FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA B

Transcrição

1 VICE-REITORI DE ENSINO DE GRDUÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENÇÃO DE EDUCÇÃO DISTÂNCI FUNDMENTOS D MTEMÁTIC Rio de Janeiro / 2007 TODOS OS DIREITOS RESERVDOS À UNIVERSIDDE CSTELO RNCO

2 Copyright 2006 Universidade Castelo ranco - UC Todos os direitos reservados à Universidade Castelo ranco - UC Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo ranco - UC. U n3p Universidade Castelo ranco. Fundamentos da Matemática. Rio de Janeiro: UC, p. ISN XX-XXXXX-XX-X 1. Ensino a Distância. I. Título. CDD Universidade Castelo ranco - UC venida Santa Cruz, Rio de Janeiro - RJ Tel. (21) Fax (21)

3 Chanceler Prof. a Vera Costa Gissoni Reitor Prof. Paulo lcantara Gomes Vice-Reitor de Ensino de Graduação e Corpo Discente Prof. Marcelo Hauaji de Sá Pacheco Vice-Reitor de Planejamento e Finanças Sergio França Freire Filho Vice-Reitor de Gestão dministrativa e Desenvolvimento Marcelo Costa Gissoni Vice-Reitor de Ensino de Pós-Graduação, Pesquisa e Extensão Prof. Samuel Cruz dos Santos Coordenadora de Educação a Distância Prof.ª Ziléa aptista Nespoli Coordenadores dos Cursos de Graduação na Cristina Noguerol - Pedagogia Denilson P. Matos - Letras Maurício Magalhães - Ciências iológicas Sonia lbuquerque - Matemática

4 Responsáveis Pela Produção do Material Instrucional Coordenadora de Educação a Distância - CED Prof.ª Ziléa aptista Nespoli Supervisor do Centro Editorial CEDI Joselmo otelho Conteudista ntonio Fábio Serafim

5 presentação Prezado(a) luno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo lcantara Gomes Reitor

6 Orientações para o uto-estudo O presente instrucional está dividido em quatro unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares. s Unidades de 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em 1. Na 2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das quatro unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação extra (3 ou 4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. ons Estudos!

7 Dicas para o uto-estudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. 2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deixe para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. note-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação. 9 - Não hesite em começar de novo.

8 SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático Contextualização da disciplina UNIDDE I TEORI DOS CONJUNTOS Introdução Conjuntos, elementos e relação de pertinência Conjunto universo Subconjuntos Igualdade entre dois conjuntos Conjuntos das partes de um conjunto Operações entre conjuntos UNIDDE II NOÇÕES DE LÓGIC MTEMÁTIC Introdução Proposições Negação Conjunção Disjunção Condicional icondicional Implicação lógica Equivalência lógica Proposições associadas a uma condicional UNIDDE III CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.1- Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais Conjunto dos números irracionais Conjunto dos números reais Intervalos numéricos... 32

9 UNIDDE IV POLINÔMIOS 4.1- Definição Grau de um polinômio Vamor numérico Polinômio identicamente nulo Polinômios idênticos Operações com polinômios Teorema do resto Teorema de D lembert Divisibilidade por (x - a): dispositivo prático de riot-ruffini Glossário Gabarito Referências ibliográficas... 48

10 Quadro-síntese do conteúdo programático 11 Unidades de Programa Objetivos I Teoria dos Conjuntos Revisar e aprofundar o conhecimento adquirido sobre conjuntos e as notações correlatas. II Lógica Matemática Representar, formalmente, o raciocínio lógico, aprendendo a utilizá-lo na argumentação corrente. III Conjunto Numérico Possibilitar ao aluno o estudo dos conceitos relativos aos conjuntos numéricos fundamentais tais como os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, bem como os intervalos numéricos e as operações entre eles. IV Polinômios Permitir que o estudante possa identificar o grau de um polinômio e seu valor numérico.

