Física Matemática I Prof. Jorge Noronha, IFUSP

Transcrição

1 Física Matemática I Prof. Jorge Noronha, IFUSP 3/7/212

2 1

3 hapter 1 Funções de uma Variável omplexa 1.1 Revisão sobre números complexos Seja i 1. Nas soluções de equações algébricas de segunda ordem ax 2 + bx + c = = x = b ± b 2 4ac 2a (1.1.1) surgem raízes do tipo z = x + iy onde x, y R. Denotamos, Re z x = Parte real de z (1.1.2) Im z y = Parte imaginária de z (1.1.3) ˆ Note que "i" nunca se torna real através de multiplicação por números reais. De fato, α R (onde R denota o conjunto dos números reais excluido zero), nós temos que α.i / R. Isso implica que se z = x + iy = = x, y =. onsidere o conjunto de todos os números complexos = {z = x+iy, x, y R}. Agora, introduzimos as seguintes operações : 1. a R, z = x + iy, a.z ax + iay, 2. z 1 = x 1 +iy 1, z 2 = x 2 +iy 2, z 1 +z 2 = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ). Exercício: Prove que se x 1 + iy 1 = x 2 + iy 2 = x 1 = x 2, y 1 = y 2. ˆ Note que pode ser visto como um espaço vetorial de dimensão 2 sobre o corpo R (veja nos apêndices uma revisão sobre isso). 2

4 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 3 Figure 1.1.1: Plano de Argand-Gauss para a representação de números complexos Plano de Argand-Gauss Para todo z = x + iy podemos representá-lo no plano complexo (ou de Argand-Gauss, ou forma cartesiana) da seguinte forma em Fig. (1.1.1). Ex: Veja como as propriedades 1 e 2 mencionadas acima podem ser representadas no plano complexo Multiplicação de números complexos Sabemos que i.i = 1 e i.1 = i. Em geral, z 1, z 2, z 3 tal que z 1.z 2 = z 3 (1.1.4) Prova: Seja z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2 onde x 1, x 2, y 1, y 2 R. Então, z 1.z 2 = (x 1 + iy 1 ).(x 2 + iy 2 ) (1.1.5) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ) (1.1.6) = x 3 + iy 3 = x 3 x 1 x 2 y 1 y 2, y 3 x 1 y 2 + y 1 x 2 (1.1.7) onde claramente x 3 e y 3 denidos acima pertencem as reais e, assim, sempre z 3 x 3 + iy 3 q.e.d. ˆ Note que multiplicação entre números complexos é uma operação comutativa, isto é, z 1, z 2 temos que z 1.z 2 = z 2.z 1. Prove essa armação. ˆ Note que multiplicação entre números complexos é uma operação associativa, isto é, z 1, z 2, z 3 temos que z 1.(z 2.z 3 ) = (z 1.z 2 ).z 3. Prove essa armação. ˆ Note que multiplicação entre números complexos é uma operação distributiva e linear, isto é, z 1, z 2, z 3 e α, β R temos que z 1.(αz 2 + βz 3 ) = α(z 1.z 2 ) + β(z 1.z 3 ). Prove essa armação.

5 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 4 Figure 1.1.2: Representação polar de números complexos. É interessante notar que multiplicação por um número complexo pode ser visto como uma função que leva um elemento de em outro elemento. De fato, por exemplo, considere a multiplicação de um z = x + iy qualquer por i i.z = i.(x + iy) = ix y z. (1.1.8) Assim, vemos que a multiplicação de um número complexo por i é equivalente a rodar z de π/2 em torno da origem do plano complexo Representação polar z = x + iy e α R sempre podemos fazer ( x z = α α α) + i y. (1.1.9) Suponha agora que α seja tal que, ( x α) 2 + ( y α) 2 = 1, isto é, α = x2 + y 2. Agora, uma vez que cos 2 θ + sen 2 θ = 1, θ R, sempre podemos escrever x/α = cosθ e y/α = senθ e assim z = x 2 + y 2 (cosθ + isenθ) (1.1.1) = x 2 + y 2 e θ (1.1.11) = z e θ (1.1.12) onde z = x 2 + y 2 é o módulo de z, θ = arctan(y/x) é o argumento de z (veja Fig. (1.1.2) para uma ilustração no plano complexo), e e θ cosθ + isenθ. Note que e θ = 1. Vamos tentar entender um pouco mais sobre esse e θ. Primeiro, note que θ 1, θ 2 R, e θ1.e θ2 = e θ1+θ 2 (prove isso!!!). Agora, veja que z = x + iy temos que z = e θ.z = (cosθ + isenθ).(x + iy) (1.1.13) = xcosθ ysenθ + i(xsenθ + ycosθ). (1.1.14)

6 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 5 É conveniente agora usar a representação de z via vetores coluna, i.e., z = x+iy nós o representamos como ( ) x z =. (1.1.15) y Assim, vemos que z = ( ) ( x xcosθ ysenθ y = xsenθ + ycosθ ). (1.1.16) Porém, note que de fato a multiplicação de z por e θ corresponde a rodar z de um ângulo θ em torno da origem. Isso ca claro quando reconhecemos que ( ) ( ) ( ) x xcosθ ysenθ x y = = xsenθ + ycosθ Â(θ). (1.1.17) y onde Â(θ) é uma matriz 2 2 que é um elemento do grupo de rotações no plano ( ) cosθ senθ Â(θ) =. (1.1.18) senθ cosθ Mostre que: θ 1, θ 2 R a seguinte relação é válida: Â(θ 1 ).Â(θ 2) = Â(θ 1 + θ 2 ). Tente calcular o que seria eâ(θ). omo qualquer z pode ser representado na forma polar, vemos que para qualquer z 1 = z 1 e θ1 e z 2 = z 2 e θ2, existe um z 3 = z 1.z 2 = z 3 e θ3 onde z 3 = z1 z 2 e θ 3 = θ 1 + θ 2. Assim, vemos que a multiplicação por um número complexo em geral leva a uma rotação e uma alteração no módulo de um número complexo omplexo conjugado Vimos que z pode ser representado como um vetor de duas dimensões no plano complexo. omo calculavámos o módulo de um vetor a no plano? Usando o produto interno, vemos que a 2 a T. a = k=1,2 a2 i, que é agora um escalar. Algo similar pode ser feito com números complexos. De fato, dado z = x + iy, denimos o complexo conjugado de z como z = x iy. Assim, z.z = (x iy).(x+iy) = x 2 +y 2 = z 2 R. Assim, dado um número complexo z, multiplicação pelo seu complexo conjugado é a forma de se obter um número real, que será igual ao seu módulo. Na representação polar o complexo conjugado também ca simples. De fato, seja z = z e θ. Seu complexo conjugado, de acordo com a regra mencionada acima que nos diz que devemos inverter o sinal da parte imaginária, será z (cosθ isenθ) = z e θ. Assim, já que e θ.e θ = e θ θ = cos = 1, ca ainda muito mais claro na representação polar que z.z = z.z = z 2. Mostre que: (z ) = z e, α, β R, (αz 1 + βz 2 ) = αz 1 + βz 2.

