Princípio de Análise Exercícios de Matemática

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1 Princípio de Análise Exercícios de Matemática David Armando Zavaleta Villanueva Durante a elaboração deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da FAPERN.

2 Prefácio Estas notas foram escritas durante os dois anos de experiência lecionando a disciplina análise para o curso de bacharelado em matemárica no departamento de Matemática da UFRN. A publicação desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.

3 Sumário Introdução 5 Preinares 6. Elementos da Teoria de Conjuntos Definições Principais Operações sobre Conjuntos Produto Cartesiano Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumerávies Funções Números Reais 4 3. Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q Números Reais Números irracionais Propriedade Arquimediana Valor Absoluto de um Número Real Intervalos R não é Enumerável Sequências e Séries Numéricas 8 4. Progressão Aritmética Progressão Geométrica Definição de Sequências Numéricas Sequências Monótonas Limite de uma Sequência Operações com Sequências Existência do Limite de uma Sequência Monótona Limitada O número e Critério de Cauchy para a Existência do Limite Teorema de Weierstrass Séries Numéricas Definições Básicas Operações com Séries

4 4..3 Séries com Termos Positivos. Critérios de Convergência Séries Alternadas. Teorema de Leibnitz Funções e suas Propriedades Conceitos Básicos Função Inversa Função Composta Algumas Funções Elementares Função Par e Função Ímpar Função Limitada Propriedades das Funções Limitadas Funções Monótonas Máximos e Mínimos de uma Função Funções Periódicas Funções Convexas Propriedades das Funções Convexas Gráficos de Funções Propriedades e Gráfico das Funções Elementares Métodos Simples para Construir os gráficos das funções Transformação do Gráfico da Função y = f(x) Gráfico de Funções mais Complexas Topologia na Reta 7. Conjuntos Abertos Conjuntos Fechados Pontos de Acumulação Conjuntos Compactos Limite de uma Função. Continuidade de uma Função 8 8. Limite de uma Função Propriedades dos Limites das Funções Limites Infinitos Limites no Infinito Funções Contínuas Principais Teoremas sobre Funções Contínuas propriedades das Funções Contínuas num Intervalo Derivada e suas aplicações Definição da Derivada Principais Regras para Calcular a Derivada Interpretação Geométrica da Derivada Derivada das Funções Compostas e Inversas Tabela das Derivadas e Exemplos Análise das Funções e Construção de Gráficos Construção de Gráficos Formas Indeterminadas 0 0,

5 9.8 Aplicações da Derivada Integral e suas Aplicações Definição da Integral Somas de Darboux Relação entre a Integral Definida e a Integral Indefinida Propriedades da Integral Indefinida Tabela das Integrais Elementares Regra de Integração por Partes Regra de Mudança de Variáveis Propriedades da Integral Definida das Funções Contínuas Teorema do Valor Médio para Integrais O Teorema Fundamental do Cálculo Regra de Mudança de Variáveis Regra de Integração por Partes Aplicações da Integral definida Cálculo de Áreas Comprimento de Arco Cálculo de Volumes Referências Bibliográficas 80 4

6 Capítulo Introdução Este livro será um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de análise. Ele foi escrito fundamentado na experiência do ensino da disciplina de análise do curso de bacharelado em matemática da UFRN. No começo de cada capítulo damos as definições necessárias e uma breve teoria. O material teórico ilustra-se com um grande número de exemplos e problemas de diferentes dificuldades. No possível, os tipos de problema e metódos de sua solução são sistematizados. Em Cada final de capítulo propoem-se exercícios que podem ser resolvidos usando os métodos apresentados anteriormente. 5

7 Capítulo Preinares. Elementos da Teoria de Conjuntos.. Definições Principais A definição de conjunto desempenha um papel importante na matemática. A idéia de conjunto é intuitiva e tão amplia que resulta difícil dar uma definição exata, motivo pela qual, é comum associar a palavra conjunto com expresões como coleção, classe, sistema,etc. Designemos os conjuntos com letras maiúsculas: A, B, C,... e seus elementos com letras minúsculas:a, b, c,.... Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a A, se o elemento a não pertence ao conjunto A, denotamos por a / A. Definição.. Dizemos que um conjunto A é subconjunto de B ou A é parte de B quando todos os elementos que pertencem a A, também pertencem a B(não esta excluido o caso A = B). A notação que usamos para dizer que A é subconjunto de B é A B. conjuntos A e B são iguais se; Dizemos que dois A = B A B e B A É muito conveniente introduzir um conjunto que não possua nenhum elemento, que denotaremos por. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x R satisfazem + x = 0 é um um conjunto vazio, pois não existe nenhum número real que satisfaza a equação + x = 0. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto... Operações sobre Conjuntos Admitamos a existência de um a um conjunto universo U, isto é, o conjunto que contenha todos os conjuntos arbitrários com os quais desejamos trabalhar.. Reunião de Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se reunião de A e B, A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Em notação matemática podemos escrever a reunião de A e B como sendo o conjunto A B = {x U; x A ou x B}. 6

8 A B A U B Analogamente podemos definir a reunião de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos; se A α, α I, onde I =,, 3,... são conjuntos arbitrários, então α I A α é a coleção de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos A α.. Interseção de Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se interseção de A e B, A B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Em notação matemática podemos escrever a interseção de A e B como sendo o conjunto A B = {x U; x A e x B}. Analogamente podemos definir a interseção de qualquer número (finito ou infinito) de conjuntos; se A α, α I, onde I =,, 3,... são conjuntos arbitrários, então α I A α é a coleção de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos A α. Uma noção importante na interseção de conjuntos é a definição de conjuntos disjuntos: Diz-se que dois conjuntos A e B são conjuntos disjuntos quando sua interseção é vazia, ou de outra forma A B =. Evidentemente, podemos estender esta definição para uma família de conjuntos disjuntos: Uma família de conjuntos A α é dita de conjuntos disjuntos se α I A α =. 3. Diferença de dois Conjuntos Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferença de A e B, A\B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas não pertencem ao conjunto B. Em notação matemática podemos escrever a diferença de A e B como sendo o conjunto A\B = {x U; x A e x / B}. É conveniente introduzir também a chamada diferença simétrica de dois conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos arbitrários; chama-se diferença simétrica de A e B, A B ao conjunto 7

9 A B Figura.: A B A B Figura.: A\B 8

10 formado pelo união das diferenças A\B e B\A. Em notação matemática podemos escrever a diferença simétrica de A e B como sendo o conjunto A B = (A\B) (B\A). A B Figura.3: A B 4. Complementar de um Conjunto Seja A um conjunto arbitrário. O complementar de A, A é o conjunto diferença U\A. No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A e B dois conjuntos tais que A B; chama-se conjunto complementar de A em B, C A B definido por B\A = C A B. Na teoria dos conjuntos e suas aplicações desempenha uma ferramenta muito importante o chamado Príncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintes afirmações: O complementar da reunião é igual a interseção dos complementares ( ) A α = (A α ). α α O complementar da interseção é igual a união dos complementares ( ) A α = (A α ). α α 9

11 ..3 Produto Cartesiano Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto são enumerados não é muito importante, por exemplo os conjuntos {, 5, 7} e {5, 7, } são iguais. Entretanto há alguns casos em matemática em que a ordem dos elementos é importante. Um desses conceitos é o denominado par ordenado. Definição.. Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) é definido quando fica determinado que a será o primeiro elemento e b o segundo elemento. Por exemplo em Geometria Analítica o par ordenado (, 5) indica que é a primeira coordenada e 5 a segunda coordenada, e é diferente do par ordenado (5, ). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais quando; (a, b) = (c, d) a = c e b = d. Definição..3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B é o conjunto A B definido como A B = {(a, b); a A e b B}. Exemplo. Consideremos os conjuntos A = {, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos então; A B = {(, 3), (, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}...4 Conjuntos Finitos e Infinitos Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicar a propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o número de elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina de análise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campeões mundias de futebol, etc. Todos estes exemplos são conjuntos finitos. Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementos do primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de ser igual o número de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca, isto é, estabelecer uma correspondência que asigne a cada elemento de um conjunto um elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se o número de ciclistas e o número de bicicletas é igual, podemos sem contar o número de ciclistas e bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas estão sentados em sua respectiva bicicleta e não há bicicleta sobrando, então estabelecemos uma correspondência biunívoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles têm o mesmo número de elementos. Dizemos que um conjunto é infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ou quando ele não é finito. Assim, dado um conjunto finito arbitrário A, dizemos que B é infinito se não existe uma correspondência biunívoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitos podem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinômios com coeficientes racionáis, o conjunto de pontos entre a linha AB, etc. Proposição.. Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. 0

12 Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B A. Suponhamos A, caso contrário, B, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Mas como B A ou A, segue que B = e B é finito. Como A é finito, podemos contar seus elementos, isto é, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca com o conjunto {,,..., n}, e como B A, existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto B e o conjunto {l, l,..., l k }, onde k =,,..., n. Assim, B é finito...5 Conjuntos Enumerávies Seja N o conjunto dos números naturais. É fácil de ver, que se o conjunto A é finito, então é enumerável, pois podemos escrever A como A = {a, a,..., a n }. Em geral, dizemos que um conjunto é enumerável se existe uma correspondência biunívoca entre ele e o conjunto dos números naturais. Em otras palavras, um conjunto enumerável é um conjunto cujos elementos podemos escrever como uma sequência, a, a,..., a n,.... Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumeráveis. Proposição.. Todo subconjunto de um conjunto enumerável é finito ou enumerável. Prova: Sejam A um conjunto enumerável e B um subconjunto qualquer de A. Podemos escrever A como A = {a, a,..., a n,...}. E seja B = {a n, a n, a n3,...}. Se o máximo dos n k é um número finito, dizemos que o conjunto B é finito e portanto enumerável. Caso contrário, dizemos que B é enumerável. Proposição..3 A união de qualquer família de conjuntos enumeráveis é enumerável. Prova: Seja A α, α =,, 3,..., uma família de conjuntos enumeráveis disjuntos dois a dois, pois, caso contrário podemos considerar os conjuntos A, A \A, A 3 \(A A ),... cuja união é igual á α A α. Como os A α são enumeráveis, então podemos escrever; A = {a, a,..., a n,...} A = {a, a,..., a n,...} A 3 = {a 3, a 3,..., a 3n,...}. A n = {a n, a n,..., a nn,...}. Agora passemos a enumerar todos os elementos da união α A α em diagonais da seguinte forma; Tomemos o primeiro elemento a, o segundo elemento a, o terceiro elemento a, o quarto elemento a 3, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte gráfico; Desta forma, cada elemento de cada conjunto estará em correspondência com um número natural determinado, assim fica estabelecido uma correspondência viunívoca entre α A α e o conjunto dos números naturais. Para uma maior vizualização, podemos escrever α A α, como. A α = {a, a, a, a 3, a, a 3,...} α

13 a a a a 3 4 a 5 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. Funções No análise, o conceito de função é introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Diz-se que no conjunto A está definida uma função f com valores em B se a cada elemento x A corresponde um, e somente um elemento y B. A notação que usaremos para denotar que f é uma função de A em B é a seguinte; f : A B x f(x) a notação x f(x) é para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x). Definição.. O conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B chama-se contradomínio da função e os definiremos como D f = {x A; f(x) = y para algúm y B} e respectivamente. Im(f) = {y B; x A tal que f(x) = y} Definição.. Uma função f : A B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dados x, y A, f(x) = f(y) segue que x = y. Definição..3 Uma função f : A B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B, ou em outras palavras, para todo y B existe pelo menos um x A, tal que f(x) = y. É conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f é uma função do conjunto A sobre o conjunto B se f(a) = B; no caso geral, quando f(a) B, dizemos que f é uma função de A em B. Definição..4 Uma função f : A B chama-se bijetiva quando é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

14 No capítulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre funções. A pequena introdução feita acima será útil para mostrar algumas propriedades dos números naturais, inteiros, racionais e reais. 3

15 Capítulo 3 Números Reais 3. Números Naturais Nesta seção estabeleceremos a definição de número natural. Suponhamos a existência de um conjunto não vazio N, chamado de números naturais, para o qual valem os seguintes axiomas de Peano:. é um número natural. Cada número natural n possui um único sucessor, que denotaremos por n, n = n O número natural não é sucessor de nenhum outro número natural, n. 4. Se n e s são números naturais tais que n = s, então n = s. 5. Princípio de Indução Seja A(n) uma afirmação sobre n N, que cumpra as seguintes condições: A() é verdadeira, isto é, a afirmação vale quando n = Se A(k) é verdadeira, então A(k+) é verdadeira, isto é, supondo que a afirmação vale para n = k arbitrário, então é possível provar qua a afirmação vale para n = k +. Nestas condições a afirmação A(n) é verdadeira para qualquer n N. Observação 3.. Para todo n N, n. Definem-se em N duas operações: Adição (+) e Multiplicação ( ). Estas duas operações satisfazem as seguintes propriedades: Comutatividade: Sejam n, m N, então n + m = m + n, e n m = m n. 4

16 Associatividade: Sejam n, m, s N, então n + (m + s) = (n + m) + s, e n(m s) = (n m)s. Lei do corte: Sejam n, m, s N, se n + s = m + s, então n = s, n s = m s, então n = m. Distributibidade: Sejam n, m, s N, então n (m + s) = n m + n s. Usemos o príncipio de indução para mostrar a veracidade de algumas fórmulas que aparecem no conjunto dos números naturais N. Exemplo 3. Verifique a seguinte fórmula Prova: n (n + ) = Escrevamos os termos n (n + ) da seguinte forma: n, n N. n + =, 3 = 3, 3 4 = 3 4,..., n n (n + ) = n n +. Então, ( n (n + ) = = ) ( + ) ( ) ( n ) n + = n + = n n +. Usemos indução para provar a fórmula acima. Seja P (n) a afirmação n (n + ) = A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, n, n N. n + = +. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, k (k + ) + (k + ) (k + ) = = k k + + = (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) = k + k +. 5

17 Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3. Seja P (n) a seguinte afirmação, n 3 n é múltiplo de três, n N. Prova: Apliquemos de novo o método de indução. A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, 3 = 0 é múltiplo de 3. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, (k + ) 3 (k + ) = k 3 + 3k + 3k + k = k 3 + 3k + k = k 3 + 3k k + 3k = k 3 k + 3(k + k), como k 3 k é multiplo de três e 3(k + k) também, então a soma de dois múltiplos de três também é múltiplo de três. Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3.3 Seja P (n) a seguinte afirmação, Prova: Por indução, temos n = n(n + ) n N. A proposição vale para n =, isto é, P () é verdadeira, = ( + ) Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro. De fato, k(k + ) k + (k + ) = + (k + ) k(k + ) + (k + ) = (k + )[k + ] = (k + )[(k + ) + ] =. Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Exemplo 3.4 Seja P (n) a seguinte afirmação, n > n, n 5. Prova: Por indução, temos 6

18 A proposição vale para n = 5, isto é, P (5) é verdadeira, 5 = 3 > 5 = 5. Suponhamos que a afirmação P (k) é verdadeira, e mostremos que P (k + ) é verdadeiro, isto é, k+ > (k + ). De fato, escrevendo k+ = k > k, basta provar que Assim, que vale para k 5. k (k + ). k (k + ) = k + k + k k + k k + (k ) Logo P (n) é verdadeira para todo n N. Teorema 3.. N é fechado com relação a adição. Prova: dizer que N é fechado com relação a adição, significa que n, m N, n + m N. Consideremos o seguinte conjunto, M = {n N; n + m N, m N}. Usemos o príncipio de indução para mostrar o teorema. De fato, observamos que N, pois m + N desde que m N. Suponhamos que n N. Então mostremos que para m N, temos n + m N. assim, n + M e isto mostra que M = N. (n + ) + m = + (n + m) = (n + m) + N, Teorema 3.. N é fechado com relação a multiplicação. Prova: Consideremos o seguinte conjunto, M = {n N; nm N, m N}. Usemos o príncipio de indução para mostrar o teorema. De fato, observamos que N, pois m = m N desde que m N. Suponhamos que n N e fixemos m N. Então mostremos que nm N. (n + )m = mn + m, como n M, nm N e pela fechadura da adição em N, temos que nm + N, assim, n + M e isto mostra que M = N. Definimos no conjunto N a relação < da seguinte forma: Dados dois números naturais n, m, a desigualdade n < m significa que existe s N tal que n + s = m. Dizemos neste caso que n é menor que m. Quando escrevemos n m significa que n < m ou n = m. Esta relação de ordem têm as seguintes propriedades: 7

19 . Tricotomia: Dados n, m N, vale uma e somente uma, das seguintes afirmações: n = m, ou n < m, ou m < n.. Monotonicidade: Dados n, m, s N e n < m, então n + s < m + s e sn < sm. 3. Transitividade: Dados n, m, s N e n < m, m < s, então n < s. A relação de ordem também possui uma propriedade muito importante, chamada princípio da boa ordenação, Propriedade da boa ordenação. Todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento, isto significa que se M N é um conjunto, existe m o M tal que m o m para todo m M. O sistema dos números naturais apresenta uma deficiência natural: dada uma equação da forma m + x = n com n, m N, esta equação não sempre possui uma solução em N. Por exemplo a equação 4 + x = 9 tem como solução x = 5 N, mas, a equação 6 + x = 4 não tem solução no conjunto dos números naturais. 3. Números Inteiros Nem sempre equações da forma n + x = m possuem solução em N dados n, m N. Esta dificuldade pode ser resolvida se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjunto maior onde possamos resolver equações do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto dos números inteiros Z como o conjunto que contém o conjunto dos números naturais, e no qual estão definidas as operações de adição e multiplicação herdadas de N. Além disto: Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguinte propriedade, n + 0 = 0 + n = n, n Z. Toda equação da forma n + x = m admite uma única solução em Z, para quaisquer n, m Z. Como antes, o elemento N é o elemento neutro com relação a multiplicação em Z, isto é, dado m Z, m = m = m. Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N {0} ( N), ou seja, Z = N N = {n m; n, m N} = {..., 3,,, 0,,, 3,...}. Proposição 3.. O conjunto dos números inteiros Z é enumerável. Prova: Basta estabelecer uma correspondência entre todos os números inteiros e todos os números naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondência;

20 Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondência como uma função f : Z N bijetora da seguinte forma; { n +, se n 0, f(n) = n, se n < 0. O sistema dos números inteiros apresenta uma deficiência óbvia; dada uma equação da forma mx = n com n, m Z, não sempre possui uma solução em Z. Por exemplo a equação 3x = 9 tem como solução x = 3 Z, mas, a equação 6x = 4 não tem solução no conjunto dos números inteiros. 3.3 Números Racionais Como vimos na seção anterior, nem sempre equações da forma nx = m possuem solução em Z dados n, m Z. Esta dificuldade pode ser suprida se ampliarmos o conjunto dos inteiros Z para um conjunto maior onde possamos resolver equações do tipo acima. Assim, podemos construir o conjunto dos números racionais Q como o conjunto que contém o conjunto dos números inteiros, isto é, Q = { m ; m, n Z, n 0}. n Uma fração da forma m/ pode ser identificada com o inteiro m. Esta identificação, permite dizer que Q contém Z como um subconjunto próprio, isto é, N Z Q. Definimos as operações de adição, multiplicação e igualdade em Q da seguinte forma: Adição: m n + s t multiplicação: Igualdade: ms + nt =, n 0, t 0. nt m n s t = ms, n 0, t 0. nt m n = s t mt = ns, n 0, t 0. Além de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existência dos elementos neutros (0 para a adição e para a multiplicação), Q satisfaz as propriedades de existência do elemento inverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto é, se p Q, então p Q, e /p Q com, p + ( p) = 0, p(/p) =. Podemos definir um subconjunto Q + em Q como sendo, Q + = { m ; mn N}, n isto é o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:. Q + é fechado com relação as operações de adição e multiplicação em Q, isto é, p, q Q +, então p + q, pq Q +. 9

21 . Dado p Q, temos que uma das afirmações a seguir é verdadeira: ou p = 0 ou p Q + ou p Q +. A relação de ordem < introduzida em Q : p < q se q p Q +, generaliza a relação de ordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a relação de ordem introduzida em N. Teorema 3.3. O conjunto Q é fechado com relação as operações de adição e multiplicação. Q, munido das operações de adição e multiplicação e satisfazendo os axiomas da relação de ordem constitui um corpo ordenado. A seguir mostremos três propriedades importantes de Q. Proposição 3.3. Se p e q são números racionais, tais que p < q, então podemos encontrar infinitos números racionais entr e p e q. Prova Sendo p < q, podemos escolher um número racional r = q p, onde n N. Os n números racionais p + r, p + r,..., p + (n )r estão entre p e q, e como n é um número natural qualquer, segue a afirmação. Em particular se n =, temos p < p + q < q. Proposição 3.3. (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q são dois números racionais positivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q. Prova: Sejam p = m r e q = s Suponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a, pois p t e q são positivos. Segue, então que mt ou mt >. Multiplicando esta desigualdade por rs, temos, mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (rs)p > q, e considerando n = rs, obtemos np > q. Proposição O conjunto dos números racionais Q é enumerável. Prova: Seja α = p, q > 0 um número racional arbitrário. Para evitar números repetidos q digamos que α seja irredutível. Chamaremos de altura do número racional α a soma p +q. Da definição de altura, observamos que o número de frações de altura dada é finita. Por exemplo a altura 3 têm 4 frações:,,,. Agora podemos organizar todos os números racionais segundo sua altura, isto é, primeiro os números de altura, depois os números de altura, etc. Desta forma cada número racional possui seu número, e isto significa que está estabelecida uma correspondência biunívoca entre N e o conjunto dos números racionais Q. 0

22 3.3. Supremo e Ínfimo de um Conjunto em Q Para mostrar algumas deficiências algébricas do conjunto Q dos números racionais, introduziremos algumas definições. Definição 3.3. Um subconjunto E de Q é dito itado se existe um número positivo M tal que M < x < M para todo x E. Se para qualquer número positivo M, existe x o E tal que x o > M, então dizemos que o conjunto E é iitado. Definição 3.3. Um subconjunto E de Q é dito itado superiormente se existe um número M tal que x M para todo x E. Um número M nas condições da definição anterior chama-se cota superior. maiores que M também são cotas superiores para E. É claro que números Definição Um subconjunto E de Q é dito itado inferiormente se existe um número K tal que x K para todo x E. Um número K nas condições da definição anterior chama-se cota inferior. É claro que números menores que K também são cotas inferiores para E. É evidente que um conjunto itado E Q é simultaneamente itado inferiormente e superiormente. Definição Diz-se que α Q é um elemento mínimo(máximo) de E Q se é uma cota inferior(superior) e além disso α E. Definição Diz-se que o número β Q é o supremo de um conjunto itado superiormente E Q se é a menor das cotas superiores e além disso esse mínimo existe. Em outras palavras, β = sup E satisfaz,. β é uma cota superior para E, e. Se σ é outra cota superior para E, então β σ. Esta segunda condição pode ser substituida por; (a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x E tal que β ɛ < x. É de verificação imediata de que o supremo de um conjunto itado superiormente, quando existe é único, isto é, Proposição Se um conjunto E Q é tado superiormente e possui supremo, ele é único. Prova: Sejam β e β dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de (a) que β ε < x para algum x E. E por definição de supremo, x β, então β ε < β, isto é, β < β + ε. Isto significa que β β. De maneira análoga, trocando β e β, obtemos β β. Portanto β = β. Analogamente define-se ínfimo de um subconjunto itado inferiormente de Q.

23 Definição Diz-se que o número α Q é o ínfimo de um conjunto itado inferiormente E Q se é a maior das cotas inferiores e além disso esse máximo existe. Em outras palavras, α = inf E satisfaz,. α é uma cota inferior para E, e. Se σ é outra cota inferior para E, então α σ. Esta segunda condição pode ser substituida por; (a) Se dado ε > 0 arbitrário, então existe x E tal que β + ɛ > x. É de verificação imediata de que o ínfimomo de um conjunto itado inferiormente, quando existe é único, isto é, Proposição Se um conjunto E Q é tado inferiormente e possui ínfimo, ele é único. Uma deficiência grande do corpo dos racionais é dada pela seguinte afirmação, Proposição Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a. Prova: Seja r = p q Q, onde p e q são primos entre si, isto é MDC(p, q) =. Suponhamos que ( ) p =, então p = q. Como todo número racional multiplicado por é par, resulta que p q é par, logo p é par e podemos escrever p = k, k Z. Portanto, de p = (k) = k = q, segue que k = q. Daqui concluimos que q é par. Absurdo, pois p e q são números primos. Portanto não existe r Q tal que r = O seguinte exemplo também explicita uma outra deficiência dos numéros racionais. Trata-se de um conjunto E Q que é itado superiormente mas não possui supremo e de um conjunto F Q que é itado inferiormente mas não possui ínfimo []. Exemplo Números Reais E = {x Q; x > 0 e x < } E = {y Q; y > 0 e y > } Já vimos na seção anterior duas deficiências do corpo dos racionais: não existe um racional cujo quadrado seja igual a e existem conjuntos itados superiormente que não possuem supremo e conjuntos itados inferiormente que não possuem ínfimo. Vamos supor a existência de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamado de corpo dos números reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes de Dedekind []. Teorema 3.4. Se o conjunto R dos números reais é dividido em dois conjuntos não vazios disjuntos, isto é, R = A B, A B = tais que, todo a A é menor que qualquer b B, então ou existe um número c que é o maior entre os números pertencentes a A e B não tem menor elemento, ou existe um número c que é o menor entre todos os números prtencentes a B, e A não tem maior elemento.

24 Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior é a afirmação seguinte; Teorema 3.4. Todo subconjunto E R itado superiormente(inferiormente) pelo número M(m), possui supremo(ínfimo). Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo. Assim R é um corpo ordenado completo Números irracionais Definição 3.4. Um número chama-se irracional se não é racional. A notação que usamos para denotar os irracionais é R\Q. Como Q e R\Q são disjuntos, temos que R = Q R\Q. Na seção anterior vimos que é um número irracional. Existem infinitos números irracionais, entre eles os mais famosos, o número π e o número neperiano e, etc. Teorema Se p é um número primo positivo, então p é irracional. Prova: Vamos supor que p não seja irrational. Então p = m com MDC(m, n) =. ( n m ) Elevando ao quadrado, temos p =, ou seja n p = m. Como m e n são primos entre n si, segue que p m (p divide m ) e portanto p m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdade acima, temos n p = p l e simplificando obtemos n = pl. Isto significa que p n, portanto p n. Segue portanto que p é um fator comum dos números m e n. Absurdo, pois MDC(m, n) =. E isto mostra que p é irracional Propriedade Arquimediana A Propriedade Arquimediana apresentada nos números racionais também vale para o corpo dos reais. Teorema Sejam a, b R com a > 0, então existe um n N tal que na > b. Prova: Vamos supor que an > b é falsa para algum n N, isto é, na b para todo n N. Consideremos o seguinte conjunto E, E = {na; n N}. É óbvio que este conjunto é itado superiormente, pela completeça de R existe o supremo de E, digamos α = sup E, ou seja na α para todo n N. Pelo fato de N ser infinito, temos n N, segue que (n + ) N, e portanto, (n + )a α segue na α a n N. Mas, α a < α também é uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na b para todo n N. Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e R\Q os conjuntos dos racionais e irracionais respectivamente são conjuntos densos em R. 3

25 Proposição 3.4. (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois números reais arbitrários com a < b, então existe um s Q tal que a < s < b. Prova: Proposição 3.4. (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois números reais arbitrários com a < b, então existe um ξ R\Q tal que a < ξ < b. Prova: Sejam a e b os números reais arbitrários com a < b. Então a 3 < b 3. Observamos que a 3 e b 3 são reais, então pela proposição anterior, existe um s Q tal que a 3 < s < b 3, ou a < s + 3 < b. Escrevendo ξ = s + 3, temos a < ξ < b Valor Absoluto de um Número Real A relação de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto ou módulo de um número x R, como sendo, { x, se x 0 x = x, se x < 0 Em outras palavras, x = max{x, x}. Exemplo 3.6 Se x =, x = ; Se x = 7, x = 7 = ( 7) = 7. Uma consequência imediata da definição de módulo de um número é a seguinte afirmação Lema 3.4. para qualquer número real x, vale a seguinte relação: Prova: Analizemos dois casos; x x x.. Suponha que x 0. Então x = x 0 e x 0, e portanto x x x.. Suponha que x < 0. Então x 0 e x < x. Como x = x ou x = x, segue que; x x x. Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade é equivalente as duas desigualdades Portanto a desigualdade é equivalente as duas desigualdades x < ε ε < x < ε, x, ε R. x y < ε y ε < x < y + ε, x, y, ε R. O valor absoluto de um número real satisfaz as seguintes propriedades: 4

26 Teorema Para números reais arbitrários x, y, temos. x 0, para todo x, e x = 0 x = 0.. xy = x y e x x = se y 0. y y 3. x + y x + y (desigualdade triangular). 4. x y x y. Prova:. Se x 0 então x = x, se x < 0, então x = x > 0. Em ambos casos x 0. Se x = 0, x = x = 0 por definição. Se x 0, então x < 0 ou x > 0. Se x < 0, então x = x > 0, se x > 0, x = x > 0. Nestes dois casos temos x 0.. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplicação é óbvia. Suponhamos que x, y 0. Analizemos três casos: (a) x > 0 e y > 0; então x = x e y = y, logo xy = xy = x y. (b) x > 0 e y < 0; então x = x e y = y, logo xy = x( y) = x y. (c) x < 0 e y < 0; então x = x e y = y, logo Para mostrar que x x = y y, escrevamos x y anterior, temos 3. Como também teremos então xy = ( x)( y) = x y. x = yz = y z, donde z = x y x x x, y y y, ( x + y ) x + y x + y. Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos x + y x + y. = z, então x = y z. Usando o resultado ou x x = y y. 5

27 4. Escrevamos x da seguinte forma; x = x y + y x y + y pela desigualdade triangular. Assim De forma similar, obtemos x y x y. y x x y, ou ( x y ) x y. Por definição, x y é um dos números x y ou ( x y ), em ambos casos Intervalos x y x y. Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos itados. Dados c, d R com c < d (c, d) = {x R; c < x < d} [c, d) = {x R; c x < d} (c, d] = {x R; c < x d} [c, d] = {x R; c x d} Introduziremos os simbolos + e para indicar mais infinito e menos infinito respectivamente. Assim o proprio R é considerado como um intervalo da forma (, + ). Definição 3.4. Chamamos de extensão de R ao conjunto R formado por R, + e. Em R temos as seguintes operações:. se x R, temos x + (+ ) = + x + ( ) =, x + (+ ) = x ( ) = +.. Se x > 0, 3. Se x < 0, x (+ ) = +, x (+ ) =, x ( ) =. x ( ) = (+ ) + (+ ) = (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +. ( ) + ( ) = (+ ) ( ) =. Agora estamos em condições de definir intervalos infinitos: (, c) = {x R; x < c} (, c] = {x R; x c} (c, + ) = {x R; x > c} [c, + ) = {x R; x c} 6

28 3.4.5 R não é Enumerável Já foi mostrado que Q é enumerável, mas no entanto o corpo R não é enumerável. Teorema O conjunto dos números reais não é enumerável. Prova: É suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, ) R não é enumerável. Suponhamos que exista uma enumeração(lista) de todos os números reais α, pertencentes ao intervalo (0, ), ou seja; (0, ) = {α, α,..., α n,...}, α = 0, a a a 3... a n..., α = 0, a a a 3... a n..., α 3 = 0, a 3 a 3 a a 3n...,. =. α n = 0, a n a n a n3... a nn...,. =. onde os a ik é a k ésima cifra decimal do número α i. Vamos mostrar que existe ao menos um elemento β (0, ) da forma, β = 0, b b b 3... b n... que não pertence a lista acima. De fato, o número β é construido da seguinte maneira: b é um algorismo diferente de a ; b é diferente de a, etc., em geral b n é diferente de a nn. Assim a fração β é diferente do número α, pois os diferem ao menos no primeiro termo de sua representação decimal, também difere de α no segundo termo de sua representação decimal, etc., etc. Em geral, como b n a nn, para todo n, a fração β α i. Daqui segue que nenhuma lista de números reais pode enumerar (0, ). Como um subconjunto de R o intervalo (0, ) não é enumerável, segue que R não é enumerável. Corolário 3.4. O conjunto dos números irracionais R\Q não é enumerável. Prova: Já sabemos que podemos escrever R como aunião disjunta: R = Q R\Q. Q é enumerável e R não é enumerável, portanto, R\Q não é enumerável. 7

29 Capítulo 4 Sequências e Séries Numéricas 4. Progressão Aritmética Definição 4.. Chamamos de progresão aritmética a sequência de números {a n }, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao anterior somado por uma constante única d, isto é, a n+ = a n + d, n N. O número d chama-se razão da progresão aritmética, a -primeiro termo e a n -termo geral. Assim por exemplo, a sequencia, 7,, 7,,... onde o primeiro termo é, e a razão é 5. Para qualquer n temos a n+ a n = d, a n a n = d. desta forma a n+ a n = a n a n ou a n = a n + a n+, isto é, cada termo da progresão aritmética começando do segundo termo é igual a média aritmética do termo anterior e termo posterior. Exemplo 4. Mostre que a sequência {a n } com termo geral a n = n 7 é uma progresão aritmética. Solução Para n temos a n = n 7, a n = (n ) 7 = n 9, a n+ = n + 5. Portanto a n = n 7 = o que demonstra a afirmação. (n 5) + (n 9) = a n + a n+, 8

30 Para a progressão aritmética {a n } com razão d tem lugar a seguinte fórmula: a n = a k + d(n k), k n, onde n e k são números naturales. Trocando k por n k e por n + k, obtemos a n a n = a n k + kd, = a n+k kd. Daqui encontramos a n = a n k + a n+k k n. Além disso, para qualquer progressão aritmética {a n } tem lugar a seguinte igualdade se m + n = k + l. a m + a n = a k + a l. Exemplo 4. Para a progressão aritmética {a n } com a = 7 e d = 4, obtemos as seguintes fórmulas;. a n = 7 + (n ) 4 = 4n + 3;. a 0 = a 5 + a 5, pois a 5 = a 0 5 e a 5 = a 0+5 ; 3. a 7 + a 8 = a 5 + a 0. Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressão aritmética da seguinte maneira: a n = nd + (a d). Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progressão aritmética {a n } é igual a 6, o produto do primeiro e quinto termos é igual a 64. Encontre o primeiro termo e a razão desta progressão. Solução: Por hipótese, temos a + a 4 = 6 e a a 5 = 64; então obtemos o seguinte sistema { a + d = 8 a (a + 4d) = 64. Encontrando da primeira equação do sistema, d e substituindo na segunda equação, obtemos ou a 6a + 64 = 0, (a 8) = 0. Desta forma, a = 8; portanto, d = 8 a = 0, isto é d = 0. Exemplo 4.4 Os números 5 e 38 são o primeiro e decimo segundo termos respectivamente de uma progressão aritmética {a n }. Encontre a n para n =, 3,,. 9

31 Solução: Como d = a a = 38 5 então os correspondentes termos são = 3, 8,, 4, 7, 0, 3, 6, 9, 3, 35. A soma S n = a + a + a n dos primeiros n-termos de uma progressão aritmética {a n } é dada pela fórmula S n = a + a n n. Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triângulo equilátero queremos saber se é possivel plantar 05 árvores, de tal forma que na primeira série colocamos um árvore, na segunda série colocamos dois árvores, na terceira 3 árvores, e assim adiante e na n ésima série colocamos n árvores. Solução: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade + + n = 04, então tal jardim é possível. Basta resolver a seguinte equação Encontramos daqui n = 4. n(n + ) 4. Progressão Geométrica = 05. Definição 4.. Chamamos de progresão geométrica a sequência de números {b n }, n N, onde cada termo, começando do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante única q 0, isto é, b n+ = a n q, n N. O número q chama-se razão da progresão geométrica, b -primeiro termo e b n -termo geral. Assim, por exemplo a sequência, 3, 9, 7, 8, onde cada termo, começando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 é uma progressão geométrica, de razão q = 3 e b =. Para uma progressão geométrica {b n } com razão q para n temos isto é Por exemplo, para a progressão geométrica temos as seguintes igualdades b n b n = b n+ b n = q, b n = b n b n+., 3, 9, 7, 8, 43,, 3 n, 3 = 9; 9 = 3 7; 7 = 9 8; 43 = 8 79; 3 n = 3 n 3 n+. 30

32 Exemplo 4.6 Suponha que os números a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica. Mostre que a b c ( a 3 + b 3 + c 3 ) = a 3 + b 3 + c 3. Solução: Como a, b, c são os termos consecutivos de uma progressão geométrica, então b = ac. portanto ( a b c a + 3 b + ) = b c 3 c 3 a + a c + a b = acc b c a + b4 b + a ac = c = a 3 + b 3 + c 3. Para qualquer progressão geométrica {b n } é válida a seguinte igualdade b m b n = b k b l se m + n = k + l. Exemplo 4.7 Todos os termos da progressão geométrica {b n } são positivos. se b 0 = e b 8 = 3. Encontre b 6 e b 3 b 7. Solução: Como = 4 + 4, então b 4 = b 0 b 8 = 6; portanto, b 4 = 6. Também, como = 6 + 6, então b 6 = b 4 b 8 = 3 6, isto é, b 6 = 3 6. Porfim, de = 30 = 3 + 7, segue que, b 3 b 7 = b 4 b 6 = = 3 6. A soma S n = b + b + b b n dos primeiros n termos de uma progressão geométrica {b n } de razão q 0 é dado pela fórmula se q =, então S n = nb. Por exemplo S n = b q n q, n = n = n ; = ( 5 )n 3 n Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma Solução: então Como obtemos = ( ) n 3 S n = + a + 3a + 4a na n, a 0. Multiplicando S n por a, temos as n = a + a + 3a 3 + 4a na n, as n S n = na n ( + a + a + a 3 + a n ). + a + a + a 3 + a n ) = an a, S n = nan a an (a ). 3

33 Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma S = } {{ }. 000 algorítmos Solução. O número } {{ } para qualquer n natural podemos escrever na forma n algorítmos }{{ } = n algorítmos n algorítmos {}}{ = 0n, 9 então S = = = 9 ( ) = = 9 [0(0000 ) 0 = 9 ( }{{ } 00). 997 algorítmos 000] = ( 0 9 }{{} 000) 000 algorítmos 4.3 Definição de Sequências Numéricas Se a cada número natural n fazemo-os corresponder um número real a n, então dizemos que está definido uma sequência númerica a, a, a 3,, a n, Os números a, a, chamam-se termos da sequência, e a n é o termo geral. A sequência denota-se por {a n } n= ou {a n }. Uma sequência pode ser definida com ajuda da fórmula a n = f(n) n N, onde f é alguma função; neste caso esta fórmula chama-se fórmula do termo geral da sequência {a n }. Por exemplo. a n = n, n N;. a n = n!, n N; 3. a n = { n, se n = k /n, se n = k, k =,, Para definir uma sequência podemos usar também uma relação de recorrência. Este método consiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequência, e logo escrever uma fórmula que nos permita encontrar o termo geral a n através dos primeiros termos. Por exemplo, se 3

34 . a =, a n+ = a n + para n ;. b =, b =, b n = b n + b n para n 3. Então destas relações de recorrência, encontramos que, 4.4 Sequências Monótonas a =, a =, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 = 5, ; b =, b =, b 3 = 5, b 4 =, b 5 = 9, Definição 4.4. Uma sequência {a n } chama-se crescente, se para qualquer número natural n vale a desigualdade a n+ > a n, n N. Exemplo 4.0 Mostre que a sequência {a n } cujo termo geral a n = n n crescente. é uma sequência Solução: Analizemos a diferença a n+ a n. Temos a n+ a n = (n + ) n + n n = n n + n(n + ) = n(n + ) > 0. Desta forma, a n+ > a n para todo n N. Definição 4.4. Uma sequência {a n } chama-se decrescente, se para qualquer número natural n vale a desigualdade a n+ < a n, n N. Exemplo 4. Mostre que a sequência {a n } cujo termo geral é a n = (n+) é uma sequência decrescente. Solução: Analizemos a relação a n+. Temos a n a n+ a n = ((n + ) + ) (n + ) = n n = n + n + = + n + >. Desta forma, a n+ a n a n+ < a n para todo n N. >. Como todos os termos da sequência são negativos, então obtemos Definição Uma sequência {a n } chama-se não-decrescente, se para qualquer número natural n vale a relação a n+ a n, n N. Definição Uma sequência {a n } chama-se não-crescente, se para qualquer número natural n vale a relação a n+ a n, n N. 33

35 Em geral, estes tipos de sequências chamam-se monótonas. A sequência {a n } chama-se itada superiormente, se existe um número real A tal que, para qualquer número natural n vale a desigualdade x n A. Exemplos de sequências itadas superiormente são as seguintes sequências com termos gerais, a n = n 3, a n = ( ) n, a n = sin 4 πn. A sequência {a n } chama-se itada inferiormente, se existe um número real B tal que, para qualquer número natural n vale a desigualdade x n B. Exemplos de sequências itadas inferiormente são as seguintes sequências com termos gerais, a n = n, a n = ( ) n (n + ), a n =. n Uma sequência {a n } chama-se itada, quando ela é itada superior e inferiormente. Ou equivalentemente, se existem números reais A e B tais que, A a n B, n N. Exemplo de sequência itada é a sequência com termos geral a n = / n+. De fato, para qualquer n natural verifica-se; 0 < n+ <, isto é 0 < a n <, n N. Exemplo 4. Mostremos que a sequência cujo termo geral a n = n n + é itada. Prova: Como a n = n n + = n + 3 = 3 n + n + <, isto é, a n < para qualquer natural n, então {a n } é itada superiormente. Analizemos a diferença a n a n. Temos; a n a n = n n + n n + = 3 (n + )(n + ) < 0, isto é, a n < a n, n N. Por isso a = / é o menor termo desta sequência. Desta forma, a n /, n N, isto é, a sequência {a n } é itada inferiormente. Segue da definição acima que, a sequência { n n + } n é itada. 4.5 Limite de uma Sequência O número a chamase ite da sequência {a n }, se para qualquer número positivo(arbitrário) ɛ, encontra-se um número n o tal que, para todos os naturais n > n o vale a desigualdade a n a < ε. Se a é o ite da sequência {a n }, usamos a seguinte notação: n a n = a. Se a sequência possui ite, dizemos que ela converge, caso contrário dizemos que ela diverge. 34

36 Como a desigualdade a n a < ε equivale a desigualdade ε < a n a < ε, isto é, a ε < a n < a + ε, então a afirmação que a é ite da sequência {a n }, equivale a dizer que para qualquer ε > 0, encontra-se n o N, que depende de ε, tal que todos os termos começando com o índice n o + os termos a no+, a no+, pertencem ao intervalo (a ε, a + ε), e fora deste intervalo encontram-se somente um número finito de termos da sequência (no máximo n o ). Exemplo 4.3 Mostre que o número é o ite da sequência { n + }, isto é, n. = n + n n Solução. É necessário mostrar que para cada ɛ positivo, encontra-se um n o tal que para todo n > n o segue n + n < ɛ. Como n + n = + =. Então a desigualdade n < ɛ é equivalente a desigualdade n n n n < ɛ, isto é n > ɛ. Se tomamos o número natural n o maior que, então para qualquer número ɛ natural maior que este n o, cumpre-se e isto significa que n + n n = n + n = n < n o < /ɛ < ɛ, =. Exemplo 4.4 Mostre que se q <, então = n qn = 0. Solução. Para mostrar que n = q n = 0, é necessário provar que para qualquer ɛ > 0, existe um número natural n o, tal que para todos os números naturais n > n o vale a desigualdade q n 0 < ɛ. Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q 0. Como 0 < q <, então / q >, e portanto existe um número positivo α, tal que / q = + α. Como α > 0, então usando a desigualdade de Bernoulli, obtemos / q n = (/ q ) n = ( + α) n + nα > nα. Daqui q n < para todo n natural. escolhamos n nα o >, onde α =. Então para cada αɛ q n > n o temos n > αɛ ou nα < ɛ, e portanto q n 0 = q n = q n < nα < ɛ. Exemplo 4.5 Mostre que a sequência a n = ( ) n não possui ite. 35

37 Solução. Mostremos isto por contradição. Suponhamos que a sequência {a n } converge para o número a. Então para qualquer ɛ positivo existe um número n o = n o (ɛ) tal que, para cada n > n o vale a desigualdade an a < ɛ. Em particular para ɛ = / existe n tal que para qualquer n > n vale a n a < /. Como n > n e n + > n, então para termos da sequência a n e a n + cumpren-se as desigualdades a n a < /, e a n + a < /. Como a n = ( ) n =, e de onde segue a n + = ( ) n + =, então temos a < /, a < /, ( a) + (a + ) a + + a < / + / =. Assim, da suposição que a sequência {a n } n converge obtemos que <, absurdo. 4.6 Operações com Sequências 4.7 Existência do Limite de uma Sequência Monótona Limitada 4.8 O número e 4.9 Critério de Cauchy para a Existência do Limite 4.0 Teorema de Weierstrass 4. Séries Numéricas 4.. Definições Básicas Consideremos a seguinte sequência numérica, Desta sequência, obtenhamos outra sequência, u, u, u 3,..., u n,... (4.) S, S, S 3,..., S n,... onde, S = u, S = u + u, S 3 = u + u + u 3, S n = u + u + u u n. 36