11 12 Contextualização da Disciplina o elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo. creditamos ter conseguido um bom desenvolvimento lógico das unidades, mantendo um certo rigor, coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivo é fazer com que você compreenda as idéias básicas da disciplina de Fundamentos da Matemática e, quando necessário, saiba transferir as estruturas adquiridas as outras áreas de conhecimento. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

12 UNIDDE I 13 TEORI DOS CONJUNTOS 1.1 Introdução O conceito de conjunto, que é dado de forma intuitiva, é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática e é de grande aplicabilidade nas diversas áreas de estudo tanto da Matemática como das outras áreas. noção primitiva de conjunto é provavelmente tão primitiva quanto a noção de número. Podemos observar que quando pensamos no número 5, por exemplo, pensamos numa coleção de cinco objetos. Embora, existisse essa idéia, a teoria dos Conjuntos teve origem nos trabalhos do matemático russo, Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor ( ), que sentiu a necessidade de sistematizar esse conceito na resolução de questões ligadas a idéia de infinito. Teoria dos Conjuntos é hoje base para diversos ramos da Matemática; sendo sempre, em última análise estudos, de um conjunto de entes de alguma espécie. ssim a Geometria é o estudo do conjunto de pontos e a Álgebra, o de números. 1.2 Conjuntos, Elementos e Relação de Pertinência Na teoria dos conjuntos, três conceitos são considerados conceitos primitivos, não definidos. Conjunto Elemento relação de pertinência entre elemento e conjunto Intuitivamente, a idéia de conjunto é a mesma da linguagem corrente, é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto são chamados elementos do conjunto. Os conjuntos, geralmente, são indicados por letras maiúsculas do nosso alfabeto:,, C,... e os elementos, quando forem letras, por letras minúsculas do nosso alfabeto. relação de pertinência denotada por e são relações de elementos para conjuntos, isto é, se o elemento a pertence ao conjunto dizemos que a. No caso do elemento a não pertencer ao conjunto dizemos então que a. Exemplo: Seja o conjunto formado pelas vogais do nosso alfabeto, ou seja, = {a, e, i, o, u}. Podemos escrever: a a pertence ao conjunto (a é um elemento do conjunto ); b b não pertence ao conjunto (b não é um elemento do conjunto ). Os conjuntos podem ser representados enumerando os seus elementos ou por uma propriedade característica dos elementos do conjunto. Exemplo: = {x / x é natural e menor que 4} representado por uma propriedade característica; = {0, 1, 2, 3} enumerando os seus elementos.

13 14 lgumas denominações são dadas para um conjunto dependendo da quantidade de elementos que ele possui, vejamos: Conjunto Finito e Conjunto Infinito Intuitivamente é aquele que consiste num número específico de elementos diferentes, ou seja, se, ao contarmos os diferentes elementos de um conjunto, o processo de contagem chega a um final. Caso contrário ele é infinito. Exemplo: = {x N / x < 4} = {0, 1, 2, 3}; Possui 4 elementos, logo ele é finito. = {x N / x > 3} = {4, 5, 6, 7,...}; É um conjunto infinito. Conjunto Unitário e Conjunto Vazio Pode ocorrer, embora não esteja de acordo com a linguagem usual, de um conjunto ter um só elemento ou nenhum elemento. No caso de ele ter apenas um elemento, podemos dizer que ele é um conjunto unitário, caso não possua elemento, ou seja, verifica uma propriedade impossível de ocorrer, é um conjunto vazio. O símbolo usual para conjunto vazio é. Exemplo: = {x N / 2 < x < 4} = {3}; Possui 1 elemento, logo ele é um conjunto unitário. = {x N / x > 0} = ; Não possui elementos, visto que não existe números naturais menores que zero, logo ele é um conjunto vazio. 1.3 Conjunto Universo Em qualquer assunto a ser desenvolvido na Matemática, admitimos a existência de um conjunto no qual pertencem todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Esse conjunto é denominado conjunto universo, normalmente indicado por U. Por exemplo, a equação x + 2 = 0, não admite solução se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais (N), já se o conjunto universo for o conjunto dos números inteiros (Z), admite a solução x = 2. Normalmente, quando numa determinada equação não é citado o Conjunto Universo, considera-se como sendo o Conjunto dos Números Reais (R), o conjunto universo. 1.4 Subconjuntos Sejam e dois conjuntos. Dizemos que é subconjunto de ( ) ou está contido em se, e somente se, todo elemento que pertence a, pertence também a. Simbolicamente, escrevemos: ( x ) ( x x ) Graficamente, temos: Obs.: s representações gráficas acima são conhecidas como diagramas de Venn.

