim, já não tem lugar o modelo Poisson Composto e teremos de recorrer à equação geral para determinação do Coeficiente de Ajustamento R associado a este tipo de tratado e c retidor MŴ (r) = 1 ou seja, considerando que fŵ (x) = f W (x) para x = 0, 1, 2, 3 e fŵ (4) = 1 F W (3) e que W d = S do Exemplo, então R é solução da equação e 2.188r { 3 x=0 f S (x)e xr + [1 F S (3)]e 4r } = 1; note-se que f S e F S foram previamente calculadas recursivamente no Exemplo / 107

80 Por métodos numéricos iterativos é possível determinar R = 0.35, pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente, G retido, será igual ao montante de prémios retido na companhia adicionado do pagamento esperado de indemnizações pela Resseguradora e subtraído do montante esperado de indemnizações que terá de pagar aos seus segurados; i.e., G retido = c retido + E[I 4 ] E[W ] = λe[x ] = = / 107

81 Para os outros valores de dedutível, d = 3, d = 5 e d = (sem resseguro) os valores são os seguintes: d R Gretido / 107

82 Comentário Final: Relativamente à segurança, em termos da probabilidade de ruína ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, o dedutível de d = 4 é preferível a d = 5, uma vez que o primeiro produz R = 0.35 superior a R = Contudo, em termos do Ganho esperado d = 4 é pior do que d = 5 uma vez que o primeiro produz G retido = inferior a G retido = Por outro lado, escolher um dedutível de d = 3 não tem sentido, já que isso corresponde a um desempenho pior tanto em termos de segurança como de ganho esperado do que ausência de resseguro (d = ). 82 / 107

83 Observação ote-se que o caso extremo de uma transferência total das indemnizações para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz a valores de um coeficiente de ajustamento R = 0 e portanto a ruína certa. Realmente o valor correspondente de ganho esperado é negativo e de G retido = 1.5. No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradora è Seguradora cedente são estipulados em função das indemnizações agregadas. Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguro em que os pagamentos da Resseguradora à Seguradora dependem dos montantes individuais. 83 / 107

84 Em geral, uma cobertura deste tipo é definida em termos de uma função h(x ), com 0 h(x ) X. Dois tipos de Tratado já foram apresentados: Resseguro Quota-Share (ou Proporcional) h(x ) = αx, 0 α 1 Resseguro Excess-of-Loss (ou Excesso de Perda) { h(x ) = (X β) + 0, X < β = max(x β, 0) = X β, X β, β 0 84 / 107

85 Observação: 1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α = 0 e α = 1 correspondem respectivamente a ausência de resseguro e a resseguro de cobertura total. Para o Resseguro Excess-of-Loss β = é a ausência de resseguro enquanto que β = 0 é resseguro de cobertura total. 2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivo referente ao total de indemnizações as definições daqueles tratados correspondem, respectivamente, a α N i=1 X i e N (X i β) +. i=1 85 / 107

86 No que se segue consideraremos novamente o modelo Poisson Composto PC(λ, F X ), com prémios de resseguro pagos continuamente a uma taxa c h ; assim, sendo c a taxa dos prémios continuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retem prémios a uma taxa c retido = c c h. Então o Coeficiente de Ajustamento, R h, relativo ao resseguro h e, consequentemente, associado às indemnizações retidas X retido = X h(x ) é a solução não trivial da equação: λ + c retido r = λm Xretido (r) ou seja, λ + (c c h )r = λ 0 e r[x h(x)] f X (x)dx 86 / 107

87 Supondo que é aplicado o princípio do valor médio a taxa de prémio de resseguro, relativamente a um total de indemnizações pagas pela resseguradora S h, é do tipo c h = (1 + ξ h )E[S h ] = (1 + ξ h )λe[h(x )] e a taxa dos prémios recebidos pelos segurados relativamente a um total de indemnizações S é como anteriormente c = (1 + θ)e[s] = (1 + θ)λe[x ] vem, consequentemente, uma taxa de prémios retidos relativamente a um total de indemnizações retidas S retido da forma c retido = (1 + θ )E[S retido ] c c h = (1 + θ )λe[x h(x )] Nos exemplos que se seguem exploraremos estes conceitos para os dois tipos de tratado de resseguro e diferentes coeficientes de segurança associados. 87 / 107

