REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS

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1 REPRESENTAÇÃO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Podemos representar sinais de tensão e de corrente alternadas senoidais através das seguintes expressões matemáticas: Tensão instantânea: v(t) = Vp.sen (w.t ± θ V ) Corrente instantânea: i(t) = Ip.sen (w.t ± θ I ) Estas expressões matemáticas para tensões e correntes, na forma trigonométrica do domínio do tempo, não permitem métodos práticos para a análise de circuitos elétricos. Exemplo: Sabemos que potência elétrica é o produto da tensão pela corrente. Obtenha a equação da potência elétrica multiplicando a tensão instantânea v(t)=10sen(100t) pela corrente instantânea i(t)=2sen(100t-60 ). Resolvendo, temos: P(t) = v(t) x i(t) = 10 sen (100t) x 2 sen(100t + 60 ) P(t) = 20 sen(100t) x sen (100t + 60 ) Como multiplicar os dois senos sem o uso das identidades trigonométricas? FASOR Um movimento harmônico giratório pode ser descrito por uma senóide e vice-versa. Quando a senóide completa um ciclo, o vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente.

2 Assim, podemos concluir que para uma dada frequência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma frequência e, portanto o vetor gira no sentido anti-horário com a mesma frequência ou velocidade angular ω da senóide. A cada período ou ciclo completado o vetor radial girante está sempre na mesma posição angular inicial θ. Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ é positivo. Se ociclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ é negativo, conforme ilustra a figura abaixo: Considerando que este vetor radial: gira à mesma frequência angular ω constante da senóide de origem; possui mesma frequência f e período que a senóide de origem; a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao ângulo de faseinicial θ da senóide de origem; possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senóide de origem;

3 Então esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a senóide e considerando uma dada frequência, para defini-lo basta o seu módulo e o seu ângulo de fase inicial. A este vetor radial girante chamamos de Fasor. Fasor é um vetor radial girante com frequência ω, com módulo igual ao valor de pico V P e com ângulo de fase inicial θ, que representa uma senóide de iguais parâmetros. Exemplo: Do diagrama fasorial da figura abaixo, obter a defasagem entre os sinais senoidais correspondentes aos fasores V e I: Solução: o fasor corrente I está adiantado de 45 do fasor tensão, pois φ=45-0 =45. Também podemos dizer que a tensão está atrasada de 45 da corrente. Exemplo: Um fasor de tensão de módulo 10 descreve uma rotação completa em 0,02s partindo da posição inicial -30. Determine: a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal; b) o ângulo em que a tensão é 10V; c) a frequência angular e a expressão matemática para as variações instantâneas desse sinal; d) o valor da tensão no instante t=0s;

4 Solução: a) O fasor tem módulo de 10V e parte de -30. Sua representação gráfica fica como apresentada na figura abaixo(a). Como a fase inicial é de θ=- 30, a senóide começa o seu semi-ciclo positivo no ângulo α=+30o. b) O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90 +α=120 e assim por diante, como mostra o gráfico da figura abaixo(b): c)

5 d) No instante t=0 a função senoidal assume o valor: V(t) = 10 sen(314,16t 30 ) = 10 sen(314,16x 0 30 ) V(t) = 10 sen(-30 ) = -5 V Também podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 através da projeção do fasor sobre o eixo vertical (y) do diagrama fasorial: V(0) = y(0) = 10 x sen(-30 ) = -5 V OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS Domínio do tempo Domínio Fasorial Ex: v(t)=10 sen(20t + 40 ) Ex: V = Operações Algébrica de Números Complexos É possível transformar números complexos da forma polar para a forma retangular e vice-versa: O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e subtração. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtração de vetores através do Método do Paralelogramo. Assim como para os

6 vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma gráfica ou analítica, como mostra a figura: β φ V R = V V V 1.V 2.cos α φ = arc tan { V 1.sen α/(v 2 + V 1.cos α)} β = arc tan { V 2.sen α/(v 1 + V 2.cos α)} Exemplo 1: Some e subtraia os sinais senoidais: V 1 = 20 sen (377t + 45 ) e V 2 = 40 sen (377t - 30 )

7 120,9 Reescrevendo na forma senoidal, temos: V 1 + V 2 = 49,13 sen (377t 6,85 ) V 1 - V 2 = 39,82 sen (377t + 120,9 ) Exemplo 2: Repita as operações utilizando Diagramas Fasoriais