Exercícios de Probabilidade

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1 Introdução à Probabilidade e Estatística I. Matemática Aplicada à Negócios. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 23 de setembro de 2008 Exercícios de Probabilidade Os exercícios marcados com são mais difíceis e podem ser deixados para uma segunda leitura. Cada uma das provas terão uma ou dois perguntas a este nével. Os exercícios marcados com são ainda mais difíceis e alguns serão resolvidos em aula, porém recomendamos a maneira de reto a sua resolução. O apéndice 14.2 contem tópicos mais avançados e o seu estudo é opcional. 1 Eventos e Espaços amostrais 1.1 Eventos Exercício 1. Demonstrar as seguintes identidades utilizando a definição de cada operação, considerando que para quaisquer dois conjuntos A e B, A = B se A B e B A. A B = (A B c ) (A c B) A = (A B) (A B c ) A \ B = A B c A c = Ω \ A A A c = A A c = Ω A A = A A = A (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (A B) C = (A C) (B C) (viii) (A B) C = (A C) (B C) (ix) Exercício 2. (Leis de De Morgan) Seja {A i : i = 1,..., n} uma coleção de eventos de Ω. Mostrar, ( n ) c n A i = A c i, i=1 i=1 ( n ) c n A i = A c i. i=1 i=1 1

2 Exercício 3. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equações e frases, unindo cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na linguagem de eventos, (a) A B C = A B C (i) A e B ou C são incompatíveis (b) A B C = A (ii) Os eventos A, B, C são idênticos (c) A B C = A (iii) A ocorrência de A implica a de B e C (d) (A B C) \ (B C) = A (iv) A ocorrência de A decorre de B ou C Exercício 4. Sejam A, B, C eventos de Ω. Mostrar que A \ (B \ C) A \ B C. Encontrar uma expreção mais simples para A \ B C. Exercício 5. Sejam A, B e C três eventos em Ω. Encontrar as expressões para os seguintes eventos: (a) aconteceu somente A (b) aconteceram A e B mas não C (c) aconteceram os três eventos (d) aconteceu ao menos um dos eventos (e) aconteceram ao menos dois eventos (f) aconteceu só um dos eventos (g) ocorreram só dois eventos (h) não aconteceu nenhum dos eventos (i) não aconteceram mais de dois eventos 1.2 Espaços amostrais Ω Exercício 6. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguintes experimentos: (i) uma moeda é lançada n vezes (n < ) [Dica: pense em um produto cartesiano. Por que?] (ii) duas bolas são retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas pretas e duas vermelhas (iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitário {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} (iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas. Exercício 7. Um torneio de tênis começa com 2 n competidores e apresenta n jogos. Descrever o espaço Ω de todos os possíves resultados. [Dica: produto cartesiano] 2

3 2 Álgebras e σ-álgebras de conjuntos 2.1 Álgebras Definição 1. Seja Ω um conjunto. A familia A de conjuntos de Ω é uma álgebra de Ω se: (i) A, (ii) A A A c A, (iii) sejam A 1, A 2,..., A n conjuntos em A, então n i=1a i A. Assim, a única diferença entre álgebra e σ-álgebra é que a primeira so apresenta conjuntos formados por operações finitas. Exercício 8. Um dado equilibrado é jogado uma vez, e é observado o número da face superior. Os resultados possíveis são Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 6 } = {1, 2,..., 6}. São considerados os seguintes eventos: A= o resultado é par, B= o resultado é impar, C= o resultado é um número primo. Explique por que {, A, B, Ω} é uma álgebra de Ω, embora {, A, Ω} não é uma álgebra de Ω. Exercício 9. Mostre que {, Ω} é uma álgebra (de Ω). Exercício 10. Mostre que a família de todos os subconjuntos de um conjunto finito é uma álgebra. Exercício 11. Seja A um evento de Ω. Mostrar que A = {, A, A c, Ω} é uma álgebra. Exercício 12. Sejam A e B dois conjuntos em A. Mostrar que A contem os conjuntos A B, A \ B e A B. 2.2 σ-álgebras A noção de σ-álgebra será raramente utilizada neste curso, porém é necessária para desenvolver a teoria de probabilidade de maneira consistente, isto é, sem contradições lógicas. Uma justificativa relativamente informal disto é apresentada no apêndice. Exercício 13. Mostre que uma σ-álgebra (de Ω) também é uma álgebra (de Ω). Exercício 14. Seja A uma σ-álgebra dos subconjuntos de Ω e suponha que B A. Mostrar que F B = {A B : A A } é uma σ-álgebra dos subconjuntos de B. Exercício 15. Sejam A e F duas σ-álgebras dos subconjuntos de Ω. (i) Seja D = A F a coleção dos subconjuntos de Ω em ambos A e F. Mostrar que D é uma σ-álgebra. (ii) Mostrar que A F, a coleção de subconjuntos de Ω pertencentes a A ou F, não é necessáriamente uma σ-álgebra.[dica: utilice um contra exemplo] (iii) Generalize o item (i): Se F i, i = 1,..., n são σ-álgebras de partes de Ω, 3

