Raciocínio e Representação em Matemática. Zaqueu Vieira Oliveira

Transcrição

1 Raciocínio e Representação em Matemática Zaqueu Vieira Oliveira

2 Aula de Hoje... Raciocínio dedutivo e silogismos Pensamento proporcional de crianças Experimentos concretos para o ensino de funções

3 Raciocínio Dedutivo e Silogismos

4 Lógica, Razão e Raciocínio Lógica: Parte da filosofia que trata das formas do pensamento em geral (dedução, indução, hipótese, inferência, etc.) e das operações intelectuais que visam à determinação do que é verdadeiro ou falso. Razão: faculdade do ser humano de indagação e de investigação. Ter razão : expressão usada para se referir aquele que tem prova ou argumento do que está falando (Nicolá Abbagnano, Dicionário de Filosofia). Raciocinar: exercício da razão pelo qual se procura alcançar o entendimento de atos e fatos, se formulam ideias, se elaboram juízos, se deduz algo a partir de uma ou mais premissas (Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa).

5 Indução e Dedução Segundo o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa: Indução é o raciocínio que parte de dados particulares (fatos, experiências, enunciados empíricos) e, por meio de uma sequência de operações cognitivas, chega a leis ou conceitos mais gerais, indo dos efeitos à causa, das consequências ao princípio, da experiência à teoria e dedução é o processo de raciocínio através do qual é possível, partindo de uma ou mais premissas aceitas como verdadeiras (p.ex., A é igual a B e B é igual a C), a obtenção de uma conclusão necessária e evidente (no ex. anterior, A é igual a C).

6 Dedução Universal Particular Indução

7 Fenômenos e fatos conhecidos através da experiência Indução Leis e teorias Dedução Previsões e explicações

8 Abdução Charles Sanders Pierce afirma que há um terceiro tipo de inferência que nem sempre é demonstrativo, a abdução. É uma espécie de intuição que não ocorre de uma só vez. A abdução é a busca de uma conclusão pela interpretação racional de sinais, de indícios, de signos. A adivinhação do detetive. O trabalho do historiador.

9 Fonte: Sonia Maria Guedes Gondim e Pedro Fernando Bendassolli, Uma crítica da utilização da análise de conteúdo qualitativa em psicologia

10 A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio incorreto do incorreto Irving Coppi Gregor Reisch Margarita Philosophica, Os dois cães [veritas e falsitas] correm atrás da lebre [problema], a lógica apressa-se armada com a sua espada [syllogismus]. Em baixo, à esquerda, encontra-se Parménides.

11 Fonte: Blog HQQISSO?

12 Silogismo Palavra de origem grega que significa conclusão, inferência Termo adotado por Aristóteles para indicar o tipo perfeito do raciocínio dedutivo Nos Analíticos Posteriores, Aristóteles define silogismo como um discurso em que, postas algumas coisas, outras se seguem necessariamente

13 Tipos de Silogismo: Categórico Composto por três partes: duas premissas e a conclusão Cada uma das premissas está na forma: Todos A são a B Alguns A são a B Todos A não são B Alguns A não são B Cada uma das premissas tem um termo em comum com a conclusão Todos os homens são mortais Os gregos são homens Logo, os gregos são mortais

14 Tipos de Silogismo: Hipotético É uma regra de inferência também formada por duas premissas e uma conclusão. Contudo, alguns filósofos dizem que a cadeia de afirmações pode ser infinita. É apresentado na seguinte forma: Se P, então Q Se Q, então R Se P, então R Se eu não despertar, então não posso ir ao trabalho. Se eu não puder ir ao trabalho, então eu não vou receber o salário. Portanto, se eu não despertar, então eu não vou receber o salário.

15 Tipos de Silogismo: Hipotético Ponere: pôr, colocar, afirmar, concordar Tollere: tolher, cortar, negar, discordar Modus ponens: Se P, então Q P Logo Q Modus tollere: Se P, então Q Não Q Então, não Q Se Joana der aula, é porque não adormeceu Ora, Joana está dando aula Logo, Joana não adormeceu Se Joana der aula, é porque não adormeceu Ora, Joana adormeceu Logo, Joana não está dando aula

16 Tipos de Silogismo: Disjuntivo Proposições alternativas ligadas pela partícula ou. Ou P, ou Q P Logo, não Q Ele tem mais que 16 anos ou ele é criança. Ele não tem mais que 16 anos. Logo, ele é criança.

