TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I ANÁLISE COMBINATÓRIA E BINÔMIO DE NEWTON. Prof. Rogério Rodrigues

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1 0 TÓPICOS DE REVISÃO MATEMÁTICA I ANÁLISE COMBINATÓRIA E BINÔMIO DE NEWTON Prof. Rogério Rodrigues

2 1 1.1) Princípio multiplicativo da contagem : Exemplo ilustrativo 3: Quantos numerais de três algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6 a) podendo repeti-los? b) sem repeti-los? a) Trata-se de um problema composto de 3 etapas, ou seja, preencher as três casas, de acordo com o enunciado, formando o numeral. Vejamos o número de possibilidades de cada casa(etapa): - para a primeira casa, eu posso começar com qualquer um dos 7 algarismos dados, exceto o zero, são 6 possibilidades; para a segunda casa,já que pode haver algarismo repetido, eu tenho agora 7 possibilidades (o zero já pode) e para a última casa(etapa),eu também tenho 7 possibilidades. Como cada possibilidade de uma casa combina com as outras possibilidades das outras casas, temos o produto da possibilidades como resposta, ou seja, = 294 numerais. b)o caso é análogo ao anterior com uma diferença: se não pode haver repetição, temos 6.6.5= 180 numerais. Se um experimento é composto de etapas independentes a,b,c,... com possibilidades P a, P b, P c,..., respectivamente, então o número de modos de se realizar esse evento é o produto das possibilidades das etapas, ou seja, P a. P b.p c... Exemplo ilustrativo 4: Uma repartição pública faz seu atendimento obedecendo as seguintes prioridades na formação da fila: Em primeiro lugar, são atendidos os portadores de necessidades especiais, depois os idosos, depois o resto das pessoas, por ordem de chegada. Num determinado dia, há 9 pessoas para serem atendidas, entre as quais, 3 com necessidades especiais e 2 idosos. De quantos modos distintos se pode montar a fila de atendimento? A fila tem 9 posições, ou seja, são 9 etapas.cada etapa tem seu número de possibilidades de preenchimento: Como são 3 pessoas com necessidades especiais, as três primeiras etapas têm possibilidades 3, 2 e 1; em seguida, os idosos, com possibilidades 2 e 1. as últimas etapas obedecem a ordem de chegada que é única, ou seja, 1,1,1 e1. Então, são = 12 modos de se formar a fila. Exemplo ilustrativo 5: Suponhamos que numa rifa todos os números dos bilhetes são formados, como no Exemplo ilustrativo 3, apenas com 3 algarismos do conjunto

3 2 {0,1,2,3,4,5,6}, podendo haver repetição de algarismos.se você comprar todos os bilhetes de números formados apenas com algarismos distintos, qual é a sua chance de ser sorteado? Na resolução do citado exemplo, vimos que o número total de numerais possíveis é 294 e o número de numerais com algarismos distintos é 180. Então, a probabilidade pedida é P = = = ,22%. Exemplo ilustrativo 6: Considere o Exemplo ilustrativo4. Qual é a probabilidade de, no citado dia, a fila ser formada com os idosos em ordem decrescente de idade? Neste caso, teríamos, na ala dos idosos, todo mundo numa única ordem determinada. Então, seriam 6 1 = = 6 modos. A probabilidade seria P = = 50%. 1.2) Arranjos, Permutações e Combinações : Dado um conjunto finito {a 1, a 2, a 1, a 2,..., a n-1, a n } com n elementos, faz-se o reagrupamento desses elementos em subconjuntos com p elementos distintos, p n : 1 o ) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, são diferentes apenas pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de ARRANJOS. Neste caso, temos p A n ou A n, p Arranjos de n elementos tomados de p em p. 2 o ) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, não são diferentes apenas pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de COMBINAÇÕES. Neste caso, temos p C n ou C n, p ou n p Combinações de n elementos tomados de p em p. Exemplo ilustrativo 7: Verifique a diferença entre as duas situações aparentemente iguais a seguir: 1 a ) Formar números de 4 algarismos distintos usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 2 a ) Formar grupos de 4 pessoas usando as pessoas: Lucas, Mateus, Luísa, Mariana, Ana e Tiago. Na 1 a situação, os números (agrupamentos) formados com os mesmos algarismos se diferenciam apenas pela ordem. Por exemplo, 1234 e 4321 são números diferentes. Tratase de contar os ARRANJOS