4 então n i=1f i também é uma σ-álgebra. (iv) Seja B uma classe de subconjuntos de Ω. Mostre que existe pelo menos uma σ-álgebra que contem B. [Dica: qual a maior classe de subconjuntos de Ω?] (v) Visando a plena utilização dos itens (b) e (c), como você definiria a menor σ-álgebra contendo B, onde B é uma classe de subconjuntos de Ω? 2.3 Seqüência de eventos Exercício 16. Seja A 1, A 2,... uma seqüência de eventos. Defina B n = m=n A m, C n = Neste caso C n A n B n. As seqüências {B n } e {A n } são respectivamente decrescentes e crescentes com limites m=n A m. lim B n = B = B n = A m, lim C n = C = n=1 C n = n=1 m n n=1 n=1 m n A m. Os eventos B e C são chamados lim sup n A n e lim inf n A n respectivamente. (i) Demonstrar a seguinte interpretação para B e C, B = {ω Ω : ω A n para uma infinidade de valores de n}, C = {ω Ω : ω A n para todo n menos uma quantidade finita de valores de n}. (ii) (esta parte realmente é de probabilidade) Se lim sup A n = lim inf A n = A, n n chamamos o evento limite A de lim n A n, ou simplesmente A n A. Demonstrar que se A = lim n A n, então P(A n ) P(A) quando n. 3 Probabilidade Exercício 17. Para os experimentos (i) e (ii) mencionados no exercicio 6, descreva um espaço de probabilidade. 4

5 Exercício 18. Uma moeda é jogada um número infinito de vezes. Descreva um espaço de probabilidade para este experimento. Exercício 19. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que: (i) o número 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um número par, (iii) a soma dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisível por 3. Exercício 20. Dois dados equilibrados são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 12, (ii) a soma dos resultados é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a diferença e impar, (v) o resultado de um dado é menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentes e o menor dos dois números é r, para 1 r 6. [É importante distinguir os dois dados. No caso que isto não seja tomado em conta, o espaço amostral Ω = {(i, j) : 1 i j 6}, apresenta 21 possibilidades, Ω = 21, cada uma com probabilidades diferentes do caso na qual os dados são diferentes.] Exercício 21. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são selecionadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa é selecionada para sair da sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente? Exercício 22. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade de que na n-ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o número de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duas caras, (iv) ocorreram pelo menos duas caras. Exercício 23. Descrever os espaços de probabilidade dos seguintes experimentos: (i) Uma moeda não equilibrada é jogada três vezes, (ii) duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contem duas bolas brancas e duas pretas, (iii) uma moeda não equilibrada é jogada repetidas vezes até aparecer a primeira cara. Exercício 24. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e B é P(A) + P(B) 2P(A B). Exercício 25. Demonstre as seguintes propriedades ( (i) Se P(A n ) = 0 para n = 1, 2,..., então P k=1 A n ) = 0, ( ) (ii) Se P(A n ) = 1 para n = 1, 2,..., então P A n = 1. Exercício 26. Demonstrar as seguintes desigualdades de Boole, ( n ) P A i i=1 n P(A i ), i=1 5 ( n ) P A i 1 i=1 k=1 n P(A c i) i=1

6 Exercício 27. Mostre que se P(A k ) 1 ε para k = 1,..., n, então, ( n P k=1 A k ) 1 nε. Exercício 28. Demonstre o seguinte fato: se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são eventos do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A n ) 1 e P(B) p, quando n, então P(A n B n ) p. Exercício 29. Demonstrar que ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) i=1 n P(A i A j ) + i<j n i<j<k + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n ). P(A i A j A k ) Exercício 30. Dois dados são jogados, sendo observado o resultado da face superior de cada um. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3, ou 12?, (ii) a soma é émpar, (iii) a diferenéa é émpar, (iv) o produto é émpar. Exercício 31. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de: (i) o resultado contem pelo menos trés caras, (ii) o resultado contem exatamente trés caras, (iii) o resultado contém trés o mais caras consecutivas, (iv) o resultado tem exatamente trés caras consecutivas. Exercício 32. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duas bolas são retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaéo amostral é formado por todos os pares não ordenados de bolas indistinguéveis. (ii) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca? e da segunda branca?. (iii) A metade das bolas são removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restantes uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que esta última seja laranja?. (iii) Um dado honesto com n lados é jogado. Se a r-ésima face é o resultado, r bolas são removidas da urna e colocadas num saco. Qual é a probabilidade de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja? Exercício 33. Um jogo de 4 xécaras e 4 pires contém duas xécaras brancas e dois pires de um cor, e os restantes de outro cor, por exemplo, preto e branco. (i) Qual é a probabilidade de que exatamente uma xécara esteja sobre um pires do mesmo cor?. (ii) Qual é a probabilidade de que duas xécaras estejam sobre pires do mesmo cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que nenhuma xécara esteja sobre um pires do mesmo cor se o jogo consiste de quatro cores diferentes em lugar de sé dois? [Dica: bote primeiro os pires e deixe estes fixos!] 6

