MATEMÁTICA TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA. 2ª Edição Revista e corrigida. Coleção Matemática EDIÇÕES SÍLABO. EM IR n ALTINO SANTOS SANDRA RICARDO

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1 23 MATEMÁTICA TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR n ALTINO SANTOS SANDRA RICARDO Coleção Matemática 2ª Edição Revista e corrigida EDIÇÕES SÍLABO

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3 COLEÇÃO MATEMÁTICA 1 INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 2 CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR n 3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS 4 FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA 5 ÁLGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes 6 ÁLGEBRA LINEAR Vol. 2 Espaços Vectoriais e Geometria Analítica 7 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA 8 CÁLCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS 9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCÍCIOS 10 SUCESSÕES E SÉRIES 11 ÁLGEBRA LINEAR Exercícios Vol. 1 Matrizes e Determinantes 12 CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR 13 CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCÍCIOS 14 ÁLGEBRA LINEAR Exercícios Vol. 2 Espaços Vectoriais e Geometria Analítica 15 SUCESSÕES E SÉRIES EXERCÍCIOS 16 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES 17 INTEGRAIS MÚLTIPLOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXERCÍCIOS 18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFÍCIE 19 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE NUMÉRICA 20 MÉTODOS NUMÉRICOS Introdução, Aplicação e Programação 21 CÁLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicações 22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exercícios Resolvidos 23 TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM IR n 24 EXERCÍCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS 25 ÁLGEBRA LINEAR Teoria e Prática 26 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Com Aplicações às Ciências Empresariais

4 TÓPICOS DE ANÁLISE MATEMÁTICA EM R n ALTINO SANTOS SANDRA RICARDO EDIÇÕES SÍLABO

5 É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio gráfico, eletrónico ou mecânico, inclusive fotocópia, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizações previstas na legislação em vigor. Não participe ou encoraje a pirataria eletrónica de materiais protegidos. O seu apoio aos direitos dos autores será apreciado. Visite a Sílabo na rede FICHA TÉCNICA: Título: Tópicos de Análise Matemática em n Autores: Altino Santos, Sandra Ricardo Edições Sílabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1ª Edição Lisboa, fevereiro de ª Edição Lisboa, janeiro de 2018 Impressão e acabamentos: ARTIPOL Artes Tipográficas, Lda. Depósito Legal: /18 ISBN: EDIÇÕES SÍLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, Lisboa Tel.: Fax: silabo@silabo.pt

6 Conteúdo Prefácio à 2 a edição 7 Prefácio 9 1 Funções de várias variáveis reais O espaço R n Noções topológicas em R n Funções vetoriais reais de n variáveis reais Limites e continuidade Diferenciabilidade em R n Introdução Derivadas parciais Interpretação geométrica da derivada parcial no caso de z = f (x,y) Derivadas de ordem superior Função diferenciável num ponto Matriz das derivadas parciais Nota sobre curvas em R n Derivada da função composta - regra da cadeia Teorema da função implícita Plano tangente e reta normal

7 Derivadas direcionais Extremos, pontos críticos e sua classificação Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange Exercícios propostos Integração em R n Integrais duplos Integrais duplos em coordenadas polares Algumas aplicações do integral duplo Integrais triplos Integrais triplos em coordenadas cilíndricas Integrais triplos em coordenadas esféricas Algumas aplicações dos integrais triplos Integrais curvilíneos de campos vetoriais Campos conservativos O Teorema de Green Superfícies parametrizadas Superfícies de revolução Integral de um campo vetorial sobre uma superfície O Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss (divergência) Exercícios propostos Bibliografia 167

8 Prefácio à 2 a edição É com agrado que registamos a aceitação que teve a edição anterior. Nesta 2 a edição corrigimos algumas gralhas, melhorámos alguns aspetos científicos e ampliámos o número de exemplos e exercícios propostos. Janeiro, 2018 Altino Santos Sandra Ricardo

