Sumário. Raciocínio Lógico. Aula 1 - Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; Aula 2 - Valores lógicos das proposições;

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1 Raciocínio Lógico Sumário Aula 1 - Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; Aula 2 - Valores lógicos das proposições; Aula 3 - Sentenças abertas; Aula 4 - Número de linhas da tabela verdade; Aula 5 - conectivos; Aula 6 - Proposições simples e proposições compostas. Aula 7 - Tautologia. Aula 8 - Operação com conjuntos Aula 9 - Cálculos com porcentagens.

2 Proposição É um termo usado em lógica para descrever o conteúdo de asserções. Uma asserção é um conteúdo que pode ser tomado como verdadeiro ou falso. Asserções são abstrações de sentenças não lingüísticas que a constituem. A natureza das proposições é altamente controversa entre filósofos, muitos dos quais são céticos sobre a existência de proposições. Muitos lógicos preferem evitar o uso do termo proposição em favor de usar sentença. Diferentes sentenças podem expressar a mesma proposição quando têm o mesmo significado. Por exemplo, "A neve é branca" e "Snow is white" são sentenças diferentes, mas ambas dizem a mesma coisa, a saber, que a neve é branca. Logo, expressam a mesma proposição. Outro exemplo de sentença que expressa a mesma proposição que as anteriores é "A precipitação de pequenos cristais de água congelada é branca", pois "precipitação de pequenos cristais de água congelada" é a definição de "neve". Na lógica aristotélica uma proposição é um tipo particular de sentença, a saber, aquela que afirma ou nega um predicado de um sujeito. Proposições são usualmente consideradas como o conteúdo de crenças e outros pensamentos representativos. Elas também podem ser o objeto de outras atitudes, como desejo, preferência, intenção, como em "Desejo um carro novo" e "Espero que chova", por exemplo. Também não é raro contrastar com a noção de proposição como conteúdo mental a noção de proposições russellianas. De facto, boa parte da discussão em torno da natureza da proposição travada no século XX e contemporaneamente, oscila e, por vezes, tenta conciliar ambas noções Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:

3 1. Frases que não são proposições o o o Pare! Quer uma xícara de café? Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 2. Frases que são proposições o o o o A lua é o único satélite do planeta terra (V) A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) O numero 712 é ímpar (F) Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, 1. A = "Maria tem 23 anos" 2. B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: 1. "Maria não tem 23 anos" (nãoa) 2. "Maria não é menor"(não(b)) 3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) Aula 2 - Valores lógicos de uma proposição Seguindo adiante no estudo da linguagem proposicional em matemática, temos que ter em mente que só existem dois valores lógicos para uma proposição: A verdade e a falsidade.

4 Se a proposição for verdadeira seu valor lógico é a verdade e se a proposição for falsa seu valor lógico será a falsidade. Perceba que em lógica matemática não se diz que a proposição é mentirosa. O correto e o mais elegante é dizer que a proposição é falsa. É mais ou menos como nos debates políticos, onde nenhum dos debatedores dizem que o outro está mentindo, mas sim dizem que seu oponente falta com a verdade em seus argumentos. É claro que nos debates os políticos fazem isso menos por elegância e mais por medo de serem punidos por chamar o oponente de mentiroso... Voltando ao que interessa, os símbolos utilizados para os valores lógicos da proposição são: V se a proposição for verdadeira. F se a proposição for falsa. Relembrando os dois princípios básicos que regem a lógica matemática: I Não pode existir uma proposição falsa e verdadeira ao mesmo tempo (princípio da não contradição). II Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso. (princípio do terceiro excluído). Entendemos então que uma proposição só pode ter um dos valores lógicos: V ou F. Vejamos algumas proposições como exemplo: 1. A aceleração da gravidade na Terra é 9,80665 m/s² 2. A França é um país europeu. 3. O rio Nilo cruza o território Brasileiro

5 4. O Flamengo foi campeão mundial em 1981 Nos exemplos acima, verificamos que as proposições 1,2 e 4 são verdadeiras (V) e apenas a proposição 3 é falsa (F). Se você não gostou do exemplo dado, nós entendemos, afinal, esse valor para a aceleração da gravidade é apenas aproximado... Esse negócio de Falso e Verdadeiro pode parecer coisa boba, mas é muito importante seguir num ritmo de passo-a-passo para que nada fique perdido no caminho. A experiência nos mostra que uma das grandes desgraças no ensino de matemática são as pequenas coisas que passam batidas pelo estudante e que no final acabam impedindo que ele avance no aprendizado. Proposição Simples e Composta Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas. Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: > 12. Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r,..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

6 (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a. Tabela-Verdade O conjunto de proposições e seus valores lógicos podem ser dispostos numa tabela, que chamamos de Tabela-Verdade. Exemplo: Sejam p e q as proposições. Então temos a tabela: p q V V V F F V F F Observe que o número de linhas da tabela depende do número de proposições, e pode-se obter fazendo 2 n ( onde n é a quantidade de proposições) Conectivos São as partículas que servem para agrupar as sentenças. As sentenças simples não usam conectivos. As compostas são formadas por duas ou mais proposições ligadas a essas partículas (e, ou, se...então, se e somente se)

7 Exemplo: Se o quadrilátero tem lados paralelos 2 a 2, então, é um paralelogramo O valor lógico de uma proposição é totalmente determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a constituem e pela operação dos conectivos, que podem ser: Conectivo de conjunção("e" - representado por ^) Se: p: Maria tem um gato q: José tem um cachorro A proposição composta p^q será: Maria tem um gato e José tem um cachorro Então, p^q somente é verdadeira se ambas as proposições são verdadeiras. Se ambas, ou uma delas é falsa, a proposição será falsa. Assim, pode-se expressar a tabela verdade de conjunção como: p q p^q V V V F F V F F V F F F Exemplo: p: O Brasil está na Europa q: A Argentina está na América do Sul Como: v(p) = F e v(q) = V Então: v(p^q) = F Conectivo de disjunção ( "ou" - representado por v)

8 Neste caso, devemos antes analisar o conectivo "ou". Ele pode ser "inclusivo" (considera os dois casos) ou "exclusivo" (considera apenas um dos casos) Exemplo: p: Paulo é professor ou administrador q: Maria é jovem ou idosa No primeiro caso, o "ou" é inclusivo pois, pelo menos uma das proposições é verdadeira, podendo ser ambas. Mas no caso da segunda, o "ou" é exclusivo, pois somente uma das proposições poderá ser verdadeira. Assim, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "inclusiva" como: p q p v p V V V F F V F F V V V F Exemplo: p: Paris é a capital do Brasil q: 9-6 = 3 Como v(p) = F e v(q) = V Então: v(p v q) = V Da mesma forma, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "exclusiva" como: p q p v p V V V F F V F V V

9 F F F Nota: Em nada se falando ao contrário, consideramos sempre o "ou"como "inclusivo". Conectivo Condicional( "se... então" - representado por -> ) Numa proposição condicional que se encontra entre o "se"e o "então" é chamado de antecedente ( ou implicante) e o que segue ao "então" é chamado de consequente ( ou implicado). Uma proposição condicional afirma que o seu antecedente implica o seu consequente. Não afirma ser o antecedente verdadeiro, mas se o for, o consequente também será. Também não afirma que o consequente é verdadeiro, mas somente que é verdadeiro se o antecedente o for. Qualquer proposição p^ ~q é verdadeira, ou seja, quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Para a proposição ser verdadeira p^ ~q deve ser falsa, ou ainda ~p^ ~q deve ser verdadeira. Assim, pode-se expressar a tabela-verdade da condicional como: p q ~q p^ ~q ~(p^~q) p -> q V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V Nota-se que p->q abrevia apenas ~(p^~q). Também não se deve esperar uma "conexão real" entre o antecedente e o consequente. Tudo que se afirma é que a implicação material só será falsa quando o antecedente for verdadeiro e o consequente falso, conforme tabela resumo a seguir:

10 p q p->q V V V F F V F F V F V V Exemplo: p: log 100 = 3 q: Cabral descobriu o Brasil log 100 = 3 -> Cabral descobriu o Brasil Como: v(p) = F e v(q) = V Então: v(p->q) = V Conectivo Bicondicional( "se, e somente se... então" - representado por <- ->) Se juntarmos as sentenças p->q e q->p, veremos que (p->q) ^(q->p) equivale a <-->q. Em resumo, a bicondicionalidade ocorre quando ambas as sentenças são verdadeiras ou falsas e a falsidade ocorre quando as sentenças tiverem valores lógicos diferentes, conforme tabela abaixo: p q p<-->q V V V F F V F F V F F V Exemplo: p: o quadrado tem lados de tamanhos diferentes q: 14 é um número ímpar O quadrado tem lados diferentes <--> 14 é um número ímpar

