ENEM 2010 MATEMÁTICA. Prof. Marcelo Cóser. Prof. Marcelo Cóser PRÉ-ENEM

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1 ENEM 10 MATEMÁTICA

2 FIGURAS SEMELHANTES AB AC BC k PQ PR QR COMPRIMENTO COMPRIMENTO A B 3 VOLUME VOLUME A B

3 01) Uma taça cônica está situada abaixo de uma torneira com seu vértice para baixo. A torneira pinga de modo que após 30 minutos a água atinge metade da altura da taça. Quanto tempo faltará para que a taça esteja completamente cheia? V 2h h GRANDE 3 V 8 V V V GRANDE PEQUENO GRANDE PEQUENO 8V PEQUENO Se o volume pequeno é atingido em 30 min, a taça ficará cheia em 8 30 min = 240 min = 4h. Logo, faltará 3 h 30 min. 2h h IMPORTANTE: as proporções entre comprimento, área e volume são sempre diferentes, mas nunca desconexas: k, k², k³.

4 ANÁLISE COMBINATÓRIA DECISÃO A : x opções Decidir A e B : x y possibilidades. DECISÃO B : y opções Decidir A ou B : x y possibilidades. n elementos distintos n! sequências n elementos n! " X " repete a vezes sequências a! b! " Y " repete b vezes A ordem importa Existe hierarquia A ordem não importa Não existe hierarquia ARRANJO / PERM COMBINAÇÃO Não dividir Dividir!

5 02) (ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de, respectivamente: x a) uma combinação e um arranjo. b) um arranjo e uma combinação. c) um arranjo e uma permutação. d) duas combinações. e) dois arranjos. Compor o grupo A: 12 times para 4 vagas. Não há distinção entre os times. G A Dividir! Combinação ! Jogo de Abertura: 4 times para 2 vagas. Há distinção no mando de campo. J Não dividir Arranjo 43

6 PROBABILIDADES PE Número de Resultados Desejados Número de Resultados Possíveis P P P P P P A e B A B A ou B A B NÃO ESQUECER de multiplicar pelos número de casos distintos Cuidado com eventuais intersecções!

7 03) (ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. x Chance de não sofrer efeito colateral: 90% por dose. Uma dose Um evento Três doses Três eventos consecutivos P P % 90% 90% 72,9% % 72,9% 27,1% EFEITO P P P 90% 65,61% % 65,61% 34,39% 4 3 EFEITO

8 04) (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 (0,2%) 4. b) 4 (0,2%)². c) 6 (0,2%)² (99,8%)². d) 4 (0,2%). e) 6 (0,2%) (99,8%). x ATENÇÃO: o problema não define ordem. P P DEFEITO BOM 0,2% 99,8% 4 celulares 4 eventos DDBB é um caso específico! 4 letras 4! 24 DDBB 2 D s 6 casos 2! 2! Bs 2 defeituosos 2 bons P 0,2% 0,2% 99,8% 99,8% 6

9 05) Abaixo, as cinco primeiras das infinitas etapas da construção do fractal denominado Curva de Koch. Se a curva na primeira etapa tem medida 1, calcule sua medida na décima etapa. Um segmento de medida 1. Comprimento = 1 x segmentos de medida. 1 3 Comprimento = segmentos de medida Comprimento = segmentos de medida Comprimento = Generalizando, na etapa n teremos 4 n-1 1 segmentos de comprimento n Na etapa10, terá comprimento =

10 06) A média aritmética das idades de um grupo de 10 crianças é 8 anos. Duas crianças de mesma idade deixaram o grupo, aumentando a média de idade do grupo de crianças restantes para 9 anos. Calcule a idade das crianças que foram embora. 10 crianças Média de idade 8 anos T 10 8 T 80 Duas crianças com x anos saíram Ficaram 8 crianças Média de idade 9 anos T 2x 9 T 2x x 72 x 4 anos

11 07) (UFG) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente N 0,5t De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar corretamente que: F ( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe. ( F ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe. ( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas. ( ) o número de pessoas infectadas atingirá mil. V F N t = N N 1 0,5.0 N N N t = , ,9 2,9 6,89 t = 4 N N ,5.4 2 N 16,8 1 0,19 1,19 N = ,5t 0,5t 0,5t ,5t ,5t 10 0 Um número positivo elevado a qualquer expoente real é sempre positivo.

12 N ,5t

13 08) (UFRN) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log E = 1,44 + 1,5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.5 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 7.8, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. a) 10 b) 15 c) 21 Xd) 31 loge loge Substituindo os valores 9,5 e 7,8 em M, obtemos: 1,44 1,5.9,5 1,44 14,25 15,69 E 1,44 1,5.7,8 1,44 11,7 13,14 E SF CHILE ,14 15,69 E E CHILE CHILE ,69 E 10 SF 13,141 0, ,

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17 09) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico abaixo. De acordo com as informações do gráfico, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. x e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

18 10) (UFRN) Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nível da água subir. Deixou-a encher parcialmente para não desperdiçar água. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O gráfico que mais se aproxima da representação do nível (N) da água na banheira em função do tempo (t) é: a) b) c) d)x

19 11) (UFRRJ) O matemático Mathias levou seu filho a um parque de diversões. Enquanto o menino se divertia nos brinquedos, Mathias passava o tempo fazendo tentativas de representar graficamente os movimentos de seu filho em função do tempo: I. a altura de seu filho na roda gigante, II. a velocidade de seu filho no escorrega, III. a velocidade de seu filho na gangorra, IV. a distância de seu filho até o centro do carrossel. O matemático Mathias fez os seguintes gráficos: O conjunto que melhor representa as relações entre movimentos e gráficos é: x a) R = {(I, 2), (II, 1), (III, 4), (IV, 6)}. b) R = {(I, 1), (II, 2), (III, 3), (IV, 4)}. c) R = {(I, 3), (II, 5), (III, 2), (IV, 1)}. d) R = {(I, 2), (II, 3), (III, 5), (IV, 6)}. e) R = {(I, 3), (II, 4), (III, 5), (IV, 6)}.

20 FUNÇÕES LINEARES Problemas com variação constante f(x) = ax + b VARIAÇÃO CONSTANTE VALOR INICIAL a > 0 a < 0 a y x

21 12) (FGV) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de R$ 4.000,00, ela deverá fabricar x bolsas. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 d) X 450 e) 500 C(x) = 25x e R(x) = 45x. Um lucro de R$ implica R(x) - C(x) = x - (25x ) = 4000 x = 4000 x = x. 450 Lucro desejado + Custo fixo Lucro por bolsa CUIDADO! Raciocínios que envolvam Regra de 3 só funcionam para problemas com variação constante/funções lineares. Do contrário, falham!