7 Resultados. ( Ψ (U )). Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto, onde t 1,
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- Lucinda Maria do Mar Ribas
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1 7 Resultados Neste capítulo, primeiramente, será feita uma análise geral do banco de dados utilizando estatísticas descritivas e histograma. A partir daí será feita uma análise sobre a distribuição de S, custo total de sinistros, utilizando o princípio da restrição à Poisson Composta, onde seus parâmetros dão possibilidade ao cálculo de aproximações para a distribuição de S, tais como Normal, Gama Transladada e Normal Power. Além das aproximações, para observar o comportamento teórico da distribuição de S e criar uma análise comparativa com as aproximações, será utilizado o método recursivo de Panjer para o cálculo da mesma. Para tanto, associar-se-ão probabilidades discretizadas de uma Gama e Log-Normal, com parâmetros provindos da Poisson Composta. Para testar a aderência de tais distribuições aos dados será utilizado o teste de aderência Qui-Quadrado como ferramenta de análise. Além disso, para análise em longo prazo, considerar-se-á que a distribuição de X, denotada por V(x), não se altera ao longo do tempo. E finalmente, será feita uma análise individual para cada cobertura de resseguro utilizando o cálculo da distribuição do custo total de sinistros retidos pela seguradora ( S ~ ) através de aproximações e, quando possível, através do cálculo recursivo de Panjer. Onde em tal análise será levado em consideração à probabilidade de ruína de modo discreto e finito, em um horizonte de 1 ano ( ~ ψ ( U, 1) ) e de 5 anos ( ~ ψ ( U, 5) ), e de modo contínuo, pelo limite superior t > ( Ψ (U )). Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto, onde t 1, será considerado um crescimento de dez por cento na ocorrência de sinistros anual, baseado em informações contidas no banco de dados referentes ao prêmio ganho anual. Também será feita uma análise comparativa entre estes métodos de cálculo de ruína, fazendo um levantamento da necessidade de capital de cada limite de retenção para cada método de cálculo. Vale ressaltar que, para esta ~ ( ( dissertação, o prêmio será calculado como P = ( 1+ δ ) E( S) (1 δ ) E( S ), e
2 Resultados 60 inicialmente os carregamentos de prêmio serão: δ = 0,2 e δ( = 0,3, de maneira a ilustrar o fato de que, geralmente, δ < δ(. Finalizando o capítulo, será feita uma análise de sensibilidade de alguns fatores, tais como: os carregamentos do prêmio do segurador (δ ) e do ressegurador (δ ( ); e o fator de crescimento de sinistro ao longo dos 5 anos analisados. Para tanto, primeiramente será considerado δ = δ( = 0,2 para o caso em que a seguradora não obtém lucros, nem perdas em comissão, significativos no seu cálculo de prêmio retido. E também será considerado um crescimento de 0% no número de sinistros ocorridos anual. Com isso, espera-se ver o quão sensível são os resultados perante as mudanças desses fatores Resultados Gerais Para os cálculos e análises das metodologias citadas foi utilizada uma base de dados de uma companhia de seguros não identificada. Esses dados são compostos apenas pelos valores de sinistros ocorridos e avisados em um período de um ano, juntamente com um histórico de quatro anos do número de ocorrências de sinistros anual e também do prêmio ganho anual. No entanto, os aqui feitos não consideram a reserva run-off 15 da seguradora. A seguir foi feito uma estatística descritiva completa da variável X. 15 Provisão constante de contratos de resseguro pela qual o ressegurador fica responsável, após o seu encerramento ou rescisão, por todos os riscos em vigor após a data pactuada, até a expiração do último risco ressegurado.
3 Resultados 61 Estatística Descritiva de X Média ,36 Erro padrão 2.305,04 Mediana ,59 Moda 120 Desvio padrão ,35 Variância da amostra ,51 Curtose 18,60 Assimetria 3,73 Intervalo ,70 Mínimo 80 Máximo Soma ,21 Contagem 430 Fonte: Dados próprios Tabela 11 Estatística Descritiva de X valor individual do sinistro Figura 5 Histograma da distribuição empírica de X
4 Resultados 62 Na figura 5 é possível ver uma breve estatística descritiva e o comportamento da variável aleatória X, valor do sinistro individual. Restringiu-se então a distribuição de S, total custo com sinistros, a uma Poisson Composta de parâmetro λ. Ou seja,, onde V(x) é a distribuição de probabilidade da variável aleatória X. Isto foi feito, pois uma Poisson Composta implementa freqüência e severidade, possui resultados teórica e algumas propriedades que facilitam os cálculos. Nesse estudo, o parâmetro λ, referente à variável aleatória N, número total de sinistros no tempo analisado, foi calculado através de um histórico dos últimos quatro anos do número total de sinistros, excluindo os sinistros com valores iguais à zero. Número de sinistro, por semestre e ano Semestre de ocorrência Número de sinistros Total por ano Total Fornte: Dados Próprios Tabela 12 Número de sinistro, por semestre e ano Desta análise foi escolhido o máximo entre os valores anuais de sinistros, ou seja, foi considerado λ = 224. Com isso foi possível calcular os parâmetros sobre a distribuição de S, utilizando a Poisson Composta em questão e as suas propriedades, obteve-se a tabela 13 a seguir.
5 Resultados 63 Parâmetros da distribuição de S λ = 224 Média Variância E(S 2 ) Coeficiente de Assimetria 0, Fonte: Dados próprios Tabela 13 Parâmetros da distribuição de S Com tais parâmetros as aproximações de S podem ser calculadas, tais como a Normal, Gama Transladada e Normal Power. A distribuição de S também foi calculada de forma recursiva pelo método de Panjer. É sabido que esse método de cálculo só é possível se a distribuição de X for discreta, logo se associaram probabilidades discretizadas de uma Gama e uma Log-Normal à X. Tais distribuições foram escolhidas pois, de acordo com Kaas (2008), são boas representantes do comportamento do custo de sinistros individuais e por se adequarem bem ao cálculo da distribuição de S por Panjer. Na escolha das distribuições a serem associadas, utilizou-se o teste de aderência Qui-Quadrado, pois este determina se um conjunto de dados, uma vez tratados em freqüência, adere suficientemente a uma distribuição de probabilidade teórica. Teste Qui-Quadrado para a aderência do dados à distribuição Gama Limite inferior ,697 0, ,733 0, ,406 1, ,958 0, ,054 0, ,871 0, ,784 3, ,714 2, ,324 1, ,039 0, ,713 0, ,078 1, ,411 0, ,914 1, ,745 2, ,170 0, , , , ,315 Total 9,5814 Total 6,1744 Valor Crítico 11,070 Valor Crítico 11,070 Valor Observado 9,581 Valor Observado 6,174 Poder do teste (1- β) Limite superior 8,8% o(i) e(i) Teste χ 2 Fonte: Dados Próprios Tabela 14 Teste de aderência Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado para a aderência do dados à distribuição LogNormal Limite inferior Limite superior o(i) e(i) Teste χ 2 Poder do teste (1- β) 29,0% Fonte: Dados Próprios
6 Resultados 64 Figura 6 Distribuição de freqüências acumuladas dos dados observados e das distribuições em análise Pela tabela 14 e figura 16 nota-se que o tanto a Gama, quanto a LogNormal, aderem-se muito bem a variável aleatório X, tornando plausível dizer que X pode ser distribuído por tais distribuições. Pela figura 7 observa-se o comportamento da variável custo total de sinistros, sendo possível notar uma comparação da distribuição S, em sua totalidade, entre os seus diferentes métodos de cálculos: aproximações pela Normal, Gama Transladada e Normal Power; e o cálculo recursivo de Panjer.
7 Resultados 65 Figura 7 Comportamento comparativo entre a densidade de S e suas diferentes formas de cálculo Neste momento é pertinente a análise específica para resseguros. Do ponto de vista de qualquer contrato de resseguro, é possível então reescrever X da seguinte maneira:, onde representa a parte dos sinistros individuais retida pela seguradora, e a parte cedida a resseguradora. Como o foco deste trabalho é a necessidade de capital da seguradora em relação ao limite de retenção, logo se tem maior interesse em estudar a variável X da maneira desmembrada, principalmente na parcela retida pela seguradora. Como já mencionado, para se utilizar o método de Panjer no cálculo de S, foram associadas probabilidades discretizadas de uma Gama e uma LogNormal ao X, o mesmo deveria ser feito a e. No entanto, dizer que e seguem uma LogNormal com parâmetros específicos, não implica que também seguirá uma LogNormal. Já a distribuição Gama possui uma série de propriedades que garantem tal afirmação. Dentre elas, útil para o caso do resseguro proporcional: Para qualquer κ > 0 tem-se que se, logo. Já no caso do resseguro não proporcional, terá que ser feito um truncamento na distribuição Gama, separando a parte retida pela seguradora e a parte repassada a resseguradora. No entanto, tal cálculo e fundamento serão mais bem ilustrados na seção referente aos resseguros não proporcionais.
8 Resultados 66 Da mesma maneira que se desmembrou X, é possível desmembrar S:, onde é a parte total dos sinistros retidos pela seguradora, e a parte cedida a resseguradora. No entanto, S, S ~ e S ( devem ser tratados e calculados de maneira separada, pois sabemos que somo de Poisson Composta independentes resulta numa Poisson Composta com seus parâmetros somados, já se a somo for dependente nada pode ser afirmado. Para fins comparativos, decidiu-se utilizar em todos os cálculos ao longo desse estudo a distribuição de calculada por Panjer somente com as probabilidades discretizadas da Gama Análise dos resultados A partir dessa parte do estudo considerar-se-á que o capital inicial da seguradora poderia variar entre $ e $ O valor das várias formas de cálculo de probabilidade de ruína será calculado variando a cobertura de resseguro e seu limite de retenção. Para o cálculo das probabilidades em um horizonte discreto considerando t = 1, 2, 3, 4 e 5, a fins ilustrativos, fixaram-se as ruínas de cada ano de acordo com as normas legislativas da Inglaterra, onde, de acordo com Claus (2006), estas determinam que a ruína máxima anual permitida deve seguir o seguinte comportamento: P( RuínaMáxt ) = t *0, 5, onde t representa o tempo discreto. Com isso então, foram fixadas ruínas em um horizonte de 5 anos, e a partir daí foram calculadas os capitais mínimos necessários para evitar a extrapolação das ruínas máximas estipuladas.
9 Resultados 67 t Ψ t 1 0,05 2 0,10 3 0,15 4 0,20 5 0,25 Tabela 15 Ruínas fixadas de acordo com a legislação da Inglaterra E também, por fim, serão fixados o capital inicial e a probabilidade de ruína, no caso contínuo, dando a possibilidade de encontrar um limite de retenção correspondente Quota-Parte Como já foi citado, este é um tipo de resseguro proporcional no qual a seguradora repassa ao ressegurador uma quota fixa percentual dos seus negócios, e o ressegurador se responsabiliza pela mesma proporção em cada um dos sinistros ocorridos Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1 No horizonte de apenas 1 ano, pelas figuras 8, 9 e 10, é possível notar que não existem grandes discrepâncias entre os três tipos de aproximação, todas levaram a mesma conclusão. Foi possível observar dois cenários diferentes e dependentes do capital inicial da seguradora. Primeiramente, com valores de capital baixos, implicar em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade de ruína. Isso, pois o prêmio de resseguro faz com que o prêmio total retido pela seguradora seja muito baixo, podendo até ser negativo. Desta maneira, contratar um resseguro alto é arriscado, podendo até levar a ruína. No outro caso, quando o capital da seguradora é mais elevado, evidencia-se um comportamento mais linear entre a ruína e o limite de retenção, onde quanto mais se retém maior seria a probabilidade de ruína.
10 Resultados 68 Figura 8 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal (Quota-Parte) Figura 9 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)
11 Resultados 69 Figura 10 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal Power (Quota-Parte) Da mesma forma, o uso do método recursivo de Panjer para construir a distribuição do custo total de sinistros retidos pela seguradora se deu como possível, primeiramente, pela propriedade da distribuição Gama, já citada anteriormente, e também por que o cálculo recursivo é feito sobre, o qual, no Quota-Parte, consiste apenas em uma proporção de retenção fixa para todos as apólices, ou seja,. Portanto, foram selecionadas algumas retenções e capitais iniciais para que fosse possível fazer as devidas comparações, pois a construção da distribuição é feita sobre de cada limite de retenção estipulado.
12 Resultados 70 Figura 11 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Panjer (Quota-Parte) É possível notar que o comportamento entre o capital inicial, o limite de retenção e a probabilidade de ruína se manteve praticamente o mesmo daquele observado na caso das aproximações, ou seja, para capitais iniciais baixos implicaria em reter o máximo possível para diminuir a probabilidade de se obter ruína, e para capitais iniciais mais altos, quanto mais se retém maior vai ser a probabilidade de ruína. Um fator fundamental nos resultados obtidos até agora é a relação entre os carregamentos de prêmio, e isso será evidenciado nos futuros cálculos e, posteriormente, através da análise de sensibilidade dos carregamentos Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5 Utilizando o método de cálculo discreto da probabilidade de ruínas, foram feitos os mesmos procedimentos anteriores, sendo que se considerou um horizonte de 5 anos, ou seja, tem-se a probabilidade da ruína ocorrer até o quinto ano.
13 Resultados 71 Figura 12 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal (t = 5) (Quota-Parte) Figura 13 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Quota-Parte)
14 Resultados 72 Figura 14 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal Power (t = 5) (Quota-Parte) Pelas figuras 12, 13 e 14 a cima, é possível notar, exceto com o capital de $ , que a partir da retenção de 75% a probabilidade de ruína tende a crescer. No entanto, fica evidente que para todos os casos, exceto do capital incial de $ , adota um limite de retenção baixo implica também em uma probabilidade de ruína bem próxima de 1,0. Ainda por estas figuras verifica-se que quanto maior é o capital inicial, mais controlado é o comportamento da probabilidade de ruína em relacão aos limites de retenção. Por exemplo, com um capital inicial de $ a seguradora teria a liberdade de assumir qualquer limite de retenção e mesmo assim ainda manteria sua probabilidade de ruína sendo menos, ou igual, a 0,01. Logo, quanto menor o capital inicial da seguradora, mais sensível será a probabilidade de ruína em relação ao limite de retenção adotado. Ao contrário do resultado encontrado considerando apenas um ano, aqui foi possível notar um aumento geral na probabilidade de ruína, principalmente as referentes aos limites de retenção baixos, independente do capital inicial, como foi mencionado anteriormente. Com o mesmo princípio anterior, a mesma metodologia foi usada na distribuição construída recursivamente por Panjer e os resultados podem ser vistos na tabela 16 e figura 15.
15 Resultados 73 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer Limite de Retenção ,05 1, , , , , , , , ,25 0, , , , , , , , ,50 0, , , , , , , , ,75 0, , , , , , , , ,99 0, , , , , , , , Tabela 16 Probabilidade de ruína t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção Panjer (Quota-Parte) U 0 Fonte: Dados Próprios Figura 15 Relação entre o limite de retenção e probabilidade de ruína para cada capital inicial Panjer (t = 5) (Quota-Parte) Levando em consideração que a recursão de Panjer foi calculada em cima de cinco limites de retenção α, seu gráfico é menos suave. Logo, pela figura 15, é possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas aproximações, evidenciando até a diferença entre os capitais iniciais, principalmente quando estes são bem mais altos. Tal comportamento provavelmente se relaciona especificamente com a forma de retenção. Ficou claro que com o passar do tempo, assumir um limite de retenção baixo não é favorável, até mesmo para quando se tem capitais iniciais grandes. Não tanto através da figura 15, mas sim pela tabela 16, pôde-se notar que existe um ponto mínimo de ruína, ou seja, se decidir reter mais do que tal ponto
16 Resultados 74 implica numa ruína com tendência crescente. Neste caso particular, esse ponto é o de α = 0,75, ou seja, reter 75% dos sinistros totais tem uma probabilidade menor do que se retesse 99%, por exemplo. Apesar de comportamentos semelhantes entre as aproximações e o cálculo da distribuição por Panjer, apenas nesta foi possível evidenciar com clareza tal ponto de mínimo para o Quota-Parte Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1 t 5, de acordo com a legislação da Inglaterra Novamente foram utilizadas algumas aproximação sobre a distribuição de e o cálculo recursivo da mesma por Panjer, porém nesse caso foi necessário fazer o cálculo inverso das probabilidades, ou seja, dada uma probabilidade pergunta-se o evento da mesma. Fixando a ruína dos cinco anos subsequentes de acordo como mostra a tabela 15, tem como objetivo determinar o capital necessário para sustentar tais exigências até o final do quinto ano. Logo, ao observar o comportamento do capital inicial ao longo dos 5 anos, é possível dizer que o capital inicial maior é aquele que sustentaria as probabilidades de ruína fixas pela legislação da Inglaterra. Figura 16 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Normal (1 t 5) (Quota-Parte)
17 Resultados 75 Figura 17 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Gama Transladada (1 t 5) (Quota-Parte) Figura 18 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Normal Power (1 t 5) (Quota-Parte) Fica evidente pelas figuras 16, 17 e 18 o impacto do carregamento prêmio ao longo do tempo, sendo possível ver que a necessidade gradual de capital ao longo dos 5 anos segue um padrão diferente do esperando, porém, é
18 Resultados 76 conseqüência do cálculo de prêmio utilizado. Com isso, é claro ver que as aproximações mantêm um mesmo comportamento ao longo dos cinco anos, mostrando uma necessidade maior de possuir um capital inicial grande quando se retém consideravelmente pouco. É possível ver que quanto maior a retenção menor será a necessidade de capital ao longo dos cinco anos. Além disso, nota-se que a partir de certo nível de retenção a necessidade de capital se torna negativa, por que o lucro diante do resseguro é tão grande que não há necessidade de capital. Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa - Aproximação Normal Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 0, , , , , ,86 0, , , , , ,89 0, , , , , ,25 0, , , , , ,23 0, , , , , ,96 0, , , , , ,15 0, , , , , ,89 0, , , , , ,17 Fonte: Dados Próprios Tabela 17 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal (Quota-Parte) Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa - Aproximação Gama Transladada Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 0, , , , , ,27 0, , , , , ,44 0, , , , , ,19 0, , , , , ,89 0, , , , , ,36 0, , , , , ,49 0, , , , , ,15 0, , , , , ,54 Fonte: Dados Próprios Tabela 18 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Gama Transladada (Quota-Parte)
19 Resultados 77 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa - Aproximação Normal Power Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 0, , , , , ,51 0, , , , , ,53 0, , , , , ,11 0, , , , , ,00 0, , , , , ,46 0, , , , , ,80 0, , , , , ,37 0, , , , , ,12 Fonte: Dados Próprios Tabela 19 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal Power (Quota-Parte) Através das tabelas 17, 18 e 19, fica mais evidente a pouca diferença entre os três métodos de aproximação de, além de evidenciar os pontos onde não há necessidade de capital para uma dada retenção e probabilidade de ruína fixa. Além disso, é possível notar, em azul, a necessidade de capital mínimo para que a probabilidade de ruína máxima siga as normas legislativas da Inglaterra. Tanto pelas figuras, quanto pelas tabelas, é possível notar que assumir uma retenção de cerca de 50% acarreta uma necessidade de capital quase que invariante ao longo dos 5 anos, podendo até dizer que se garante a ruína máxima pré-estabelecida com o mesmo capital inicial ao longo de cada ano. Da mesma maneira, os cálculos foram feitos em cima da distribuição construída recursivamente pelo método de Panjer, e assim obtiveram-se os seguintes resultados.
20 Resultados 78 Figura 19 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Panjer (1 t 5) (Quota-Parte) Pela figura 19, nota-se um comportamento semelhante ao já encontrado, mostrando que quanto mais se retém menos capital é necessário para sustentar as ruínas fixas de acordo com a legislação inglesa, evidenciando o impacto dos carregamentos de prêmio no cálculo. Também percebe-se que com um limite de retenção alto não há necessidade de capital para alcançar as probabilidades de ruína fixadas. Da mesma maneira que as aproximações, ainda é possível notar que reter cerca de 50% dos sinistros, implica numa necessidade de capital pouco variante ao longo dos 5 anos de ruína pré-estabelicida. Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa - Panjer Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5 0, , , , , ,35 0, , , , , ,07 0, , , , , ,01 0, , , , , ,73 0, , , , , ,12 Fonte: Dados Próprios Tabela 20 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Panjer (Quota-Parte)
21 Resultados 79 Comparando Panjer e as aproximações, mais claramente visto pelas tabelas, nota-se pouca diferença entra os valores de capital inicial necessários, e constata-se mais uma vez um padrão no comportamento do mesmo Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> E por último, por motivos de comparação, considerou-se também a ruína de maneira contínua, ou seja, a ruína considerada agora é aquela que abrange todo o tempo futuro, ou seja, t >. Figura 20 Relação entre probabilidade de ruína continua e o limite de retenção para cada capital inicial (t > ) (Quota-Parte) Da maneira que foi mostrado na parte metodológica desse estudo, a maneira de cálculo contínua da retenção resulta numa equação do segundo grau com duas raízes. Logo, a raiz escolhida é aquela que está compreendida entre zero e um, caso ambas pertençam a esse intervalo, a maior retenção é a escolhida.
22 Resultados 80 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada capital inicial Probabilidade de Ruína U ,0 43,6% 39,7% 38,0% 37,0% 36,4% 35,9% 0,1 39,4% 36,9% 35,8% 35,3% 34,9% 34,7% 34,5% 0,2 44,2% 37,2% 35,7% 35,0% 34,7% 34,4% 34,3% 34,1% 0,3 40,0% 36,1% 35,0% 34,6% 34,3% 34,1% 34,0% 33,9% 0,4 37,9% 35,3% 34,6% 34,3% 34,1% 33,9% 33,9% 33,8% 0,5 36,6% 34,8% 34,3% 34,0% 33,9% 33,8% 33,7% 33,7% 0,6 35,6% 34,4% 34,0% 33,9% 33,7% 33,7% 33,6% 33,6% 0,7 34,9% 34,1% 33,8% 33,7% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5% 0,8 34,3% 33,8% 33,6% 33,6% 33,5% 33,5% 33,5% 33,4% 0,9 33,8% 33,6% 33,5% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4% 33,4% 1,0 33,4% 33,4% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% 33,3% Fonta: Dados Próprios Tabela 21 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada capital inicial (Quota-Parte) Pela figura 20 e tabela 21, chega a ser possível dizer que para cada linha de capital inicial, existe uma retenção ótima. Tal retenção ótima é aquela que possui menos probabilidade de ruína, pois nota-se que a partir de certo ponto a ruína pode chegar a variar até 100%. Por exemplo, com um capital inicial de $ , tem-se uma ruína de 1% para a retenção de 36%, e a partir daí, reter menos, pode variar a ruína de 10% até 100% (fato esse que fica claro pela linha contínua que cruza o gráfico praticamente numa vertical). Logo, tem-se que o ponto de máximo de todas as linhas de capital inicial é o ponto ótimo de retenção. Da mesma maneira, ainda fica claro o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, onde reter mais tende a diminuir a probabilidade de ruína em longo prazo, e também, é possível notar que possuir um capital inicial grande dá liberdade à seguradora de reter menos se necessário. Por se tratar de um método de cálculo que abrange todo tempo contínuo futuro, ele indica que você deve reter menos do que se comparado ao método que considera o tempo discreto, levando a resultados mais conservadores.
23 Resultados Excedente de Responsabilidade O Excedente de Responsabilidade é um resseguro do tipo proporcional, que determina uma proporção de retenção para cada apólice, baseando-se na importância segurada da mesma em relação a um limite de retenção m. Logo, esse tipo de cobertura é um pouco mais delicado e complicado, portanto não é tão trivial quanto outras coberturas de resseguro proporcionais. Como já foi mencionado, o banco de dados desse estudo possui apenas o valor dos sinistros ocorridos em um ano, tal cobertura de resseguro necessita a importância segurada de cada apólice para que o cálculo da retenção possa ser feito. Para tanto, simularam-se 430 valores entre 0 (zero) e 1 (um), para representar a variável grau de sinistro ( ), onde. Com isso, foi possível calcular a importância segurada de cada apólice, dado que Aplicação de Panjer a esse tipo de cobertura Foi encontrada uma limitação no cálculo recursivo através do método de Panjer, pois este calcula a distribuição de decomposta entre N e, sob a hipótese que as variáveis aleatórias são independentes e identicamente distribuídas (iids). No entanto, como cada apólice sobre essa cobertura possui uma retenção diferente, logo também possui momentos diferentes, e conseqüentemente, parâmetros diferentes para a distribuição associada. Para melhor compreensão desta limitação observe que poderia ser representada pela soma de certo número de s, onde cada representaria o sinistro retido referente à retenção i e seria associado a um específico. Sabese também que somas de Poisson Composta independentes é Poisson Composta, sendo que, neste caso particular, a distribuição dos s se modificaria para cada retenção. Logo:
24 Resultados 82 Assim é possível notar que essa cobertura de resseguro consiste em uma soma de vários Quota Partes, dessa maneira a aplicação de Panjer fica um tanto quanto inviável, dado que associar as probabilidades aos s seria demasiadamente complicado e trabalhoso. E isso faz com que o método perca sua funcionalidade em relação ao tempo/resultados obtidos em questão, dado que existem aproximações de boa qualidade com aplicações diretas e que possuem comportamentos bem fiéis ao comportamento da distribuição teórica de. No entanto, uma saída para ainda utilizar o método, considerando os s iguais para todo i, seria calcular recursivamente cada atrelado a sua retenção, e daí utilizar um método de convolução para somar todas as possibilidades de retenção. Logo, seria necessário convoluir n distribuições para cada limite de retenção m estipulado. Porém, mais uma vez, seguir com essa alternativa não compensaria o tempo gasto em tal cálculo, dado que existem as aproximações mencionadas. Portanto, para dar continuidade as análises comparativas, foram utilizadas apenas as aproximações para a distribuição do custo total de sinistros retidos pela seguradora ( ) Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1 Da mesma maneira, primeiro considerou-se a probabilidade de ruína de maneira discreta no horizonte de apenas 1 ano, obtendo os resultados apresentados a seguir nas figuras 21, 22 e 23.
25 Resultados 83 Figura 21 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade) Figura 22 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade)
26 Resultados 84 Figura 23 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade) Nesta cobertura de resseguro, a diferença entre as aproximações é mais aparente, onde na aproximação Normal apresenta para algumas combinações de limite de retenção e capital inicial uma probabilidade de ruína inferior as outras aproximações. Como a Normal apenas considera os dois primeiros momentos da distribuição, supõem se este seja o motivo para tal diferença. É importante salientar que caso aproximação normal seja utilizada o analista estaria subestimando a probabilidade de ruína. De qualquer maneira, o comportamento geral das variáveis se manteve o mesmo, levando as mesmas conclusões. Pelas figuras 21, 22 e 23 ainda fica evidente o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, e pode-se notar que possuir um limite de retenção pequeno, ou seja, possuir uma proporção de retenção pequena, pode então acarretar em altas probabilidades de ruína apenas se for acompanhado de um capital inicial consideravelmente baixo, o que mais uma vez evidencia o impacto do cálculo do prêmio nos resultados. No entanto, existe um ponto mínimo de ruína para tais capitais baixos, onde assumir um limite de retenção maior, ou menor, faz com que a probabilidade de ruína tenha uma tendência crescente. Onde, para este caso, se a seguradora possuir um capital inicial de $ , é possível notar que assumir um limite de retenção m = garante uma probabilidade de ruína mínima possível. Olhando para os capitais iniciais mais altos, também nota-se uma relação mais linear entre as variáveis: probabilidade de ruína e limite de retenção, onde quanto maior é o limite de retenção, maior será a probabilidade de ruína atrelada
27 Resultados 85 a este. No entanto, é válido ressaltar que o aumento no capital inicial de $ para $ resultou numa significante redução na probabilidade de ruína, chegando a uma ruína praticamente nula quando se tem capitais iniciais maiores que $ Ao se comparar os resultados aqui obtidos com aqueles no caso do Quota- Parte, observa-se que a probabilidades de ruína serão inferiores no caso de Excedente de Responsabilidade. Uma melhor análise dessa diferença será feita nas conclusões Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5 Agora considerando um horizonte de 5 anos, foram obtidos os resultados apresentados nas figuras a seguir. Figura 24 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Normal (t = 5) (Excedente de Responsabilidade)
28 Resultados 86 Figura 25 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excedente de Responsabilidade) Figura 26 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade ruína para cada capita inicial Aproximação Normal Power (t = 5) (Excedente de Responsabilidade) Nota-se novamente uma pequena diferença entre a Normal e as outras aproximações, principalmente quando se tem um aumento nas retenções, onde a amplitude dos valores da probabilidade de ruína da figura 24 são menores se comparadas com as figuras 25 e 26. Com o passar do tempo, em t = 5, fica evidente, assim como no Quota- Parte, que assumir um limite de retenção pequeno pode levar a ruína certa, devido ao impacto do calculo do prêmio nos resultados, e também fica claro o impacto do cálculo do prêmio nos resultados. Dessa maneira, observa-se que a
29 Resultados 87 partir de certo ponto a probabilidade de ruína tende a crescer, evidenciando que para cada linha de capital inicial existe um limite de retenção ótimo, que leva a uma probabilidade de ruína mínima possível. Evidencia-se que quanto maior for o capital inicial da seguradora menor vai ser a sua probabilidade de ruína. Onde em casos extremos, como por exemplo, um capital inicial de $ , a variação na probabilidade de se obter ruína é tão pequena que o limite de retenção deixa de ser determinante da mesma, sendo possível assumir qualquer valor para o limite de retenção m. A relação limite de retenção versus probabilidade de ruína é crescente para quase todos os capitais iniciais considerados, sendo diferenciada apenas pela velocidade de tal crescimento. No entanto, para capitais iniciais menores, nota-se que reter mais leva a um aumento na probabilidade de ruína. Comparando com o resultado encontrado em t = 1, foi possível ver um aumento no quadro geral de ruína, principalmente quando a seguradora assume limites de retenção mais baixos. Em relação ao Quota-Parte, notou-se que as probabilidade de ruína são menores no Excedente de Responsabilidade Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1 t 5, de acordo com a legislação da Inglaterra Agora fixando as probabilidades de ruína ao longo dos cinco anos, de maneira a cumprir as exigências legislativas da Inglaterra, onde esta fixa, num horizonte de 5 anos, o máximo de ruína permitido para cada um desses anos, ficando possível então determinar a necessidade de capital para sustentar essas exigências.
30 Resultados 88 Figura 27 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Normal (1 t 5) (Excedente de Responsabilidade) Figura 28 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Gama Transladada (1 t 5) (Excedente de Responsabilidade)
31 Resultados 89 Figura 29 Necessidade de capital em relação ao limite de retenção e probabilidade de ruína fixa Aproximação Normal Power (1 t 5) (Excedente de Responsabilidade) Pelas figuras 27, 28 e 29, nota-se que reter pouco exige um capital maior, e este é crescente ao longo dos anos. Já, por outro lado, reter mais implica numa menor necessidade de capital, e este decresce ao longo dos cinco anos. Também, é possível notar que a partir de certo ponto de limite de retenção a necessidade de capital pouco se altera. Da mesma maneira, pode-se notar que, dependendo do limite de retenção assumido, a necessidade de capital fica negativa, indicando que na verdade não há necessidade de capital inicial para alcançar a probabilidade máxima de ruína fixada anteriormente.
32 Resultados 90 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,27 Fonte: Dados Próprios Tabela 22 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal (Excedente de Responsabilidade) Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Gama Transladada Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,35 Fonte: Dados Próprios Tabela 23 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Gama Transladada (Excedente de Responsabilidade) Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal Power Retenção t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,15 Fonte: Dados Próprios Tabela 24 Necessidade de capital relacionada ao limite de retenção, mantendo a ruína fixa Aproximação Normal Power (Excedente de Responsabilidade) Pela tabela 22, 23 e 24 é possível ver em destaque a necessidade de capital inicial mínima dado que as probabilidades de ruína toleradas foram fixas anteriormente. Evidenciando o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, pois
33 Resultados 91 a necessidade de capital inicial tende a diminuir conforme se aumenta o limite de retenção adotado pela seguradora. Adotando um limite de retenção de mais ou menos m = é possível notar que existe pouca variação na necessidade de capital ao longo dos anos, podendo dizer que com praticamente o mesmo capital inicial para cada um dos 5 anos é possível atingir a probabilidade de ruína máxima exigida pela legislação inglesa. Também, pela análise comparativa entre métodos através da tabelas, notou-se pouca diferença entre os métodos de aproximação utilizados, onde esses acabam levando ao mesmo tipo de resultados e conclusões Probabilidade de ruína contínua, considerando o intervalo superior t> E por fim, foi considerada a ruína com tempo contínuo, ou seja, a probabilidade de ruína abrange qualquer tempo futuro, continuando com o mesmo princípio de variar a linha de capital inicial, e compará-la com a probabilidade de ruína, e o limite de retenção atrelado a ela. Figura 30 Relação entre probabilidade de ruína contínua e o limite de retenção para cada capital inicial (t > ) (Excedente de Responsabilidade) Pelo método que considera o tempo contínuo e infinito, é possível notar que os limites de retenção atrelados aos capitais iniciais selecionados são, em geral, menores que aqueles do método de tempo discreto e finito. Apesar de também ficar evidente o impacto do cálculo do prêmio nos resultados, aqui estes foram tão conservadores quanto aqueles do Quota-Parte.
34 Resultados 92 No entanto, ainda é possível notar que para cada linha de capital inicial possui-se um limite de retenção ótimo, onde este leva a uma probabilidade de ruína mínima. Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada capital inicial Probabilidade de Ruína U , , , , , , , , ,83 0, , , , , , , , ,96 0, , , , , , , , ,87 0, , , , , , , , ,33 0, , , , , , , , ,41 0, , , , , , , , ,26 0, , , , , , , , ,97 0, , , , , , , , ,03 0, , , , , , , , ,65 0, , , , , , , , ,82 1, , , , , , , , ,15 Fonta: Dados Próprios Tabela 25 Limite de retenção relacionado a uma probabilidade de ruína contínua para cada capital inicial (Excedente de Responsabilidade) E também, pela tabela 25, pode-se notar que, a partir de um ponto, o limite de retenção pouco se altera, fazendo com que a probabilidade de ruína varie de 0,5 a 0,99 com praticamente o mesmo limite de retenção. Como por exemplo, para a linha de capital inicial de $ , para ter uma ruína de probabilidade 0,5 assume-se um limite de retenção de m = ; e para ter uma ruína de 0,99 de probabilidade assume-se um limite de retenção de m = Logo, é possível notar que a diferença do limite de retenção é muito pequena, ainda mais se levar em consideração que esse limite determina uma proporção de retenção, fazendo com que essa diferença influencie muito pouco no total retido pela seguradora Excesso de Danos Começando agora a análise das coberturas de resseguros não proporcionais, o Excesso de Danos consiste fixar um valor máximo de responsabilidade para cada sinistro ocorrido, considerado como o limite de retenção dessa cobertura. Se o custo do sinistro exceder o limite de retenção
35 Resultados 93 adotado, este excedente é repassado a resseguradora; caso contrário, a seguradora retém o custo do sinistro em sua totalidade Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 1 Continuando o formato utilizado até o momento, primeiramente foi considerada a probabilidade de ruína discreta em um horizonte de apenas 1 ano. Para tanto, consideraram-se limites de retenção que variam de 81, próximo ao mínimo de custo individual de sinistro observado nos dados, a , o máximo observado. Utilizou-se r = 81 como limite de retenção mínimo, pois valores inferiores a este a seguradora não retém nada. Figura 31 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal (Excesso de Danos)
36 Resultados 94 Figura 32 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Gama Transladada (Excesso de Danos) Figura 33 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal Power (Excesso de Danos) Fazendo uma ligeira comparação entre as aproximações, nota-se que a Gama Transladada e a Normal Power são praticamente idênticas pelos gráficos, já a aproximação pela Normal apresentou pelo gráfico uma ruína um pouco diferente, onde as curvas de capital inicial estão menos dispersas, assim como foi observado no Excedente de Responsabilidade. No geral, as três aproximações apresentaram o mesmo tipo de comportamento, o que acabou levando as mesmas conclusões a seguir. Olhando para as figuras 31, 32 e 33, ainda é evidente que adquirir um limite de retenção maior faz com que a probabilidade de ruína aumente também, porém, possuir um capital inicial consideravelmente grande, faz com que a
37 Resultados 95 probabilidade de ruína cresça de maneira bem mais lenta. Tal crescimento chega a ser quase imperceptível se o capital inicial da seguradora é grande, como por exemplo, um capital inicial de $ Mais uma vez, fica claro que reter pouco também não é aconselhado a esse tipo de cálculo de prêmio retido dado que o capital inicial da seguradora é pequeno, pois retendo pouco do total de sinistros, significa reter pouco do prêmio pago à seguradora, e que, em alguns casos, não é suficiente para cobrir o prêmio de resseguro. Para esse tipo de cobertura, o cálculo da distribuição de S ~ pelo método recursivo de Panjer se tornou possível pelo fato de que essa cobertura consiste apenas em um truncamento da variável aleatória X, custo individual de sinistro, logo foi necessário também fazer um truncamento, no ponto de retenção, na distribuição discretizada Gama que foi associada a X ~. Então, com isso foram obtidos os resultados a seguir. Figura 34 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Panjer (Excesso de Danos) Para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites de retenção, variando de r = 81 até r = , e com isso notou-se o mesmo comportamento, ou seja, possuir um capital inicial pequeno implica em um considerável aumento na probabilidade de ruína, e dependendo do limite de retenção adotado a probabilidade de ruína pode chegar bem próxima a 1,0. Aqui, ficou mais claro que adotar um limite de retenção de r = faz com que se
38 Resultados 96 alcance o mínimo possível na probabilidade de ruína quando a seguradora possui um capital inicial de $ Olhando os maiores capitais iniciais, o limite de retenção aumenta com a probabilidade de ruína. E para o capital inicial como $ esse crescimento é quase nulo, podendo-se dizer que independente do limite de retenção adotado, a probabilidade de ruína é sempre bem próxima de 0 (zero) Probabilidade de ruína discreta em um horizonte t = 5 Expandindo o horizonte de análise para 5 anos, e ainda considerando a probabilidade de ruína de maneira discreta, obtiveram-se os seguintes resultados. Figura 35 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal (t = 5) (Excesso de Danos)
39 Resultados 97 Figura 36 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Gama Transladada (t = 5) (Excesso de Danos) Figura 37 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial Aproximação Normal Power (t = 5) (Excesso de Danos) Da mesma maneira, considerou-se o limite de retenção a partir de r = 81. É possível notar que ao passar dos anos fica mais arriscado assumir um limite de retenção consideravelmente baixo, principalmente para as capitais iniciais mais baixos, aonde a probabilidade de ruína chega bem perto de 1,0. Para os capitais iniciais grandes, principalmente o de $ , nota-se que não importa o limite de retenção adotado, a probabilidade de ruína é muito próxima de zero,
40 Resultados 98 dando a seguradora com tal capital inicial, a liberdade de reter a quantidade que desejar dos sinistros sem apresentar maiores riscos de ruína. É possível notar que o comportamento após cinco anos, é praticamente idêntico ao comportamento encontrado no primeiro ano apenas. Logo, também nota-se uma relação crescente entre a probabilidade de ruína e limite de retenção, onde tal relação fica bem mais amena quando se possui um capital inicial consideravelmente alta. Portanto, é possível até dizer que o Excesso de Danos é mais estável ao longo dos anos, quando se considera a probabilidade de ruína de maneira discreta. Figura 38 Relação entre o limite de retenção e a probabilidade de ruína para cada capital inicial - Panjer (t = 5) (Excesso de Danos) Mais uma vez, para o cálculo de Panjer foram considerados nove limites de retenção, variando de r = 81 até r = , vide tabela 26 a seguir onde é possível notar um comportamento semelhante ao encontrado nas aproximações calculadas. Nota-se que a probabilidade de ruína é bem alta quando o capital inicial é menor que $ e o limite de retenção é menor que r = No geral, a probabilidade de ruína cresce com o aumento do limite de retenção.
41 Resultados 99 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção - Panjer Limite de Retenção , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela 26 Probabilidade de ruína em t = 5 para cada capital inicial e limite de retenção Panjer (Excesso de Danos) U 0 Fonte: Dados Próprios Na mesma tabela 26, fica claro que reter apenas 81 leva a seguradora a uma probabilidade de ruína de quase 1,0, exceto se ela possuir um capital inicial de $ Além disso, para os capitais iniciais grandes, nota-se que para alguns limites de retenção a probabilidade de ruína é quase nula, e adotando r = o segurador retém o máximo possível com probabilidade de ruína quase nula. Para todos os capitais iniciais analisados existe um determinado limite de retenção que levaria a uma probabilidade de ruína mínima, onde esta é bem próxima de zero para todos os casos Probabilidade de ruína discreta e fixa, em um horizonte 1 t 5, de acordo com a legislação da Inglaterra Analisando a necessidade de capital de uma seguradora, dadas fixas as probabilidades de ruína máximas ao longo dos 5 anos, obteve-se os seguintes resultados.
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