11 Como: v(p) = F e v(q) = F Então v(p<-->q) = V Conectivo de negação( representado por ~ ) Dada uma proposição: "A água é mais leve que o ar" sua negação acontece se dizemos: É falso que a água é mais leve que o ar ou ainda A água não é mais leve que o ar Pode-se resumir tal fato com a tabela abaixo: p ~ p V F F V Para procedermos com os raciocínios lógicos citados vale lembrarmos algumas propriedades, tais como: p^q <--> q^p p v q <--> q v p p^(q^r) <--> (p^q)^r p v (q v r) <--> (p v q) v r p^(q v r) <--> (p^q) v (p^r) p v (q^r) <--> (p v q) ^(p v r) ~(p^r) <-->~p v ~r ~(p v r) <--> ~p ^~r ~(~p) <--> p TAUTOLOGIA Dizemos ter uma tautologia quando numa proposição composta sempre temos

12 apenas o valor lógico V Exemplo: p v ~ p CONTRADIÇÃO Dizemos ter uma contradição quando numa proposição composta sempre temos apenas o valor lógico F Exemplo: p ^ ~ p CONTINGÊNCIA Dizemos ter uma contingência quando numa proposição composta temos os valores lógicos V e F Exemplo: p -> ~p Proposição recíproca Obtemos quando invertemos as sentenças: Exemplo: Se x = 4 -> x < 5 ou x = 5 a recíproca será: x=5 ou x < 5 -> x=4 Proposição inversa Obtemos quando negamos as sentenças: Exemplo: Se x > b -> a > 2 a inversa será: x = b ou x < b -> a=2 ou a < 2 Proposição contrapositiva Obtemos quando invertemos as negativas das sentenças: Exemplo: Se a > b -> c < d a contrapositiva será: c=d ou c > d -> a=b ou a < b Exercícios Resolvidos 1. Qual a negação de:

13 Resp. 2. Qual o valor lógico de: "É falso que 3+4 = 7 e = 5 Temos que: v(3+4=7) = V e v(2+2=5) = F Então: v(3+4=7 ^ 2+2=5) = F logo: Resp = [~(3+4=7 ^ 2+2=5)] = V 3. Determine o valor lógico da sentença : "Se 4+4=9, então eu sou rei da Espanha" Se: p : 4+4 = 9 q : eu sou rei da Espanha Então v(p) = F e v(q) = F logo Resp = v(p->q) = V 4. Sejam as proposições: p: os agricultores se mobilizam q : a reforma agrária continua sem solução Simbolize a sentença : "Se os agricultores não se mobilizam, então a reforma agrária continua sem solução" Temos que: ~p : os agricultores não se mobilizam

14 Logo Resp ~p ->q 5. Sejam as proposições: p : sen (pi - x) = cos x q : pi < 3 Qual o valor lógico de: (p->q) v (~p->~p)" Temos que v(p) = F e v(q) = F logo: v(p->) = V Da mesma forma v(~p) = V e v(~q) = V logo : v(~p -> ~q) = V Então Resp Verdadeiro 6. Sabendo-se que os valores lógicos das proposições "p", "q" e "r" são, respectivamente, V,F e V, determine o valor lógico da proposição: [ (p<-->q) -> p ] v (p ->r) Temos que: v(p) = V, v(q) = F e v(r) = V Então v(p<-->q) = F v[(p<-->q) -> p] = F v(p -> r) = V Logo v[(p<-->q) ->p] v (p->r) = V Então Resp: Verdadeiro

15 Sentença Aberta Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x + y) / 5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS a) I e II são sentenças abertas. B) I e III são sentenças abertas c) II e III são sentenças abertas d) I é uma senteça aberta e) II é uma senteça aberta Para a resolução, apenas é necessário saber o que são sentenças abertas. E o que é isso? Define-se como sentença aberta aquela sentença simples cujo resultado (falso ou verdadeiro) é desconhecido, por conter um elemento indefinido ou por conter variáveis. Na primeira frase está dito que "ele foi o melhor jogador do mundo em 2005". Mas quem é ele? Quem acompanha o futebol pode até saber que o Ronaldinho Gaúcho foi eleito o melhor jogador naquele ano pela FIFA. Mas isso não está expresso na frase. Isto é, dependendo de quem se esteja falando a frase poderá ser verdadeira ou falsa. Por isso, essa é uma sentença aberta. Já a segunda frase contém variáveis, o que a tornará verdadeira ou falsa a depender dos valores que forem atribuídos a "x" e "y". Essa também é uma sentença aberta. A última frase, ao contrário, não é uma sentença aberta, pois não há elementos desconhecidos ou variáveis. "João da Silva foi...". Resposta: A

