CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

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1 Capítulo 3 CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA 3.1 Introdução Definição3.1.Sejam r > 0ex 0 R n.abolaabertadecentro x 0 eraio rédenotadapor B(x 0,r)edefinidapor: B(x 0,r) = {x R n / x x 0 < r}. Se n = 2; x 0 = (x 0,y 0 )ex = (x,y);logo x x 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 : B(x 0,r) = {(x,y) R 2 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < r 2 } B(x 0,r)éo"interior"deumcírculocentradoem (x 0,y 0 )eraio r,ouequivalentemente,oconjuntodosvetoresnoplanodeorigemem (x 0,y 0 )enormamenorque r.nestecaso,oconjunto B(x 0,r)échamadodiscoabertodecentro (x 0,y 0 )eraio r. B(x,r) y 0 r (x,y ) 0 0 x 0 Figura 3.1: Disco aberto. Analogamente,se n = 3; x 0 = (x 0,y 0,z 0 )ex=(x,y,z): B(x 0,r) = {(x,y,z) R 3 /(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 < r 2 } 69

2 70 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA B(x 0,r)éo"interior"deumaesfera"sólida"centradaem (x 0,y 0,z 0 )eraio r,ouequivalentemente,oconjuntodosvetoresnoespaçodeorigemem (x 0,y 0,z 0 )enorma menorque r. r x Figura 3.2: Bola aberta. B(x,r) Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita. 3.2 ConjuntosAbertos Definição3.2. A R n éditoabertoem R n separatodo x A,existe B(x,r)talque B(x,r) A. A Figura 3.3: Conjunto aberto. Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por definição,oconjuntovazioer n sãoconjuntosabertosem R n. Exemplo 3.1. [1]Peladefinição, {x}nãoéabertoem R n,poistodabolaoudiscoabertodecentro xnãoestácontidoem {x}.emgeral,osconjuntosdotipo {x 1, x 2, x 3,...,x n /x i R n }nãosãoabertos. [2] R"pensado"comoareta {(x,0)/x R} R 2 nãoéabertonoplano,poisqualquerdiscoabertocentradoem (x,0)nãoestácontidoem R.

3 3.3. CONJUNTO FRONTEIRA 71 x Figura 3.4: Exemplo[2]. [3] A = (a,b) (c,d)éabertoem R 2. Defato,paratodo (x,y) A, a < x < be c < y < d,denotepor εomenornúmerodoconjunto { x a, x b, y c, y d }, onde éadistânciaentrenúmerosreais.então,porexemplo,considerando r = ε 6, temos, B((x,y),r) A.Logo Aéumconjuntoaberto. d c a A b Figura 3.5: Exemplo[3]. [4] A = R 2 R 3 nãoéabertonoespaço,poisqualquerbolaabertacentradaem (x,y,0)nãoestácontidaem R 2. [5] B(x 0,r)éumconjuntoaberto.Defato,denotandopor d(x,y)adistânciaentre ospontos x, yem R n,se x B(x 0,r)então d(x,x 0 ) < r;tomando r 1 = r d(x,x 0 ) < r,temos: B(x,r 1 ) B(x 0,r). Seráútildarumnomeespecialparaumconjuntoabertoquecontenhaumponto dado x.atalconjuntochamaremosdevizinhançadoponto x. 3.3 ConjuntoFronteira Definição3.3.Seja A R n.umponto x R n éditopontodafronteiraoudobordode Asetodavizinhançade xintersecta AeR n A.

4 72 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA x A Figura3.6:Bordode A. Denotamosoconjuntodospontosdafronteiradoconjunto Apor A.Umconjunto éabertose A A = φ. Exemplo 3.2. [1]Se A = B(x,r)então A = {y/d(x,y) = r};logooconjunto C = {y/d(x,y) r} não é aberto. A C Figura 3.7: Exemplo[2]. [2]Seja A = {(x,y) R 2 /x > 0};esteconjuntocorrespondeaoprimeiroeaoquarto quadrantessemincluirareta x = 0eéabertonoplano;defato,seja (x,y) Ae escolhamos r = x > 0;se (x 1,y 1 ) B((x,y),r)temos: x x 1 = (x x 1 ) 2 (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 < r = x. Logo x 1 > 0eB((x,y),r) A;noteque A = {(0,y)/y R}.

