Distribuições Discretas - Problemas Resolvidos

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1 Distribuições Discretas - Problemas Resolvidos Exercise Distribuição Binomial Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa com 5 peças? Foi verificado que a proporção de defeituosos num processo de fabricação é de 0%. P (X ) = [P (X = 0) + P (X = )] ( ) ( ) 5 5 P (X ) = [ (0, ) 0 ( 0, ) (0, ) ( 0, ) 5 ] 0 P (X ) = [0, , 380 = 0, 085 Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Calcule a probabilidade de sair bolas brancas em 3 retiradas COM reposição. Primeira forma: P [(b b p 3 ) (b p b 3 ) (p b b 3 )] = 3P (b )P (b )P (p 3 ) = = 3 8 = 0, 43 5 Segunda forma: ( ) N P (X = x) = θ x ( θ) N x x ( ) ( ) ( 3 3 P (X = ) = 3 ) ( ) ( ) 3! 3 P [x = ] = = 0, 43 (3 )!! 5 5 Portanto, o experimento foi executado COM reposição. Exercise Distribuição Hipergeometrica

2 Seja uma urna com 3 bolas brancas e duas bolas pretas. Calcule a probabilidade de sair bolas brancas em 3 retiradas SEM reposição. Primeira forma: P [(b b p 3 ) (b p b 3 ) (p b b 3 )] = P (b )P (b b )P (p 3 b, b )+ +P (b )P (p b )P (b 3 b, p )+ +P (p )P (b p )P (b 3 p, b ) = = 0, Segunda forma: ( k N k ) P (X = x) = x)( n x ( N n) P (X = x) = ( ) P (X = x) = )( 3 ( 5 3) 3!! (3 )!! (3 )!! 5 (5 3)!3! = 3. 0 = 0, 60 Portanto, SEM reposição. Observe que o problema é o mesmo que o anterior, com a diferença que este caso é sem reposição. Qual a probabildiade de ganharmos na MEGA-SENA? Seja N = 60 opções, k = 6 valores que serão sorteados, n = 6 escolhas pelo jogador e x = 6 a variavel aleatória que mede o número de acertos: ( k N k ) P (X = x) = x)( n x ( N n) ( ) P (X = x) = 6)( 6 6 ) = ) = ( 60 6 Exercise 3 Distribuição Uniforme ( ! (60 6)!6! = Um dado honesto e lancado. Calcule a probabilidade de sair a face #3. Primeira forma P ( 3 ) = #A #Ω = 6 Segunda forma: P (X = x) = N

3 3 Portanto, as va s sao equiprováveis. Exercise 4 Distribuição Birnouli P (X = x) = 6 Um dado NÃO honesto e lançado. A probabilidade de sair a face #3 é de 0%. Calcule a probabilidade de não sair a face #3. Primeira forma P ( 3 ) = 0 00 = 80% Segunda forma P (X = x) = θ x ( θ) x ( ) 0 ( 0 P (X = 0) = 0 ) 0 = 80% Portanto, as va s NÃO são equiprovávies. Um dado honesto e lançado. Calcule a probabilidade de sair a face #3. Primeira forma P ( 3 ) = #A #Ω = 6 Segunda forma: P (X = x) = θ x ( θ) x ( ) ( P (X = ) = ) = Portanto, as va s NÃO sao equiprováveis. Exercise 5 Distribuição Poisson Em um processo de fabricação 0% das ferramenas são defeituosas. Em uma amostra de 0 ferramentas escolhidas ao acaso, determinar a probabilidade de duas serem defeituosas Primeira forma P [x = x] = λx e λ x! Seja λ = NP = (0)(0%) = Segunda forma: P [x = ] = () e () = 0, 839! P (X = x) = ( ) N θ x ( θ) N x x