17 Silogismos e Raciocínio De modo geral, crianças e adultos vão bem nos tipos de silogismos com conclusões corretas e logicamente necessárias. Por outro lado, ambos não vão bem em silogismos com conclusões indeterminadas. Porém, o resultado das pesquisas aponta que muitas vezes a resposta errada não se deve a uma falta de competência para raciocinar, mas há influencia do conteúdo; a criança possui a habilidade, embora precisemos oferecer as condições e situações adequadas para que ela a demonstre (Maria da Graça Dias)

18 A Importância do Raciocínio Indutivo Resolução de Problemas: ênfase na indução para a resolução de problemas matemáticos Desenvolvimento de conjecturas, da generalização, da especialização de analogias Analogias: busca de semelhanças parciais entre duas coisas do mesmo tipo, com vistas às semelhanças totais quem induz fá-lo por analogia, i.e., a pessoa infere a semelhança das conclusões a partir da diferença dos factos (Paulo Oliveira) Raciocínio indutivo tem um papel heurístico, de criação de conhecimento

19 Pensamento Proporcional de Crianças

20 Razão e Proporção Razão: Sabendo que há duas grandezas a e b, a razão entre a e b, com b diferente de zero, é o quociente entre a e b. Relação de primeira ordem Proporção: É a igualdade ou equivalência entre duas razões. Relação de segunda ordem

21 Proporção no texto de Meira, Dias e Spinillo (1993) Fração: As relações de primeira ordem são definidas em termos parte-todo. 3/8 das bolinhas são azuis Razão: As relações de primeira ordem são definidas em termos parte-parte. 3 bolinhas azuis para 5 amarelas A compreensão das relações parte-parte se desenvolvem mais cedo do que as parte-todo.

22 Pensamento Proporcional de Crianças Para Piaget, a compreensão do conceito de proporcionalidade não ocorre em crianças de 7 a 12, no estágio denominado operacional concreto. O ensino das relações de primeira ordem para crianças tem sido negligenciado. As relações de segunda ordem possui níveis de dificuldades: quando mais simples, as crianças conseguem compreendê-las.

23 Estágios do Desenvolvimento O desenvolvimento cognitivo: Depende de características biológicas inatas; Desenvolve-se numa sequência prédeterminada; É um processo ativo, construído pela interação do sujeito com o meio. O conhecimento não se constrói apenas da experiência (empirismo), nem somente do pensamento (racionalismo), mas da interação entre o sujeito e os objetos/situações (construtivismo). Jean William Fritz Piaget

24 Estágios do Desenvolvimento A inteligência é uma forma de adaptação do indivíduo com o meio. O conhecimento de um indivíduo é resultado de sucessivos equilíbrios entre: Assimilação: Incorporação de elementos do meio de forma a integrarem as estruturas já existentes no sujeito; Acomodação: :Transformação do sujeito devido a ação de novos elementos que modificam ou criam novas estruturas no indivíduo.

25 Estágios do Desenvolvimento Fonte: Instituto Insight

26 Provas Operatórias de Piaget Provas de Conservação: de quantidade, de volume, de massa e de comprimento Provas de Classificação: mudança de critério/dicotomia e inclusão/intersecção de classes Provas de Seriação Provas de Espaço Tarefas envolvendo espaço uni, bi e tridimensional Provas de Pensamento Formal Combinação/permutação de fichas e predição

27 Provas Operatórias de Piaget Conservação de Quantidade Conservação de Massa

28 Realização das Provas Operatórias de Piaget Reconhecimento da igualdade inicial E então, como temos em quantidade de massa ou líquido, será que neste há mais, menos ou há a mesma quantidade que neste outro? Ou como são as superfícies? Uma é maior que a outra?

29 Realização das Provas Operatórias de Piaget Pergunta provocadora de argumentação Como sabe? Pode me explicar? Não realizar novas modificações, antes de perceber que a a criança compreendeu o que está sendo pedido

30 Realização das Provas Operatórias de Piaget Contra argumentações Mas veja, esta salsicha está fininha, será que ela não tem menos quantidade de massa do que na bola? Uma vez um menino me disse que, na salsicha, havia menos do que na bola, você acha que ele estava certo ou errado?

