ANÁLISE COMBINATÓRIA

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1 MATEMÁTICA IV ANÁLISE COMBINATÓRIA DISCURSIVAS SÉRIE AULA AULA 0 1 (UP 01 A Mega Sena é a maior loteria do Brasil realizada pela Caixa Econômica Federal (CEF. Para ganhar o prêmio da Mega Sena, o apostador precisa acertar os seis números sorteados. Existe também a chance de ganhar uma parte do prêmio acertando apenas cinco números (chama-se Quina, ou quatro números (chama-se Quadra. Nestes dois últimos, o valor a ser recebido é menor do que ao acertar os seis números da Mega Sena. Para participar do sorteio o apostador deve escolher de 6 até 15 números, entre os sessenta (01, 0, 0,..., 60 disponíveis em cada cartela. O valor da aposta varia de acordo com o número de dezenas marcadas (é correspondente ao número de grupos distintos de seis dezenas possíveis de serem formadas com os números marcados. Cada grupo distinto de seis números custa R$,00; no caso da aposta máxima (quinze dezenas marcadas o apostador terá que desembolsar R$ ,00 (correspondente a 5005 grupos de seis dezenas distintas formadas com as quinze dezenas marcadas. Ananda marcou as dezenas 01, 0, 05, 10, 18,, 5, 45. Sobre a aposta efetuada por Ananda, justificando matematicamente, PEDE-SE: a Qual o valor pago (em reais pela Ananda com sua aposta? b Supondo que a Ananda tenha ganhado o prêmio da Mega Sena, ou seja, tenha acertado os seis números sorteados, quantas Quinas e quantas Quadras ela também acertou? TGS a Considerando TGS o total de grupos distintos de 6 números possíveis R $ de serem 00 formados com os 8 números marcados por Ananda: TGS grupos de 6 números. Como cada grupo (possível apostado custa R$,00, Ananda pagou, ou seja, 8. T 1 T T b Dos 8 números marcados, 6 foram os sorteados (certos e foram errados; Considerando o total de Quinas: T1 Considerando o total de Quadras: T TGS 8 56, (R$, ( (1 115 Respostas: a R$ 56,00. b 1 Quinas e 15 Quadras. Página 1 de 8

2 (UP 01 O professor Marcelo Renato (Álgebra contratou três pintores (Agnaldo, Hermenegildo e Leopoldo para efetuarem a pintura de quatro cômodos (C 1, C, C e C 4 em seu apartamento. Cada cômodo só poderá ser pintado por um único pintor e os três pintores serão contratados. De quantas maneiras distintas poderão ser distribuídos os trabalhos de pintura nas condições abaixo: a Agnaldo NÃO pintará o cômodo C 1 ; b Agnaldo pintará DOIS cômodos; c Sendo a única restrição a apresentada no enunciado (cada cômodo só poderá ser pintado por um único pintor e os três pintores serão contratados. 1 a TENDO HERMENEGILDO T P TNO CÔMODO 1 TENDO LEOPOLDO NO CÔMODO 1 45 ( H A H H 1T L 1T T T H1 P T6 T1 ( L A L H T4 ( H A A L a T T TL1 L 1T4T5T6 TL ( L A A H T5 ( H L L A T ( L H H A T Tb 4 + Ta b Maneira 1: Como o pintor Agnaldo pintará dois dos quatro cômodos, assim, os outros dois cômodos serão pintados por cada um dos outros dois pintores; Dessa forma, basta escolhermos duas das T 4 quatro posições, ou seja, das b 1 maneiras, para posicionarmos o Agnaldo e, em cada uma dessas 4 6 formas de distribuição dos pintores, alocarmos o Agnaldo em dois dos 4 cômodos e os outros dois pintores nos outros dois cômodos restantes; por exemplo, numa das 6 maneiras teremos o Agnaldo trabalhando nos cômodos C 1 e C e Hermenegildo e Leopoldo permutando nos cômodos C e C T 1T H1 4T 11 (1(1 ( (1 b Maneira : Podemos resolver este item utilizando a analogia com o cálculo de anagramas com repetição de caracteres, ou seja: Considerando o anagrama A A H L, no qual as letras A correspondem às duas posições ocupadas pelo pintor Agnaldo, H para o Hermenegildo e L para o Leopoldo; Efetuando-se a permutação correspondente, concomitantemente, teremos o total de maneiras distintas de distribuirmos os trabalhos de forma que os três pintores trabalham e Agnaldo pinta dois dos quatro 4 cômodos, vejamos: Tb P4 Tb T b 1 c Com base nos cálculos efetuados no item b anterior, teremos: Maneira 1: Maneira : 4 T c ( (1 (1 ( (1 T c 6 4 Tc ( P4 Tc ( T c 6 Respostas: a 4 maneiras distintas. b 1 maneiras distintas. c 6 maneiras distintas. página de 8

3 y y4 x 4x (UNIFESP 01 adaptada Numa classe do 7º ano do Ensino Fundamental de um determinado colégio há x meninas e y meninos (considere. Se duas meninas se retirarem da classe, o número de meninos na classe ficará igual ao dobro do número de meninas. Pede-se: IN IN 14 e a Dê a expressão do número de meninos na classe em função do número de meninas. b Quantos meninos, no máximo, pode haver nessa classe (justifique? y c Sabendo-se que, nessa classe, o número de comissões que podem ser formadas com meninas é igual ao número de comissões que podem ser formadas com dois meninos, determine o número de alunos da classe. d De quantas maneiras distintas podemos dividir 10 alunos y em 4dois grupos de cinco? yx 4 yx4 a y x 4. b x y Se x min 4 y min 4 sendo Se x max x( x 14 y max ( y x 1 x ( 1y 4 O número máximo de meninos é 4. c x x x ² 00xou x x 4x y Obs: Assim, x. Sendo x 10 e y, logo, essa classe possui ( alunos d Considerando T o número que atende ao enunciado: Vamos supor que dividamos os 10 alunos em GRUPO 1 e GRUPO ; sabemos que são apenas grupos de pessoas, ou seja, tanto faz ser o GRUPO 1 denominado de 1 ou de, assim como o GRUPO. Exemplificando: { a, b, c, d, e, f } e { g, h, i, j, k } é o mesmo que { g, h, i, j, k } e { a, b, c, d, e, f }. T. Observação: Se fosse para separar em dois grupos de forma que o grupo 1 fosse para fazer trabalho de Matemática e o grupo para fazer trabalho de Física, consequentemente o resultado seria 5. y 4x 4x MATEMÁTICA FÍSICA MATEMÁTICA FÍSICA é diferente de { a, b, c, d, e, f } { g, h, i, j, k } { g, h, i, j, k } { a, b, c, d, e, f } Respostas: a. b no máximo 4 meninos. c 6 alunos. d 16. (x x IN 14 x (x ( (x (x y(y (y y(y1 (x16(x x(x (x (x (x (x (x (x (x 1x 10 (nãoconvém IN 14 x T ( x IN 14, 5 Página de 8

4 4 (UNESP N O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com pediatras, 4 clínicos gerais e 5 enfermeiros. As equipes de plantão 1 deverão 4 5 ser constituídas por 1 pediatra, 1 clínico geral e enfermeiros. Determine: a quantos pares distintos de enfermeiros podem ser formados; b quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas. a Respostas: a 10 pares distintos. b 10 equipes distintas. N ((4 (10 10 b 5 (UP 01 O professor Carlos Alberto (CA tem que comprar exatamente 10 litros de suco (embalagens de 1 litro. No supermercado Carone, as opções dos sucos apresentam-se em quatro sabores: MARACUJÁ CAJU GOIABA UVA. De quantas maneiras distintas o professor Carlos Alberto poderá comprar os 10 litros de suco (no supermercado Carone se: M CGU10 a Não há obrigatoriedade de comprar os quatro sabores. b Obrigatoriamente, todos os quatro sabores deverão ser comprados. c Calcular o número de soluções inteiras não negativas da inequação x + y + z < 5. Na P1, 10 1 a Trata-se da determinação do número 86 de soluções inteiras não negativas da equação + + +, para a qual temos como exemplos: (,,, 1, (,, 5, 0, etc. Utilizaremos o esquema tradicional conhecido como Bola- Traço : 9 b Temos 9 espaçamentos para alocarmos barras separadoras. Dessa 9 forma 817 sempre 6 teremos pelo menos 1 unidade de cada sabor de suco. Como as barras são símbolos iguais, a ordem das mesmas não interfere no posicionamento, ou seja, é um cálculo de combinação de 9 (nove três a três, ou seja: T15 Total Maneir. T c Como são soluções inteiras não negativas: º caso: x + y + z 4; 4 T 4 T41 T 6 º caso: x + y + z ; º caso: x + y + z ; T T15 TPTT 45T 5 T 1 4º caso: x + y + z 1; 5º caso: x + y + z 0. Assim, a quantidade que atende ao enunciado será: Portanto, T 5. Respostas: a 86. b 84 c , , 5, T página 4 de 8

5 DISCURSIVAS SÉRIE CASA AULA (UFF 5 5 QP 5 10 RJ Dispondo de 5 questões QP de Álgebra e 5 de Geometria, uma banca deseja preparar provas, de forma tal que cada uma contenha ao menos uma questão diferente das demais. Sabendo-se que cada prova deverá conter 5 questões de Álgebra e de Geometria, determine quantas provas podem ser preparadas. QP Resposta:.50 provas distintas. QP 5 (5( N((5 4(P6, 4 N1 (4 P, N((5 4(P54 N (4 P N1N T700 N1 45 P6((5 ( (ITA SP Quantos anagramas com seis caracteres distintos podemos formar usando as letras da palavra QUEIMADO, tendo duas consoantes e que, entre elas, haja pelo menos uma vogal? Maneira 1 6 1º cálculo: Todos os anagramas com duas consoantes e quatro vogais: C C V V V V Onde: (.... é o número de maneiras de escolhermos duas consoantes (a ordem interessa; ( é o número de maneiras de escolhermos quatro vogais (a ordem interessa;... é o número de maneiras de arrumarmos as seis letras (a ordem interessa. º cálculo: Todos os anagramas com duas consoantes e quatro vogais, tendo as consoantes juntas: 600 CC V V V V Devido às consoantes estarem juntas consideraremos apenas cinco peças... Onde: T (.... T é o número de maneiras de escolhermos duas consoantes (a ordem interessa; ( é o número de maneiras de escolhermos quatro vogais (a ordem interessa; 5... é o número de maneiras de arrumarmos as quatro vogais e as duas consoantes (juntas. 5 Sendo assim:, onde T é a quantidade de anagramas pedida na questão. Resposta: Maneira 1 Deveremos escolher consoantes entre disponíveis: (independente da ordem; Deveremos escolher 4 vogais entre 5 disponíveis: (independente da ordem; Escolhidas as 6 letras, deveremos permutá-las para obtermos todos os anagramas possíveis com tais letras, 5 ou seja: N1. 4 Precisamos excluir os anagramas que apresentam as consoantes juntas; 5 Deveremos escolher consoantes entre disponíveis: (independente da ordem; 6 Deveremos escolher 4 vogais entre 5 disponíveis: (independente da ordem; 7 Deveremos manter as consoantes juntas: C 1 C V 1 V V V 4 Página 5 de 8

6 45 5 T T 100 T7 8 Deveremos permutar as peças que compõem o anagrama, ou seja: N. Sendo assim:, onde T é a quantidade de anagramas pedida na questão. 47 Resposta: C, 45 C 4 (UP 01 De quantas maneiras é possível comprar 4 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores? x 1,, x7 x 1 Inicialmente, observe que a resposta não é 7. Na verdade, seria o modo de escolher 4 sabores diferentes entre os sete sabores oferecidos, x x 1 xx que não x7 é o 4 7 caso. Sejam 1,,, 4, 5, 6, 7 os sabores e as variáveis L, onde é a quantidade de sorvete que vamos comprar do sabor 1, é a quantidade de sorvete que vamos comprar do sabor,..., é a quantidade de sorvete que vamos comprar do sabor 7. Estamos procurando o número de soluções, nos inteiros não negativos, da seguinte equação: L + Interpretamos as soluções da equação acima no esquema TRAÇO-BOLA, isto é, cada bola representa uma unidade no valor da incógnita e cada traço é usado para separar duas incógnitas (representando o sinal de adição. Exemplos de Soluções Naturais da Equação x + x + x + L + x 4 N N1N (P(P ((5 (10( ,x,x 1 7, 7 (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0 P6 410, (,, 0, 0, 0, 0, 0 Para formar uma representação de uma solução devemos arrumar em fila 4 bolas (pois temos que comprar 4 sorvetes e 6 traços (usados para separar as 7 incógnitas. Mas, o número total de fazer isso, ou seja, de arrumar 4 bolas e 6 traços, é igual a: 10. Observação: Fizemos uma Permutação com Repetição de 10 símbolos (4 Bolas e 6 Traços. página 6 de 8

7 x1 xxx410 4 (UP 01 a Quantas soluções naturais positivas têm a equação + + +? b Deseja-se distribuir 0 brinquedos entre 4 crianças de modo que cada um deles receba pelo menos brinquedos. De quantos modos distintos essa divisão poderá ser realizada? a Vamos apresentar dois métodos para resoluções envolvendo soluções naturais NÃO NULAS, ou seja, as variáveis não podendo assumir o valor zero. 9 9 Método 1: x + x + x + x x C 9, xxx410 Z1 11Z x1z x1z4 x Assim, garantindo valores não-nulos nas extremidades e distribuindo os sinais + nos 9 espaços, teremos todas as soluções naturais x1 4z 11 positivas para as 4 variáveis, ou seja: z 10 1 Método : } Como cada uma das 4 variáveis não pode z 1 + assumir valor 1nulo, façamos 1ez uma troca conveniente de variáveis: + z 4 1 z4zz46z1 zzz 104 Dessa forma, arrumando a equação dada: Observação: Nessa nova equação as variáveis podem assumir valores nulos Verificaremos, nessa última equação, o número de soluções NATURAIS (idem Questão, utilizando o esquema TRAÇO-BOLA: ( x,z1(z 1(z 1(z 1 4 ( 1(z 1(z 1(z z + z + z + z 6 P, x1 xxx4x 10, x4 Permutação com Repetição de 9 símbolos, ou seja, 6 Bolas e Traços. b y1 Considerando as quantidades de brinquedos recebidas por cada criança, teremos y1 yyy Como cada criança deverá receber pelo menos brinquedos, TP11, 8 11 fazendo-se Tuma 165 troca de variáveis teremos Arrumando Resolvendo com a utilização do esquema bola-traço : Resposta: 165 modos distintos.,x,x ( (y (y (y4 8 Página 7 de 8

8 5 (UNESP A diretoria uma empresa compõe-se de n dirigentes, contando o presidente. Considere ( n presidente "" " todas as comissões DP1 de três, membros, Dn que poderiam ser formadas com esses n dirigentes. Se o número comissões que incluem o presidente é igual ao número daquelas que não o incluem, calcule o valor n. Temos L Exemplo de comissões que incluem o presidente: P D 1 D n1n 1 n1n1 ( n1 n1 Exemplo de comissões que NÃO incluem o presidente: D 1 D D (( n 1 ( n1 4 n n n 1dirigentes 1,D 1 ([( 1] (n([(n 1] ([ 1] ([(n 1] ( Resposta: n 6. página 8 de 8