4 4 P (X = ) = ( ) 0 (0, 0) ( 0, 0) 0 = ( ) 0 (0, ) (0, 9) 8 = 0, 937 Comentário: Observe que os resultados das probabildiade são muito próximas em ambos os modelos Poisson e Binomial. A probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante de um determinado soro, e 0,00. Qual a probabiliade de, exatos 3 indivíduos em uma amostra de 000 pessoas, sofrer a reação nociva? Primeira forma P [x = x] = λx e λ x! Seja λ = NP = (000)(0, 00) = P [x = 3] ()3 e () 3! = 0, 80 Segunda forma: ( ) N P (X = x) = θ x ( θ) N x x ( ) 000 P (X = 3) = (0, 00) 3 ( 0, 00) 000 = 3 000! (000 3)!3! (0, 00)3 (0, 999) 997 = 0, 80 Comentário: Observe que os resultados das probabilidades são bem próximas em ambos os modelos de Poisson e Binomial para o caso em que N for muito grande. Exercise 6 Distribuição Multinomial Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Determine a probabilidade de, entre 6 bolas escolhidas ao acaso e com reposição, 3 serem vermelhas, brancas e azul. P ( ) = P [v ( v v 3 b 4 b 5 a 6 ) (v v v 3 b 4 a 5 b 6 ) (v v v 3 a 4 b 5 b 6 ) (v v a 3 b 4 b 5 v 6 ) (v a v 3 b 4 b 5 v 6 ) (a v v 3 b 4 b 5 v 6 ) (v v b 3 v 4 b 5 a 6 )...]

5 5...desisti... Segunda forma: N! P (X = x) = x!x!x 3!x 4!...x N! θx ) 3 ( 4 P (3vba) = 6! ( 5 3!!! Portanto, o experimento é COM reposição. Exercise 7 Distribuição Geométrica θx θx 3 3 θx θx N ) ( ) 3 = 65 = 0, Ganha-se um jogo se, ao lançar um dado honesto 6 vezes, sair a face #. Ao sair a face desejada o jogo será considerado finalizado. P (X = 6) = ( 6 P (X = x) = θ( θ) x ) ( 6 ( = 6) 6 N ) ( ) 5 5 = 6, 697% 6 A proporção de encontrar um doador AB no Brasil é de 0, 5%. Qual e a probabilidade de encontrar uma pessoa no meio de uma fila com 500 doadores (posição 50)? P (X = x) = θ( θ) x P (X = 500) = (0, 005)( 0, 005)) 500 = (0, 005)(0, 995) 499 = 0, , 04% Se a probabilidade de que um certo ensaio de reação positiva for de 0,4, qual será a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? P (X = x) = θ( θ) x P (X 5) = P (X = ) + P (X = ) + P (X = 3) + P (x = 4) + P (x = 5) P (X 5) = (0, 4)(0, 6) 0 + (0, 4)(0, 6) + (0, 4)(0, 6) + (0, 4)(0, 6) 3 + (0, 4)(0, 6) 4 = 0, 9 Exercise 8 Distribuição de PASCAL ou Binomial negativa Ganha-se um jogo se, ao lancar um dado honesto 6 vezes, sair a face # tres vezes independente do lancamento. O jogo para ao sair a face desejada. ( ) r P (X = x) = θ k ( θ) r k P (X = 4) = P (X = 4) = ( 6 3 5! (5 )!! k ) ( 6 ( 6 ) 6 ( ) ) 6 ( 5 6 ) 3 =, 679%

6 6 A proporção de um ajuste bem sucedido de um torno antigo e de 0,99. Qual a probabilidade de que exatamente em tentativas: a) um terço destas tentativas seja aceito? b) todos os ajustes foram bem sucedidos? a) Um terço destas tenha um ajuste aceito? ( ) r P (X = x) = θ k ( θ) r k k ( ) P (X = 4) = (0, 99) ( 0, 9) 4 4 P (X = 4) =! ( 3)!3! (0, 99) (0, 008) 8 = 0, % b) Todos ajustes foram bem sucedidos? ( ) r P (X = x) = θ k ( θ) r k k ( ) P (X = ) = (0, 99) ( 0, 9) P (X = ) =! ( )!! (0, 99) (0, 008) 0 = 90, 8%