7 Exercício 34. A fim de comeéar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 no primeiro lanéamento. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé no terceiro intento?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de trés intentos?. (iii) Qual é o número de intentos mais prováveis requeridos para obter um 6? Exercício 35. Encontrar a probabilidade de que em 24 laçamentos de dois dados não ocorra o evento (6,6). Exercício 36. No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lançamento, (ii) ganhar ou perder antes ou no terceiro lançamento, (iii) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possível fixar o resultado de um dos dados no primeiro lançamento, qual seria o número escolhido por vocé? Exercício 37. Uma urna contem trés tickets marcados com 1, 2 e 3. Se os tickets são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r = 1, 2, 3) tal que na r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r? 4 Probabilidade (Combinatória) Todos os cálculos necessários para obter as probabilidades nesta seção devem utilizar argumentos combinatórios (mesmo que seja possível obter a resposta por outros médios!) Exercício 38. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto de n elementos? Exercício 39. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos? (neste caso a ordem não é considerada) Exercício 40. Qual é o número de bijeções de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 41. Qual é o número de todas as relações (não unicamente as bijeções) de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 42. Qual é o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos? Exercício 43. Suponha que vocé tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-éris. Se são escolhida duas meias ao acaso, qual é a probabilidade destas serem do mesmo par? 7

8 Exercício 44. Um estudante do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bancos de dados, e c de cálculo. Se os livros são colocados numa prateleira ao acaso, qual será a probabilidade dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema não estam separados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabético mas não são necessariamente adjacentes, (iii) os livros sobre o mesmo tema são adjacentes e seguem o ordem alfabético. Exercício 45. Um jogo de cartas é bem embaralhado e uma mão de 13 cartas é oferecida a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogador tenha um â? s, (ii) um jogador tenha todos os asses. [Dica: usualmente em um jogo com cartas, a ordem na qual as cartas são entregues não é importante. Lembre também que as cartas são inicialmente entregues sem reposição. Como contamos os eventos?] Exercício 46. Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer em qualquer dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quais é sabido que nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao menos duas destas tenham aniversário em dias consecutivos ou no mesmo dia é p r, onde p r = 1 (365 r 1)! 365 r+1, (2r < 365). (365 2r)! Deduzir que para r = 13, a probabilidade de conseguir dois aniversários consecutivos é 1/2. Exercício 47. Uma urna contem 4n bolas, n das quais são pretas, n roxas, n azuis e n marrons. Se r, r 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que: (i) ao menos uma bola é preta? (ii) exatamente duas bolas são pretas? (iii) existe ao menos uma bola de cada cor? Exercício 48. De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuédas, ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma conter no máximo uma bola? Exercício 49. Um indivéduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k = 1, 2,..., n)? Exercício 50. Dez pessoas são sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas uma ao lado da outra? [Dica: enumere as cadeiras do 1 até o 10 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as quais serão repartidas entre as dez pessoas. O número total de resultados é igual a todas as permutações de 10 elementos. Conte o número de eventos favoráveis.] 8

9 Exercício 51. Vocé encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas. Um full house consta de trés cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2, 2, 2, 4, 4 ). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quinta carta de qualquer outro valor, por exemplo (5, 5, 5, 5, K ). O que é mais provável, que vocé receba um full house ou uma quadra? [Dica: mesma observação que para o exercício 45] Exercício 52. Seis números são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade dos seguintes eventos (i) A = {os números escolhidos são 1, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é um dos números escolhidos}. [Dica: A ordem das escolhas não é importante.] Exercício 53. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso? Exercício 54. Mostrar as seguintes identidades n ( ) n/2 n ( ) n (i) ( ) k = 0. (iii) = 2 n 1, se n é par. k 2k k=0 k=0 n ( ) n/2 n ( ) n (ii) = 2 n. (iv) = 2 n 1, se n é par. k k k=0 k=0 Exercício 55. Considerando as identidades mostrar que k ( )( ) m n (i) j k j j=0 (1 + x) m (1 + x) n = (1 + x) m+n, (1 + x) m (1 + x) n 2 = (1 + x) m n 2, ( m + n = k ). (ii) Exercício 56. Mostrar que ( )( )( ) n n + k n = r r + 2k r + k m ( m ( ) m k k k=1 ( n r + k )( n + k r )( ) ( ) n + k n =. n + 1 m 1 )( ) n + 2k r + 2k e interpretar esta identidade no triângulo de Pascal. O triângulo de de Pascal é apresentado como um arranjo de coeficientes binomiais, C m n, C 0 0 C 0 1 C 1 1 C 0 2 C 1 2 C 2 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C 3 3 = para C 0 0 = 1, já que por definição 0! =

10 5 Probabilidade Condicional Exercício 57. Um dado viciado com faces 1, 2, 3 da cor laranja e 4, 5, 6 da cor azul tem probabilidades P(1) = P(3) = P(5) = 1 9, P(2) = P(4) = P(6) = 2 9. Se o dado é lanéado uma vez, qual a probabilidade de que de que a face superior mostre um número par dado que esta é da cor laranja? Exercício 58. Dois dados são jogados no cassino, porém e o seu resultado não é mostrado. Suponha que o cassino informa que a face superior de um dos dados é 1, qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior o igual a 5? [Dica: quem é Ω? Se uma das faces é 1, quais dos elementos de Ω não são possíveis? quantos sobram?] Exercício 59. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? Exercício 60. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito? Exercício 61. ( Urna de Polya 1 ) Uma urna contém a bolas azuis e v de cor verde. Uma bola é retirada ao acaso e seu cor é considerado. Subsequentemente a bola é devolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual é a probabilidade dos eventos: (a) a segunda bola é verde, (b) a primeira bola retirada é verde dado que a segunda bola foi verde. (ii) Se V n denota o evento o resultado da n-ésima retirada e verde, mostrar que P(V n ) = P(V 1 ) para todo n 1. (iii) Encontrar a probabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-ésima retirada o resultado é verde. (iv) Mostrar que para quaisquer j, k, P(V k V j ) = P(V j V k ). Exercício 62. T e J decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades T pode ganhar cada buraco com probabilidade p e J com probabilidade q. A probabilidade de empatar é r. O jogo acaba na primeira vez na qual sé um dos dois jogadores ganhe um buraco. (i) Mostrar que a probabilidade u n de que T ganhe antes ou no n-ésimo buraco é u n = p(1 rn ) (1 r). 1 O problema descrito neste exercício constitui um exemplo de uma cadeia de Markov, um dos tópicos mais importantes a serem estudados em Processos Estocásticos! 10

11 (ii) Dado que T ganha antes ou no n-ésimo buraco, mostrar que: (a) a probabilidade de que o primeiro buraco resultou em empate é r(1 r n 1 ). (1 r n ) (b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado é (1 r) (1 r n ). (iii) Dado a que J ganha, qual é a probabilidade disto acontecer antes do terceiro buraco? Exercício 63. Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, uma tem duas coroas e as duas últimas são normais. (i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lanéa. Qual é a probabilidade de que a face inferior da moeda seja cara? (ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iii) O homem fecha seus olhos de novo e lanéa a moeda uma segunda vez. Qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado é cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lanéa. Qual é a probabilidade de que o resultado seja cara? 6 Independéncia Exercício 64. Se A e B são eventos independentes, mostrar que A c independentes, e então deducir que A c e B c também são independentes. e B são Exercício 65. Seja (Ω, A, P) um espaéo de probabilidade, e A 1,..., A n A eventos independentes com p k = P(A k ), k = 1,..., n. Obtenha a probabilidade de ocorréncia dos seguintes eventos, em termos das probabilidades p k : (i) a ocorréncia de nenhum dos A k, (ii) a ocorréncia de pelo menos um dos A k, (iii) a ocorréncia de exatamente um dos A k, (iv) a ocorréncia de exatamente dois dos A k, (v) a ocorréncia de, no máximo, n 1 dos A k. Exercício 66. (Independéncia a pares não implica independéncia coletiva) Um dado é jogado n vezes. Seja o evento A ij = a i-ésima e a j-ésima jogada tem o mesmo resultado. Mostrar que os eventos {A ij : 1 i < j n} são independentes somente quando considerados por pares, isto é, P(A ij A jn ) = P(A ij )P(A jn ) mas P(A ij A jk A ik ) P(A ij )P(A jk )P(A ik ) se i j k. 11

12 Exercício 67. Uma moeda honesta é jogada repetidas vezes. Mostrar que os seguintes enunciados são equivalentes ( ): (a) os resultados de lanéamentos diferentes são independentes, (b) dada qualquer seqüência de caras e coroas, a probabilidade de que a seqüência ocorra nos primeiros m lanéamentos é 2 m, sendo m o comprimento da seqüência. Exercício 68. Suponha que ter um menino ou uma menina tem a mesma probabilidade. Suponha também que a Sra. M tem trés filhos. Seja A o evento que a famélia tem filhos de ambos sexos, e B o evento que a famélia apresenta pelo menos uma menina. (i) Mostre que A e B são independentes. (ii) Serão A e B independentes se a probabilidade de ter um menino ou uma menina não são iguais? (iii) O que ocorre se a Sra. M tem quatro filhos? Exercício 69. Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C. Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a um acidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de que uma das estradas de A a B esteja aberta dado que não existe nenhuma estrada aberta de B a C. (ii) Encontrar a probabilidade condicional se adicionalmente existe uma estrada direta entre A e C, também bloqueada independentemente das outras com probabilidade p. A p p B p p C p (iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposição entre estas cidades segue o seguinte desenho embaixo? A p p B p C p p D 7 Variáveis Aleatórias Exercício 70. Considere a v.a. discreta X com distribuição de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X 6); (ii) P ( X 4 > 2); (iii) P (X = a), a é um número primo. Exercício 71. Suponha que vocé é convidado a jogar um jogo definido de acordo as seguintes regras: um dos números 2,..., 12 é escolhido ao acaso ao jogar um par de dados e somando os resultados das faces superiores. Vocé ganha 9 reais caso o resultado seja 2, 3, 11, ou 12, ou perde 10 reais se o resultado é 7. No caso contrário a estas duas situações, vocé não perde ou ganha nada. Se ξ denota o valor ganho (ou perdido) no jogo, quais são as probabilidades P (ξ > 0) e P (ξ < 0)? 12

13 Exercício 72. Seja X uma v.a. discreta com distribuição de probabilidade dada por { c2 x, x N, P (X = x) = 0, x N. onde N = {0, 1, 2,...}, e N é o complemento de N. Determine: (i) O valor da constante c; (ii) P (X 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser émpar). Exercício 73. Considere o lanéamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), x Im(X): (i) X: maior valor observado no lanéamento dos sois dados. (ii) X é a soma dos valores observados. (iii) X é o produto dos valores observados. (iv) X é a diferenéa entre o maior valor observado e o menor valor observado. Exercício 74. Seja X uma v.a. cuja função de distribuição é dada por 0, x < 0, 1/3, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1, x 2. Calcular: P ( 1 2 X 3 2 ), P ( 1 2 X < 3 2 ), P ( 1 2 X 1), P ( 1 2 X < 1), P (1 < X < 2), P (1 X 2) e P (X > 1). Exercício 75. Cinco bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 até N, N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a função de distribuição de X. Exercício 76. Quais são os valores da constante C para que as seguintes funções sejam distribuições nos inteiros positivos 1, 2,...? (i) Geométrica: P (X = x) = C2 x. (ii) Logarétmica: P (X = x) = C2 x /x. (iii) Quadrática inversa: P (X = x) = Cx 2. (iv) Poisson modificada : P (X = x) = C2 x /x!. Exercício 77. Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }, com P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1 3. Defina X, Y, Z : Ω R tal que X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 2, Z(ω 2 ) = 2, Z(ω 3 ) = 1. Mostrar que X e Y tem as mesmas distribuições. Encontra a funções de distribuição de X + Y, XY, e X/Y. 13

14 Exercício 78. Seja X uma v.a. definida em (Ω, A, P), e a uma constante. Mostrar que (i) ax é uma variável aleatória, (ii) X X = 0 é uma variável aleatória sempre igual a cero, e X + X = 2X. Exercício 79. Seja X uma v.a. com função de distribuição F. Qual é a distribuição de Y = ax + b, onde a e b são constantes ( R)? Exercício 80. Seja X uma v.a. e seja g : R R uma função continua e estritamente crescente. Mostrar que Y = g(x) é uma v.a. Exercício 81. O lanéamento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lanéada até aparecer a primeira cara. Seja X o número total de lanéamentos, qual é a probabilidade P (X > m)? Encontrar a função de distribuição de X. Exercício 82. Expressar as funções de distribuição de X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X, em termos da função de distribuição F da v.a. X. 8 Esperança matemática e variância Exercício 83. Mostre, para toda variável aleatória X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X α) = 1, então E[X] α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X β) = 1, então E[X] β. Se X Y, isto é, {w Ω : X(w) Y (w)}, então E[X] E[Y ]. Exercício 84. Seja X uma variável aleatória com E[X 2 ] < e sejam a e b constantes reais. Mostrar que Var(aX +b) = a 2 Var(X). [pode comeéar mostrando que Var(X + b) = Var(X).] Exercício 85. Considere dois lançamentos consecutivos de um dado. Seja o X número de vezes em que é obtida a face 1, x = 0, 1, 2; Y o número de vezes em que é obtida a face 6, y = 0, 1, 2; e Z = X + Y o número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). Será verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? Exercício 86. Para um grupo de n pessoas, determine o número esperado de dias do ano que são aniversário de exatamente k pessoas, k n. [Dica: suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos são equiprováveis.] Exercício 87. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a média e a variância do número de tentativas se (i) as chaves incorretas são 14

