Exercícios de Probabilidade

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1 USP-FFCLRP Introdução à Teoria de Probabilidade DFM Informática Biomedica Prof. Rafael A. Rosales 1 de março de 2010 Exercícios de Probabilidade Os exercícios marcados com são mais difíceis e podem ser deixados para uma segunda leitura. Cada uma das provas terão uma ou dois perguntas a este nével. Os exercícios marcados com são ainda mais difíceis e alguns serão resolvidos em aula, porém recomendamos a maneira de reto a sua resolução. A seção de suplementos contem tópicos mais avançados e o seu estudo é opcional. 1 Eventos e Espaços amostrais 1.1 Eventos (Conjuntos) Exercício 1. Demonstrar as seguintes identidades utilizando a definição de cada operação, considerando que para quaisquer dois conjuntos A e B, A = B se A B e B A. A B = (A B c ) (A c B) A = (A B) (A B c ) A \ B = A B c A c = Ω \ A A A c = A A c = Ω A A = A A = A (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (A B) C = (A C) (B C) (viii) (A B) C = (A C) (B C) (ix) Exercício 2. (Leis de De Morgan) Seja {A i : i = 1,..., n} uma coleção de eventos de Ω. Mostrar, ( n ) c n A i = A c i, i=1 i=1 ( n ) c n A i = A c i. i=1 i=1 Exercício 3. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equações e frases, unindo cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente 1

2 frase na linguagem de eventos, (a) A B C = A B C (i) A e B ou C são incompatíveis (b) A B C = A (ii) Os eventos A, B, C são idênticos (c) A B C = A (iii) A ocorrência de A implica a de B e C (d) (A B C) \ (B C) = A (iv) A ocorrência de A decorre de B ou C Exercício 4. Sejam A, B, C eventos de Ω. Mostrar que A \ (B \ C) A \ B C. Encontrar uma expreção mais simples para A \ B C. Exercício 5. Sejam A, B e C três eventos em Ω. Encontrar as expressões para os seguintes eventos: (a) aconteceu somente A (b) aconteceram A e B mas não C (c) aconteceram os três eventos (d) aconteceu ao menos um dos eventos (e) aconteceram ao menos dois eventos (f) aconteceu só um dos eventos (g) ocorreram só dois eventos (h) não aconteceu nenhum dos eventos (i) não aconteceram mais de dois eventos Exercício 6. Dois dados são lançados. Sejam os eventos E = {a soma dos dados é impar} 1, F = {pelo menos um dado tem o número 1 na face superior}, e G = { a soma dos dados é 5}. Descreva os eventos E F, E F, F G, E F c, e E F G. 1.2 Espaços amostrais Ω Exercício 7. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguintes experimentos: (i) uma moeda é lançada n vezes (n < ) [Dica: pense em um produto cartesiano. Por que?] (ii) duas bolas são retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas pretas e duas vermelhas. Considere todas as posíveis situações: as bolas podem ser retiradas com reposição ou sem reposição, e a ordem na qual são retiradas as bolas pode ser considerada ou não. (iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitário {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} (iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas. 1 Esta notação é a forma abreviada de {ω Ω : ω que apresentam soma impar}. Em geral A = {ϕ} denota o conjunto dos eventos elementares {ω Ω : ω ϕ}. 2

3 Exercício 8. Um torneio de tênis começa com 2 n competidores e apresenta n jogos. Descrever o espaço Ω de todos os possíves resultados. [Dica: produto cartesiano] 1.3 Seqüência de eventos Exercício 9. Seja A 1, A 2,... uma seqüência de eventos. Defina B n = m=n A m, C n = Neste caso C n A n B n. As seqüências {B n } e {A n } são respectivamente decrescentes e crescentes com limites m=n A m. lim B n = B = B n = A m, lim C n = C = n=1 C n = n=1 m n n=1 n=1 m n A m. Os eventos B e C são chamados lim sup n A n e lim inf n A n respectivamente. (i) Demonstrar a seguinte interpretação para B e C, B = {ω Ω : ω A n para uma infinidade de valores de n}, C = {ω Ω : ω A n para todo n menos uma quantidade finita de valores de n}. (ii) (esta parte realmente é de probabilidade) Se lim sup A n = lim inf A n = A, n n chamamos o evento limite A de lim n A n, ou simplesmente A n A. Demonstrar que se A = lim n A n, então P(A n ) P(A) quando n. 2 Probabilidade Exercício 10. Para os experimentos (i) e (ii) mencionados no exercicio 6, descreva um espaço de probabilidade. Exercício 11. Uma moeda é jogada um número infinito de vezes. Descreva um espaço de probabilidade para este experimento. 3

4 Exercício 12. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que: (i) o número 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um número par, (iii) a soma dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisível por 3. Exercício 13. Dois dados equilibrados são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 12, (ii) a soma dos resultados é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a diferença e impar, (v) o resultado de um dado é menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentes e o menor dos dois números é r, para 1 r 6. [É importante distinguir os dois dados. No caso que isto não seja tomado em conta, o espaço amostral Ω = {(i, j) : 1 i j 6}, apresenta 21 possibilidades, Ω = 21, cada uma com probabilidades diferentes do caso na qual os dados são diferentes.] Exercício 14. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são selecionadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa é selecionada para sair da sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente? Exercício 15. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade de que na n-ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o número de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duas caras, (iv) ocorreram pelo menos duas caras. Exercício 16. Descrever os espaços de probabilidade dos seguintes experimentos: (i) Uma moeda não equilibrada é jogada três vezes, (ii) duas bolas são retiradas sem reposição de uma urna que contem duas bolas brancas e duas pretas, (iii) uma moeda não equilibrada é jogada repetidas vezes até aparecer a primeira cara. Exercício 17. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e B é P(A) + P(B) 2P(A B). Exercício 18. Demonstre as seguintes propriedades ( ) (i) Se P(A n ) = 0 para n = 1, 2,..., então P A n = 0, k=1 ( ) (ii) Se P(A n ) = 1 para n = 1, 2,..., então P A n = 1. Exercício 19. Demonstrar as seguintes desigualdades de Boole, ( n ) n ( n ) n P A i P(A i ), P A i 1 P(A c i) i=1 i=1 Exercício 20. Mostre que se P(A k ) 1 ε para k = 1,..., n, então, ( n P k=1 i=1 A k ) 1 nε. 4 k=1 i=1

5 Exercício 21. Demonstre o seguinte fato: se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são eventos do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A n ) 1 e P(B) p, quando n, então P(A n B n ) p. Exercício 22. Demonstrar que ( n ) n n P A i = P(A i ) P(A i A j ) + i=1 i=1 i<j n i<j<k + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n ). P(A i A j A k ) Exercício 23. Dois dados são jogados, sendo observado o resultado da face superior de cada um. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3, ou 12?, (ii) a soma é émpar, (iii) a diferenéa é émpar, (iv) o produto é émpar. Exercício 24. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de: (i) o resultado contem pelo menos trés caras, (ii) o resultado contem exatamente trés caras, (iii) o resultado contém trés o mais caras consecutivas, (iv) o resultado tem exatamente trés caras consecutivas. Exercício 25. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duas bolas são retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaéo amostral é formado por todos os pares não ordenados de bolas indistinguéveis. (ii) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca? e da segunda branca?. (iii) A metade das bolas são removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restantes uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que esta última seja laranja?. (iii) Um dado honesto com n lados é jogado. Se a r-ésima face é o resultado, r bolas são removidas da urna e colocadas num saco. Qual é a probabilidade de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja? Exercício 26. Um jogo de 4 xécaras e 4 pires contém duas xécaras brancas e dois pires de um cor, e os restantes de outro cor, por exemplo, preto e branco. (i) Qual é a probabilidade de que exatamente uma xécara esteja sobre um pires do mesmo cor?. (ii) Qual é a probabilidade de que duas xécaras estejam sobre pires do mesmo cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que nenhuma xécara esteja sobre um pires do mesmo cor se o jogo consiste de quatro cores diferentes em lugar de sé dois? [Dica: bote primeiro os pires e deixe estes fixos!] Exercício 27. A fim de comeéar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 no primeiro lanéamento. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé no terceiro intento?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de trés intentos?. (iii) Qual é o número de intentos mais prováveis requeridos para obter um 6? Exercício 28. Encontrar a probabilidade de que em 24 laçamentos de dois dados não ocorra o evento (6,6). 5

6 Exercício 29. No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lançamento, (ii) ganhar ou perder antes ou no terceiro lançamento, (iii) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possível fixar o resultado de um dos dados no primeiro lançamento, qual seria o número escolhido por vocé? Exercício 30. Uma urna contem trés tickets marcados com 1, 2 e 3. Se os tickets são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r = 1, 2, 3) tal que na r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r? 3 Probabilidade (Combinatória) Mesmo que seja possível obter a resposta por outros médios, todos os cálculos necessários para obter as probabilidades nesta seção devem utilizar argumentos combinatórios. Exercício 31. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto de n elementos? Exercício 32. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos? (neste caso a ordem não é considerada) Exercício 33. Qual é o número de bijeções de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 34. Qual é o número de todas as relações (não unicamente as bijeções) de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 35. Qual é o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos? Exercício 36. Suponha que vocé tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-éris. Se são escolhida duas meias ao acaso, qual é a probabilidade destas serem do mesmo par? Exercício 37. Um estudante do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bancos de dados, e c de cálculo. Se os livros são colocados numa prateleira ao acaso, qual será a probabilidade dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema não estam separados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabético mas não são necessariamente adjacentes, (iii) os livros sobre o mesmo tema são adjacentes e seguem o ordem alfabético. Exercício 38. Um jogo de cartas é bem embaralhado e uma mão de 13 cartas é oferecida a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogador tenha um â? s, (ii) um jogador tenha todos os asses. [Dica: usualmente em um jogo com cartas, a ordem na qual as cartas são entregues não é importante. Lembre também que as cartas são inicialmente entregues sem reposição. Como contamos os eventos?] 6

7 Exercício 39. Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer em qualquer dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quais é sabido que nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao menos duas destas tenham aniversário em dias consecutivos ou no mesmo dia é p r, onde p r = 1 (365 r 1)! 365 r+1, (2r < 365). (365 2r)! Deduzir que para r = 13, a probabilidade de conseguir dois aniversários consecutivos é 1/2. Exercício 40. Uma urna contem 4n bolas, n das quais são pretas, n roxas, n azuis e n marrons. Se r, r 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que: (i) ao menos uma bola é preta? (ii) exatamente duas bolas são pretas? (iii) existe ao menos uma bola de cada cor? Exercício 41. De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuédas, ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma conter no máximo uma bola? Exercício 42. Um indivéduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k = 1, 2,..., n)? Exercício 43. Dez pessoas são sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas uma ao lado da outra? [Dica: enumere as cadeiras do 1 até o 10 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as quais serão repartidas entre as dez pessoas. O número total de resultados é igual a todas as permutações de 10 elementos. Conte o número de eventos favoráveis.] Exercício 44. Vocé encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas. Um full house consta de trés cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2, 2, 2, 4, 4 ). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quinta carta de qualquer outro valor, por exemplo (5, 5, 5, 5, K ). O que é mais provável, que vocé receba um full house ou uma quadra? [Dica: mesma observação que para o exercício 38] Exercício 45. Seis números são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade dos seguintes eventos (i) A = {os números escolhidos são 1, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é um dos números escolhidos}. [Dica: A ordem das escolhas não é importante.] 7

8 Exercício 46. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso? Exercício 47. Mostrar as seguintes identidades n ( ) n/2 n ( ) n (i) ( ) k = 0. (iii) = 2 n 1, se n é par. k 2k k=0 k=0 n ( ) n/2 n ( ) n (ii) = 2 n. (iv) = 2 n 1, se n é par. k k k=0 k=0 Exercício 48. Considerando as identidades mostrar que k ( )( ) m n (i) j k j j=0 (1 + x) m (1 + x) n = (1 + x) m+n, (1 + x) m (1 + x) n 2 = (1 + x) m n 2, ( m + n = k ). (ii) Exercício 49. Mostrar que ( )( )( ) n n + k n = r r + 2k r + k m ( m ( ) m k k k=1 ( n r + k )( n + k r )( ) ( ) n + k n =. n + 1 m 1 )( ) n + 2k r + 2k e interpretar esta identidade no triângulo de Pascal. O triângulo de de Pascal é apresentado como um arranjo de coeficientes binomiais, C m n, C 0 0 C1 0 C1 1 C2 0 C2 1 C2 2 C3 0 C3 1 C3 2 C3 3 = para C 0 0 = 1, já que por definição 0! = Probabilidade Condicional Exercício 50. Um dado viciado com faces 1, 2, 3 da cor laranja e 4, 5, 6 da cor azul tem probabilidades P(1) = P(3) = P(5) = 1 9, P(2) = P(4) = P(6) = 2 9. Se o dado é lanéado uma vez, qual a probabilidade de que de que a face superior mostre um número par dado que esta é da cor laranja? 8

9 Exercício 51. Dois dados são jogados no cassino, porém e o seu resultado não é mostrado. Suponha que o cassino informa que a face superior de um dos dados é 1, qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior o igual a 5? [Dica: quem é Ω? Se uma das faces é 1, quais dos elementos de Ω não são possíveis? quantos sobram?] Exercício 52. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? Exercício 53. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito? Exercício 54. ( Urna de Polya ) Uma urna contém a bolas azuis e v de cor verde. Uma bola é retirada ao acaso e seu cor é considerado. Subsequentemente a bola é devolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual é a probabilidade dos eventos: (a) a segunda bola é verde, (b) a primeira bola retirada é verde dado que a segunda bola foi verde. (ii) Se V n denota o evento o resultado da n-ésima retirada e verde, mostrar que P(V n ) = P(V 1 ) para todo n 1. (iii) Encontrar a probabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-ésima retirada o resultado é verde. (iv) Mostrar que para quaisquer j, k, P(V k V j ) = P(V j V k ). Exercício 55. T e J decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades T pode ganhar cada buraco com probabilidade p e J com probabilidade q. A probabilidade de empatar é r. O jogo acaba na primeira vez na qual sé um dos dois jogadores ganhe um buraco. (i) Mostrar que a probabilidade u n de que T ganhe antes ou no n-ésimo buraco é u n = p(1 rn ) (1 r). (ii) Dado que T ganha antes ou no n-ésimo buraco, mostrar que: (a) a probabilidade de que o primeiro buraco resultou em empate é r(1 r n 1 ). (1 r n ) (b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado é (1 r) (1 r n ). (iii) Dado a que J ganha, qual é a probabilidade disto acontecer antes do terceiro buraco? 9

10 Exercício 56. Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, uma tem duas coroas e as duas últimas são normais. (i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lanéa. Qual é a probabilidade de que a face inferior da moeda seja cara? (ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iii) O homem fecha seus olhos de novo e lanéa a moeda uma segunda vez. Qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado é cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lanéa. Qual é a probabilidade de que o resultado seja cara? 5 Independéncia de eventos Exercício 57. Se A e B são eventos independentes, mostrar que A c independentes, e então deducir que A c e B c também são independentes. e B são Exercício 58. Seja (Ω, A, P) um espaéo de probabilidade, e A 1,..., A n A eventos independentes com p k = P(A k ), k = 1,..., n. Obtenha a probabilidade de ocorréncia dos seguintes eventos, em termos das probabilidades p k : (i) a ocorréncia de nenhum dos A k, (ii) a ocorréncia de pelo menos um dos A k, (iii) a ocorréncia de exatamente um dos A k, (iv) a ocorréncia de exatamente dois dos A k, (v) a ocorréncia de, no máximo, n 1 dos A k. Exercício 59. (Independéncia a pares não implica independéncia coletiva) Um dado é jogado n vezes. Seja o evento A ij = a i-ésima e a j-ésima jogada tem o mesmo resultado. Mostrar que os eventos {A ij : 1 i < j n} são independentes somente quando considerados por pares, isto é, P(A ij A jn ) = P(A ij )P(A jn ) mas P(A ij A jk A ik ) P(A ij )P(A jk )P(A ik ) se i j k. Exercício 60. Uma moeda honesta é jogada repetidas vezes. Mostrar que os seguintes enunciados são equivalentes ( ): (a) os resultados de lanéamentos diferentes são independentes, (b) dada qualquer seqüência de caras e coroas, a probabilidade de que a seqüência ocorra nos primeiros m lanéamentos é 2 m, sendo m o comprimento da seqüência. Exercício 61. Suponha que ter um menino ou uma menina tem a mesma probabilidade. Suponha também que a Sra. M tem trés filhos. Seja A o evento que a famélia tem filhos de ambos sexos, e B o evento que a famélia apresenta pelo menos uma menina. (i) Mostre que A e B são independentes. (ii) Serão A e B independentes se a probabilidade de ter um menino ou uma menina não são iguais? (iii) O que ocorre se a Sra. M tem quatro filhos? 10

11 Exercício 62. Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C. Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a um acidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de que uma das estradas de A a B esteja aberta dado que não existe nenhuma estrada aberta de B a C. (ii) Encontrar a probabilidade condicional se adicionalmente existe uma estrada direta entre A e C, também bloqueada independentemente das outras com probabilidade p. A p p B p (iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposição entre estas cidades segue o seguinte desenho embaixo? p p C A p p B p C p p D 6 Variáveis Aleatórias Exercício 63. Considere a v.a. discreta X com distribuição de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X 6); (ii) P ( X 4 > 2); (iii) P (X = a), a é um número primo. Exercício 64. Suponha que vocé é convidado a jogar um jogo definido de acordo as seguintes regras: um dos números 2,..., 12 é escolhido ao acaso ao jogar um par de dados e somando os resultados das faces superiores. Vocé ganha 9 reais caso o resultado seja 2, 3, 11, ou 12, ou perde 10 reais se o resultado é 7. No caso contrário a estas duas situações, vocé não perde ou ganha nada. Se ξ denota o valor ganho (ou perdido) no jogo, quais são as probabilidades P (ξ > 0) e P (ξ < 0)? Exercício 65. Seja X uma v.a. discreta com distribuição de probabilidade dada por { c2 x, x N, P (X = x) = 0, x N. onde N = {0, 1, 2,...}, e N é o complemento de N. Determine: (i) O valor da constante c; (ii) P (X 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser émpar). Exercício 66. Considere o lanéamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), x Im(X): (i) X: maior valor observado no lanéamento dos sois dados. (ii) X é a soma dos valores observados. (iii) X é o produto dos valores observados. (iv) X é a diferenéa entre o maior valor observado e o menor valor observado. 11

12 Exercício 67. Seja X uma v.a. cuja função de distribuição é dada por 0, x < 0, 1/3, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1, x 2. Calcular: P ( 1 2 X 3 2 ), P ( 1 2 X < 3 2 ), P ( 1 2 X 1), P ( 1 2 X < 1), P (1 < X < 2), P (1 X 2) e P (X > 1). Exercício 68. Cinco bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 até N, N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a função de distribuição de X. Exercício 69. Quais são os valores da constante C para que as seguintes funções sejam distribuições nos inteiros positivos 1, 2,...? (i) Geométrica: P (X = x) = C2 x. (ii) Logarétmica: P (X = x) = C2 x /x. (iii) Quadrática inversa: P (X = x) = Cx 2. (iv) Poisson modificada : P (X = x) = C2 x /x!. Exercício 70. Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }, com P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1 3. Defina X, Y, Z : Ω R tal que X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 2, Z(ω 2 ) = 2, Z(ω 3 ) = 1. Mostrar que X e Y tem as mesmas distribuições. Encontra a funções de distribuição de X + Y, XY, e X/Y. Exercício 71. Seja X uma v.a. definida em (Ω, A, P), e a uma constante. Mostrar que (i) ax é uma variável aleatória, (ii) X X = 0 é uma variável aleatória sempre igual a cero, e X + X = 2X. Exercício 72. Seja X uma v.a. com função de distribuição F. Qual é a distribuição de Y = ax + b, onde a e b são constantes ( R)? Exercício 73. Seja X uma v.a. e seja g : R R uma função continua e estritamente crescente. Mostrar que Y = g(x) é uma v.a. Exercício 74. O lanéamento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lanéada até aparecer a primeira cara. Seja X o número total de lanéamentos, qual é a probabilidade P (X > m)? Encontrar a função de distribuição de X. 12

13 Exercício 75. Expressar as funções de distribuição de X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X, em termos da função de distribuição F da v.a. X. Exercício 76. Seja X uma variável aleatória com densidade dada por a(1 + x) se 0 < x 1, f(x) = 2/3 se 1 < x 2, 0 caso contrário. (i) Obtenha o valor de a. (ii) P (1/2 < X < 3/2). Exercício 77. Seja OA um segmento de R de comprimento a. Escolhem-se dois pontos P 1 e P 2 em OA de forma aleatória e idependente. Denote por X 1 e X 2 os omprimentos dos segmentos OP 1 e OP 2 respectivamente. Dentre P 1 e P 2 sejam Y 1, o ponto mais próximo da O, e Y 2, o ponto mais próximo a A. Sejam M 1 e M 2 os comprimentos dos segmentos OY 1 e OY 2 respectivamente. (i) Calcule a função de distribuição da variável aleatória M = distância entre P 1 e P 2. (ii) encontre a densidade de M. (iii) Determine a probabilidade de que com três segmentos OY 1, Y 1 Y 2 e Y 2 A seja possível construir um triângulo. [Sugestões: observe que X 1 e X 2 sao variáveis aleatórias independentes distribuídas uniformemente em [0, a], logo (X 1, X 2 ) tem distribuição uniforme no quadrado Q = [0, a] [0, a]. Além disso, M 1 = mín{x 1, X 2 }, M 2 = máx{x 1, X 2 } e M = M 2 M 1 = X 1 X 2.] Exercício 78. Considere um circulo de raio r na origem. Suponha que um ponto do circulo é escolhido ao acaso de maneira uniforme (ou seja, regiões da mesma área tem a mesma chance de conter o ponto). y (ξ 1, ξ 2 ) r x Se ξ 1 e ξ 2 denotam as coordenadas do ponto escolhido, então a densidade conjunta de (ξ 1, ξ 2 ) é { c se x 2 + y 2 r 2 f ξ1,ξ 2 (x, y) = 0 se x 2 + y 2 > r 2. para algum c > 0. (i) Determine o valor da constante c. (ii) Encontre as distribuições marginais de ξ 1 e ξ 2. (iii) Seja D = ξ ξ 2 2 (a distância de (ξ 1, ξ 2 ) a origem). Calcule P (D a). (iv) Calcule E[D]. 13

14 7 Esperança matemática e variância Exercício 79. Mostre, para toda variável aleatória X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X α) = 1, então E[X] α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X β) = 1, então E[X] β. Se X Y, isto é, {w Ω : X(w) Y (w)}, então E[X] E[Y ]. Exercício 80. Seja X uma variável aleatória com E[X 2 ] < e sejam a e b constantes reais. Mostrar que Var(aX +b) = a 2 Var(X). [pode comeéar mostrando que Var(X + b) = Var(X).] Exercício 81. Considere dois lançamentos consecutivos de um dado. Seja o X número de vezes em que é obtida a face 1, x = 0, 1, 2; Y o número de vezes em que é obtida a face 6, y = 0, 1, 2; e Z = X + Y o número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). Será verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? Exercício 82. Para um grupo de n pessoas, determine o número esperado de dias do ano que são aniversário de exatamente k pessoas, k n. [Dica: suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos são equiprováveis.] Exercício 83. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a média e a variância do número de tentativas se (i) as chaves incorretas são descartadas e, consequentemente, não mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas não são separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. Exercício 84. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma até obter uma bola pela segunda vez, isto é, até obter uma bola já retirada anteriormente. Seja X o número total de extrações necessárias para obter esta repetição, (i) obtenha a distribuição de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que E[X] = 2 + ( 1 1 n ) + ( 1 1 n )( 1 2 n ) ( 1 1 n )( 1 2 n ) ( 1 n 1 n Exercício 85. Cada membro de um grupo de n jogadores lanéa um dado (sé uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo lanéamento tem o mesmo resultado, encontrar a média e a variância do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a média e a variância dos pontos totais do grupo se qualquer par de jogadores que lanéam o mesmo número k (k = 1, 2,..., 6), ganham k pontos. Exercício 86. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas são selecionadas ao acaso, calcule o número médio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] 14 )

15 Exercício 87. Mostrar que se Var(X) = 0 então X é constante; isto é, existe a R tal que P (X = a) = 1. [Mostrar primeiro que se E[X 2 ] = 0 então P (X = 0) = 1.] Exercício 88. Seja X uma v.a. discreta e g : R R. Mostrar que E[g(X)] = x g(x)p (X = x) se a soma existe. 8 Esperança condicionada Exercício 89. Mostrar as seguintes propriedades da esperança condicionada (i) E[aY + bz X] = ae[y X] + be[z X], a, b R. (ii) E[Y X] 0 se Y 0. (iii) E[1 X] = 1. (iv) Se X e Y são independentes, então E[Y X] = E[Y ]. (vi) E[Y g(x) X] = g(x)[y X] para qualquer função g apropriada. (v) E{E[Y X, Z] X} = E[Y X] 9 Independéncia de variáveis aleatórias Exercício 90. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY. Mostrar que X, Y e Z são independentes a pares. Serão as trés independentes? Exercício 91. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos inteiros positivos e com a mesma distribuição P (X = x) = 2 x, x = 1, 2,.... Encontrar (i) P (min{x, Y } x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ). (ii) P (Y > X). (iv) P (X ky ), k inteiro positivo. (vi) P (X = ry ), r racional positivo. Exercício 92. Trés jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A... (i) Mostrar que a probabilidade de que A seja o primeiro em lanéar um 6, logo B e finalmente também C é 216/1001. (ii) Mostrar que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lanéado por A, o segundo por B, e o terceiro por C é 46656/ Exercício 93. (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R R. Mostrar que g(x) e h(y ) são independentes. (b) Mostrar que duas v.a. X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) para todo x Im(X), y Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma função de x e outra de y. 15

16 10 Extras Exercício 94. Definimos a função geradora de probabilidade da variável aleatória X (inteira não-negativa) como sendo ϕ X (t) = E[t X ], t R. (i) Verifique que ϕ X (t) = φ X (log(t)) e que φ X (t) = ϕ X (e t ), onde ϕ X (t) é a função geradora de momentos de X. (ii) Mostre que dϕ X (t) = E[X], dt t=1 d n ϕ X (t) t=0 = n! P (X = n). dt n Exercício 95. Seja X uma variável aleatória. A função caracteréstica de X é a função ψ : R C dada por ψ X (t) = E[e itx ], onde i = 1. Lembrando que e itx = cos(tx) + isen(tx) e a + bi 2 = a 2 + b 2, verifique que a função caracteréstica é limitada por 1, isto é, ψ X (t) 1, t R. A função caracteréstica de v.as. é de grande importância em teoria das probabilidades, dentre outros motivos, por ser limitada e portanto sempre existir. [Os pré-requisitos adotados não permitem tratar da função caracteréstica nesse curso!] 11 Modelos Probabilísticos Discretos Exercício 96. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia são defeituosos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (isto é, a fração não-conforme de parafusos na produção é 0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolução do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dez parafusos. (i) Qual a proporção de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devolução de dinheiro? (ii) Supondo que o número de parafusos defeituosos num determinado pacote é independente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha que retornar à companhia para devolução do dinheiro? Exercício 97. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tem distribuição Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipográficos em uma página. (ii) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página. (iii) Suponha agora que o livro em questão possui 200 páginas. Qual a probabilidade de não existir erros tipográficos neste livro? 16

17 Exercício 98. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de dez itens conterá no máximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas distribuições binomial e Poisson. Exercício 99. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson(λ). Determine P (X A), onde A = {0, 2, 4,...}. Exercício 100. Considere X Poisson(λ). (i) Mostre que E[X n ] = λe[(x + 1) n 1 ]. (ii) Calcule E[X 4 ]. (iii) Determine E[X!] para 0 < λ < 1. (iv) Determine E[cos(πX)] e Var(cos(πX)). Exercício 101. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que P (X = k) atinge o valor máximo para k = [(n + 1)p] ([x] denota o maior inteiro menor ou igual a x). Exercício 102. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidade p de sucesso, 0 < p < 1, são realizados até que um total de R sucessos seja acumulado. Seja X o número de ensaios necessários para se obter o total de R sucessos. Determine a distribuição de X (dizemos, neste caso, que X possui distribuição binomial negativa com parâmetros R e p). Exercício 103. Considere a variável aleatória X do exercécio anterior. Determine E[X] e Var(X). [Observe que X = Y 1 + Y Y R, onde Y i tem distribuição geométrica de parâmetro p, 1 i R.] Exercício 104. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em sucesso com probabilidade p, são realizados indefinidamente, qual a probabilidade de que R sucessos ocorram antes de M fracassos? Exercício 105. Sejam X e Y variáveis aleatórias binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. (i) Determine a distribuição de X + Y. (ii) Determine a distribuição condicional de X dado X + Y = n. Exercício 106. Sejam X e Y variáveis aleatórias Poisson com parâmetros λ e µ. Mostrar que: (i) X + Y é Poisson(λ + µ), (ii) a distribuição condicional de X dado X + Y = n é binomial. Encontrar os parâmetros da distribuição em (ii). Exercício 107. Se X geométrica, então P (X = n + k X > n) = P (X = k) para k, n 1. (i) Isto é interpretado como perda de meméria, por que? (ii) Mostre que não existe outra distribuição nos inteiros com esta propriedade. Exercício 108. Uma urna contem N bolas das quais b são azuis e r (= N b) são vermelhas. Uma amostra aleatória de n bolas e retirada sem reposição da urna. Mostrar que o número B de bolas azuis na amostra da distribuição P (B = k) = ( b k )( N b n k ) / ( N n Esta distribuição é a distribuição hipergeométrica com parâmetros N, b e n. 17 ).

18 Exercício 109. (i) Mostrar que se X toma valores inteiros não negativos, então E[X] = P (X > n). n=0 (ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas são removidas ao acaso até aparecer a primeira bola azul. Mostrar que o número esperado de bolas removidas é (b + r + 1)/(b + 1). Exercício 110. Em 1710, J. Arbuthnot observou que o número de meninos nascidos em Londres superou ao número de meninas em 82 anos sucessivos. Supondo que os dois sexos podem ocorrer na mesma proporção, e que 2 82 é pequeno, Arbuthnot atribuiu a diferença observada à Providencia Divina. Suponhamos que o nascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante em cada nascimento é independente dos outros. (i) Mostrar que a probabilidade de que a ménimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos é ( ) 2n p n q n q n q p. onde q = 1 p. (ii) Suponha que nasceram pessoas em 82 anos sucessivos. Mostrar que a probabilidade de que os meninos superem o número de meninas em cada ano é ao menos 0,99. Exercício 111. Sejam X e Y variáveis aleatórias Bernoulli(1/2) independentes. Mostrar que X + Y e X Y são dependentes mas não correlacionadas. 12 Modelos Probabilísticos Contínuos Exercício 112. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,20), calcule a probabilidade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) X 3 < 4. Exercício 113. Se X é uma variável aleatória normal com µ = 3 e σ 2 = 9, determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0). 13 Suplementos 13.1 Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os números racionais, logo [0, 1] Q, são os números racionais em [0, 1]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0, 1, 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 1 6,... 18

19 O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8,... não tem importância (podemos omitir qualquer número que já esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, 1] seja obtido de uma única forma). Definição 1. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência (permitindo repetições). Teorema 1. Q é enumerável. A demonstração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição 1. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração. 2 Se os conjuntos são denotados por S i = {s ij }, i, j 1, então os términos da seqüência formada ao seguir as frechas no desenho s 11, s 12, s 21, s 31, s 22, s 13, s 14,... S 1 s 11, s 12, s 13, s 14,... S 2 s 21, s 22, s 23, s 24,... S 3 s 31, s 32, s 33, s 34,... S 4 s 41, s 42, s 43, s 44,... contam (possívelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos S i. Portanto a união i S i é enumerável. Para provar o Teorema 1, é suficiente tomar S 1, S 2, S 3, S 4,..., como os conjuntos formados pelos números racionais nos intervalos [0, 1], [ 1, 0], [1, 2], [ 2, 1],... respectivamente. Por que sera que que os racionais em [0,1] são enumeráveis? (Exercécio). Teorema 2. R não é enumerável. Demonstração. 3 Mostraremos apenas que os números reais em (0, 1) não são enumeráveis. Seja {s n } uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números s n. Observamos que os números s n podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão 2 O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento diagonal, é devido a Georg Cantor. 3 Esta prova também é devida a G. Cantor. 19

20 decimal, por exemplo, o número 4, pode ser escrito como 4 + 2/10 + 9/ / Em geral qualquer número s R pode ser expressado pela série a k s = a + 10 = a, a 0a k 1 a 2 k=1 onde a k {0, 1,..., 9}, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0, em lugar de 0, para 1/5. Seja s 1 = 0, a 11 a 12 a s 2 = 0, a 21 a 22 a s 3 = 0, a 31 a 32 a Se a nn 1 seja b n = 1 e se a nn = 1 seja b n = 2. Isto define b n para qualquer n 1. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b 1 b 2 b 3... converge a um número real b em (0, 1) o qual é diferente de qualquer s n, sendo que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {s n } é dada pelos números s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = logo a 11 = 2 1 b 1 = 1 a 22 = 3 1 b 2 = 1 a 33 = 1 b 3 = 2 a 44 = 5 1 b 4 = 1 Assim b = 0, (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = s N, para algum N N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de s N no N-ésimo decimal. Concluémos que não é possível dispor numa seqüência todos os números em (0,1), isto é, R não é enumerável. Exercício 114. Será que o Teorema 1 e o Teorema 2 juntos permitem determinar se o conjunto dos números irracionais é enumerável o não? (Qual é a definição de um número irracional?) Exercício 115. Considere o espaéo amostral Ω = {0, 1} N. Isto é, Ω tem eventos elementares ω k, k 1, da forma ω k = (a 1, a 2, a 3,...), onde a i {0, 1} para i N (ou seja, Ω contem todas as seqüências infintas de 0 s e 1 s). Será Ω enumerável? [Dica: revise cuidadosamente o Teorema 2] Exercício 116. Seja N o conjunto dos números naturais e S 1, S 2, S 3 uma seqüência dos subconjuntos de N. Construa uma seqüência de N que seja diferente de S n para cada n 1. (Vocé estara demonstrando que todos os subconjuntos de N formam um conjunto não enumerável!) 20

21 13.2 σ-álgebras Por que necessitamos de uma σ-álgebra? Mais especificamente, por que não podemos simplesmente considerar todos os possíveis subconjuntos de Ω para definir P? Do exercício?? sabemos que isto é possível quando Ω é enumerável, porém como veremos a continuação isto não acontece se Ω não é enumerável. Considere Ω = [0, 1] (obviamente não enumerável, veja a demosntração do Teorema 2), e suponha que temos interesse em definir uma probabilidade P neste conjunto. Seguindo a prescrição usual, fazemos P([0, 1]) = P(Ω) = 1. (1) Se assumimos que P é simétrica, então P([0, 1 2 ]) = 1 2, ou, por exemplo, P([ 3 4, 7 8 ]) = 1 8. Mais geralmente, sob simetria, Assim, em particular, se a = b, então P([a, b]) = b a, 0 a b 1. (2) P([a, a]) = P({a}) = 0. (3) Pelo outro lado, se [a, b ] e [a, b] são dois conjuntos disjuntos de [0, 1], então imediatamente de (2) temos que P ( [a, b ] [a, b] ) = P([a, b ]) + P([a, b]), (4) isto é, P é finitamente aditiva. É possível estender P a operações enumeráveis (estas permitem calcular as probabilidades de operações infinitamente delicadas como um limite). Sejam A i = [a i, b i ], i = 1, 2,... um conjunto enumerável de intervalos disjuntos de [0, 1], então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... (5) Neste caso dézimos que P é enumeravelmente aditiva. Observamos agora que não é possível estender P a uniões não enumeráveis, pois claramente P([0, 1]) = P(x) x [0,1] é uma contradição uma vez que lado esquerdo é 1, porém o lado direito é 0. Suponhamos que os conjuntos A i em (5) formam uma partição de Ω, isto é, Ω = i=1a i. É importante ressaltar que neste caso não há nenhum problema pois o intervalo [0, 1] é uma união enumerável. Seja A = [a, b]. Sob simetria de P, observamos que se transladamos A por uma quantidade fixa τ, a probabilidade do intervalo transladado devera ser igual a probabilidade do intervalo original. Denotamos a translação de A por τ como A τ = {a + τ : a A, a + τ 1} {a + τ 1 : a A, a + τ > 1}, 21

22 assim, P(A τ) = P(A) (6) O préximo resultado mostra que não é possível definir uma probabilidade P sobre todos os conjuntos de [0, 1], se desejamos que esta seja consistente com as propriedades (2), (5) e (6). Equivalentemente, existem conjuntos em [0,1], aos quais não podemos outorgar um valor de probabilidade de maneira consistente, se queremos que a probabilidade satisfaga as condições (2), (5) e (6). Proposição 2. Não é possível definir uma probabilidade P, a qual satisfaz simultaneamente (2), (5) e (6). Demonstração. Suponhamos que P(A) pode ser definida para qualquer conjunto A [0, 1]. Consideramos primeiro a seguinte relação de equivaléncia em [0, 1]. Sejam x e y pontos em [0, 1], então x y se e somente se y x é racional. Esta relação determina uma partição em [0, 1] de classes de equivaléncia. Seja H um conjunto de [0, 1] o qual consiste de um elemento de cada uma destas classes de equivaléncia (é possível formar este conjunto pelo axioma da escolha; um resultado fundamental da teoria dos conjuntos). Suponhamos que 0 H (se 0 H, então podemos substitui-lo por 1/2). Sendo que H contem um elemento de cada uma das classes de equivaléncia, observamos que cada ponto em (0, 1] esta contido na união (H τ) τ [0,1) τ racional das translações de H. Dado que H contém sé um ponto de cada classe de equivaléncia, então os conjuntos H τ para τ [0, 1) racional são todos disjuntos. Assim, da aditividade enumerável temos que P ( (0, 1] ) = P(H τ). τ [0,1) τ racional Porém, da invariância por translação temos que P(H τ) = P(H), logo 1 = P ( (0, 1] ) = P(H), τ [0,1) τ racional o qual implica a seguinte contradição: uma soma enumerável (infinita) da mesma quantidade sé pode ser igual a 0, ou, ou, mas nunca igual a 1. Exercício 117. Mostre que a relação definida em [0, 1] é uma relação de equivaléncia. 22