31 Pensamento Proporcional de Crianças segundo Piaget Alina Spinillo, refutar a ideia de que as crianças de não tem pensamento proporcional 4-5 anos: dificuldades de compreensão das relações de segunda ordem, mesmo quando as de primeira são fáceis 6 anos: estabelecem relações de segunda ordem, mas os argumentos ainda são simples 7-8 anos: estabelecem relações de segunda ordem com julgamentos mais elaborados Crianças de 6-8 compreendem noções de equivalência, perspectiva e escala...

32 Representação e Números Racionais Representação: capacidade de pensar ou apresentar um objeto através de outro Números Racionais: conjunto formado por todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b não é nulo Fração Número misto Número decimal de escrita finita Dizima periódica Porcentagem

33 Representação e Números Racionais Na adição e subtração de racionais, as crianças sentem-se mais à vontade com o número decimal do que com as frações A representação pictórica também é bastante utilizada Porém, preferem o uso da fração nas multiplicações e divisões de racionais Nesta fase, segundo Marisa Quaresma e João Pedro da Ponte (2013), a justificação se resume ao resultado numérico encontrado. Além disso, os alunos fazem poucas generalizações

34 Experimentos Concretos para o Ensino de Funções

35 Material Concreto x Material Manipulável Material manipulável: todo material concreto onde durante uma situação de aprendizagem, permite o envolvimento ativo dos alunos, sendo este caracterizado pela manipulação dos objetos. Ex: ábaco, geoplano, folhas de papel, etc. Material concreto: são aqueles que apresentam-se estáticos, e não permitem a manipulação de suas partes. Ex: livros e apostilas Nem todos os materiais concretos são manipuláveis

36 A Ideia de Função

37 Peso (Kg) Preço (R$) 1 16, , , ,50

38 Experimentos Concretos para o Ensino de Funções A pesquisa de Luciano de Lemos Meira (1993) teve como intuito ver a influência de artefatos mecânicos ou computacionais no ensino de funções Roldanas Molas Máquina de Funções:

39 Experimentos Concretos para o Ensino de Funções Hipótese: roldanas seria o melhor instrumento para a compreensão da ideia de função Resultado: os estudantes que utilizaram o software tiveram mais facilidade no processo de aprendizagem Os artefatos tornam-se transparentes na medida em que indivíduos os usam coletivamente Incentivar atividades de discussão na qual os instrumentos se tornem objetos de argumentação matemática

40 Raciocínio e Representação em Matemática

41 Representação em Matemática Forma de expressar um determinado conhecimento Em matemática, dada a natureza abstrata dos objetos, as representações são importantes para a compreensão Representar é, então, dar um significado para aquilo que, a princípio, não parece perceptível/compreensível Podem ser usadas para resumir, abstrair ou transportar informações contidas em outras representações

42 Representação em Matemática A mesma representação pode possuir diferentes significados que evoluem durante a resolução de problemas Uma representação não-algébrica pode conter variáveis que podem ser manipuladas, reconfiguradas ou abandonadas dependendo da situação Representações podem ser continuas fazendo uma ligação com possíveis referências físicas ou podem adquirir vida própria organizando a atividade da qual emergem A resolução de problemas pode: Ser aplicada a um conjunto de representações Depender das representações para ser solucionada

43 Algumas considerações Representações são essenciais para a organização e desenvolvimento do raciocínio matemático Representações e atividade matemática devem caminhar juntas no processo de aprendizagem As diferentes formas de raciocínio dependem das situações em que acontecem, da qualidade das relações sociais ou do aprendizado anterior do indivíduo

44 Referências Bibliográficas ABBAGNANO, N. Dicionário de Filosofia. São Paulo: Martins Fontes, HOUAISS, A. Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa. Rio de. Janeiro: Objetiva, MEIRA, L. L., DIAS, M. G. e SPINILLO. A; Raciocínio Lógico-matemático: aprendizagem e desenvolvimento. Temas em Psicologia, n. 1, 1993, p PEREIRA, J. M. e PONTE, J. P. Raciocínio Matemático em Contexto Algébrico: uma análise com alunos do 9º ano. Atas do Encontro de Investigação em Educação Matemática, QUARESMA, M. e PONTE, J. P. Representações e Raciocínio Matemático nos Números Racionais. Atas do Encontro de Investigação em Educação Matemática, 2013.