88 Exemplo: Suponha-se que as indemnizações formam um processo de Poisson Composto, com λ = 1 e X U(0, 1). Os prémios são recebidos de acordo com uma taxa c = 1. Calcular o Coeficiente de Ajustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional com α = 0, 0.1, 0.2,, 1 e se o coeficiente de segurança para resseguro é de a) ξ h = 100%; b) ξ h = 140%. 88 / 107

89 Resolução: A taxa de prémio de resseguro é 1 c h = (1+ξ h )λe[h(x )] = (1+ξ h )λ h(x)f X (x)dx = (1+ξ h )λ 0 pelo que c h = (1 + ξ h )λ α 2. a) Neste caso ξ h = 100% e c h = α, vindo o coeficiente de ajustamento como solução da equação λ + (c c h )r = λ 0 e r[x h(x)] f X (x)dx 1 0 αxdx 89 / 107

90 ou seja, 1 + (1 α)r = 1 0 e r(1 α)x dx 1 + (1 α)r = er(1 α) 1 r(1 α) Considere-se o primeiro caso de α = 0 (ausência de resseguro). A resolução por métodos numéricos da equação conduz neste caso a R = Ora, como 1 + r = er 1 r 1 + r = er 1 r r 1 + (1 α) 1 α = e r 1 α (1 α) 1 r 1 α (1 α) ; 90 / 107

91 fazendo r := r 1 α, somos conduzidos à equação 1 + (1 α)r = er (1 α) 1 r (1 α), pelo que as soluções não trivias da equação determinante do coeficiente de ajustamento para os outros valores de α 0 correspondem à solução encontrada para α = 0 escalada convenientemente, i.e., R R α = 1.793, α = 0.1, 0.2,, α b) No caso de ξ h = 140% os cálculos são semelhantes, vindo e R R α é solução da equação c h = 1.2α 1 + (1 1.2α)r = er(1 α) 1 r(1 α) 91 / 107

92 As soluções para os casos a) e b) estão resumidas na tabela Coeficiente de ajustamento R α α ξ h = 100% ξ h = 140% α=5/ / 107

93 Comentário Final: Vejamos a que carga de segurança, aplicada aos segurados, corresponde um prémio c = 1: c = (1 + θ)e[s] = (1 + θ)λe[x ] = (1 + θ) 1 1 = θ = 1. 2 Em a), as cargas de segurança para resseguro e para os segurados são iguais, i.e., ξ h = θ = 1, e R R α é crescente com α (e a probabilidade de ruína?). Em b), a carga de segurança para resseguro é superior à aplicada aos segurados, i.e., ξ h = 1.4 > θ = 1 e R R α é crescente de α = 0 até α = 0.5 e depois decresce (e a probabilidade de ruína?). 93 / 107

94 Ainda em b) façamos uma análise mais detalhada do que se está a passar em termos da ruína. Vejamos para que valor de α a taxa de prémios retidos é igual ao valor esperado das indemnizações retidas; quer dizer como c retido = c c h = 1 1.2α e E[S retido ] = λe[x h(x )] = 1 1 α 2 determine-se α por forma a que c retido = E[S retido ] 1 1.2α = 1 α / 107

95 Então para este valor de α = 5/7, tem-se obviamente c retido = (1 + θ )E[S retido ] θ = 0 concluindo que existe Ruína Certa para a Companhia Cedente. O mesmo sucede para valores α > 5/7, pois isso equivale a dizer que θ < 0 e, consequentemente, c retido < E[S retido ] 95 / 107

96 Exemplo: Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir um Resseguro para uma cobertura Excess-of-Loss com β = 0, 0.1, 0.2,, 1. Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente de segurança para resseguro é de a) ξ h = 100%; b) ξ h = 140%. 96 / 107

97 Resolução: A taxa de prémio de resseguro é c h = (1+ξ h )λe[h(x )] = (1+ξ h )λ pelo que c h = (1 + ξ h ) 0 (1 β)2. 2 h(x)f X (x)dx = (1+ξ h ) a) No caso de ξ h = 100% obtem-se c h = (1 β) 2 e R R β é solução não trivial da equação 1 β (x β)dx ou seja, λ + (c c h )r = λ 0 e r[x h(x)] f X (x)dx 97 / 107