5 3.4. CONJUNTOS FECHADOS 73 Figura 3.8: Exemplo[2]. 3.4 ConjuntosFechados Definição3.4.Umconjunto A R n éditofechadoem R n se A A. Exemplo 3.3. [1] R n étambémumconjuntofechado. [2] A = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 < r 2, r > 0}nãoéfechado,poissuafronteiraé: Logo A A. A = {(x,y) R 2 /x 2 + y 2 = r 2, r > 0}. [3]Osólido W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 r 2, r > 0}éfechadopoissua fronteira é: W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 = r 2, r > 0}. Logo W W.Emgeral,todosossólidossãofechados. [4] A = [a,b] [c,d]éumconjuntofechado,pois Aéoretânguloformadopelas retas x = a, x = b, y = cey = d. Nos próximos parágrafos apresenteremos uma caracterização mais eficiente dos conjuntos abertos e fechados.

6 74 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA

7 Capítulo 4 LIMITES E CONTINUIDADE 4.1 Limites Seja f : A R n Rumafunçãoex 0 A A.Intuitivamente, x 0 A A significaquese x 0 nãopertencea Adeveestararbitrariamente"próximo"de A. Definição 4.1. Oitede fquando xaproxima-sede x 0 é Lquandoparatodo ε > 0,existe δ > 0 talque x B(x 0,δ) Aimplica f(x) L < ε. Notação: x x 0 f(x) = L Equivalentemente, x x0 f(x) = Lquandoparatodo ε > 0,existe δ > 0talque: 0 < x x 0 < δ, implicaem f(x) L < ε. Se n = 2:Consideramos x = (x,y), x 0 = (x 0,y 0 )eovetor x x 0 = (x x 0,y y 0 ) anormadovetor x x 0 é: Usamos a seguinte notação: x x 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2. f(x,y) = L (x,y) (x 0,y 0 ) Se n = 3:Consideramos x = (x,y,z), x 0 = (x 0,y 0,z 0 )anormadovetor x x 0 é: Usamos a seguinte notação: x x 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2. f(x,y,z) = L (x,y,z) (x 0,y 0,z 0 ) 75

8 76 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE Exemplo 4.1. Verifique que (x + 2y) = 5.Defato: (x,y) (1,2) x + 2y 5 = x 1 + 2(y 2) x y 2 (x 1) 2 + (y 2) (x 1) 2 + (y 2) 2 3 (x,y) (1,2). Dado ε > 0,seja δ = ε 3 ; (x,y) (1,2) < δimplicaem x + 2y 5 < 3δ = ε. Logo: (x + 2y) = 5. (x,y) (1,2) As propriedades dos ites são análogas às dos ites de funções de uma variável e suas provas seguem diretamente da definição. Teorema4.1.Seja f : A R n Rumafunção.Seoitede fquando xaproxima-se de x 0 existe,entãoeleéúnico. Este teorema permite fazer simplificações no cálculo de ites. Proposição4.1.Sejam f, g : A R n R, x 0 A Aec R,talque f(x) = Le g(x) = M,então: x x 0 x x 0 1. x x 0 cf(x) = c L, 2. x x 0 (f(x) + g(x)) = L + M, 3. x x 0 (f(x) g(x)) = L M, f(x) 4. x x 0 g(x) = L M se M 0. 5.Emparticular,se P = P(x)éumpolinômiodeváriasvariáveis: 6.Se f(x) = P(x) Q(x) éumafunçãoracional: se x 0 Dom(f). P(x) = P(x 0 ). x x 0 P(x) x x 0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ), Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passam pelo ponto de abcissa x 0 eoriginamvaloresdiferentesparaoitedeumafunçãoquandorestritaàs curvas,entãooitedafunçãoquando xseaproximade x 0 nãoexiste. Vejao exemplo[2].

