Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

Transcrição

1 Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

2 APRESENTAÇÃO Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 2ª série do Ensino Médio (2º Grau). Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios. As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática. Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor. Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia autoinstrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente. No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Não escreva na apostila, use seu caderno META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social, adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam OBJETIVOS ( Módulos 6 e 7 ) Nesta U.E. você será capaz de: - Construir um gráfico no plano cartesiano, analisar e interpretar as coordenadas e sua divisões; - Localizar os pontos ( pares ordenados ) no plano cartesiano; - Fazer análise de gráficos e tabelas; - Transpor o conceito de função na resolução de situações-problemas do cotidiano; - Fazer uso do plano cartesiano, localizar dois ou mais pontos e traçar a reta que representa a função do 1º grau e da parábola na função do 2º grau; - Determinar o ponto de máximo ou de mínimo de uma parábola e suas aplicações em problemas; 2

3 MÓDULO 6 COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO Você percebeu que cada vez mais os gráficos e tabelas são usadas nos meios de comunicação (jornais, revistas, etc.) e ocupam lugar de destaque nas ciências exatas. Além disso tem aplicações importantes na medicina, engenharia, economia, etc. O gráfico mais usado no estudo das ciências é o gráfico cartesiano formada por duas retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam num ponto zero ( a origem ). Considerando: 1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ) 2º A mesma unidade de medida nos eixos eixo Y X P Y ( 3, 2) eixo X Observe que os dois eixos estão divididos em partes iguais O eixo horizontal é chamado eixo X (abscissas) O eixo vertical é chamado eixo Y (ordenadas) Para localizar um ponto P (na figura), traçam-se por esse ponto paralelas aos eixos x e y, respectivamente. Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais (3,2), sendo 3 no eixo x e 2 no eixo y, obedecendo rigorosamente essa ordem. Dessa maneira fica determinado o ponto P, como a intersecção ou junção das retas paralelas aos eixos x e y. Veja mais alguns exemplos: Localize os pontos no plano cartesiano lembrando que o 1º número é a abscissa (X) e o 2º é a coordenada (Y) A (-1,3) C (-2,-2) B (2,-1) D (1, 4) 3

4 eixo Y A D 1 eixo X B C O 1º nº do par ordenado pertence a abscissa (eixo x) e o 2º nº pertence a ordenada (eixo y). Os dois eixos formam as coordenadas cartesianas. Os eixos cartesianos dividem o plano em 4 regiões chamadas quadrantes, que são numeradas no sentido anti-horário (contrário ao movimento do relógio) II I - + III - + IV EXERCÍCIO: 1) Faça em seu caderno o plano cartesiano e localize os seguintes pontos, lembrando que 0 1º nº é do eixo X e o 2º do eixo Y P (3, 4) Q (-1, -3) R (-2, 5) 4

5 COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU. A função do 1º grau é escrita na forma y = ax + b, onde a é o coeficiente numérico (nº). Exemplo 1 Vamos construir o gráfico para a seguinte função do 1º grau: y = x + 1, seguindo os passos abaixo: 1º passo: Você vai escolher, no mínimo, dois números quaisquer para colocar no lugar da letra x, e construir uma tabela igual a esta: Nºs que você escolhe para X X X + 1 Y ( 1, 2 ) ( 2, 3 ) Observe que no lugar da letra X coloca-se o número que foi escolhido. 2º passo: Agora você vai construir o plano cartesiano traçando uma reta vertical ( eixo Y) e outra horizontal ( eixo X) que se interceptam (cruzam) no ponto zero (origem). 3º passo: A partir do zero dividir as retas em partes iguais correspondendo os pontos com os números. 4º passo: Localizar no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) obtidos na tabela. 5º passo: Traçar uma reta unindo os pontos obtidos. Agora, observe o gráfico, onde estão localizados os pontos e a reta que passa por esses pontos. (1, 2) (2, 3) 1 5

6 Exemplo 2: Como será o gráfico dos pontos (x,y), tais que y seja o nº que mede a área de um terreno quadrado de lado x, ou seja, y = x²? X X² y -2 (-2) ² 4 Lembre-se ( -2) 2 = = +4-1 (-1) ² 1 0 0² 0 1 1² 1 2 2² 4 Você sabe que deve substituir os valores atribuídos para X na função Y = X² O gráfico da relação y = x² é uma curva chamada parábola e é importante na geometria e na física. Você já deve ter ouvido falar em antena parabólica: sua forma arredondada é derivada da parábola. Agora é com você: EXERCÍCIOS: 2) Faça a tabela, marque os pontos e trace a reta no plano cartesiano a) y = x 2 b) y = 3. x 6

7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS Você viu que atribuindo (dando) valores para uma variável (X) na equação você pode representá-la através de uma reta no plano cartesiano. O mesmo acontece quando você tem um sistema de equações (duas equações e duas variáveis). Esse sistema pode ser resolvido calculando o valor das duas variáveis usando o método algébrico (ver exemplo abaixo), como também através do gráfico no plano cartesiano. Observe atentamente o exemplo: Exemplo 1: A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse números? X = um número Y = outro número Traduzindo para a linguagem matemática você tem: X + Y = 15 (a soma de dois números) X Y = 3 (a diferença de dois números) 1º Passo: Juntando os termos semelhantes: X + Y = 15 (1ª equação) Adicionam-se as duas equações X Y = 3 (2ª equação) reduzindo os termos semelhantes 2X = 18 Da equação resultante, você determina o valor de uma incógnita (neste caso o X ). 2X = 18 X = 18 2 X = 9 2º Passo: substituir o valor da letra encontrado na 1ª ou 2ª equação. X + Y = 15 (1ª equação) 9 + Y = 15 Y = 15 9 Y = 6 Logo, os números procurados são 9 e 6 e o conjunto verdade é representado por : V = {(9, 6)} X, Y 7

8 A INTERSECÇÃO DE RETAS E A SOLUÇÃO DE SISTEMAS Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto algebricamente como geometricamente? Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo os cálculos com números e variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico. X + Y = 15 X Y = 3 1ª equação 2ª equação Para encontrar a solução geométrica você deve escolher dois números quaisquer para x, substituir na 1ª equação e descobrir que número deve ser a letra y para que a operação fique correta. Por exemplo, se escolher os números 6 e 7 para x na primeira equação: X + Y = Y = 15, se x vale 6 então y deve ser 9, pois = y = 15, se x vale 7 então y deve ser 8, pois = 15 Então para a primeira equação você tem os pontos ( 6,9) e ( 7,8). Agora escolha mais dois números quaisquer para x na segunda equação. Por exemplo os números 3 e 4, veja: X Y = y = 3 Se x vale 3 então y vale 0, pois 3 0 = 3 4 y = 3 Se x vale 4 então y vale 1, pois 4 1 = 3 Então você tem os pontos (3,0) e ( 4, 1) para a segunda equação. Marque os pontos encontrados na 1ª equação no plano cartesiano e trace a respectiva reta.em seguida marque no mesmo plano cartesiano os pontos encontrados na 2ª equação e trace a respectiva reta. As duas retas se cruzam num ponto que é o resultado do sistema. Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações verdadeiras: X + Y = 15 X Y = = = 3 8

9 y (X, Y) P (9, 6 ) x EXERCÍCIOS: 3) Resolva geometricamente o sistema abaixo: X - y = 3 X + y = 7 A utilização do método cartesiano muito contribuiu para o progresso das ciências. As representações cartesianas de fenômenos como a variação da temperatura de um doente, a oscilação dos valores das ações na Bolsa, nos permite avaliar, por uma análise simples de eixos coordenados, trajetória de uma transformação e prever seu desenvolvimento com certa precisão. Mostram, entre outros exemplos a importância do método de Descartes (matemático) para o desenvolvimento dos conhecimentos humanos. ANÁLISE DE GRÁFICOS Para você interpretar um gráfico é necessário observar alguns elementos que fazem parte dele tais como: Título: identifica o assunto que está sendo apresentado. Legenda: identifica quais os elementos que foram pesquisados. Títulos dos eixos: vertical e horizontal e suas divisões. Observe o gráfico abaixo e responda em seu caderno: 9