98 1 + [1 (1 β) 2 ]r = β 0 e rx dx + 1 β e rβ dx, pelo que tudo se resume à resolução, por métodos numéricos, da equação 1 + [1 (1 β) 2 ]r = erβ 1 r + (1 β)e rβ b) Neste caso ξ h = 140% vindo c h = 1.2(1 β) 2 e a consequente equação a resolver 1 + [1 1.2(1 β) 2 ]r = erβ 1 r + (1 β)e rβ. 98 / 107

99 As soluções não triviais das equações estão resumidas na tabela Coeficiente de ajustamento R β β ξ h = 100% ξ h = 140% β=1 5/ / 107

100 Comentário Final: A análise deste caso é semelhante ao do Resseguro Proporcional, bastando notar que para o valor de β = 1 5/7, se tem 1 1.2(1 β) 2 = (1 + θ 1 (1 β)2 ) 2 c retido = (1 + θ )E[S retido ] θ = 0 concuindo que para valores inferiores de β existe Ruína Certa para a Companhia Cedente. 100 / 107

101 Exemplo: Comparar os resultados dos exercícios anteriores referentes ao resseguro proporcional h α (X ) e ao resseguro Excess-of-Loss h β (X ), para os pares (α, β) tais que. Resolução: E[h α (X )] = E[h β (X )] Os pares (α, β) verificam a igualdade α 2 = (1 β)2 2, pelo que escrevendo α como função de β, α = (1 β) 2 e com procedimentos semelhantes aos expostos nos 2 exemplos anteriores obtem-se a tabela: 101 / 107

102 Coeficientes de ajustamento para h α (X ) e h β (X ) ξ hα = 100% ξ hβ = 100% ξ hα = 140% ξ hβ = 140% α β R α R β R α R β / 107

103 comentário: Para uma dada carga de segurança, o resseguro Excess-of-Loss conduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores de Probabilidade de Ruína inferiores) aos obtidos por uma cobertura Proporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento de resseguro. No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstração encontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclusão do exemplo anterior é um caso particular do resultado geral, de certo modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Loss comparativamente a outro tipo de tratados como havia sido referido no início do curso, sob a perspectiva da Utilidade. 103 / 107

104 Teorema: Considere-se um Resseguro h(x ), 0 h(x ) X, de taxa de prémio c h. Seja h β (X ) um Tratado Excess-of-Loss com dedutível β e seja c hβ a sua taxa de prémio. Sejam R h e R hβ os respectivos Coeficientes de Ajustamento. Se E[h(X )] = E[h β (X )] e c h = c hβ então R h R hβ. Observação: Note-se que dizer que as taxas de prémios são iguais é equivalente a dizer que a segurança é igual, já que c h = c hβ (1+ξ h )λe[h(x )] = (1+ξ β )λe[h β (X )] ξ h = ξ hβ uma vez que E[h(X )] = E[h β (X )]. 104 / 107

105 De acordo com as condições do teorema as conclusões comparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento só podem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro. Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga de resseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento e fazendo simultanemaente decrescer os prémios de resseguro. No último caso apresentado, temos exemplificada essa situação do seguinte modo: 105 / 107

106 Para α = 0.49 e ξ hα = 100%, o valor da taxa de resseguro é de c hα = 2 α 2 = 0.49, enquanto que para β = 0.3 e ξ hβ = 140% a taxa de resseguro respectiva é de (1 β)2 c hβ = 2.4 = 0.58, 2 verificando-se que c hα < c hβ. Quanto aos coeficientes de ajustamento também o Tratado Proporcional oferece vantagem, já que R α = > R β = 3.138, associando igualmente uma menor probabilidade de ruína para 106 / 107

107 Uma escolha conveniente de resseguro deverá ter estes dois objectivos: por um lado, uma taxa de prémio tão baixa quanto possível e conduzir à maior segurança, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento e, consequentemente, à menor probabilidade de Ruína. 107 / 107