9 4.1. LIMITES 77 Exemplo 4.2. x 3 + 2x 2 + xy 2 + 2y 2 [1] Calcule x 2 + y 2. Analogamente ao procedimento adotado no cálculo de ites de funções de uma variável,temos: x 3 + 2x 2 + xy 2 + 2y 2 = (x + 2)(x 2 + y 2 ),logo: x 3 + 2x 2 + xy 2 + 2y 2 x 2 + y 2 = (x + 2) = 2. 2xy [2] Calcule x 2 + y 2. Observemosque fédefinidaem R 2 {(0,0)}.Consideremososeguintefamíliade retasquepassampelaorigem: y = k x; fcalculadapara y = k xéf(x,kx) = 2k 1 + k e: 2 f(x,k x) = 2k (x,kx) (0,0) 1 + k 2. Figura 4.1: Exemplo[2]. Logo,sobrecadaretaquepassapelaorigem, ftemumvalorconstante,masque dependedocoeficienteangular k,decadareta.oitedafunção fdependedo percursodoponto (x,y)quandoeletendeàorigem.porexemplo,considere k = 0 e k = 1.Comooitede f,seexiste,éúnico,podemosafirmarqueoitede f noponto (0,0)nãoexiste.

10 78 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE x 2 y [3] Calcule x 4 + y 2. Figura4.2:Curvasdeníveleográficode f. Sejamareta y = 0eaparabóla y = x 2.Então, f(x,0) = 0e: Poroutrolado, f(x,x 2 ) = 1 2 e: (x,0) (0,0) (x,x 2 ) (0,0) x 2 y x 4 + y 2 = 0. x 2 y x 4 + y 2 = 1 2. Logo,oitenãoexiste.Vejaascurvasdeníveldo G(f): sen(x 2 + y 2 ) [4] Calcule x 2 + y 2. Figura4.3:Curvasdeníveleográficode f. sen(x) Docálculoemumavariávelsabemosque = 1.Logo,paratodo ε > 0, x 0 x existe δ > 0talque 0 < x < δ < 1,implica sen(x) x 1 < ε. Poroutroladose v = (x,y),então v 2 = x 2 + y 2 e: sen(x 2 + y 2 ) sen( v 2 ) x 2 + y 2 = v 0 v 2 ;

11 4.1. LIMITES 79 se 0 < kvk < δ, então 0 < kvk2 < δ2 < δ pois 0 < δ < 1, e sen(kvk2 ) < ε. 1 f (v) 1 = kvk2 Logo, sen(x2 + y 2 ) = 1. x2 + y 2 Observemos que as curvas de nível e o gráfico de f são bem "comportados"numa vizinhança de (0.0) Figura 4.4: Curvas de nível e gráfico, respectivamente. [5] Calcule x2 y. x2 + y 2 A função f é definida em R2 {(0, 0)}. Consideremos a família de retas y = k x; f kx calculada em y = k x é f (x, k x) = 1+k 2. Logo: x2 y kx = = x + y (x,kx) (0,0) k + 1 Mas, isto não nos garante que o ite: f (x, y) = 0. Temos que utilizar a definição de ite. De fato, como x2 x2 + y 2 e y p x2 + y 2, temos: p 2 y 2 + y2) x2 y x (x x2 + y 2 p 2 = x + y2, x2 + y 2 = x2 + y 2 2 x + y2 p x2 y Tomando δ = ε, concluimos que x2 +y2 < ε, se 0 < x2 + y 2 < δ. Portanto, x2 y = 0. x2 + y 2

12 80 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE A seguir, apresentaremos uma observação e um algoritmo para verificar a não existência de um ite, gentilmente cedidos pela Professora Patrícia Nunes da Silva do Departamento de Análise do IME-UERJ. Consideremos o seguinte exemplo: É fácil verificar que: f(x,y) = x 3 x 2 + y x 3 x 2 + y. tendeazero,senosaproximamosdaorigemaolongoderetasoucurvasdotipo y = x k.noentanto,oiteacimanãoexiste.paradeterminarumacurvasegundo aqualovalordoitede fquando (x,y)seaproximadaorigemsejadiferentede zero, devemos proceder do seguinte modo: i)procuramosumacurvadaforma y(x) = α(x) x 2 com α(x) 0.Temos: f(x,y(x)) = f(x,α(x) x 2 ) = x3 α(x). Comoqueremosnosaproximardaorigem,aescolhade α(x)devesertalque: Poroutrolado,desejamosque x3 α(x) α(x) = x 3,temos: y(x) = (α(x) x 0 x 0 x2 ) = 0. f(x,x3 x 2 ) = ii) Agora, vamos generalizar esta idéia. nãoseaproximedezero. Porexemplo,se x 3 x 3 = 1. Devemoscalcularoitedeumafunção fquando (x,y)seaproximadeumponto (x 0,y 0 )eencontramosváriascurvasaolongodasquaisafunçãotendeazero.sabemosqueafunçãoédadapeloquocientededuasfunçõesqueseanulamem (x 0,y 0 ), isto é: f(x,y) = (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) p(x, y) q(x,y), talque p(x 0,y 0 ) = q(x 0,y 0 ) = 0. Alémdisso,afunção q = q(x,y)seanulaaolongodeumacurva γ(x)quepassa peloponto (x 0,y 0 )e,nestacurva, p = p(x,y)sóseanulanoponto (x 0,y 0 ).Istoé: γ(x 0 ) = y 0, q(x,γ(x)) = 0 e p(x,γ(x)) 0, paratodo x x 0.Paraencontrarumacurvaaolongodaqualafunção fnãotende a zero devemos proceder do seguinte modo:

13 4.1. LIMITES 81 i) Procuramos uma curva da forma y(x) = γ(x) + α(x) com α(x) 6= 0. ii) Avaliamos a função f (x, γ(x) + α(x)). iii) Analisamos a função f (x, γ(x) + α(x)) a fim de determinar uma expressão conveniente para α(x). Exemplo 4.3. Verifique que x3 + y 3 não existe. x y Considere p(x, y) = x3 + y 3, q(x, y) = x y e p(0, 0) = q(0, 0) = 0. i) Seja γ(x) = x, γ(0) = 0, q(x, γ(x)) = 0, p(x, γ(x)) = 2 x3 6= 0 se x 6= 0. Seja y(x) = x + α(x) com α(x) 6= 0. ii) Por outro lado: f (x, x + α(x)) = x3 + (x + α(x))3 x3 + (x + α(x))3 x3 (x + α(x))3 = =. x x α(x) α(x) α(x) α(x) Seja α(x) = x3 ; logo: f (x, x + x3 ) = 1 (1 + x2 )3 e: f (x, x + x3 ) = 1 1 = 2. Figura 4.5: Projeção do G(f ), no plano xy.

14 82 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE 4.2 Continuidade Seja A R n e f : A R n Rumafunção. Definição4.2. fécontínuaem x 0 Aquando: 1. x x 0 f(x)existe 2. x x 0 f(x) = f(x 0 ) Equivalentemente, fcontínuaem x 0,quandoparatodo ε > 0existe δ > 0talque se: x x 0 < δ, então f(x) f(x 0 ) < ε. Definição4.3.Dizemosque fécontínuaem Ase fécontínuaemcada x 0 A. Exemplo 4.4. [1]Se P = P(x)éumafunçãopolinomialdeváriasvariáveis,então Pécontínua emqualquerpontodo R n. [2]Aseguintefunçãonãoécontínuanaorigem: f(x,y) = { 2 x y x 2 +y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). De fato: f(x,y) = (x,k x) (0,0) 2k k = 2k k istoé,oitenãoexistepoisdependede k;logo, fnãoécontínua. [3] A seguinte função é contínua na origem: De fato: f(x,y) = { x 2 y x 2 +y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). x 2 y x 2 = f(0,0) = 0. + y2 Vejaosdesenhosdacurvasdenívelegráficode f,respectivamente:

15 4.2. CONTINUIDADE Figura 4.6: Exemplo[3]. [4]Afunção f(x,y) = arctg ( y ) nãoécontínuanoconjunto A = {(0,y)/y R}. x Vejaográficoeascurvasdenívelde f: Figura 4.7: Exemplo[4]. As propriedades das funções contínuas são análogas às das funções contínuas de uma variável. Suas provas seguem diretamente da definição. Proposição4.2.Sejam f, g : A R n Rfunçõescontínuasnoponto x 0.Então: 1. f + ge f gsãocontínuasem x 0. 2.Se f(x 0 ) 0então 1 f écontínuaem x 0. As provas seguem da definição. Exemplo 4.5. [1] As função elementares são contínuas nos pontos onde estão definidas. [2] As funções racionais nos pontos onde os polinômios do denominador não se anulam, são contínuas. [3]Afunção f(x,y) = x3 + y x écontínuaem R2.

16 84 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE Proposição4.3. Sejam f : A R n Rumafunçãocontínuanoponto x 0 Ae g : I R Rumafunçãotalque f(a) Idemodoque g festejabemdefinida.se g écontínuaem f(x 0 ),então g fécontínuaem x 0. A prova segue da definição. Exemplo 4.6. [1]Afunção f(x,y,z) = (x 2 + z 2 + y 4 ) 4 + sen(z 2 )écontínuaem R 3. Afunção féasomadeduasfunçõescontínuas: f 1 (x,y,z) = (x 2 + z 2 + y 2 ) 4 e f 2 (x,y,z) = sen(z 2 ). f 1 éacompostadafunção h(x,y,z) = x 2 +z 2 +y 2 e g(u) = u 4, ambascontínuasef 2 éacompostade h(x,y,z) = z 2 e g(u) = sen(u),também contínuas. [2]Afunção h(x,y,z) = (x2 + z 2 + y 4 ) 4 + sen(z 2 ) x 2 + y 2 + z 2 écontínuaem R 3 {(0,0,0)}. De fato, escrevendo: h(x,y,z) = f(x,y,z) g(x,y,z), onde féafunçãodoexemploanterioreg(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 queécontínua enãonula,excetonaorigem. Pelapropriedadeii)temosque hécontínuaem A = R 3 {(0,0,0)}. [3]Afunção f(x) = x = x x x2 n écontínuaparatodo x Rn.Em particular: f(x 1,x 2,x 3,...,x n ) x 2 i = x i, paratodo x R n. [4]Seja v = (x,y),então: v 2 v x 2 +y 2 v 2 x2 y x 2 y x 2 + y 2 = 0 e = v.como v = 0temos v 0 x 2 y x 2 + y 2 = 0. [5]Determineovalorde Aparaqueaseguintefunçãosejacontínua: sen( x 2 +y 2 ) se (x,y) (0,0) f(x,y) = x 2 +y 2 A se (x,y) = (0,0). Seja v = (x,y);então, logo, A = 1. sen( x 2 + y 2 ) sen( v ) = = 1; x 2 + y 2 v 0 v A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica fora do contexto destas notas.

