ELETRICISTA FORÇA E CONTROLE ELETRICIDADE GERAL

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1 EETRICISTA FORÇA E CONTROE EETRICIDADE GERA

2 EETRICIDADE GERA 1

3 PETROBRAS Petróleo Brasileiro S.A. Todos os direitos reservados e protegidos pela ei 9.610, de É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, bem como a produção de apostilas, sem autorização prévia, por escrito, da Petróleo Brasileiro S.A. PETROBRAS. Direitos exclusivos da PETROBRAS Petróleo Brasileiro S.A. BARBOZA, uciano Vitoria Eletricidade Geral / CEFET-RS. Pelotas, p.: 60il. PETROBRAS Petróleo Brasileiro S.A. Av. Almirante Barroso, 81 17º andar Centro CEP: Rio de Janeiro RJ Brasil 2

4 ÍNDICE UNIDADE I Introdução Tipos de Corrente Alternada Características das Ondas Alternadas Senoidais Forma Matemática das Ondas Senoidais Periódicas Valor Eficaz de uma Grandeza Alternada Representação de Grandezas Senoidais Através de Fasores Defasagem entre Grandezas Senoidais Simulações Digitais Valor Eficaz de Tensão e Corrente em um Resistor UNIDADE II Introdução Circuitos Puros O Circuito Resistivo O Circuito Indutivo O Circuito Capacitivo O Circuito RC Série Circuito R Série Circuito RC Série Circuito RC Série O Circuito RC Paralelo Circuito R Paralelo Circuito RC Paralelo Circuito RC Paralelo Síntese dos Circuitos RC Simulações Digitais Valores de Tensões e Corrente em um Circuito RC Série Valores de correntes em um circuito RC paralelo UNIDADE III Introdução Potência Instantânea Circuito Resistivo Puro Circuitos Indutivo e Capacitivo Puros

5 3.3 Potência Média ou Potência Ativa Potência Reativa Potência Aparente Triângulo de Potências Fator de Potência Análise das Correntes Análise da Potência Aparente Resumo sobre Fator de Potência Correção do Fator de Potência Simulações Digitais Uso do Wattímetro para Medição de Potência Ativa UNIDADE IV Introdução Geração Trifásica Simétrica Carga Trifásica Equilibrada igações Trifásicas igação Trifásica em Y igação Trifásica em Resumo das igações Trifásicas Potências em Circuitos Trifásicos Potência Ativa Trifásica Potência Reativa Trifásica Potência Aparente Trifásica Simulações Digitais Relação entre Tensões de inha e de Fase em uma igação Trifásica em Y Relação entre Correntes de inha e de Fase em uma igação Trifásica em Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga igada em Y Método dos Dois Wattímetros para Medição de Potência Ativa Trifásica em uma Carga igada em BIBIOGRAFIA

6 ISTA DE FIGURAS Figura 1.1. Algumas formas de onda que representam grandezas alternadas Figura 1.2. Onda alternada periódica senoidal com suas principais características Figura 1.3. Corrente alternada senoidal do Exemplo Figura 1.4. Exemplos de representação de fasores Figura 1.5. Fasor tensão correspondente à tensão senoidal v ( t ) = 200sen( 377 t 40 ) V Figura 1.6. Fasor corrente correspondente à corrente senoidal i ( t ) = 5sen( 377t + 35 ) A Figura 1.7. Diagrama fasorial para o Exemplo Figura 1.8. Circuito elétrico para a simulação Figura 1.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura 2.1. Circuito resistivo puro submetido à corrente alternada Figura 2.2. Diagrama fasorial para o circuito resistivo puro Figura 2.3. Circuito indutivo puro submetido à corrente alternada Figura 2.4. Diagrama fasorial para o circuito indutivo puro Figura 2.5. Circuito capacitivo puro submetido à corrente alternada Figura 2.6. Diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro Figura 2.7. Circuito R série submetido à corrente alternada Figura 2.8. Diagrama fasorial das tensões em um circuito R série Figura 2.9. Circuito RC série submetido à corrente alternada Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série Figura Circuito RC série submetido à corrente alternada Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série com X > X C Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série com X C > X Figura Circuito R paralelo submetido à corrente alternada Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito R paralelo Figura Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo Figura Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo com b > b C Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo com b C > b Figura Circuito elétrico para a simulação Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura Circuito elétrico para a simulação a 5

7 Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura 3.1. Tensão, corrente e potência em um resistor Figura 3.2. Tensão, corrente e potência em um indutor Figura 3.3. Tensão, corrente e potência em um capacitor Figura 3.4. Triângulo de potências para uma carga com teor indutivo Figura 3.5. Triângulo de potências para uma carga com teor capacitivo Figura 3.6. Triângulo de potências inicial da empresa Figura 3.7. Triângulo de potências resultante com a instalação de um capacitor Figura 3.8. Circuito elétrico para a simulação Figura 3.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura 4.1. Esquema básico de um gerador trifásico Figura 4.2. igação trifásica em Y para um gerador Figura 4.3. Correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y Figura 4.4. Soma fasorial das correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y Figura 4.5. Correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y Figura 4.6. Soma fasorial de correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y Figura 4.7. Fasores correntes de linha do Exemplo Figura 4.8. Determinação gráfica da corrente no neutro do Exemplo Figura 4.9. igação trifásica em de uma carga equilibrada Figura Esquema elétrico simplificado da indústria do Exemplo Figura Circuito elétrico para a simulação Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura Circuito elétrico para a simulação Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura Circuito elétrico para a simulação Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Figura Circuito elétrico para a simulação Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação

8 ISTA DE TABEAS Tabela 4.1. Síntese das relações matemáticas entre grandezas de linha e de fase em ligações trifásicas

9 APRESENTAÇÃO O estudo da Eletricidade Geral pode basicamente ser dividido em três importantes campos: O estudo das grandezas elétricas básicas, tais como corrente elétrica, tensão, potência,...; O estudo dos circuitos elétricos alimentados por corrente contínua; O estudo dos circuitos elétricos alimentados por corrente alternada. Esta apostila objetiva introduzir o aluno ao terceiro campo das competências acima descritas. Inicialmente é realizado um estudo sobre as grandezas elétricas alternadas, com ênfase nas grandezas alternadas senoidais. Nesta etapa, o aluno terá condições de interpretar as características básicas de uma onda senoidal periódica e compreender como estas peculiaridades influem no comportamento da onda. A seguir, o aluno é guiado a analisar o comportamento dos circuitos compostos por resistores, indutores e capacitores excitados por tensões alternadas senoidais. Aqui, o aluno irá se deparar com as características de defasagem existentes entre as grandezas elétricas tensão e corrente. Neste capítulo serão tratadas as ligações de resistores, indutores e capacitores tanto em série como em paralelo. No Capítulo 3 serão abordados os diferentes tipos de potência elétrica que se apresentam em circuitos excitados por ondas alternadas senoidais. O aluno será conduzido a concluir que, com este tipo de excitação, têm-se três tipos de potência elétrica sendo absorvidas pela rede. Também será introduzida uma outra grandeza chamada fator de potência e será analisada a sua influência sobre o comportamento do circuito elétrico, bem como a forma prática de lidar com a sua correção. Finalmente, no Capítulo 4 serão apresentados e discutidos os Circuitos Elétricos Trifásicos. Serão apresentadas as tensões trifásicas simétricas geradas em usinas elétricas, bem como as suas características. Os diferentes tipos de conexão de circuitos trifásicos também serão discutidos. E, como último assunto, discute-se as formas de calcular as potências trifásicas. De modo a reforçar os conhecimentos teóricos introduzidos ao longo do livro, atividades de simulação utilizando computadores digitais são propostas. Para tal fim, será utilizado o software Multisim 2000 em sua versão student que é de livre distribuição. Essa versão possui algumas limitações, se comparada com a versão plena, porém, para os fins aqui destinados, se presta muito bem para ilustrar a teoria apresentada. 8

10 I - FUNDAMENTOS DE CORRENTE ATERNADA 1.1 Introdução Como se sabe existem dois tipos de corrente elétrica: a corrente alternada (CA) e a corrente contínua (CC). A corrente contínua tem a característica de ser constante no tempo, com o seu valor bem definido e circulando sempre no mesmo sentido em um condutor elétrico. A sua faixa de utilização é bastante ampla, pois todos os sistemas eletrônicos, como computadores, televisores, aparelhos de som, funcionam com CC. A corrente contínua é o tipo de corrente produzida por todos os tipos de pilhas e baterias, sem exceções. Por outro lado, a corrente alternada possui a característica de ser variante no tempo, alternando o sentido pelo qual percorre um condutor. Devido ao fato de ser alternada, possui algumas características como freqüência, amplitude, ângulo de fase, entre outras. A corrente alternada é utilizada em inúmeras aplicações, principalmente em sistemas de elevada potência, indústrias e máquinas elétricas. Em geral, os motores elétricos que equipam os eletrodomésticos, como batedeiras, liquidificadores, geladeiras, máquinas de lavar, são do tipo CA. Nas usinas de geração de energia (hidrelétricas, termelétricas ou nucleares) são utilizados geradores do tipo CA. Toda a rede de transmissão e distribuição de energia elétrica em todo o mundo é do tipo CA, sendo, no Brasil, valores típicos de amplitude de 127 Vrms e 220 Vrms com freqüência de 60 Hz. Em outros países como, por exemplo, o Paraguai, a freqüência da rede elétrica é 50 Hz. Todos os circuitos eletrônicos, como citado anteriormente, precisam de uma fonte de energia CC para os alimentar. Porém, freqüentemente estes circuitos são alimentados a partir da rede de energia CA local disponível. Nestes casos, uma parte do equipamento eletrônico é responsável pela conversão de uma forma de onda alternada em uma contínua. O estudo da conversão CA CC é feito em disciplinas específicas em cursos de Eletrônica Geral. Em função do exposto, pode-se dizer que a utilização da corrente alternada se deve, principalmente, aos seguintes fatos: A geração de grandes quantidades de energia é mais simples e econômica em CA; A transformação de CA em CC (processo chamado retificação ) é também muito simples e de baixo custo; 9

11 Máquinas elétricas alimentadas por CA (motor de indução) costumam ser mais baratos e necessitar de menor manutenção que máquinas CC; Tensões e correntes alternadas podem ter seus níveis alterados através do uso de transformadores. Talvez, este seja o principal fator pelo domínio da CA, pois graças ao transformador, consegue-se obter tensões da ordem de milhares de Volts necessários à transmissão de energia elétrica, bem como tensões reduzidas, adequadas à alimentação de pequenos aparelhos. Entre as formas de onda alternada, a forma de onda senoidal tem destacada importância. A tensão senoidal é largamente utilizada nos sistemas de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica. Existem diversas razões para a grande utilização de tensões senoidais, podendo-se destacar, entre elas, a facilidade de geração e de tratamento matemático. 1.2 Tipos de Corrente Alternada A rigor, pode-se considerar como uma tensão ou corrente alternada qualquer forma de onda que varie o seu valor com o tempo. Por outro lado, existe um grupo de ondas alternadas que possui particular importância no estudo da Eletricidade. São aquelas que, depois de decorrido um determinado intervalo de tempo, voltam a se repetir. Estas ondas são chamadas de ondas alternadas periódicas. Na Figura 1.1 estão apresentadas algumas ondas do tipo citado. Na Figura 1.1, as grandezas mostradas nas letras (a) e (b) correspondem a ondas triangulares periódicas; as letras (c) e (d), a ondas quadradas periódicas; e as letras (e) e (f) a ondas senoidais. A onda mostrada na Figura 1.1(f) é uma onda senoidal retificada em onda completa (este assunto corresponde ao estudo de Eletrônica Geral). Em todas as figuras mostradas, o símbolo T corresponde ao período da onda. Observe que, em todas as grandezas mostradas na Figura 1.1, o valor instantâneo da onda depende do instante de tempo em análise. Este fato as caracteriza como ondas alternadas. Por outro lado, note que, decorridos T segundos (um período), os valores instantâneos começam a se repetir. Isto as caracteriza como ondas periódicas. As ondas alternadas periódicas são muito importantes no estudo da Eletricidade porque todos os geradores elétricos existentes nas usinas de geração de energia elétrica (por exemplo, Itaipú) produzem tensões senoidais como aquela mostrada na Figura 1.1(e), isto é, uma tensão alternada periódica senoidal. Neste estudo serão abordadas, em especial, as ondas alternadas periódicas senoidais e como representá-las utilizando a função seno. Na próxima seção serão apresentadas e discutidas as principais características desse tipo de ondas. 10

12 (a) (b) 0 T t (c) (d) 0 T T t (e) 0 T T T T (f) t Figura 1.1. Algumas formas de onda que representam grandezas alternadas. 1.3 Características das Ondas Alternadas Senoidais Para facilitar a compreensão dos principais parâmetros que caracterizam uma onda de tensão ou corrente alternada periódica senoidal, considere a tensão representada na Figura 1.2. A primeira característica está relacionada ao valor máximo (V m) que a função senoidal atinge. Note que este valor máximo ora é positivo e ora é negativo. Este máximo valor recebe o nome de valor de pico, magnitude ou amplitude da onda senoidal. Não esqueça que, para uma determinada onda senoidal, este valor é uma constante associada a ela. O conjunto de valores instantâneos que a onda apresenta durante um período de tempo chama-se ciclo (na verdade, corresponde à forma da onda). Outra forma de se identificar um ciclo é observar o instante de tempo a partir do qual a onda começa a se repetir. Todos os valores da onda anteriores há esse instante compõem o seu ciclo. 11