16 Operação com Conjuntos Conheça as principais operações com conjuntos e saiba como aplicá-las e resolver os exercícios. Nesta aula você vai estudar, União de conjuntos, Interseção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos, Elementos do conjunto, Partição de conjuntos e muito mais. União de Conjuntos(c ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}. Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A c A = A b) A c φ = A c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A c U = U, onde U é o conjunto universo. Interseção de Conjuntos (1 ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}. Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A 1 A = A b) A 1 i = i c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades das operações com conjuntos:

17 P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva) P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva) P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção) P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção) Obs: Se A 1 B = φ, então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: {0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - φ = A b) φ - A = φ c) A - A = d) A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). Complementar de um conjunto Quando se estuda Operações com Conjuntosrecisa-se entender a complementar de um conjnto. Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é, que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B d A, a diferença A - B chama-se, neste Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja, U - B,é indicado pelo símbolo B.Observe que o conjunto B é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:

18 a) B 1 B = φ b) B 1 B = U c) φ = U d) U = φ_ Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(a), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(a) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(a) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(a) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(a) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø. b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.

19 Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, }, {1, 3, 5, 7, } } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, } {1, 3, 5, 7, } = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, } U {1, 3, 5, 7, } = N. Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(a) e o número de elementos de B seja n(b). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(a 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(a c B), podemos escrever a seguinte fórmula: n(a c B) = n(a) + n(b) - n(a c B) Cálculos com Porcentagem As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%". O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por cento". O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se escrever 0,05, ou por exemplo. Aulas de Porcentagem Veja as seguintes razões: Podemos representá-las na sua forma decimal por: E também na sua forma de porcentagens por:

20 Como calcular um valor percentual de um número? Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200? Multiplique 25 por 200 e divida por 100: Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 0,25 por 200: Assim temos: 1. 4% de 32 = 0, = 1, % de 180 = 0, = % de 150 = 0, = % de 126 = 0, = 44, % de 715 = 1, = % de 60 = 1, = % de 48 = 2, = 96 Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao próprio 715, isto ocorre porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% é a razão de 100 para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio número x, já que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem. Analisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que quando o percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%. Exercícios I 01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p " q

21 e) p " (~q) 02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; d) p =>q é falsa, qualquer que seja q e) n.d.a. 04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que: a) se x 3 antão y 7 b) se y = 7 então x = 3 c) se y 7 então x 3 d) se x = 5 então y = 5 e) se x = 7 então y = (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: a) (2 = 3) => (2. 3 = 5) b) (2 = 2) => (2. 3 = 5) c) (2 = 3) e (2. 3 = 5) d) (2 = 3) ou (2. 3 = 5) e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 06. (UGF) A negação de x > -2 é: a) x > 2 b) x #-2 c) x < -2 d) x < 2 e) x #2

22 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. Gabarito I: 01. a) Paulo não é paulista. b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.

23 d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. 02. a) p ^ q b) (~p) v p c) q " p d) (~p) ^ (~q) 03. B 04. C 05. A 06. C 07. C 08. C 09. C 10. C Exercícios II Use a descrição abaixo para resolver os exercícios 11 e 12. Chapeuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartasfeiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outros dias da semana. 11. Numa ocasião Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa sozinha. Ela fez as seguintes afirmações: - Eu menti ontem - Eu mentirei daqui a 3 dias. Qual era o dia da semana? 12. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações: A) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã B) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã C) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã D) Menti ontem se e somente mentirei amanhã.

24 13. (FGV) Na residência assaltada, Sherlock encontrou os seguintes vestígios deixados pelos assaltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de sapatos deixadas no carpete: - Um toco de cigarro - Cinzas de charuto - Um pedaço de goma de mascar - Um fio de cabelo moreno As suspeitas recaíram sobre cinco antigos empregados, dos quais se sabia o seguinte: - Indivíduo M: só fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, não mastiga goma. - Indivíduo N: só fuma cigarro sem filtro e charuto, cabelo louro, não mastiga goma. - Indivíduo O: não fuma, é ruivo, mastiga goma. - Indivíduo P: só fuma charuto, cabelo moreno, não mastiga goma. - Indivíduo Q: só fuma cigarro com filtro, careca, mastiga goma. Sherlock concluirá que o par de meliantes é: ( a ) M e Q ( b ) N e P ( c ) M e O ( d ) P e Q ( e ) M e P 14. Roberto, Sérgio, Carlos, Joselias e Auro estão trabalhando em um projeto, onde cada um exerce uma função diferente: um é Economista, um é estatístico, um é administrador, um é advogado, um é contador. - Roberto, Carlos e o estatístico não são Paulistas. - No fim de semana, o contador joga futebol com Auro. - Roberto, Carlos e Joselias vivem criticando o advogado.