10 EXERCÍCIO: 4) Responda as perguntas abaixo em seu caderno: Altura de Alunos da 5ª Série Nº de Alunos A) 135 à 140 B) 141 à 145 C) 146 à 150 D) 151 à 155 E) 156 à 160 F) 161 à 165 G) 166 à 170 Intervalos de Alunos a) Qual o assunto tratado no gráfico? b) Quais os elementos que foram pesquisados? c) Qual é o título do eixo vertical? d) E o eixo horizontal? e) Como está sendo graduado (dividido) o eixo vertical? f) Quantos alunos têm entre 156 à 160cm de altura? 10

11 TIPOS DE GRÁFICOS ( MAIS UTILIZADOS ) 1 BARRAS MORTES POR DOENÇAS PULMONARES 100 Milhões de Pessoas não fumantes 5 cigarros/dia 15 cigarros/dia 25 cigarros/dia Cigarros por dia EXERCÍCIO: 5- Observando o gráfico, responda: a) Quantas pessoas fumam 15 cigarros/dia? b) Qual o nº de pessoas que fumam 25 cigarros/dia e morrem por doenças pulmonares e as que são não fumantes? De quanto é essa diferença? ATE AQUI 2 - LINHA PADRÕES DO CRESCIMENTO DO SER HUMANO h (altura/cm) t (anos) EXERCÍCIO: 6- Responda: Quanto essa pessoa cresceu de 1 a 5 anos? 11

12 GRÁFICO DE SETORES CIRCULARES a unidade de medida mais usada é a porcentagem PREFERÊNCIAS MUSICAIS 17% 25% 30% 28% PREFERÊNCIAS MUSICAIS MPB30% PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK INTERNACIONAL17% PREFERÊNCIAS MUSICAIS SERTENEJOS25% PREFERÊNCIAS MUSICAIS ROCK NACIONAL28% Como você calcula a quantidade de pessoas que preferem MPB sabendo que foram entrevistadas um total de 240 pessoas? Fácil! Você sabe que o círculo inteiro mede 360º e que esse valor corresponde ao total de pessoas entrevistadas ( 240 ). O setor que corresponde a preferência à MPB é de 30º, então: usando a regra de três, você tem: 100% = % = X ( multiplicando e dividindo) X = = 7200 = 72 pessoas EXERCÍCIO: 7) De acordo com o exemplo acima, calcule a quantidade de pessoas que preferem a música sertaneja. 12

13 GABARITO - MÓDULO 6 1) 2) a ) y = x - 2 X Y X Y b) y= 3X 13

14 3) x - y = 3 x + y = 7 4 ) a ) altura dos alunos da 5ª série b ) alunos, alturas c ) nº de alunos d ) intervalo de alturas e ) de 2 em 2 5 ) 60 milhões de pessoas pois o eixo vertical é milhões de pessoas 6 ) 20 cm 7 ) x = 60 14

15 A MÓDULO 7 NOÇÃO DE FUNÇÃO: Você já aprendeu que uma equação do 1º grau ( y = ax + b ) pode ser representada no plano cartesiano através de uma reta e, que a equação do 2º grau ( y = ax² + bx + c ) por uma parábola. Essas equações são exemplos de funções. Para você entender o conceito (idéia) de função é só pensar em duas grandezas cujos valores variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra. Coloque-se no lugar de um fornecedor que pretende estudar a variação de preço de acordo com a quantidade de açúcar vendido. Ele deseja saber quanto deverá receber pela quantidade de açúcar vendido. Exemplo - 1 Considere a tabela abaixo: N.º de quilos de açúcar Preço a receber 1 R$ 0,80 2 R$ 1,60 3 R$ 2,40 4 R$ 3,20 5 R$ 4, Esta tabela também pode ser representada através de um diagrama onde a flexa representa a correspondência entre os valores Diagrama ou esquema 1 0,80 2 1,60 4 3,20 3 2,40 5 4,00 Observe que há uma correspondência entre o n.º de quilos de açúcar e o valor a receber. O valor a receber é função (depende) do n.º de quilos vendidos. Isto significa que uma função tem duas grandezas onde uma depende da outra. B 15

16 Definição de função: No exemplo acima observe que há uma relação ou correspondência entre 2 conjuntos os quais foram chamados de A e B. A representou a quantidade de quilos e B o valor a receber: Portanto: uma função de A em B é toda relação entre A e B, onde a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Matematicamente é representada assim: F: A B ( lê-se: f de A em B ) No exemplo dado um quilo de açúcar custa R$ 0,80. Chamando a quantidade de açúcar de X e o valor a receber de Y, você tem a função que representa o valor a receber. Para calcular basta substituir os valores de X na equação dada e resolver as operações indicadas. Y = 0,80. X X - Quantidade de quilo Y - Valor a pagar 1 0,80. 1 = 0,80 2 0,80. 2 = 1,60 3 0,80. 3 = 2,40 4 0,80. 4 = 3,20 5 0,80. 5 = 4, Domínio e Imagem No exemplo anterior o conjunto A (quantidade de quilos) é chamado Domínio da função. O conjunto B ( valor a pagar ) é chamado Imagem da função e é obtido substituindo os valores de X na equação. Exemplo 2 Um vendedor recebe uma comissão de 5 reais a cada tênis vendido. Pergunta-se: a) Qual a função que representa seu lucro? b) Construa uma tabela que representa a função c) Construa um diagrama que representa essa situação d) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem 16

17 Resolvendo: a) Y = 5. X onde 5 é o valor a receber de cada tênis e X a quantidade de tênis vendido. Observe que Y é o resultado da quantidade vendida ( X ) multiplicado por 5 reais, que é a comissão. Portanto Y depende de X b) Tabela Y = 5. X Substituindo valores de X na função dada e efetuando as operações (contas), você vai achar os valores de Y. Dessa forma você obtém os pares ordenados (X, Y). Domínio Função Imagem pares ordenados X Y=5. X Y (X, Y ) 1 Y=5. (1) = 5 5 (1, 5 ) 2 Y=5. (2) = (2. 10 ) 3 Y=5. (3) = (3. 15 )... ATENÇÃO! neste exemplo não foi usado nº negativo no domínio porque não existe venda negativa com comissão. C) Diagrama Tênis lucro D) Domínio (D) = 1, 2.. 4, Imagem (I) = 5, Exemplo - 3 Dada a função Y = 2X - 1 determine: 1-) O domínio e a imagem observando a tabela abaixo. 2-) Os pares ordenados ( X, Y ) obtidos 17

18 Domínio Função Imagem Pares ordenados X Y = 2x - 1 Y ( X, Y ) 1 Y = 2.(1) - 1 = 1 1 ( 1, 1 ) -1 Y = 2. (-1) - 1 = -3-3 (-1, -3 ) 2 Y = 2.(2) -1 = 3 3 (2, 3 ) -2 Y = 2.(-2) - 1 = -5-5 ( -2, -5 ) EXERCÍCIOS : 1 ) Um vendedor tem um salário fixo de R$ 200,00 acrescido de uma comissão de R$ 5,00 em cada peça por ele vendida. A função que representa seu salário total é Y = 5X onde X representa a quantidade de peças vendidas. a) Complete a tabela abaixo, X 5. X Y b) Determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da função, c) Faça a representação do conjunto domínio e do conjunto imagem no diagrama. INTERVALO Quando se fala em intervalo a primeira coisa que você lembra é aquele momento livre que há entre as aulas, numa escola regular, "o recreio". Saiba que o conceito de intervalo caminha por aí. Veja bem, o recreio ou melhor o intervalo fica entre as aulas de um período. Em matemática o intervalo numérico é usado quando você quer dar como resposta a uma questão, um conjunto de números que ficam entre 2 números dados. Usa-se os sinais > ( maior) e < (menor) para limitar o intervalo. Exemplo 1 Se Paulo tem no bolso mais que 10 reais e menos de 50 reais como você escreveria a resposta se eu perguntasse Quantos reais ele pode ter no bolso? Supondo que Paulo tenha X reais, você pode escrever isso na forma de intervalo matemático. 18

19 Fica assim: 10 < X < 50 leitura X é maior do que 10 X é menor do que 50 O valor X está no intervalo 10 a 50 Exemplo 2 No deserto a temperatura varia muito. Durante o dia chega até a 40º C e a noite ela cai para 3º C. Matematicamente você escreve isto em forma de intervalo 3º C < X < 40º C. Perceba que a notação de intervalo simplifica a escrita e é bastante usada na Física, Economia, Biologia, Química etc.. Agora que você sabe o que significa intervalo, pode defini-lo assim: Dados 2 números reais a e b, sendo a < b, chamamos de intervalo todos os números reais maiores que a e menores que b. { X E R / a < X < b} Lê-se X pertence ao conjunto dos n.ºs reais, tal que X é maior que a e menor que b. O intervalo é o espaço entre a e b REPRESENTAÇÃO DO INTERVALO NO GRÁFICO Exemplo 1 Veja a variação de certo artigo produzido no Brasil, representada no gráfico abaixo: Y ano X 19

20 que: Analisando o gráfico: sendo X o volume de produção no período você percebe 1-) A produção cresceu no intervalo de 1960 a < X < ) A produção decresceu de 1970 a A produção voltou a crescer em ) A produção ficou constante (estacionou) entre 1990 e EXERCÍCIOS: 2 ) O gráfico abaixo mostra o espaço (S) percorrido por um automóvel numa viagem em função do tempo(t): a) Entre quais instantes o carro esteve parado? b) Qual o espaço percorrido entre 60 e 120 minutos? Km t ( min ) FUNÇÃO DO 1º GRAU Quando a função é dada através de uma equação do 1º grau é denominada função linear e é representada no gráfico através de uma reta. Voltando na tabela do exemplo da página 3 da função Y = 5. X onde X é a quantidade de tênis vendido vezes comissão, você obteve na tabela os pares ordenados (1, 5) ; ( 2,10) ; (3, 15) que podem ser colocados no plano cartesiano e assim construir a reta que representa a função. Veja: Y (3,15) Todo gráfico que resulta em uma reta é uma função do 1º grau representada pela equação escrita na forma: X 20

21 Y = ax + b onde: Y é a imagem X é o domínio a é o coeficiente de X b é a constante (número) Analisando a função do 1º grau ou função linear você pode observar que: 1- Se a = 0 então Y = b pois a.x = 0. É uma função constante. Veja como fica o gráfico: Em Y = ax + b fazendo a = 0 Obtemos Y = 0. X + b ou Y = 0 + b ou Y = b Função Constante Note que Y = b não é uma função do 1º grau, pois a expressão 0. x + b não é uma expressão do 1º grau. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo X. Y b Y = b X Função crescente e decrescente Quando a 0 a função Y = ax + b pode ser crescente ou decrescente Crescente: se a > 0 ( nº positivo) 21

22 Y a>0 X Decrescente se a < 0 ( nº negativo) Y a< 0 X Você já aprendeu a construir o gráfico da função do 1º grau (equação da reta) no módulo 3. Agora vai aprofundar seus conhecimentos. Você viu que para construir uma reta bastam dois pontos ( X, Y ) ou dois pares ordenados que você obtém a partir da equação. Exemplo: y = 2X - 3 Atribuindo dois ou mais valores quaisquer a X você constrói a tabela, substitui o valor de X na equação e determina os valores correspondentes de Y. Assim você obtém os dois pontos ( X,Y) necessários para traçar a reta. X 2. X 3 Y (-1) ponto ( -1, - 5 ) ponto ( 2, 1 ) Y ( 2,1) X COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR (-1, -5 ) Na função y = ax + b, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 22

23 - Coeficiente angular é o valor que a função aumenta ou diminui quando se aumenta ou diminui a variável X em uma unidade. - Coeficiente linear é o lugar em que uma reta corta o eixo do Y (ordenada). Veja um exemplo prático do significado do coeficiente linear e do coeficiente angular. Na conta telefônica de uma residência, o valor total a ser pago é calculado da seguinte maneira: - assinatura mensal, dá direito a um certo nº de ligações e custa R$ 23,00. Passando desse número, o valor das ligações (pulsos) excedentes é calculado multiplicando-se o nº de pulsos extras pelo valor de cada pulso que é de R$ 0,10. - em seguida, esse valor é acrescentado ao valor da assinatura mensal. Chamando de X o nº de de pulsos excedentes e de Y o valor da conta telefônica você tem a função: Y = 23,00 + 0,10. X Y Valor da conta 0,10 23,00 X Nº de pulsos excedentes Na função Y = 0,10 X + 23,00, observe que 23,00 é o coeficiente linear e que 0,10 é o coeficiente angular. Veja no gráfico que este último ( o coeficiente angular ) é o valor que a função aumenta quando x cresce uma unidade. Ele é a altura do degrau da escada que o gráfico mostra. RAIZ DA FUNÇÃO A raiz da função Y = ax + b é o valor de X que torna Y igual a zero. Por isso, esse valor de X também é chamado de zero da função. 23

24 Para você calcular a raiz da função basta igualar a equação a zero. Veja o exemplo: Y = 2X 3 2X 3 = 0 2X = 3 X = Y 3 2 raiz X O valor 3 é a raiz da função.( ponto 2 onde a reta corta o eixo do X) EXERCÍCIOS: 3 ) Considere a função y = 3X 6 a) Qual é o coeficiente angular? b) Qual é o coeficiente linear? c) Qual é a raiz da função? d) o ponto (2, 0) pertence a essa função? Você sabe quando um ponto pertence a função? Um ponto pertence a função se, substituindo o valor de X e Y na equação, a igualdade torna-se verdadeira EXEMPLO: No ponto (12, 30 ), X = 12 e Y = 30 então substituindo esses valores na função Y = 3.X 6 30 = = = 30 (verdadeira ) Agora você vai aprender a função do 2º grau ( quadrática) FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA A função do 2º grau é representada pela fórmula y = ax² + bx + c, onde a,b,c, são os coeficientes numéricos, com a diferente de zero. São exemplos de função do 2º grau: 24

25 Y = 2x² -3x +4 ( equação do 2º grau completa) com a= 2, b=-3, c= 4 Y = 8x² + 9 ( equação do 2º grau incompleta ) com a= 8, b =0, c= 9 Y = 6x² - 2x ( equação do 2º grau incompleta) com a =6, b= -2, c= 0 A função do 2º grau ou função quadrática é representada no plano cartesiano através de uma parábola. A parábola é construída determinando valores para X (domínio)e calculando os respectivos valores de Y (imagem). 1º EXEMPLO: Y = X² - 2 substituindo X pelo seu respectivo valor X X² - 2 Y 0 0² (0, -2) 1 1² (1, -1) 2 2² ( 2, 2) -1 (-1)²- 2-1 (-1,-1) -2 (-2)² ( -2, 2) A união dos pontos encontrados determina uma linha curva chamada parábola. 2º EXEMPLO y = -2x²

26 X -2X² + 6 Y 0 (-2). 0² (-2). 1² (-2). 2² (-2). (-1)² (-2). (-2)² º EXEMPLO Y = X² - 6X + 5 X X² - 6X + 5 Y 0 0² ² ² ² Observe os gráficos dos exs 1, 2 e 3 e analise as conclusões 1-Se o coeficiente a > 0 ( nº positivo), a parábola tem a concavidade voltada para cima. 26

27 Y = X² - 2 a > 0 2- Se o coeficiente a < 0 ( nº negativo) a parábola tem a concavidade voltada para baixo Y = -2X² + 6 a < 0 Exercícios: 4 ) Faça a tabela e construa a parábola das funções: a ) Y = x² -4x + 3 b ) X X² - 4X + 3 Y Y = x² + 1 X - X² + 1 Y -2 - (-2)²