13 Figura 1.2. Onda alternada periódica senoidal com suas principais características. O período (T ) de uma onda alternada corresponde ao intervalo de tempo a partir do qual a onda começa a repetir os seus valores. Pode-se também relacionar ciclo e período da seguinte forma: período é o tempo que a onda leva para completar um ciclo. No Sistema Internacional de Unidades, o período é medido em segundos (s). O número de ciclos que uma onda alternada senoidal realiza em um segundo chama-se freqüência (f ) da onda. Como o tempo que uma onda leva para completar um ciclo corresponde ao seu período, pode-se estabelecer uma relação entre período e freqüência através de uma regra de três simples e direta, como mostrado abaixo 1 ciclo 1 T f 1 s (1.1) A relação acima diz que, se um período T é o tempo que a onda leva para completar um ciclo, o número de ciclos realizados durante um segundo é a freqüência f. Da equação (1.1), concluise que f = 1 T (1.2) Assim, de acordo com a equação (1.2), tem-se que a freqüência de uma onda alternada senoidal corresponde ao inverso do seu período. No Sistema Internacional de Unidades, a freqüência é medida em Hertz (Hz). Por exemplo, em todo o território brasileiro, a freqüência da rede elétrica residencial é 60 Hz. Por outro lado, é comum estabelecer-se uma relação entre a freqüência f e a velocidade angular de um ponto sobre uma circunferência de raio igual ao valor de pico da onda alternada. Observe que um ponto ao completar um giro completo sobre uma circunferência percorre o 12

14 equivalente a 2π radianos (rad). Dessa forma, pode-se dizer que para uma onda alternada completar um ciclo, é necessário que este ponto realize uma volta completa na circunferência. Se a onda possui uma freqüência f, então o referido ponto irá completar f voltas na circunferência em um segundo. Esta característica das ondas alternadas é conhecida como freqüência angular, cujo símbolo é ω, e se relaciona com a freqüência f através da relação ω = 2πf (1.3) No Sistema Internacional de Unidades, a freqüência angular é medida em rad/s. Outra característica peculiar das ondas alternadas senoidais é conhecida como argumento e corresponde ao produto entre a freqüência angular e o tempo, isto é, ωt. Observe que, no Sistema Internacional de Unidades, este produto resulta em radianos (rad). Finalmente, a última característica importante associada a uma onda alternada senoidal é conhecida como ângulo de fase da onda. O seu símbolo é θ. Para se entender o que o ângulo de fase expressa, observe novamente a Figura 1.2. Note que a onda de tensão não está passando por zero no instante de tempo t igual a zero. Sabe-se, da trigonometria matemática, que a função seno padrão vale zero quando t é igual a zero. Quando a onda alternada, seja de tensão ou de corrente, não vale zero quando t é igual a zero, o ângulo de fase θ expressa exatamente esta diferença. Em outras palavras, o ângulo de fase corresponde a um valor que somado ao argumento ωt faz com que a função seno se torne nula quando t é igual a zero. Na Figura 1.2, a forma de onda atinge o valor zero um pouco antes de t = 0, o que significa que o seu ângulo de fase θ é positivo. Caso contrário, o ângulo de fase seria negativo. Normalmente, o ângulo de fase é expresso em graus ( ). Na próxima seção será abordada a forma matemática de tratar as ondas alternadas senoidais. 13

15 1.4 Forma Matemática das Ondas Senoidais Periódicas Reunindo as características apresentadas na seção anterior, matematicamente uma onda de tensão alternada senoidal pode ser expressa como ( ω θ ) v( t ) = V sen t + (1.4) m Onde v(t ) corresponde ao valor instantâneo da tensão. Exemplo 1.1: Considere a corrente alternada senoidal expressa por i t = ( t ) Determine: a) O seu valor de pico; b) A sua freqüência angular; c) O seu ângulo de fase; d) A sua freqüência; e) O valor instantâneo da corrente para t = 3 ms e t = 15 ms. ( ) 4sen A. Solução: Observando a expressão matemática da corrente, podem-se determinar diretamente os valores de pico, da freqüência angular e do ângulo de fase da onda. Assim, tem-se que I m = 4 A ω = 377 rad/s θ = 10 período, que são Utilizando as equações (1.3) e (1.2), podem-se calcular os valores da freqüência e do = ω π = 377 π 1 1 f 60 Hz T = = 16,7 s 2 2 f 60 Para obter os valores instantâneos da corrente, devem-se substituir os instantes de tempo diretamente na expressão matemática dada. Deve-se atentar para o fato de que o argumento estará em radianos e o ângulo de fase em graus. 14

16 Assim, primeiramente deve-se passar o argumento para graus para, em seguida, somá-lo com o ângulo de fase e, depois, calcular o valor da função seno. Para o instante de tempo t = 3 ms, tem-se 3 ωt = = 1,131 rad = 64,8 3 ( ) ( ) ( ) i 3.10 = 4 sen 64,8 10 = 4 sen 54,8 = 3,27 A Para o instante t = 15 ms, tem-se 3 ωt = = 5,655 rad = 324,01 3 ( ) ( ) ( ) i = 4 sen 324,01 10 = 4 sen 314,01 = 2,88 A Na Figura 1.3 está mostrada a forma de onda que representa a corrente i(t ) do Exemplo 1.1. Figura 1.3. Corrente alternada senoidal do Exemplo

17 1.5 Valor Eficaz de uma Grandeza Alternada Sabe-se que, no Brasil, a rede elétrica de abastecimento residencial pode ser em dois valores: 127 V ou 220 V. Por outro lado, também se sabe que a forma de onda da rede é alternada senoidal, ou seja, está sempre variando com o passar do tempo, inclusive assumindo valores negativos em determinados instantes de tempo. Assim, o que significa uma tensão alternada senoidal de 127 ou 220 V? Este é o objeto de estudo desta seção. Toda tensão ou corrente alternada periódica possui associada a si um valor que é chamado valor eficaz da tensão ou corrente. Este valor eficaz é o valor que realmente é capaz de executar trabalho. Por definição, o valor eficaz de qualquer corrente periódica é igual ao valor da corrente contínua que, circulando por um resistor de resistência R, entrega a mesma potência P ao resistor que a corrente periódica. Dessa forma, pode-se escrever que P = RI = RI (1.5) 2 2 CC ef Onde I CC é o valor da corrente contínua e I ef corresponde ao valor eficaz da corrente alternada periódica. É costume se acrescentar após a unidade de tensão ou corrente a expressão rms para indicar que esta corresponde ao valor eficaz da grandeza (Vrms ou Arms). Aplicando a definição anterior a uma tensão ou corrente alternada senoidal expressa como na equação (1.4), obtém-se para o seus valores eficazes V ef Vm Im = Ief = (1.6) 2 2 Onde V m corresponde ao valor de pico da senóide. Observe que a expressão (1.6) relaciona os valores eficaz e de pico de uma tensão ou corrente alternada senoidal. Por exemplo, se a tensão alternada tiver um valor eficaz de 220 Vrms, isto significa que o seu valor de pico é ,13 V. 16

18 1.6 Representação de Grandezas Senoidais Através de Fasores Trabalhar com análise de circuitos de corrente alternada utilizando as expressões matemáticas que definem as senóides não é uma tarefa das mais fáceis. Assim, surgiu a definição de fasor. O fasor é uma representação matemática mais simples que apresenta os principais parâmetros que caracterizam a senóide em estudo. Por exemplo, considere a forma de onda de corrente senoidal i( t ) = I sen( ωt + θ ) (1.7) m Observe que se a corrente indicada na equação (1.7) circular em um determinado trecho de um circuito elétrico, isto significa que, nas demais partes deste circuito, todas as correntes e tensões terão a mesma freqüência ω. Dessa forma, o que irá diferenciar as tensões e as correntes entre si são os valores de pico e os ângulos de fase. Conclui-se, então, que, para caracterizar e diferenciar tensões e correntes senoidais em um circuito elétrico, basta dispor-se dos valores de pico e dos ângulos de fase de cada uma delas. Assim, surgiu a idéia do fasor. Ele é um valor matemático que indica os valores da magnitude da onda de corrente ou tensão e o seu respectivo ângulo de fase. A representação utilizada para se escrever matematicamente os fasores é V& = V α I& = I β (1.8) m m Onde o fasor é representado pela letra maiúscula da grandeza com um ponto em cima e o valor após o sinal representa o ângulo de fase e, neste caso, está se considerando α e β como os ângulos de fase da tensão e da corrente, respectivamente. Além disso, é possível se fazer uma representação gráfica dos fasores. Esta é realizada utilizando-se a trigonometria matemática, na qual ângulos de fase positivos são representados no sentido anti-horário e ângulos de fase negativos, no sentido horário. Por exemplo, na Figura 1.4 estão mostrados dois fasores, um fasor tensão com ângulo de fase positivo α e um fasor corrente com ângulo de fase negativo β. Note que o comprimento do fasor corresponde ao valor de pico da grandeza. 17

19 . ref Figura 1.4. Exemplos de representação de fasores. Exemplo 1.2: Considere as ondas senoidais de tensão e corrente a seguir. Faça a representação gráfica dos fasores correspondentes a estas grandezas. 1 ( t ) v ( t ) = 200sen V a ( t ) i ( t ) = 5sen A Solução: Inicialmente deve-se adotar uma escala para a representação dos valores de pico da tensão e da corrente. Por exemplo, pode-se adotar, para a tensão, uma escala na qual cada 50 V corresponda a 1 cm. Assim, o comprimento do fasor tensão será de 4 cm. Na Figura 1.5 está representado o fasor tensão V& ref 4 cm. V V Figura 1.5. Fasor tensão correspondente à tensão senoidal v t = ( t ). V 1 1 ( ) 200sen V. Para a corrente, pode-se adotar como escala cada 1 A igual a 1 cm. Assim, o comprimento do fasor corrente é 5 cm. A Figura 1.6. mostra a representação do fasor corrente. Figura 1.6. Fasor corrente correspondente à corrente senoidal i t = ( t + ) a ( ) 5sen A. 18

20 1.7 Defasagem entre Grandezas Senoidais A defasagem entre duas ondas senoidais visa especificar de quantos graus uma onda está adiantada ou atrasada em relação à outra. O ângulo de defasagem sempre é um valor positivo medido em graus. Para a determinação do ângulo de defasagem entre duas senóides, subtrai-se o ângulo de fase menor do ângulo de fase maior. Para se concluir se uma senóide está adiantada em relação à outra, basta analisar-se os ângulos de fase. Aquela que possuir o ângulo maior estará adiantada em relação à outra. Isto significa o mesmo que dizer que a outra está atrasada em relação à primeira. Uma observação importante deve ser feita em relação ao ângulo de fase. Na prática, os ângulos de defasagem φ sempre deverão ser maiores que 180. Se ao realizar a operação indicada anteriormente para o cálculo de um ângulo de defasagem o resultado encontrado for maior do que 180, deve-se proceder ao cálculo do replemento deste ângulo, isto é, deve-se subtraí-lo de 360 e considerar a senóide com ângulo de fase menor como adiantada em relação à outra. Os exemplos a seguir ilustram a aplicação das regras acima apresentadas. Exemplo 1.3: Considere a tensão senoidal v t ( t ) defasagem em relação às correntes dadas a seguir. a) i t = ( t + ) 1 ( ) 3sen A b) i t = ( t + ) 2 ( ) 3sen A c) i t = ( t ) 3 ( ) 3sen A d) i t = ( t ) 4 ( ) 3sen A x ( ) = 220 sen V. Determine a sua Solução: Para uma melhor compreensão do Exemplo, primeiramente será construído o diagrama fasorial com todas as ondas senoidais envolvidas neste. As escalas adotadas são 50 V 1 cm e 1 A 1 cm Para a tensão e para as correntes, respectivamente. 19

21 Na Figura 1.7 está mostrado o diagrama fasorial do Exemplo 1.3. V & = V x I & 1 = 3 75 A I & 2 = A I & 3 = 3 15 A I & 3 = 3 85 A Figura 1.7. Diagrama fasorial para o Exemplo 1.3. Com o diagrama fasorial e os respectivos fasores na Figura 1.7, pode-se dizer que os ângulos de fase das grandezas são θ = 125 x θ 1 = 75 θ 2 = 105 θ 3 = 15 θ 4 = 85 Onde θ x, θ 1, θ 2, θ 3, e θ 4 são os ângulos de fase da tensão v x e das correntes i 1, i 2, i 3 e i 4, respectivamente. Com esses dados, pode-se então proceder aos cálculos das defasagens conforme descrito no texto da Apostila. Nos cálculos, φ será o ângulo de defasagem. a) θx > θ1 φ = θx θ1 = = 50 A tensão v x está 50 adiantada em relação à corrente i 1, ou A corrente i 1 está 50 atrasada em relação à tensão v x. 20

22 b) θx > θ2 φ = θx θ2 = = 20 A tensão v x está 20 adiantada em relação à corrente i 2, ou A corrente i 2 está 20 atrasada em relação à tensão v x. c) θx > θ3 ( ) φ = θx θ3 = = 140 A tensão v x está 140 adiantada em relação à corrente i 3, ou A corrente i 3 está 140 atrasada em relação à tensão v x. a) θx > θ4 ( ) φ = θx θ4 = = 210 Maior do que 180 O valor correto para o ângulo de defasagem é, então φ = = 150 A tensão v x está 150 atrasada em relação à corrente i 4, ou A corrente i 4 está 150 adiantada em relação à tensão v x. 1.8 Simulações Digitais Valor Eficaz de Tensão e Corrente em um Resistor 1. Determine os valores eficazes da tensão e da corrente no resistor do circuito da Figura 1.8. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz. Figura 1.8. Circuito elétrico para a simulação

23 2. No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente à Figura 1.8 e introduza corretamente o voltímetro e o amperímetro para a leitura das grandezas calculadas no item 1. A tela do programa está mostrada na Figura 1.9. Figura 1.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados obtidos pelo cálculo e pela simulação. 22

24 II - CIRCUITOS RC 2.1 Introdução Neste capítulo, será abordado o comportamento de circuitos compostos por resistores, indutores e capacitores quando submetidos à corrente alternada senoidal. Para a compreensão do funcionamento de circuitos RC, novas grandezas serão definidas e estudadas, entre outras podem ser citadas a impedância e a admitância. Inicialmente, serão estudados os circuitos resistivo, indutivo e capacitivo puros. A seguir, serão estudados os circuitos RC série e RC paralelo. 2.2 Circuitos Puros O Circuito Resistivo Considere o circuito resistivo mostrado na Figura 2.1. Seja a corrente que percorre o circuito da forma i t = I ( ωt + θ ) ( ) sen. m Figura 2.1. Circuito resistivo puro submetido à corrente alternada. A polaridade da tensão existente na Figura 2.1 serve para facilitar a análise do circuito. Esta representa a polaridade da tensão em um determinado semiciclo da onda. Pela característica básica de uma onda senoidal, sabe-se que, no semiciclo seguinte, a polaridade da tensão inverte, invertendo conseqüentemente também o sentido da corrente. 23

25 Pela relação existente entre tensão e corrente em um resistor, sabe-se que a tensão nos terminais do resistor é da forma v( t ) = RI sen( ωt + θ ) (2.1) m Determinando os fasores correspondentes à tensão e a corrente no circuito, tem-se V& = RI θ e I& = I θ (2.2) m m do resistor vale Da observação da equação (2.2), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos terminais V m = RI (2.3) m Da equação (2.3), conclui-se que a única oposição à circulação de corrente em um circuito resistivo puro é a resistência elétrica do resistor. Por outro lado, pode-se também definir a facilidade que o circuito resistivo apresenta à circulação de corrente elétrica, isto é, o inverso da resistência elétrica. Esta grandeza é chamada condutância e representada pela letra g. Assim, matematicamente, tem-se 1 g = (2.4) R No Sistema Internacional de Unidades, a condutância é medida em Siemens (S). Dessa forma, a equação (2.3) pode ser escrita como I m = gv (2.5) m Com base na equação (2.2), pode-se construir o diagrama fasorial para o circuito resistivo puro, o qual está mostrado na Figura 2.2. Figura 2.2. Diagrama fasorial para o circuito resistivo puro. 24

26 Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente são os mesmos. Isto permite dizer que, no circuito resistivo puro, a tensão sempre está em fase com a corrente O Circuito Indutivo Considere o circuito indutivo mostrado na Figura 2.3. Seja a corrente que percorre o circuito da forma i t = I ( ωt + θ ) ( ) sen. m Figura 2.3. Circuito indutivo puro submetido à corrente alternada. Pela relação existente entre tensão e corrente em um indutor, sabe-se que a tensão nos terminais do indutor é da forma ( ) v( t ) = ωi sen ωt + θ + 90 (2.6) m Determinando os fasores correspondentes à tensão e a corrente no circuito, tem-se V& = ωi θ + 90 e I& = I θ (2.7) m m do indutor vale Da observação da equação (2.7), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos terminais V m = ωi (2.8) m Na equação (2.8), o termo ω é chamado reatância indutiva do indutor, cujo símbolo é X. Observe que a oposição à circulação de corrente no circuito indutivo puro é a reatância indutiva do indutor. Assim, define-se X = ω = 2πf (2.9) 25

27 No Sistema Internacional de Unidades, a reatância indutiva é medida em Ohms (Ω). Assim, a equação (2.8) pode ser escrita como V m = X I (2.10) m Que significa dizer que o valor de pico da tensão é obtido pela multiplicação da reatância indutiva pelo valor de pico da corrente. Pode-se também definir uma grandeza que meça a facilidade que o circuito indutivo apresenta à circulação da corrente elétrica, que é chamada susceptância indutiva. Esta é o inverso da reatância indutiva e é simbolizada por b. Assim, tem-se b = 1 1 X = 2πf (2.11) No Sistema Internacional de Unidades, a susceptância indutiva é medida em Siemens (S). Dessa forma, a equação (2.10) pode ser escrita como I = b V (2.12) m m A equação (2.7) permite a construção do diagrama fasorial para o circuito indutivo puro, o qual está mostrado na Figura 2.4. Figura 2.4. Diagrama fasorial para o circuito indutivo puro. Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente estão defasados em 90. Isto permite dizer que, no circuito indutivo puro, a tensão sempre está 90 adiantada em relação à corrente. 26

28 2.2.2 O Circuito Capacitivo Considere o circuito capacitivo mostrado na Figura 2.5. Seja a corrente que percorre o circuito da forma i t = I ( ωt + θ ) ( ) sen. m Figura 2.5. Circuito capacitivo puro submetido à corrente alternada. Pela relação existente entre tensão e corrente em um capacitor, sabe-se que a tensão nos terminais do capacitor é da forma I m ( ωt θ ) v( t ) = sen + 90 (2.13) ωc Determinando os fasores correspondentes à tensão e a corrente no circuito, tem-se Im V& = 90 e I Im ωc θ & = θ (2.14) Da observação da equação (2.14), pode-se concluir que a magnitude da tensão nos terminais do indutor vale V m I m = (2.15) ωc Na equação (2.15), o termo 1/ωC é chamado reatância capacitiva do capacitor. Observe que a oposição à circulação de corrente no circuito capacitivo puro é a reatância capacitiva do capacitor. Assim, define-se X C = 1 1 ωc = 2πfC (2.16) 27

29 No Sistema Internacional de Unidades, a reatância capacitiva é medida em Ohms (Ω). A equação (2.15) pode, então, ser escrita como V m = X I (2.17) C m Que diz que o valor de pico da tensão é obtido pelo produto da reatância capacitiva pelo valor de pico da corrente. Pode-se também definir uma grandeza relacionada à facilidade que a corrente elétrica tem para circular no circuito capacitivo. Neste caso, esta grandeza é chamada susceptância capacitiva e seu símbolo é b C. Matematicamente, ela é definida como o inverso da reatância capacitiva, ou seja, b C 1 = = 2πfC (2.18) X C No Sistema Internacional de Unidades, a susceptância capacitiva é medida em Siemens (S). Dessa forma, a equação (2.17) pode ser escrita como I = b V (2.19) m C m Baseado na equação (2.14), o diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro pode ser construído, o qual está mostrado na Figura 2.6. Figura 2.6. Diagrama fasorial para o circuito capacitivo puro. Observe que os ângulos de fase da tensão e da corrente estão defasados em 90. Isto permite dizer que, no circuito capacitivo puro, a corrente sempre está 90 adiantada em relação à tensão. 28

30 2.3 O Circuito RC Série Nesta seção, inicialmente será realizado o estudo dos circuitos R e RC série e, posteriormente, os três componentes serão reunidos para o estudo do comportamento do circuito RC série geral Circuito R Série Considere o circuito R série apresentado na Figura 2.7. A rede é alimentada por uma tensão v(t ) cuja freqüência vale f. Figura 2.7. Circuito R série submetido à corrente alternada. Por se tratar de um circuito série, sabe-se que a corrente elétrica é a mesma em todos os componentes da rede. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e indutores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a corrente como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se construir o diagrama fasorial das tensões, o qual é mostrado na Figura 2.8. V.. V I... V R Figura 2.8. Diagrama fasorial das tensões em um circuito R série. Observe na Figura 2.8 que os fasores V& e I& estão em fase (característica de um circuito R resistivo) e que o fasor V & está 90 adiantado em relação ao fasor I & (característica de um circuito indutivo). A soma dos fasores V& e V& resulta no fasor tensão da fonte V & (característica de um R 29

31 circuito série). Note ainda que o fasor tensão da fonte continua adiantado em relação à corrente, porém de um ângulo inferior a 90. Daí, pode-se concluir que, em um circuito R série, a tensão da fonte sempre estará adiantada da corrente de um ângulo maior que 0 e menor que 90. Recorde que, em valores de pico, tem-se as seguintes relações V = RI e V = X I (2.20) R Onde V R e V são os valores de pico das tensões sobre o resistor e sobre o indutor, respectivamente; R é a resistência elétrica do resistor; X é a reatância indutiva do indutor e I é o valor de pico da corrente. Observando a Figura 2.8, nota-se que o diagrama fasorial das tensões resultou em um triângulo retângulo, onde o comprimento de cada um dos lados corresponde ao valor de pico da respectiva tensão. Portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se que V = V + V R ( ) ( ) V = RI + XI V = R I + X I ( ) V = R + X I V = R + X I 2 2 (2.21) Note na equação (2.21) que o valor da tensão da fonte é obtido multiplicando-se uma constante pelo valor da corrente. Esta constante recebe o nome de impedância do circuito R série e é representada por Z. Assim, definindo-se 2 2 Z = R + X (2.22) A equação (2.21) pode ser escrita de uma forma mais compacta como V = ZI (2.23) No Sistema Internacional de Unidades, a impedância é medida em Ohms (Ω). O ângulo formado entre os fasores tensão da fonte ( V & ) e corrente ( I & ) é chamado ângulo do fator de potência. E, por definição, o co-seno deste ângulo é conhecido como fator de potência do circuito e representado por fp, isto é, fp = cosθ (2.24) 30

32 embrando das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e analisando a Figura 2.8, pode-se escrever que VR RI fp = cosθ = = V ZI R fp = Z (2.25) capítulo. O estudo da influência do fator de potência em uma rede elétrica será estudado no próximo Circuito RC Série Considere o circuito RC série apresentado na Figura 2.9. A rede é alimentada por uma tensão v(t ) cuja freqüência vale f. Figura 2.9. Circuito RC série submetido à corrente alternada. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e capacitores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a corrente como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se construir o diagrama fasorial das tensões, o qual é mostrado na Figura Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série. 31

33 Observe na Figura 2.10 que os fasores V& e I& estão em fase (característica de um circuito resistivo) e que o fasor V & C está 90 atrasado em relação ao fasor I & (característica de um circuito capacitivo). A soma dos fasores V& e V& resulta no fasor tensão da fonte V & (característica de um R C circuito série). Note ainda que o fasor tensão da fonte continua atrasado em relação à corrente, porém de um ângulo inferior a 90. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RC série, a tensão da fonte sempre estará atrasada da corrente de um ângulo maior que 0 e menor que 90. Recorde que, em valores de pico, tem-se as seguintes relações R V = RI e V = X I (2.26) R C C Onde V R e V C são os valores de pico das tensões sobre o resistor e sobre o capacitor, respectivamente; R é a resistência elétrica do resistor; X C é a reatância capacitiva do capacitor e I é o valor de pico da corrente. Da Figura 2.10, usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que V = V + V R C ( ) ( ) V = RI + XCI V = R I + X I C ( C ) V = R + X I V = R + X I 2 2 C (2.27) Note na equação (2.27) que o valor da tensão da fonte é obtido multiplicando-se uma constante pelo valor da corrente. Esta constante recebe o nome de impedância do circuito RC série e é representada por Z. Assim, definindo-se 2 2 Z = R + X C (2.28) A equação (2.27) pode ser escrita de uma forma mais compacta como V = ZI (2.29) Observe que a diferença, em termos de cálculo matemático, entre o circuito R série e o RC série está na forma de calcular a impedância. Utiliza-se a reatância indutiva no R e a reatância capacitiva no RC. 32

34 Para o fator de potência, tem-se fp = cosθ (2.30) embrando das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e analisando a Figura 2.10, pode-se escrever que VR RI fp = cosθ = = V ZI R fp = Z (2.31) Note que o fator de potência é calculado da mesma forma tanto no R série como no RC série. Entretanto, observando-se as Figuras 2.8 e 2.10, nota-se que o comportamento das duas redes é completamente diferente. Enquanto no R a tensão da fonte se adianta da corrente, no RC a tensão da fonte se atrasa da corrente. Dessa forma, é necessário acrescentar-se mais uma informação ao fator de potência de modo que ele traduza corretamente o circuito ao qual está associado. Esta informação corresponde ao teor da rede elétrica, isto é, se o teor da rede é indutivo ou capacitivo. Isso é feito acrescentando-se a expressão ind ou cap após o valor do fator de potência. Pode-se também usar as expressões atr (atraso) ou av (avanço) após o fator de potência para caracterizar o teor indutivo ou capacitivo, respectivamente Circuito RC Série Considere o circuito RC série mostrado na Figura O circuito está sendo alimentado por uma tensão senoidal cujo valor de pico é V e cuja freqüência é f. Figura Circuito RC série submetido à corrente alternada. 33

35 Recordando a Seção 2.2, tem-se que as relações entre a tensão nos terminais de cada componente e a corrente no circuito série, em termos de valor de pico, são dadas por VR = RI V = X I VC = XCI (2.32) Como a corrente é a mesma para todos os componentes, o valor da tensão no indutor poderá ser maior ou menor do que o valor da tensão no capacitor. Isso dependerá dos valores das reatâncias indutiva e capacitiva. Assim, no circuito RC série, é necessário fazer-se uma análise para cada caso Caso 1: X > X C Neste caso, tem-se que a magnitude da tensão no indutor V é maior do que a magnitude da tensão no capacitor V C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor, indutor e capacitor, o diagrama fasorial das tensões para este caso pode ser visto na Figura V V.. V C I... V R Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série com X > X C. Observe na Figura 2.12 que os fasores tensão V& e V& estão ambos defasados de 90 em relação à corrente. A diferença é que V & está adiantado (característica indutiva) e V & C está atrasado (característica capacitiva) em relação à corrente. Novamente, somando-se os fasores tensão V&, V& e V & C, obtém-se o fasor tensão da fonte. Note que no triângulo retângulo resultante, o comprimento do cateto vertical corresponde à diferença entre os valores de pico das tensões no indutor e no capacitor, isto é, V V C (V é maior que V C). Devido a isso, o teor do circuito se mantém indutivo, com a tensão da fonte adiantada em relação à corrente. C R 34

36 escrever que Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.12, pode-se 2 R ( C ) ( ) ( ) 2 2 V = V + V V V = RI + X I XCI ( ) V = R I + X XC I ( ) = + C V R I X X I ( ) V R X X I = + C ( ) 2 2 V = R + X XC I 2 (2.33) Observe que novamente a tensão da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante pela corrente. Esta constante é a impedância do circuito RC série. Assim, definindo ( ) 2 2 Z R X XC = + (2.34) A equação (2.33) pode ser escrita mais simplesmente como V = ZI (2.35) Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a impedância. 35