25 - O Administrador gosta de trabalhar com Carlos, Joselias e Sérgio, mas não gosta de trabalhar com o contador. Pode-se afirmar que Sérgio é o: ( a ) Economista ( b ) Estatístico ( c ) Administrador ( d ) Advogado ( e ) Contador 15. Assinale a opção correta: 5? 5? 5? 5 ( a ) + = ( b ) + + = ( c ) = + + ( d ) x = ( e ) x = 16. Que número fica diretamente acima de 119 na seguinte disposição de números? ( a ) 98 ( b ) 99 ( c ) 100 ( d ) 101 ( e ) 102

26 17. Qual é a metade do dobro do dobro da metade de 2? ( a ) 1 ( b ) 2 ( c ) 3 ( d ) 4 ( e ) Se: Filho é igual a A Pai é igual a B Mãe é igual a C Avô é igual a D Tio é igual a E Qual é o A do B da C do A? ( a ) A ( b ) B ( c ) C ( d ) D ( e ) E 19. Dois amigos, A e B, conversaram sobre seus filhos. A dizia a B que tinha 3 filhas, quando B perguntou a idade das mesmas. Sabendo A que B gostava de problemas de aritmética, respondeu da seguinte forma: O produto das idades das minhas filhas é 36. A soma de suas idades é o número daquela casa ali em frente. Depois de algum tempo B retrucou: Mas isto não é suficiente para que eu possa resolver o problema. A pensou um pouco e respondeu: Tem razão. Esqueci-me de dizer que a mais velha toca piano. Com base nesses dados, B resolveu o problema. Pergunta-se: qual a idade das filhas de A?

27 20. No dia do resultado do concurso de Bolsa de Estudo do Curso Pré-Fiscal, os cinco primeiros classificados foram entrevistados (Joãozinho, Pedro, Débora, Maria e Sônia). Então resolveram, cada um, fazer uma declaração verdadeira e outra falsa, a seguir: 21. Joãozinho: A Maria ficou em segundo lugar. Eu em quarto lugar. Pedro: Fiquei em terceiro lugar. A Sônia em quinto lugar. Débora: A Maria foi a primeira e eu o segundo. Maria: O Pedro foi o primeiro. Eu fiquei em quinto lugar. Sônia: Eu fui o segundo lugar, a Maria foi a terceira. Então, podemos afirmar que a classificação do 1º ao 5º lugar foi: ( a ) Pedro, Maria, Débora, Joãozinho e Sônia; ( b ) Maria, Débora, Pedro, Joãozinho e Sônia; ( c ) Pedro, Débora, Maria, Joãozinho e Sônia; ( d ) Pedro, Débora, Maria, Sônia e Joãozinho; ( e ) Maria, Débora, Pedro, Sônia e Joãozinho; 22. (AFTN/96) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: Tânia é quem está sentada no meio. A que está sentada no meio diz: Eu sou Janete. Finalmente, a que está sentada à direita diz: Angélica é quem está sentada no meio. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: ( a ) Janete, Tânia e Angélica ( b ) Janete, Angélica e Tânia ( c ) Angélica, Janete e Tânia ( d ) Angélica, Tânia e Janete ( e ) Tânia, Angélica e Janete

28 23. (TRT) Certo dia, em sua fazenda, Ana percebeu que o único relógio da casa um enorme relógio de carrilhão havia parado. Deu-lhe corda e, achando que era aproximadamente 10h, colocou os ponteiros marcando 10h. Foi então até a fazenda vizinha descobrir a hora certa. Lá chegou às 11h20min e de lá partiu às 11h30min. Chegando em sua fazenda verificou que o relógio marcava 10h30min. Se Ana foi e voltou com a mesma velocidade, qual a hora do seu retorno a sua casa? ( a ) 11h40min ( b ) 11h50min ( c ) 12h ( d ) 12h10min ( e ) 12h15min Gabarito II 11. Segunda-feira 12. a) Segunda ou quarta-feira b) Quinta ou domingo c) Quarta, sexta, sábado ou domingo d) Segunda, quarta, sexta ou sábado. 13. letra D 14. letra D 15. letra D 16. letra B - Basta observar que o último número de cada linha é sempre um quadrado perfeito, logo a linha que possui o número 119 termina com o número 121, o anterior 120 possui 100 acima, logo o número 119 possui o número 99 acima. 17. letra B 18. letra E Qual é o filho do pai da mãe do filho? É o tio 19. Idades: 2, 9, letra C 21. letra B

29 22. letra A