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10 Prefácio Quando decidimos escrever este texto, o nosso primeiro propósito foi elaborar umas notas teórico/práticas de apoio aos nossos alunos de Análise Matemática II; sendo, por isso, um texto que introduz o aluno nos tópicos de Análise Matemática em R n, como é o caso da Continuidade, Diferenciabilidade e Integrabilidade... Pretendíamos um texto que, sem descurar o rigor, fosse claro e de fácil leitura para um qualquer aluno duma licenciatura cuja formação requeira uma forte componente matemática, como Matemática, Engenharia, etc., facultando-lhe os conceitos e resultados teóricos tradicionalmente lecionados. Por isso, decidimos não nos prender demasiado com detalhes técnicos ou demonstrações pesadas, mas em vez disso adotar um estilo mais acessível e atrativo para o aluno, recheando o texto de exemplos, exercícios resolvidos, exercícios propostos e aplicações que ilustrem os resultados teóricos e manifestem claramente a importância dos tópicos abordados. Este texto segue de perto as aulas de Análise Matemática II, por nós lecionadas na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, e são o culminar de vários anos de lecionação destas matérias a alunos de diversas licenciaturas. Sendo o ensino da Análise Matemática em R n de importância crucial na formação de alunos de Engenharia e de Matemática, em qualquer instituição do ensino universitário e politécnico, pensamos que este trabalho pode ser útil a qualquer aluno nestas condições. Os alunos são conduzidos nos diferentes tópicos numa perspetiva que privilegia a intuição e relaciona os conhecimentos. Não tendo sido nosso

11 10 objetivo escrever um texto baseado na organização resultado teórico - demonstração, incluímos, mesmo assim, as demonstrações que consideramos essenciais à compreensão dos conceitos e optámos por omiti-las sempre que existia o risco de o aluno se perder em detalhes não essenciais para a aplicação dos resultados. Pretendemos, desta forma, deixar espaço aberto ao aluno - interessado em aprofundar mais os conhecimentos - para pesquisar em obras ditas clássicas nesta temática. Citamos como exemplos as seguintes obras: A. Breda, J. Costa, Cálculo com funções de várias variáveis, McGraw-Hill, S. Lang, Calculus of Several Variables, Third Edition, Springer, E. L. Lima, Curso de análise vol. 2, IMPA, Apesar de ser aconselhável o conhecimento básico da Análise Matemática em R, nomeadamente Continuidade, Diferenciabilidade e Integrabilidade em R, temos sempre o cuidado de fazer a ponte entre o caso unidimensional e o caso n dimensional. O livro está dividido em dois capítulos. O primeiro capítulo apresenta generalidades relativas a funções reais de n variáveis reais; lida com as questões fundamentais da continuidade e diferenciabilidade de uma função de várias variáveis e aborda ainda a questão da existência e classificação de pontos extremantes. O segundo capítulo é dedicado à integração em R n : integrais duplos, triplos, curvilíneos e de superfície. Em cada um dos capítulos, os resultados teóricos são apresentados e ilustrados através de exemplos ou exercícios resolvidos, privilegiandose a exposição de técnicas de resolução. No final de cada capítulo é apresentada uma longa lista de exercícios propostos. Altino Santos Sandra Ricardo

12 Capítulo 1 Funções de várias variáveis reais 1.1 O espaço R n Seja R o corpo dos números reais e consideremos o produto cartesiano R n = R R... R = {(x 1,...,x n ) : x 1,...,x n R}. Identificaremos (ver figura 1.1): R 1 = R com a reta real, R 2 = R R com o plano e R 3 = R R R com o espaço tridimensional. Figura 1.1: R, R 2 e R 3 y (x,y) z (x,y,z) x x x y

13 12 Tópicos de Análise Matemática em R n O caso n 4 não tem representação geométrica (apenas analítica). Definindo as operações (x 1,...,x n ) + (y 1,...,y n ) = (x 1 + y 1,...,x n + y n ) e λ(x 1,...,x n ) = (λx 1,...,λx n ), com λ R e (x 1,...,x n ), (y 1,...,y n ) R n, obtemos o espaço vetorial (R n,+, ). Exercício 1 Identifique geometricamente os seguintes conjuntos: (a) A = {x R : x 2 1}; (b) B = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1}; (c) C = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1}; (d) D = {(x,y,z) R 3 : x 2 + y 2 1}; (e) E = {(x,y) R 2 : x 1}; (f) F = {(x,y,z) R 3 : x 1}. Definição 1 O produto interno (usual) em R n é definido por (x 1,...,x n ) }{{} X (y 1,...,y n ) }{{} Y = x 1 y x n y n. Diremos pois que, R n é o espaço euclidiano n-dimensional. Os vetores X e Y de R n são ortogonais se X Y = 0. Definição 2 A norma (euclidiana) do vetor X R n é dada por X = X X = (x 1,...,x n ) (x 1,...,x n ) = x x2 n.

14 O espaço R n 13 Propriedades 1 Para quaisquer X,Y R n e λ R tem-se: (i) X 0 e X = 0 X = 0; (ii) λx = λ X ; (iii) X +Y X + Y (desigualdade triangular). A norma anterior confere a R n a estrutura de espaço (vetorial) normado. Lema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Tem-se: X Y X Y, X, Y R n. A desigualdade de Cauchy-Schwarz permite obter X Y = X Y cosα, onde α denota o ângulo (não orientado) no intervalo [0,π] formado pelos vetores X e Y. Definição 3 Dados X,Y R n, a distância euclidiana de X a Y é dada por d(x,y ) = X Y = (X Y ) (X Y ) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. Propriedades 2 Para X,Y,Z R n, tem-se: (i) d(x,y ) 0 e d(x,y ) = 0 X = Y ; (ii) (iii) d(x,y ) = d(y,x); d(x,z) d(x,y ) + d(y,z).