37 Caso 2: X C > X Agora, tem-se que a magnitude da tensão no indutor V é menor do que a magnitude da tensão no capacitor V C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor, indutor e capacitor, o diagrama fasorial das tensões para este caso pode ser visto na Figura V I.. V R. V.. V C Figura Diagrama fasorial das tensões em um circuito RC série com X C > X. Observe na Figura 2.13 que os fasores tensão V& e V& continuam ambos defasados de 90 em relação à corrente. O fasor V & continua adiantado e V & C continua atrasado em relação à corrente. Novamente, somando-se os fasores tensão V&, V& e V&, obtém-se o fasor tensão da fonte. R C Note que no triângulo retângulo resultante, o comprimento do cateto vertical corresponde à diferença entre os valores de pico das tensões no capacitor e no indutor, isto é, V C V (V é menor que V C). Devido a isso, o teor do circuito torna-se capacitivo, com a tensão da fonte atrasada em relação à corrente. escrever que Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.13, pode-se C 2 R ( C ) ( ) ( ) 2 2 V = V + V V V = RI + XCI X I ( ) V = R I + XC X I ( ) = + C V R I X X I ( ) V R X X I = + C ( ) 2 2 V = R + XC X I 2 (2.36) 36

38 Observe que novamente a tensão da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante pela corrente. Esta constante é novamente a impedância do circuito RC série. Assim, definindo ( ) 2 2 Z R XC X = + (2.37) A equação (2.36) pode ser escrita mais simplesmente como V = ZI (2.38) como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a impedância Fator de Potência Analisando os diagramas fasoriais mostrados nas Figuras 2.12 e 2.13, pode-se em ambos concluir que o fator de potência do circuito RC série pode ser obtido como VR RI fp = cosθ = = V ZI R fp = Z (2.39) Observe que apesar do cálculo do valor numérico do fp ser idêntico independentemente de X ser maior ou menor que X C, o teor da rede é diferente. A colocação dos termos ind ou cap após o valor é fundamental para a caracterização do teor do circuito. Pode-se resumir o fp de um circuito RC série da seguinte forma: X > X C: teor indutivo, fp ind X < X C: teor capacitivo, fp cap X = X C: teor puramente resistivo, fp unitário Note que, no caso em que X = X C, o ângulo do fator de potência vale zero e, portanto, cos 0 = 1, o que deixa os fasores tensão da fonte e corrente em fase. Neste caso, diz-se que o circuito está em ressonância ou que possui teor puramente resistivo. 37

39 Exemplo 2.1: Um circuito RC série é formado por um resistor de 50 Ω, um indutor de 150 mh e um capacitor de 190 µf. A associação é alimentada por uma fonte de tensão senoidal com valor de pico de 155,6 V e uma freqüência de 60 Hz. Determine: a) O valor eficaz da corrente; b) Os valores eficazes das quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor; c) O fator de potência da associação; d) A defasagem entre a tensão e a corrente da fonte. Solução: Inicialmente, pode-se determinar o valor eficaz da tensão da fonte. Dessa forma, todas as correntes calculadas já estarão em valor eficaz. Portanto, lembrando que, para uma onda senoidal, o valor eficaz corresponde ao valor de pico dividido pela raiz quadrada de 2, tem-se Vm 155,6 V ef = = 110 Vrms 2 2 da rede. A seguir, calculam-se os valores das reatâncias indutiva e capacitiva e o valor da impedância X X C 3 2πf 2π ,55 = = = Ω 1 1 = = = 13,96 Ω 6 2πfC 2π ( ) ( ) C Z = R + X X = ,55 13,96 = 65,68 Ω O valor da corrente é V ef 110 I = = = 1,68 Arms Z 65,68 A queda de tensão em cada um dos componentes da associação vale VR V = RI = 50 1,68 = 83,76 Vrms = X I = 56,55 1,68 = 94,73 Vrms V C = X I = 13,96 1,68 = 23,39 Vrms C 38

40 Para determinar o fator de potência, observe que X > X C, então o teor do circuito será indutivo. Assim, tem-se que R 50 fp = = = 0,7613ind Z 65,68 Com o valor do fp da rede, pode-se determinar o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente da fonte, que é ( fp ) ( ) θ = acos = acos 0,7613 = 40,42. Observando que o fp possui teor indutivo, pode-se afirmar que a tensão da fonte está 40,42 adiantada em relação à corrente ou que a corrente da fonte está 40,42 atrasada em relação à tensão. 2.4 O Circuito RC Paralelo Nesta seção, inicialmente será realizado o estudo dos circuitos R e RC paralelo e, posteriormente, os três componentes serão reunidos para o estudo do comportamento do circuito RC paralelo geral Circuito R Paralelo Considere o circuito R paralelo apresentado na Figura A rede é alimentada por uma tensão v(t ) cuja freqüência vale f. Figura Circuito R paralelo submetido à corrente alternada. 39

41 Por se tratar de um circuito paralelo, sabe-se que a tensão é a mesma para todos os componentes da rede. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e indutores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a tensão da fonte como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se construir o diagrama fasorial das correntes, o qual é mostrado na Figura Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito R paralelo. Observe na Figura 2.15 que os fasores I& e V& estão em fase (característica de um circuito R resistivo) e que o fasor I& está 90 atrasado em relação ao fasor V & (característica de um circuito indutivo). A soma dos fasores I& e I& resulta no fasor corrente da fonte I & (característica de uma R associação em paralelo). Note ainda que o fasor corrente da fonte continua atrasado em relação à tensão, porém de um ângulo inferior a 90. Daí, pode-se concluir que, em um circuito R paralelo, a corrente da fonte sempre estará atrasada da tensão de um ângulo maior que 0 e menor que 90. Recorde que, em valores de pico, tem-se as seguintes relações I = gv e I = b V (2.40) R Onde I R e I são os valores de pico das correntes no resistor e no indutor, respectivamente; g é a condutância do resistor; b é a susceptância indutiva do indutor e V é o valor de pico da tensão. Observando a Figura 2.15, nota-se que o diagrama fasorial das correntes resulta em um triângulo retângulo, onde o comprimento de cada um dos lados corresponde ao valor de pico da respectiva corrente. 40

42 Portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, tem-se que I = I + I R ( ) ( ) I = gv + bv I = g V + b V ( ) I = g + b V I = g + b V 2 2 (2.41) Note na equação (2.41) que o valor da corrente da fonte é obtido multiplicando-se uma constante pelo valor da tensão. Esta constante recebe o nome de admitância do circuito R paralelo e é representada por Y. Assim, definindo-se 2 2 Y = g + b (2.42) A equação (2.41) pode ser escrita de uma forma mais compacta como I = YV (2.43) No Sistema Internacional de Unidades, a admitância é medida em Siemens (S). embrando das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e analisando a Figura 2.15, pode-se escrever que. R fp = cosθ = I = gv I YV g fp = Y (2.44) 41

43 2.4.2 Circuito RC Paralelo Considere o circuito RC paralelo mostrado na Figura A rede é alimentada por uma tensão v(t ) cuja freqüência vale f. Figura Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada. Recordando as defasagens entre tensão e corrente que existem nos resistores e capacitores (Seção 2.2), representando as senóides através dos seus fasores correspondentes e tomando a tensão como referência (é a mesma para todos os componentes), pode-se obter o diagrama fasorial das correntes mostrado na Figura Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo. Observe na Figura 2.17 que os fasores I& e V& estão em fase (característica de um circuito R resistivo) e que o fasor I & C está 90 adiantado em relação ao fasor V & (característica de um circuito capacitivo). A soma dos fasores I& e I& resulta no fasor corrente da fonte I & (característica de um R C circuito paralelo). Note ainda que o fasor corrente da fonte continua atrasado em relação à tensão, porém de um ângulo inferior a 90. Daí, pode-se concluir que, em um circuito RC paralelo, a corrente da fonte sempre estará adiantada da tensão de um ângulo maior que 0 e menor que 90. Recorde que, em valores de pico, tem-se as seguintes relações I = gv e I = b V (2.45) R C C Onde I R e I C são os valores de pico das correntes no resistor e no capacitor, respectivamente; g é a condutância do resistor; b C é a susceptância capacitiva do capacitor e V é o valor de pico da tensão. 42

44 Da Figura 2.17, usando o Teorema de Pitágoras, tem-se que I = I + I R C ( ) ( ) I = gv + bcv I = g V + b V C ( C ) I = g + b V I = g + b V 2 2 C (2.46) Note na equação (2.46) que o valor da corrente da fonte é obtido multiplicando-se uma constante pelo valor da tensão. Esta constante recebe o nome de admitância do circuito RC paralelo e é representada por Y. Assim, definindo-se 2 2 Y = g + b C (2.47) A equação (2.47) pode ser escrita de uma forma mais compacta como I = YV (2.48) Observe que a diferença, em termos de cálculo matemático, entre o circuito R paralelo e o RC paralelo está na forma de calcular a admitância. Utiliza-se a susceptância indutiva no R e a susceptância capacitiva no RC. Para o fator de potência, tem-se fp = cosθ (2.49) embrando das relações trigonométricas em um triângulo retângulo e analisando a Figura 2.17, pode-se escrever que R fp = cosθ = I = gv I YV (2.50) g fp = Y Note que o fator de potência é calculado da mesma forma tanto no R paralelo como no RC paralelo. Portanto, também é necessário acrescentar-se mais uma informação ao fator de potência de modo que ele traduza corretamente o circuito ao qual está associado. Esta informação corresponde ao teor da rede elétrica. Isso é feito da mesma forma que no circuito RC série, isto é, acrescentandose a expressão ind ou cap após o valor do fator de potência. 43

45 2.4.3 Circuito RC Paralelo Considere o circuito RC paralelo mostrado na Figura O circuito está sendo alimentado por uma tensão senoidal cujo valor de pico é V e cuja freqüência é f. Figura Circuito RC paralelo submetido à corrente alternada. Recordando a Seção 2.2, tem-se que as relações entre a corrente em cada componente e a tensão no circuito paralelo, em termos de valor de pico, são dadas por IR = gv I = bv IC = bcv (2.51) Como a tensão é a mesma para todos os componentes, o valor da corrente no indutor poderá ser maior ou menor do que o valor da corrente no capacitor. Isso dependerá dos valores das susceptâncias indutiva e capacitiva. Assim, no circuito RC paralelo, é necessário fazer-se uma análise para cada caso Caso 1: b > b C Neste caso, tem-se que a magnitude da corrente no indutor I é maior do que a magnitude da corrente no capacitor I C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor, indutor e capacitor, o diagrama fasorial das correntes para este caso pode ser visto na Figura Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo com b > b C. 44

46 Observe na Figura 2.19 que os fasores corrente I& e I& estão ambos defasados de 90 em C relação à tensão. A diferença é que I& está atrasado (característica indutiva) e I& C está adiantado (característica capacitiva) em relação à tensão. Novamente, somando-se os fasores tensão I &, I & e I & C, obtém-se o fasor corrente da fonte. Note que no triângulo retângulo resultante, o comprimento do cateto vertical corresponde à diferença entre os valores de pico das correntes no indutor e no capacitor, isto é, I I C (I é maior que I C). Devido a isso, o teor do circuito se mantém indutivo, com a corrente da fonte atrasada em relação à tensão. escrever que Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.19, pode-se R 2 R ( C ) ( ) ( ) 2 2 I I I I = I = gv + bv bcv ( ) I = g V + b bc V ( ) = + C I g V b b V ( ) I g b b V = + C ( ) 2 2 I = g + b bc V 2 (2.52) Observe que novamente a corrente da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante pela tensão. Esta constante é a admitância do circuito RC paralelo. Assim, definindo ( ) 2 2 Y g b bc = + (2.53) A equação (2.52) pode ser escrita mais simplesmente como I = YV (2.54) Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a admitância. 45

47 Caso 2: b C > b Neste caso, tem-se que a magnitude da corrente no indutor I é menor do que a magnitude da corrente no capacitor I C. Recordando as relações de defasagem existentes nos componentes resistor, indutor e capacitor, o diagrama fasorial das correntes para este caso pode ser visto na Figura Figura Diagrama fasorial das correntes em um circuito RC paralelo com b C > b. Observe na Figura 2.20 que os fasores tensão I & e I & continuam ambos defasados de 90 C em relação à tensão. O fasor I& continua atrasado e I & C continua adiantado em relação à tensão. Novamente, somando-se os fasores tensão I&, I& e I&, obtém-se o fasor corrente da fonte. R C Note que no triângulo retângulo resultante, o comprimento do cateto vertical corresponde à diferença entre os valores de pico das correntes no capacitor e no indutor, isto é, I C I (I é menor que I C). Devido a isso, o teor do circuito torna-se capacitivo, com a tensão da fonte atrasada em relação à corrente. Com a aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da Figura 2.20, tem-se que 2 R ( C ) ( ) ( ) = I I I I I = gv + bcv bv ( ) I = g V + bc b V ( ) = + C I g V b b V ( ) I g b b V = + C ( ) 2 2 I = g + bc b V 2 (2.55) 46

48 Observe que novamente a corrente da fonte pode ser obtida pelo produto de uma constante pela tensão. Esta constante é novamente a admitância do circuito RC paralelo. Assim, definindo ( ) 2 2 Y g bc b = + (2.56) A equação (2.55) pode ser escrita mais simplesmente como I = YV (2.57) Como nos outros casos. A diferença está na forma de calcular a admitância Fator de Potência Analisando os diagramas fasoriais mostrados nas Figuras 2.19 e 2.20, pode-se em ambos concluir que o fator de potência do circuito RC paralelo pode ser obtido como R fp = cosθ = I = gv I YV g fp = Y (2.58) Observe que apesar do cálculo do valor numérico do fp ser idêntico independentemente de b ser maior ou menor que b C, o teor da rede é diferente. A colocação dos termos ind ou cap após o valor é fundamental para a caracterização do teor do circuito. Pode-se resumir o fp de um circuito RC paralelo da seguinte forma: b > b C: teor indutivo, fp ind b < b C: teor capacitivo, fp cap b = b C: teor puramente resistivo, fp unitário Note que, no caso em que b = b C, o ângulo do fator de potência vale zero e, portanto, cos 0 = 1, o que deixa os fasores tensão da fonte e corrente em fase. Neste caso, diz-se que o circuito está em ressonância ou que possui teor puramente resistivo. 47

49 Exemplo 2.2: Um resistor de 2 Ω, um indutor de 7 mh e um capacitor de 2,5 mf estão associados em paralelo. O conjunto está submetido a uma tensão senoidal com valor de pico igual a 155,6 V e freqüência de 60 Hz. Calcule: a) Os valores eficazes das correntes no resistor, no indutor e no capacitor; b) O valor eficaz da corrente da fonte; c) O fator de potência da associação; d) A defasagem entre a tensão e a corrente da fonte. Solução: Pode-se, inicialmente, determinar o valor eficaz da tensão da fonte, que é Vm 155,6 V ef = = 110 Vrms 2 2 A seguir, calculam-se os valores da condutância do resistor, da susceptância indutiva, da susceptância capacitiva e da admitância da rede. 1 1 g = 0,5 S R = 2 = b 1 1 = = = 0,379 S 3 2πf 2π bc = = = 3 2πfC 2π 60 2,5.10 0,943 S 2 Y g bc b ( ) ( ) ( ) = + = 0,5 + 0,943 0,379 = 0,753 S Com os valores das admitâncias, podem-se calcular as correntes no circuito, que são IR I I C = gv = 0,5 110 = 55 Arms = b V = 0, = 41,7 Arms = b V = 0, = 103,7 Arms C I = YV = 0, = 82,9 Arms Note que b C é maior que b, portanto o circuito possui teor capacitivo. Assim, o fator de potência da associação vale g 0,5 fp = = = 0,6637cap Y 0,753 48

50 Com o valor do fp da associação, pode-se determinar o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente da fonte. Tem-se, então, ( fp ) ( ) θ = acos = acos 0,6637 = 48,42. Como o teor da rede é capacitivo, pode-se dizer que a corrente da fonte está 48,42 adiantada em relação à tensão ou que a tensão da fonte está 48,42 atrasada em relação à corrente. 2.5 Síntese dos Circuitos RC Pelo estudo realizado, observa-se que, em se tratando do circuito série, é mais indicado trabalhar-se com as impedâncias dos componentes (resistência elétrica, reatância indutiva e reatância capacitiva). Dessa forma, como a corrente é a mesma em todos os componentes, as tensões no circuito podem ser obtidas pelo produto de uma constante pela corrente. Esta constante será R, X, X C ou Z dependendo de qual tensão se deseje calcular (V R, V, V C ou V, respectivamente). No caso da associação em paralelo, é aconselhável utilizar-se os valores das admitâncias dos componentes (condutância, susceptância indutiva e susceptância capacitiva). Assim, as correntes no circuito podem ser determinadas pelo produto de uma constante pela tensão. A constante utilizada (g, b, b C ou Y) depende de qual corrente se deseja determinar (I R, I, I C ou I, respectivamente). Por outro lado, fazendo-se uma comparação entre as equações (2.38) e (2.57), pode-se concluir que Z 1 = (2.59) Y Ou seja, a impedância de uma rede elétrica é o inverso de sua admitância, e vice-versa. Em relação ao fator de potência, observou-se que é importante colocar após o seu valor numérico uma informação que caracterize o teor do circuito (ind ou cap). No caso da associação série, esta informação é tomada com base na comparação dos valores das reatâncias indutiva e capacitiva (X e X C). Por outro lado, no circuito paralelo, a informação é baseada nos valores das susceptâncias indutiva e capacitiva (b e b C). 49

51 2.6 Simulações Digitais Valores de Tensões e Corrente em um Circuito RC Série 1. No circuito mostrado na Figura 2.21, calcule os valores da corrente e das quedas de tensão no resistor, no indutor e no capacitor. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz. Figura Circuito elétrico para a simulação No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente à Figura 2.21 e introduza corretamente o amperímetro para a leitura da corrente e os voltímetros para a leitura das tensões indicadas no item 1. A tela do programa está apresentada na Figura Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados dos cálculo e da simulação. 50

52 2.6.2 Valores de correntes em um circuito RC paralelo 1. No circuito mostrado na Figura 2.23, calcule os valores das corrente no resistor, no indutor, no capacitor e na fonte. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz. Figura Circuito elétrico para a simulação No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente à Figura 2.23 e introduza corretamente os amperímetros para a leitura das correntes indicadas no item 1. A tela do programa está apresentada na Figura Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados dos cálculo e da simulação. 51

53 III - POTÊNCIAS EM CORRENTE ATERNADA 3.1 Introdução Em corrente contínua, tem-se que a potência elétrica em um circuito é obtida pelo produto da tensão pela corrente. embre que os valores tanto da tensão como da corrente são independentes do tempo, isto é, são constantes. Assim, existe somente um valor para a potência. Por outro lado, quando se trabalha em corrente alternada, tem-se que as ondas de tensão e corrente variam o seu valor em função do tempo e ainda podem estar defasadas entre si, dependendo do teor da rede elétrica. Dessa forma, o produto da tensão pela corrente, neste caso, irá resultar em uma onda de potência que também será variável no tempo. Sabe-se também que as ondas de tensão e corrente alternadas podem ser especificadas através de seus valores eficazes. Assim, considerando valores eficazes para a tensão e a corrente e a defasagem entre elas, pode-se determinar três tipos de potência em circuitos de corrente alternada: Potência ativa ou potência média; Potência reativa; Potência aparente. tipos de potência. Neste capítulo, será estudada a forma matemática de como determinar cada um desses três 3.2 Potência Instantânea Sabe-se que tanto a tensão quanto à corrente em um circuito de corrente alternada estão continuamente variando os seus valores. Como a potência é obtida pelo produto entre tensão e corrente, este valor também estará continuamente variando. Esse valor de potência obtido pelo produto entre a tensão instantânea e a corrente instantânea é chamado potência instantânea. Assim, matematicamente, tem-se que p( t ) = v( t ) i( t ) (3.1) 52

54 No Sistema Internacional de Unidades, a potência instantânea é medida em Watts (W). Por outro lado, sabe-se também que a tensão e a corrente podem possuir defasagem em circuitos de corrente alternada. Dessa forma, torna-se interessante a análise da potência instantânea nos circuitos puros Circuito Resistivo Puro No circuito resistivo puro, tensão e corrente sempre estão em fase. Na Figura 3.1 estão mostradas as ondas de tensão, corrente e potência em um resistor típico. Figura 3.1. Tensão, corrente e potência em um resistor. Observando a Figura 3.1, duas características importantes da potência instantânea em um resistor podem ser salientadas: A onda de potência apresenta o dobro da freqüência das ondas de tensão e corrente. Note que, enquanto a tensão e a corrente completam um ciclo, a onda de potência realiza dois ciclos. Para qualquer instante de tempo, a onda de potência sempre apresenta valores positivos. Isto significa que, em um resistor, a potência sempre está sendo consumida pelo elemento. Esta potência absorvida é dissipada na forma de calor (efeito Joule). 53

55 A segunda característica discutida acima, também pode ser verificada pelas equações matemáticas que descrevem a potência em um resistor, isto é, 2 2 v( t ) p( t ) = R i( t ) = (3.2) R Da equação (3.2), nota-se que, independentemente dos valores de tensão e corrente no resistor, o valor da potência sempre será positivo, pois a resistência elétrica sempre é positiva e o quadrado de qualquer valor numérico também o será Circuitos Indutivo e Capacitivo Puros Em um indutor ou em um capacitor, tensão e corrente sempre estão defasadas entre si de 90. No circuito indutivo puro, a tensão se adianta da corrente, e no circuito capacitivo, a tensão se atrasa da corrente. Nas Figuras 3.2 e 3.3 estão mostradas as formas de onda de tensão, corrente e potência em um indutor e em um capacitor, respectivamente. Figura 3.2. Tensão, corrente e potência em um indutor. 54

56 Figura 3.3. Tensão, corrente e potência em um capacitor. Das Figuras 3.2 e 3.3, observa-se que, nestes casos, também a potência instantânea possui o dobro da freqüência das ondas de tensão e corrente. Entretanto, note que a potência, em ambos os casos, apresenta tanto valores positivos quanto negativos. Isto quer dizer que, em determinados intervalos de tempo, os indutores ou os capacitores estão consumindo potência (instantes em que a potência é positiva) e em outros intervalos, estão fornecendo ou devolvendo potência para a rede elétrica (instantes em que a potência é negativa). Esta característica reforça o que já se sabe sobre indutores e capacitores. Estes são componentes elétricos que possuem a propriedade de armazenar energia elétrica e, posteriormente, devolver esta energia armazenada para o circuito elétrico. Da análise das Figuras 3.2 e 3.3, pode-se observar que toda a energia armazenada é posteriormente devolvida para a rede elétrica. Isto significa que indutores e capacitores não consomem potência elétrica. Entretanto, observa-se um fluxo de energia entre eles e a rede. Sabe-se que se há um fluxo de energia circulando no circuito, certamente há um fluxo de potência associado. Nas próximas seções será estudado este tipo de potência que está associada aos indutores e capacitores. 55

57 3.3 Potência Média ou Potência Ativa A potência instantânea embora forneça importantes subsídios para o estudo do comportamento elétrico de circuitos, não oferece informações relevantes do ponto de vista numérico, pois o seu valor está continuamente variando. Para tal, define-se uma outra potência chamada potência média ou potência ativa e simbolizada por P. A potência ativa é a responsável pela produção de trabalho no circuito elétrico. Esta é definida com base em um período da onda de potência e o seu valor numérico corresponde ao valor médio da potência durante este período. Da Matemática, sabe-se que o valor médio de uma grandeza periódica é a área encerrada pela onda dividida pelo valor do período. No caso de grandezas alternadas senoidais, a potência ativa pode ser calculada por 1 P = V I cosθ (3.3) 2 m m Onde V m e I m são os valores de pico da tensão e da corrente, respectivamente, e o ângulo θ é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente. No Sistema Internacional de Unidades, a potência ativa é medida em Watts (W). A equação (3.3) também pode ser expressa em termos de valores eficazes. Neste caso, temse que P = VmIm cosθ = 2Vef 2Ief cosθ = 2V efief cosθ P = V I ef ef cosθ (3.4) No caso de um resistor puro, recordando que o ângulo de defasagem entre tensão e corrente é zero, tem-se que P = V I cos0 = V I 1= V I (3.5) R ef ef ef ef ef ef Ou ainda usando a relação matemática entre tensão e corrente em um resistor, pode-se escrever a equação (3.5) como 2 2 Vef PR = RIef = (3.6) R 56

58 Por outro lado, em indutores e capacitores, o ângulo de defasagem entre tensão e corrente é 90. Portanto, para elementos com reatância, a potência ativa vale P P X X = V I cos90 = 0 ef ef (3.7) A equação (3.7) reforça o que já se tinha concluído pela análise das Figuras 3.2 e 3.3. A potência consumida por um indutor ou por capacitor é zero, visto que estes componentes armazenam energia durante um intervalo de tempo e a devolvem para o circuito no intervalo seguinte. Dessa forma, o valor médio de potência consumida é zero. 3.4 Potência Reativa A potência reativa é a potência associada aos elementos com reatância, isto é, indutores e capacitores. Ela quantifica o fluxo de energia elétrica que é trocada entre estes elementos e o circuito elétrico. Utiliza-se o símbolo Q para a potência reativa e esta pode ser calculada como 1 Q = V I senθ (3.8) 2 m m Embora dimensionalmente as unidades de potência ativa e reativa sejam as mesmas, no Sistema Internacional de Unidades é utilizado o Volt Ampère reativo (Var) para se medir potências reativas. A equação (3.8) também pode ser expressa em termos de valores eficazes das grandezas tensão e corrente, resultando em Q = V I senθ (3.9) ef ef Observe que um resistor não consome potência reativa, visto que o seno de zero é zero. Por outro lado, nos elementos reativos tem-se que o seno de 90 vale 1, e, portanto a potência reativa pode ser expressa como Q X = V I (3.10) ef ef 57

59 Recordando as relações matemáticas entre a tensão e a corrente em indutores e capacitores, pode-se escrever a equação (3.10) especificamente para indutores e capacitores como Q Q C 2 V = X Ief = X 2 ef 2 V = XCIef = X 2 ef C (3.11) Devido à existência de dois tipos de potências reativas: indutivas e capacitivas, é comum após a unidade de Q colocar-se, semelhantemente ao fator de potência, as expressões ind ou cap de modo a caracterizar o tipo de potência reativa envolvida. 3.5 Potência Aparente Em circuitos onde exista a presença tanto de resistores como de indutores e capacitores, há o consumo dos dois tipos de potências (ativa e reativa). Observe que o ângulo de defasagem entre tensão e corrente, neste tipo de circuito, é maior que zero e menor que 90. Nestes casos, tem-se, então, um terceiro tipo de potência associada à rede elétrica. Esta relaciona os consumos de potências ativa e reativa no circuito. Ela é chamada potência aparente e é simbolizada por N. A potência aparente em circuitos de grandezas alternadas senoidais pode ser calculada por N = V I (3.12) ef ef Dimensionalmente, todas as três potências possuem a mesma unidade. Porém, para evitar confusões, no Sistema Internacional de Unidades usa-se o Volt Ampère (VA) para se medir a potência aparente. A partir das equações (3.12), (3.4) e (3.9), pode-se escrever que P = N cosθ = P fp Q = N senθ (3.13) 58

60 3.6 Triângulo de Potências O triângulo de potências é uma forma gráfica de se interpretar as potências presentes em um circuito elétrico de corrente alternada. Observando a equação (3.13), pode-se compreender que as potências ativa, reativa e aparente compõem um triângulo retângulo no qual as potências ativa e reativa são os catetos e a potência aparente é a hipotenusa. Por convenção, desenha-se as potências reativas indutivas para cima e as potências reativas capacitivas para baixo. Na Figura 3.4 está mostrado um triângulo de potências para uma carga com teor indutivo e na Figura 3.5, para uma carga com teor capacitivo. Q P N N Figura 3.4. Triângulo de potências para uma carga com teor indutivo P Figura 3.5. Triângulo de potências para uma carga com teor capacitivo Q Utilizando o teorema de Pitágoras nas Figuras 3.4 e 3.5, tem-se que N = P + Q (3.14) Outra relação matemática que será importante mais tarde é Q tan θ = Q = P tanθ (3.15) P que Do ponto de vista do fator de potência, analisando as Figuras 3.4 e 3.5, pode-se escrever P fp = cosθ = (3.16) N 59

61 Exemplo 3.1: As cargas de uma determinada indústria podem ser agrupadas em quatro grupos, assim especificadas: Carga A: 18,2 kw, fp = 0,92 ind Carga B: 37 kva, 18 kvar ind Carga C: 26 kva, fp = 0,77 ind Carga D: 3 kvar cap, fp = 0,98 cap Sabendo que a indústria é abastecida com uma tensão de 220 Vrms / 60 Hz e que todas as cargas estão funcionando simultaneamente, calcule para a indústria: a) O triângulo de potências; b) A corrente consumida; c) O fator de potência. Solução: Os cálculos são iniciados pela determinação das potências ativa e reativa individuais para cada grupo de cargas. Assim, tem-se que Carga A: P A = 18,2 kw ( fp ) ( ) θ = acos = acos 0,92 = 23,07 A A ( ) Q = P tanθ = 18,2 tan 23,07 = 18,2 0,426 = 7,8 kvar ind A A A Carga B: P = N Q = = 32,3 kw B B B Q B = 18 kvar ind Carga C: P = N fp = 26 0,77 = 20,0 kw C c C Q = N P = = 16,6 kvar ind C C C Carga D: D ( fp ) ( ) θ = acos = acos 0,98 = 11,48 D P D QD 3 = = = 14,8 kw tanθ tan 11,48 D ( ) Q = 3 kvar cap d 60

62 Com as potências ativas e reativas individuais de cada carga, pode-se determinar as potências totais consumidas pela indústria, ou seja, P = P + P + P + P = 18,2 + 32,3 + 20,0 + 14,8 = 85,3 kw t A B C D Q = Q + Q + Q Q = 7, ,6 3 = 39,3 kvar ind t A B C D Observe no cálculo da potência reativa total que o teor da potência reativa deve ser considerado no cálculo. Note que a carga D é a única que possui teor capacitivo. Assim, o valor de sua potência reativa foi subtraído da soma das demais que possuem teor indutivo. Com os valores totais de potências ativa e reativa, determina-se a potência aparente consumida pela indústria. 2 2 t t t ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 85,3 + 39,3 = 94,0 kva Conhecendo-se os valores da potência aparente total e da tensão eficaz da rede, o valor da corrente consumida pela indústria é 3 Nt 94,0.10 I = = = 427,1 Arms V 220 ef E, finalmente, sabendo que o teor da potência reativa total é indutivo, o fator de potência das cargas combinadas é Pt 85,3 fpt = = = 0,9081 ind N 94,0 t 61

63 3.7 Fator de Potência Nesta seção será estudada a influência do fator de potência em um circuito elétrico de corrente alternada. A sua influência no valor da corrente e no valor da potência aparente serão analisados. Considere que se necessite de um determinado equipamento elétrico que deva ter uma potência ativa de W e que, por simplicidade de raciocínio, irá ser ligado em uma rede elétrica de 200 Vrms. Considere também que, no mercado, existam dois equipamentos disponíveis. A diferença entre eles está no fator de potência: o equipamento A possui fator de potência unitário e o B, fator de potência 0,5 ind Análise das Correntes A corrente consumida pelo equipamento A será de I A PA 1000 = = = 5 Arms V fp 200 1,0 ef A E para o equipamento B de I B PB 1000 = = = 10 Arms V fp 200 0,5 ef B Com os valores de corrente consumidas pelos dois equipamentos, pode-se observar que o equipamento B, devido ao seu baixo fator de potência, consome o dobro da corrente que o equipamento A. Assim, terá que ser construída uma rede elétrica com fios mais grossos para o equipamento B. Isto implicará necessariamente em uma rede elétrica mais cara do ponto de vista financeiro, pois fios mais grossos custam mais caro. Dessa forma, pode-se concluir que, quanto maior o fator de potência do equipamento (lembre que o maior fp possível é 1,0, pois é o maior valor da função co-seno), menor será a corrente consumida, menores custos de construção da rede elétrica de alimentação e, portanto, do ponto de vista do proprietário da empresa, se torna a melhor opção em termos de investimento. 62

64 3.7.2 Análise da Potência Aparente A potência aparente consumida pelo equipamento A é N A PA 1000 = = = VA fp 1,0 A E a do equipamento B é N B PB 1000 = = = VA fp 0,5 B Observe que o equipamento B, para funcionar adeqüadamente, necessita ser alimentado com uma potência de VA, ou seja, o dobro da potência do equipamento A. Como há um contrato de compra e venda de energia elétrica entre a empresa e a concessionária de energia elétrica da região, cabe à concessionária se responsabilizar pela geração da potência aparente necessária para o correto funcionamento dos equipamentos da empresa. Dessa forma, a concessionária terá que gerar o dobro de potência se a empresa optar pela aquisição do equipamento B. Isto também significa que a concessionária terá que gastar o dobro de energia primária na geração desta energia elétrica, diminuindo consideravelmente os seus ganhos. Assim, as concessionárias de energia não podem ficar a mercê das indústrias em termos da carga instalada, ou seja, em termos do fator de potência. No caso brasileiro, as concessionárias locais de energia elétrica, quando celebram contratos de compra e venda de energia, incluem uma cláusula na qual fica estipulado o menor fator de potência que as empresas podem apresentar sem serem multadas. Atualmente, o mínimo fator de potência admissível pelas concessionárias é de 0,92. Fatores de potência abaixo deste valor acarretam multa para a empresa. Assim, pode-se concluir que, do ponto de vista da potência aparente consumida, se uma empresa optar por adquirir equipamentos com fatores de potência mais altos, isto é benéfico tanto para a concessionária de energia quanto para a própria empresa. Para a concessionária, pois ela pode produzir menores quantidades de potência para atender adeqüadamente às cargas instaladas e, para a empresa, pois esta não precisa pagar multa por baixo fator de potência. 63

65 3.7.2 Resumo sobre Fator de Potência Das observações anteriormente realizadas, pode-se concluir que, tanto do ponto de vista da empresa como da concessionária de energia elétrica local, é importante que as indústrias apresentem um fator de potência o mais próximo possível da unidade. Fatores de potência elevados fazem com que: Se tenha menores valores de corrente circulando pelos circuitos elétricos; Haja menor consumo de potência aparente. Finalmente, considera-se importante salientar que as duas características acima citadas não são independentes uma da outra. Um fator de potência alto faz com que o valor da corrente diminua, o que implica em que a potência aparente também diminua. 3.8 Correção do Fator de Potência Como praticamente 100% das indústrias se caracterizam por possui fator de potência indutivo, pois utilizam um grande número de motores elétricos e reatores para lâmpadas gasosos, em alguns casos não é possível que as mesmas apresentem fator de potência igual ou superior a 0,92. Nestes casos, é necessário que a empresa se responsabilize pela correção do seu fator de potência de modo a evitar o pagamento de multas. Corrigir o fator de potência significa aumentar o seu valor. Recordando que as empresas apresentam fator de potência com teor indutivo, na prática, para que se possa aumentar o valor do fp é necessário a colocação de bancos capacitivos em paralelo com a instalação elétrica. Dessa forma, uma parcela da potência reativa indutiva necessária para o funcionamento adequado da empresa passa a ser de responsabilidade da própria empresa (através do banco de capacitores) ao invés de ser da concessionária. Assim, evita-se o processo de multa. 64

66 Para se compreender melhor o esquema de correção do fator de potência, nas Figura 3.6 e 3.7 são apresentados, respectivamente, um triângulo de potências hipotético para uma empresa e o triângulo de potências resultante com a instalação de um banco de capacitores em paralelo com a instalação elétrica. Figura 3.6. Triângulo de potências inicial da empresa. Figura 3.7. Triângulo de potências resultante com a instalação de um capacitor. Da Figura 3.6, observa-se que a instalação elétrica inicialmente apresenta teor indutivo. O seu triângulo de potências é formado pelas potências P i, Q i e N i. O seu fator de potência corresponde ao cos θ i. Por outro lado, na Figura 3.7, nota-se que, com a inclusão do capacitor em paralelo, o cateto vertical do triângulo retângulo resultante diminui para Q f. O capacitor passa a fornecer uma parcela da potência reativa consumida, que neste caso é Q C. Observe que o teor final da rede elétrica continua sendo indutivo, porém o ângulo do fator de potência diminui para θ f. Com a diminuição do ângulo do fator de potência, o seu co-seno aumenta e, portanto, o fator de potência também aumenta (lembre que o fator de potência é o co-seno do ângulo do fator de potência). Para se realizar os cálculos matemáticos a fim de especificar o valor do capacitor a ser colocado para corrigir o fator de potência, deve-se inicialmente conhecer o triângulo de potências inicial da empresa (P i, Q i e N i), a tensão de alimentação e a freqüência da rede elétrica e o valor para o qual se deseja corrigir o fator de potência (fp f). Um capacitor não consome potência ativa (Seção 3.3), portanto, ao colocá-lo na rede elétrica, não haverá modificação no consumo de potência ativa, ou seja, P f = P i. Conhecendo-se o valor do fator de potência final fp f, é possível determinar a potência reativa final da rede da seguinte forma θ = acos( fp ) f Q = P tanθ f f f f (3.17) 65

67 Com as potências reativas inicial e final, pode-se determinar o valor da potência reativa a ser fornecida pelo capacitor de modo a corrigir o fp para o valor desejado. Portanto, tem-se QC = Qi Qf (3.18) embrando que um capacitor não consome potência ativa, a reatância capacitiva do capacitor pode ser determinada como X C 2 Vef = (3.19) Q C E, recordando do cálculo da reatância capacitiva em função da freqüência e da capacitância, pode-se escrever que 1 C = (3.20) πfx 2 C A equação (3.20) fornece o valor da capacitância do capacitor em Farad (F). Substituindo as equações (3.19) e (3.18) na equação (3.20), pode-se obter uma expressão mais compacta para o cálculo da capacitância do capacitor necessária para realizar a correção do fator de potência. Dessa forma, tem-se que C Q Q πfV i f 6 = (3.21) ef A equação (3.21) fornece o valor da capacitância em µf. Exemplo 3.2: Deseja-se corrigir o fator de potência da indústria do Exemplo 3.1 para 0,93 ind quando todas as cargas estão funcionando simultaneamente. A correção será realizada através da colocação de um capacitor em paralelo com as cargas. Pede-se para determinar o valor da capacitância necessária para se obter o fator de potência desejado. Solução: Inicialmente, do Exemplo 3.1, tem-se o triângulo de potências original, que é P = 85,3 kw Q = 39,3 kvar ind N = 94,0 kva i i i Sabe-se também, do Exemplo 3.1, que a tensão de alimentação da indústria é 220 Vrms numa freqüência de 60 Hz. 66

68 O problema propõe corrigir o fator de potência de 0,9081 ind para 0,93 ind. Assim, tem-se que fp f = 0,93 ind. Então, pode-se calcular o valor da potência reativa final da instalação após a colocação do capacitor, que é ( ( )) ( ( )) Q = P tanθ = P tan acos fp = 85,3 tan acos 0,93 = 33,7 kvar ind f f f f f De posse deste valor, pode-se, então, determinar o valor da capacitância usando a equação (3.21). Isto fornece 3 ( ) 39,3 33, ,1 F 2 C = = µ 2π Exemplo 3.3: Com a instalação do capacitor especificado no Exemplo 3.2, calcule: a) O novo valor da corrente consumida pela indústria; b) O novo valor da potência aparente da indústria. Solução: Note que a colocação do capacitor não altera a potência ativa. Portanto, dos Exemplos 3.1 e 3.2, tem-se os seguintes valores P = 85,3 kw Q = 33,7 kvar ind f f Assim, o novo valor de potência aparente é 2 2 f f f ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 85,3 + 33,7 = 91,7 kva E o novo valor de corrente consumida pela indústria é 3 Nf 91,7.10 I = = = 417,0 Arms V 220 ef 67

69 3.9 Simulações Digitais Uso do Wattímetro para Medição de Potência Ativa 1. No circuito mostrado na Figura 3.8, calcule os valores das corrente, da tensão e da potência dissipada no resistor. A tensão da fonte é v(t) = 155,56 sen(2πft) V, com f = 60 Hz. Figura 3.8. Circuito elétrico para a simulação No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente ao circuito da Figura 3.8 e introduza corretamente o wattímetro para a leitura da potência dissipada no resistor, o voltímetro para a leitura da tensão e o amperímetro para a leitura da corrente. A tela do programa está mostrada na Figura 3.9. Figura 3.9. Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados dos cálculos com os da simulação. 68

