Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

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1 Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 009

2 008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C5 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., p. ISBN: Matemática.. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 50 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho,.8 Batel Curitiba PR

3 Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

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5 Sumário Contagem. A noção básica da Matemática: a contagem. O sistema de numeração decimal Adição e subtração 7. A adição 7. A subtração 8 Multiplicação e divisão. A multiplicação. A divisão Frações (I) 5. As frações 5. Resolução de problemas com frações 8. Frações próprias e impróprias 0. Simplificação de frações Frações (II) 5. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 5. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 6. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 7. Multiplicação com frações 0 5. Divisão com frações Potenciação. Potenciação

6 Expressões numéricas 7. Introdução 7. Regras para a resolução de expressões numéricas 7 Geometria (I) 5. Polígono 5. Ângulos 55. Triângulo 55. Quadrilátero Perímetro de um polígono Medida do comprimento da circunferência 6 Geometria (II) 65. Unidade de área 65. Áreas de figuras planas 66. Volumes 70 Razão e proporção 75. Razão 75. Proporção 79. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85. Grandezas diretamente proporcionais 85. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95. Proporcionalidade composta 95. Regra de três composta 97

7 Porcentagem e juro 05. Porcentagem 05. Juro Equações do. o grau 7. Introdução 7 Equações do. o grau 5. Noção de equação do. o grau 5. Forma geral 5. Solução de uma equação do. o grau 7. Resolução de problemas do. o grau 7 5. Problemas que envolvem equações do. o grau 8 Sistemas lineares x. Introdução. Sistema de equações lineares x. Solução de um sistema linear x : método gráfico. Solução de um sistema linear x : método da substituição 6 5. Solução de um sistema linear x : método da comparação 5 6. Solução de um sistema linear x : método da adição 5 Radiciação 59. Introdução 59. Quadrados perfeitos 60. Raiz quadrada 6 Gráfico e função 6. Plano cartesiano 6. Função afim 6. Função quadrática 68

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9 Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

10 (conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

11 Multiplicação e divisão. A multiplicação A operação de multiplicação era efetuada por antigas civilizações, tais como a babilônica e a egípcia. No antigo Egito, por exemplo, há registros do emprego da palavra sep entre os números em uma multiplicação, que se traduzia por vezes. A lista dos principais verbos que sugerem multiplicação é a seguinte: duplicar, dobrar, triplicar, quadriplicar, quintuplicar, centuplicar, replicar, redobrar, repetir etc. Exemplos:. Na sala de aula de Bruno, existem 5 filas com 6 alunos em cada fila. As atuais notações para representarmos a idéia de multiplicação são x e., em Matemática Elementar I as duas formas são utilizadas.

12 Matemática Elementar I Caderno de Atividades a) Quantos alunos estão presentes na sala se ninguém faltou? = 0 alunos b) Quantos pés de alunos nós temos na sala? = 60 pés Logo, temos 60 pés de alunos. 0 vezes Na situação que acabamos de exemplificar está envolvida mais uma das idéias da multiplicação, que é a soma de parcelas iguais. Mas existem outras situações relacionadas à idéia de multiplicação, como a idéia de combinação.. Considere as cidades X, A e Y. Para ir de X até A existem 5 caminhos diferentes. Para ir de A a Y existem caminhos diferentes. Quantos caminhos diferentes existem de X até Y? a a b X a a A b b Y a 5 As possibilidades de caminho são: a b a b a b a b a 5 b a b a b a b a b a 5 b a b a b a b a b a 5 b 5 No total, são 5 maneiras diferentes.. Um prédio residencial possui 6 andares, com apartamentos por andar. Em cada apartamento temos moradores. Responda: a) Quantos apartamentos tem esse prédio? 6. = apartamentos b) Quantas pessoas moram nesse prédio?. = 7 pessoas. Joaquina é muito vaidosa. Ela possui calças e 5 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?. 5 = 5 maneiras diferentes.

13 Multiplicação e divisão 5. O táxi de Antônio gasta em média litro de gasolina por 5 quilômetros rodados. O tanque do carro é de litros. Quantos quilômetros Antônio pode rodar com o combustível de um tanque cheio? 5. = 60 quilômetros 6. Uma roda-gigante dá voltas por minuto. Quantas voltas dá em meia hora? meia hora = 0 minutos. 0 = 90 voltas. A divisão Desde a Antigüidade a divisão era a partilha de uma determinada quantidade de objetos por um certo número de pessoas. Na evolução das idéias provavelmente foi substituindo-se por sinais até chegarmos ao processo atual da divisão. Desse modo, a idéia de divisão é associada a situações ligadas aos verbos: partir, repartir, fracionar, fragmentar, separar, dividir etc. A divisão pode ser encarada também como a operação inversa da multiplicação. Veja: Se x 5 = 60, então 60 : 5 = ou 60 : = 5 Vamos acompanhar algumas situações em que usamos a divisão:. Uma caixa de bombons será dividida entre irmãos. Se a caixa possui 0 chocolates, quantos cada um recebeu? Logo, cada irmão recebeu 5 chocolates. 0 : = 5 chocolates. Comprei pneus e paguei R$80,00. Quanto custa cada pneu? 80 : = 0 Logo, cada pneu custa R$0,00.. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$.00,00 à vista, que pode ser parcelada em 5 vezes sem juros. Qual é o valor de cada parcela? Logo, cada parcela será de R$0, : 5 = 0 As atuais notações para representarmos a idéia de divisão são : e, em Matemática Elementar I as duas formas são utilizadas.

14 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Exercícios. Um prédio comercial possui 5 andares, com 8 conjuntos por andar e pessoas por conjunto. Responda: a) Quantos conjuntos tem esse prédio? b) Quantas pessoas trabalham nesse prédio?. Maria é muito vaidosa. Ela possui calças e 7 camisetas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?. Comprei pneus e paguei R$600,00. Quanto custou cada pneu?. O preço de uma mercadoria em uma loja é de R$.800,00 à vista, que pode ser parcelada em 6 vezes sem juros. Qual será o valor de cada parcela?

15 Gabarito Gabarito Multiplicação e divisão. a) 0 conjuntos. b) 0 x = 0 pessoas... 7 = maneiras diferentes.. Cada pneu custou R$50,00.. Cada parcela será de R$800,00.

16 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações

17 Frações (I). As frações As frações foram criadas há mais de 500 anos, no antigo Egito, principalmente para expressar medidas que não podiam ser demonstradas apenas com os números naturais. Ainda hoje as frações são muito usadas para expressar medidas. Na linguagem comum, fração significa parte. Na Matemática, fração é um conceito com mais de um significado. Um desses significados relaciona-se com a noção de parte. Observe as representações fracionárias das partes pintadas em relação à figura toda: ou ou Fração que corresponde Leitura Um meio ou metade Um terço ou Dois terços ou ou ou 5 7 Um quarto Três quintos Um sétimo

18 6 Matemática Elementar I Caderno de Atividades. Representação Na representação de um número fracionário usamos dois números inteiros separados por uma barra horizontal chamada traço de fração. Veja: a b numerador denominador O número de cima é chamado numerador e o número de baixo é chamado de denominador. representa a) O numerador indica o número de partes consideradas; b) o denominador indica o total de partes em que o todo foi dividido.. Nomenclatura Usamos as palavras meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo para as frações de denominadores a 0. Por exemplo: 7 8 Dois sétimos Três quartos Um oitavo 0 Um meio Três décimos Para denominadores maiores que 0, acrescenta-se à leitura dos denominadores a palavra avos. Veja alguns exemplos: 7 7 Um trinta e sete avos Sete onze avos 7 68 Setenta e dois cento e sessenta e oito avos

19 Frações (I) 7.. Frações decimais As frações cujos denominadores são potências de 0, chamadas de frações decimais, recebem denominações especiais. Acompanhe os exemplos: Um décimo Um centésimo Um milésimo Um décimo de milésimo Exercícios. Escreva a fração correspondente à parte pintada em cada figura. a) b) c)

20 8 Matemática Elementar I Caderno de Atividades. Ligue as frações indicadas às representações gráficas correspondentes Escreva a forma numérica de cada uma das frações: a) Dois nonos b) Doze centésimos c) Três quartos d) Sete treze avos e) Quatro sextos f) Vinte e dois trinta e nove avos. Resolução de problemas com frações. Uma cachorrinha teve filhotes. Desses, eram machos. Quantos eram machos? A quarta parte de é : =. Assim, de é igual a.

21 Frações (I) 9 de é igual a x = 6. de é igual a x = 9, que é o número de machos.. Antônio gasta do seu salário com o aluguel. Se Antônio ganha R$850,00, quanto ele 5 gasta com o aluguel? 850 de 850 = 5 5 = 70 de 850 = x 70 = 50 5 Logo, Antônio gasta R$50,00 com o aluguel. Exercícios. Calcule: a) de 0 b) de 90 c) de 800 d) de 7 e) 5 de 0 6

22 0 Matemática Elementar I Caderno de Atividades. Frações próprias e impróprias Observe a classificação das frações nas figuras abaixo: 6 Fração própria, pois está relacionada com a parte de um todo, sendo menos que a unidade. Fração imprópria, pois é maior que a unidade. 5 Fração imprópria, pois é maior que a unidade. = É o inteiro, pois a fração representa o número. Exercícios 5. Escreva a fração correspondente a cada uma das figuras: a) b)

23 Frações (I) c). Simplificação de frações Existem frações que se referem a mesma parte do todo, por exemplo e. Observe nas figuras a seguir: Para simplificar uma fração devemos determinar sua fração equivalente. Uma maneira de simplificar uma fração é dividir o numerador e o denominador por um mesmo número quando houver fator comum. Caso esses termos não tenham fator comum, não é possível simplificar a fração. Neste caso, dizemos que a fração está na forma irredutível. Veja alguns exemplos: a) Simplificar 6 8 : Dividimos o numerador e o denominador por : 6 6 : = = 8 8 : A fração está na forma irredutível, pois não há fator comum entre e. b) Simplificar 5 5. Dividimos o numerador e o denominador por 5: 5 5 = 5 : 5 = 5 : 5 5 A fração 5 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre e 5.

24 Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) Simplificar 68. Dividimos o numerador e o denominador por e depois por 7: 68 = : = 7 = 7 : 7 68 : : 7 = 8 A fração 8 está na forma irredutível, pois não há fator comum entre e 8. Exercícios 6. Escreva as frações equivalentes para cada figura a seguir. Observe o modelo: = = 6 a) = = b) = =

25 Frações (I) c) = = 7. Simplifique as frações a seguir: a) 5 0 e) 6 00 b) 6 9 f) 7 96 c) 6 g) 9 05 d) 8 h) 0 00

26 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações

27 Gabarito Gabarito Frações (I). a) b) c) a) 9 b) 00 c) d) e) f) a) 0

28 Matemática Elementar I Caderno de Atividades b) 0 c) 00 d) 8 e) a) b) c) a) = 6 b) = 0 5 c) 5 = a) 9 5 b) 9 c) 7 5 d) 5