7 Exercícios - Problemas Diversos Principais Distribuições Discretas. Distribuição Uniforme Discreta: U (N) (a) P (X = x) = f X (x) = N (b) fgm = M X (t) = N (c) µ = E(x) = n + i= N eit ; Var(x) = n. Distribuição de Bernoulli: Bern (θ) (a) P (X = x) = f X (x θ) = θ x ( θ) x com X = 0, (b) fgm = M X (t) = ( θ) + θe t (c) µ = E(x) = θ ; Var(x) = θ( θ) 3. Distribuição Binomial: Bin (N, θ) (a) P (X = x) = f X (x θ) = ( N x ) θ x ( θ) N x com X = 0,,...N (b) fgm = M X (t) = {( θ) + θe t } n (c) µ = E(x) = Nθ ; Var(x) = Nθ( θ) 4. Distribuição Hipergeométrica Hiper (N, n, k) (a) P (X = x) = f X (x) = x)( (k N k n x) ( N n) (b) µ = E(x) = n k N ; Var(x) = n k N 5. Distribuição Poisson: P ois (λ) com X = 0,,...N N n N K n N (a) P (X = x) = f X (x) = λx e λ x! com X = 0,,...N (b) fgm = M X (t) = e λ(et ) 7

8 8 (c) µ = E(x) = λ ; Var(x) = λ 6. Distribuição Multinomial N! (a) P (X = x) = f X (x) = ( k (b) fgm = M X (t) = i= θet k n!n!...n k! θn θn ) n (c) µ = E(x)) = Nθ ; Var(x) = Nθ( θ)...θn k k com X = 0,,...N 7. Distribuição Pascal ou Binomial Negativa: P ascal (k, r) (a) P (X = x) = f X (x = k) = ( k r ) θ r ( θ) k r com X = 0,,...N (b) fgm = M X (t) = { ( θ)e } n ; t < log( θ) t (c) µ = E(x) = r θ θ e Var(x) = r( θ) θ 8. Distribuição Geométrica: Geom (θ) Exercise 9 (a) P (X = x) = f X (x) = θ( θ) x com X = 0,,...N (b) fgm = M X (t) = (c) µ = E(x) = θ θe t ( θ)e t ; t < log( θ) ; Var(x) = ( θ) θ Calcule a probabilidade de obter exatamente caras em 6 lances de uma moeda não viciada. Resp Exercise 0 Calcule a probabilidade de obter ao menos 4 caras em 6 lances de uma moeda não viciada. Resp. 64 Exercise Joga-se um dado honesto de 6 faces. Qual a probabilidade de sair a face 3? Qual a média e a variância? Resp. 6, E(x) = 8, 5, var(x) =, 5 Exercise Joga-se um dado honesto vêzes. Qual a probabilidade de sarir as faces,,3,4,5 e 6 exatamente duas vêzes cada um? Resp. p = 0, Exercise 3 Qual a probabilidade de ganhar na Mega-Sena? Resp. p = Exercise 4 Qual a probabilidade de adivinhar-se corretamente pelo menos 6 das 0 respostas de um questionário do tipo certo-errado? Resp. p = 0 04 Exercise 5

