CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

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1 Capítulo 3 CONJUNTOS BERTOS, FECHDOS E FRONTEIR 3.1 Introdução Definição 3.1. Sejam r > 0 e x 0 R n. bola aberta de centro x 0 e raio r é denotada por B(x 0,r) e definida por: B(x 0,r) = {x R n / x x 0 < r}. Se n = 2; x 0 = (x 0,y 0 )ex = (x,y); logo x x 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 : B(x 0,r) = {(x,y) R 2 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r 2 } B(x 0,r) é o "interior"de um círculo centrado em (x 0,y 0 ) e raio r, ou equivalentemente, o conjunto dosvetoresnoplano deorigemem (x 0,y 0 ) enormamenorque r. Nestecaso, o conjunto B(x 0,r)échamado disco abertodecentro (x 0,y 0 )eraio r. B(x,r) y 0 r x 0 Figura 3.1: Disco aberto. nalogamente,se n = 3; x 0 = (x 0,y 0,z 0 ) e x = (x,y,z): B(x 0,r) = {(x,y,z) R 3 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < r 2 } 101

2 102 CPÍTULO 3. CONJUNTOS BERTOS, FECHDOS E FRONTEIR B(x 0,r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x 0,y 0,z 0 ) e raio r, ou equivalentemente,oconjuntodosvetoresno espaçodeorigemem (x 0,y 0,z 0 )enormamenorque r. r x Figura 3.2: Bola aberta. B(x,r) Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita. 3.2 Conjuntos bertos Definição 3.2. R n édito aberto em R n se para todo x, existe B(x,r)tal que B(x,r). Figura 3.3: Conjunto aberto. Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição, o conjuntovazio e R n sãoconjuntosabertosem R n. Exemplo 3.1. [1] Pela definição, {x} não é aberto em R n, pois todabola ou disco aberto de centro x não está contidoem {x}. Em geral,osconjuntosdotipo {x 1, x 2, x 3,...,x n /x i R n }não sãoabertos. [2] O eixo dos x: {(x,0)/x R} R 2 não é aberto no plano, pois qualquer disco aberto centradoem (x,0) nãoestácontidoem R.

3 3.3. FRONTEIR DE UM CONJUNTO 103 x Figura 3.4: Exemplo[2]. [3] = (a,b) (c,d) é aberto em R 2. De fato, para todo (x,y), a < x < b e c < y < d, denotepor εomenornúmerodoconjunto { x a, x b, y c, y d },onde éadistância entrenúmerosreais. Então,porexemplo,considerando r = ε 6, temos, B((x,y),r). Logo é um conjunto aberto. d c a b Figura 3.5: Exemplo[3]. [4] O plano xy em R 3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centrada em (x,y,0) não estácontidaem R 2. [5] B(x 0,r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x,y) a distância entre os pontos x, y em R n,se x B(x 0,r)então d(x,x 0 ) < r;tomando r 1 = r d(x,x 0 ) < r,temos: B(x,r 1 ) B(x 0,r). Seráútildarum nomeespecialparaumconjuntoabertoquecontenhaumpontodado x. tal conjunto chamaremos de vizinhança do ponto x. 3.3 Fronteira de um Conjunto Definição 3.3. Seja R n. Um ponto x R n é dito ponto da fronteira ou do bordo de se toda vizinhança de x intersecta e R n.

4 104 CPÍTULO 3. CONJUNTOS BERTOS, FECHDOS E FRONTEIR x Figura3.6: Bordode. Denotamosoconjuntodospontosdafronteiradoconjunto por. Umconjuntoéabertose = φ. Exemplo 3.2. [1] Se = B(x,r) então = {y/d(x,y) = r}; logo o conjunto C = {y/d(x,y) r} não é aberto. C Figura 3.7: Exemplo[2]. [2]Seja = {(x,y) R 2 /x > 0};esteconjuntocorrespondeaoprimeiroeaoquartoquadrantes semincluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja (x,y) e escolhamos r = x > 0; se (x 1,y 1 ) B((x,y),r)temos: x x 1 = (x x 1 ) 2 (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 < r = x. Logo x 1 > 0eB((x,y),r) ; noteque = {(0,y)/y R}.

5 3.4. CONJUNTOS FECHDOS Figura 3.8: Exemplo[2]. 3.4 Conjuntos Fechados Definição 3.4. Seja R n : 1. Oconjunto édito fechado em R n se. 2. Oconjunto édito limitado seexiste constante c > 0tal que x c, para todo x. Logo R n élimitado seestacontidonumaboladeraio c. Exemplo 3.3. [1] R n é tambémum conjuntofechado. [2] = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 < r 2, r > 0} nãoéfechado,poissuafronteiraé: = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 = r 2, r > 0}. Logo. [3] = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 r 2, r > 0} éfechado,poissuafronteiraé: = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 = r 2, r > 0}. Logo. Noteque é limitado. Figura 3.9: Exemplo[3].

6 106 CPÍTULO 3. CONJUNTOS BERTOS, FECHDOS E FRONTEIR [4] Osólido W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 r 2, r > 0}éfechado poissuafronteiraé: W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 = r 2, r > 0}. Logo W W. Em geral,todosossólidossãofechados. [5] = [a,b] [c,d] é um conjunto fechado, pois é o retângulo formado pelas retas x = a, x = b, y = cey = d. seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica fora do contexto destas notas. Proposição3.1. Seja h : R n R umafunçãocontínua;então: 1. = {x R n /0 < h(x)} éaberto em R n. 2. F = {x R n /0 h(x)} éfechado em R n. 3. = {x R n /h(x) = 0}. Exemplo 3.4. [1] Osplanos em R 3 são conjuntosfechados. De fato,considere: função hécontínuaem R 3. h(x,y,z) = ax + by + cz d. [2] O sólido W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 r 2, r > 0} é um conjunto fechado. De fato, considere: h(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 r 2. função hécontínuaem R 3 epelaproposição W éfechado. [3] parábola = {(x,y) R 2 /y = x 2 }éum conjuntofechado. Defato, considere: h(x,y) = y x 2. função écontínuaem R 2 epelaproposição éfechado.