15 14 Tópicos de Análise Matemática em R n Estas propriedades resultam imediatamente das propriedades de norma e conferem a R n a estrutura de espaço métrico. Exemplo Considere X = (3,0) e Y = ( 3,1) vetores em R 2. Calculemos o ângulo formado por X e Y. Por um lado, temos que X Y = (3,0) ( 3,1) = = 3 3. Por outro lado, X Y = X Y cosα = (3,0) ( 3,1) cosα = 3 2 cosα. Donde 3 3 = 6cosα cosα = 3 2 α = π 6 = 300 (pois α [0,π]). Exemplo Sejam X = (3, 4,0) e Y = ( 2, 1, 2). Calculemos X e d(x,y ). Temos que X = ( 4) = 25 = 5, d(x,y ) = X Y = (3, 4,0) ( 2, 1, 2) = (3 + 2, 4 + 1, 2) = (5, 3, 2) = ( 3) 2 + ( 2) 2 = 36 = 6.

16 Noções topológicas em R n Noções topológicas em R n A bola (aberta) de centro X 0 R n e raio r > 0 é o conjunto B(X 0,r) ={X R n : d(x,x 0 ) < r}. A bola fechada de centro X 0 R n e raio r > 0 é o conjunto B(X 0,r) ={X R n : d(x,x 0 ) r}. O caso n = 2 está ilustrado na figura 1.2. Figura 1.2: Bola aberta e bola fechada em R 2 X 0 r X 0 r B( X 0, r) B( X 0, r) Definição 4 Sejam A um subconjunto de R n e X um ponto de R n. Dizemos que A é vizinhança de X ou que X está no interior de A se existir uma bola (aberta) centrada em X e contida em A. Notação 1 O conjunto de todos os pontos que estão no interior de A denota-se por Å. Temos pois: X Å r > 0:B(X,r) A. Obviamente Å A. Dizemos que um subconjunto A de R n é aberto se pontos de A estão no seu interior. Å = A, isto é, se todos os

17 16 Tópicos de Análise Matemática em R n Exemplo Considere o conjunto (ilustrado na figura 1.3) A = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1, x 0} Obviamente (0,0) A, mas (0,0) / Å pois não existe r > 0, tal que B((0,0),r) A. Logo Å A, do que se conclui que A não é aberto. De facto, Å = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1, x > 0}. Porquê? Figura 1.3: Conjunto A y ( 1, 0) x Proposição 1 Para quaisquer X R n er> 0,B(X,r) é aberto. Teorema 1 Seja A R n. Então Å é aberto. Demonstração. Seja X Å. Então existe r > 0 tal que B(X, r) A. Logo B(X, r) Å e pela proposição anterior B(X, r) Å. O que nos permite concluir que X Å. Donde Å Å, e por conseguinte, Å = Å. Nota 1 De facto, Å é o maior aberto contido em A. Proposição 2 Em R n são abertos: (i) /0 e R n ; (ii) (iii) A intersecção de um número finito de conjuntos abertos; A reunião de conjuntos abertos.

18 Noções topológicas em R n 17 Demonstração. (ii) Sejam A 1,...,A n abertos de R n e X A 1... A n. Então existem r i > 0 tal que B(X,r i ) A i, i = 1,...,n. Tomando r = min i=1,...,n r i, então B(X,r) A 1... A n. E portanto A 1... A n é aberto. Definição 5 Um subconjunto A de R n diz-se fechado se o seu complementar CA = R n \ A é aberto. Exemplo Seja A = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1, x 0}. Tem-se que CA = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 1 x < 0} não é aberto, donde A não é fechado. Proposição 3 Em R n são fechados: (i) /0 e R n ; (ii) (iii) A intersecção de conjuntos fechados; A reunião de um número finito de conjuntos fechados. Demonstração. (iii) Supondo que F 1,...,F n são fechados, então F 1 F 2... F n = CCF 1 CCF 2... CCF n é fechado, pela proposição anterior. = C( CF }{{} 1 CF }{{} 2... aberto aberto Tem-se também que B(X,r) é fechado. Porquê? CF }{{} n ) aberto

19 18 Tópicos de Análise Matemática em R n Definição 6 Um ponto X R n diz-se aderente ao conjunto A de R n se todo a bola de centro X interseta A. Notação 2 O conjunto de todos os pontos aderentes a A designa-se por aderência ou fecho de A e denota-se por Ā. É claro que A Ā. Temos pois que X Ā r > 0, B(X,r) A /0. Teorema 2 Seja A R n. Então ĈA = CĀ e CÅ = CA. Demonstração. Temos que: X ĈA existe uma bola centrada em X e contida em CA nem toda a bola centrada em X intersecta A X / Ā X CĀ. Donde ĈA = CĀ. Analogamente se vê que CÅ = CA. Teorema 3 Seja A R n. Então: (i) Ā é fechado; (ii) Ā é o menor fechado que contém A; (iii) A é fechado se e só se Ā = A.