9 9 Se 3% das lâmpadas LED são defeituosas, determine a probabiliade de, em uma amostra de 00 lâmpadas, serem a) defeituosa b) no máximo defeituosas. Resp. a)0, 494 b)0, 439 Exercise 6 A probabilidade de tormenta em dias de verão é de 0,. Qual a probabilidade da primeira tormenta ocorrer entre os dias de Dezembro e 3 de Janeiro? Resp. a)0, 309% Exercise 7 Um tanque de criação contém 0 sardinhas, sendo que 4 destas estão abaixo da envergadura mínima para o abatimento. Qual a probabilidade de, ao escolher ao acaso uma amostra da metade da população do tanque, duas sardinhas estarem fora do abate? Resp. 0, 479 Exercise 8. Seja uma va Poisson com λ =. Calcule P (X ). Seja uma va Poisson com λ =, 5. Calcule P (X > ) 3. Seja uma va Birnouli com probabilidade sucesso θ = 3 4. Calcule P (X = ) + P (x = 0) 4. Seja uma va Binomial Bin (N = 0, θ = 45%). Calcule P (X = 5). Exercise 9 Suponha que o filtro do escapamento de um carro segure partículas cancerígenas. A probabilidade destas partículas escaparem do filtro do escapamento é de 0,0004. Qual a probabildade de que mais de 5 patículas escaparem do filtro? Resp., 5% Exercise 0 Normalmente uma caixa com 500 peças de perfil contém 5 defeituosas. Em uma amostra de 300 peças, qual a quantidade esperada de defeituosas? Resp. 5 peças Exercise A probabilidade de uma reação química bem sucedida é de 80%. Suponha que tentativas de reação sejam efetuadas até que tenham ocorridos 3 reações químicas bem sucedidas. Qual a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias? Resp. 0, 48%. Exercise Um banco de sangue necessita de sangue do tipo O Rh negativo. A probabilidade de encontrar um indivíduo neste perfil sanguíneo numa população é de 0%. Qual a probabilidade de a primeira pessoa a ser encontrada com este tipo de sangue ser a quinta de uma fila com 5 pessoas em um banco de sangue? Esperase encontrar esta pessoa em qual lugar da fila? Resp.a) 6, 56% - b) décimo lugar.

10 0 Exercise 3 Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página do livro têm distribuição de Poisson com λ =. Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página? Se o livro possiur 00 páginas, qual a probabilidade de não existir erros tipográficos no livro? Resp. a)39, 34% b) 0% Exercise 4 Considere um experimento que consista da contagem do número de partículas α desprendidas em um intervalo de s por mol de material radioativo. Sabe-se que, na média, este valor é de 3, emissões/mol. Então, qual seria a probabilidade de que não mais do que partículas α sejam emitidas em no máximo s? Qual a variânica? Resp.0, 38 var(x) = 3, emissões/mol ao quadrado Aplicação nas diversas áreas. Engenharia Elétrica Segundo a Resolução Normativa n 360, de 4 de abril de 009 da ANATEL, estabelece as dispisições relativas ao ressarcimento de danos elétricos ocasionadas pelas concessionárias de energia elétrica. Suponha que o número de quedas de energia elétrica ocasionada pela concessionária durante um período de um ano foi em média 0,00037 quedas/segundo. Qual a probabilidade de haver quedas de energia durante um período de 8 horas em um único dia?. Engenharia Mecânica Admite-se uma proporção do número de falhas ocasionada por um tratamento térmico de, 5% por peça. O tratamento é reaplicado em banhos térmicos da mesma unidade durante 48 horas com descanso médio de,4 horas entre um banho e outro. Qual a probabilidade de haver mais de 3 falhas no final do tratamento? 3. Química O tempo observado de catalização do ácido nítrico HNO 3 foi em média 03, 4ms/mol. Qual a probabilidade de não haver nenhuma catalização neste tempo para 6 mols? Qual o tempo de catalização esperado? 4. Engenharia de Controle e Automação: Um grupo de três tipos de sensores foram instalados numa máquina de corte a laser -D. O sensor Sx mede a posição da abscissa X, sensor Sy mede a posição da ordenada Y e o sensor SZ mede o nível de água no reservatório de resfriamento do corte. A proporção de erro nos sensores são ±0, 097%, ±0, 089% e ±, 9% respectivamente. Sabendo que os sensores trabalham independentemente, após 000 cortes calcule a probabilidade de, em 5% dos cortes efetuados com defeito, apresentar-nos falha no corte em X, nenhuma falha na posição Y e 9 falhas no resfriamento do corte? 5. Engenharia Civil: A probabilidade de sinsitro grave em uma construção de médio porte é de 8, 0% no trimestre. Qual probabilidade de ocorrer o primeiro acidente grave no canteiro de obras nos primeiros 5 dias?