7 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA Divisão de números complexos como operação inversa à multiplicação Vimos que z 1, z 2, z 3 tal que z 1.z 2 = z 3. (1.1.19) z 1 pode ser visto como uma operação (ou operador) que leva z 2 em z 3. Suponha agora que z 4 tal que z 4.z 3 = z 2. Mas como z 3 = z 1.z 2 temos que z 4.z 3 = z 4.(z 1.z 2 ) (1.1.2) = (z 4.z 1 ).z 2 = z 2 (1.1.21) assim z 4.z 1 = z 1.z 4 = 1 ou z 4 = 1/z 1 = z 1 1, ou seja, z 4 é o inverso de z 1. Vamos ver como a inversa de z ca em coordenadas cartesianas. Se z = x+iy, então z 1, quando ele existir, será determinado através de z 1.z = 1 (1.1.22) (z 1.z).z = z (1.1.23) z 1.(z.z ) = z (1.1.24) z 1 z 2 = z = x iy (1.1.25) assim, vemos que z 1 = x z 2 i y z 2. (1.1.26) laramente, só é possível obter z 1 se z =, ou seja, z só possui inversa quando é diferente de zero. Ex: Mostre que z = = z =. Ex: Seja z. Na forma polar onde z = z e θ mostre que z 1 é dado por z 1 = e θ / z Potenciação de um número complexo Seja z. Denimos z 2 z.z. Em coordenadas cartesianas onde z = x+iy, vemos que z 2 = (x+iy).(x+iy) = x 2 y 2 +i2xy. Na forma polar onde z = z e θ, é fácil ver que z 2 = ( z e θ ).( z e θ ) = z 2 e 2θ = z 2 (cos2θ + isen2θ). O que seria então z n onde n é um número inteiro positivo? Ex: Prove a fórmula de De Moivre: z n = z n (cos nθ + isen nθ) onde n é um número inteiro positivo. Vamos usar isso para relembrar como provamos armações usando indução matemática.

8 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 7 Prova por indução matemática (Importante!!!!): 1) Primeiro prove que a armativa é válida para um caso particular (digamos para um certo n ). 2) Assuma que a armativa de ordem n seja válida. Use isso para vericar se isso implica que a armativa subsequente de ordem n + 1 seja válida. aso isso aconteça, dizemos que a armativa é válida n n. Ok, agora vamos obter a fórmula de De Moivre usando inducão. Vamos escolher nosso n = 1 para a qual a fórmula é trivialmente satisfeita. Agora, vamos assumir que para n > n, z n = z n (cos nθ + isen nθ). Agora, vamos calcular z n+1. Vemos imediatamente que z n+1 = z n+1 (cos nθ + isen nθ).(cosθ + isenθ) (1.1.27) = z n+1 [cos nθ cosθ sen nθ senθ + i(sen nθ cosθ + cos nθ senθ)] (1.1.28) = z n+1 [cos (n + 1)θ + isen (n + 1)θ] q.e.d. (1.1.29) Então, a fórmula de De Moivre é válida n 1, onde n é um inteiro positivo. Note que é trivial mostrar essa fórmula usando a representação polar uma vez que e θ.e θ = e 2θ Raízes Para um dado z queremos agora calcular z 1/n onde n é um inteiro positivo. As coisas simplicam bastante na representação polar. De fato, se z = z e θ vemos que z 1/n = z 1/n e θ/n+2πk/n onde k é um número inteiro (isso ocorre porque e 2πk = 1 quand k é inteiro). Vemos então que a n-ésima raiz da unidade é dada por ( ) ( ) 2πk 2πk 1 1/n = cos + isen k =,..., n 1. (1.1.3) n n e elas correspondem aos vértices do polígono regular inscrito num círculo de raio 1. Veja na Fig. (1.1.3) um exemplo onde temos um triângulo inscrito no círculo. Ex: Mostre que:

9 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 8 Figure 1.1.3: Raízes de 1 1/3. z Re z Re z (1.1.31) z Im z Im z (1.1.32) (z 1.z 2 ) = z 1.z 2 (1.1.33) z 1.z 2 = z 1. z 2 (1.1.34) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (1.1.35) N N z k z k (1.1.36) k=1 1.2 Funções complexas Na seção anterior vimos a álgebra básica de números complexos e agora estamos prontos para começar a falar de funções de uma variável complexa. Uma função complexa será um mapeamento k=1 f : (1.2.1) z f(z). (1.2.2) Note que, uma vez que f(z), sempre podemos escrever f(z) = Re f(z) + iim f(z), onde Re f(z), Im f(z) R. Para car mais clara a idéia de mapeamento, imagine um ponto z no plano complexo z (veja a Fig. (1.2.1) abaixo). Seja agora w f(z). O que a f faz é mapear z no plano z em w = f(z ) no plano w. Por exemplo: seja f(z) = z 2. Então, f leva i no plano z em 1 no plano w. Ex: Fórmula de Euler Nós sabemos trabalhar com a função exponencial de um número real, e x, x R. Sabemos que x 1, x 2 R, e x1+x2 = e x1 e x2 e (e x ) a = e ax.

10 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 9 Figure 1.2.1: Uma função w = f(z) leva pontos no plano z em pontos no plano w. Vocês se lembram da série de McLaurin? Para uma função de variável real f(x) = n= f n ()x n /n!, onde f n () = d n f()/dx n. Para a exponencial temos e x = n= x n n!. (1.2.3) Vamos denir a exponencial de um número complexo z através da série e z = n= Agora, vamos supor que z = iy onde y R. Nesse caso e iy = = = (iy) n n= n= n= n! (iy) 2n (2n)! + ( 1) n y 2n (2n)! z n n!. (1.2.4) n= (iy) 2n+1 (2n + 1)! ( 1) n y 2n+1 + i (2n + 1)! n= (1.2.5) (1.2.6) (1.2.7) = cos y + isen y, (1.2.8) que é a fórmula de Euler. Em geral, temos e iz = cosz + isenz, z. Note que o nosso antigo e θ não é nada mais nada menos que e iθ. Prove que: e i(z1+z2) = e iz1 e iz2 e (e iz ) n = e inz, para n inteiro positivo. Outras funções elementares: senz eiz e iz 2i cosz eiz + e iz 2 (1.2.9)

11 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 1 Figure 1.3.1: Idéia intuitiva de vizinhança de z no plano complexo. senhz ez e z 2 coshz ez + e z 2 (1.2.1) 1.3 Derivadas de funções complexas onjunto aberto: Basicamente, um conjunto é aberto se ele contém uma vizinhança de cada um dos seus elementos. Por exemplo, considere o interior de um cubo sem fronteira. Podemos sempre imaginar uma pequena esfera em torno de cada ponto do seu interior o qual estará inteiramente contido no cubo. laramente, uma vez que você considere um cubo com fronteira, nesse caso o conjunto será fechado. Vamos agora denir a noção de continuidade para funções complexas. Seja w = f(z) uma função complexa denida em uma vizinhança do ponto z onde f(z ) = w (veja Fig. (1.3.1)). Então, f(z) é contínua em z se para um ε 1 e δ 1 z z < ε = f(z) w < δ, (1.3.1) ou seja, se z z = f(z) f(z ) w. Agora, podemos começar a falar de derivadas. Para uma função de uma variável real g(x) a derivada dela é dada por (caso o limite abaixo exista) dg(x) dx = lim g(x + δx) g(x). (1.3.2) δx δx Para funções complexas, como z = x+iy, temos que ter cuidado com a existência do limite. Se o limite existe em z e em uma vizinhança, f (z) df(z) dz f(z + δz) f(z) = lim δz δz (1.3.3) não pode depender de como nós nos aproximamos de δz = δx + iδy no plano complexo (veja Fig. (1.3.2)).

12 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 11 Figure 1.3.2: O limite que dene a derivada de uma função complexa não pode depender do caminho escolhido para chegar em z. Denindo, u(x, y) Ref(z) e v(x, y) = Imf(z), onde u, v R 2, temos que Então, f(x + δx + iy + iδy) = u(x + δx, y + δy) + iv(x + δx, y + δy) = u(x, y) + iv(x, y) + δx u u v v + δy + iδx + iδy x y x y (1.3.4) f(z + δz) f(z) δz = lim δz [ ( 1 u δx δx + iδy x + i v ) ( )] u + δy x y + i v. y (1.3.5) Suponha agora que tomemos o caminho ao longo do eixo real onde δy = e δx. Então df(z) = u dz x + i v x. (1.3.6) Analogamente, suponha que nos aproximemos pelo eixo imaginário onde δx = e δy. Então, é fácil ver que nesse caso df(z) dz = v y i u y. (1.3.7) Entretanto, esses limites tem que ser idênticos para que o limite exista. Então, ou u x + i v x = v y i u y. (1.3.8) u x = v y, u y = v x. (1.3.9) Essas são as famosas condições de auchy-riemann (embora elas tenham sido descobertas provavelmente por Gauss). ˆ Uma função f(z) é analítica (regular ou holomorfa) no ponto z se ela possuir derivada em z e em todos os pontos de uma vizinhança de z.

13 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 12 ˆ Se a função é analítica na vizinhança em z, as condições de auchy- Riemann são satisfeitas. ˆ Reciprocamente, se u(x, y) e v(x, y) possuem derivadas parciais de primeira ordem que satisfazem as condições de auchy-riemann em uma vizinhança de z, então f(z) = u + iv é analítica em z. ˆ Se f(z) é analítica em todo o plano complexo (para z nito), f(z) é chamada de função inteira. Exemplo: f(z) = z 2. De fato, fazendo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) vemos que nesse caso u(x, y) = x 2 y 2 e v(x, y) = 2xy, que claramente obedecem as condições de auchy-riemann em todo o plano complexo. Prove que: f(z) = e z é analítica e inteira z (mas nito). Exemplo: f(z) = z. Nesse caso, u(x, y) = x e v(x, y) = y. Teste de auchy-riemann: u/ x = 1 v/ y. De fato, f(z) = z não é analítica para nenhum z. Entretanto, note que essa função é contínua z. Uma outra maneira mais elegante de obter as condições de auchy-riemann é a seguinte. Suponha que todas as derivadas parciais u x, v y, v x, u y (1.3.1) existem e são contínuas então f = u + iv é diferenciável como uma função complexa de duas variáveis reais. Isso signica que nós podemos aproximar a variação de f da seguinte forma δf = f f δx + x y δy + O(δ2 ) (1.3.11) = f f δz + z z δz + O(δ 2 ) (1.3.12) onde δz = δx + iδy e δz = δx iδy. Assim, podemos denir f 1 ( ) f z 2 x i f, (1.3.13) y f z 1 ( ) f 2 x + i f. (1.3.14) y Agora impomos que f não depende de z. Assim, f/ z = e assim ( 1 2 x + i ) (u + iv) = (1.3.15) y ou ( u x v ) ( v + i y x + u ) =. (1.3.16) y

14 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 13 Assim, recuperamos as condições de auchy-riemann em (1.3.9). A derivada de uma função complexa obedece as mesmas regras que a derivada de funções de variáveis reais obedecem. Por exemplo, d dz d dz zn = nz n 1 (1.3.17) d senz dz = cosz, (1.3.18) [f(z)g(z)] = df(z) dz g(z) + f(z)dg(z). (1.3.19) dz ˆ É importante ressaltar que a derivada de uma função real é uma propriedade local no ponto. Para uma função de uma variável complexa, analiticidade é uma propriedade não somente local mas também controla o comportamento da função numa região. ˆ Veremos depois que uma função analítica em z possui todas as derivadas naquele ponto Funções harmônicas Suponha que f(z) seja analítica em uma região de. Vimos que nessa caso, se f(z) = u(x, y)+iv(x, y) então u e v satisfazem as condições de auchy-riemann em (1.3.9). Veremos depois que quando uma função é analítica em uma região, todas as derivadas da função naquela região existem. Isso signica que 2 u x y = 2 u y x (1.3.2) e o mesmo ocorrerá para v (dizemos que nesse caso as derivadas comutam). Assim, das condições de auchy-riemann nós obtemos diretamente que 2 u x u y 2 = 2 v x v y 2 =. (1.3.21) Dessa forma, vemos que u e v são soluções da equação de Laplace em 2 dimensões e são chamadas de funções harmônicas. Ex: Potencial eletrostático no vácuo. Em eletrostática, o campo elétrico sempre pode ser escrito como E = φ, onde φ é o potencial eletrostático. A primeira equação de Maxwell na ausência de cargas nos dá E = = 2 φ =. Se nosso problema é tal que φ só depende de duas variáveis, por exemplo x e y (como acontece no caso em que o problema tem simetria axial ao longo do eixo z), obtemos 2 φ x φ y 2 =, (1.3.22)

15 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 14 ou seja, o potencial eletrostático nesse caso é uma função harmônica. Sempre é possível encontrar uma função harmônica conjugada v(x, y) para toda função harmônica u(x, y). De fato, assuma que nós temos um par u(x, y), v(x, y) que obedece as condições de auchy-riemann. Então, nós podemos escrever dv = v v dx + dy x y (1.3.23) = u u dx + dy. y x (1.3.24) Assim, podemos denir uma função v(x, y) através de v(x 2, y 2 ) v(x 1, y 1 ) = (x2,y 2) (x 1,y 1) ( u ) u dx + y x dy. (1.3.25) A integral acima não depende do caminho tomado entre (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) pois ( u ) ( ) u = 2 u =. (1.3.26) y y x x Sejam agora duas curvas no plano complexo denidas pelas condições u = constante e v = constante (veja Fig. (1.3.3)). Suponha agora que essas curvas se cruzam num dado ponto P. No ponto de interseção, ( u).( v) = u v x x + u v y y. (1.3.27) Agora, seja f = u + iv uma função analítica na região que engloba a interseção. Nesse caso, podemos usar as condições de auchy-riemann (1.3.9) para mostrar que ( u).( v) = v v y x v v x y =. (1.3.28) Então, na interseção entre as curvas u é perpendicular a v. Em aplicações em problemas de eletrostática no plano, a superfície u(x, y) = constante poderia estar associada com uma superfície equipotencial enquanto v(x, y) = constante daria as linhas de campo elétrico Aplicação conforme Uma aplicação w = f(z) é conforme em dado z se a diferença entre os argumentos de dois números complexos (módulo 2πn com n inteiro) no plano z é mantida no plano w (invariância de ângulos - veja Fig. (1.3.4) abaixo). Isso ocorrerá se f(z) for analítica em z e f (z ). Podemos provar a invariância da diferença entre os ângulos da seguinte forma. Sejam dz 1 e dz 2 dois números complexos innitesimais (no sentido em que dz 1,2 1) com

16 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 15 Figure 1.3.3: Interseção de curvas onde u e v são constantes. Figure 1.3.4: Ângulos são preservados quando a aplicação f(z) é conforme.

