Distribuições de Probabilidade. Frases. Roteiro

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1 Distribuições de robabilidade Frases Uma probabilidade razoável é a única certeza Samuel Howe A experiência não permite nunca atingir a certeza absoluta. Não devemos procurar obter mais que uma probabilidade. Bertrand Russel Roteiro. Distribuições de robabilidade 2. Aproximação da Binomial 3. Geração de Números Aleatórios 4. Ajuste de Distribuições 5. Referências

2 Distribuições de robabilidade Funcionalidades Como pacote estatístico, o Minitab efetua os seguintes cálculos referentes a distribuições de probabilidade: robabilidade no ponto (distribuição discreta) Densidade de probabilidade no ponto (distribuição contínua) Função de distribuição acumulada no ponto Quantil correspondente a uma probabilidade Calc > robability Distributions

3 Distribuições Discretas Minitab: Binomial Hipergeométrica Discreta Inteira oisson Outras: Binomial Negativa Geométrica Bernoulli Distribuições Discretas Comandos robabilidade no ponto(s) { X k} = robabilidade acumulada { X k} Quantil referente a uma probabilidade { X a} p = Valores de entrada Notação: Distribuição Binomial Função de probabilidade: Esperança: Variância: X ~ binomial( n, p) np np( p) n p k n k { X = k} = p ( p)

4 Distribuição Binomial Exemplo Montar tabela com os valores de distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p =,4 ara gerar os valores dos pontos (k): Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers Valores de k Binomial robabilidades no onto arâmetros Valores de entrada Valores de saída Binomial robabilidades Acumuladas arâmetros Valores de entrada Valores de saída

5 Binomial (3;,4) Tabela k (X=k) (X<=k),,,, 2,, 3,, 4,,2 5,4,6 6,2,7 7,26,44 8,5,94 9,82,76,5,29,4,43 2,47,578 3,36,75 4,,825 5,78,93 6,49,952 7,27,979 8,3,992 9,5,997 2,2,999 2,, 22,, 23,, Gráfico da Função de robabilidade Graph > Scatter lot > Single Binomial (3;,4) Gráfico Função de robabilidade,6 Função de robabilidade - Binomial (3,,4),4,2, (X=k),8,6,4,2, k

6 Quantis Quantis da binomial(3;,4) para,56;,58;,6;... ;,672 ara gerar os valores das probabilidades Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers Valores de probabilidade Cálculo dos quantis arâmetros Valores de entrada Valores de saída Binomial (3;,4) Tabela de Quantis p quantil,56 8,58 8,6 8,62 8,64 8,66 8,68 8,7 8,72 8,74 8,76 8,78 8,8 8,82 8,84 8,86 8,88 8,9 8,92 8,94 8,96 9,98 9, 9,2 9 { X a} p =

7 Distribuições Contínuas Qui-quadrado Normal F t de Student Uniforme Beta Exponencial Gama Valor extremo Lognormal Logística Weibull outras Distribuições Discretas Comandos robabilidade no ponto(s) { X k} = robabilidade acumulada { X k} Quantil referente a uma probabilidade { X a} p = Valores de entrada Distribuição Normal Notação: X ~ N(µ, s 2 ) Função de densidade: Esperança: µ Variância: s 2 f ( x) = 2 x µ exp 2π σ 2 σ

8 Cálculo de robabilidades ara valores únicos, são mais fáceis de serem obtidos através da janela Session: Editor > Enable Commands ara cálculo de densidade: DF valor do quantil; nome distribuição parâmetro parâmetro 2. ara cálculo da função de distribuição acumulada CDF valor do quantil; nome distribuição parâmetro parâmetro 2. ara cálculo de quantil: InvCDF valor da probabilidade; nome distribuição parâmetro parâmetro 2. Normal adrão f ( ) MTB > DF -; SUBC> Normal,,. robability Density Function Normal with mean = and standard deviation = x f( x ) -,2497 { X } MTB > CDF -; SUBC> Normal,,. Cumulative Distribution Function Normal with mean = and standard deviation = x ( X <= x ) -,58655 { X a} =, 5 MTB > InvCDF,5; SUBC> Normal,,. Inverse Cumulative Distribution Function Normal with mean = and standard deviation = ( X <= x ) x,5 -,64485 X ~ N (,) MTB > cdf 95; SUBC> normal. { X < 95} Cumulative Distribution Function Normal with mean = and standard deviation = x ( X <= x ) 95,38538 { 9 < X < } =,84345,58655 =,68269 Cumulative Distribution Function Normal with mean = and standard deviation = x ( X <= x ) 9,58655,84345 { X > 95} =,58655 =,84345

9 Gráficos Densidade Normal Sobrepor gráficos das funções de densidade N (, ), N (, 25) e N(9, 25). Criar coluna das abcissas X: Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers Valores de X Calcular as probabilidades da coluna N(,): Calc > robability Distributions > Normal arâmetros Valores de entrada Valores de saída Repetir o procedimento de cálculo de probabilidades para N(, 25) e N(9, 25). Fazer gráfico sobreposto: Graph > Scatterplot > Simple

10 Funções de Densidade Normal Densidade de robabilidade,9,8,7,6,5,4,3,2, Variable N(, ) N(, 25) N(9, 25), X arâmetro de locação: µ arâmetro de escala: s 2 Gráfico Função de Distribuição Acumulada Sobrepor gráficos das funções de distribuição acumulada N (, ), N (, 25) e N(9, 25). Usar coluna das abcissas X montada para as densidades; Calcular as probabilidades acumuladas da coluna Ac N(,): Calc > robability Distributions > Normal arâmetros Valores de entrada Valores de saída

11 Repetir o procedimento de cálculo de probabilidades para Ac N(, 25) e Ac N(9, 25). Fazer gráfico sobreposto: Graph > Scatterplot > Simple Função de Distribuição Acumulada Normal robabilidade Acumulada,,8,6,4,2 Variable Ac N(, ) Ac N(, 25) Ac N(9, 25), X 2 3 Distribuição Exponencial Notação: X ~ exponencial (?) Função de densidade: Esperança: Variância: λ 2 λ λe f ( x) = λx x c. c.

12 Distribuição Exponencial Notação: X ~ exponencial (ß) Função de densidade: Esperança: β f ( x) = e β x β x c. c. Variância: 2 β Cálculos de robabilidade O parâmetro da exponencial utilizado pelo Minitab é a média da distribuição odem ser obtidos através da janela Session: Editor > Enable Commands ara cálculo de densidade (ou probabilidade acumulada ou quantil): DF(ou CDF ou InvCDF) valor; exponencial média. X ~ exponencial média,5 { X > 2} =,98684 =,836 MTB > CDF 2; SUBC> exponencial,5. Cumulative Distribution Function Exponential with mean =,5 x ( X <= x ) 2,98684 {,2 < X <,5 } =,6322,32968 =,3244 Cumulative Distribution Function Exponential with mean =,5 x ( X <= x ),2,32968,5,6322 MTB > InvCDF,5; SUBC> exponencial,5. { X a } =, 5 Inverse Cumulative Distribution Function Exponential with mean =,5 ( X <= x ) x,5,346574

13 Variáveis Discretas robabilidade No caso de variáveis discretas, o comando DF fornece a probabilidade em um ponto; A função de distribuição acumulada F(x) permite o cálculo de probabilidades em subconjuntos de pontos: {a = X = b} = F(b) F(a) = {X =b} { X = a} X ~ binomial (;,35) { X = 7 } MTB > pdf 7; SUBC> binomial,35. robability Density Function Binomial with n = and p =,35 x ( X = x ) 7,223 { X < 8 } { 7 } = X MTB > CDF 7; SUBC> binomial,35. Cumulative Distribution Function Binomial with n = and p =,35 x ( X <= x ) 7,99579 { 4 X < 7 } { 3 < 6 } = X =,53827, =,4649 Cumulative Distribution Function Binomial with n = and p =,35 x ( X <= x ) 3, , Dada por: Função Gama Γ r x ( r) = x e dx Se r é inteiro positivo, então: Γ( r) = ( r )!

14 Exemplo Função Gama ode ser obtidos através da janela Session: Editor > Enable Commands Let K nº = gamma(valor) rint K nº Calcular G(2,3) MTB > Let K = gamma(2,3) MTB > print k Data Display K,667 Distribuição de Weibull Notação: X ~ Weibull (ß, d) Função de densidade: Esperança: Variância: δ Γ( + β ) arâmetro de forma: ß arâmetro de escala: d β β x f ( x) = e δ δ { Γ( + 2 ) [ ( )] } 2 β Γ β 2 δ + x β δ x c. c. Gráficos Densidade de Weibull Sobrepor gráficos das funções de densidade Weibull com parâmetros de forma e de escala iguais a: e ; 3,4 e 2; 4,5 e 6,2. Criar coluna das abcissas X_w: Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers First value: Last value: 5 In steps of:,

15 Calcular as probabilidades das colunas W(, ), W(3,4; 2) e W(4,5; 6,2): Calc > robability Distributions > Weibull arâmetros Valores de entrada Valores de saída Fazer gráfico sobreposto: Graph > Scatterplot > Simple Densidade de W(; ), W(3,4; 2) e W(4,5; 6,2) Densidade de robabilidade,9,8,7,6,5,4,3,2, Variable W(; ) W(3,4; 2) W(4,5; 6,2) W(ß, d), X_w arâmetro de forma: ß arâmetro de escala: d

16 Distribuição Gama Notação: X ~ Gama (r,?) Função de densidade: Esperança: Variância: r λ r 2 λ arâmetro de forma: r arâmetro de escala:? f ( x) r λ = r x e Γ( r) λx x > c. c. Distribuição Gama Minitab Notação: X ~ Gama (r, ß) Função de densidade: Esperança: rβ x r x e f ( x) = Γ( r) β β r x > c. c. Variância: 2 rβ arâmetro de forma: r arâmetro de escala: ß Gráficos Densidade Gama Sobrepor gráficos das funções de densidade gama com parâmetros de forma e de escala iguais a: e ; 2 e,5; 2 e. Criar coluna das abcissas X_g: Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers First value: Last value: 6 In steps of:,

17 Calcular as probabilidades das colunas G(, ), G(2;,5) e G(2; ): Calc > robability Distributions > Weibull arâmetros Valores de entrada Valores de saída Fazer gráfico sobreposto: Graph > Scatterplot > Simple Densidades Gama Densidade de robabilidade,9,8,7,6,5,4,3,2, Variable G(, ) G(2;,5) G(2, ) G(r, ß), 2 3 X_g arâmetro de forma: r arâmetro de escala: ß

18 Aproximação da Binomial Aproximação pela oisson Se n? 8 e p?, com np?? então a variável aleatória X B ~ Binomial (n, p) pode ser aproximada por X ~ oisson (?), neste caso? np. Exemplo Calcule os valores de {X = x} e {X = x} para X ~ Binomial (7;,) Calcule as mesmas probabilidades usando a oisson (X ) Verifique a aproximação comparando os gráficos das funções de distribuição acumulada das duas variáveis

19 Gerar coluna das abcissas X_b: Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers First value: Last value: 7 In steps of: Calcular as probabilidade binomiais Calcular as probabilidades oisson Gráficos de distribuição acumulada. Graph > Scatter lot > Single

20 x_b Distribuição Acumulada Exata e Aproximada Função de robabilidade Exata e Aproximada,,9,5,4 Variable (X_b=x) (X_p=x) Y-Data,8,7 Y-Data,3,2,6,,5, x_b Abcissas entre e Abcissas entre e 3 Não é a representação correta da função de distribuição de uma variável discreta Se o valor de p se aproxima de, deve-se fazer uma transformação para assegurar a qualidade da aproximação da binomial pela oisson: X B ~ binomial (n, p) Y B ~ binomial (n, -p) Desta maneira: {X B = k} = {Y B = n k } Assim pode-se aproximar Y B pela oisson, com o mesmo procedimento anterior Exemplo Seja X B ~ binomial (7;,98) Calcular as seguintes probabilidades exatas, comparando-as com sua aproximação pela oisson {X B = 68} {X B =65} {65 < X B =68}

21 X B ~ binomial (7;,98) { = 68 } X B MTB > pdf 68; SUBC> binomial 7,98. robability Density Function Binomial with n = 7 and p =,98 x ( X = x ) 68,24454 { 65 } X B MTB > CDF 65; SUBC> binomial 7,98. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p =,98 x ( X <= x ) 65,32298 { 65 X 68 } < B =,49559,32298 =, MTB > cdf 68; SUBC> binomial 7,98. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p =,98 x ( X <= x ) 68,49559 Y B ~ binomial (7;,2) Y ~ oisson (,4) MTB > pdf 2; SUBC> poisson,4. { X B = 68 } { Y = 7 68 } robability Density Function oisson with mean =,4 x ( X = x ) 2,24665 { X B 65 } { Y 5 } = { Y 4} =, =,4253 { 65 < X B 68 } { 2 Y < 5 } = { < Y 4} Cumulative Distribution Function oisson with mean =,4 x ( X <= x ) 4,985747,59833 =,985747,59833 =,39394 robabilidades {X B = 68} {X B =65} Comparação Exata,2445,32 Aproximação oisson,247,43 {65 < X B =68},3963,3939

22 Aproximação pela Normal Há situações em que a variável aleatória X B ~ Binomial (n, p) pode ser aproximada por X N ~ Normal (np, np(-p)). Em geral a aproximação é aceitável quando np = 5 e np(-p) = 5, sendo melhor quanto maior for o valor de n. Correção de Continuidade {X B = k} { k,5 = X B =k +,5} X B ~ binomial (;,5) X N ~ normal (5,25) { X B = 68 } { 67,5 X 68,5 } =,999892, =,53 { X B 6 } { X 6,5 } N =,98236 N Cumulative Distribution Function Normal with mean = 5 and standard deviation = 5 x ( X <= x ) 68,5, ,5, ,5,98236 { 6 < X B 68 } { 6,5 < X 68,5 } =,999892,98236 =,7756 N

23 robabilidades {X B = 68} {X B =6} Comparação Exata,,9824 Aproximação oisson,,982 {6 < X B =68},75,78 Comparação da Aproximação e Exata Criar coluna X_bn de a Calc > Make atterned Data > Simple Set of Numbers First value: Last value: In steps of: Criar coluna X_corr = X_bn +,5 Calc > Calculator Calcular na coluna XB(;,5) as probabilidades acumuladas binomiais (exatas) Calcular na coluna XN(5; 25) as probabilidades acumuladas aproximadas pela normal (com correção de continuidade)

24 Construir gráfico das distribuições acumuladas sobrepostas XB(,,5) e XN(5, 25) Distribuição Acumulada de XB(,,5) e XN(5,25), robabilidade Acumulada,8,6,4,2 Variable XB(,,5) * X_b XN(5,25) * X_co, Valores de X Abcissas entre 4 e 6 Comparação entre Aproximações () Distribuição exata: X B ~ (7;,) Aproximação normal: coluna XN(5; 25) Aproximação de oisson: calculada a coluna Y(5) para uma variável Y ~ oisson(5) Comparação gráfica entre as 3 distribuições Aproximação oisson e Normal de Binomial (7,,),,8 Y-Data,6,4,2 Variable (X_b<=k) * x_b (X_p<=x) * x_b XN(7;,693) * x_b, X-Data Abcissas entre e

25 Comparação entre Aproximações (2) Distribuição exata: X B ~ (;,5) Aproximação normal: coluna XN(5; 25) Aproximação de oisson: calculada a coluna Y(5) para uma variável Y ~ oisson(5) Comparação gráfica entre as 3 distribuições Aproximações Normal e oisson da Binomial (,,5),,8 Y-Data,6,4,2 Variable XB(;,5) * x_b X(5) * x_bn XN(5,25) * x_cor, X-Data 6 7 Abcissas entre 3 e 7 Aproximações Comentários Mantidas as condições de qualidade de cada aproximação, temos: A aproximação de oisson é melhor que a aproximação normal para valores de p nas proximidades de e. A aproximação Normal é melhor que a aproximação de oisson para valores intermediários de p.

26 Geração de Números Aleatórios Gerador de Números Aleatórios São usados para simular modelos, estudar estimadores, etc. O Minitab executa sua geração de acordo a várias distribuições de probabilidade: Discretas Binomial Hipergeométrica Discreta oisson outras Contínuas Uniforme Normal Exponencial Lognormal outras Calc > Random Data

27 Exemplo Geração de Normais Gerar 2 amostras de uma N(86,6; 4,6 2 ) de tamanho 29 e armazenar nas colunas N e N2 Calcular a média e o desvio padrão amostral Construir o histograma das amostras em painéis separados Comparar os histogramas com a função de densidade exata Geração de Amostras Normais Calc > Random Data Os resultados serão exclusivos a cada procedimento Média e Desvio adrão Amostrais MTB > Describe 'N' 'N2'; SUBC> Mean; SUBC> StDeviation. Descriptive Statistics: N; N2 Variable Mean StDev N 86,869 4,235 N2 86,6 4,783 Valores exatos: Média: 86,6 Desvio padrão: 4,6

28 Construção Histogramas Histogramas de N e N2 N,8 Densidade de robabilidade,8,6,4 N2,6,4,2,,2, Usar densidade no eixo Y Edit anels > Arrangement > Rows: 2/ Columns: Comparação com Distribuição Exata Clicando com o botão direito do mouse no gráfico: Add > Distribution Fit

29 Histogramas de N e N2 Normal N,8 Densidade de robabilidade,8,6,4 N2,6,4,2,,2, Exemplo 2 Geração de Exponenciais Gerar 3 amostras de tamanho 34 de uma exponencial com média 28 e armazenar nas colunas E, E2 e E3. Calcular a média e o desvio padrão amostral Construir o histograma das amostras em painéis separados Comparar os histogramas com a função de densidade exata Geração de Amostras Exponenciais Repetir os procedimentos de geração de números aleatórios para amostra exponencial

30 Média e Desvio adrão Amostrais MTB > describe 'E'-'E3'; SUBC> mean; SUBC> StDev. Descriptive Statistics: E; E2; E3 Variable Mean StDev E 6,3 37, E2 9,4 2,4 E3 24, 34,4 Valores exatos: Média: 28 Desvio padrão: 28 Histogramas de E, E2 e E E E2,48,36,24,2 Density,48 E3,,36,24,2, Usar densidade no eixo Y Comparação com Distribuição Exata Clicando com o botão direito do mouse no gráfico: Add > Distribution Fit

31 Histogramas de E, E2 e E3 Exponential E E2,8,6,4,2 Density,8 E3,,6,4,2, Exemplo 3 Geração de Weibull Gerar 2 amostras de tamanho 43 de uma Weibull com parâmetro de forma 2,3 e parâmetro de escala 48 e armazenar nas colunas W e W2. Calcular a média e o desvio padrão amostral Construir o histograma das amostras em painéis separados Comparar os histogramas com a função de densidade exata Geração de Amostras Exponenciais Repetir os procedimentos de geração de números aleatórios para amostra exponencial

32 Média e Desvio adrão Amostrais MTB > describe 'W' 'W2'; SUBC> mean; SUBC> StDev. Descriptive Statistics: W; W2 Variable Mean StDev W 34,88 63,8 W2 44,47 56,7 Valores exatos: Média Desvio padrão MTB > let k = 2,3 MTB > let k2 = 48 MTB > let k3 = k2*gamma(+/k) MTB > print k3 Data Display K3 3,5 MTB > let k4=k2**2*(gamma(+2/k)-(gamma(+/k))**2) MTB > let k5 = sqrt(k4) MTB > print k5 Data Display K5 6,4552 Histogramas de W e W2 W,8,6,4 Density W2,2,,8,6,4,2, Usar densidade no eixo Y Edit anels > Arrangement > Rows: 2/ Columns: Comparação com Distribuição Exata Clicando com o botão direito do mouse no gráfico: Add > Distribution Fit

33 Histogramas de W e W2 Weibull W,8,6,4 Density W2,2,,8,6,4,2, Ajuste de Distribuições Verificação de Normalidade Muitos procedimentos estatístico adotam a hipótese de normalidade dos dados Assim, é freqüente a necessidade de verificação de normalidade dos dados No Minitab, uma das maneiras de verificar a adequação do modelo (normal e outros) é através do robability lot

34 Teste de normalidade da coluna N: Graph > robability lot > Single ercent robability lot of N Normal - 95% CI Mean 86,87 StDev 4,235 N 29 AD,49 -Value,959 arâmetros estimados Estatística de teste -valor p/ o teste: H: dados normais H: Dados não-normais N 9 95 Se os pontos estiverem próximos à reta, há indicação de normalidade Os outliers aparecem como pontos distantes do padrão geral Repetição do procedimento para coluna E: robability lot of E Normal - 95% CI arâmetros estimados Mean 6,3 StDev 37, N 34 AD 2,879 -Value <,5 8 7 ercent valor p/ o teste: H : dados normais H : Dados não-normais -4-2 E H Rejeitada ontos afastam-se da reta Teste rejeita a hipótese de normalidade

35 Exemplo 4 Ajuste de Modelo Repetir o teste de normalidade para as colunas E2, E3, W e W2 Graph > robability lot > Single ercent E2 W robability lot of E2; E3; W; W2 Normal - 95% CI E3 2 W2 2 O histograma de W2 apresenta uma maior simetria comparado com o de W E2 Mean 9,4 StDev 2,4 N 34 AD 2,3 -Value <,5 E3 Mean 24, StDev 34,4 N 34 AD 2,4 -Value <,5 W Mean 34,9 StDev 63,8 N 43 AD,28 -Value <,5 W2 Mean 44,5 StDev 56,7 N 43 AD,543 -Value,54 H Rejeitada Sem evidência pra rejeitar H Verificar o ajuste à exponencial das colunas E, E2 e E3 Graph > robability lot > Single

36 E robability lot of E; E2; E3 Exponential - 95% CI E2 E H : modelo exponencial H : outro modelo Mean 6,3 N 34 AD,62 -Value,34 ercent 9 5 E3, E2 Mean 9,4 N 34 AD,253 -Value,57,,,,, E3 Mean 24, N 34 AD,935 -Value,36 Não há evidências para rejeitar H Apesar de haver pontos fora da banda de confiança do gráfico, as estatísticas de teste não permitem rejeitar a hipótese de modelo exponencial Verificar o ajuste ao modelo Weibull das colunas W e W2 Graph > robability lot > Single robability lot of W; W2 Weibull - 95% CI H : modelo Weibull H : outro modelo ercent W W2 W 99 Shape 2,263 Scale 5,8 9 N AD,52 6 -Value <, 5 W2 4 Shape 2,786 3 Scale 6, 2 N 43 AD,678 -Value,74 5 Há evidências para rejeitar H Não há evidências para rejeitar H No caso de W, a quantidade de pontos fora da banda de confiança do gráfico, pode ter influenciado a estatística de teste a rejeitar a hipótese de modelo Weibull.

37 Exemplo 5 Amostra Binomial Gere 3 amostras de tamanho 25 de uma distribuição binomial com parâmetros n = 7 e p =,4 e as armazene nas colunas B, B2 e B3 Verifique a normalidade dos elementos padronizados de cada amostra Geração das amostras binomiais Calc > Random Data > Binomial adronização No caso da binomial a padronização exata é dada por: xi np zi = np( p) No exemplo a média e o desvio padrão são: MTB > let k = 7*,4 MTB > let k2 = sqrt(7*,4*,6) MTB > print k k2 Data Display K 28, K2 4,9878

38 No Minitab, a padronização é obtida por: Calc > Standardize Média Desvio padrão Gráfico de probabilidade normal para as colunas Bp, Bp2 e Bp3 Graph > robability lot > Single robability lot of Bp; Bp2; Bp3 Normal - 95% CI H : Normalidade dados H : outro modelo 99 Bp 99 Bp2 Bp Mean,4 9 9 StDev,27 N AD,535 -Value,54 Bp2 Mean,323 ercent Bp StDev,65 N 25 AD,492 -Value,99 Bp3 Mean,2928 Não há evidências para rejeitar H StDev,237 5 N 25 AD,235 -Value, Há evidências de que os dados padronizados são normais. Os pontos do gráfico encontram-se dentro da região de confiança

39 Referências Bibliografia Recomendada Bussab, W. O. e Morettin,. A. (Saraiva) Estatística básica Montgomery, D. C. e Runger, G. C. (LTC) Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros