Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

2 APRESENTAÇÃO Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio (2º Grau). Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios. As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática. Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente. No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Não escreva na apostila, use seu caderno. META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam OBJETIVOS ( Módulos 3, 4 e 5) Nesta U.E. você será capaz de: - Calcular a área baseado no croqui de uma casa. - Diferenciar área de perímetro e reconhecer as figuras geométricas - Calcular área das diferentes figuras geométricas e resolver problemas do cotidiano - Usar a proporcionalidade para resolver problemas - Aplicar o Teorema de Pitágoras na solução de situações-problemas. MÓDULO 3 2

3 Neste módulo você vai ter uma noção do conceito de semelhança entre figuras e ver como se comportam as áreas semelhantes para depois ampliar esses conhecimentos com o Teorema de Tales no módulo 5.. Duas figuras são semelhantes quando uma é ampliação da outra. Ampliar ou reduzir uma figura significa obter uma outra com a mesma forma mas com tamanho diferente. Numa ampliação todas as medidas estão multiplicadas por um mesmo número. Numa redução todas as medidas estão divididas por um mesmo número. Multiplicado por 2 Esse número que multiplica (amplia) ou divide (reduz) uma figura é chamado de razão de semelhança. Dois polígonos (figuras com ângulos) são semelhantes se: - Suas medidas são proporcionais (lados correspondentes aumentam ou diminuem na mesma razão). - Seus ângulos são congruentes (mesma medida). 0,7cm 1,12cm 2,0cm 135º 122º 2,5cm 3,2cm 135º 122º 4cm 56º 47º 3,5cm 56º 47º 5,6cm Plantas e Mapas 3

4 Você já viu a planta de uma casa? Ela deve ter a mesma forma e a mesma distribuição da casa que você deseja construir, mas com medidas menores para caber em uma folha de papel. Por isso o desenhista divide todas as medidas por um mesmo número tornando assim figuras semelhantes. Da mesma forma são feitos os mapas representando uma figura semelhante ao real. Tanto as plantas como os mapas devem vir acompanhados por uma informação muito importante: a escala. Escala Escala é a razão entre a medida de um comprimento no desenho e a medida correspondente ao comprimento real. Vamos mostrar a seguir a planta de um terreno na escala 1/500 (um para quinhentos). Isso quer dizer que, para fazer a planta, o desenhista dividiu as medidas do terreno por 500 (500 vezes menor). C D 4,5 Escala 1/500 Quadra A 5 7 Lote 2 A 4 Rua Bela B Se você tem a planta do terreno, a escala do desenho e uma régua, pode facilmente calcular suas medidas reais. Basta multiplicar as medidas encontradas na planta pelo número que aparece no denominador da escala. No nosso exemplo, para determinar as medidas do terreno basta multiplicar as medidas da planta por 500. Veja: MEDIDA NA PLANTA MEDIDA REAL 4

5 FRENTE DO TERRENO AB = 4cm = 2000cm = 20 m LATERAL ESQUERDA AD = 5cm = 2500cm = 25 m LATERAL DIREITA BC = 7cm = 3500cm = 35 m FUNDO DO TERRENO DC = 4,5cm 4, = 2250cm = 22,5m Com a planta do terreno e sua escala, podemos calcular duas outras medidas importantes: o perímetro e a área desse terreno. O perímetro é a soma de todas as medidas do contorno do terreno. É a soma dos seus lados. No nosso terreno, o perímetro será: ,5 = 102,5 m E a área é calculada pela fórmula do trapézio (mód. 4): A t = (B + b). h 2 Então: A = ( ). 20 = 600 m² 2 O CROQUI O croqui é um esboço do desenho de uma casa mostrando a disposição dos cômodos, usando medidas proporcionais à casa real. Essas medidas proporcionais são calculadas através de uma escala (razão) para que o desenho seja semelhante à casa real. É conveniente você usar a escala 1/100 cm, pois assim você terá 1 cm no papel representando 100 cm (1m) do real. Ex.: Se a cozinha da casa tem medidas, 6m de largura por 4m de comprimento no papel seu desenho terá 6cm de largura por 4cm de comprimento. A planta da casa é um croqui mais aperfeiçoado com localização de portas e janelas, espessura de paredes, etc... 5

6 MAPAS Os mapas são desenhos muito reduzidos de grandes regiões. Para que você possa determinar distâncias em um mapa, precisa apenas de uma régua e da escala desse mapa. Abaixo você vê o mapa do estado de São Paulo com suas principais cidades desenhado na escala 1 : 117. Calcule a real distância em Km entre as cidades de Sorocaba e Ourinhos. A CASA O primeiro desenho que fazemos da nossa casa é apenas um esboço. Neste desenho, também chamado de croqui, mostrando a disposição dos cômodos com suas medidas aproximadas. Devemos já usar uma escala para que o desenho seja semelhante à casa que pretendemos construir. Usaremos aqui a escala 1/100, que é muito conveniente porque cada centímetro do desenho corresponderá a 100 centímetros reais, ou seja, a 1 6 1,50 4,00 1,80 3,00

7 metro. Assim por exemplo, se você medir a largura de um quarto e encontrar 3 cm, saberá, de fato, essa largura é de 3 m. Veja então a proposta para nossa casa: Vamos agora calcular a área de cada cômodo e a área total da casa: A área é calculada multiplicando o comprimento pela largura. Área de serviço... 2,80. 1,50 = 4,20 m² Cozinha... 4,00. 2,80 = 11,20 m² Banheiro... 1,80. 2,80 = 5,04 m² Quarto B... 3,00. 4,20 = 12,60 m² Quarto A... 3,00. 3,20 = 9,60 m² Sala... 7,30. 4,60 = 33,58 m² ÁREA TOTAL... 76,22 m² Você pode também calcular comprimento e largura da sua casa, vejamos: Comprimento 3,00 + 7,30 = 10,30 m ou 1,50 + 4,00 + 1,80 + 3,00 = 10,30 m Largura: 4,60 + 2,80 = 7,40 m ou 3,20 + 4,20 = 7,40 m EXERCÍCIO: 7

8 A planta ilustrada foi desenhada na escala 1 : 100: a) Calcule as dimensões reais da sala desta casa. b) Calcule quantos metros quadrados de carpete são necessários para forrar o chão dos dormitórios A e B. c) Quantos metros quadrados de piso são necessários para colocar na sala e na cozinha? d) Calcule o comprimento e a largura dessa casa. 3 cm 1,5 cm 3 cm Dormitório A banheiro 2,5cm 1cm corredor Sala Cozinha Dormitório B 2,5cm 4,5cm 3,5cm GABARITO a ) 3,5 m e 6 m b ) 18,75 m² c ) 39 m² d ) comp = 11 m largura = 6 m 8

9 MÓDULO 4 ÁREAS e PERÍMETROS PERÍMETRO: é a soma das medidas de todos os lados que formam uma figura geométrica. Exemplo: 4cm 10cm 4cm P= = 23cm 5cm 9

10 O perímetro de uma figura circular é a medida do comprimento da circunferência (contorno). Usa-se a fórmula 2 r onde = 3,14 Exemplo: Raio=4cm 2 r = 2 3,14 4 = 25,12cm ÁREA: é a medida da superfície de uma figura geométrica. Cada figura tem uma maneira especial de se calcular a área. È usado a unidade de medida universal: o metro quadrado (m²). São também usados o Km² e o cm². Ao operar com medidas não podemos esquecer que todas devem estar na mesma unidade. Quando isto não ocorre temos que fazer as transformações necessárias. ÁREAS DE POLÍGONOS A grande maioria dos problemas práticos fala de figuras tais como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos( seis lados), trapézios e outros. Polígonos: são figuras formadas por segmentos de retas(seus lados) dispostos numa linha poligonal fechada. Veja alguns exemplos: TRIÂNGULO HEXÁGONO TRAPÉZIO RETÂNGULO QUADRADO Há também octógono (8 lados), decágono (10 lados), pentágono(5 lados),etc você não precisa decorar esses nomes agora. É claro que os desenhos acima são apenas alguns exemplos de polígonos, mas você pode perceber que cada um ocupa uma certa quantidade de superfície que chamamos de área. 10

11 Na vida prática, saber calcular a área pode lhe ajudar em alguns problemas cotidianos seja o tamanho do seu terreno ou a quantidade de lajotas que você deverá comprar para por no piso de sua casa, ou a quantidade de tecido necessário para se fazer um vestido, etc. Para você calcular a área de um polígono é necessário que você saiba identificá-lo, isto é saiba com que figura está trabalhando portanto preste atenção nas características descritas nas figuras abaixo. 1- ÁREA DOS PARALELOGRAMOS: quadrilátero (quatro lados) cujos lados opostos são congruentes(mesma medida) e paralelos dois a dois. Observe o paralelogramo: b=base h=altura Altura medida de uma base a outra. Pode vir marcada dentro da figura com uma linha pontilhada ou com ao lado com uma linha cheia h b A paralelograma = b h Onde b= base h = altura h O retângulo e o quadrado são exemplos de paralelogramo. ÁREA DO RETÂNGULO: tem lados congruentes(mesma medida) dois a dois e 4 ângulos retos ( 90º) A B Observe o retângulo: Lado AB paralelo ao lado CD e congruentes Lado AC paralelo a BD e congruentes Ângulos retos: Â, B, C, D (90º) C 3 cm 2 cm D Para calcular a sua área ou superfície basta multiplicar o comprimento (base) pela largura (altura) Podemos então dizer que A= área A retângulo = b. h 11

12 b= base h= altura Para o exemplo acima temos a área igual a A = 3 2 = 6cm² Onde: 3 base do retângulo 2 altura do retângulo 6 área do retângulo ÁREA DO QUADRADO: tem 4 lados congruentes (mesma medida) e quatro ângulos retos (90º). Observe o quadrado com lados de 4 cm. 4cm Como os quatro lados têm a mesma medida não há necessidade de chamar os lados de base e altura A quadrado = L² 4cm Podemos concluir que b=h então a área do quadrado é lado vezes lado ou L². o exemplo acima A = 4 4 = 16 cm² 2- ÁREA DO TRAPÉZIO. têm dois lados paralelos: B (base maior) e b (base menor) Observe o trapézio: b = 4cm b base menor B base maior h altura h= 3cm h ou h B B = 7cm Se quisermos saber a área de um trapézio, basta fazer: b A trapézio = (B+b).h 2 onde: 12

13 No exemplo acima temos a área do trapézio igual a: A = (7 + 4 ) 3 = 11 3 = 33 16,5cm² ÁREA DO TRIÂNGULO: tem 3 lados e 3 ângulos) Considere um triângulo qualquer: A triângulo = b.h 2 h = 4cm Onde; b= base h= altura b = 5cm Calculando a área do triângulo: A = 5 4 = 20 = 10cm² ÁREA DO LOSANGO: seus lados são paralelos dois a dois Divida um losango em quatro triângulos iguais: 8 Área losango = D.d 2 18cm Onde D = diagonal maior d = diagonal menor Para calcular a área do losango do exemplo acima devemos: A = 18 8 = 144 = 72cm²

14 EXERCÍCIOS: : 1-Deseja-se forrar um pátio que possui 16,8 metros de comprimento por 5 m de largura, com ladrilhos cuja medida é de 12 cm por 20 cm. Sendo assim, deseja-se saber quantos ladrilhos são necessários. Sugestão: - Calcule a área do Pátio - Faça a transformação da medida do ladrilho (cm para m ) - Calcule a área de 1 ladrilho, e... - Agora é com você...,quantos ladrilhos cabem no piso do pátio? Lembre-se de transformar cm e m. Ex : 12 cm = 0,12 m 2-Um piso foi forrado com 200 ladrilhos cujas medidas são de 25 cm por 25 cm. Sendo assim, quantos cm 2 possuem esse piso? Sugestão: - Ache a área de 1 ladrilho Veja quantos cm 2 tem em 200 ladrilhos 3 Na casa de João existe um quarto cujo chão é um quadrado de 4m de lado. Calcule a área desse quarto. 4-Observe o triângulo abaixo e calcule sua área. 5,19 A base é 6 cm e a altura é 5,19 cm 6 cm 5. Calcule a área do polígono Sugestão: O polígono é formado por 3 figuras: trapézio, retângulo e triângulo. Calcule a área de cada uma para depois determinar área total. 14

15 6 O telhado dessa casa é de quatro águas Para cobrir 1 m² de telhado gastam-se 15 telhas. Quantas telhas, aproximadamente há no telhado da casa? SUGESTÃO: - primeiro calcule a área de cada figura que forma o telhado. - Calcule a área total do telhado - Calcule a quantidade de telhas CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO O que é círculo? É o conjunto formado por todos os pontos de uma circunferência mais o seu interior. Ex: CD, moeda, etc.. O círculo tem superfície, portanto podemos calcular a ÁREA. O que é circunferência? É o conjunto formado por todos os pontos que contornam o círculo. Exemplo: um anel, um bambolê 15

16 A circunferência não tem superfície.nela podemos apenas medir o seu contorno que chamamos de comprimento da circunferência. Tanto no círculo como na circunferência existe uma medida chamado RAIO que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência. Veja o desenho: ele está usando um pedaço de corda (raio) presa ao centro para desenhar uma circunferência. DIÂMETRO: é o dobro do raio.é uma medida que sai de um ponto da circunferência, passa pelo centro e vai até o outro ponto da circunferência. Circunferência (tem comprimento) Círculo (tem área) raio diâmetro CD ANEL COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA E ÁREA DO CÍRCULO 16

17 Quando falamos na forma circular, imediatamente pensamos no número irracional, cujo valor na forma decimal é 3,14. e sua descoberta é uma das grandes páginas da história da Matemática. ÁREA DO CÍRCULO é determinada pela fórmula : A =. r² Onde: r = medida do raio = 3,14 é uma letra grega e lê-se pi. Curiosidade: Esse valor constante do é obtido dividindo-se o comprimento ( C ) da circunferência pelo seu diâmetro ( D ) Ex : Determine a área do circulo cujo raio mede 6cm A = 3,14. 6² A = 3, cm LEMBRE-SE: A = 113,04 cm² 6² = 6 6 = 36 COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA é calculado com a fórmula: C = 2.. r Calcule o comprimento da circunferência cujo raio é 8cm 8 cm C = 2.. r C = 2. 3,14. 8 C = 50,24 cm Diâmetro é o dobro do raio. Se o diâmetro mede 10 cm, qual é a medida do raio? É 5 cm. ACERTOU!!!! EXERCÍCIOS : 17

18 7 ) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. SUGESTÃO: calcule a área da pizza inteira para depois dividi-la por seis.. 8 ) A comunidade vai cercar uma praça com árvores distribuídas a cada 5 m. Como essa praça tem 150 metros de raio, quantas árvores serão necessárias? 9 ) Um bambolê tem 60 cm de diâmetro. Determine o seu comprimento. 10 ) Um disco de cobre têm 80 m de diâmetro. Determine a área desse disco. GABARITO 1 )3500 ladrilhos 2 ) cm² ou 12,5 m 2 3 ) 16m 2 4 ) 15,57 cm² 5 ) A = 25,35 m² 6 ) 177,19 m², aproximadamente 2657 telhas 7 ) 117,75 cm² 8) aproximadamente 189 árvores 18

19 9 ) 188,4 cm 10 ) 5024 m² MÓDULO 5 Freqüentemente, engenheiros arquitetos, construtores e urbanistas têm a precaução de desenhar e mostar suas obras em dimensões reduzidas, como um primeiro passo para a sua construção. Para isso, esses profissionais fazem uso de maquetes e plantas em seus respectivos trabalhos. O desenho da planta de um apartamento, um desenho e sua imagem vistam por uma lupa, são exemplos de semelhança. 19

20 FIGURAS SEMELHANTES Ítalo e Aline fazem ginástica diariamente. Veja a foto e sua ampliação: Observe que as medidas dos lados das duas fotos são diferentes mas as medidas dos ângulos são iguais. 46 mm 124 º 35º 32 mm 69 mm 124 º 35º 48 mm 66 cm 99 cm Na matemática, uma foto e sua ampliação são exemplo de figuras semelhantes. Pode-se dizer que dois triângulos têm a mesma forma, uma vez que ambos têm forma triangular mas, nem sempre são semelhantes. Porém, dois triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes. Eles têm a mesma forma! Dois círculos são sempre semelhantes: Em figuras semelhantes há certas propriedades notáveis. Uma delas referese a comprimentos. 20

21 Observe que as medidas das figuras ( Ítalo e Aline) são diretamente proporcionais aos comprimentos correspondentes da outra. Multiplicando os comprimentos da figura menor por 1,5 obtemos os comprimentos da maior. Dizendo de outra maneira, temos: 99 mm = 69 mm = 48 mm 66 mm 46 mm 32 mm Figuras semelhantes têm também uma propriedade referente a ângulos. Os ângulos de uma figura são iguais aos ângulos correspondentes da outra. ( Veja bem, aqui não entra proporcionalidade). Em dois triângulos semelhantes: Os ângulos congruentes (mesmas medidas) são chamados ângulos correspondentes; os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos. Você verá que a semelhança de triângulos é muito utilizada no Teorema de Tales. TEOREMA DE TALES Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales? - Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo. - Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 ac. e morreu em 546 ac. - A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas: 21

22 m n Três ou mais retas paralelas (r,s,t) cortadas por duas retas transversais (m,n) determinam segmentos proporcionais: a = c b d ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS Quando dois triângulos são semelhantes, os seus lados correspondentes são proporcionais. O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais 22

23 Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar a medida de um dos segmentos das retas transversais = 20 multiplicando X. 20 = X 10 x 10 X. 20 = 120 X = x = 6 Você sabe que existem situações em que é difícil efetuar medições então, podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos triângulos semelhantes. Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte? Veja o esquema e observe como resolve a proporção para achar o valor de x. O formato de um triângulo fica completamente definido quando são conhecidos os seus ângulos. Para isso basta conhecer dois ângulos, pois o terceiro é o que falta para que a soma dos três seja igual a 180º. A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER É SEMPRE IGUAL A 180º. Essa propriedade dos triângulos tem inúmeras aplicações práticas. Veja o exemplo abaixo. Imagine que para fazer um mapa, seja necessário saber a largura de um rio. Graças a essa propriedade dos triângulos a largura pode ser obtida facilmente. Veja: 23

24 Representação matemática X Medem-se os ângulos B e C e a distância BC. X 105 5,8 4 Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se um triângulo semelhante àquele do rio. Veja a representação dos dois triângulos ao lado. Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura do rio Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem é preciso atravessar o rio. É por isso que a semelhança de triângulos é um conhecimento importante para geógrafos, cartógrafos, agrimensores, topógrafos e engenheiros. EXERCÍCIOS 1 - Observando o exemplo anterior, resolva em seu caderno. Um homem de 1,80 de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a altura da árvore? Representação matemática 24

25 X 1,80 m 60º 60º 2,70 m 9 m 2) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago? Faça a representação matemática. Observe que têm dois triângulos: um menor dentro do outro maior. x Exemplo resolvido. Calcule o comprimento de X x 2,1 17 4,2 4,2 X = 2,1 17 X = 35,7 (multiplica cruzado) 25

26 EXERCÍCIOS 4,2 X = 8,5 3 ) Faça em seu caderno. 4 ) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m produz uma sombra de 2,5m? X 1,5m sombra 18m sombra 2,5m 5 ) Uma haste de um metro projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 m? SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos triângulos. 6 ) Três retas paralelas ( a, b, c ) são cortadas por duas retas transversais ( s, t ) formando quarteirões com as respectivas medidas. Determine a medida do quarteirão x. a b c x m 50 m s t 26

27 TEOREMA DE PITÁGORAS No século VI a. C. foi descoberta uma propriedade válida em todos os triângulos retângulos. Recordando: Elementos do Triângulo Retângulo cateto Hipotenusa (é o lado maior, oposto ao ângulo reto) Cateto ( lados que formam o ângulo reto 90º ) Teorema de Pitágoras. Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos Exemplo: 3 X 4 Hip² = cat² + cat² X² = 3² + 4² X² = X = 25 X = 5 2 ) Observe o terreno triangular abaixo e descubra a medida do terceiro lado. 24 (cateto) 25 (hipotenusa) X (cateto) Hip² = cat² + cat² 25² = x² + 24² 625 = X² = x² X² = 49 X = 49 X = 7 27

28 EXERCÍCIOS: 7 ) O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado: 10 X Nesta situação você encontra um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras descubra o comprimento do caibro. 2,90 8 ) Os lados de um quadrado medem 10 cm. Qual é o comprimento de suas diagonais? Dica : DIAGONAL: SEGMENTO DE RETA QUE UNE VÉRTICES OPOSTOS. Veja o desenho ao lado e observe que a diagonal^passa a ser a hipotenusa dos dois triângulos retângulos formados. Diagonal = hipotenusa 9 ) Para que o portão ganhe rigidez ( lembra-se da rigidez do triângulo? ) o carpinteiro deve colocar uma trave de madeira que se estenda do ponto A até C ( conforme figura) A GABARITO X

29 MÓDULO 5 1) 6 m 2) 250 m 3) 8,4 4) 10,8 5) 7,5 m 6 ) 160 m 7) 10,41 m 8 ) 14,142 9) 198,49 cm GABARITO A 29

30 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 30

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