17 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 16 origem em z. Suponha agora que perante a transformação w = f(z) dz 1 e dz 2 são levados em dw 1 e dw 2 com origem em w. Usando a representação polar onde dz 1 = dz 1 e iθ1 and dz 2 = dz 2 e iθ2, vemos que cos (θ 1 θ 2 ) = Re{dz 1 dz 2} dz 1 dz 2 (1.3.29) em z. Analogamente, escrevemos dw 1 = dw 1 e iφ1 and dw 2 = dw 2 e iφ2 e, assim, temos que em w cos (φ 1 φ 2 ) = Re{dw 1 dw 2} dw 1 dw 2. (1.3.3) Entretanto, como por denição f(z) é analítica na região considerada, temos que então dw 1 = f (z )dz 1 (1.3.31) dw 2 = f (z )dz 2 (1.3.32) cos (φ 1 φ 2 ) = dw 1 dw 2 dw 1 dw 2 = f (z ) 2 dz 1 dz 2 f (z ) 2 dz 1 dz 2 = dz 1dz 2 dz 1 dz 2 = cos (θ 1 θ 2 ). (1.3.33) Assim, vemos que o coseno da diferença dos ângulos não muda perante uma aplicação conforme (note que é necessário que f (z ) ). 1.4 Integral de uma função complexa Para uma função de variável real f(x), a integral dessa função num intervalo onde x [a, b] é dada por I = b a dx f(x) = lim n k=1 n f(x k )dx k (1.4.1) onde n lim n k=1 dx k = b a. A integral de uma função real pode ser vista como um funcional linear que leva um elemento f(x) do espaço de funções em um número real. Note também que a integral de uma função real pode ser vista como uma integral de linha ao longo do eixo real. Para f(z), denimos a integral ao longo de uma curva orientada como (veja Fig. (1.4.1)) N dz f(z) = lim f(z k )dz k. (1.4.2) N k=1

18 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 17 Figure 1.4.1: Integral de uma função complexa. Figure 1.4.2: Se toda curva fechada contida em D tem seu interior também contido em D (como na gura do lado esquerdo), dizemos que D é simplesmente conexo. Intuitivamente, vemos que essa região não contém buracos. Por outro lado, na gura do lado direito o domínio D não é simplesmente conexo. Fazendo f(z) = u(x, y)+iv(x, y) e separando a parte real e a parte imaginária obtemos dz f(z) = (udx vdy) + i (vdx + udy). (1.4.3) Agora estamos quase para falar de um teorema muito importante, o teorema de auchy. Teorema de auchy: Seja uma curva fechada qualquer em um domínio simplesmente conexo D (veja Fig. (1.4.2)) no plano complexo. Se f(z) é analítica em D então dz f(z) =. (1.4.4) Prova: Para f(z) = u(x, y) + iv(x, y) temos que dz f(z) = (dx + idy)(u + iv) = (udx vdy) + i (udy + vdx). (1.4.5)

19 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 18 Se f(z) é analítica, as primeiras derivadas de u e v existem e são contínuas. Podemos agora usar o teorema de Stokes para mostrar que ( (udx vdy) = dxdy v S 1 x u ) (1.4.6) y ( u (vdx + udy) = dxdy S 2 x v ) (1.4.7) y onde S 1,2 são superfícies arbitrárias cujas fronteiras são dadas por, isto é, S 1,2 =. Uma vez que f(z) é analítica na região, usamos as condições de auchy-riemann u y = v x = (udx vdy) = (1.4.8) e u x = v y = (vdx + udy) =. (1.4.9) Isso mostra que dz f(z) = quando f(z) é analítica numa região D onde está contida. q.e.d. Teorema de Morera: Se f(z) é contínua em D e se f(z)dz = para todo caminho simples fechado em D com interior em D, então f(z) é analítica em D. Prove esse teorema!!! ˆ Para uma função real de uma variável, é sempre possível encontrar F (x) = x a dx f(x ) onde df (x)/dx = f(x) (teorema fundamental do c'alculo). Algo semelhante ocorre para funções complexas. Se f(z) é analítica em uma região D simplesmente conexa então, pelo teorema de auchy, numa curva fechada D temos que dz f(z) =, o que implica em dizer que z f(z )dz (1.4.1) z não depende da trajetória seguida de z até z. Assim, nesse caso F (z) também analítica em D da forma F (z) = z z f(z )dz = df (z) dz = f(z). (1.4.11) ˆ Seja um caminho qualquer que pode ser escrito como a união de dois caminhos 1 e 2 (claramente, a orientação dos caminhos tem que ser denida), isto é, = 1 2. Nesse caso, f(z)dz = 1 f(z)dz + 2 f(z)dz. Esta propriedade está no coração da nossa denição de integral no plano complexo. ˆ O valor da integral sobre um caminho depende da orientação do caminho. Revertendo a orientação do caminho denindo um caminho que é basicamente o caminho anterior percorrido no sentido oposto, temos que f(z)dz = f(z)dz.

20 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 19 Figure 1.5.1: f(z) é analítica em e no interior. 1.5 Fórmula integral de auchy Suponha que tenhamos uma f(z) analítica num contorno fechado e no interior da região delimitada por (veja Fig. (1.5.1)). Pelo teorema de auchy, dz f(z) =. Agora, imagine que denimos a função g(z) f(z) z z. (1.5.1) Agora, g(z) não é analítica em z (a função e sua derivadas não estão denidas em z = z ). Assuma que z não está sobre o contorno. Agora, podemos esperar que em geral dz f(z). (1.5.2) z z De fato, mostraremos a seguir a fórmula integral de auchy: f(z) z z = 2πif(z ) (1.5.3) onde f(z) é analítica em, que pode ser qualquer contorno fechado que envolve z. Prova: Primeiro, considere o seguinte conforno (veja Fig. (1.5.2)). A função f(z) é analítica em e na região delimitada por já que essa região não contém o pólo em z. Então, pelo teorema de auchy, ao longo desse contorno f(z) z z =. Agora, imagine o seguinte contorno em Fig. (1.5.3). Novamente, embora tenha cado um pouco esquisito, uma vez que ele não envolve z, f(z) z z vemos que =. Agora, imagine que a distância entre os caminhos quase retos na gura anterior vá a zero continuamente (ver Fig. (1.5.4)). Nesse caso, o valor da integral nesse pedaço se cancela identicamente. Denindo = 1 2, onde 1 e 2 são os caminhos arbitrários na Fig. (1.5.4) que sobraram, vemos que f(z) = z z 1 f(z) + z z 2 f(z) = = z z 1 f(z) = z z 2 f(z) z z (1.5.4)

21 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 2 Figure 1.5.2: f(z) é analítica em e no interior. Note que não envolve z. Figure 1.5.3: f(z) é analítica em e no interior. Note que não envolve z. Figure 1.5.4: Note que agora 1 e 2 envolvem z.