11 6. Matemática: Encontre o fgm da distribuição binomial e dela construa as funções de curtose e assimetria da distribuição. 7. Engenharia da Produção: O setor de CQ da empresa divulgou que a cada 3000 produtos aprovados pela linha de produção 7% abrem ordem de serviço. Qual a probabilidade de encontrar no mínimo 3 peças defeituosas em um lote de 60 unidades? 8. Engenharia Ambiental: Em um lago contaminado foram encontrados jacarés contaminados por chumbo-pb no ambiente. A população destes animais é de aproximadamente 5 animais neste lago, entre machos e fêmeas. Em uma amostra de n = 5 jacarés escolhidos aleatóriamente para inspeção, calcule o número esperado de animais intoxicados nesta amostra.

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13 Distribuições Contínuas - Problemas Resolvidos. Distr. Uniforme Contínua (a) f X (x; a, b) = b a (b) µ = E(x) = a+b e V ar(x) = (b a). Distr. Gaussiana (a) f X (x; a, b) = (x µ) πσ e σ (b) µ = E(x) = µ e V ar(x) = σ 3. Distr. Gamma (a) f X (x; α, β) = β Γ(α) (βx)α e βx (b) µ = E(x) = β e V ar(x) = β 4. Distr. Exponencial (a) f X (x; λ) = λe λx (b) µ = E(x) = λ e V ar(x) = λ 5. Distr. Qui-quadrado (a) f X (x; ν) = ν/ Γ( ν ) x ν e x (b) µ = E(x) = ν e V ar(x) = ν 6. Distr. Weibull (a) { k t f(x; k, λ) = k e ( t λ k λ )k t 0 t < 0 c.c. 3

14 4 (b) µ = E(x) = λγ( + k ) e var(x) = E(x ) E(x) = λ [Γ( + /k) Γ( + /k) ] Exercise 5 Distibuição Uniforme Dado um conjunto contínuo de va s com distribuição U(0,). Calcule a probabilidade de qualquer va estar entre (a,b), sendo: 0 < a < b <. P [a < X < b] = b f(x) = c c (c x c ) Exercise 6 Distibuição Gaussiana (Normal) a b f(x)dx f(x)dx = a ( 0) dx = b a Um conjunto de dados populacionais apresentou µ = 65 e σ = 9. Calcule P (X < 6). f(x) = πσ e ( x µ σ ) primeira forma P [ < X < 6] = façamos a primeira troca de variável: P [ < X < 6] = 6 x µ σ = t dx = σdt πσ façamos a segunda troca de variável**: πσ e ( x µ σ ) dx e t dt u = t dt = (u) du P [ < X < 6] = π9 e u (u) du P [ < X < 6] = 6 e u u du π Intgrando... (observe que a integração é não trivial!) P [ < X < 6] = 0, 59

15 Segunda forma: Nesta forma devemos encontrar qual o pivot da distribuição, no caso é referente a densidade gaussiana. Logicamente será dada por x µ = z σ a qual chamaremos de score z. Observe que este pivot nada mais é do que a troca de variável anteriormente efetuada**. Então tranformaremos a variável x em z a fim de aproximarmos o resultado por uma distribuição Z-score tabelada. P (X < 6) = P ( X µ σ < = P (Z < ) 6 65 ) 3 Com o uso da tabela z-score, encontraremos a seguinte relação: P (X < 6) = P (Z < ) = 0.5 P [ < X < 0] = 0, 5 0, 3434 = 0, , 8% Calcule P (0 < X < 0) com N (µ = 0, σ = 00) 0 0 P (0 < X < 0) = P ( < X µ < 0 σ P (0 < X < 0) = P (0 < X µ σ < ) 0 0 ) 0 P (0 < X < 0) = P (0 < Z < ) = P (Z < ) P (Z < 0) P (Z < ) P (Z < 0) = 0, 50 0, 8434 = Exercise 7 Distibuição Exponencial Seja uma va contínua com distibuição exponencial de parâmetro λ =. Calcule P [ < X < ] e o valor esperado. Solução: P [a < X < b] = b a λe λt dt P [ < X < ] = P [ < X < ] = e t dt e t dt P [ < X < ] = 0, 386 O valor esperado é dado por µ = E(x) = λ = µ =. Exercise 8 Distibuição Gamma 0,5 5 =. Portanto espera-se