28 RAÍZES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU As raízes de uma função são os pontos onde a parábola corta o eixo do X. Para determinar as raízes de uma equação do 2º grau aplicamos a fórmula de BÁSKARA e assim determinamos os pontos de X.. BÁSKARA - foi um importante matemático hindu do séc. XII que se dedicou ao estudo das equações matemáticas. Por isso a fórmula que usaremos é conhecida como fórmula de Báskara aplicada nas equações do 2º grau (ax 2 + bx + c = 0) sendo a 0 e a, b e c números reais. Eis a fórmula: X = b 2. a a é o coeficiente de X² b é o coeficiente de X onde = b 2-4.a.c O símbolo c é um nº ( não tem X) é chamado Delta (uma letra grega) A equação do 2º grau pode ter > 0 = 0 < 0 A equação tem uma única raiz real A equação tem duas raízes reais diferentes A equação não tem raiz real Veja alguns exemplos e resolução com a aplicação da fórmula: Exemplo 1: Y = X 2-6X + 5 = 0 a = 1 coeficiente de x² (nº que acompanha o x²) b = - 6 coeficiente de x (nº que acompanha o x c = 5 coeficiente numérico (não vem acompanhado do x) 28

29 Você pode calcular = b 2-4.a. c = (-6) = = 16 Substituindo o valor de substituindo as letras pelos seus valores: Todo nº negativo elevado ao expoente 2 resulta sinal + pois 6. 6 = +36 na formula de Báskara você tem: x = x = b 2. a ( 6) x = x = 2 x = = = 5 2 = 2 2 = 1 S = 1,5 Substituindo os valores de X na equação, você observa que a sentença é verdadeira tornando assim o Y = 0 X 2-6 X + 5 = 0 X 2-6X + 5 = = = = = 0 0 = 0 0 = 0 Exemplo 2: Y = 2X 2-8 O primeiro passo para resolver uma equação do 2º grau é igualar a zero. 2X 2-8 = 0 = b² 4.a. c X= - b ± a = 2 = (-8) 2. a b = 0 = X= 0 ± 64 c= -8 = X = 4 = 4 8 = 2 S = {2, -2} X = = =

30 Exemplo 3: X 2-3X = 0 a= 1 = b 2 4.a.c b= -3 = (-3) c= 0 = 9-0 = 9 x = b 2. a x = ( 3) x = x = x = 2 = 2 6 = 3 = 2 0 = 0 S = 0, 3 Exemplo 4 2X 2 + 4X + 6 = 0 a= 2 = b 2-4ac b= 4 = c= 6 = = - 32 Como < 0 (número negativo) a equação não tem solução pois não existe raiz quadrada de um número negativo, logo, a solução é o conjunto vazio S=Ø Observe que em todos os exemplos acima resolvidos, os valores encontrados para X (raízes) fazem com que Y = 0, portanto são os pontos onde uma parábola intercepta (corta) o eixo do X. 1º CASO: > 0 (possui 2 raízes diferentes) a > 0 a < o 30

31 2º CASO: = 0 (possui apenas 1 raiz) a < 0 a > 0 3º CASO: < 0 ( não possui raízes) a > 0 a < 0 Exercícios: 5 ) Determine as raízes das equações aplicando a fórmula de Báskara: a) X² - 5X + 6 = 0 b) 4X² - 64 = 0 31

32 MÁXIMOS E MÍNIMOS: Veja a parábola abaixo com a < 0. Se você caminhar no gráfico da esquerda para a direita, os valores de Y vão aumentando até chegar no vértice. Esse ponto é chamado de ponto de máximo. Se a < 0 então o vértice é o ponto de máximo Com a > 0 você encontra no vértice um ponto de mínimo, pois partindo da esquerda para a direita, os valores de Y vão diminuindo. a > 0 então o vértice é ponto de mínimo VÉRTICE DA PARÁBOLA Vértice é o ponto mais baixo(ponto de mínimo) ou o ponto mais alto (ponto de máximo) da parábola Para encontrar o vértice da parábola não é necessário construir o gráfico, basta encontrar o ponto (X V, Y V ). Para isso você tem duas maneiras para resolver: 1 ) Usar as fórmulas: X V = - b Y V = - 2. a 4. a Lembre-se: = b² - 4. a. c OU... 32