22 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 21 Figure 1.5.5: 2 é um círculo de raio R em volta de z. onde 2 é o caminho 2 com sentido inverso. Note que 1 e 2 são, de fato, caminhos completamente arbitrários (de mesmo sentido) que envolvem o ponto z mas o valor de suas integrais é o mesmo. Assim, vemos que seja lá o que for o valor dessa integral, claramente esse número não depende do contorno fechado escolhido que envolve z. f(z) z z, Já que podemos escolher qualquer caminho fechado para calcular I vamos usar 2 como sendo um círculo em volta de z de raio R e, assim, denimos z = z + Re iθ (veja Fig. (1.5.5)). Então, temos que I = 2 dz f(z) z z = i 2π idθ f(z + Re iθ ) Re iθ Re iθ = i 2π dθf(z + Re iθ ). (1.5.5) Agora, note que I não depende do contorno usado, o que signica que podemos tomar por exemplo R. Assim, I = lim R i ou seja, vemos que 2π dθf(z + Re iθ ) = f(z )i 2π dθ = 2πi f(z ), (1.5.6) f(z) z z = 2πif(z ) (1.5.7) onde f(z) é analítica em, que pode ser qualquer contorno fechado que envolve z. q.e.d. laramente, pelo teorema de auchy, se z estiver fora do interior da região delimitada por a integral se anula. Teorema do valor médio (Gauss): No plano real R 2, o valor de uma função harmônica num dado ponto (x, y ) é igual a média da função ao longo de uma circunferência de raio r centrada neste ponto. Prova: Esse resultado é fácil de demonstrar. Primeiro, seja z = x + iy e considere uma função analítica f(z) em z z r. Usamos agora a fórmula integral de auchy sobre um contorno circular de raio r em torno de z, o que

23 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 22 nos dá 2π f(z ) = 1 dθf(z + re iθ ). (1.5.8) 2π Fazemos agora f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e assim temos u(x, y ) = 1 2π v(x, y ) = 1 2π 2π 2π dθ u(x + rcosθ, y + rsenθ) (1.5.9) dθ v(x + rcosθ, y + rsenθ) (1.5.1) onde as funções u e v são harmônicas uma vez que f(z) é analítica. Podemos reescrever as equações acima como u(x, y ) = 1 dl u (1.5.11) 2πr v(x, y ) = 1 dl v (1.5.12) 2π onde é o círculo de raio r centrado em (x, y ) R 2. q.e.d. Soluções da equação de Laplace não toleram máximos ou mínimos locais - qualquer extremo só pode ocorrer na fronteira. Prove essa armação!!!!! Derivadas de funções analíticas Assuma que f(z) seja analítica em z. Vimos que sua derivada em z existe e pode ser calculada via a denição usual f f(z + δz) f(z ) (z ) = lim. (1.5.13) δz δz Agora, vamos empregar a fórmula integral de auchy nessa equação acima usando um contorno qualquer que envolve z. Encontramos, f 1 (z ) = lim δz 2πiδz f 1 (z ) = lim δz 2πi δz f 1 (z ) = dz 2πi [ f(z) dz z z δz dz f(z) ] (1.5.14) z z δz f(z) dz (1.5.15) (z z δz)(z z ) f(z) (z z ) 2. (1.5.16) omo poderíamos ter encontrado esse resultado de uma forma mais simples? Note que f(z) é analítica e z abaixo é uma variável muda e assim df(z) = d 1 f(z )dz (1.5.17) dz dz 2πi z z ( ) df(z) 1 d = dz 1 dz 2πi dz z f(z ) (1.5.18) z df(z) 1 = dz f(z ) dz 2πi (z z) 2. (1.5.19)

24 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 23 Figure 1.6.1: f(z) é analítica sobre e dentro da região delimitada por esse círculo. A função possui uma singularidade em z 1 que está fora da região denida por. Ex: Use a idéia acima para provar que, em geral, se f(z) for analítica suas n derivadas são dadas por f (n) (z) dn f(z) dz n = n! dz f(z ) 2πi (z. (1.5.2) z) n+1 onde pode ser qualquer contorno fechado que envolve z. Note que, de fato, a analiticidade de f(z) em z implica não somente na existência de f (z) mas também na existência de todas as derivadas da função em z. laramente, todas essas derivadas também são funções analíticas. Ex: Prove que 1 dz z m n 1 = δ mn (1.5.21) 2πi onde m, n são inteiros, é qualquer contorno fechado que envolve a origem z = (sentido anti-horário) apenas uma vez, e δ mn é a famosa delta de Kronecker que satisfaz δ mn = se m e δ mn = 1 se m = n. 1.6 Série de Taylor Suponha que f(z) seja analítica em z mas não em z 1, que é a singularidade de f(z) mais próxima de z. onstruímos um círculo de raio z z < z 1 z (veja Fig. (1.6.1)). Da fórmula integral de auchy, fazemos 1 f(z )dz f(z) = (1.6.1) 2πi z z f(z) = f(z) = 1 2πi 1 2πi f(z )dz (z z ) (z z ) (1.6.2) f(z )dz [ ]. (z z ) 1 z z z z (1.6.3)

25 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 24 Agora, vamos nos lembrar de um resultado antigo envolvendo a função 1/(1 ξ), que é válido quando ξ < 1. Por exemplo, seja S a série innita denida por S 1 + ξ + ξ 2 + ξ , onde ξ < 1 (e diferente de zero) para que S exista. Agora, S 1 = ξ + ξ e então (S 1)/ξ = 1 + ξ + ξ = S. Dessa forma, vemos que S = 1/(1 ξ). Note que no nosso caso, z z < z 1 z, e assim vemos que ( 1 z z ) 1 ( ) n z z z = (1.6.4) z z z e assim, temos que f(z) = 1 2πi dz f(z ) n= ( ) n z z. (1.6.5) n= z z Essa soma converge e assim podemos trocar a ordem da soma com a da integral. Assim, ( 1 f(z) = dz f(z ) ) 2πi n= (z z ) n+1 (z z ) n f (n) (z ) = (z z ) n n! n= (1.6.6) que é a série de Taylor da função analítica f(z) em torno de z. ˆ Esse resultado acima é baseado somente na hipótese de que f(z) é analítica para z z < z 1 z. É possível mostrar que essa série, quando existe, é única (PROVE ISSO!!!!). ˆ omo veremos em mais detalhes a seguir, o raio de convergência R dessa série pode ser calculado pelo critério de auchy para a série innita. Note, entretanto, que R não é innito pois assumimos que existia uma singularidade em um dado z 1 no plano. Ex: Prove o Princípio da reexão de Schwartz: Se uma função é analítica sobre uma região que inclui o eixo real e f(z) é real se z for real, então f (z) = f(z ). Dica: expanda f(z) em Taylor em torno de um x R. Imagine agora que tenhamos uma função analítica f(z) em z =. Usamos sua expansão em Taylor ao redor da origem f(z) = n= a nz n onde a n = f (n) ()/n!. Agora, dena um caminho fechado como um círculo de raio r centrado em z =. Podemos escrever os coecientes da série como a n = 1 dz f(z). (1.6.7) 2πi zn+1 Denimos agora M(r) Max f(z) ao longo de. Então fazendo z = re iθ, temos dz = z idθ, e assim a n = 1 2π 2π idθ f(reiθ ) r n e inθ = 1 2π 2πr n dθ f(reiθ ) e inθ. (1.6.8)