16 6 Seja uma va contínua com distibuição Gamma de parâmetro X Ga(α =, β = ). Calcule P [0 < X < + ], o valor esperado e a variância. Lembre-se da distribuição Gamma: Γ(n) = Γ(n) 0 t n e t dt Γ(n + ) = nγ(n) Γ(n + ) = n! Γ( ) = Solução: P [a < X < b] = 0 β α Γ(α) xα e βx dx sendo Γ( ) = π P [0 < X < ] = P [0 < X < ] = 0 0 Γ( )x e x dx π x e x dx P [0 < X < ] = x e x dx π Comparando a integral acima com a definição dada, temos que n =, ou seja: P [0 < X < ] = ( ) Γ π P [0 < X < ] = π π 0 P [0 < X < ] = O valor esperado é dado por µ = E(x) = α β = =. A variância é dada por V AR(x) = E(x ) E(x) = α β = =. Portanto espera-se que a média é igual a variância. Esta propriedade tambèm pode ser verificada para a distribuição de Poisson para o caso discreto. A distribuição Gamma equivalente a Poisson, em relação á igualdade entre a média e variância é chamada de distribuição de Erlang. Uma utilização desta distribuição é mensurar o tempo médio entre pulsos, como entre as chamadas telefônicas. Exercise 9 Distibuição Weibull

17 7 O tempo médio de falha de um banco de capacitores seguem uma distribuição de Weibull com parâmetro de escala λ = e de forma k =. Calcule a probabildiade de falha no início da operação entre e,5 segundos: P [ < t <, 5]. Solução: { k t f(x; k, λ) = k e ( t λ k λ )k t 0 t < 0 c.c. P [ < t <, 5] = P [ < t <, 5] = P [ < t <, 5] =,5,5,5 k λ k tk e ( t λ ) k dt ( t e ( t ) ) dt e t dt 0, 0577, 57% Assim, a probabilidade do capacitor falhar logo no início é é muito baixo. Observe que quando o parâmetro de forma for igual a unidade, ou seja, k = temos a distribuição exponencial. Suponha o comportamento de um sinal de comunicação de celulares com desvanecimento que são da ordem de 30 db ou 40 db. Chamamos de desvanecimento as alterações na amplitude e no caminho percorrido pela onda de rádio devido ás reflexões no solo e/ou na atmosfera decorrente do percurso. Suponha um desvanecimento em pequena escala no qual o sinal aleatório chega com parâmetro de escala λ = σ e de forma k =. Calcule a potência média que este sinal chega aos celulares. { k t f(x; k, λ) = k e ( t λ k λ )k t 0 t < 0 c.c. com média dada por e variância dada por µ = E(x) = λγ( + /k) var(x) = E(x ) E(x) = λ [Γ( + /k) Γ( + /k) ] Resolução: Para k =, teremos a seguinte distribuição: { t f(x; k, λ) = ( σ) te ( ( σ) ) t 0 t = 0 c.c. f(x; k, λ) = { t σ e t σ t 0 t < 0 c.c.