20 Noções topológicas em R n 19 Demonstração. Temos que: (i) CĀ = ĈA e ĈA é aberto. Logo Ā é fechado. (iii) A é fechado CA é aberto CA = ĈA CA = CĀ A = Ā. Definição 7 Um ponto X R n é ponto fronteiro do conjunto A R n se X é aderente a A e X é aderente a CA. Isto é, X é ponto fronteiro de A se e só se X Ā CA. O conjunto fronteira de A denota-se por fr A. Temos pois, X fr A r > 0, B(X,r) A /0 e B(X,r) CA /0. Exemplo Seja A = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1, x 0}. Temos, em particular, que (0,0) fr A e (1,0) fr A. Proposição 4 Para qualquer A R n, tem-se que fr A = Ā\Å. Demonstração. fr A = Ā CA = Ā CÅ = Ā\Å. Proposição 5 Ā = Å fr A e Å fr A = /0.

21 20 Tópicos de Análise Matemática em R n Demonstração. ( ) óbvio; ( ) Seja X Ā. Se X Å nada há a provar. Se X / Å então X Ā\Å = fr A. Definição 8 Um ponto X R n diz-se ponto de acumulação do conjunto A R n se toda a bola centrada em X contém pontos de A distintos de X. O conjunto dos pontos de acumulação de A denota-se por A e diz-se o derivado de A. Temos pois, X A r > 0, B(X,r) A\{X} = /0. Proposição 6 X R n é ponto de acumulação de A se e só se toda a bola centrada em X contém infinitos pontos de A. Definição 9 Um ponto X A diz-se ponto isolado de A se existir uma bola de centro X que não contém pontos de A distintos de X. Isto é, X não é ponto de acumulação de A. Exemplo Seja A = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 1, x 0} {( 1,0)}. Temos que X = ( 1,0) é um ponto isolado de A enquanto que (1,0) é um ponto de acumulação de A.

22 ALTINO SANTOS. Licenciado em Matemática (ramo de Especialização em Matemática Pura) pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (1996), obteve o grau de Mestre em Matemática Aplicada na mesma faculdade (1998) e o grau de Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Pura) na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro (2006). Foi membro do Centro de Matemática e Aplicações da Universidade de Aveiro (2003 a 2008); atualmente é membro do Centro de Matemática da Universidade do Minho (Pólo CMAT-UTAD), desenvolvendo investigação na área de Geometria Combinatória e Topologia. Desde 1998 é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funções docentes nas áreas de Álgebra e Análise e é autor de vários artigos científicos em Geometria/Topologia. SANDRA RICARDO. Licenciada em Matemática (ramo Educacional) pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa (1995), obteve o grau de Mestre em Matemática (especialidade em Matemática Pura) pela Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra (2000) e o grau de Doutor em Matemática (especialidade em Matemática Aplicada) pelo Institut National des Sciences Appliquées de Rouen, França (2008). É membro do Instituto de Sistemas e Robótica (ISR) da Universidade de Coimbra desde 1997 e membro do Centro de Matemática da Universidade do Minho (Polo CMAT- -UTAD) desde 2015, desenvolvendo investigação na área de Sistemas de Controlo Não Lineares. Desde 1996 é docente da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funções docentes nas áreas de Álgebra e Análise. Este livro é fruto da experiência dos autores a lecionar unidades curriculares de Análise Matemática em IRn na Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, e destina-se a estudantes dos cursos de Engenharia, Economia, Gestão e Matemática. Incidindo no estudo de funções de n variáveis reais, o livro aborda as questões fundamentais da continuidade, diferenciabilidade, integração múltipla e os Teoremas do Cálculo Vetorial. Ao longo do livro, os conceitos teóricos são apresentados e exemplificados com vários exercícios resolvidos. No fim de cada capítulo, uma lista de exercícios propostos é fornecida com o intuito de ajudar o estudante a consolidar os conteúdos apresentados. Visite a Sílabo na rede: 23 COLEÇÃO MATEMÁTICA ISBN