14 Exemplos: a) Se = {0, 1, 2, 3} e = { 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, pois todo elemento que pertence ao conjunto, pertence ao conjunto. b) Se = {0, 1, 2, 3} e = {0, 1, 2, 4, 6}, pois existe elemento que pertence ao conjunto e não pertence ao conjunto Propriedades I), Demonstração: Suponhamos que, então x / x, o que é um absurdo. Logo, podemos concluir que,. Podemos demonstrar essa propriedade usando a lógica matemática que veremos no próximo capítulo. Onde x x, que é verdadeiro, pois é uma condicional onde a hipótese é falsa. II),. Demonstração: Qualquer que seja x x. Logo,. III) Se e D D,,, D. Demonstração: Se x, x e se D x, x D. Logo, se x, x e se x, x D, então x, x D. Portanto, D. 1.5 Igualdade Entre Dois Conjuntos Dois conjuntos e são iguais se, e somente se, e. Simbolicamente, temos: = Α Β Β Α Em outras palavras, dois conjuntos e são iguais, quando todo elemento que pertence ao conjunto também pertence ao conjunto e vice-versa. Exemplo: = {r, o, m, a} e = {a, m, o, r} =. 1.6 Conjunto das Partes de um Conjunto Seja um conjunto, chama-se conjunto das partes de, P(), o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de. Simbolicamente, temos: P () = { X X } Exemplos: a) Se ={1, 2} P() = {, {1}, {2}, {1,2}} b) Se = {1,2,3} P() = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Observe que se tem n elementos P() tem 2 n elementos. No exemplo (a) o conjunto tem 2 elementos e P() tem 2² = 4 elementos, no exemplo (b) o conjunto tem 3 elementos e P() tem 2³ = 8 elementos.

15 16 Exercícios de Fixação 1- Sejam os conjuntos = {a, e, i, o, u} e = {x / tal que x é um número par}. Complete com os símbolos ou as afirmativas abaixo: a) a... b) f... c) 3... d) 4... e) i... f) Sejam os conjuntos R = {r, s, t }, S = {s} e T = {s, t, u}. Complete com os símbolos ou : a) R... S b) S... R c) S... T d) R... T e) T... S 3- Quais dos conjuntos dados a seguir são unitários e quais são vazios: a) = {x x 2 = 4 }. b) = {x N x + 1 = 0}. c) C = {x Z * x 2-2x = 0}. d) D = {x 5x 2 + 6x + 1= 0} e) E = {x 2x = -1-2x 2 } 4- Descreva os conjuntos por meio de uma propriedade: a) {0, 1, 2, 3,..., 9} b) { 1, 1} c) {1, 4, 9, 16, 25,...} 5- Seja = {2, 3, 4, 5} e seja = {x tal que x é natural e x é par}. é um subconjunto de? Justifique. 6- Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras e falsas: a) {x 0.x = 0 e x } = N b) Se e C C 7- Construir o conjunto das partes do conjunto = {a, b, c}: 8- ssociar V (verdadeiro) ou F (falso) a cada uma das seguintes sentenças: ( ) 2 {0, 1, 2, 3, 4} ( ) { 1 } ( ) { 2 } {0, 1, 2, 3, 4} ( ) { 1 } {1, {1}} ( ) { 0 } ( ) {1, 2} {1, 2, 3, 4} ( ) { 0 } ( ) {1, 2} {{1,2}, {3}, {4}} 1.7 Operações Entre Conjuntos Vamos realizar operações entre conjuntos, admitindo-se que os conjuntos envolvidos são, todos, subconjuntos de um mesmo conjunto universo U. Vamos ver União, Intersecção, Diferença, Complementar e Diferença Simétrica União ou Reunião Dados dois conjuntos e, chama-se reunião de e, denotada por, ao conjunto constituído pelos elementos que pertencem a ou a. Simbolicamente, temos: = {x U x x } Exemplos: a) Se os conjuntos e são partes do plano representados pelas figuras, temos que é a região sombreada:

16 a.1) a.2) a.3) 17 b) Sejam = {a, b, c, d} e = {f, a, g, n, b}. Então, = {a, b, c, d, f, g, n} c) Sejam = {2, 4, 6, 8,...} e = {1,3,5,7,...}. Então, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} d) {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} È {6, 7, 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Intersecção Dados dois conjuntos e, chama-se intersecção de e, denotada por, ao conjunto constituído pelos elementos que pertencem a e a, simultaneamente. Simbolicamente, temos: = {x U x x } Exemplos: a) Se os conjuntos e são partes do plano representados pelas figuras, temos que é a região sombreada: a.1) a.2) a.3) b) Sejam = {a, b, c, d} e = {f, a, g, n, b}. Então, = {a, b} c) Sejam = {2, 4, 6, 8,...} e = {1,3,5,7,...}. Então, = d) {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} {3, 5, 7, 9} = { 3 } Propriedades da União e da Intersecção a) = (comutativa) b) ( ) C = ( C) (associativa) c) = d) = e) = se

17 18 f) = (comutativa) g) ( ) C = ( C ) (associativa) h) = i) φ = φ j) = quando k) ( C) = ( ) ( C) (distributiva) l) ( C) = ( ) ( C) (distributiva) s demonstrações das propriedades acima, que encontram-se nos livros-textos recomendados, devem ser pesquisadas e estudadas. Utilize também os respectivos diagramas de Venn para visualizá-las melhor Diferença Dados dois conjuntos e, chama-se diferença entre e, denotada por, ao conjunto constituído pelos elementos que pertencem a e não pertencem a. Simbolicamente, temos: - = {x U x x } Exemplos: a) Se os conjuntos e são partes do plano representados pelas figuras, temos que - é a região sombreada: a.1) a.2) a.3) b) Sejam os conjuntos = {0, 1, 2, 3, 4} e = {3, 4, 5, 6}, então = {0, 1, 2} e = {5, 6}; c) Sejam os conjuntos = {a, b, c} e = {d, e, f}, então = e = ; d) Se = {0, 1, 2} e = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, então = e = {3, 4, 5, 6} Complementar Dados dois conjuntos e, tais que, chama-se complementar de em relação a, denotado por C, o conjunto de todos os elementos que pertencem a mas não pertencem a, ou seja, -.

18 Exemplos: a) Se os conjuntos e são partes do plano representados pelas figuras onde, o complementar de em relação a é: 19 b) Sendo = {0, 1, 2, 3, 4} e = {2, 3}, então o complementar de em relação a é {0, 1, 4} Observação: É usual o complementar de em relação ao Universo ser dado por Exemplo: Dados = {a, b, d}, = {a, b, c, d, e} e U = {a, b, c,d, e, f, g}, vamos calcular: a) C = b) C = Solução: U _ a) = U = {c, e, f, g} b) = U = {f, g} U _ ou ' Propriedades do Complementar { ( )} { ( )} {( ) ou ( x U e x ) } ( i ) Se x e x U e x, x U e x ou x x U e x x ou x Seja x o conjunto. Logo, universo U,, U, e, então: { }. a) C b) C c) C d) = φ e) = U f) C φ U = φ e C = φ = = g) = h) = Os itens (g) e (h) são chamados Leis de Morgan. Vamos demonstrar uma das leis de Morgan: g) = Se provarmos que = temos que =. ( ii ) { x ou x } ( x U e x ) ou ( x U e x ) Se x. { } { x U e ( x ou x ) } { x U e x ( ) } x. Logo,.. ( iii ).. =

19 Diferença Simétrica Dados dois conjuntos e, chama-se diferença simétrica de com, o conjunto formado pelos elementos que estão só no conjunto, ou só no conjunto. Indica-se a diferença simétrica entre e por. Podemos escrever = ( ) ( ) ou = ( ) ( ). Exemplos: a) Se os conjuntos e são partes do plano representados pelas figuras, temos que é a região sombreada: b) Se = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e = {3, 4, 5, 6, 7, 8} = {0, 1, 2, 6, 7, 8 Exercícios de Fixação 1) Dados os conjuntos = {1, 2, 3}, = {2, 4, 5} e C = {2, 5, 6}. Determine: a) i) b) C j) c) C k) C d) C.. l) C e)... m) C f) C.. n) C g) C. o) ( ) C h) C.. p) ( C) 2) Sejam os conjuntos = {1, 2, 3, 4} e = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determine C : 3) Dados os conjuntos = {1, 2, 3, 4, 5}, = {1, 2, 4, 6, 8} e C = {2, 4, 5, 7}. Determine um conjunto X tal que X e X = C: 4) Três conjuntos, e C, são tais que: C = {1, 2}; = {1, 2, 3}; C = {1, 2, 4, 5}; C = {1, 2, 6}; ( C) = {7, 8} ( C) = {9} e C ( ) = {10}. Determine os conjuntos, e C: 5) Em uma escola, 40 alunos estudam Inglês, 30 estudam Francês e 20 estudam as duas línguas. Se a escola tem um total de 200 alunos, Quantos não estudam Inglês e nem Francês? 6) Em uma determinada cidade temos 3 marcas de sabão em pó favoritas, que aqui denominamos, e C. Sabese que: preferem o sabão da marca ; preferem o sabão ; preferem a marca C; preferem as marcas e ; preferem as marcas e C; preferem as marcas e C; preferem os três sabões.

20 Considerando que a cidade tem habitantes, responda: a) Quantos não utilizam nenhuma das três marcas? b) Quantos preferem somente a marca? c) Quantos preferem exatamente 1 marca? d) Quantos preferem pelo menos 1 marca? e) Quantos preferem exatamente 2 marcas? f) Quantas preferem pelo menos 2 marcas? g) Quantas não consomem a marca? h) Quantas não consomem a marca e nem a marca? 21 7) Dois conjuntos e são disjuntos se não possuem elementos em comum, ou seja, =. Verifique se os conjuntos = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...} e = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} são disjuntos: 8) Trace o diagrama de Venn para três conjuntos, e C não vazios, de tal maneira que, C e C = : Exercícios de uto-valiação 1) Dados os conjuntos = {1, 2, 3}, = {3, 4} e C = {1, 2, 4}, determinar o conjunto X tal que X e são conjuntos disjuntos e X = C: 2) Seja U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, = {1, 3, 5, 7, 9} e = {0, 2, 4, 6, 8}. Determine: a) b) c) d) e) f) 3) Numa classe de 200 estudantes, 80 estudam física, 90 biologia, 55 química, 32 biologia e física, 23 química e física, 16 biologia e química e 8 estudam as três. relação de matrículas está certa? Justifique a sua resposta: 4) Determine todos os subconjuntos de três elementos do conjunto = {0, 1, 2, 3, 4}: 5) Dados os conjuntos = {1, 3, 5}, = {0, 1, 2, 4}, D = {2, 4} e E = {3, 5}. Encontre: a) ( ) D b) ( ) E c) ( D) u (D E) d) ( ) (D E) e) (E ) (D ) 6) (UFMG) Os conjuntos, e têm, respectivamente, 10, 9 e 15 elementos. O número de elementos de é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

21 22 7) (FCMSC SP) Um conjunto possui n elementos e um conjunto possui um elemento a mais do que o conjunto. Sendo x e y o número de subconjuntos dos conjuntos e, respectivamente, tem-se que: a) y é o dobro de x b) y é o triplo de x c) y = x + 1 d) y = x 1 e) y pode ser igual a x 8) (VUNESP SP) Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20, de História. O número de alunos desta classe que gostam de Matemática e de História é: a) exatamente 16 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18 9) (PUC 1974) Considerando e dois conjuntos de um mesmo universo U. existem elementos de que pertencem ao conjunto. Então pode-se afirmar que: a) é subconjunto de b) é subconjunto de c) e são disjuntos d) e) nenhuma das anteriores

22 UNIDDE II 23 NOÇÕES DE LÓGIC MTEMÁTIC 2.1 Introdução Lógica Matemática é normalmente considerada a ciência do raciocínio e da demonstração. Esta área da Matemática desenvolveu-se no século XIX, através, principalmente, das idéias de George oole, matemático inglês ( ), criador da Álgebra ooleana, que usa símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações. lógica matemática estuda afirmações verbais ou simbólicas que exprimem pensamentos com respeito a fatos que ocorrem nos mais diversos tipos de problemas e situações do cotidiano. Um dos seus princípios básicos, chamado de Princípio do Terceiro Excluído, é que estas afirmações ou são verdadeiras ou são falsas, isto é, nunca ocorrerá uma terceira possibilidade diferente destas. O outro princípio básico, chamado de Princípio da não-contradição, é que estas afirmações não podem ser ao mesmo tempo falsas e verdadeiras. 2.2 Proposições Chamamos proposição ou sentença todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um sentido completo. Toda proposição tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira ou é falsa. Devemos observar que toda proposição é declarativa (não é exclamativa e nem interrogativa). Exemplos: a) 125 é um cubo perfeito ( verdadeira ). b) = 8 (falsa) Proposições Simples Possui como parte integrante de seu corpo apenas uma afirmativa. s proposições simples, em geral, são denotadas por letras minúsculas p, q, r,... Exemplos: a) p: 125 é um cubo perfeito. V(p) = V (O valor lógico da proposição p é verdade) b) q: = 8. V(q) = F (O valor lógico da proposição q é falsa) Proposições Compostas Possui como parte integrante de seu corpo duas ou mais proposições simples. s palavras utilizadas para formar ou combinar as proposições são chamadas conectivos. Os conectivos usuais da Lógica Matemática são: e, ou, se... então, se e somente se, não. s proposições compostas, em geral, são denotadas por letras maiúsculas P, Q, R,...

23 24 Exemplos: P: Se Carlos é jornalista então ele não sabe Matemática. Q: x > 3 se e somente se x > 3 ou x < -3. Observações: 1ª) Se a proposição composta P é formada por uma seqüência de proposições simples p, q, r,... escreve-se a proposição P como P (p, q, r,...). Ex.: proposição P: Se Carlos é Jornalista então ele não sabe matemática é formada pelas proposições simples p e q dadas por p: Carlos é Jornalista e q: ele não sabe Matemática. Isto é, a proposição P é escrita como P (p, q). 2ª) Indica-se o valor lógico de uma proposição simples p por V(p) e de uma proposição composta P por V(P). 2.3 Negação É a proposição utilizada para negar a proposição p. Simbolicamente, representamos a negação da proposição p por ~p. Exemplo: Seja a proposição p: Carlos fala Inglês. Então, a proposição ~p é representada em linguagem corrente por: P: Carlos não fala Inglês. tabela verdade de ~p é elaborada da seguinte forma: p ~p V F F V Observe que a proposição ~p tem sempre o valor lógico oposto de p, isto é, ~p é verdadeira se p é falsa e ~p é falsa, se p é verdadeira. Exemplo: Seja a proposição p: = 5. negação da proposição p é dada por ~p: Observe que V(p) = F e V(~p) = V. 2.4 Conjunção É a operação utilizada para combinar pela palavra e duas proposições simples para formação de uma proposição composta. Simbolicamente, representamos a proposição composta P, obtida pela combinação p e q das proposições simples p e q, por: P: p q. Exemplos: a) Sejam as proposições p: Carlos fala Inglês e q: Carlos fala lemão. Então, a proposição composta P: p q é representada em linguagem corrente por: P: Carlos fala Inglês e lemão. b) Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante. Então, a proposição composta P: Marcos é alto e elegante é representada em linguagem simbólica por: P: p q. Para estabelecermos se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, consiste em organizar uma tabela denominada Tabela verdade da proposição.