33 2 ) Substituir na equação dada o valor encontrado de X V para encontrar o valor de Y Exemplo 1: determine o vértice da parábola que representa a função: Y = X² - 4X + 3 onde a = 1 b = - 4 c = 3 X V = - b = - ( - 4 ) = 4 = X V = 2 2. a Y V = - = - [b² - 4. a. c] = - [(-4)² ]= -[16 12 ]= - 4 = a 4. a Y V = - 1 o vértice é o ponto ( 2, -1 ) O ponto Y V é o que determina o ponto máximo ou o ponto função dependendo da concavidade voltada para cima ou para baixo. mínimo da Exemplo 2 : Determine o ponto de mínimo da função: Y = 3X² - 12X Como a > 0 então a concavidade da parábola está voltada para cima e a função tem um ponto de mínimo Y V Yv = 4.a (144 0) = 12 = = ( b² 4. a. c) 4. a 144 = = [(12)² 4.3.0)] 4.3 Ponto de mínimo Exemplo prático Queremos construir uma represa retangular para criação de carpas. Para cercála serão necessários 12 m de tela sendo aproveitado o muro existente para cercar um dos lados. Quais são as dimensões para obter a represa de maior área possível? Se X + X + C = 12 muro 2X + C= 12 C = - 2X + 12 X c Você sabe que para calcular a área deve multiplicar as duas medidas: comprimento e largura, o que resulta numa equação do 2º grau. 33

34 Então: substituindo Área = X. C A = X. ( 2X + 12 ) A = -2X² +12X (equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola) Usando a fórmula para calcular o Y V máximo da área pois a < 0. você determina o valor do ponto Y V = - Y V = - ( 12² - 4. (-2). 0 ) Y V = = a 4. ( -2) - 8 Se Y V = 18 então a área máxima será 18m². EXERCÍCIOS : 6 ) Dada a função y = X² - 4X + 5, determine o vértice da parábola e identifique se é ponto de máximo ou de mínimo. 7) Determine o ponto de mínimo da função Y = x² - 6x + 13 ANÁLISE E CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU Você vai resolver, construir e analisar a parábola que representa a função Y = x² - 6X + 8 Resolvendo: a = 1 b= - 6 c = 8 34

35 Raízes: X = -b 2. a = b² - 4. a. c = (-6)² = = 4 Substituindo na fórmula: X = - ( -6 ) X = 6+2 = 8 = 4 X = X = 6 2 = 4 = 2 Raízes = 4 e Vértice: X V = - b = -(-6) = 6 = 3 2. a ponto do vértice ( 3, -1 ) Y V = - = - 4 = a 4. 1 CONCLUSÃO: 1- a concavidade da parábola está voltada para cima pois a > 0 2- a função possui ponto de mínimo y = a parábola corta o eixo do X em dois pontos X= 4 e X = 2 ( raízes) 4- o ponto mais baixo (vértice) é (3, -1) Veja o esboço da parábola: GABARITO: X 1) a-) X Y c ) 35

36 b-) D = 0, 10, 50 I = 200, 250, ) a) entre 30 e 60 min b) 40 Km 3) a-) 3 b-) - 6 c-) X = 2 d-) sim pois 0 = = 0 verdadeira 4) a-) X Y b-) X Y ) a-) X 2 5X + 6 b-) 4X 2 64 = 0 = 1 = 1024 X = 3 X = 4 X = 2 S = 3, 2 X = -4 S = 4, -4 6) a-) X V = 2 Y V = 1 a>0 = ponto de mínimo 7) Y V = 4 36

37 Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim 37

38 This document was created with Win2PDF available at The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only. This page will not be added after purchasing Win2PDF.