70 IV - CIRCUITOS TRIFÁSICOS 4.1 Introdução O sistema trifásico é a forma mais comum de geração, transmissão e distribuição de energia elétrica em corrente alternada. Este sistema incorpora o uso de três ondas senoidais equilibradas, defasadas de 120 entre si, de modo a balancear o sistema, tornando-o muito mais eficiente ao se comparar com sistemas monofásicos isolados. As máquinas elétricas trifásicas tendem a ser mais eficientes pela utilização plena dos circuitos magnéticos. As linhas de transmissão permitem a ausência do fio neutro e o acoplamento entre as fases reduz significativamente os campos eletromagnéticos. Os sistemas trifásicos ainda permitem a flexibilidade entre dois níveis de tensão. Este capítulo apresenta a forma básica de geração de tensões trifásicas equilibradas bem como as formas de ligação dos circuitos trifásicos. É realizado também um estudo sobre as potências em circuitos trifásicos. 4.2 Geração Trifásica Simétrica O estudo da geração trifásica faz parte do estudo de Máquinas Elétricas, porém, é importante analisar-se como as tensões trifásicas são geradas em um gerador síncrono. O esquema básico de um gerador síncrono trifásico está mostrado na Figura 4.1. Neste, dispõe-se de três bobinas idênticas (bobina a x, bobina b y e bobina c z) que estão colocadas no estator da máquina, dispostas simetricamente 120 mecânicos uma das outras. Não há conexão elétrica entre as bobinas. O campo magnético é provido por um eletroímã colocado no rotor do gerador. a x N S b y z c Figura 4.1. Esquema básico de um gerador trifásico. 69

71 Observe, na Figura 4.1, que o rotor do gerador síncrono é colocado a girar com uma velocidade constante igual a ω, o que produz um campo magnético variável em cada bobina. De acordo com a ei de Faraday, havendo a existência de um campo magnético variável sobre uma bobina, haverá a indução de uma força eletromotriz (tensão) nos terminais da mesma. Assim, de acordo com o esquema apresentado na Figura 4.1, induzir-se-á uma tensão entre os terminais de cada bobina, de modo que estas tensões possuirão o mesmo valor de pico, mesma freqüência e estarão defasadas entre si de 120. Portanto, é possível expressar matematicamente as três tensões na forma ( ω α ) v ( t ) = V sen t + ax m ( ω α ) v ( t ) = V sen t by m ( ω α ) v ( t ) = V sen t cz m (4.1) Onde V m corresponde ao valor de pico da tensão gerada e α é o ângulo de fase da tensão v ax, que está sendo tomada como referência angular. Ao conjunto de tensões mostradas na equação (4.1) dá-se o nome de geração trifásica simétrica. As tensões trifásicas simétricas se caracterizam por apresentar: Mesmos valores de pico; Mesmas freqüências angulares; Defasagem de 120 entre si. Estas tensões são o ponto de partida para o estudo dos sistemas trifásicos. Do ponto de vista das ligações trifásicas, existem basicamente dois tipos: a ligação trifásica em Y ou estrela e a ligação trifásica em ou triângulo. Nas próximas seções, as características de cada uma dessas ligações será estudada. Por outro lado, quando se trabalha com sistemas trifásicos, é comum se referir a dados de fase e a dados de linha, tanto para as tensões quanto para as correntes. Assim, nos circuitos trifásicos, se dispõe de tensões de linha e de fase e de correntes de linha e de fase. A relação entre os dados de linha e de fase depende do tipo de conexão trifásica realizada. Estas relações também serão abordadas nas próximas seções. 70

72 4.3 Carga Trifásica Equilibrada No estudo de circuitos trifásicos, considera-se uma carga trifásica equilibrada como sendo aquela que possui três impedâncias idênticas constituindo cada uma das fases do sistema. Um exemplo típico de uma carga trifásica equilibrada são os motores elétricos trifásicos. Estes possuem por fase, basicamente, um circuito R série. Todas as três fases do motor são constituídas por circuitos R série iguais. 4.4 igações Trifásicas igação Trifásica em Y Para se compreender as características de uma ligação trifásica em Y, cada uma das tensões induzidas nas bobinas da Figura 4.1 pode ser interpretada como uma fonte de tensão alternada. Assim, a ligação trifásica em Y pode ser visualizada na Figura 4.2. Observe que uma das principais características da conexão em Y é a existência de um ponto chamado neutro. Este ponto é comum a todas as fases, tanto no gerador quanto em uma carga. Nos geradores trifásicos, este ponto neutro normalmente está aterrado. a i a v ax i na i n n x y z n v cz v by i nc i nb b i b i c c Figura 4.2. igação trifásica em Y para um gerador. 71

73 Inicialmente, se pode analisar as características das tensões em uma ligação em Y. As tensões de fase são aquelas medidas entre um dos terminais de saída do gerador e o ponto neutro. Considerando a Figura 4.2, tem-se que os pontos x, y, z e n se tornam eletricamente o mesmo ponto, portanto, as tensões de fase são v an(t ), v cn(t ), e v bn(t ). As tensões de linha são aquelas medidas entre dois terminais de saída do gerador. Considerando a seqüência direta de fases, as tensões de linha em um sistema trifásico são v ab(t ), v bc(t ), e v ca(t ). Existe uma relação matemática bem definida entre as magnitudes das tensões de fase e de linha em uma ligação trifásica em Y. Chamando as magnitudes das tensões de fase por V f e as de linha por V, a relação entre elas é V = 3V (4.2) f Por outro lado, a diferenciação entre as correntes de linha e de fase se faz observando o trecho do circuito onde elas circulam. As correntes de fase são aquelas que circulam diretamente nas bobinas, no caso do gerador, ou diretamente através das impedâncias, no caso de cargas trifásicas. Na Figura 4.1, estas correspondem a i na(t ), i nb(t ) e i nb(t ). As correntes de linha são aquelas que circulam através das linhas do sistema trifásico. Na Figura 4.1, correspondem a i a(t ), i b(t ) e i c(t ). Pode ser observado na Figura 4.1 que, no caso da ligação em Y, as correntes de fase e de linha são as mesmas. Assim, chamando as magnitudes das correntes de linha por I e as de fase por I f, na conexão em Y a relação entre elas é I = I (4.3) f Outra característica importante da ligação trifásica em Y é a corrente no fio neutro i n. Aplicando a ei das correntes de Kirchhoff no neutro da ligação em Y, pode-se escrever que i ( t ) = i ( t ) + i ( t ) + i ( t ) (4.4) n a b c Se o gerador estiver alimentando uma carga trifásica equilibrada, como as tensões trifásicas são simétricas e as impedâncias da carga por fase são idênticas, as correntes de linha também serão simétricas. Assim, as correntes de linha possuirão o mesmo valor de pico e estarão defasadas de 120 entre si. Isto resulta em que a soma mostrada na equação (4.3) será nula. É importante salientar que, embora todas as correntes de linha possuam a mesma magnitude, a sua soma é nula. embre que a equação (4.4) corresponde a uma soma de fasores e não apenas os valores de pico das grandezas. 72

74 Para melhor compreender esta soma fasorial, na Figura 4.3 estão mostrados os fasores corrente de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y. Na Figura 4.4 está representada graficamente a soma desses fasores.. I c. I a ref. I c. I a ref. I b. I b Figura 4.3. Correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y. Figura 4.4. Soma fasorial das correntes de linha em um sistema trifásico equilibrado ligado em Y. Assim, pode-se concluir que a importância da utilização do fio neutro se aplica a casos em que haja um desbalanço de carga no sistema trifásico. Isto conduz a correntes de linha desequilibradas e este desbalanço entre as correntes (a corrente i n), então, possui um caminho de retorno ao gerador (o fio neutro), não sobrecarregando nenhuma das linhas do sistema e nem tão pouco criando um desequilíbrio entre as tensões de fase. Na Figura 4.5 está mostrado um caso onde as correntes de linha são desequilibradas e, conseqüentemente, a sua soma (a corrente de neutro) não é nula. A soma está apresentada na Figura I a. I b ref. I n. I c Figura 4.5. Correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y. Figura 4.6. Soma fasorial de correntes de linha desequilibradas em uma ligação em Y. 73

75 Exemplo 4.1: Três impedâncias iguais, cada uma constituída de um circuito RC série composto por um resistor de 30 Ω, um indutor de 100 mh e um capacitor de 200 µf, estão ligadas em Y formando uma carga trifásica equilibrada. A tensão de linha do sistema trifásico de alimentação é de 220 Vrms / 60 Hz. Calcule a magnitude das correntes de linha no sistema. Solução: Conhecendo a magnitude da tensão de linha do sistema trifásico, pode-se calcular a magnitude das tensões de fase, que é V 220 V f = = = 127,0 Vrms 3 3 Os valores das reatâncias indutiva e capacitiva são, respectivamente, X X 3 = 2πf = 2π = 37,7 Ω C 1 1 = = = 13,3 Ω 6 2πfC 2π Assim, o valor da impedância por fase é ( ) ( ) f C Z = R + X X = ,7 13,3 = 38,7 Ω Com os valores da magnitude da tensão de fase e da impedância por fase, pode-se determinar o valor das correntes de linha (lembre que as correntes de linha são as mesmas de fase e, como a carga é equilibrada, as correntes de linha possuem a mesma magnitude), isto é, I Vf 127,0 = = = 3,3 Arms Z 38,7 f Exemplo 4.2: Três cargas monofásicas estão ligadas em Y formando uma carga trifásica. A impedância por fase da carga é: Fase a : R = 20 Ω e X = 10 Ω Fase b : R = 15 Ω e X = 11 Ω Fase c : R = 12 Ω e X = 5 Ω A tensão de linha do sistema trifásico é de 380 Vrms. Devido à carga ser desequilibrada utiliza-se um fio neutro na ligação. Calcule as magnitudes das correntes de linha solicitadas pela carga trifásica. 74

76 Solução: Devido à existência do fio neutro, a relação matemática entre as magnitudes das tensões de linha e de fase mantém-se. Então, a magnitude das tensões de fase vale V 380 V f = = = 219,4 Vrms 3 3 As impedâncias por fase são Z = R + X = = 22,4 Ω a a a Z = R + X = = 18,6 Ω b b b Z = R + X = = 13,0 Ω c c c Assim, as magnitudes das correntes de linha são I I a b Vf 219,4 = = = 9,8 Arms Z 22,4 a Vf 219,4 = = = 11,8 Arms Z 18,6 b I c Vf 219,4 = = = 16,9 Arms Z 13,0 c Na Figura 4.7 estão mostrados os fasores correspondentes às correntes de linha i a, i b e i c e na Figura 4.8 está mostrada a soma desses fasores, que resulta na corrente de neutro i n. Utilizou-se uma escala de 1 cm para cada 2 A.. Ic. Ib ref. Ia Figura 4.7. Fasores correntes de linha do Exemplo 4.2. Figura 4.8. Determinação gráfica da corrente no neutro do Exemplo 4.2. Utilizando a escala adotada, a magnitude da corrente no fio neutro vale 8,7 Arms. 75

77 4.4.2 igação Trifásica em A ligação das impedâncias de uma carga trifásica conectada em é realizada pela conexão de um terminal da impedância de fase ao terminal da próxima impedância. Isto resulta em um circuito fechado na ligação em. Na Figura 4.9 está mostrada a ligação trifásica em para uma carga equilibrada. a i a Z i ab i ca Z b c i b i c i bc Z Figura 4.9. igação trifásica em de uma carga equilibrada. A primeira observação a ser feita é a da inexistência de um ponto comum a todas as fases, ou seja, na ligação em não existe o neutro. Observa-se, da Figura 4.9, que as tensões de linha e de fase são as mesmas. Portanto, na ligação trifásica em, tem-se que V = V (4.5) f Onde V e V f correspondem às magnitudes das tensões de linha e de fase, respectivamente. Por outro lado, observa-se que há diferença entre as correntes de linha e de fase nesta ligação. As correntes de linha na Figura 4.9 são i a(t ), i b(t ) e i c(t ) e as correntes de fase são i ab(t ), i bc(t ) e i ca(t ). A relação entre as magnitudes das tensões de linha e de fase na ligação em são I = 3I (4.6) f Onde I e I f correspondem, respectivamente, as magnitudes das tensões de linha e de fase. Observe na Figura 4.9 que as correntes de fase podem ser determinadas diretamente com os valores das tensões de linha (iguais às tensões de fase). 76

78 Exemplo 4.3: Um motor trifásico pode ser representado por uma resistência de 120 Ω em série com uma reatância indutiva de 58 Ω por fase. O motor está ligado em e a tensão de linha da rede trifásica é de 220 Vrms. Calcule a magnitude das correntes de linha consumidas pelo motor. Solução: A impedância por fase do motor trifásico é Z R X f = f + f = = 133,3 Ω Na ligação em, as tensões de fase são as mesmas tensões de linha e, como a carga é equilibrada, as correntes de fase possuirão a mesma magnitude, que é I f V 220 = = = 1,7 Arms Z 133,3 f Assim, a magnitude das correntes de linha é I = 3I = 3 1,7 = 2,9 Arms f Exemplo 4.4: Três cargas com impedâncias diferentes são conectadas em formando uma carga trifásica desequilibrada. Estas são assim especificadas: Fase ab : R = 150 Ω e X = 70 Ω Fase bc : R = 200 Ω e X C = 100 Ω Fase ca : R = 180 Ω e X = 60 Ω A rede trifásica possui uma tensão de linha de 220 Vrms. Calcule as magnitudes das correntes de fase na carga. Solução: As impedâncias por fase da carga são Z = R + X = = 165,5 Ω ab ab ab Z = R + X = = 223,6 Ω bc bc Cbc Z = R + X = = 189,7 Ω ca ca ca 77

79 Sendo as magnitudes das tensões de linha iguais às das de fase, tem-se que I I I ab bc ca Vab 220 = = = 1,33 Arms Z 165,5 ab Vbc 220 = = = 0,98 Arms Z 223,6 bc Vca 220 = = = 1,16 Arms Z 189,7 ca Resumo das igações Trifásicas Com base nas seções anteriores, pode-se construir uma tabela com as relações matemáticas existentes entre tensões de linha e de fase e entre correntes de linha e de fase nas conexões Y e. Na Tabela 4.1 estão mostradas essas relações. Tabela 4.1. Síntese das relações matemáticas entre grandezas de linha e de fase em ligações trifásicas. Grandeza igação em Y igação em Tensão V 3V = f f V = V Corrente I = If I = 3I f Onde o subíndice refere-se a valor de linha e o subíndice f, a valor de fase. 78

80 4.5 Potências em Circuitos Trifásicos Considerando as tensões de fase ( ω ) v ( t ) = V sen t a f ( ω ) v ( t ) = V sen t 120 b f ( ω ) v ( t ) = V sen t c f (4.7) Onde V f corresponde ao valor de pico da magnitude das tensões, aplicadas a uma carga trifásica equilibrada, as correntes de fase são ( ω θ ) i ( t ) = I sen t a f ( ω θ ) i ( t ) = I sen t 120 b f ( ω θ ) i ( t ) = I sen t c f (4.8) Onde I f é o valor de pico da magnitude das correntes e o ângulo θ é o ângulo de defasagem entre a tensão de fase e a corrente de fase. A potência trifásica pode ser determinada pela soma das potências em cada uma das três fases do circuito. Utilizando as equações (4.7) e (4.8), pode-se escrever que a potência instantânea trifásica é p( t ) = v ( t ) i ( t ) + v ( t ) i ( t ) + v ( t ) i ( t ) = a a b b c c ( ω ) ( ω θ ) ( ω ) ( ω θ ) = V sen t I sen t + V sen t 120 I sen t f f f f ( ω ) ( ω θ ) + V sen t I sen t f f (4.9) Utilizando as relações trigonométricas, a equação (4.9) pode ser reduzida à 3 p( t ) = V I cosθ (4.10) 2 f f Observe, pela equação (4.10), que a potência instantânea trifásica é uma constante. 79

81 4.5.1 Potência Ativa Trifásica Análogo ao caso monofásico, a potência ativa trifásica pode ser determinada calculando o valor médio da potência instantânea em um período. Isto resulta em 3 P = V I cosθ (4.11) 2 f f linha e de fase Se a carga trifásica estiver ligada em Y, tem-se as seguintes relações entre os dados de V Vf = e If = I (4.12) 3 Substituindo a equação (4.12) na equação (4.11), obtém-se P P 3 V = I cosθ = VI cosθ 2 (4.13) Onde V e I correspondem aos valores de pico da tensão de linha e da corrente de linha, respectivamente. Por outro lado, se a carga trifásica estiver conectada em, tem-se que I Vf = V e If = (4.14) 3 Substituindo a equação (4.14) na equação (4.11), resulta em P P 3 I = V cosθ = VI cosθ 2 (4.15) 80

82 Comparando as equações (4.13) e (4.15), conclui-se que, independentemente da carga estar ligada em Y ou em, a sua potência trifásica pode ser determinada da mesma forma. Observe que nas equações (4.13) e (4.15) os valores da tensão e da corrente estão expressos em valores de pico, o que, como se sabe, não é usual. Considerando que V = 2 V e I = 2I (4.16) ef ef Onde V e I são os valores eficazes da tensão de linha e da corrente de linha, respectivamente, a ef ef equações (4.13) e (4.15) podem ser reescritas como 3 P = 2 V ef 2 I ef cos θ 2 P = 3V I cosθ ef ef (4.17) A expressão (4.17) permite o cálculo da potência ativa trifásica em função dos valores eficazes da tensão da linha e da corrente de linha Potência Reativa Trifásica Por analogia com a potência ativa trifásica, equação (4.17), pode-se determinar a potência reativa trifásica como Q = 3V I senθ (4.18) ef ef Potência Aparente Trifásica A potência aparente trifásica pode ser determinada como N = 3V I (4.19) ef ef Semelhante ao caso monofásico, outras relações entre as potências ativa, reativa e aparente trifásicas podem ser determinadas, como P = N cosθ Q = N senθ N = P + Q (4.20) P fp = N 81

83 Exemplo 4.5: Um motor trifásico industrial possui os seguintes dados de placa: Potência mecânica: 3 HP Freqüência: 60 Hz Tensão: 220 / 380 Vrms Rendimento: 83,1% Fator de potência: 0,8 ind Determine o triângulo de potências para o motor nos seguintes casos: a) Motor ligado em Y e alimentado por uma tensão de linha de 380 Vrms; b) Motor ligado em e alimentado por uma tensão de linha de 220 Vrms. Para cada caso, determine também o valor da corrente de fase. OBS: Para simplificação dos cálculos, considere 1 HP = 746 W. Solução: a) Inicialmente, determina-se a potência mecânica do motor trifásico em Watts, isto é, P = = 2.238,0 W mec Com base no rendimento do motor, determina-se a sua potência ativa trifásica, que é P P mec 2238,0 = = = 2.693,1 W η 0,831 que são Com o fator de potência dado, pode-se calcular as potências reativa e aparente trifásicas, ( ( )) ( ( )) Q = P tan acos fp = 2693,1 tan acos 0,8 = 2.019,9 VAr ind ( ) ( ) = + = + = N P Q 2693,1 2019, ,4 VA Sabendo a tensão de linha na qual o motor está sendo alimentado, calcula-se a sua corrente de linha, que é I N 3366,4 = = = 5,11 Arms 3V

84 Estando o motor ligado em Y, as correntes de fase e de linha são as mesmas, portanto, I f = 5,11 Arms b) Independentemente da forma como as bobinas do motor estão ligadas (Y ou ), as suas potências ativa, reativa e aparente trifásicas não se alteram. Assim, do item b, tem-se que P = 2.693,1 W Q = 2.019,9 VAr ind N = 3.366,4 VA Portanto, a corrente de linha, neste caso, vale I N 3366,4 = = = 8,83 Arms 3V Estando as bobinas do motor trifásico ligadas em, a corrente de fase (corrente em cada bobina do motor) será I 8,83 I f = = = 5,11 Arms 3 3 Observe que, evidentemente, é o mesmo valor de corrente que circula pelas bobinas do motor estando ele ligado em Y. Isto é razoável, visto que o motor trifásico, tanto no item a quanto no item b, deve consumir a mesma potência elétrica para produzir a mesma potência mecânica. Exemplo 4.6: Uma indústria é abastecida pela concessionária de energia elétrica com uma tensão de linha de 380 Vrms. A associação de todas as cargas trifásicas presentes na indústria totaliza uma potência aparente de 230 kva com um fator de potência de 0,91 ind (considerando a carga equivalente ligada em Y). A indústria também possui muitas cargas monofásicas instaladas. Estas cargas monofásicas são instaladas entre as fases e o neutro, na tentativa de tornar a carga trifásica resultante o mais equilibrada possível. Elas podem ser assim especificadas: Cargas monofásicas entre fase a e neutro: R = 1,3 Ω e X = 0,3 Ω ; eq eq Cargas monofásicas entre fase b e neutro: R = 1,3 Ω e X = 0,6 Ω ; eq eq Cargas monofásicas entre fase c e neutro: R = 1,7 Ω e X = 0,3 Ω. eq eq Determine o triângulo de potências total e o fator de potência resultante da indústria. Calcule também as magnitudes das correntes de linha na entrada da indústria. 83

85 Solução: Para a carga trifásica, conhecendo-se a potência aparente trifásica e o fator de potência, pode-se calcular diretamente as potências ativa e reativa trifásicas. Assim, tem-se P = N fp = 230 0,91 = 209,3 kw eq tr eq tr eq tr 2 2 eq tr eq tr eq tr ( ) ( ) 2 2 Q = N P = ,3 = 95,4 kvar ind Para a determinação das potências trifásicas correspondentes às cargas monofásicas, devese calcular as potências ativa e reativa por fase e somá-las. Para tal, é necessário conhecer os valores da magnitude da tensão de fase e das magnitudes das correntes de fase. Para isso, realizamse os cálculos a seguir. V f V 380 = = 220 Vrms fa fa f a 2 2 fb fb f b 2 2 fc fc f c ( ) ( ) 2 2 Z = R + X = 1,3 + 0,3 = 1,33 Ω ( ) ( ) 2 2 Z = R + X = 1,3 + 0,6 = 1,43 Ω ( ) ( ) 2 2 Z = R + X = 1,7 + 0,3 = 1,73 Ω I fa I fb I fc Vf 220 = = = 164,9 Arms Z 1,33 fa Vf 220 = = = 153,7 Arms Z 1,43 fb Vf 220 = = = 127,4 Arms Z 1,73 fc Para a determinação das potências ativa e reativa por fase ainda é necessário obter os ângulos de defasagem entre as tensões e as correntes de fase. Estes podem ser determinados através dos fatores de potência por fase. Assim, tem-se que R f 1,3 a θa = acos( fpa ) = acos = acos = 12,99 Z 1,33 fa R f 1,3 b θb = acos( fpb ) = acos = acos = 24,78 Z f 1,43 b R f 1,7 c θc = acos( fpc ) = acos = acos = 10,01 Z f 1,73 c 84

86 E, portanto, as potências ativa e reativa por fase são P ( ) = V I cosθ = ,9 cos 12,99 = 35,3 kw fa fa fa a ( ) Q = V I senθ = ,9 sen 12,99 = 8,2 kvar ind P fa fa fa a ( ) = V I cosθ = ,7 cos 24,78 = 30,7 kw fb fb fb b ( ) Q = V I senθ = ,7 sen 24,78 = 14,2 kvar ind P fb fb fb b = V I cosθ = ,4 cos( 10,01 ) = 27,6 kw fc fc fc c ( ) Q = V I senθ = ,4 sen 10,01 = 4,9 kvar ind fc fc fc c As potências ativa e reativa trifásicas totais são, portanto, P = P + P + P + P = 209,3 + 35,3 + 30,7 + 27,6 = 303,0 kw t eq tr fa fb fc Q = Q + Q + Q + Q = 95,4 + 8,2 + 14,2 + 4,9 = 122,6 kvar ind t eq tr fa fb fc indústria são Por conseqüência, a potência aparente trifásica total e o fator de potência resultante na 2 2 t t t ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 303, ,6 = 326,8 kva Pt 303,0 fpt = = = 0,9270 ind N 326,8 t Observe que o circuito trifásico total da indústria é desequilibrado. Dessa forma, cada corrente de linha na entrada possuirá uma magnitude. Assim, para os seus cálculos, é necessário determinar as potências ativa, reativa e aparente totais por fase. Estes valores para as cargas monofásicas já foram determinados. Para o equipamento trifásico, lembrando que este constitui uma carga trifásica equilibrada, as suas potência ativa e reativa por fase podem ser obtidas dividindo o valor das potências ativa e reativa trifásicas por 3. Dessa forma, tem-se que P eq trf Q eq trf Peq tr 209,3 = = = 69,8 kw 3 3 Qeq tr 95,4 = = = 31,8 kvar ind

87 Então, as potências ativa e reativa totais por fase são P totf a Q P totf a totf b Q P totf b totf c Q totf c = 69,8 + 35,3 = 105,1 kw = 31,8 + 8,2 = 40,0 kvar ind = 69,8 + 30,7 = 100,5 kw = 31,8 + 14,2 = 46,0 kvar ind = 69,8 + 27,6 = 97,4 kw = 31,8 + 4,9 = 36,7 kvar ind As potências aparentes por fase são, então, 2 2 totf tot a f tot a fa 2 2 totf tot b f tot b fb 2 2 totf tot c f tot c fc ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 105,1 + 40,0 = 112,4 kva ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 100,5 + 46,0 = 110,5 kva ( ) ( ) 2 2 N = P + Q = 97,4 + 36,7 = 104,0 kva Os valores das potências aparentes acima são os valores de potência totais por fase de uma carga equivalente ligada em Y. Portanto, dispondo-se da magnitude da tensão de fase e da potência aparente por fase, pode-se calcular os valores das magnitudes das correntes de linha, visto que, em uma ligação em Y, as correntes de linha e de fase possuem a mesma magnitude. Tem-se, então, I a I b N 3 tot 112,4.10 a = = = 511,1 Arms V 220 f N 3 tot 110,5.10 b = = = 502,1 Arms V 220 f I a N 3 tot 104,0.10 c = = = 473,0 Arms V 220 f 86

88 O circuito elétrico simplificado da indústria do Exemplo 4.6 está apresentado na Figura Figura Esquema elétrico simplificado da indústria do Exemplo

89 4.6 Simulações Digitais Relação entre Tensões de inha e de Fase em uma igação Trifásica em Y 1. No circuito mostrado na Figura 4.11, calcule os valores das tensões de linha v ab, v bc e v ca e das tensões de fase v an, v bn e v cn na carga resistiva. A fonte trifásica é composta pelas seguintes tensões: v an(t) = 155,56 sen(2πft) V v bn(t) = 155,56 sen(2πft 120 ) V v cn(t) = 155,56 sen(2πft ) V a v an(t) 200 v cn(t) n v bn(t) 200 n 200 b c Figura Circuito elétrico para a simulação No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente ao circuito da Figura 4.11 e introduza corretamente os voltímetros para as leituras das tensões de linha e de fase indicadas no item 1. A tela do programa está mostrada na Figura Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados dos cálculos com os da simulação. 88

90 4.6.2 Relação entre Correntes de inha e de Fase em uma igação Trifásica em 1. No circuito mostrado na Figura 4.13, calcule os valores das correntes de linha i a, i b e i c e das correntes de fase i ab, i bc e i ca na carga resistiva. A fonte trifásica é composta pelas seguintes tensões: v an(t) = 155,56 sen(2πft) V v bn(t) = 155,56 sen(2πft 120 ) V v cn(t) = 155,56 sen(2πft ) V v an (t) i a a v cn (t) n v bn (t) i b i ab i bc i ca i c b 220 c Figura Circuito elétrico para a simulação No Multisim 2000, construa o circuito elétrico correspondente ao circuito da Figura 4.13 e introduza corretamente os amperímetros para as medições das correntes de linha e de fase indicadas no item 1. A tela do programa está mostrada na Figura Figura Tela do programa Multisim 2000 para a simulação Analise e compare os resultados dos cálculos com os da simulação. 89

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