18 8 E chamaremos esta forma de Weibull como a Distribuição de Rayleigh. A potẽncia do sinal é dado pela variância desta distribuição, no caso: var(x) = E(x ) E(x) = λ [Γ( + /k) Γ( + /k) ] = ( σ) [Γ( + /) Γ( + /) ] = σ [Γ() Γ(/ + ) ] = σ [( )! (/Γ(/)) ] ( ) ] π = σ [ = 4 π σ = P ot Portanto a potência será dado por P ot = 4 π σ Watts

19 Exercícios - Problemas Diversos Contínuas Principais Distribuições Contínuas Exercise 30 Calcule a probabilidade para: P (0 < Z < + ) = + e z dz π Resp. P (0 < Z < + ) = (Sugest. Use a I = I xi y com I t = + e t dt) Exercise 3 Calcule as Seguintes probabilidades:. P ( < X < 5); X (0, ). P (3, < X < 5) ; X (, 4) 3. P ( X 3 > 6) ; X (3, 9) 4. P (X 5) ; X (0, 36) 5. P (X, 08) ; X ( 3, 44) Exercise 3 Um conjunto de parafusos apresentam uma espessura em distribuição normal com média,34 mm e variância 0,03. Calcule a probabildade das peças estarem acima de,5 mm. Exercise 33 Dada uma carga de ruptura de um tecido de algodão (em libras), X,seja normalmente distribuída com X N(µ = 65, σ = 9). Se X < 6 a amostra é considerada defeituosa. Qual a probabilidade de que o tecido escolhido ao acaso seja defeituoso? RESP. 0,59 Exercise 34 O tempo médio ente ligações das chamadas 90 segue uma distribuição exponencial com média 0,50 horas em dias normais. Qual a probabilidade de, em dias normais, do tempo médio de ligação ser inferior a,5 horas? RESP. 65% 9 0

20 0 Exercise 35 A quantidade de chuva anual em uma certa região segue uma distribuição normal de µ = 40 e σ = 4. Qual a probabilidade de que, começando a registrar os índices pluviométricos este ano, serão necessários mais do que 0 anos para se registrar uma quantidade de chuva anual maior do que 50? Exercise 36 uma variável aleatória têm uma distribuição uniforme entre e 7. Sabendo que f(x) = b a, encontre o momento gerador desta distribuição e encontre equação da média e desvio padrão. Qual a média e o desvio padrão?qual a probabilidade de se obter um valor entre,7 e 4,? RESP. etb e ta t(b a) ; µ = 4, 5; σ =, 44 Exercise 37 A duração média de um condensador segue uma distribuição exponencial de 00 horas. Calcule a proporção de condensadores que durem: a) a metade do tempo médio, b)mais do que 500 horas e c) entre 00 e 400 horas? RESP. a)0, 39347; b)0, 0806 e c)0, 354. Exercise 38 Uma população segue uma distribuição qui-quadrado. Se uma amostra de 0 unidades forem levantadas em uma populaç ão de elementos, encontre a média e variância desta distribuição amostral. RESP: µ = 9 e σ = 38 Exercise 39 Suponha que, em média, 6 pulsos chegam ao canal de serviço por minuto. Qual a probabilidade necessária para pelo menos em um minuto 3 pulsos cheguem ao canal? (Sugestão: Use a distribuiçã de Erlang) RESP 6, 0% Exercise 40 Um conjunto de dados seguem uma distribuição com α = 3 β = 3. Calcule P (x > 0) e encontre a E(X). e Exercise 4 Com o uso da tabelas Z, t-student, Qui-quadrado e F-Senedecor, calcule a) P (X >, 00) X N(, 9) b) P ( X 3 4) X N(, 4) c) P ( < X < 4) X N( 4, 4) d) P (χ < χ c) = 95% com X χ () e α = 5%. Encontre χ c e) Seja uma distribuição t-stuent bilateral com α = 5%. Calcule a probabilidade para uma amostra de n = 5. f) P (χ >, 78) com X χ (0). g) P (χ, 78) com X χ (0). h) Seja uma distribuição t-stuent unilateral à direita com α = 0, 0. Calcule a probabilidade para uma amostra de n = 0. i) P ( X 4 ) X N(0, ) Exercise 4 Seja conjunto de va s com distribuição exponencial de média E(x) = 0, 5 unidades, calcule a probabilidade de encontrar a variável aleatória ser maior do que 7 ou menor do que 3 unidades.