15 descartadas e, consequentemente, não mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas não são separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. Exercício 88. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma até obter uma bola pela segunda vez, isto é, até obter uma bola já retirada anteriormente. Seja X o número total de extrações necessárias para obter esta repetição, (i) obtenha a distribuição de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que ( E[X] = ) ( )( 1 2 ) ( )( 1 2 ) ( 1 n 1 ) n n n n n n Exercício 89. Cada membro de um grupo de n jogadores lanéa um dado (sé uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo lanéamento tem o mesmo resultado, encontrar a média e a variância do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a média e a variância dos pontos totais do grupo se qualquer par de jogadores que lanéam o mesmo número k (k = 1, 2,..., 6), ganham k pontos. Exercício 90. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas são selecionadas ao acaso, calcule o número médio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] Exercício 91. Mostrar que se Var(X) = 0 então X é constante; isto é, existe a R tal que P (X = a) = 1. [Mostrar primeiro que se E[X 2 ] = 0 então P (X = 0) = 1.] Exercício 92. Seja X uma v.a. discreta e g : R R. Mostrar que E[g(X)] = x g(x)p (X = x) se a soma existe. 9 Esperança condicionada Exercício 93. Mostrar as seguintes propriedades da esperança condicionada (i) E[aY + bz X] = ae[y X] + be[z X], a, b R. (ii) E[Y X] 0 se Y 0. (iii) E[1 X] = 1. (iv) Se X e Y são independentes, então E[Y X] = E[Y ]. (vi) E[Y g(x) X] = g(x)[y X] para qualquer função g apropriada. (v) E{E[Y X, Z] X} = E[Y X] 15

16 10 Independéncia de variáveis aleatórias Exercício 94. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY. Mostrar que X, Y e Z são independentes a pares. Serão as trés independentes? Exercício 95. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos inteiros positivos e com a mesma distribuição P (X = x) = 2 x, x = 1, 2,.... Encontrar (i) P (min{x, Y } x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ). (ii) P (Y > X). (iv) P (X ky ), k inteiro positivo. (vi) P (X = ry ), r racional positivo. Exercício 96. Trés jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A... (i) Mostrar que a probabilidade de que A seja o primeiro em lanéar um 6, logo B e finalmente também C é 216/1001. (ii) Mostrar que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lanéado por A, o segundo por B, e o terceiro por C é 46656/ Exercício 97. (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R R. Mostrar que g(x) e h(y ) são independentes. (b) Mostrar que duas v.a. X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) para todo x Im(X), y Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma função de x e outra de y. 11 Extras Exercício 98. Definimos a função geradora de probabilidade da variável aleatória X (inteira não-negativa) como sendo ϕ X (t) = E[t X ], t R. (i) Verifique que ϕ X (t) = φ X (log(t)) e que φ X (t) = ϕ X (e t ), onde ϕ X (t) é a função geradora de momentos de X. (ii) Mostre que dϕ X (t) = E[X], dt t=1 d n ϕ X (t) t=0 = n! P (X = n). dt n Exercício 99. Seja X uma variável aleatória. A função caracteréstica de X é a função ψ : R C dada por ψ X (t) = E[e itx ], 16

17 onde i = 1. Lembrando que e itx = cos(tx) + isen(tx) e a + bi 2 = a 2 + b 2, verifique que a função caracteréstica é limitada por 1, isto é, ψ X (t) 1, t R. A função caracteréstica de v.as. é de grande importância em teoria das probabilidades, dentre outros motivos, por ser limitada e portanto sempre existir. [Os pré-requisitos adotados não permitem tratar da função caracteréstica nesse curso!] 12 Modelos Probabilísticos Discretos Exercício 100. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia são defeituosos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (isto é, a fração não-conforme de parafusos na produção é 0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolução do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dez parafusos. (i) Qual a proporção de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devolução de dinheiro? (ii) Supondo que o número de parafusos defeituosos num determinado pacote é independente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha que retornar à companhia para devolução do dinheiro? Exercício 101. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tem distribuição Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipográficos em uma página. (ii) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página. (iii) Suponha agora que o livro em questão possui 200 páginas. Qual a probabilidade de não existir erros tipográficos neste livro? Exercício 102. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de dez itens conterá no máximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas distribuições binomial e Poisson. Exercício 103. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson(λ). Determine P (X A), onde A = {0, 2, 4,...}. Exercício 104. Considere X Poisson(λ). (i) Mostre que E[X n ] = λe[(x + 1) n 1 ]. (ii) Calcule E[X 4 ]. (iii) Determine E[X!] para 0 < λ < 1. (iv) Determine E[cos(πX)] e Var(cos(πX)). Exercício 105. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que P (X = k) atinge o valor máximo para k = [(n + 1)p] ([x] denota o maior inteiro menor ou igual a x). Exercício 106. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidade p de sucesso, 0 < p < 1, são realizados até que um total de R sucessos seja 17

18 acumulado. Seja X o número de ensaios necessários para se obter o total de R sucessos. Determine a distribuição de X (dizemos, neste caso, que X possui distribuição binomial negativa com parâmetros R e p). Exercício 107. Considere a variável aleatória X do exercécio anterior. Determine E[X] e Var(X). [Observe que X = Y 1 + Y Y R, onde Y i tem distribuição geométrica de parâmetro p, 1 i R.] Exercício 108. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em sucesso com probabilidade p, são realizados indefinidamente, qual a probabilidade de que R sucessos ocorram antes de M fracassos? Exercício 109. Sejam X e Y variáveis aleatórias binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. (i) Determine a distribuição de X + Y. (ii) Determine a distribuição condicional de X dado X + Y = n. Exercício 110. Sejam X e Y variáveis aleatórias Poisson com parâmetros λ e µ. Mostrar que: (i) X + Y é Poisson(λ + µ), (ii) a distribuição condicional de X dado X + Y = n é binomial. Encontrar os parâmetros da distribuição em (ii). Exercício 111. Se X geométrica, então P (X = n + k X > n) = P (X = k) para k, n 1. (i) Isto é interpretado como perda de meméria, por que? (ii) Mostre que não existe outra distribuição nos inteiros com esta propriedade. Exercício 112. Uma urna contem N bolas das quais b são azuis e r (= N b) são vermelhas. Uma amostra aleatória de n bolas e retirada sem reposição da urna. Mostrar que o número B de bolas azuis na amostra da distribuição P (B = k) = ( b k )( N b n k ) / ( N n Esta distribuição é a distribuição hipergeométrica com parâmetros N, b e n. Exercício 113. (i) Mostrar que se X toma valores inteiros não negativos, então E[X] = P (X > n). n=0 (ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas são removidas ao acaso até aparecer a primeira bola azul. Mostrar que o número esperado de bolas removidas é (b + r + 1)/(b + 1). Exercício 114. Em 1710, J. Arbuthnot observou que o número de meninos nascidos em Londres superou ao número de meninas em 82 anos sucessivos. Supondo que os dois sexos podem ocorrer na mesma proporção, e que 2 82 é pequeno, Arbuthnot atribuiu a diferença observada à Providencia Divina. Suponhamos que o 18 ).

19 nascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante em cada nascimento é independente dos outros. (i) Mostrar que a probabilidade de que a ménimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos é ( ) 2n p n q n q n q p. onde q = 1 p. (ii) Suponha que nasceram pessoas em 82 anos sucessivos. Mostrar que a probabilidade de que os meninos superem o número de meninas em cada ano é ao menos 0,99. Exercício 115. Sejam X e Y variáveis aleatórias Bernoulli(1/2) independentes. Mostrar que X + Y e X Y são dependentes mas não correlacionadas. 13 Modelos Probabilésticos Conténuos Exercício 116. Se X é uniformemente distribuéda no intervalo (0,20), calcule a probabilidade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) X 3 < 4. Exercício 117. Se X é uma variável aleatória normal com µ = 3 e σ 2 = 9, determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0). 14 Apéndice 14.1 Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os números racionais, logo [0, 1] Q, são os números racionais em [0, 1]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0, 1, 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 1 6,... O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8,... não tem importância (podemos omitir qualquer número que já esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, 1] seja obtido de uma única forma). Definição 2. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência (permitindo repetições). Teorema 1. Q é enumerável. A demonstração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição 1. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. 19

20 Demonstração. 2 Se os conjuntos são denotados por S i = {s ij }, i, j 1, então os términos da seqüência formada ao seguir as frechas no desenho s 11, s 12, s 21, s 31, s 22, s 13, s 14,... S 1 s 11, s 12, s 13, s 14,... S 2 s 21, s 22, s 23, s 24,... S 3 s 31, s 32, s 33, s 34,... S 4 s 41, s 42, s 43, s 44,... contam (possívelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos S i. Portanto a união i S i é enumerável. Para provar o Teorema 1, é suficiente tomar S 1, S 2, S 3, S 4,..., como os conjuntos formados pelos números racionais nos intervalos [0, 1], [ 1, 0], [1, 2], [ 2, 1],... respectivamente. Por que sera que que os racionais em [0,1] são enumeráveis? (Exercécio). Teorema 2. R não é enumerável. Demonstração. 3 Mostraremos apenas que os números reais em (0, 1) não são enumeráveis. Seja {s n } uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números s n. Observamos que os números s n podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão decimal, por exemplo, o número 4, pode ser escrito como 4 + 2/10 + 9/ / Em geral qualquer número s R pode ser expressado pela série s = a + k=1 a k 10 k = a, a 0a 1 a 2 onde a k {0, 1,..., 9}, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0, em lugar de 0, O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento diagonal, é devido a Georg Cantor. 3 Esta prova também é devida a G. Cantor. 20

21 para 1/5. Seja s 1 = 0, a 11 a 12 a s 2 = 0, a 21 a 22 a s 3 = 0, a 31 a 32 a Se a nn 1 seja b n = 1 e se a nn = 1 seja b n = 2. Isto define b n para qualquer n 1. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b 1 b 2 b 3... converge a um número real b em (0, 1) o qual é diferente de qualquer s n, sendo que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {s n } é dada pelos números s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = logo a 11 = 2 1 b 1 = 1 a 22 = 3 1 b 2 = 1 a 33 = 1 b 3 = 2 a 44 = 5 1 b 4 = 1 Assim b = 0, (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = s N, para algum N N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de s N no N-ésimo decimal. Concluémos que não é possível dispor numa seqüência todos os números em (0,1), isto é, R não é enumerável. Exercício 118. Será que o Teorema 1 e o Teorema 2 juntos permitem determinar se o conjunto dos números irracionais é enumerável o não? (Qual é a definição de um número irracional?) Exercício 119. Considere o espaéo amostral Ω = {0, 1} N. Isto é, Ω tem eventos elementares ω k, k 1, da forma ω k = (a 1, a 2, a 3,...), onde a i {0, 1} para i N (ou seja, Ω contem todas as seqüências infintas de 0 s e 1 s). Será Ω enumerável? [Dica: revise cuidadosamente o Teorema 2] Exercício 120. Seja N o conjunto dos números naturais e S 1, S 2, S 3 uma seqüência dos subconjuntos de N. Construa uma seqüência de N que seja diferente de S n para cada n 1. (Vocé estara demonstrando que todos os subconjuntos de N formam um conjunto não enumerável!) 14.2 σ-álgebras Por que necessitamos de uma σ-álgebra? Mais especificamente, por que não podemos simplesmente considerar todos os possíveis subconjuntos de Ω para definir P? 21

22 Do exercício 10 sabemos que isto é possível quando Ω é enumerável, porém como veremos a continuação isto não acontece se Ω não é enumerável. Considere Ω = [0, 1] (obviamente não enumerável, veja a demosntração do Teorema 2), e suponha que temos interesse em definir uma probabilidade P neste conjunto. Seguindo a prescrição usual, fazemos P([0, 1]) = P(Ω) = 1. (1) Se assumimos que P é simétrica, então P([0, 1 2 ]) = 1 2, ou, por exemplo, P([ 3 4, 7 8 ]) = 1 8. Mais geralmente, sob simetria, Assim, em particular, se a = b, então P([a, b]) = b a, 0 a b 1. (2) P([a, a]) = P({a}) = 0. (3) Pelo outro lado, se [a, b ] e [a, b] são dois conjuntos disjuntos de [0, 1], então imediatamente de (2) temos que P ( [a, b ] [a, b] ) = P([a, b ]) + P([a, b]), (4) isto é, P é finitamente aditiva. É possível estender P a operações enumeráveis (estas permitem calcular as probabilidades de operações infinitamente delicadas como um limite). Sejam A i = [a i, b i ], i = 1, 2,... um conjunto enumerável de intervalos disjuntos de [0, 1], então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... (5) Neste caso dézimos que P é enumeravelmente aditiva. Observamos agora que não é possível estender P a uniões não enumeráveis, pois claramente P([0, 1]) = P(x) x [0,1] é uma contradição uma vez que lado esquerdo é 1, porém o lado direito é 0. Suponhamos que os conjuntos A i em (5) formam uma partição de Ω, isto é, Ω = i=1a i. É importante ressaltar que neste caso não há nenhum problema pois o intervalo [0, 1] é uma união enumerável. Seja A = [a, b]. Sob simetria de P, observamos que se transladamos A por uma quantidade fixa τ, a probabilidade do intervalo transladado devera ser igual a probabilidade do intervalo original. Denotamos a translação de A por τ como A τ = {a + τ : a A, a + τ 1} {a + τ 1 : a A, a + τ > 1}, assim, P(A τ) = P(A) (6) 22

23 O préximo resultado mostra que não é possível definir uma probabilidade P sobre todos os conjuntos de [0, 1], se desejamos que esta seja consistente com as propriedades (2), (5) e (6). Equivalentemente, existem conjuntos em [0,1], aos quais não podemos outorgar um valor de probabilidade de maneira consistente, se queremos que a probabilidade satisfaga as condições (2), (5) e (6). Proposição 2. Não é possível definir uma probabilidade P, a qual satisfaz simultaneamente (2), (5) e (6). Demonstração. Suponhamos que P(A) pode ser definida para qualquer conjunto A [0, 1]. Consideramos primeiro a seguinte relação de equivaléncia em [0, 1]. Sejam x e y pontos em [0, 1], então x y se e somente se y x é racional. Esta relação determina uma partição em [0, 1] de classes de equivaléncia. Seja H um conjunto de [0, 1] o qual consiste de um elemento de cada uma destas classes de equivaléncia (é possível formar este conjunto pelo axioma da escolha; um resultado fundamental da teoria dos conjuntos). Suponhamos que 0 H (se 0 H, então podemos substitui-lo por 1/2). Sendo que H contem um elemento de cada uma das classes de equivaléncia, observamos que cada ponto em (0, 1] esta contido na união (H τ) τ [0,1) τ racional das translações de H. Dado que H contém sé um ponto de cada classe de equivaléncia, então os conjuntos H τ para τ [0, 1) racional são todos disjuntos. Assim, da aditividade enumerável temos que P ( (0, 1] ) = P(H τ). τ [0,1) τ racional Porém, da invariância por translação temos que P(H τ) = P(H), logo 1 = P ( (0, 1] ) = P(H), τ [0,1) τ racional o qual implica a seguinte contradição: uma soma enumerável (infinita) da mesma quantidade sé pode ser igual a 0, ou, ou, mas nunca igual a 1. Exercício 121. Mostre que a relação definida em [0, 1] é uma relação de equivaléncia. 23