4 3 de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos são eles? Basta usar o Princípio da Contagem, ou seja, A 6, 4 = = 360 números. Na 2 a situação, os grupos (agrupamentos) formados com as mesmas pessoas não se diferenciam apenas pela ordem. Por exemplo, o grupo{lucas, Mateus, Luísa, Mariana}é igual ao grupo{mariana, Luísa, Mateus, Lucas }. Trata-se de contar as COMBINAÇÕES de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos são elas? Basta usar o Princípio da Contagem, corrigindo as repetições. Neste caso, cada grupo de 4 pessoas seria contado vezes repetido. Então, basta dividir o cálculo do Princípio da Contagem por , ou seja, C 6,4 = = = grupos. Dado um número natural n, chama-se FATORIAL DE n o produto assim indicado: n! = n.(n 1).(n 2).(n 3) Por exemplo: a) 5! = = 120. b) 7! = = ! c) Simplificar. 10! 12! ! ! / Tem-se = = = = ! 10! 10! / OBSERVAÇÕES: 1! = 1 e 0! = 1 Exemplo ilustrativo 8: Sete cavalos A, B, C, D, E, F e G disputam um páreo. Quantas são as classificações possíveis a) para os cinco primeiros lugares? b) para os cinco primeiros lugares, se os cavalos A e B chegarão entre os cinco primeiros? Resolução : a) São arranjos de 7 cavalos de 5 em 5, já que, por exemplo, o resultado ABCDE é diferente de EDCBA. Então, temos A 7,5 = = resultados possíveis. b) São cinco etapas, das quais duas serão ocupadas pelos cavalos A e B; as outras três etapas poderão ser ocupadas pelos cinco cavalos restantes. Então, temos A 5,2.A 5,3 = = resultados. Exemplo ilustrativo 9: Uma empresa de projetos dispõe de 3 diretores, 5 coordenadores e 6 arquitetos. De quantos modos essa empresa pode montar, com esses funcionários, uma comissão composta de a) 9 pessoas? b) 9 pessoas, tendo 2 diretores, 4 coordenadores e 3 arquitetos? c) 9 pessoas, tendo pelo menos dois diretores?

5 Resolução : a) Trata-se de combinar 14 pessoas de 9 em 9, ou seja, C 14,9 = modos. b) C 3,2.C 5,4.C 6,3 = 3.2/ / / / / x x 2.1 / / / / / / 4 =300 modos / / / / / / / / / / / / / / / =2.002 c) Então são duas hipóteses, pois pelo menos 2 significa 1 ou 2 diretores. Então, somaremos as possibilidades, assim, C 3,2. C 12,7 + C 3,3. C 11,6 = / / / / / / / / / / / / / / = 759 modos. 3.2/ 2.1 / / / / / / / / / / / / / / Exemplo ilustrativo 10: De quantos modos diferentes se pode formar uma fila com 6 pessoas A, B, C, D, E e F, sabendo que a) as pessoas A e B, nessa ordem, ficarão nos primeiros lugares? b) as pessoas A e B ficarão nos primeiros lugares? c) as pessoas A e B ficarão lado a lado nesta ordem? d) as pessoas A e B ficarão lado a lado? Resolução : a) Os dois primeiros lugares estão ocupados com as pessoas A e B, nesta ordem. Então, temos as quatro pessoas restantes para agrupar de 4 em 4, ou seja, A 4,4 = =4!= 24 modos. b) Neste caso, há duas hipóteses para os dois primeiros lugares: AB ou BA; em cada hipótese, teremos ainda que agrupar as quatro pessoas restantes de 4 em 4. Então, serão 2.4! = 48 modos. c) Ficando lado a lado, nesta ordem, A e B serão um bloco único e, das seis etapas, teremos apenas 5, ou seja, 5! = 120 modos. d) Neste caso, há duas hipóteses de A e B ficarem lado a lado: AB ou BA; Em cada uma delas, tem-se ainda 5 etapas, ou seja, serão 2.5! = 240 modos. + Todo arranjo em que o número de elementos dados (n) coincide com o número de elementos dos agrupamentos formados (p), ou seja, n = p, chama-se PERMUTAÇÃO. Para esse caso, tem-se A n,n = P n = n! OUTRAS FÓRMULAS : ARRANJOS: A n,p = n(n -1)(n - 2)(n - 3)...(n - p + 1) OU A n,p = n! (n - p)!

6 5 COMBINAÇÕES: C n,p = n = p n! p!(n - p)! Exemplo ilustrativo 11: Quantos números pares podemos formar com 4 algarismos distintos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}? São quatro etapas em que a primeira não pode ser zero e para a última temos três possibilidades: 0, 2e 4. Então, serão, 5.C 4,2.3 = 4! !.3 / 5..3 = (4 2)! 2! / =180 números. Exemplo ilustrativo 12: Uma sorveteria oferece os seguintes sabores de sorvetes: Morango, Chocolate, Baunilha, Limão, Leite condensado e Doce de leite. De quantos modos posso preencher uma casquinha com 4 sabores distintos, se 2 deles serão Limão e Baunilha? Teremos C 4,2 = 4! 2!.(4-2)! 4.3.2! / 12 = 2!.2! / 2 = = 6 modos. 1.3) Permutações especiais : 1.3.1) Permutações com repetição: Exemplo ilustrativo 13: As senhas do sistema de segurança de uma empresa mudam todos os dias; em cada dia, sorteia-se, no final do dia, um número de 8 algarismos que dará origem às senhas válidas para o dia seguinte: todas as senhas são permutações dos algarismos do número sorteado. Num determinado dia, o número sorteado foi ; quantas senhas diferentes foram geradas nesse dia? Se fizermos simplesmente P 8 = 8!, estaremos contando repetidamente cada senha formada : - Como o algarismo 2 aparece duas vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa repetição isolada, 2! Repetições de cada senha contada; - Como o algarismo 3 aparece três vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa repetição isolada, 3! Repetições de cada senha contada; - Como o algarismo 5 aparece duas vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa repetição isolada, 2! Repetições de cada senha contada; Então, corrigindo as possíveis repetições, teremos que o número de senhas diferentes! geradas nesse dia foi =. = senhas.!.!.!"

7 Em geral, para permutações com números de repetições de elementos distintos α, β, λ,... tem-se: ) Permutações circulares :,β,λ,! =!β!λ! Exemplo ilustrativo 14: Quatro pessoas vão se posicionar sentados em círculo. De quantos modos isso é possível? Quatro pessoas geram 4!, ou seja, 24 permutações mas, dispostas em círculo, várias delas são repetidas. Observe, por exemplo, no sentido horário, a permutação ilustrada abaixo: A C D B No sentido horário, teremos os posicionamentos ADBC, DBCA, BCAD e CADB, começando, respectivamente por A, D, B e C.Mas essas formações são uma só. Então, para cada permutação, teremos 4 repetições e o número de posicionamentos distintos será! =.! = 3! = 6 posicionamentos. De um modo geral, a permutação circular de n elementos é calculada por: P c =! ou P c = (n 1)! Exercícios Propostos: 1) (CESCEA) Um automóvel é oferecido pelo fabricante com 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões standard, luxo e superluxo, quantas são as alternativas para o comprador? 2) (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, qual é o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente?

8 7 3) (UFMG) Um teste é composto de 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter, pelo menos, 80% dos acertos, qual é o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas? 4) (UFMG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Neste caso, qual é o número de maneiras diferentes de se fazer a programação da semana? 5) ( UFMG) Um aposentado realiza diariamente, de Segunda a Sexta-feira, estas cinco atividades: a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; c) passeia com o cachorro da família; d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; e) rega as plantas de jardim de sua casa. Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, qual é o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco atividades? 6) (UFCE) Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre e que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos? 7) (UnB DF) Seis pessoas A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra para uma fotografia. Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em ficar em pé uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades para as seis pessoas se disporem? 8) (FGV-SP) Quantos números ímpares de 4 algarismos, sem repetir algarismo num mesmo número, podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8? 9) (MACK-SP) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, qual é o número de modos diferentes para se montar a composição? 10) (UFBA) Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre, num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos deveriam trocar de lugar. Qual é o número de arrumações possíveis dos 4 jogadores durante a viagem?

9 8 11) (FGV-SP) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor? 12) (UFMG) Dadas duas retas paralelas, marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a outra. Qual é o número de triângulos que podemos formar ligando esses 11 pontos? 13) (UFMG) Numa competição esportiva, dez atletas disputam os três primeiros lugares Admitindo que não haja empate, quantos resultados são possíveis para as três primeiras colocações? n! + (n -1)! 6 14) (PUC-MG) Qual é o valor de n na equação =? (n + 1)! - n! 25 15) (CESCEM-SP) As placas dos automóveis são formadas por duas letras e quatro algarismos. Qual é o número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, Sem repetir nenhum algarismo? 16) (UFBA) Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro. Qual é o número de resultados possíveis para essa eleição? 17) (UFCE) O mapa de uma cidade é formado por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar esse mapa com as cores vermelha, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantos modos distintos isso pode ser feito? 18) (ITA-SP)- Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual será a posição do número ? 19) (FGV-SP) Quantos anagramas da palavra sucesso começam com s e terminam com o? 20) ( FEI-SP) Quantas diagonais possui um dodecágono? 21) (PUC MG) - Os habitantes de certa ilha têm predileção por uma loteria na qual o jogador deve escolher pelo menos 5 das 35 letras que compõem o alfabeto utilizado no lugar. Vence o jogo quem acertar as 5 letras sorteadas independentemente da ordem do sorteio. Pela aposta em uma quina, o jogador paga um pin, unidade monetária da ilha. Caso um apostador decida aumentar suas chances de ganhar marcando 7 letras, quanto deverá pagar pelo jogo, em pins? 22) (PUC MG) - As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M = {3, 4,6,7,8}. Nessas condições, qual é o número máximo de apartamentos desse hotel?

10 9 23) (PUC MG) - Com os elementos de A = {0,2,5,6}, é possível formar x números naturais compreendidos entre 100 e 1000, sem que haja algarismos repetidos em um mesmo número. Sendo assim, qual é o valor de x? 24) (UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. Qual é o número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha? 25) (UFMG) Na figura a seguir, qual é o número de ligações distintas entre X e Z? 26) (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se pode fazer tal distribuição? 27) (UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? 28) (UFMG) - A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão? 29) (UFMG) - A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? 30) (CEFET - MG) - Em um bar vende-se três tipos de cervejas: S, B e K. Qual é o número de maneiras diferentes que uma pessoa pode comprar quatro garrafas dessas cervejas?

11 10 31) (CEFET - MG) - Um teste possui 10 questões com apenas duas opções de respostas: (V) verdadeira ou (F) falsa. Para se obter pelo menos 70% de acertos, qual é o número de maneiras diferentes de marcar o gabarito? 32) (CEFET - MG) - De um pequeno aeroporto saem 7 vôos por dia, com diferentes destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. Por motivos técnicos, dois desses sete vôos só podem sair à tarde. Qual é o número de ordens possíveis para as decolagens? 33) (CEFET - MG) - Num plano, existem vinte pontos dos quais três nunca são colineares, exceto seis que estão sobre uma mesma reta. Qual é o número total de retas determinado pelos vinte pontos? 34) (CEFET - MG) - Para se compor uma diretoria são necessários 6 membros, sendo um presidente e um vice-presidente. Sabendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos, qual é o número de maneiras distintas para se pode formar essa diretoria? 35) (CEFET - MG) -A senha de um banco é constituída de 4 algarismos escolhidos entre os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua senha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo par e terminaria por algarismo ímpar, e que a parte literal teria início e término com vogal. Qual é o número de possibilidades que esse cliente poderia criar para sua senha? 36) (CEFET - MG) - O Conselho de Administração de um sindicato é constituído por dez pessoas, das quais uma é o presidente. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos pelos conselheiros, sendo que o presidente do conselho e o da diretoria não devem ser a mesma pessoa. Calcule o número de maneiras diferentes para compor os cargos. ************************************************************************ RESPOSTAS : 1) 42 2) 56 3) 576 4) 720 5) 60 6) 66 7) 144 8) 840 9) ) 24 11) 55 12) ) ) n = 5 15) ) 72 17) 60 18) 76 a 19) 60 20) 54 21) 21 22) 50 23) 18 24) 61 25) 41 26) 27) (5!) 3.3! 28) 4 (7!) 4!.6! 31) ) ) ) ) ) ! 14! 29) 55 30) 15

12 11 2) BINÔMIO DE NEWTON 2.1) Números Binomiais (Triângulo de Pascal): A fórmula de Combinação é comumente escrita assim : =!!! Esse resultado recebe o nome de Número binomial ou Coeficiente binomial. Os números binomiais podem ser dispostos em forma matricial, ou seja, Números com o mesmo numerador n na mesma linha; Números com o mesmo denominador p na mesma coluna. Essa matriz é o TRIÂNGULO DE PASCAL ou de TARTÁGLIA :

13 12 Os respectivos valores calculados são: No triângulo acima, observe, por exemplo, que ) Na mesma linha os números equidistantes são iguais, ou seja! ". 2) Dois números consecutivos da mesma linha têm soma igual ao que se encontra na vertical entre eles na linha seguinte, ou seja # = $% $% $%. 3) Todo número de denominador nulo vale 1, assim como todo número de numerador e denominador iguais também vale 1, ou seja, & ' ( = 1 e & (!% 4) A soma dos números de uma mesma linha é uma potência de 2, ou seja, & ' (#& % (#& (# #& ) "% (#& ( = 2n 5) Todo número de denominador igual a 1 vale o próprio numerador, ou seja, & % (!. Exemplos Ilustrativos: 15) Resolva a equação & * + (!&* + ) (. Há duas hipóteses em que esses números são iguais: 1 a ) x = x 2 x(x 1) =0, em que x =0 ou x = 1. 2 a ) são binomiais complementares e x + x 2 = 6 x 2 + x 6 = 0 = = 25 e x= 2 ou x = -3. Então, o conjunto solução da equação é S = {0, 1, 2}, já que -3 não convém pois faz o denominador ficar negativo ou maior do que o numerador.

14 13 16) Usando apenas as propriedades enunciadas, calcule a soma 5 2 #5 3 #6 4 #7 5 #8 6 # Segundo a propriedade 2, enunciada acima, temos que & / (#&/ (!&0 (, &0 (#&0 ( = &1 (, &1 (#&1 / (!& / (, & / (#& 0 (!&2 0 (, & 2 0 (#&2 1 (!&3 ( e, pela propriedade dos complementares,,&3 1 1 (. &3 (. Portanto, a soma vale 0. 17) Um salão de festas tem 10 portas. De quantos modos distintos pode-se abrir este salão? Para que o salão fique aberto é necessário que se abra, pelos menos 1 porta,ou seja, 1, 2, 3,..., 8, 9 ou 10 portas. Portanto, basta calcular de quantos modos se abre 1 porta, 2 portas,..., 9 portas ou 10 portas: & 3 3 (#&3 (# #&3 2 (#&3 3 ( = 210 -& 3 ( = = modos. 3 18) Prove que! ". Temos que =!!! e " =! =!.! $!!! 19) Prove que # = $% $% $%. Desenvolvendo o lado esquerdo da equação, temos:!!! +! =! $3!! "3!! " 3! +! $3! "3!. Reduzindo-se ao mesmo denominador, tem-se $3! $ "! = $3! = $3"!""3! $3!"! $3 $3.

15 14 2.2) Binômio de Newton : Vamos escrever o desenvolvimento de potenciação com binômios do tipo (a + b), usando o seguinte artifício algébrico: Que em cada termo do desenvolvimento, apareça potências de a e de b. a) ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = 1a 2 b 0 + 2a 1 b 1 + 1a 0 b 2. Como os coeficientes 1, 2 e 1 são os valores dos números binomiais da linha de numerador 2, no Triângulo de Pascal, temos, finalmente : (a + b) 2 = & (4 5 # & 3 ( # 4 5 & ( b) ( a + b) 3 = 1a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + 1a 0 b 3 = & (4 5 #& 3 (4 5 3 #& (43 5 #& (4 5 Analogamente, teremos: c) ( a + b) 4 = & (4 5 #& 3 (4 5 3 #& (4 5 #& (43 5 #& (4 5 Generalizando, temos: (a + b) n = 7' a n p b p = & ' (8 9 ' #& % (8 % 9 % #:# & (8' 9 Exemplos Ilustrativos : 20) Desenvolva ) + # +) 4. Temos que o primeiro termo(a) é ; ou 2x -1 e o segundo (b) é x 2. Então, teremos: ) # + +) 4 = & (2<"3 < #& 3 (2<"3 < 3 #& (2<"3 < # +& (2<"3 3 < #& (2<"3 <. ) +. +) 4 = 30 ; = + ; +24x2 + 8x 5 + x 8 21) Determine o termo em x 2 no desenvolvimento de > +. )+)?.

16 15 Pela fórmula da página anterior, percebe-se dois detalhes importantes comuns a todos os termos do desenvolvimento binomial 1 o ) A ordem de cada termo tem sempre 1 unidade a mais do que o valor de p, ou seja, o primeiro termo tem p=o, o segundo termo tem p = 1,..., o enésimo termo tem p igual a n 1. Então um termo qualquer é sempre T p+1. Assim, por exemplo, o sexto termo tem p igual a 5, é T 6. 2 o ) O primeiro termo sempre aparece elevado a n p e o segundo termo sempre aparece elevado a p. Então, Qualquer termo do desenvolvimento de (a + b) n é do tipo T p + 1 = a n p.b p Voltando ao problema proposto, tem-se: T p + 1 = 1 > + 1 ",(-2x 2 ) p = p. x p 7.(-2) p. x 2p = p. (-2) p. x 3p - 7 Como o termo pedido tem x 2, temos 3p 7 = 2 p = 3 e será o quarto termo. Logo a resposta é T 4 =& 1 ( (-2) 3. x T 4 = x 2. 22) Prove que & ' (#& % (#& (# #& ) "% (#& ( = 2n. Sabemos que (a + b) n =& (4 5 #& 3 ( #:# & (4 5 para todo a e b reais. Então, se a = b = 1, temos (1 + 1) n = & (1 1 #& 3 ( #:# & (1 1, ou seja, & ' (#& % (#& (# #& ) "% (#& ( = 2n Exercicios Propostos: 1) (FGV SP) Sabendo que x e y são números positivos, x y = 1 e x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y xy 3 + y 4 = 16, calcule o valor de x. 2) (UFCE) Determine o coeficiente do termo em x 3 no polinômio P(x) = (x 1).(x + 3) 5 3) (UFCE) Sejam α e β números reais. Suponha que, ao desenvolvermos (αx + βy) 5, os coeficientes dos monômios x 4 y e x 3 y 2 sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Qual o valor de A?

17 16 4) (PUC PR) Sabendo que o desenvolvimento de B2<. ; C possui 7 termos e que um deles é 240ax 6, calcule o valor de a. 5) (Unifor CE) Qual o termo independente de x no desenvolvimento de < # ; D3? 6) (UFOP MG) Se o número binomial & ( é o dobro do número binomial & E E"3 (, determine n em função de k. 7) (ITA SP) Considere o conjunto S = { (a, b) N x N : a + b = 18}. Calcule a soma de todos os números da forma 3!, (a, b) S. 8) (UFOP MG) Seja a Fórmula do Binômio de Newton (a + b) n = H7' & H ( a n i b i, válida para qualquer a,b R e n I J $. Então, com base na fórmula acima K7. A) deduza uma fórmula para calcular & K ( B) determine o número de subconjutos que se pode formar a partir de um conjunto com 6 elementos. 9) (UFSJ São João Del Rey) A fórmula conhecida como binômio de Newton estabelece que (a + b) n = & ' (8 9 ' #& % (8 % 9 % #:# & (8' 9 em que a e b são números reais, n é número natural e & E (!!. Escolhendo valores F!G! E! E! adequados para a e b, use a fórmula acima para calcular o valor da expressão abaixo: & (# & 3 (#& (# # & # 2 3 #2 32 # 2 (# & ( 10) (UFES) Qual é o valor do termo independente de x no desenvolvimento de < # 3 ; 0.<. 3 ; 0? 11) (UFOP - MG) Qual é a ordem e o coeficiente do termo em x 2 no desenvolvimento de < # 3 M 0? ; 12) (FGV SP) No desenvolvimento do binômio (a + b) n + 5, ordenado segundo potências decrescentes de a, o quociente entre o termo que ocupa a (n + 3)-ésima posição por aquele que ocupa a (n + 1)-ésima é G D F D, isto é N O P M = GD N O P Q F D. calcule o valor de n. 13) (Mackenzie SP) Qual é o termo independente de x no desenvolvimento de (3 + 6x 2 ) 11?

18 17 14) (ITA SP) Sabendo que a soma dos coeficientes do polinômio em x e y obtido no desenvolvimento de (x + y) m é igual a 1.024, calcule o número de arranjos de m elementos tomados 2 a 2. 15) (UECE) Calcule a soma das soluções da equação & 3 0 (! & 3 ; " 3 (. 16) (ITA SP) Resolva a equação & 3/ ; " 3 (! & 3/ ; $ 3 (. ************************************************************************ Respostas: 1) x = 2) 180 3) 4) 5) ) n = 3k 1 7) ) A) 2 n B) ) ) 4 o termo, 20 12) 6 13) T 1 = ) 90 15) 5 16) S = {5} 9) 3/