Matemática Aplicada a Negócios Prof. Rafael A. Rosales 7 de setembro de 2016

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1 USP-FFCLRP Introdução a Estatística e Probabilidade I DCM Matemática Aplicada a Negócios Prof. Rafael A. Rosales 7 de setembro de 2016 Sumário 1 Eventos e Espaços amostrais Eventos (Conjuntos) Espaços amostrais Ω Sequência de eventos Álgebras e σ-álgebras Probabilidade Espaços de probabilidade Simetria Propriedades adicionais de P Probabilidade (Combinatória) 7 4 Probabilidade Condicional 9 5 Independência de eventos 11 6 Variáveis Aleatórias Vetores aleatórios Esperança matemática e variância 16 8 Esperança condicional 17 9 independência de variáveis aleatórias Extras Modelos Probabilísticos Discretos Modelos Probabilísticos Contínuos Sugestões Suplementos Conjuntos enumeráveis σ-álgebras?

2 133 Exercícios de Probabilidade Os exercícios marcados com são mais difíceis e podem ser deixados para uma segunda leitura. Cada uma das provas terão uma ou dois perguntas a este nível. Os exercícios marcados com são ainda mais difíceis e alguns serão resolvidos em aula, porém recomendamos a maneira de reto a sua resolução. A seção de suplementos contem tópicos mais avançados e o seu estudo é opcional. 1 Eventos e Espaços amostrais 1.1 Eventos (Conjuntos) Exercício 1. Demonstrar as seguintes identidades utilizando a definição de cada operação, considerando que para quaisquer dois conjuntos A e B, A = B se A B e B A. A B = (A B c ) (A c B) A = (A B) (A B c ) A \ B = A B c A c = Ω \ A A A c = A A c = Ω A A = A A = A (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (A B) C = (A C) (B C) (viii) (A B) C = (A C) (B C) (ix) Exercício 2. (Leis de De Morgan) Seja {A i : i = 1,..., n} uma coleção de eventos de Ω. Mostre, ( n ) c n ( n ) c n A i = A c i, A i = A c i. i=1 i=1 Exercício 3. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equações e frases, unindo cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na linguagem de eventos, (a) A B C = A B C (i) A e B ou C são incompatíveis (b) A B C = A (ii) Os eventos A, B, C são idênticos (c) A B C = A (iii) A ocorrência de A implica a de B e C (d) (A B C) \ (B C) = A (iv) A ocorrência de A decorre de B ou C Exercício 4. Sejam A, B, C eventos de Ω. Mostre que A\(B \C) A\B C. Encontrar uma expressão mais simples para A \ B C. Exercício 5. Sejam A, B e C três eventos em Ω. Encontrar as expressões para os seguintes eventos: (a) aconteceu somente A (b) aconteceram A e B mas não C (c) aconteceram os três eventos i=1 i=1 2

3 (d) aconteceu ao menos um dos eventos (e) aconteceram ao menos dois eventos (f) aconteceu só um dos eventos (g) ocorreram só dois eventos (h) não aconteceu nenhum dos eventos (i) não aconteceram mais de dois eventos Exercício 6. Dois dados são lançados. Sejam os eventos E = {a soma dos dados é impar} 1, F = {pelo menos um dado tem o número 1 na face superior}, e G = {a soma dos dados é 5}. Descreva os eventos E F, E F, F G, E F c, e E F G. 1.2 Espaços amostrais Ω Exercício 7. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguintes experimentos: (i) uma moeda é lançada n vezes (n < ) (ii) duas bolas são retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas pretas e duas vermelhas. Considere todas as posíveis situações: as bolas podem ser retiradas com reposição ou sem reposição, e a ordem na qual são retiradas as bolas pode ser considerada ou não. (iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitário {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} (iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas. Exercício 8. Um torneio de tênis começa com 2 n competidores e apresenta n jogos. Descrever o espaço Ω de todos os possíves resultados. 1.3 Sequência de eventos Exercício 9. Seja A 1, A 2,... uma seqüência de eventos. Defina B n = m=n A m, C n = Observe que neste caso C n A n B n. As seqüências {B n } e {A n } são respectivamente decrescentes e crescentes com limites m=n A m. lim B n = B = B n = A m, n=1 lim C n = C = C n = n=1 m n n=1 n=1 m n A m. 1 Esta notação é a forma abreviada de {ω Ω : ω que apresentam soma impar}. Em geral {ϕ} denota o conjunto dos eventos elementares {ω Ω : ω ϕ} onde ϕ é um presugestãodo qualquer (da lógica de primeira ordem). 3

4 Os eventos B e C são chamados lim sup n A n e lim inf n A n respectivamente. Demonstrar a seguinte interpretação para B e C, (i) B = {ω Ω : ω A n para uma infinidade de valores de n}, C = {ω Ω : ω A n para todo n menos uma quantidade finita de valores de n}. 1.4 Álgebras e σ-álgebras Definição 1. Seja Ω um conjunto. A familia A de conjuntos de Ω é uma álgebra de Ω se: (i) A, (ii) A A A c A, (iii) sejam A 1, A 2,..., A n conjuntos em A, então n i=1 A i A. Dezimos que A é uma sigma álgebra (σ-álgebra) de Ω se A satisfaze as condições (i), (ii) e em lugar de (iii) temos que para quaisquer A 1, A 2,... A, i=1 A i A A diferença entre álgebra e σ-álgebra é que a primeira só apresenta conjuntos formados por operações finitas. A noção de σ-álgebra será raramente utilizada neste curso, porém é necessária para desenvolver a teoria de probabilidade de maneira consistente. Uma justificativa relativamente informal disto é apresentada no apêndice. Exercício 10. Um dado equilibrado é jogado uma vez, e é observado o número da face superior. Os resultados possíveis são Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 6 } = {1, 2,..., 6}. São considerados os seguintes eventos: A= o resultado é par, B= o resultado é impar, C= o resultado é um número primo. Explique por que {, A, B, Ω} é uma álgebra de Ω, embora {, A, Ω} não é uma álgebra de Ω. Exercício 11. Mostre que {, Ω} é uma álgebra (de Ω). Exercício 12. Seja A um evento de Ω. Mostre que A = {, A, A c, Ω} é uma álgebra. Exercício 13. Sejam A e B dois conjuntos em A. Mostre que A contem os conjuntos A B, A \ B e A B. Exercício 14. Mostre que uma σ-álgebra (de Ω) também é uma álgebra (de Ω). Exercício 15. Seja A uma σ-álgebra dos subconjuntos de Ω e suponha que B A. Mostre que F B = {A B : A A } é uma σ-álgebra dos subconjuntos de B. Exercício 16. Sejam A e F duas σ-álgebras dos subconjuntos de Ω. (i) Seja D = A F a coleção dos subconjuntos de Ω em ambos A e F. Mostre que D é uma σ-álgebra. (ii) Mostre que A F, a coleção de subconjuntos de Ω pertencentes a A ou F, não é necessáriamente uma σ-álgebra.[sugestão: utilice um contra exemplo] (iii) Generalize o item (i): Se F i, i = 1,..., n são σ-álgebras de partes de Ω, então n i=1 F i também é uma σ-álgebra. (iv) Seja B uma classe de subconjuntos de Ω. Mostre que existe pelo menos uma σ-álgebra que contem B. [Sugestão: qual a maior classe de subconjuntos de Ω?] (v) Visando a plena utilização dos itens (b) e (c), como você definiria a menor σ- álgebra contendo B, onde B é uma classe de subconjuntos de Ω? Exercício 17. Mostre que a família de todos os subconjuntos de um conjunto finito é uma álgebra. [Sugestão: se A esta formado por todos os subconjuntos de Ω, então A A realmente significa A é um subconjunto de Ω.] 4

5 2 Probabilidade 2.1 Espaços de probabilidade Exercício 18. Descreva um espaço de probabilidade para os experimentos (i) e (ii) mencionados no exercício 7. Exercício 19. Uma moeda é lançada repetidas vezes 2 Descreva um espaço de probabilidade para este experimento. Exercício 20. Descreva o espaço de probabilidade do seguinte experimento: uma moeda não equilibrada é jogada repetidas vezes até aparecer a primeira cara. 2.2 Simetria Exercício 21. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que: (i) o número 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um número par, (iii) a soma dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisível por 3. Exercício 22. Dois dados equilibrados são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 12, (ii) a soma dos resultados é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a diferença e impar, (v) o resultado de um dado é menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentes e o menor dos dois números é r, para 1 r 6. [É importante distinguir os dois dados. No caso que isto não seja tomado em conta, o espaço amostral Ω = {(i, j) : 1 i j 6}, apresenta 21 possibilidades, Ω = 21, cada uma com probabilidades diferentes do caso no qual os dados são diferentes.] Exercício 23. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são selecionadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa é selecionada para sair da sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente? Exercício 24. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade de que na n-ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o número de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duas caras, (iv) ocorreram pelo menos duas caras. Exercício 25. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de: (i) o resultado contem pelo menos três caras, (ii) o resultado contem exatamente três caras, (iii) o resultado contém três o mais caras consecutivas, (iv) o resultado tem exatamente três caras consecutivas. Exercício 26. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duas bolas são retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaço amostral é formado por todos os pares não ordenados de bolas indistinguíveis. Suponha agora que é considerada a ordem da escolha e que as bolas da mesma cor são distinguíveis (por exemplo, estas se encontram numeradas). (ii) Descreva o espaçõ amostral neste caso. (iii) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca? (iv) Qual é a probabilidade das duas serem brancas? (v) 2 o qual significa que deve ser considerada uma sequência infinita de tentativas. 5

6 A metade das bolas são removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restantes uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que esta última seja laranja?. (vi) Um dado honesto com n lados é jogado. Se a r-ésima face é o resultado, r bolas são removidas da urna e colocadas num saco. Qual é a probabilidade de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja? Exercício 27. Um jogo de 4 xícaras e 4 pires contém duas xícaras brancas e dois pires de uma cor, e os restantes de outra cor, por exemplo, preto e branco. (i) Qual é a probabilidade de que exatamente uma xícara esteja sobre um pires da mesma cor?. (ii) Qual é a probabilidade de que duas xícaras estejam sobre pires da mesma cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que nenhuma xícara esteja sobre um pires da mesma cor se o jogo consiste de quatro cores diferentes em lugar de só dois? [Sugestão: coloque primeiro os pires e deixe estes fixos! (pense por que não faz diferença se também consideramos o casos onde os pires são colocados ao acaso em qualquer disposição)] Exercício 28. Para começar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 no primeiro lançamento. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé no terceiro intento?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de três intentos?. (iii) Qual é o número de intentos mais prováveis requeridos para obter um 6? Exercício 29. Encontrar a probabilidade de que em 24 laçamentos de dois dados não ocorra o evento (6,6). Exercício 30. No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lançamento, (ii) ganhar ou perder antes ou no terceiro lançamento, (iii) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possível fixar o resultado de um dos dados no primeiro lançamento, qual seria o número escolhido por você? Exercício 31. Uma urna contem três tickets marcados com 1, 2 e 3. Se os tickets são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r = 1, 2, 3) tal que na r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r? 2.3 Propriedades adicionais de P Exercício 32. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e B é P(A)+ P(B) 2P(A B). Exercício 33. Demonstrar as seguintes desigualdades, conhecidas como as desigualdades de Boole, ( n ) n ( n ) n P A i P(A i ), P A i 1 P(A c i) i=1 i=1 i=1 Exercício 34. Demonstre as seguintes propriedades ( (i) Se P(A n ) = 0 para n = 1, 2,..., então P k=1 i=1 A n ) = 0, ( ) (ii) Se P(A n ) = 1 para n = 1, 2,..., então P A n = 1. 6 k=1

7 Exercício 35. Mostre que se P(A k ) 1 ε para k = 1,..., n, então, ( n P k=1 A k ) 1 nε. Exercício 36. Demonstre o seguinte fato: se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são eventos do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A n ) 1 e P(B) p, quando n, então P(A n B n ) p. Exercício 37. Se lim sup A n = lim inf A n = A, n n chamamos o evento limite A de lim n A n, ou simplesmente A n A. Demonstrar que se A = lim n A n, então P(A n ) P(A) quando n. Exercício 38. Demonstre ( n P i=1 A i ) = n P(A i ) i=1 n P(A i A j ) + i<j n i<j<k + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n ). P(A i A j A k ) 3 Probabilidade (Combinatória) Mesmo que seja possível obter a resposta por outros médios, todos os cálculos necessários para obter as probabilidades nesta seção devem utilizar argumentos combinatórios. Exercício 39. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto de n elementos? Exercício 40. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos? (neste caso a ordem não é considerada) Exercício 41. Qual é o número de bijeções de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 42. Qual é o número de todas as relações (não unicamente as bijeções) de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 43. Qual é o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos? Exercício 44. Suponha que você tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-íris. Se são escolhida duas meias ao acaso, qual é a probabilidade destas serem do mesmo par? Exercício 45. Um estudante do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bancos de dados, e c de cálculo. Se os livros são colocados numa prateleira ao acaso, qual será a probabilidade dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema não estam separados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabético mas não são necessariamente adjacentes, (iii) os livros sobre o mesmo tema são adjacentes e seguem o ordem alfabético. 7

8 Exercício 46. Um jogo de cartas é bem embaralhado e uma mão de 13 cartas é oferecida a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogador tenha um ás, (ii) um jogador tenha todos os asses. [Sugestão: usualmente em um jogo com cartas, a ordem na qual as cartas são entregues não é importante. Lembre também que as cartas são inicialmente entregues sem reposição. Como contamos os eventos?] Exercício 47. Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer em qualquer dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quais é sabido que nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao menos duas destas tenham aniversário em dias consecutivos ou no mesmo dia é p r, onde p r = 1 (365 r 1)! 365 r+1, (2r < 365). (365 2r)! Deduzir que para r = 13, a probabilidade de conseguir dois aniversários consecutivos é 1/2. Exercício 48. Uma urna contem 4n bolas, n das quais são pretas, n roxas, n azuis e n marrons. Se r, r 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que: (i) ao menos uma bola é preta? (ii) exatamente duas bolas são pretas? (iii) existe ao menos uma bola de cada cor? Exercício 49. De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuídas, ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma conter no mínimo uma bola? Exercício 50. Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k = 1, 2,..., n)? Exercício 51. Dez pessoas são sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas uma ao lado da outra? [Sugestão: enumere as cadeiras do 1 até o 10 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as quais serão repartidas entre as dez pessoas. O número total de resultados é igual a todas as permutações de 10 elementos. Conte o número de eventos favoráveis.] Exercício 52. Você encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas. Um full house consta de três cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2, 2, 2, 4, 4 ). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quinta carta de qualquer outro valor, por exemplo (5, 5, 5, 5, K ). O que é mais provável, que você receba um full house ou uma quadra? [Sugestão: mesma observação que para o exercício 46] Exercício 53. Seis números são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade dos seguintes eventos (i) A = {os números escolhidos são 1, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é um dos números escolhidos}. [Sugestão: A ordem das escolhas não é importante.] Exercício 54. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso? Exercício 55. Um elevador carega 7 pessoas e para subsequentemente em 10 andares. (i) Qual a probabilidade de que não desça mais de 1 pessoa no mesmo andar? (ii) Os 8

9 diferentes arranjos de descarga podem ser denotados como 3, 2, 2, caso 3 pessoas tenham descido juntas em um andar, duas tenham descido juntas em outro andar e finalmente as duas restantes em outro andar. Calcule a probabilidade dos quinze possíveis arranjos de descarga desde a configuração 7 até a 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Exercício 56. Mostre as seguintes identidades n ( ) n/2 n ( ) n (i) ( ) k = 0. (iii) = 2 n 1, se n é par. k 2k k=0 k=0 n ( ) n/2 n ( ) n (ii) = 2 n. (iv) = 2 n 1, se n é par. k k k=0 Exercício 57. Considerando as identidades mostrar que (i) k j=0 ( )( ) m n = j k j k=0 (1 + x) m (1 + x) n = (1 + x) m+n, (1 + x) m (1 + x) n 2 = (1 + x) m n 2, ( m + n k ). (ii) Exercício 58. Mostre que ( )( )( ) n n + k n = r r + 2k r + k m ( m ( ) m k k k=1 ( n r + k )( n + k r )( ) ( ) n + k n =. n + 1 m 1 )( ) n + 2k r + 2k e interpretar esta identidade no triângulo de Pascal. O triângulo de de Pascal é apresentado como um arranjo de coeficientes binomiais, C m n, Onde C m n C 0 0 C 0 1 C 1 1 C 0 2 C 1 2 C 2 2 C 0 3 C 1 3 C 2 3 C = ( ) n m = n! m!(n m)!, e C0 0 = 1, já que por definição 0! = 1. = Probabilidade Condicional Exercício 59. Um dado viciado com faces 1, 2, 3 da cor laranja e 4, 5, 6 da cor azul tem probabilidades P(1) = P(3) = P(5) = 1 9, P(2) = P(4) = P(6) = 2 9. Se o dado é lançado uma vez, qual a probabilidade de que de que a face superior mostre um número par dado que esta é da cor laranja? 9

10 Exercício 60. Dois dados são jogados no cassino, porém e o seu resultado não é mostrado. Suponha que o cassino informa que a face superior de um dos dados é 1, qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior o igual a 5? [Sugestão: quem é Ω? Se uma das faces é 1, quais dos elementos de Ω não são possíveis? quantos sobram?] Exercício 61. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? Exercício 62. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito? Exercício 63. ( Urna de Polya ) Uma urna contém a bolas azuis e v de cor verde. Uma bola é retirada ao acaso e seu cor é considerado. Subsequentemente a bola é devolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual é a probabilidade dos eventos: (a) a segunda bola é verde, (b) a primeira bola retirada é verde dado que a segunda bola foi verde. (ii) Se V n denota o evento o resultado da n-ésima retirada e verde, mostrar que P(V n ) = P(V 1 ) para todo n 1. (iii) Encontrar a probabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-ésima retirada o resultado é verde. (iv) Mostre que para quaisquer j, k, P(V k V j ) = P(V j V k ). Exercício 64. Achiles e Orfeu (A e O, em breve) decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades A pode ganhar cada buraco com probabilidade 0 < p < 1 e O com probabilidade 0 < q < 1 (q não é necessáriamente 1 p). A probabilidade de que um buraco qualquer seja empatado é 0 < r < 1. Suponha que o jogo acaba a primeira vez na qual A ou O ganhe um buraco do outro jogador. (i) Mostre que a probabilidade u n de que A ganhe antes ou no n-ésimo buraco é u n = p(1 rn ) (1 r). (ii) Dado que A ganha antes ou no n-ésimo buraco, mostrar que: (a) a probabilidade de que o primeiro buraco resultou em empate é r(1 r n 1 ) (1 r n. ) (b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado é (1 r) (1 r n ). (iii) Dado a que O ganha, qual é a probabilidade disto acontecer antes do terceiro buraco? 10

11 Exercício 65. Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, uma tem duas coroas e as duas últimas são normais. (i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lança. Qual é a probabilidade de que a face inferior da moeda seja cara? (ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iii) O homem fecha seus olhos de novo e lança a moeda uma segunda vez. Qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado é cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lança. Qual é a probabilidade de que o resultado seja cara? 5 Independência de eventos Exercício 66. Se A e B são eventos independentes, mostrar que A c e B são independentes, e então deducir que A c e B c também são independentes. Exercício 67. Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade, e A 1,..., A n A eventos independentes com p k = P(A k ), k = 1,..., n. Obtenha a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos, em termos das probabilidades p k : (i) a ocorrência de nenhum dos A k, (ii) a ocorrência de pelo menos um dos A k, (iii) a ocorrência de exatamente um dos A k, (iv) a ocorrência de exatamente dois dos A k, (v) a ocorrência de, no máximo, n 1 dos A k. Exercício 68. (Independência a pares não implica independência coletiva) Um dado é jogado n vezes. Seja o evento A ij = a i-ésima e a j-ésima jogada tem o mesmo resultado. Mostre que os eventos {A ij : 1 i < j n} são independentes somente quando considerados por pares, isto é, P(A ij A jn ) = P(A ij )P(A jn ) mas P(A ij A jk A ik ) P(A ij )P(A jk )P(A ik ) se i j k. Exercício 69. Uma moeda honesta é jogada repetidas vezes. Mostre que os seguintes enunciados são equivalentes ( ): (a) os resultados de lançamentos diferentes são independentes, (b) dada qualquer seqüência de caras e coroas, a probabilidade de que a seqüência ocorra nos primeiros m lançamentos é 2 m, sendo m o comprimento da seqüência. Exercício 70.. Suponha que uma famiília tem três filhos e que a probabilidade de qualquer um ser menino seja p independentemente dos outros (a probabilidade de ser menina é q = 1 p). Seja A o evento que a família tem filhos de ambos sexos, pelo menos um menino e pelo menos uma menina, e B o evento que a família apresenta no máximo uma menina. (i) Mostre que A e B são independentes se, e somente se p = q = 1 2. (ii) O que ocorre se a famiília tem quatro filhos, isto é, existem p e q tais que A e B são independentes? (A dificuldade no ultimo item é essencialmente numérica) Exercício 71. Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C. Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a um acidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de que uma das estradas de 11

12 A a B esteja aberta dado que não existe nenhuma maneira de ir de A até C. (ii) Suponha que exista uma estrada adicional diretamente desde A até C, a qual pode estar interditada independentemente das outras com probabilidade p. Qual é a probabilidade condicional de que exista uma estrada de A até B dado que não existe maneira de chegarmos de A até C? A p p B p (iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposição entre estas cidades segue o seguinte desenho embaixo? p p C A p p B p C p p D [Sugestão para (iii): Considere a formula de probabilidade total condicionando pelo evento no qual B comunica com C ou pelo evento B não comunica com C.] 6 Variáveis Aleatórias Exercício 72. Considere a v.a. discreta X com distribuição de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X 6); (ii) P ( X 4 > 2); (iii) P (X = a), a é um número primo. Exercício 73. Suponha que você é convidado a jogar um jogo definido de acordo as seguintes regras: um dos números 2,..., 12 é escolhido ao acaso ao jogar um par de dados e somando os resultados das faces superiores. Você ganha 9 reais caso o resultado seja 2, 3, 11, ou 12, ou perde 10 reais se o resultado é 7. No caso contrário a estas duas situações, você não perde ou ganha nada. Se ξ denota o valor ganho (ou perdido) no jogo, quais são as probabilidades P (ξ > 0) e P (ξ < 0)? Exercício 74. Seja X uma v.a. discreta com distribuição de probabilidade dada por { c2 x, x N, P (X = x) = 0, x N. onde N = {0, 1, 2,...}, e N é o complemento de N. Determine: (i) O valor da constante c; (ii) P (X 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser ímpar). Exercício 75. Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), x Im(X): (i) X: maior valor observado no lançamento dos sois dados. (ii) X é a soma dos valores observados. (iii) X é o produto dos valores observados. (iv) X é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado. 12

13 Exercício 76. Seja X uma v.a. cuja função de distribuição é dada por 0, x < 0, 1/3, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1, x 2. Calcular: P ( 1 2 X 3 2 ), P ( 1 2 X < 3 2 ), P ( 1 2 X 1), P ( 1 2 P (1 X 2) e P (X > 1). X < 1), P (1 < X < 2), Exercício 77. Cinco bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 até N, N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a função de distribuição de X. Exercício 78. Quais são os valores da constante C para que as seguintes funções sejam distribuições nos inteiros positivos 1, 2,...? (i) Geométrica: P (X = x) = C2 x. (ii) Logarítmica: P (X = x) = C2 x /x. (iii) Quadrática inversa: P (X = x) = Cx 2. (iv) Poisson modificada : P (X = x) = C2 x /x!. Exercício 79. Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }, com P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1 3. Defina X, Y, Z : Ω R tal que X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 2, Z(ω 2 ) = 2, Z(ω 3 ) = 1. Mostre que X e Y tem as mesmas distribuições. Encontra a funções de distribuição de X + Y, XY, e X/Y. Exercício 80. Seja X uma v.a. definida em (Ω, A, P), e a uma constante. Mostre que (i) ax é uma variável aleatória, (ii) X X = 0 é uma variável aleatória sempre igual a cero, e X + X = 2X. Exercício 81. Seja X uma v.a. com função de distribuição F. Qual é a distribuição de Y = ax + b, onde a e b são constantes ( R)? Exercício 82. Seja X uma v.a. e seja g : R R uma função continua e estritamente crescente. Mostre que Y = g(x) é uma v.a. Exercício 83. O lançamento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lançada até aparecer a primeira cara. Seja X o número total de lançamentos, qual é a probabilidade P (X > m)? Encontrar a função de distribuição de X. Exercício 84. Expressar as funções de distribuição de X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X, em termos da função de distribuição F da v.a. X. 13

14 Exercício 85. Seja X uma variável aleatória com densidade dada por a(1 + x) se 0 < x 1, f(x) = 2/3 se 1 < x 2, 0 caso contrário. (i) Obtenha o valor de a. (ii) P (1/2 < X < 3/2). Exercício 86. Seja Ω = [0, 1] [0, 1] o quadrado unitário. Suponha que um ponto ω Ω é escolhido ao acaso. (i) Seja X(ω) a área do triangulo formado pelo ponto ω conforme mostrado na figura (i) abaixo. Determine a função de distribuição e a densidade de X. (ii) Seja D(ω) a distancia entre ω Ω e o lado mais próximo do quadrado. Determine a função de distribuição de D. (Sugestão: a área achurada na figura (ii) corresponde aos pontos com distância menor que d do lado mais próximo do quadrado unitário.) ω ω d d (i) (ii) Exercício 87. Seja ξ uma variável aleatória continua com função de distribuição F ξ, e η, θ duas variáveis aleatórias definidas por η = ξ 2, θ = e ξ. Obtenha as funções F η, f η, F θ e f θ em função de F ξ e f ξ. Exercício 88. Uma moeda é lançada de modo que se o resultado é cara você perde dois reais e se o resultado é coroa você deve girar uma roda a qual mostrara o valor a ser ganho entre 0 e 10 R$ com probabilidade uniforme. Se apos de lançar a moeda o seu capital é de X reais, qual é a função de distribuição de X? Calcule P (X 5). 6.1 Vetores aleatórios A resolução dos problemas nesta seção requere que você saiba trabalhar com integrais duplas (você ja fez ou esta fazendo Cálculo II). Se este não for o caso, continue com os problemas da próxima seção. Exercício 89. As variáveis aleatórias ξ e η tem densidade conjunta { Kx a, se x < 1, y < 1, x + y > 1, a > 1, f ξ,η (x, y) 0, caso contrário. (i) Calcule o valor da constante K. (ii) Determine a função de distribuição conjunta F ξ,η (x, y). (iii) Mostre que é possível construir um triangulo com lados ξ, η, 2 ξ η com probabilidade 1. (iv) Mostre que o angulo oposto ao lado de comprimento η é obtuso com probabilidade 1 x a+1 x a+2 K dx. 2 x (v) Se a = 0, mostre que a probabilidade em (iv) é 3 4 log

15 Exercício 90. (transformação a coordenadas poalres) Suponha que Z = (X, Y ) apresenta distribuição uniforme no disco circular de raio 1, isto é, f X,Y (x, y) = 1 π, quando x2 + y 2 = 1. Mostre que a densidade conjunta das variáveis aleatórias R = r(x, Y ), Θ = θ(x, Y ) determinadas pelas transformaçï 1 2 es r = (x2 + y 2 ) 1/2, θ = tan 1 (y/x) com inversas x = r cos(θ) e y = rsen(θ), é f R,Θ (r, θ) = r, quando 0 r 1, 0 < θ 2π. π [Sugestão: utilice o teorema geral de troca de variáveis visto em Cálculo 2.] Exercício 91. Seja OA um segmento de R de comprimento a. Escolhem-se dois pontos P 1 e P 2 em OA de forma aleatória e idependente. Denote por X 1 e X 2 os omprimentos dos segmentos OP 1 e OP 2 respectivamente. Dentre P 1 e P 2 sejam Y 1, o ponto mais próximo da O, e Y 2, o ponto mais próximo a A. Sejam M 1 e M 2 os comprimentos dos segmentos OY 1 e OY 2 respectivamente. (i) Calcule a função de distribuição da variável aleatória M = distï 1 2 ncia entre P 1 e P 2. (ii) encontre a densidade de M. (iii) Determine a probabilidade de que com três segmentos OY 1, Y 1 Y 2 e Y 2 A seja possível construir um triï 1 2 ngulo. [Sugestï 1 2 es: observe que X 1 e X 2 sao variáveis aleatórias independentes distribuídas uniformemente em [0, a], logo (X 1, X 2 ) tem distribuição uniforme no quadrado Q = [0, a] [0, a]. Além disso, M 1 = mín{x 1, X 2 }, M 2 = máx{x 1, X 2 } e M = M 2 M 1 = X 1 X 2.] Exercício 92. Considere um circulo de raio r na origem. Suponha que um ponto do circulo é escolhido ao acaso de maneira uniforme (ou seja, regiï 1 2es da mesma área tem a mesma chance de conter o ponto). y (ξ 1, ξ 2) r x Se ξ 1 e ξ 2 denotam as coordenadas do ponto escolhido, então a densidade conjunta de (ξ 1, ξ 2 ) é { c se x 2 + y 2 r 2 f ξ1,ξ 2 (x, y) = 0 se x 2 + y 2 > r 2. para algum c > 0. (i) Determine o valor da constante c. (ii) Encontre as distribuiçï 1 2 es marginais de ξ 1 e ξ 2. (iii) Seja D = ξ ξ2 2 (a distï 1 2 ncia de (ξ 1, ξ 2 ) a origem). Calcule P (D a). (iv) Calcule E[D]. 15

16 Exercício 93. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com densidade uniforme no disco unitário, ou seja, f X,Y (x, y) = π 1, (x, y) C = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. (i) São X e Y independentes? (ii) encontre as densidades marginais f X (x) e f Y (y). (iii) Se X = R cos(θ) e Y = sen(θ), serão R e Θ independentes? 7 Esperança matemática e variância Exercício 94. Mostre, para toda variável aleatória X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X α) = 1, então E[X] α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X β) = 1, então E[X] β. Se X Y, isto é, {w Ω : X(w) Y (w)}, então E[X] E[Y ]. Exercício 95. Seja X uma variável aleatória com E[X 2 ] < e sejam a e b constantes reais. Mostre que Var(aX + b) = a 2 Var(X). [pode começar mostrando que Var(X + b) = Var(X).] Exercício 96. Considere dois lançamentos consecutivos de um dado. Seja o X número de vezes em que é obtida a face 1, x = 0, 1, 2; Y o número de vezes em que é obtida a face 6, y = 0, 1, 2; e Z = X + Y o número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). Será verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? Exercício 97. Para um grupo de n pessoas, determine o número esperado de dias do ano que são aniversário de exatamente k pessoas, k n. [Sugestão: suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos são equiprováveis.] Exercício 98. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a média e a variância do número de tentativas se (i) as chaves incorretas são descartadas e, consequentemente, não mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas não são separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. Exercício 99. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma até obter uma bola pela segunda vez, isto é, até obter uma bola já retirada anteriormente. Seja X o número total de extrações necessárias para obter esta repetição, (i) obtenha a distribuição de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que ( E[X] = ) ( )( 1 2 ) ( )( 1 2 ) ( 1 n 1 ) n n n n n n Exercício 100. Cada membro de um grupo de n jogadores lança um dado (só uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo lançamento tem o mesmo resultado, encontrar a média e a variância do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a média e a variância dos pontos totais do grupo se qualquer par de jogadores que lançam o mesmo número k (k = 1, 2,..., 6), ganham k pontos. 16

17 Exercício 101. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas são selecionadas ao acaso, calcule o número médio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] Exercício Suponha que depois de assistir uma peça de teatro, n pessoas recebem os seus chapéus ao acaso (o funcionário encarregado é extremadamente descuidado). Considere as variáveis aleatórias X i, i = 1,..., n, tais que X i = 1 se a i-ésima pessoa recebe o seu próprio chapéu e X i = 0 no caso contrário. Seja S n = n i=1 X i, isto é, S n denota o número total de pessoas que recebem o seu chapéu. Mostre que: (a) E[Xi 2 ] = 1/n, (b) E[X i X j ] = 1/n(n 1) se i j, (c) E[Sn] 2 = 2 (utilice (a), (b)), e (d) Var(S n ) = 1. Exercício 103. Mostre que se Var(X) = 0 então X é constante; isto é, existe a R tal que P (X = a) = 1. [Mostre primeiro que se E[X 2 ] = 0 então P (X = 0) = 1.] Exercício 104. Seja X uma v.a. discreta e g : R R. Mostre que E[g(X)] = x g(x)p (X = x), sempre e quando a soma do lado direito exista. 8 Esperança condicional Exercício 105. Mostre as seguintes propriedades da esperança condicionada (i) E[aY + bz X] = ae[y X] + be[z X], a, b R. (ii) E[Y X] 0 se Y 0. (iii) E[1 X] = 1. (iv) Se X e Y são independentes, então E[Y X] = E[Y ]. (vi) E[Y g(x) X] = g(x)[y X] para qualquer função g apropriada. (v) E{E[Y X, Z] X} = E[Y X] 9 independência de variáveis aleatórias Exercício 106. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY. Mostre que X, Y e Z são independentes a pares. Serão as três independentes? Exercício 107. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos inteiros positivos e com a mesma distribuição P (X = x) = 2 x, x = 1, 2,.... Encontrar (i) P (min{x, Y } x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ). (ii) P (Y > X). (iv) P (X ky ), k inteiro positivo. (vi) P (X = ry ), r racional positivo. Exercício 108. Três jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A... (i) Mostre que a probabilidade de que A seja o primeiro em lançar um 6, logo B e finalmente também C é 216/1001. (ii) Mostre que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lançado por A, o segundo por B, e o terceiro por C é 46656/ a última parte desta questã foi feita para o curso MAN em

18 Exercício 109. (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R R. Mostre que g(x) e h(y ) são independentes. (b) Mostre que duas v.a. X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) para todo x Im(X), y Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma função de x e outra de y. 10 Extras Exercício 110. Definimos a função geradora de probabilidade da variável aleatória X (inteira não-negativa) como sendo ϕ X (t) = E[t X ], t R. (i) Verifique que ϕ X (t) = φ X (log(t)) e que φ X (t) = ϕ X (e t ), onde ϕ X (t) é a função geradora de momentos de X. (ii) Mostre que dϕ X (t) = E[X], dt t=1 d n ϕ X (t) t=0 dt n = n! P (X = n). Exercício 111. Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é a função ψ : R C dada por ψ X (t) = E[e itx ], onde i = 1. Lembrando que e itx = cos(tx)+isen(tx) e a+bi 2 = a 2 +b 2, verifique que a função característica é limitada por 1, isto é, ψ X (t) 1, t R. A função característica de v.as. é de grande importância em teoria das probabilidades, dentre outros motivos, por ser limitada e portanto sempre existir. 11 Modelos Probabilísticos Discretos Exercício 112. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia são defeituosos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (isto é, a fração não-conforme de parafusos na produção é 0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolução do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dez parafusos. (i) Qual a proporção de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devolução de dinheiro? (ii) Supondo que o número de parafusos defeituosos num determinado pacote é independente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha que retornar à companhia para devolução do dinheiro? Exercício 113. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tem distribuição Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipográficos em uma página. (ii) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página. (iii) Suponha agora que o livro em questão possui 200 páginas. Qual a probabilidade de não existir erros tipográficos neste livro? 18

19 Exercício 114. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de dez itens conterá no máximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas distribuições binomial e Poisson. Exercício 115. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson(λ). Determine P (X A), onde A = {0, 2, 4,...}. Exercício 116. Considere X Poisson(λ). (i) Mostre que E[X n ] = λe[(x + 1) n 1 ]. (ii) Calcule E[X 4 ]. (iii) Determine E[X!] para 0 < λ < 1. (iv) Determine E[cos(πX)] e Var(cos(πX)). Exercício 117. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que P (X = k) atinge o valor máximo para k = [(n+1)p] ([x] denota o maior inteiro menor ou igual a x). Exercício 118. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidade p de sucesso, 0 < p < 1, são realizados até que um total de R sucessos seja acumulado. Seja X o número de ensaios necessários para se obter o total de R sucessos. Determine a distribuição de X (dizemos, neste caso, que X possui distribuição binomial negativa com parâmetros R e p). Exercício 119. Considere a variável aleatória X do exercício anterior. Determine E[X] e Var(X). [Observe que X = Y 1 + Y Y R, onde Y i tem distribuição geométrica de parâmetro p, 1 i R.] Exercício 120. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em sucesso com probabilidade p, são realizados indefinidamente, qual a probabilidade de que R sucessos ocorram antes de M fracassos? Exercício 121. Sejam X e Y variáveis aleatórias binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. (i) Determine a distribuição de X + Y. (ii) Determine a distribuição condicional de X dado X + Y = n. Exercício 122. Sejam X e Y variáveis aleatórias Poisson com parâmetros λ e µ. Mostre que: (i) X + Y é Poisson(λ + µ), (ii) a distribuição condicional de X dado X + Y = n é binomial. Encontrar os parâmetros da distribuição em (ii). Exercício 123. Se X geométrica, então P (X = n + k X > n) = P (X = k) para k, n 1. (i) Isto é interpretado como perda de memória, por que? (ii) Mostre que não existe outra distribuição nos inteiros com esta propriedade. Exercício 124. Uma urna contem N bolas das quais b são azuis e r (= N b) são vermelhas. Uma amostra aleatória de n bolas e retirada sem reposição da urna. Mostre que o número B de bolas azuis na amostra tem distribuição P (B = k) = ( b k )( N b n k ) / ( N n Esta distribuição é conhecida como a distribuição hipergeométrica com parâmetros N, b e n. ). 19

20 Exercício 125. (i) Mostre que se X toma valores inteiros não negativos, então E[X] = P (X > n). n=0 (ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas são removidas ao acaso até aparecer a primeira bola azul. Mostre que o número esperado de bolas removidas é (b + r + 1)/(b + 1). Exercício 126. Em 1710, J. Arbuthnot observou que o número de meninos nascidos em Londres superou ao número de meninas em 82 anos sucessivos. Supondo que os dois sexos podem ocorrer na mesma proporção, e que 2 82 é pequeno, Arbuthnot atribuiu a diferença observada à Providencia Divina. Suponhamos que o nascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante em cada nascimento é independente dos outros. (i) Mostre que a probabilidade de que a ménimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos é ( ) 2n p n q n q n q p. onde q = 1 p. (ii) Suponha que nasceram pessoas em 82 anos sucessivos. Mostre que a probabilidade de que os meninos superem o número de meninas em cada ano é ao menos 0,99. Exercício 127. Sejam X e Y variáveis aleatórias Bernoulli(1/2) independentes. Mostre que X + Y e X Y são dependentes mas não correlacionadas. 12 Modelos Probabilísticos Contínuos Exercício 128. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,20), calcule a probabilidade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) X 3 < 4. Exercício 129. Se X é uma variável aleatória normal com µ = 3 e σ 2 = 9, determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0). 13 Sugestões Apresentamos sugestões para alguns dos exercícios da lista. Recomendamos porém que estas só sejam consideradas após de ter tentado resolver de maneira independente qualquer uma das questões. 7.(i). Pense em um produto cartesiano. (iv) Observe que o espaço amostral neste caso não é finito: as cartas são retiradas com reposição. 8. Tente expressar Ω como o produto cartesiano das possibilidades em cada etapa do torneio. Cada etapa é por sua vez também um produto cartesiano. 20

21 14 Suplementos 14.1 Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os números racionais, logo [0, 1] Q, são os números racionais em [0, 1]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0, 1, 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 1 6,... O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8,... não tem importância (podemos omitir qualquer número que já esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, 1] seja obtido de uma única forma). Definição 2. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência (permitindo repetições). Teorema 1. Q é enumerável. A demonstração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição 1. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração. 4 Se os conjuntos são denotados por S i = {s ij }, i, j 1, então os termos da seqüência s 11, s 12, s 21, s 31, s 22, s 13, s 14,... formada ao seguir as frechas no desenho S 1 s 11, S 2 s 21, s 12, s 13, s 22, S 3 s 31, s 32, s 23, s 14,... s 24,... s 33, s 34,... S 4 s 41, s 42, s 43, s 44,... contam (possívelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos S i. Portanto a união i S i é enumerável. Para provar o Teorema 1, é suficiente tomar S 1, S 2, S 3, S 4,..., como os conjuntos formados pelos números racionais nos intervalos [0, 1], [ 1, 0], [1, 2], [ 2, 1],... respectivamente. Por que sera que que os racionais em [0,1] são enumeráveis? (Exercício). Teorema 2. R não é enumerável. 4 O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento diagonal, é devido a Georg Cantor. 21

22 Demonstração. 5 Mostraremos apenas que os números reais em (0, 1) não são enumeráveis. Seja {s n } uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números s n. Observamos que os números s n podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão decimal, por exemplo, o número 4, pode ser escrito como 4 + 2/10 + 9/ / Em geral qualquer número s R pode ser expressado pela série a k s = a + 10 k = a, a 0a 1 a 2 k=1 onde a k {0, 1,..., 9}, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0, em lugar de 0, para 1/5. Seja s 1 = 0, a 11 a 12 a s 2 = 0, a 21 a 22 a s 3 = 0, a 31 a 32 a Se a nn 1 seja b n = 1 e se a nn = 1 seja b n = 2. Isto define b n para qualquer n 1. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b 1 b 2 b 3... converge a um número real b em (0, 1) o qual é diferente de qualquer s n, sendo que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {s n } é dada pelos números s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = logo a 11 = 2 1 b 1 = 1 a 22 = 3 1 b 2 = 1 a 33 = 1 b 3 = 2 a 44 = 5 1 b 4 = 1 Assim b = 0, (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = s N, para algum N N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de s N no N-ésimo decimal. Concluímos que não é possível dispor numa seqüência todos os números em (0,1), isto é, R não é enumerável. Exercício 130. Será que o Teorema 1 e o Teorema 2 juntos permitem determinar se o conjunto dos números irracionais é enumerável o não? (Qual é a definição de um número irracional?) Exercício 131. Considere o espaço amostral Ω = {0, 1} N. Isto é, Ω tem eventos elementares ω k, k 1, da forma ω k = (a 1, a 2, a 3,...), onde a i {0, 1} para i N (ou seja, Ω contem todas as seqüências infintas de 0 s e 1 s). Será Ω enumerável? [Sugestão: revise cuidadosamente o Teorema 2] Exercício 132. Seja N o conjunto dos números naturais e S 1, S 2, S 3 uma seqüência dos subconjuntos de N. Construa uma seqüência de N que seja diferente de S n para cada n 1. (Você estara demonstrando que todos os subconjuntos de N formam um conjunto não enumerável!) 5 Esta prova também é devida a G. Cantor. 22

23 14.2 σ-álgebras? Esta seção, em especial a Proposição 2, contém material mais avançado e o seu estudo é opcional. Por que necessitamos de uma σ-álgebra? Mais especificamente, por que não podemos simplesmente considerar todos os possíveis subconjuntos de Ω para definir P? Do exercício 17 sabemos que o conjunto de todos os subconjuntos de Ω é uma álgebra quando Ω é finito. A situação quando Ω não é enumerável é bem diferente. A seguir fornecemos um exemplo simples o qual mostra a imposibilidade de construir uma função de probabilidade simétrica em todos os subconjuntos de Ω quando Ω é não enumerável. Especificamente, veremos que não é possível incluir os conjuntos formados por uniões não enumeráveis. Considere Ω = [0, 1], e suponha que temos interesse em definir uma probabilidade P neste conjunto. Seguindo a prescrição usual, fazemos P([0, 1]) = P(Ω) = 1. (1) Se assumimos que P é simétrica, então P([0, 1 2 ]) = 1 2, ou, por exemplo, P([ 3 4, 7 8 ]) = 1 8. Mais geralmente, sob simetria, Assim, em particular, se a = b, então P([a, b]) = b a, 0 a b 1. (2) P([a, a]) = P({a}) = 0. (3) Pelo outro lado, se [a, b ] e [a, b] são dois conjuntos disjuntos de [0, 1], então imediatamente de (2) temos que P ( [a, b ] [a, b] ) = P([a, b ]) + P([a, b]), (4) isto é, P é finitamente aditiva. É possível estender P a operações enumeráveis (estas permitem calcular as probabilidades de operações infinitamente delicadas como um limite). Sejam A i = [a i, b i ], i = 1, 2,... um conjunto enumerável de intervalos disjuntos de [0, 1], então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... (5) Neste caso dizemos que P é enumeravelmente aditiva. Observamos agora que não é possível estender P a uniões não enumeráveis, pois claramente P([0, 1]) = P({x}) x [0,1] é uma contradição uma vez que lado esquerdo é 1, porém o lado direito é 0. Suponhamos que os conjuntos A i em (5) formam uma partição de Ω, isto é, Ω = i=1 A i. É importante ressaltar que neste caso não há nenhum problema pois o intervalo [0, 1] é uma união enumerável. Seja A = [a, b]. Sob simetria de P, observamos que se transladamos A por uma quantidade fixa τ, a probabilidade do intervalo transladado devera ser igual a probabilidade do intervalo original. Denotamos a translação de A por τ como A τ = {a + τ : a A, a + τ 1} {a + τ 1 : a A, a + τ > 1}, 23

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