26 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 25 Devido a desigualdade triangular n k=1 z k n k=1 z k, e pelo fato de que a integral é o limite de uma soma, vemos que γ g(z)dz g(z)dz para γ qualquer função g(z) e contorno γ. Assim, vemos que a n = 1 2πr n 2π dθ f(reiθ ) e inθ 1 2πr n 2π dθ f(re iθ ) M(r) r n. (1.6.9) Vamos usar o resultado acima para provar um resultado famoso. Teorema de Liouville: Se f(z) é analítica e limitada em todo o plano complexo, essa função é necessariamente igual a uma constante. Prova: Dizer que f(z) é limitada em todo o plano complexo signica dizer que M R tal que f(z) M para todo z. Porém se esse for o caso, de acordo com o resultado para a n da série de Taylor de uma função analítica que encontramos acima, vemos que se a função for analítica em todo o plano signica dizer que lim r a n lim r M/r n =, n >, ou seja, a 1 = a 2 = a 3 =... =. Então nesse caso, f(z) = a = cte. q.e.d. ˆ Assim, qualquer desvio de uma função analítica de um valor constante implica que deve existir pelo menos uma singularidade para esta função em algum ponto no plano complexo. Dessa forma, nós teremos que saber lidar com singularidades de funções pois elas irão aparecer constantemente em problemas de física matemática. Teorema Fundamental da Álgebra: Qualquer polinômio de ordem N, por exemplo, f(z) = N k= c kz k com N > e c N, possui N raízes complexas. Prova: Primeiro, note que f(z) = N k= c kz k é analítica para todo z de módulo nito. Suponha que o polinômio de ordem N não possua nenhuma raiz. Assim, 1/f(z) é analítica e limitada quando z. Então, 1/f(z) seria uma constante de acordo com o teorema de Liouville. laramente esse não é o caso e assim vemos que f(z) tem que ter pelo menos uma raiz, que chamaremos de z 1. Nesse caso, podemos denir g(z) f(z)/(z z 1 ), que é um polinômio de ordem N 1. Novamente, assuma agora que g(z) não possua nenhuma raiz. Assim, 1/g(z) seria limitada e portanto uma constante, o que não pode ser verdade. Dessa forma, vemos que g(z) deve ter pelo menos uma raiz, que chamaremos de z 2. Denimos agora o polinômio de ordem N 2, h(z) g(z)/(z z 2 ). Seguindo o mesmo procedimento, vemos que f(z) tem exatamente N raízes z j, j = 1,..., N, ou seja, qualquer polinômio de ordem N pode ser escrito como um produto de suas raízes, f(z) = c N N j=1 (z z j). Ex: Seja f(z) = N k= c kz k um polinômio qualquer de ordem N. Ache os coecientes c k em termos das N raízes z j (Vieta, 1579).

27 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA Alguns conceitos básicos envolvendo séries Agora vamos ver um pouco sobre séries innitas, suas propriedades, e também alguns truques que podemos usar para expressar essas somas em termos de funções conhecidas. Uma sequência innita de números complexos {z n } = {z 1,..., z n } converge para o limite complexo nito z se z n z < ε, para n 1 e ε positivo e ε 1. Por outro lado, podemos reformular a questão sobre a convergência de uma série complexa em termos de um problema semelhante envolvendo sequências reais: Uma sequência complexa {z n } converge para um número complexo z = x + iy se e somente se Re z n converge para x e Im z n converge para y. Prova: Suponha que ε 1 tal que x n x < ε/2 e y n y < ε/2. Se Re z n converge para x e Im z n converge para y então z n z = (x n x)+i(y n y) x n x + y n y < ε. Reciprocamente, se z n z < ε então necessariamente z n está dentro do círculo de raio ε em torno de z. Assim, ca claro que x n x < ε e y n y < ε q.e.d. ˆ Muitos dos teoremas sobre sequências reais são aplicáveis para séries complexas (uma boa discussão sobre séries reais para os ns desse curso pode ser encontrada no livro de Arfken e Weber, cap. 5). ˆ Sequências convergentes podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, e divididas termo a termo já que elas são basicamente números complexos. Uma série innita de números complexos k=1 z k é convergente se a sequência {S N } de suas somas parcias S N = N k=1 z k for uma sequência convergente. Uma vez que o limite S = lim N S N exista, então S = k=1 z k. Ex: = ln 2. ˆ Se a sequência das somas parciais não convergir, dizemos que a série é divergente (o que não quer dizer que ela seja inútil, como veremos em breve). Entretanto, temos que ser muito cuidadosos com séries divergentes. Ex: A famosa série harmônica lim N N k=1 1 n = Prove que a série harmônica diverges logaritmicamente, isto é, lim N N k=1 1 n = lim N ln N + termos finitos. Um série innita k=1 z k é absolutamente convergente se a série real dos módulos k=1 z k for convergente. O produto de séries absolutamente convergentes também é uma série absolutamente convergente. Note que convergência absoluta implica em convergência mas convergência em geral não implica em convergência absoluta. De fato, se uma série k=1 z k converge mas k=1 z k

28 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 27 não converge, dizemos que k=1 z k converge condicionalmente. Ex: onsidere a série convergente ( 1) n+1 n=1 n = = ln 2. Note que a correspondente série dos módulos n=1 ( 1)n+1 n = n=1 1/n é a série harmônica, que diverge. Teorema de Riemann sobre séries: Se uma série innita é condicionalmente convergente, seus termos sempre podem ser rearrajandos de uma maneira tal que seja possível encontrar qualquer valor para a série (a série pode até divergir). ( 1) n+1 Ex: Vamos considerar a série convergente n=1 n. Vimos acima que ela é condicionalmente convergente. Somando os termos da maneira usual encontramos = ln 2. Agora, suponha que resolvemos somar os seus termos da seguinte forma ( S = 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) +... (1.7.1) 1 = (1.7.2) = 1 ( )... = 1 ln 2 (1.7.3) 2 Para quaisquer séries innitas, pode-se criar uma nova série ao se reagrupar seus termos na realização da soma. Uma série converge incondicionalmente se qualquer rearranjo dos termos da série dene uma nova série com a mesma propriedade de convergência da série original. Séries que convergem absolutamente também convergem incondicionalmente. Em geral, a adição dos termos de uma série innita é associativa somente para séries absolutamente convergentes Alguns testes de convergência para séries 1. Teste da comparação : Se n temos que z n a n, e n=1 a n converge, então n=1 z n converge absolutamente. Alternativamente, se n temos que z n a n, e n=1 z n diverges, então n=1 a n também diverge. 2. Teste da razão : Se lim n z n+1 /z n = c e c < 1 então n=1 z n converge absolutamente. Se c = 1 + ou c então a série diverge. Se c = 1 então o teste é inconclusivo. Ex: A série geométrica n= zn converge absolutamente para z < 1. De fato, usando o teste da razão vemos que lim n z n+1 /z n = z, o que mostra que a série converge absolutamente quando z < 1. Vemos então

29 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 28 que série geométrica converge absolutamente em todos os pontos dentro de um círculo de raio R = 1, que dene a região de convergência (ou o raio de convergência) dessa série. Ex: Prove que e z = 1 + z + z 2 /2! + z 3 /3! +... tem raio de convergência R. 3. Teste da raiz: Se z n 1/n r < 1 para n então n=1 z n converge absolutamente. Se z n 1/n r > 1 para n, então n=1 z n diverge. Prova: Se z n 1/n r < 1 então z n r n < 1. Porém, r n é o n-ésimo termo da soma geométrica 1 + r + r = 1/(1 r) que converge para r < 1. Assim, de acordo com o teste da comparação, essa série n=1 z n é absolutamente convergente. laramente, se z n 1/n r > 1 para n temos que z n r n > 1 e assim, de novo de acordo com o teste da comparacão, vemos que nesse caso a série em questão diverge. Em geral, se lim n z n, a série n=1 z n diverge Sequências de funções A sequência de funções complexas {f(z)} denidas em uma região Ω converge para uma função limite f(z) em Ω se lim n f n (z) = f(z), z Ω. Ex: As somas parciais da série geométrica f n (z) = n k= zk forma polinômios que convergem para f(z) = 1/(1 z) se n para z < 1. De fato, para z < 1 f n (z) = 1 + z z n = 1 1 z = = 1 1 z zn z zn+1 1 z k=n+1 z k (1.7.4) z k (1.7.5) k= (1.7.6) e, assim, lim n f n (z) = 1/(1 z). Dizemos nesse caso que f(z) = 1/(1 z) é a soma da série geométrica quando z < 1. A sequência de funções {f n (z)} converge uniformemente para uma função f(z) em uma região Ω se ε 1 tal que f n (z) f(z) < ε para n > N e z Ω (onde N é um inteiro positivo). Ex: A sequência das somas parciais da série geométrica é convergente para z < 1 mas não é uniformemente convergente pois a convergência se torna cada

30 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 29 vez pior quando z se encontra cada vez mais próximo de 1 (isso signica que nesse caso precisamos incluir cada vez mais termos na série para alcançar uma dada precisão ε). Teste M de Weierstrass: A série de funções n=1 f n(z) é uniformemente convergente em uma região Ω se M n > (que são constantes) tais que f n (z) M n, z Ω e a série n=1 M n for convergente. Prove esse resultado usando o teste da comparação. Teorema de Weierstrass: Se os termos da série de funções n=1 f n(z) são analíticos no inteiror de uma curva simples e fechada e também sobre ela, e a além disso a série convergir uniformemente sobre, então sua soma é uma função analítica (sobre e dentro da região delimitada pela mesma) e a série pode ser diferenciada ou integrada um número arbitrário de vezes Truques para encontrar expressões fechadas para séries Ex: Ache a expressão fechada que soma a série S(x) = 1+2x+3x 2 +4x = n= (n + 1)xn (note que S() = 1). Primeiro, vamos estabelecer a região de (n+2) x convergência dessa série. Pelo teste da razão, vemos que lim n+1 n (n+1) x = n x e, assim, a série converge absolutamente se x < 1. Dentro de sua região de convergência podemos integrar cada termo e depois derivar x S(x) = d dx dx S(x ) = x + x 2 + x = x x 1 x (1.7.7) dx S(x ) = d ( ) x 1 = dx 1 x (1 x) 2. (1.7.8) Ex: Ache a expressão fechada que soma a série f(θ) = 1 + acosθ + a 2 cos2θ +..., onde a, θ R. Novamente, o primeiro passo é determinar a região de convergência da série em questão. Note que f(θ) = Re { 1 + ae iθ + a e e 2iθ +... }. Pelo teste da razão vemos que essa série converge para a < 1, embora θ possa de fato ser qualquer número real. De fato, uma análise mais cuidadosa revela que essa série não é nada mais nada menos do que f(θ) = Re { 1 + ae iθ + a e e 2iθ +... } (1.7.9) { } 1 1 acosθ = Re 1 ae iθ = 1 + a 2 2acosθ. (1.7.1) (1.7.11) Ex: Some a série S = 1 2! + 2 3! + 3 4! Veja que essa série converge absolutamente pelo teste da razão. Nesse caso é conveniente denir a função real f(x) = x2 2! + 2x3 3! + 3x4 4! +..., que converge absolutamente x R (porém nito).

31 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 3 Figure 1.7.1: Duas placas condutoras planas (sem carga) e paralelas separadas por uma distância L no vácuo. Veja que f(1) = S. Assim, tomamos a derivada f (x) = x + x 2 + x 3 /2! +... = x(1 + x + x 2 /2! +...) = xe x e depois integramos para encontrar f(x) = x dx df(x ) dx = o que mostra que S = f(1) = 1. x dx x e x = xe x e x + 1 (1.7.12) Ex: Ache o valor de S = n n! k= k!(n k)! para n e k inteiros positivos. Para encontrar o valor dessa soma, basta denir a função f(x) = n n!x k k= k!(n k)!, que nós sabemos que f(x) = (1 + x) n. Assim, S = f(1) = 2 n Séries divergentes e o efeito asimir (NÃO AI NAS PROVAS) Ok, imagine que estejamos resolvendo um problema em física e que encontramos que o valor de uma dada quantidade física é proporcional a n=1 n. Essa série claramente diverge. Em geral nós acreditamos que não existem innitos verdadeiros na natureza (apenas números muito grandes como por exemplo o número de moléculas de água no corpo humano). Então, será que monstros desse tipo aparecem na descrição de fenômenos da natureza? omo poderíamos lidar com tais absurdos??? Em que aspecto isso pode fazer sentido??? Efeito asimir: onsidere duas placas condutoras paralelas innitas (sem carga) separadas por uma distância L no vácuo (veja Fig. (1.7.1)). As placas possuem área A. De acordo com a teoria eletromagnética de Maxwell, não existe nenhuma força entre essas placas condutoras. omo os campos eletromagnéticos não variam com o tempo, esse é um problema trivial de eletrostática. É fácil mostrar que classicamente a força entre as placas é zero. Para tal, vale a pena se lembrar

32 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 31 do teorema da unicidade das soluções da equação de Laplace. Teorema da unicidade: A solução da equação de Laplace (quando ela existir) 2 φ = em um volume V é unicamente determinada se o potencial φ for especicado na fronteira do volume V. Prova: onsidere um volume V R 3 e sua fronteira V. Suponha que existam duas soluções distintas quaisquer φ 1 e φ 2 que obedecem a equação de Laplace em V e são idênticas na fronteira, isto é, φ 1 = φ 2 em V. Então, claramente a diferença entre as soluções φ 3 φ 1 φ 2 é tal que 2 φ 3 = em V e φ 3 = na fronteira V. Entretanto, lembrem que as soluções da equação de Laplace numa dada região não admitem máximos ou mínimos locais (todos os extremos, se eles existirem, estão necessariamente localizados na fronteira). Assim, o máximo e o mínimo de φ 3 são iguais a zero. Dessa forma, isso implica em φ 3 = em V e assim, φ 1 = φ 2 q.e.d. Agora, usando esse teoriam aqui no nosso caso envolvendo as placas condutoras, vemos que o potencial eletrostático φ obedece a equação de Laplace na região entre e sobre as placas. Nas placas condutoras (que formam a fronteira da região ), φ é uma constante. A solução φ = constante resolve a equação de Laplace na região de interesse e dá o valor correto do campo na fronteira. De acordo com o teorema da unicidade, essa solução é de fato única. Assim, vemos que o campo eletrostático E = φ = e portanto não existem força entre as placas. Entrentanto, se você de fato zer esse aparato experimental cuidadosamente você será capaz de medir uma pequena atração entre as placas que cai muito rapidamente com L!!!!!! Essa força atrativa entre as placas é um efeito puramente quântico originalmente proposto pelos físicos holandeses asimir e Polder em A medição desse efeito somente foi feita, de forma sucientemente acurada, em 1997 no Los Alamos National Laboratory nos EUA. Infelizmente, a física necessária para a compreensão do efeito asimir está muito além do que pode ser discutido nesse curso. A idéia básica é que a presença dessa condição de contorno que E = nas placas afeta o vácuo quântico e existem mais pares de partículas e anti-particulas sendo criados na região fora das placas do que dentro, o que gera um tipo de pressão efetiva que causa a atração entre as placas. Entretanto, é possível saber pelo menos a forma da força entre as placas diretamente usando análise dimensional. De fato, vamos tentar estimar a densidade de energia por unidade de área entre as placas E/A. Usando que a unidade de momento angular é h = m 2 Kg/s e que a única escala de comprimento que pode denir essa densidade supercial de energia é a distância L entre as placas, vemos quer E A α h c (1.7.13) L 3 onde c é a velocidade da luz no vácuo e α é um número adimensional. Note que a densidade supercial de força entre as placas será F A = d E dl A α L. Assim, 4

33 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 32 vemos que o sinal de α determina se vai haver atração or repulsão entre as placas! Daqui há 2 anos vocês serão capazes de entender que a eletrodinâmica quântica prediz que E A = h c dξ ξ ξ 2π 2 + n2 π 2 n= L 2. (1.7.14) Agora, note que lim n ξ 2 + n2 π 2 L n, então, basicamente temos uma série 2 que se comporta como n= n quando n. Bom, vamos esquecer por um tempo o fato de que essa expressão acima para a energia por unidade de área é claramente divergente. Além disso, vamos introduzir o parâmetro s de forma que E(s) h c1 s = dξ ξ A 2π ξ2 + n2 π 2 1 s 2 L 2 (1.7.15) n= o que leva a uma densidade de força F (s)/a. Note que quando lim s F (s)/a = F/A, que é a densidade de força física que queremos calcular. A integral sobre ξ pode ser facilmente calculada, o que nos dá E(s) A = h c1 s π 2 s 2L 3 s 1 3 s n 3 s. (1.7.16) Vamos trabalhar um pouco agora com esse monstro n= n3 s. No limite em que s = essa série claramente diverge. Vamos ser expertos e pretender que não sabemos nada sobre o valor de s. Lembrando da denição da função zeta de Riemann ζ(z) = n=1 1/nz, vemos que E A = lim E(s) s A = lim h c 1 s π 2 s 1 s 2L 3 s 3 s n=1 n 3 s = n=1 cπ2 h ζ( 3). (1.7.17) 6L3 Usando que ζ( 3) = 1/12 vemos que a densidade de força entre as placas é h cπ2 atrativa e igual à F/A = 24L, o que foi comprovado experimentalmente. 4 Note que a força vai a zero quando a distância entre as placas é tão grande que podemos tomar efetivamente h =. O fato de que h é muito pequeno torna esse efeito muito difícil de ser medido. Agora, você deve estar se perguntando, o que aconteceu com o innito??? Não era para a coisa divergir quando aquele s lá fosse para zero???? Bom, eu não posso dizer mais nada sobre isso agora. Vocês vão ter que esperar pelo seu curso de teoria de campos na pós-graduação para entender o que houve nesse processo de regularização daquela soma divergente. O que eu posso dizer é: não houve truque, tudo é de fato bem denido sicamente. Eletrodinâmica quântica é a teoria física mas bem sucedida que possuímos. Aguardem e vocês verão :D

34 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 33 Figure 1.8.1: Região de convergência da série f(z) em Ω 1. Figure 1.8.2: Região de convergência da série g(z) em Ω Princípio da continuação analítica Seja Ω um domínio conexo (veja uma breve discussão sobre espaços conexos e etc no apêndice). Se duas funções analíticas f(z) e g(z) coincidem em uma vizinhança de um ponto z Ω, então f(z) e g(z) são idênticas em Ω. Ex: onsidere as séries f(z) = n= zn e g(z) = i n= in (z i 1) n. A série f(z) converge quando z < 1, ou seja, quando z está dentro de um círculo de raio 1 em volta da origem, que chamaremos aqui de região Ω 1 (veja Fig. (1.8.1)). Por outro lado, vemos pelo teste da razão que a série g(z) converge quando z i 1 < 1, ou seja, quando z está dentro de um círculo de raio 1 centrado em z = 1 + i, que chamaremos aqui de região Ω 2 (veja Fig. (1.8.2)). Entretanto, já que a série f(z) converge em Ω 1, podemos armar que nessa região f(z) = 1 + z + z = 1 1 z. Analogamente, na região Ω 2 podemos i 1 i(z 1 i) = 1 1 z fazer g(z) = i[1 + i(z 1 i) +...] =. onsidere agora a Fig. (1.8.3) onde desenhamos as duas regiões. Existe uma região de interseção 1 Ω 3 Ω 1 Ω2 onde tanto f(z) quanto g(z) são iguais a 1 z. Dessa forma, vemos que f(z) = g(z) em Ω 1 Ω2. Dizemos que g(z) é a continuação analítica em Ω 2 da série f(z) denida Ω 1

35 HAPTER 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL OMPLEXA 34 Figure 1.8.3: Interseção entre as regiões de convergência das séries. 1 (e vice-versa). Ao mesmo tempo, a função 1 z é a continuação analítica, válida em todo o espaço, das funções f e g. Neste exemplo que discutimos acima, as dias séries podem ser somadas de 1 forma que obtemos uma expressão fechada 1 z. Em geral, as somas de séries não precisam ser necessariamente expressas em termos de funções elementares. Mesmo quando isso não é possível, o procedimento de continuação analítica sempre pode ser feito a partir de uma série que converge em um pequeno domínio e daí contruímos uma função que é bem denida em todo o espaço, exceto em pontos singulares tais como pólos e cortes. Pode-se em geral emendar os discos de convergência envolvidos um a um. 1.9 Série de Laurent Vimos anteriormente que uma dada função analítica em uma certa região Ω possui uma representação em termos de uma única série de Taylor ao redor de qualquer ponto em Ω e essa série converge. Entretanto, devido ao teorema de Liouville, sabemos que a o único tipo de função que pode ser analítica em todo o plano complexo é a função constante. Assim, em geral lidaremos com funções que possuem algum tipo de singularidade no plano complexo. Por exemplo, vimos a função h(z) = 1/(1 z) que é analítica z excluindo o ponto z = 1. Dentro do disco denido por z < 1 (que dene o raio de convergência da série geométrica), h(z) pode ser representada pela série geométrica n= zn. Para z > 1, essa série não converge e assim, ela não constitui uma representação da função h(z). onsidere agora uma função f(z) que possua uma singularidade em z mas seja analítica dentro e sobre a região denida pelos círculos 1 de raio r 1 e 2 de raio r 2 tal que r 2 < r 1 (veja Fig. (1.9.1)). Vamos chamar essa região anular (que é uma conexa mas não é simplesmente conexa) de Ω. Seja agora z Ω. Note que Ω poderia ser construída via o limite ε do contorno = , que é a fronteira da região Ω ε. De fato, lim ε Ω ε = Ω (veja Fig. (1.9.2)). Agora podemos usar a fórmula integral de auchy em Ω ε