17 4.3. EXERCÍCIOS 85 Proposição4.4.Seja h : R n Rumafunçãocontínua;então: 1. A = {x R n /0 < h(x)}éabertoem R n. 2. F = {x R n /0 h(x)}éfechadoem R n. 3. A = {x R n /h(x) = 0}. Exemplo 4.7. [1]Osplanosem R 3 sãoconjuntosfechados.defato,considere: Afunção hécontínuaem R 3. h(x,y,z) = ax + by + cz d. [2]Osólido W = {(x,y,z) R 3 /x 2 + y 2 + z 2 r 2, r > 0}éumconjuntofechado. De fato, considere: h(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 r 2. Afunção hécontínuaem R 3 epelaproposição Wéfechado. [3]Aparábola A = {(x,y) R 2 /y = x 2 }éumconjuntofechado.defato,considere: h(x,y) = y x 2. Afunçãoécontínuaem R 2 epelaproposição Aéfechado. 4.3 Exercícios 1. Utilizando as propriedades de ite, calcule: (a) (x,y) (0,1) x3 y (b) (x,y) (0,1) ex y (c) xy x 2 + y sen(xy) (d) xy ( (e) x 3 y + y ) (x,y) (1,1) sen 2 (xy) (f) (xy) 2 (g) ln( 1 + (x,y) (1,1) x2 y 3 ) (1 (h) (x,y,z) (1,2,6) x + 1 y + 1 ) z 2.Verifiqueseositesdasseguintesfunçõesdadasexistemnoponto (0,0): (a) f(x,y) = x2 x 2 + y 2 (b) f(x,y) = x3 + y 3 x 2 + y (c) f(x,y) = 6x2 y 2 + 2xy 3 (x 2 + y 2 ) 2 (d) f(x,y) = x2 y 2 x 3 + y 3 (e) f(x,y) = x3 + y 3 (x 2 + y) 2 (f) f(x,y) = x4 + 3xy 2 x 2 + y 2

18 86 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE 3.Verifiquequeositesdasseguintesfunçõesexistemse (x,y) (0,0): (a) f(x,y) = x3 + y 3 x 2 + y 2 (b) f(x,y) = xy x 2 + y 2 4. Verifique que: 1 cos ( ) xy (a) = 0 x sen(x 2 + y 2 ) (b) 1 cos ( x 2 + y 2) = 2 ( x 2 ) ( x 2 ) 5. Verifique que:. x 0 y 0 x 2 + y 2 y 0 x 0 x 2 + y 2 xsen ( 1) se y 0 6.Seja: f(x,y) = y. Verifique que: 0 se y = 0. (a) f(x,y) = 0 (b) x 0 ( y 0 f(x,y) ) y 0 ( x 0 f(x,y) ). 7. Discuta a continuidade das seguintes funções: xy se (x,y) (0,0) (a) f(x,y) = x 2 + y 2 0 se (x,y) = (0,0). x 2 y (b) f(x,y) = x 4 + y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). x + y (c) f(x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). x 3 + y 3 (d) f(x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). x 3 y 3 (e) f(x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) (0,0) 0 se (x,y) = (0,0). sen(x + y) se (x,y) (0,0) (f) f(x,y) = x + y 2 se (x,y) = (0,0).

19 4.3. EXERCÍCIOS 87 xz y 2 (g) f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 se (x,y,z) (0,0,0) 0 se (x,y,z) = (0,0,0). 8. Usando a composição de funções, verifique que as seguintes funções são contínuas: (a) f(x,y) = x 2 + y 2 xy (b) f(x,y) = x 2 + y (c) f(x,y) = x 4 + y (d) f(x,y) = sen(x 2 y + y 2 x) (e) f(x,y) = sen(xy) x 2 + y 2;x, y 0 (f) f(x,y) = cos 3 (xy 3 ) 1 (g) f(x,y) = ; x, y 0 3 sen(xy) (h) f(x,y) = sech 3 (xy 3 ) (i) f(x,y,z) = ln( x 2 + y 2 + z 2 1) 1 (j) f(x,y,z) = x 2 y 2 z Calculeovalorde aparaqueafunção x 2 y 2 se (x,y) (0,0) f(x,y) = y a 4 se (x,y) = (0,0), seja contínua.

20 88 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE